Transferência de calor por condução

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Transferência de calor por condução
Prof. Oscar Javier Celis Ariza
Descrição A transferência de calor por condução: estado estacionário e transiente.
Propósito Os três modos de transferência de calor podem estar presentes em
sistemas físicos reais. O conhecimento desses fenômenos é essencial
para qualquer projeto de engenharia, especificamente, na transferência
de calor por condução, tanto em estado estacionário como transiente
(variação de temperatura com o tempo).
Preparação Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, faça o download do
Solucionário, nele você encontrará o feedback das atividades.
Objetivos
Módulo 1
Condução de calor estável
em geometrias simples
Identificar as equações de condução de
calor e condições de contorno em
geometrias simples (paredes, cilindros e
esferas).
Módulo 2
Condução em estado
estacionário
Aplicar cálculos para resolução de
problemas em estado estacionário que
envolvem transferência de calor por
condução utilizando resistências térmicas.
Módulo 3
Condução em estado não
estacionário
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/docs/solucionario_transferencia_de_calor_por_conducao.pdf
Resolver problemas uni e bidimensionais
em estado transiente pelo método de
diferenças finitas.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os principais pontos
abordados neste conteúdo.
1 - Condução de calor estável em geometrias simples
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as equações de condução de calor e condições
de contorno em geometrias simples (paredes, cilindros e esferas).
Vamos começar!
Como identi�car as equações de
condução de calor e condições de
contorno em geometrias simples?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.


Transferência por condução
unidimensional
A transferência de calor tem direção e magnitude. A razão de transferência de
calor por condução em uma direção específica é proporcional ao gradiente de
temperatura, ou seja, a variação da temperatura com relação à distância nessa
direção.
No mundo real, a transferência de calor não acontece em uma
única direção.
A condução de calor, em um meio, é tridimensional e depende do tempo e, por
sua vez, a temperatura varia com a posição e o tempo. Portanto, podemos definir
que a temperatura é uma função de e 
Atenção!
A condução em um meio é estacionária quando a temperatura não varia com o
tempo. Do contrário, é chamada de transiente!
A “força impulsora” para qualquer forma de transferência de calor é a diferença
de temperatura, e quanto maior for, maior será a taxa de transferência. Em
alguns problemas de transferência de calor, em engenharia, requer-se a
determinação da distribuição de temperatura de um ao outro lado do meio, com
a finalidade de calcular algumas quantidades de interesse, por exemplo,
expansão térmica, esforço térmico, entre outros.
Isso é possível, primeiramente, mediante a escolha de um sistema de
coordenadas que dependem da configuração geométrica e seu ponto de
referência (origem). Portanto, há três tipos de coordenadas. São elas:
Neste sentido, veja na sequência a imagem dos espaços cartesianos desses
sistemas de coordenadas:
x, y, z t.
Retangulares (x, y, z)
Cilíndricas (r, , z)θ
Esféricas (r, )ϕ, θ
Espaços cartesianos dos sistemas de coordenadas.
Geração de calor
Em um meio no qual se transfere calor, provavelmente, pode haver a conversão
de energia mecânica, elétrica, nuclear ou química em calor (ou energia térmica)
de outra fonte externa.
Nas análises de condução de calor, esses processos por conversão são
caracterizados como geração de calor (ou de energia térmica).
Exemplo
Uma grande quantidade de calor é gerada nos elementos combustíveis nos
reatores nucleares como resultado da fissão nuclear, que serve como fonte de
calor para as usinas nucleares de geração de energia elétrica.
A geração de calor é um fenômeno volumétrico, ou seja, acontece em todo o
meio. Portanto, a taxa de geração de calor num meio é descrita por unidade de
volume e se denota por com unidades de ou 
A taxa de geração de calor em um meio pode variar com o tempo e com a
posição dentro dele. No caso, quando é conhecida a variação de geração com a
posição, a taxa total dessa geração, em um meio de volume pode
ser calculada a partir de:
No caso de ter uma taxa de geração de calor uniforme, a relação da equação
anterior se reduz a:
Equação de condução de calor em uma parede plana
Vamos estudar agora o comportamento da transferência de calor
unidimensional através de uma parede plana. Observe a imagem a seguir:
ėger W/m
3 BTU/h ⋅ ft3.
Eger(W), ϑ,
Ėger = ∫
ϑ
ėger ⋅ dϑ
Ėger  = ėger ⋅ ϑ
Esquema da demonstração da transferência de calor unidimensional, por uma parede plana.
A equação de transferência de calor unidimensional para a condução de calor no
regime transiente em uma parede é dada por:
Onde:
 condutividade térmica
 geração de calor
 densidade
 calor específico
Você deve estar se perguntando o por que de o termo de derivada " " estar
presente na equação. Bom, como tínhamos falado, a transferência de calor é
multidimensional, ou seja, é função de duas variáveis, neste caso de e 
Portanto, a derivada é parcial e não ordinária!
Os conceitos de derivadas parciais serão aplicados nesta
matéria.
O termo de condutividade na equação anterior indica que ela não é constante.
Isso acontece muito nos fenômenos reais, em que há a variação de acordo com
a temperatura.
No caso de condutividade térmica constante, a equação ser reduz à seguinte
forma:
Onde é a difusividade térmica:
∂
∂x
(k ⋅ ∂T
∂x
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
K :
ėgen :
P :
Cp :
∂
T t x.
∂ 2T
∂x2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
α
Dependendo das condições específicas do problema, é possível simplificar a
equação unidimensional da transferência de calor em uma parede. Acompanhe
na sequência:
Observe que, quando deixa de ser função de duas variáveis para uma, a derivada
passa de ser parcial à ordinária.
Equação de condução de calor em um cilindro
A equação unidimensional de transferência de calor em regime transiente em um
cilindro de raio é a seguinte:
Observe os elementos na imagem a seguir:
α =
k
ρCp
 Estado estacionário
( ∂∂t = 0)
d2T
dx2
+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
(ėger = 0)
∂ 2T
∂x2
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
( ∂∂t = 0; ėger = 0)
d2T
dx2
= 0
r
1
r
∂
∂r
(r ⋅ k ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
Transferência de calor em um cilindro em regime transiente.
No caso de condutividade térmica constante, temos:
Como vimos, a escolha das coordenadas depende da geometria do problema.
Utilizando a mesma analogia da placa ou parede plana, é possível simplificar a
equação anterior sob condições específicas, acompanhe na sequência:
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário
( ∂∂t = 0)
1
r
d
dr
(r ⋅ dT
dr
)+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
(ėger = 0)
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
( ∂∂t = 0; ėger = 0)
d
dr
(r ⋅ dT
dr
) = 0
Equação de condução de calor em uma esfera
Consideremos uma esfera de densidade calor específico e raio exterior 
Processo de condução de calor em uma esfera.
A equação unidimensional de condução de calor, em regime ou estado
transiente, para uma esfera é:
No caso de condutividade constante:
Em condições específicas, a equação se reduz às seguintes formas:
ρ, Cp R.
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ k ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
)+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário
( ∂∂t = 0)
1
r2
d
dr
(r2 ⋅ dT
dr
)+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
(ėger = 0)
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
( ∂∂t = 0; ėger = 0)
d ( dT ) 1 ∂T
Equação geral de condução de
calor
Já consideramos a condução unidimensionalde calor e desprezamos algumas
direções. Na prática, a maior parte dos problemas de transferência de calor pode
ser aproximada como unidimensional. No entanto, em casos particulares, é
preciso resolver a condução de calor multidimensional.
Apresentaremos, a seguir, as equações considerando as dimensões para os três
sistemas de coordenadas: retangulares, cilíndricas e esféricas.
Coordenadas retangulares
A equação geral de condução de calor em coordenadas retangulares com
condutividade constante, chamada de Fourier – Biot, é:
A partir dessa equação, é possível, mediante condições específicas, transformá-
la em casos reduzidos de acordo ao problema. Por exemplo, nas considerações
de regime estacionário, transiente e sem geração, temos:
ou
d
dr
(r2 ⋅ dT
dr
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
r
d2T
dr2
+ 2
dT
dr
= 0
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário
Equação de Poisson
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
Equação de difusão
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
=
1
α
⋅
∂T
∂t
Vamos entender melhor o uso da equação geral de condução em coordenadas
cartesianas?
Exemplo 1
Consideremos, a seguir, uma panela de aço, utilizada para ferver água, colocada
sobre a parte superior de um fogão elétrico. A seção do fundo da panela tem
uma espessura e um diâmetro de . A unidade elétrica
de aquecimento, que está na parte superior do fogão, consome 1250W de
potência durante a cocção e 85% do calor gerado no elemento de aquecimento
se transfere de maneira uniforme para a panela. A transferência de calor desde a
superfície superior da seção do fundo até a água é por convecção com um
coeficiente de transferência de calor de h. Supondo condutividade térmica
constante e transferência unidimensional de calor, expresse a formulação
matemática deste problema de condução de calor em estado estacionário.
Panela de aço.
Bom, antes de resolver qualquer problema de transferência de calor utilizando a
equação geral, precisamos analisar todas as considerações envolvidas, para
simplificar a equação.
 Estado estacionário e sem geração de calor
Equação de Laplace
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
= 0
L = 0, 5cm D = 20cm
 Consideração 1
Por que utilizar coordenadas cartesianas em vez de
cilíndricas, já que a panela é cilíndrica? Como a área
superficial do fundo da panela é bem maior em relação à
sua espessura, podemos considerá-la como uma placa, em
vez de um cilindro. Vamos, agora, tentar reduzir a equação
geral de condução de calor em coordenadas cartesianas:
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
Muito bem! Temos aqui uma equação diferencial que depende de uma única
variável. Desse modo, podemos colocar na notação de derivada ordinária em vez
de parcial. Além disso, para resolver esta equação de segunda ordem,
precisamos de umas condições de contorno e iniciais. Mas o que seria isso?
Não se preocupe, porque iremos falar desses termos mais adiante! O objetivo
desta primeira parte é de construir a expressão matemática de transferência de
calor, utilizando a equação geral de condução em coordenadas cartesianas.
Vejamos!
Coordenadas cilíndricas
A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas, a partir de
um balanço de energia sobre um elemento de volume e, fazendo uma conversão
entre coordenadas retangulares e cilíndricas, é dada por:
 Consideração 2
O problema descreve que somente existe condução em uma
única direção. Assumindo que seja somente em sentido
do fundo da panela para a superfície da água. Podemos
desconsiderar qualquer transferência em outro sentido.
Portanto, e serão desconsiderados:
x,
y z
∂ 2T
∂x2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Consideração 3
A transferência acontece em estado estacionário, assim,
não existe qualquer variação de temperatura com o tempo.
Então, o último termo da equação será zero:
∂ 2T
∂x2
+
ėger
k
= 0
 Consideração 4
Podemos observar que temos uma fonte de geração de
calor, no entanto, ela acontece no fogão e não dentro do
material condutor de aço, local onde estamos realizando a
análise de transferência. Logo, não existe geração de calor
e, finalmente, temos a equação reduzida da seguinte forma:
∂ 2T
∂x2
= 0
d2T
dx2
= 0
Vamos para mais um exemplo para o entendimento do uso da equação geral de
condução em coordenadas cilíndricas.
Exemplo 2
Um arame com condutividade térmica de raio de
 e um comprimento de esquenta, por resistência, de 
uma quantidade de água. Supondo condutividade térmica constante e
transferência unidimensional de calor, expresse a formulação matemática deste
problema de condução de calor durante uma operação estacionária.
O primeiro passo é reduzir o máximo possível a equação geral de calor por
condução:
Considerando o arame como um cilindro e que a varação da superfície é
homogênea, e segundo o enunciado, de forma unidimensional, podemos
considerar razoavelmente que somente a temperatura varia com relação ao raio.
Assim, as variáveis e são desconsideradas.
Operando em processo estacionário, temos, então, que o termo de temperatura
com relação tempo é nulo:
Sendo a condutividade térmica constante, é possível retirar do parênteses e
dividir a equação por de tal forma que:
Existe uma geração de calor dentro do material, a partir da potência da
resistência sobre o volume do cilindro da seguinte forma:
Substituindo o valor de geração de calor e a condutividade térmica dentro da
equação, e sendo a variação da temperatura função de uma única variável
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ 1
r2
∂
∂φ
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂φ
)+ ∂
∂z
(k ∂T
∂Z
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1922W/m ⋅K,
1, 52 × 10−3m 0, 4m 2kW
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ 1
r2
∂
∂φ
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂φ
)+ ∂
∂z
(k ∂T
∂z
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
φ z
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = 0
k,
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+
ėger
k
= 0
ėger = E
⋅
ger/ϑ
ϑ = ( π ⋅D
2
4
) ⋅ L = (
π ⋅ (1 × 10−3m)
2
4
) ⋅ 0, 4m = 3, 14 × 10−7m3
ėger =
Eger
ϑ
=
2000W
3, 14 × 10−7m3
= 6, 37 × 109
W
m3
(derivada ordinária), obtemos a expressão matemática assim:
Coordenadas esféricas
A partir de um elemento de volume em coordenadas esféricas e mediante uma
relação entre as coordenadas retangulares e esféricas, a equação geral de
condução de calor em coordenadas esféricas é:
Resolver de forma analítica esse tipo de equação é muito complexo e
precisaremos de métodos aproximados de resolução de equações diferenciais
parciais com ajuda de algum software.
Exemplo 3
Vamos analisar o comportamento de uma esfera metálica de raio que é
esquentada dentro de um forno até uma temperatura em toda sua extensão.
Posteriormente, é retirada do forno, deixando cair dentro de uma massa de água
que está a uma temperatura de onde se resfria por convecção com um
coeficiente médio de transferência de calor h. Supondo que a condutividade
térmica seja constante e a transferência unidimensional de calor em regime
transiente, vamos expressar a formulação matemática deste problema de
condução de calor.
Assim como nos casos anteriores, precisamos reduzir ou simplificar a equação
geral de transferência de calor. Por ser uma esfera, as coordenadas esféricas
são as indicadas para descrever o comportamento térmico. Comportamento de
temperatura unidimensional e uniforme é característico de uma variação de
temperatura com relação ao raio da esfera. Portanto, as variáveis e são
desprezíveis:
O problema não descreve nenhuma geração de energia dentro da esfera, então:
O problema é transiente, indicando que há a variação da temperatura com o
tempo, ou seja, o último termo é mantido nesta análise. No entanto, a
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+
6, 37 × 109 W
m3
1922 Wm⋅K
= 0
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+ 3, 31 × 106 K
m2
= 0
1
r
d
dr
(r ⋅ dT
dr
)+ 3, 31 × 106 K
m2
= 0
1
r2
∂
∂r
(k ⋅ r2 ⋅ ∂T
∂r
)+ 1
r2 sin2 θ
⋅
∂
∂φ
(k ∂T
∂φ
)+1
r2 sin θ
⋅
∂
∂θ
(k ⋅ sin θ ⋅ ∂T
∂θ
)+ ėger
= ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
r0,
Ti
T∞,
θ φ
1
r2
∂
∂r
(k ⋅ r2 ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
(k ⋅ r2 ⋅ ∂T
∂r
) = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
condutividade térmica é constante. Assim, retirando-a do parênteses e dividindo
a equação por temos:
Finalmente, observamos que os dados de condição da superfície exterior, assim
como a questão de convecção, não influenciam a equação geral de transferência
de calor por condução.
Condições de contorno e iniciais
As equações de condução de calor apresentadas foram desenvolvidas mediante
um balanço de energia sobre um elemento diferencial no interior do meio e
seguem sendo as mesmas, sem importar as condições térmicas sob as
superfícies dele.
Ou seja, as equações diferenciais não incorporam informação
detalhada com as condições sobre as superfícies, por
exemplo, a temperatura das superfícies, temperatura do
ambiente ou mesmo um fluxo específico de calor.
A expressão matemática das condições térmicas é chamada condições de
contorno. Precisamos dessas condições para resolver as derivadas. Lembra, em
Cálculo, que para eliminar as derivadas, era possível mediante uma integral? E
que ao resolver cada integral, era gerada uma constante arbitrária? Pois é! Esses
são os valores necessários para substituir nas equações e encontrar os valores
das constantes.
De acordo com a ordem da equação diferencial, será necessário igual número de
condições contorno, por exemplo, uma equação diferencial de segunda ordem
precisará de duas condições de contorno para sua resolução.
Por outro lado, todas as condições de argumentos físicos coerentes no tempo
inicial ou no instante quando são chamadas de condição inicial.
Vamos, a seguir, ver alguns casos específicos de condições de contorno e inicial:
Condição de contorno de temperatura especí�ca
A temperatura de uma superfície exposta pode ser mensurável diretamente.
Portanto, as condições de contorno para uma transferência unidimensional de
calor através de uma parede plana de espessura são:
Onde e são as temperaturas específicas na superfície em e 
respectivamente.
k,
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
) =
ρ ⋅ Cp
k
⋅
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
t = 0
L
T (0, t) = T1
T (L, t) = T2
T1 T2 x = 0 x = L,
Condição de contorno de �uxo especí�co de calor
Quando existe informação suficiente sobre as interações de energia na
superfície, é possível determinar, utilizando a Lei de Fourier, a velocidade de
transferência de calor e, portanto, seu fluxo:
O sinal do fluxo específico de calor é positivo se o fluxo de calor é na direção
positiva do eixo coordenador e negativo se for oposto.
No caso de contorno isolado, podemos deixar claro que não existe fluxo de calor,
assim:
Ou:
Condição de convecção no contorno
É muito provável que a convecção seja a condição de contorno comum
encontrada na prática. Isso se deve ao fato de que a maior parte das superfícies
de transferência de calor está exposta a um meio (ambiente) e a uma
temperatura específica. A condição de contorno de convecção é baseada em um
balanço de energia superficial expresso como:
Para a transferência de calor unidimensional na direção , numa placa de
espessura , as condições de contorno sobre ambas as superfícies são
descritas assim:
Onde e são os coeficientes de transferência de calor por convecção, e
 e são as temperaturas do meio circundantes sobre os dois lados da
placa.
Vamos retomar o caso do aquecimento da panela de aço que está aquecendo
uma quantidade de água (Exemplo 1) água. A equação matemática simplificada
que expressa o fenômeno de transferência de calor por condução de calor é:
q̇ = −k ⋅
∂T
∂x
= ( fluxo de calor na direção positiva de x ) 
k ⋅
∂T (0, t)
∂x
= 0
∂T (0, t)
∂x
= 0
=
⎛⎜⎝ condução de calor na superfície  numa direção selecionada  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ convecção de calor na superfície  na mesma direção  ⎞⎟⎠xL − k ⋅ ∂T (0, t)∂x = h1 ⋅ [T∞1 − T (0, t)]− k ⋅ ∂T (L, t)∂x = h2 ⋅ [T (L, t) − T∞2 ]h1 h2T∞1 T∞2
No entanto, há ainda algumas condições que acontecem na superfície ou no
contorno do problema. Lembra que definimos que não existe geração de calor
dentro do material condutor? No entanto, a fonte de calor que vem do fogão está
aportando um fluxo à superfície do fundo da panela. O problema sinaliza que, na
parte superior do fogão, consome 1250W de potência e que somente 85% do
calor gerado no elemento de aquecimento se transfere de maneira uniforme para
a panela. Aqui, temos uma condição de contorno com fluxo específico de calor.
Vejamos!
Quando temos um fluxo de calor de 85% da potência, ou seja,
1062,5W são atribuídos para a superfície. Portanto, o fluxo de calor por
área é:
Assim, a primeira condição de contorno de fluxo de calor específico,
quando x = 0, é:
Quando na superfície superior do aço, existe uma
transferência de contorno por convecção para água. Neste caso,
teremos:
Finalmente, esse problema tem as seguintes equações e condições de contorno:
d2T
dx2
= 0
x = 0
q̇s =
Ėger
A
A = πD2 = π ⋅ (0, 2m)2 = 0, 125m2
q̇s =
Ėger
A
=
1200W
0, 125m2
= 8455
W
m2
q̇ = −k ⋅
∂T
∂x
−k ⋅
dT (0)
dx
= 8455
W
m2
x = L = 0, 005m,
−k ⋅
∂T (L, t)
∂x
= h ⋅ [T (L, t) − T∞]
−k ⋅
dT (0, 005, t)
dx
= h ⋅ [T (0, 005, t) − T∞]
d2T
dx2
= 0
−k ⋅
dT (0)
dx
= 8455
W
m2
−k ⋅
dT (0, 005, t)
dx
= h ⋅ [T (0, 005, t) − T∞]
Condição de contorno com radiação
Em alguns casos, por exemplo, aplicações espaciais ou criogênicas, uma
superfície de transferência de calor está rodeada por um espaço vazio e,
portanto, a transferência de calor por convecção é nula.
Nesses casos, a radiação se converte no único mecanismo de
transferência entre a superfície e o ambiente.
Utilizando um balanço de energia, a condição de contorno com radiação sobre
uma superfície pode se expressar:
Para uma transferência unidimensional de calor na direção de numa placa de
espessura as condições de radiação no contorno sobre ambas as superfícies
podem ser expressas assim:
Onde e são as emissividades das superfícies de contorno,
 é a constante de Stefan - Boltzmann, e
 são as temperaturas médias das superfícies circundantes dos dois lados
da placa, respectivamente.
Mão na massa
As questões 1 e 2 são baseadas na seguinte informação:
Uma panela, usada para ferver água, é colocada sobre um fogão, a partir do
qual calor é transferido a uma taxa fixa q0 (W). Há dois estágios no processo.
No estágio 1, a água é levada de sua temperatura inicial (ambiente) até o
ponto de ebulição, quando o calor é transferido da panela para a água por
convecção natural. Durante esse estágio, pode-se admitir um valor constante
do coeficiente de transferência de calor , enquanto a temperatura média da
água aumenta com o tempo, . No estágio 2 , a água encontra-se
em ebulição e a sua temperatura mantém-se em um valor fixo, ,
enquanto o fornecimento de calor continua. Considere uma base de panela
com espessura e diâmetro com um sistema de coordenadas no qual
 e nas superfícies de contato com o fogão e com a água,
respectivamente.
Questão 1
Qual é a equação de calor e as condições de contorno que determinam a
variação da temperatura com a posição e o tempo na base da panela ao
=
⎛⎜⎝ condução de calor na superfície  numa direção selecionada  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ Troca de radiação na superfície  na mesma direção  ⎞⎟⎠x,L, − k ⋅ ∂T (0, t)∂x = ε1 ⋅ σ ⋅ [T 4amb1 − T (0, t)4]− k ⋅ ∂T (L, t)∂x = ε2 ⋅ σ ⋅ [T (L, t)4 − T 4amb2]ε1 ε2σ = 5, 67 × 10−8W/ (m2 K4) Tamb1Tamb2
Ti
h
T∞ = T∞(t)
T∞ = Teb
L D,
x = 0 x = L
longo do estágio 1? Expresse o resultado em termos de e ,
assim como as propriedades pertinentes do material da panela.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 2
Qual é a equação de calor e as condições de contorno que determinam a
variação da temperatura nabase da panela ao longo do estágio 2? A
superfície da panela em contato com a água encontra-se a uma temperatura
fixa .
q0,D,L T∞
A
⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂tT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣B ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = 0T (x, 0) = Ti−k dTdx x=0 = 0−k dTdx x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣C ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂t−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣D ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂t − q0kT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣E ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂tT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣TLA ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂tT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
As questões 3 e 4 são baseadas na seguinte informação:
Em uma partícula esférica de raio , há geração térmica uniforme a uma
taxa e com condutividade térmica constante A temperatura da superfície
tem um valor de e está sendo resfriada pelo ar ambiente .
Questão 3
Qual é a equação de condução de calor e as condições de contorno do
problema?
B
⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = 0T (L) = TL−k dTdx x=0 = q0(πD2/4)−k dTdx x=L =h [TL − Teb]∣∣C ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = − q0kT (L) = TL−k dTdx x=0 = q0(πD2/4)−k dTdx x=L = h [TL − Teb]∣∣D ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = 0−k dTdx x=0 = q0(πD2/4)−k dTdx x=L = h [TL − Teb]∣∣E { d2Tdx2 = 0−k dTdx x=L = h [TL − Teb]∣ r1q̇ k.Ts (T∞,h)A ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr (r2 ⋅ dTdr ) = 0T (r1) = TS−k dTdr r=r1 = h [TS − T∞]∣B ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr(r2 ⋅ dTdr ) = − q̇k ⋅ r2T (r1) = T∞−k dTdr r=r1 = h [Ts − T∞]∣
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 4
Qual pode ser a expressão que representa em função dos parâmetros
conhecidos? Deixe indicada a constante de integração como .
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 5
Em um elemento combustível cilíndrico para reator nuclear, com 50mm de
diâmetro, há geração interna de calor a uma taxa uniforme
. Em condições de regime estacionário, a
 onde está em e em . As propriedades do
elemento combustível são .
Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento, quando
C
⎧⎪⎨⎪⎩ ddr(r2 ⋅ dTdr ) = − q̇k ⋅ r2T (r1) = TS−k dTdr r=r1 = h [Ts − T∞]∣D ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr (r2 ⋅ dTdr ) = 0T (r1) = Ts−k dTdr r=r1 = h [T∞ − Ts]∣E ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr(r2 ⋅ dTdr ) = − q̇k ⋅ r2T (r1) = TS dTdr C1A dTdr = C1r2B dTdr = q̇3k rC dTdr = − q̇3k r+ C1r2D dTdr = − q̇3k r2 + C1
E dTdr = C1
q̇ = 5 × 107W/m3
d2T
dr2
= −8, 33 × 105 T ∘C r m
k = 30Wm⋅K ; ρ = 1100
kg
m3
; Cp = 800 Jkg.K
r = 25mm?
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C3%A3o%2
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Dbdb100e703f941f8b1e15dbeccd281c0
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma placa plana
de material semitransparente, com condutividade térmica e espessura ,
exposto à irradiação laser, é descrita por:
Onde A, a, B e C são constantes conhecidas. Nesta situação, a absorção de
radiação do material é manifestada por um termo de geração de calor
distribuída, . Deduza uma expressão para essa geração de calor.
A 6, 1 × 104W/m
B 2, 3 × 104W/m
C 5, 7 × 104W/m
D 4, 5 × 104W/m
E 9, 8 × 104W/m
k L
T (x) = −
A
k ⋅ a2
e−ax +Bx+ C
q̇(x)
A q̇ = − Ak ⋅ e
−ax
B q̇ = A/e−ax
C q̇ = e−ax
D q̇ = A ⋅ e−ax +Bx
E q̇ = A ⋅ e−ax
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Teoria na prática
Na indústria de tratamento térmico, é comum o uso de fornos descontínuos
elétricos. Considere um forno descontinuo por uma placa de aço de de
espessura e condutividade térmica de . O forno está localizado numa
habitação com uma temperatura do ar circundante de e um coeficiente de
transferência de calor por convecção de .K. Se a superfície interna do
forno está sujeita a um fluxo uniforme de calor de , e a superfície
externa tem uma emissividade de , qual é temperatura superficial interna da
placa do forno?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Analise as seguintes afirmações sobre o termo de geração de calor:
I. A geração de calor é um fenômeno volumétrico que acontece em
todo o meio.
II. O termo de geração de calor é considerado nulo quando o problema
está em regime estacionário.
III. A taxa de geração de calor em um meio pode ser função tanto do
tempo como da posição.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
_black
20mm
25W/mK
20∘C
10W/m2
5kW/m2
0, 30
Mostrar solução
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20processos%20de%20convers%C3%A3o%20de%20energia%2C%20ao%20serem%20analisados%2C%20caract
se%20como%20geradores%20de%20calor%2C%20que%2C%20por%20sua%20vez%2C%20%C3%A9%20um%20fen%C3%B4meno%2
Questão 2
Analise as seguintes afirmações sobre a equação geral de condução de calor:
I. Dependendo da geometria do meio condutor, podemos utilizar a
equação em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas.
II. A equação geral após as considerações do problema pode ser
reduzida em função de uma única variável, neste caso a derivada
passa de parcial para ordinária.
III. As condições de contorno e iniciais devem ser empregadas dentro
dos termos da equação geral de condução de calor.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EGrande%20parte%20dos%20problemas%20de%20transfer%C3%AAncia%20de%20calor%20pode%20ser%20aproxim
lo%20a%20um%20problema%20de%20vari%C3%A1vel%20%C3%BAnica.%20Vale%20ressaltar%20que%20as%20condi%C3%A7%C3
A Somente I.
B Somente II.
C I e III.
D II e III.
E I, II e III.
A Somente I.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.
2 - Condução em estado estacionário
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para resolução de problemas em estado
estacionário que envolvem transferência de calor por condução utilizando resistências térmicas.
Vamos começar!
Como resolver problemas de condução
em estado estacionário?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
Resistência térmica em paredes
planas
A equação de taxa de transferência de calor para uma parede plana, espessura
 temperaturas nas superfícies de e pode ser descrita mediante a Lei de
Fourier da seguinte forma:
E, ao separar as variáveis e integrar desde onde até 
onde obtemos:

L, T1 T2,
Q̇cond  = −k ⋅A ⋅
dT
dx
x = 0 T (0) = T1 x = L,
T (L) = T2
No entanto, os termos e são constantes e podem ser reorganizados para
obter a seguinte expressão:
Em que:
Onde é a resistência térmica em contrário da condução de calor e
depende somente da configuração geométrica e das propriedades térmicas do
meio. Se observarmos, a resistência térmica pode ser expressa como
 que é a razão do potencial de arraste de com
relação à taxa de transferência de calor e que é análoga à relação de fluxo de
corrente elétrica expressa como:
Onde é a resistência elétrica e é queda de voltagem ao longo da
resistência. Portanto, a taxa da transferência de calor através de um meiocorresponde à corrente elétrica, a resistência térmica à resistência elétrica e a
diferença de temperatura à queda de voltagem. Observe na imagem a seguir:
Taxa de calor dissipado pela resistência. Corrente elétrica que atravessa a
resistência.
Uma analogia de resistências também pode ser aplicada para um processo de
transferência de calor por convecção. A Lei de Newton de resfriamento para a
taxa de transferência de calor por convecção pode ser arranjado da seguinte
forma:
Em que:
Onde:
 resistência térmica da superfície contra a convecção de calor
∫
L
0
Q̇cond  ⋅ dx = −∫
T2
T1
k ⋅A ⋅ dT
Q̇cond  = k ⋅A ⋅
T1 − T2
L
L, k A
Q̇cond  =
T1 − T2
Rcond 
Rcond  =
L
k ⋅A
Rcond
Rparede  = ΔT/Q̇cond , ΔT
I,
I =
V1 − V2
Re
=
ΔV
Re
Re ΔV
Q̇conv =
Ts − T∞
Rconv
Rconv =
1
h ⋅As
Rconv: 
: temperatura da superfície
 : temperatura do ambiente
: área
Observemos que, se o coeficiente de transferência de calor é muito grande
 a resistência da convecção tende a zero, portanto, Ou
seja, a superfície não oferece resistência à convecção e, assim, não desacelera o
processo de transferência de calor.
A taxa de transferência de calor por radiação entre uma superfície de
emissividade área temperatura e temperatura circundante de 
pode ser expressa como:
Onde:
E sendo a resistência térmica de uma superfície contra a radiação e 
No caso de radiação e convecção, simultaneamente, podemos utilizar o
coeficiente de transferência de calor combinado:
Rede de resistências térmicas
Consideremos a transferência unidimensional em regime estacionário através de
uma parede plana de espessura área e condutividade térmica que está
exposta à convecção sobre ambos os lados com temperatura e com
coeficientes de transferência de calor e respectivamente.
Transferência de calor (regime estacionário) por meio de uma parede.
A taxa de transferência de calor é igual nas três fases, ou seja:
Ts
T∞
As
(h → ∞), Ts ≈ T∞.
ε, As, Ts Tamb 
Q̇rad = ε ⋅ σ ⋅As ⋅ (T 4s − T
4
amb) = hrad ⋅As ⋅ (Ts − Tamb) =
Ts − Tamb
Rrad
Rrad =
1
hrad ⋅As
Rrad hrad :
hrad =
Q̇rad
As ⋅ (Ts − Tamb)
= ε ⋅ σ ⋅ (T 2s + T
2
amb) ⋅ (Ts + Tamb)
hcomb = hconv + hrad
L, A k
T∞1 T∞2
h1 h2,
Desta forma representada:
Ou assim:
Ou de uma forma geral:
Onde:
Notemos que as resistências térmicas estão em séries e a resistência térmica
equivalente se determina simplesmente ao somar cada uma delas, assim como
acontece em circuitos elétricos em série.
Algumas vezes, é conveniente expressar a transferência de calor através de um
meio de uma forma análoga à Lei de Newton de resfriamento como:
Onde é o coeficiente de transferência de calor total em (\W/m^2 \cdot K.\)
Portanto:
Exemplo 1
Vamos considerar uma janela com dupla folha de de altura e de
largura que consta com duas camadas de vidro cada
uma de de espessura separadas por um espaço de ar estancado
 de de largura. Qual seria a taxa de transferência
de calor estacionaria através desta janela e a temperatura da superfície interior
para um dia com a temperatura do quarto mantida a enquanto a
temperatura exterior é de ? Assumindo que os coeficientes de
transferência de calor sobre as superfícies interna e externa são e
 respectivamente.
= =
⎛⎜⎝  taxa de convecção  de calor até a parede ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  taxa de condução  de calor através da parede ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  taxa de convecção  de calor desde a parede ⎞⎟⎠Q̇ = h1 ⋅A ⋅ (T∞1 − T1) = k ⋅A ⋅ T1 − T2L = h2 ⋅A ⋅ (T2 − T∞2)Q̇ = (T∞1 − T1)1/h1 ⋅A = T1 − T2L/k ⋅A = (T2 − T∞2)1/h2 ⋅AQ̇ = (T∞1 − T1)Rconv ,1 = T1 − T2Rcond  = (T2 − T∞2)Rconv ,2Q̇ = (T∞1 − T∞2)Rtotal 
Rtotal  = Rconv ,1 +Rcond  +Rconv ,2 =
1
h1 ⋅A
+
L
k ⋅A
+
1
h2 ⋅A
Q̇ = U ⋅A ⋅ ΔT
U
U ⋅A =
1
Rtotal 
1, 5m 2, 4m
(k1 = 0, 78W/mK),
3mm
(k2 = 0, 026W/mK) 12mm
21∘C
−5∘C
10W/m2K
25W/m2K
Janela contendo duas camadas de vidro.
Observemos que, através da janela, temos 3 camadas: vidro, ar e vidro. Ou seja,
podemos assumir como uma série de resistências térmicas, da seguinte forma:
Associação de resistências térmicas: vidro - ar - vidro.
A taxa de transferência de calor total é:
Onde e são resistências convectivas, e a área é igual para todas as
camadas Então:
A taxa de transferência de calor é:
Como está em estado estacionário, essa taxa de calor é a mesma para qualquer
ponto através do material, e assim para o cálculo da temperatura da superfície
interna será:
Q̇ =
(Tint  − Text)
Rtotal 
Rtotal  = R1 +R2 +R3 +R4 +R5 =
=
1
h1 ⋅A
+
L1
k1 ⋅A
+
L2
k2 ⋅A
+
L1
k1 ⋅A
+
1
h2 ⋅A
=
=
1
A
( 1
h1
+
L1
k1
+
L2
k2
+
L1
k1
+
1
h2
)
R1 R5
(A = 1, 5m ⋅ 2, 4m = 3, 6m2).
Rtotal  =
1
3, 6m2
( 1
25W/m2K
+
0, 003m
0, 78W/mK
+
0, 012m
0, 026W/mK
+
0, 003m
0, 78W/mK
+
1
10W/m2K
) = 0, 169K
Q̇ =
(Tint  − Text )
Rtotal 
=
(294K − 268K)
0, 169K/W
= 154W
Redes generalizadas de resistências térmicas
Os conceitos de resistências térmicas são análogos aos de circuitos elétricos.
Consideremos a parede composta como se apresenta na imagem. Veja!
Parede composta e sua esquematização em associação de resistências em paralelo.
A transferência total de calor é a soma das transferências de calor através do
material:
Se utilizamos a analogia elétrica, obtemos:
Onde:
É importante que saibamos que assim se configura porque as resistências estão
em paralelo e não em série.
Resistência térmica em cilindros e
esferas
Demonstramos, no módulo anterior, que a transferência de calor em um cilindro,
estado estacionário, unidimensional e sem geração de calor, apresenta uma
variação de temperatura dependente do raio. Considerando uma camada
cilíndrica de raio interior raio exterior comprimento e condutividade
Q̇ =
(Tint − T1)
R5
→ T1 = Tint −Q ⋅R5 = 294K − 154W ⋅
1
3, 6m2 ⋅ 10W/m2K
= 289, 7K ou 16, 7∘C
Q̇ = Q̇1 + Q̇2 =
T1 − T2
R1
+
T1 − T2
R2
= (T1 − T2) ⋅ (
1
R1
+
1
R2
)
Q̇ =
T1 − T2
Rtotal 
1
Rtotal 
=
1
R1
+
1
R2
→ Rtotal  =
R1 ⋅R2
R1 +R2
r1, r2, L
térmica constante a transferência de calor através dele pela Lei de Fourier é
expressa como:
Acompanhe na imagem:
Variação de temperatura em um cilindro.
Onde é a área de transferência durante a posição em Observe
que A é dependente do raio e, por consequência, varia na direção da
transferência de calor. Resolvendo a equação diferencial por separação de
variáveis e integrando o raio desde para 
Substituindo e resolvendo a integral:
Onde:
Observemos que a equação de taxa de transferência de calor de condução no
cilindro é similar à da parede plana, somente variam os parâmetros dentro da
resistência térmica.
Por outro lado, se desenvolvemos a mesma analogia para uma camada de
esfera, tomando e realizar a integração, podemos obter:
k,
Q̇cond,cil = −k ⋅A ⋅
dT
dr
A = 2π ⋅ r ⋅ L r.
r1 r2 :
∫
r2
r1
Q̇cond, cil 
A
dr = −∫
T2
T1
k ⋅ dT
A = 2π ⋅ r ⋅ L
Q̇cond,cil = 2π ⋅ L ⋅ k ⋅
T1 − T2
ln (r2/r1)
Q̇cond ,cil =
T1 − T2
Rcil
Rcil =
ln (r2/r1)
2π ⋅ k ⋅ L
A = 4πr2
Q̇cond,esf =
T1 − T2
Resf
Onde a expressão a seguir é a resistência térmica para a camada esférica:
Atenção!
As mesmas considerações de transferência de calor por condução em múltiplas
camadas descrita em paredes planas podem ser aplicadas com camadas
cilíndricas e/ou esféricas. A única diferença está na definição do tipo de
resistência térmica a ser empregado.
Transferência de calor desde
superfícies com aletas
As aletas são configurações alternativas que aumentam a área superficial e são
construídas de materiais altamente condutores, como o alumínio.
Nessa configuração, a transferência de calor é favorecida
quando a superfície é exposta a uma área maior à convecção
e à radiação.
Portanto, dissipa calor rapidamente para o ambiente.
Exemplo
O radiador do carro, onde há folhas metálicas finas, colocadas entre si,
aumentam a área superficial de convecção.
Observe, na imagem a seguir, alguns tipos de aletas:
Tipos de aletas.
Na análise de aletas, considera-se a operação em regime estacionário, sem
geração de calor na aleta, e supondocondutividade térmica constante em todo
o material. Além de considerar um coeficiente de transferência de calor 
constante ao longo da superfície da aleta.
Resf =
r2 − r1
4π ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ k
k
h
Dissipador de calor de CPU utilizando um conjunto de aletas.
A equação de condução de calor para uma aleta com área de seção transversal
 , perímetro e condutividade térmica constante é:
Ou:
Onde:
E é o excesso da temperatura. Na base da aleta, temos que
A equação diferencial de segunda ordem acima é linear, homogênea com
coeficientes constantes, e segundo o que é estudado em cálculo, temos a
seguinte solução:
Onde e são constantes arbitrárias que devem ser encontradas a partir
das condições de contorno e iniciais. É normal que a temperatura da placa, na
qual estão sujeitas as aletas, seja conhecida. Portanto, uma condição de
contorno de temperatura específica é:
Analisando a extremidade da aleta, na ponta, podemos encontrar várias
situações de acordo ao problema, tais como:
Aleta in�nitamente longa 
A condição de contorno na ponta da aleta é:
Ac p k
d2T
dx2
−
h ⋅ p
k ⋅Ac
(T − T∞)
d2θ
dx2
−m2θ = 0
m2 =
h ⋅ p
k ⋅Ac
θ = T − T∞
θb = Tb − T∞.
θ(x) = C1e
mx + C2e
−mx
C1 C2
θ(0) = θb = Tb − T∞
(Tponta  = T∞)
θ(L) = TL − T∞ = 0
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Ponta da aleta isolada (perda de calor igual a zero)
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Temperatura especí�ca 
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Convecção (ou convecção e radiação combinadas)
desde a ponta da aleta
T (x) − T∞
Tb − T∞
= e−mx = e
−x⋅√ h⋅pk⋅Ac
Q̇aleta,inf  = −k ⋅Ac ⋅
dT
dx x=0
= √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)∣dTdx x=L = 0∣T (x) − T∞Tb − T∞ = cosh(m(L− x))coshmLQ̇ponta isolada  = −k ⋅Ac ⋅ dTdx x=0 = √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ tanhmL∣ (Tponta  = TL)θ(L) = θL = TL − T∞T (x) − T∞Tb − T∞ = [(TL − T∞) ⋅ (Tb − T∞)] ⋅ senh(mx) + senh(m(L− x))senh(mL)Q̇temp esp.  = −k ⋅Ac ⋅ dTdx x=0 =√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ cosh(mL) − [(TL − T∞)/ (Tb − T∞)]senh(mL)∣
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
A solução da equação geral para aletas com o caso de convecção na ponta é
muito complexa. Um método aproximado é substituir o comprimento da aleta L
em relação à ponta isolada por um comprimento de aleta corrigido. Veja:
Onde:
Em que é a espessura da aleta retangular e o diâmetro das aletas cilíndricas.
A eficiência de uma aleta é dada por:
Assim, teremos:
E:
−k ⋅Ac ⋅
dT
dx x=L
= h ⋅Ac ⋅ (TL − T∞)∣T (x) − T∞Tb − T∞ = cosh(m(L− x)) + (h/m ⋅ k) senh(m(L− x))cosh(mL) + (h/m ⋅ k) senh(mL)Q̇conv = −k ⋅Ac ⋅ dTdx x=0 =√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ senh(mL) + (h/m ⋅ k) cosh(mL)cosh(mL) + (h/m ⋅ k) senh(mL)∣Lc = L+ AcpLc, retangular  = L+ t2 Lc, cilíndrica  = L+ D4t Dηaleta  = Q̇aleta 
Q̇aleta,máx 
=
taxa real de transferência desde a aleta 
taxa ideal de transferência de calor desde a aleta considerando toda com a temperatura da base
ηaleta infinita  =
Q̇aleta 
Q̇aleta,máx 
=
√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)
h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
=
1
L
⋅√ k ⋅Ac
h ⋅ p
=
1
mL
ηponta isolada  =
Q̇aleta 
Q̇aleta,máx 
=
√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ tanhmL
h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
=
tanhmL
mL
Onde:
Sendo a área total superficial da aleta.
É possível calcular a transferência de calor quando se conhece a eficiência de
um aleta da seguinte forma:
Para acessar a tabela de eficiência para diferentes tipos de configurações de
aletas, clique aqui.
Exemplo 2
Consideremos uma aleta retangular muito longa, fixada a uma superfície plana,
de tal forma que a temperatura na ponta da aleta seja praticamente a do ar
circundante A largura é de espessura de e a condutividade
térmica de A temperatura na base é de e seu coeficiente de
transferência de calor de Qual é a temperatura da aleta a uma
distância de medida desde a base? E sua perda de calor através de toda a
aleta?
Esse problema é um caso de aleta infinitamente longa e a variação de
temperatura é dada pela seguinte equação:
Precisamos, então, encontrar o valor de e segundo a tabela de configurações
para diferentes tipos de aleta e, especificamente para a retangular, temos:
Portanto:
A temperatura varia com x, logo, para um valor de 0,05m, temos:
Com relação à perda de calor, para aletas infinitamente longos, temos:
Q̇aleta,máx  = h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
Aaleta 
Q̇aleta  = ηaleta  ⋅ Q̇aleta,máx  = ηaleta  ⋅ h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
(20∘C). 5cm, 1mm
200W/mK. 40∘C
20W/m2K.
5cm
T (x) − T∞
Tb − T∞
= e−mx
m,
m = √ 2h
k ⋅ t
=√
2 (20W/m2K)
(200W/mK) ⋅ (0, 001m)
= 14, 1
T (x) − 293
313 − 293
= e−14,1x
T (x) = 20e−14,1x + 293
T (0, 05) = 20e−14,1⋅(0,05) + 293 = 302, 9K ou 29, 8∘C
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/docs/tabela_eficiencia_aletas.pdf
Mão na massa
Questão 1
A parede composta de um forno possui três materiais, dos quais dois têm
condutividade térmica e , espessura
 e conhecidas. O terceiro material, , que se
encontra entre os materiais e , possui espessura 
conhecida, mas a sua condutividade térmica é desconhecida. Sob
condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma
temperatura na superfície externa do forno de , uma temperatura
na superfície interna e uma temperatura do ar no interior do
forno . O coeficiente convectivo interno é conhecido, sendo
igual a . Qual é o valor de , sabendo que o material está no
interior do forno e o material C na parte externa do forno?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 2
Um aquecedor elétrico delgado está inserido entre um longo bastão circular
em um tubo concêntrico, com raios interno e externo iguais a e 
respectivamente. O bastão possui uma condutividade térmica de
 e o tubo . A superfície
externa do tubo está sujeita à convecção com um fluido à temperatura
 e um coeficiente de transferência de calor de .
A superfície externa do cilindro está a . Qual é a temperatura da
superfície externa do cilindro ? Considere comprimento unitário do cilindro.
Q̇aleta,inf  = √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)
Q̇aleta,inf  =√(20) ⋅ (2 ⋅ 0, 05m+ 2 ⋅ 0, 001m) ⋅ (200) ⋅ (0, 001m ⋅ 0, 05m) ⋅ (313K − 293K)
Q̇aleta,inf  = 2, 86W

kA = 20W/m.K kC = 50W/m.K
LA = 0, 30m LC = 0, 15m B
A C LB = 0, 15m
kB
Te = 20
∘C
Ti = 600
∘C
T∞ = 800
∘C h
25W/m2.K kB A
A 1, 53W/mK
B 0, 57W/mK
C 2, 77W/mK
D 3, 61W/mK
E 10W/mK
20 40mm,
(A)
kA = 0, 15W/m ⋅K (B) kB = 1, 5W/m ⋅K
T∞ = −15
∘C 50W/m2 ⋅K
B 5∘C
A
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 3
Um vaso esférico, usado como um reator para produzir fármacos, tem uma
parede de aço inox com de espessura e diâmetro
interno de A superfície externa do vaso é exposta ao ar ambiente
, na qual um coeficiente convectivo de pode ser
admitido. Durante uma operação em regime estacionário, uma temperatura
da superfície interna de é mantida pela geração de energia no interior
do reator. Qual é a perda de calor no reator?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 4
Um bastão de latão com de comprimento e
 de diâmetro se estende horizontalmente a partir de uma solda a
A 52∘C
B 23, 5∘C
C 10, 5∘C
D −12∘C
E 15∘C
(k = 17W/m ⋅ k) 10mm
1m.
(T∞ = 25
∘C) 6W/m2K
50∘C
A 154W
B 853W
C 489W
D 241W
E 55W
(k = 133W/m ⋅K) 100mm
5mm
. O bastão encontra-se em um ambiente com e
. Qual é a temperaturas no bastão a da solda numa
condiçãode convecção?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C3%A3o%2
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D4501368bfd6c4e0682995e139697122e
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Uma aleta plana fabricada com a liga de alumínio 
tem uma espessura na base de e um comprimento de . Sua
temperatura na base é de e ela está exposta a um fluido para o
qual e . Para as condições anteriores e uma
aleta de largura unitária, qual é a sua eficiência?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
200∘C T∞ = 20
∘C
h = 30W/m2K 50mm
A 280K
B 200K
C 350K
D 400K
E 450K
2024(k = 185W/m ⋅K)
t = 3mm 15mm
Tb = 100
∘C
T∞ = 20
∘C h = 50W/m2K
A 0,98
B 0,95
C 0,90
D 0,85
E 0,88
Questão 6
Uma casa possui uma parede composta por uma placa de gesso (exposto no
lado interno, ), isolamento à base de fibra de vidro (no
meio, ) e uma camada de madeira (exposto para o
lado externo, ), as espessuras são e ,
respectivamente. Em um dia de frio de inverno, os coeficientes de
transferência de calor por convecção são e 
. A área total da superfície da parede é de . Qual é a perda
total de calor através da parede?
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Teoria na prática
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás, formado por uma
parede cilindrica composta, na qual um elemento combustível de tório
, encontra-se envolto em grafite e hélio
gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento. Considere as
condições nas quais a temperatura do hélio é de e o coeficiente
convectivo na superficíe externa do grafite é de . A
configuração de dentro para fora é tório e , grafite
 e hélio. Se a energia térmica é gerada uniformemente no
elemento combustivel, a uma taxa de , qual é a temperatura na
superficie interna e externa do tório? Considere de comprimento do cilindro.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
k1 = 0, 17W/m ⋅K
k2 = 0, 038W/m ⋅K
k3 = 0, 12W/m ⋅K 10, 100 20mm
he = 60W/m2K hi = 30
W/m2K 350m2
A 9, 4 × 10−3K/W
B 1, 9 × 10−3K/W
C 3, 9 × 10−3K/W
D 4, 9 × 10−3K/W
E 8, 3 × 10−3K/W
_black
(kt = 57W/mK) (kg = 3W/mK)
T∞ = 600K
h = 2000W/m2.K
(r1 = 8mm r2 = 11mm)
(r3 = 14mm)
1 × 108W/m3
1m
Mostrar solução
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por condução:
I. A resistência térmica por condução é totalmente independente da
condutividade térmica.
II. A condução de calor unidimensional em camadas cilíndricas
mediante resistências térmicas é dependente do raio.
III. As resistências térmicas são equivalentes às resistências elétricas e
podemos aplicar as mesmas propriedades de circuitos elétricos.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAo%20considerar%20a%20condu%C3%A7%C3%A3o%20de%20calor%20unidimensional%20em%20camadas%20cil%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%0A%5Cdot%7BQ%7D_%7Bc%20o%20n%20d%2C%20c%20i%20l%7D%3D-
k%20%5Ccdot%20A%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bd%20T%7D%7Bd%20r%7D%0A%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%2
Questão 2
Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor em aletas:
I. Aletas são utilizadas para facilitar a transferência de calor ou
dissipação para o ambiente.
II. Aletas infinitas são aquelas em que a temperatura na ponta é
equivalente à temperatura ambiente.
III. Aleta com condição de temperatura isotérmica na ponta significa
que não transfere calor para o ambiente.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A Somente I.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.
A Somente I.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAletas%20que%20n%C3%A3o%20transferem%20calor%20para%20o%20ambiente%20desde%20a%20sua%20ponta%
3 - Condução em estado não estacionário
Ao �nal deste módulo, você será capaz de resolver problemas uni e bidimensionais em estado
transiente pelo método de diferenças �nitas.
Vamos começar!
Como resolver problemas de condução
em estado não estacionário?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.

Condução de calor unidimensional
em regime não estacionário
Até aqui, estudamos a transferência de calor unidimensional em estado
estacionário e a solução das equações, dada de forma exata. No entanto,
quando o problema se refere à transferência de calor unidimensional em estado
transiente, mais uma variável aparece, neste caso, o tempo. A resolução exata é
um pouco complicada e, portanto, o uso de métodos numéricos, tal como o
método de diferenças finitas, é o que mais se aproxima de um resultado
satisfatório.
Método de diferenças �nitas
Consiste em substituir as derivadas encontradas por diferenciais em variáveis
espaciais e resolvendo as temperaturas em distintos pontos, chamados de nós.
Nos problemas transientes, as temperaturas mudam com o tempo, assim como
com a posição. Desse modo, a solução, em diferenças finitas, requer a
discretização no tempo e no espaço.
Método das diferenças dos nós.
Para resolver esses problemas, é preciso escolher um intervalo apropriado de
tempo, e resolver para as temperaturas nodais desconhecidas várias vezes
para cada até obter uma solução no instante desejado.
Os nós e os elementos de volume nos problemas transientes são considerados.
Por conveniência, toda a transferência de calor é até o elemento. O balanço de
energia sobre um elemento de volume, durante um intervalo de tempo, pode
ser expresso como:
(calor transferido até o elemento de volume desde todas as superfícies durante
 )
 (calor gerado dentro do elemento de volume durante o )
 mudança no conteúdo de energia interna do elemento de volume durante
 )
Ou:
Δt,
Δt
Δt,
Δt
+ Δt
= (
Δt
Δt ⋅ ∑
todos os lados 
Q̇+Δt ⋅ Ėger,elemento  = ΔEelemento 
Onde a transferência de calor normalmente, consta de termos de condução
para os nós internos, mas pode compreender convecção, fluxo de calor e
radiação para os nós dos contornos.
Dado que o onde é
a densidade e é o calor específico do elemento, ao dividir a relação anterior
entre temos:
Ou para qualquer nó no meio e seu elemento de volume:
Onde são as temperaturas do nó nos instantes e
 respectivamente, e representa a mudança de
temperatura do nó durante o intervalo de tempo entre os intervalos de tempo
 e 
Note que o último termo é simplesmente a aproximação em
diferenças finitas da derivada parcial que aparece nas
equações diferenciais dos problemas em estado transiente.
As temperaturas nodais nos problemas transientes por comum variam durante
cada intervalo de tempo. Assim, dois métodos podem ser utilizados:
Os dois métodos têm suas características, sendo o método explícito o mais fácil
de ser posto em prática. No entanto, coloca uma restrição sobre o intervalo
admissível de tempo para evitar instabilidades na solução. Por outro lado, o
método implícito requer que as temperaturas nodais se resolvam
simultaneamente, sem impor algum limite sobre a magnitude do intervalo de
tempo.
Consideremos a condução de calor unidimensional em regime transiente, em
uma parede plana de espessura com geração de calor que pode variar
com o tempo e a posição, condutividadetérmica constante com um tamanho
de malha tal que e os nós na direção tal como
se apresenta na imagem a seguir:
Q̇,
ΔEelemento  = m ⋅ CP ⋅ ΔT = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅ ΔT , ρ
Cp
Δt,
∑
todos os lados 
Q̇+ Ėger,elemento  =
ΔEelemento 
Δt
= ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅
ΔT
Δt
m
∑
todos os lados 
Q̇+ Ėger, elemento  = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅
T i+1m − T
i
m
Δt
T i+1m eT
i
m m, ti = iΔt
ti+1 = (i+ 1)Δt T
i+1
m − T
i
m
Δt
i i+ 1.
∂T/∂t
Método explícito 
Método implícito 
L, ė(x, t)
k,
Δx = L/M 0, 1, 2… . ,M x,
Parede sofrendo condução de calor em regime transiente.
Sabendo que o elemento de volume de um nodo interior geral compreende a
condução de calor, desde dois de seus lados e o volume do elemento é
 a formulação em diferenças finitas no regime transiente
para um nó interior pode ser expressa assim:
Ao cancelar a área superficial e multiplicar por obtemos:
Onde é a difusividade térmica do material da parede. Para a
continuação, definimos um número discreto de Fourier adimensional como:
Então, a equação se reduz para:
Neste caso específico, para a parede plana, não foi definida a resolução pelo
método explícito ou implícito, o qual depende do intervalo de tempo no primeiro
membro da equação. Portanto:
Critério de estabilidade para o método explícito
(limitação sobre )
m
Velemento  = A ⋅ Δx,
k ⋅A ⋅
Tm−1 − Tm
Δx
+ k ⋅A ⋅
Tm+1 − Tm
Δx
+ ėm ⋅A ⋅ Δx = ρ ⋅A ⋅ Δx ⋅ CP ⋅
T i+1m − T
i
m
Δt
A Δx/k,
Tm−1 − 2Tm + Tm+1 +
ėm ⋅ Δx
2
k
=
Δx2
α ⋅ Δt
⋅ (T i+1m − T
i
m)
α = kρ⋅Cp
τ =
α ⋅ Δt
Δx2
Tm−1 − 2Tm + Tm+1 +
ėm ⋅ Δx
2
k
=
T i+1m − T
i
m
τ
Método explícito 
Método implícito 
Δt
Com a finalidade de evitar as oscilações divergentes das temperaturas nodais, o
valor de deve-se manter abaixo de certo limite superior determinado pelo
critério de estabilidade. Vejamos os critérios a seguir:
A superfície superior de uma placa de latão se está resfriando mediante um
fluxo, a pressão de ar a uma temperatura de com um coeficiente de
transferência de calor por convecção de A placa de latão de
 de espessura 
 tinha uma
temperatura inicial uniforme de ; além disso, a superfície inferior da placa
está isolada. Mediante um espaçamento nodal uniforme de e um
intervalo de tempo de determine as temperaturas nodais da placa de
latão após 10 segundos de resfriamento utilizando o método implícito.
Superfície superior de uma placa de latão.
Precisamos realizar o balanço de energia para cada nó. Não temos geração, mas
temos convecção no ponto 0.
Ponto 0: no termo transiente, é a metade do volume do elemento exposto à
convecção.
Δt
 Verificar que todos os coeficientes primários de todas as
 nas expressões são maiores ou iguais a zero em
todos os nós 
T im T
i+1
m
m.
 No caso de condução de calor unidimensional em regime
transiente, em uma parede plana com temperaturas
superficiais internas, usar:
τ =
α ⋅ Δt
Δx2
≤
1
2
 O método implícito é incondicionalmente estável, portanto,
qualquer intervalo de tempo pode ser aplicado. Quanto
menor o intervalo, maior a precisão da solução.
15∘C
220W/m2∘C.
10cm (ρ = 8530kg/m3;Cp =
380J/kg∘C; k = 110W/m∘C;α = 33, 9 × 10−6m2/s)
650∘C
Δx = 2, 5cm
Δt = 10s,
Multiplicando pelos dois lados da equação por temos:
Substituindo no último termo e obtemos:
Agrupando por cada temperatura:
Ponto 1: é um ponto interno. Podemos utilizar diretamente a equação implícita, o
mesmo acontece para os pontos 2 e 3.
Ponto 2:
Ponto 3:
Ponto 4: No caso de ter uma parede isolada, temos uma condição de taxa de
transferência nula da parte de embaixo do ponto, que deve ser considerada no
balanço. Além disso, o termo transiente é a metade do volume do elemento.
Realizando o balanço, encontramos:
h ⋅ (T∞ − T i+10 )+ k ⋅
(T i+11 − T
i+1
0 )
Δx
= ρ ⋅
Δx
2
⋅ Cp ⋅
(T i+10 − T
i
0)
Δt
Δx/k,
h ⋅
Δx
k
(T∞ − T i+10 )+ T
i+1
1 − T
i+1
0 = ρ ⋅
Δx2
2k
⋅ Cp ⋅
(T i+10 − T
i
0)
Δt
α = k/ρ ⋅ Cp τ =
α⋅Δt
Δx2
,
(h ⋅ Δx
k
) ⋅ T∞ − (h ⋅
Δx
k
) ⋅ T i+10 + T
i+1
1 − T
i+1
0 =
1
2τ
⋅ (T i+10 − T
i
0)
2τ ⋅ T i+11 − [1 + 2τ + 2τ ⋅ (h ⋅
Δx
k
)] ⋅ T i+10 + (h ⋅
Δx
k
) ⋅ T∞ + T i0 = 0
τ ⋅ T i+1m−1 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
m + τ ⋅ T
i+1
m+1 + τ ⋅
ėi+1m ⋅ Δx
2
k
+ T im = 0
τ ⋅ T i+10 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
1 + τ ⋅ T
i+1
2 + T
i
1 = 0
τ ⋅ T i+11 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
2 + τ ⋅ T
i+1
3 + T
i
2 = 0
τ ⋅ T i+12 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
3 + τ ⋅ T
i+1
4 + T
i
3 = 0
k ⋅
(T i+13 − T
i+1
4 )
Δx
+ 0 = ρ ⋅
Δx
2
⋅ Cp ⋅
(T i+14 − T
i
4)
Δt
T i+13 − T
i+1
4 = ρ ⋅
Δx2
2k
⋅ Cp ⋅
(T i+14 − T
i
4)
Δt
T i+13 − T
i+1
4 =
1
2τ
⋅ (T i+14 − T
i
4)
2τ ⋅ T i+13 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
4 + T
i
4 = 0
A pergunta é saber o valor da temperatura quando se passaram 10s, o que
significa que, na condição inicial, ou seja, i=0 temos a temperatura uniforme
 e, após a primeira iteração é o ponto de Portanto,
vamos substituir nas cinco equações implícitas os valores constantes.
Obs.: nesses problemas de diferenças finitas, não tem problema trabalhar as
temperaturas em devido à simplificação da conversão (273K) nos 
Veja que, segundo o critério, o método explícito não poderia ser usado neste
caso ). Então, substituindo os termos constantes nas equações as
equações implícitas, do ponto 0 até o 4:
Temos um sistema de 5 equações lineares com 5 incógnitas. Assim, resolvendo
em qualquer simulador on-line, encontramos que as temperaturas após 10
segundos são:
Condução bidimensional de calor
em regime transitório
Consideremos uma região retangular onde a condução de calor é significativa
nas direções e e considere uma profundidade unitária de na
direção Pode ser gerado calor no meio com uma velocidade de a
qual pode variar com o tempo e a posição, supondo condutividade térmica
constante 
Posteriormente, dividimos o plano da região em uma malha retangular de
pontos nodais espaçados com uma separação e nas direções e 
respectivamente, e consideremos um nodo interior geral cujas
coordenadas são e como mostra a imagem:
650∘C (Δt = 10s) i+ 1.
∘C ΔT .
τ =
α ⋅ Δt
Δx2
=
33, 9 × 10−6 ⋅ 10
0, 0252
= 0, 5424
(τ ≥ 0, 5
1, 0848 ⋅ T i+11 − 2, 139 ⋅ T
i+1
0 + 650, 81 = 0
0, 5424 ⋅ T i+10 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
1 + 0, 5424 ⋅ T
i+1
2 + 650 = 0
0, 5424 ⋅ T i+11 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
2 + 0, 5424 ⋅ T
i+1
3 + 650 = 0
0, 5424 ⋅ T i+12 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
3 + 0, 5424 ⋅ T
i+1
4 + 650 = 0
1, 0848 ⋅ T i+13 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
4 + 650 = 0
T i+10 = 631, 23
∘C
T i+11 = 644, 73
∘C
T i+12 = 648, 51
∘C
T i+13 = 649, 55
∘C
T i+14 = 649, 76
∘C
x y, Δz = 1
z. ė(x, y, z),
k.
x− y
Δx Δy x y,
(m,n)
x = mΔx y = nΔy,
Malha retangular de pontos nodais.
Dado que o elemento de volume centrado em torno do nodo interior geral 
compreende condução de calor desde os quatro lados (direito, esquerdo,
superior e inferior) e o elemento de volume é
 a formulação em diferenças finitas, em
regime transitório para um nodo deste tipo, pode ser expressa da mesma forma
que o balanço de energia descrito no modo unidimensional:
Quando se toma uma malha quadrada e se divide cada termo
entre obtemos:
Da mesma forma que o caso unidimensional, podemos obter as expressões para
os métodos implícito e explícito:
Implícito
Explícito
Existe também aqui o critério de estabilidade para o método explícito:
Consideremos uma barra sólida, ) de
seção transversal quadrada que está inicialmente a uma temperatura uniforme
de A seção transversal da barra tem um tamanho e se
gera calor nela de forma uniforme, com uma velocidade de 
(m,n)
Velemento  = Δx ⋅ Δy ⋅ 1 = Δx ⋅ Δy,
k ⋅ Δy ⋅
Tm−1,n−Tm,n
Δx
+ k ⋅ Δx ⋅
Tm,n+1−Tm,n
Δy
+ k ⋅ Δy ⋅
Tm+1,n−Tm,n
Δx
+ k ⋅ Δx ⋅
Tm,n−1−Tm,n
Δy
+ ėm,n ⋅ Δx ⋅ Δy =
= ρ ⋅ Δx ⋅ Δy ⋅ CP ⋅
T i+1m − T
i
m
Δt
(Δx = Δy = l)
k,
Tesq + Tsup  + Tdir  + Tinf  − 4Tnó +
ėnó ⋅ l
2
k
=
T i+1no − T
i
nó
τ
T iesq + T
i
sup + T
i
dir + T
i
inf − 4T
i
nó +
ėinó ⋅ l
2
k
=
T i+1no − T
i
nó
τ
T i+1no = τ ⋅ (T
i
esq + T
i
sup + T
i
dir + T
i
inf )+ (1 − 4τ) ⋅ T inó + τ ⋅
ėinó ⋅ l
2
k
τ =
α⋅ Δt
l2
≤
1
4
k = 28W/m∘C;α = 12 × 10−6m2/s
32∘C. 20cm× 20cm
ė = 8 × 105W/m3.
Os quatro lados da barra estão sujeitos à convecção com ar com uma
temperatura ambiente de coeficiente de transferência de calor 
Utilizando o método explícito das diferenças finitas com um tamanho de malha
de determine a temperatura do ponto central após 10
minutos.
Malha com pontos nodais.
Como os quatro lados estão expostos à convecção com ar e a barra é simétrica,
temos que as temperaturas assim como
 Ou seja, somente podemos realizar os cálculos para os
pontos 1, 2 e 5 . Assumindo que os balanços em cada ponto
são:
Ponto 1: a convecção é mais predominante neste ponto, lado esquerdo e
superior tem convecção para metade do elemento de volume. Lado direito e
inferior tem condução também para metade do elemento de volume. No termo
transiente e de geração, o ponto 1 está no centro de de elemento de volume.
Portanto:
Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo e
 obtemos:
Para ficar da forma explícita, o termo deve ser isolado, e T2=T4. Portanto:
Um dos critérios de utilizar o método explícito é que os coeficientes primários,
ou seja, aqueles que acompanham as variáveis de temperatura devem ser
positivos. Os pontos que estão mais expostos a convecções são utilizados para
realizar essa análise. Da equação acima, o único termo que fica nesse critério é
 Será que ele é maior ou igual a zero?
30∘C, 45W/m2.
Δx =Δy = 10cm,
T1 = T3 = T7 = T9,
T2 = T4 = T8 = T6.
Δx = Δy = l,
1/4
h ⋅
l
2
⋅ (T∞ − T i1)+ h ⋅
l
2
⋅ (T∞ − T i1)+ k ⋅
l
2
⋅
T i2 − T
i
1
l
+ k ⋅
l
2
⋅
T i4 − T
i
1
l
+ ė ⋅
l2
4
=
= ρ ⋅
l2
4
⋅ CP ⋅
T i+11 − T
i
1
Δt
2/k α = k/ρ ⋅ Cp
τ = α⋅Δt
l2
,
2h ⋅
l
k
⋅ (T∞ − T i1)+ T
i
2 − T
i
1 + T
i
4 − T
i
1 + ė ⋅
l2
2k
=
1
2τ
⋅ (T i+11 − T
i
1)
T i+11
T i+11 = [1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅
l
k
] ⋅ T i1 + 4τ ⋅ (T i2)+ (4τ ⋅ h ⋅
l
k
⋅ T∞ + ė ⋅ τ ⋅
l2
k
)
[1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅ lk ].
De acordo as condições do problema:
Para utilizar o método explícito, o 
Ponto 2: temos aqui a metade do elemento de volume, tanto para a geração
como no termo transiente.
Lembrando que: 
Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo e
 obtemos:
Isolando o termo temos:
Ponto 5: por ser um ponto interno, podemos aplicar diretamente a equação
explícita:
1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅
l
k
≥ 0
4τ + 4τ ⋅ h ⋅
l
k
≤ 1
4τ ⋅ (1 + h ⋅ l
k
) ≤ 1
τ ≤
1
4 (1 + h ⋅ l
k
)
≤
1
4(1 + 45 ⋅ 0,128 )
τ ≤ 0, 2153
α ⋅ Δt
l2
≤ 0, 2153
Δt ≤
0, 2153 ⋅ (0, 12)
12x10−6
≤ 179, 48s
Δt ≤ 179, 48s.
h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i2)+ k ⋅
l
2
⋅
T i1 − T
i
2
l
+ k ⋅
l
2
⋅
T i5 − T
i
2
l
+ k ⋅
l
2
⋅
T i3 − T
i
2
l
+ ė ⋅
l2
2
=
= ρ ⋅
l2
2
⋅ CP ⋅
T i+12 − T
i
2
Δt
T3 = T1.
h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i2)+ k ⋅
T i1 − T
i
2
2
+ k ⋅
T i5 − T
i
2
2
⋅ +k ⋅
T i1 − T
i
2
2
+ ė ⋅
l2
2
= ρ ⋅
l2
2
⋅ CP ⋅
T i+12 − T
i
2
Δt
h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i2)+ k ⋅ (T
i
1 − T
i
2)+ k ⋅
T i5 − T
i
2
2
+ ė ⋅
l2
2
= ρ ⋅
l2
2
⋅ CP ⋅
T i+12 − T
i
2
Δt
2/k α = k/ρ ⋅ Cp
τ = α⋅Δt
l2
,
2h ⋅ l
k
⋅ (T∞ − T i2)+ 2 ⋅ (T
i
1 − T
i
2)+ T
i
5 − T
i
2 + ė ⋅
l2
k
=
T i+12 − T
i
2
2τ
T i+12 ,
T i+12 = (
4τh ⋅ l ⋅ T∞
k
+ 2ė ⋅ τ ⋅
l2
k
)+ 4τ ⋅ T i1 + 2τ ⋅ T i5 + (1 − 3τ −
4τh ⋅ l
k
)T i2
Lembrando que as temperaturas Portanto:
Precisamos escolher um e, por conveniência, escolhemos 120s.
Para esse valor, temos o seguinte:
Substituindo os valores constantes nas três equações explícitas, obtemos:
No tempo i=0, temos que a temperatura era uniforme, ou seja, Em uma
folha de cálculo no Excel, podemos fazer as iterações. O valor da temperatura 
será o valor anterior, lembrando que, na primeira linha, colocaremos o valor de
 Assim, a temperatura no centro da placa após um tempo de
 será de Observe:
i t T1 T2 T5
0 0 32 32 32
1 120 73,0 127,9 73,1
2 240 141,8 209,0 145,8
3 360 211,3 308,1 223,3
4 480 291,4 417,5 313,3
5 600 381,0 541,6 414,5
6 720 482,1 681,4 528,8
7 840 596,2 839,0 657,8
8 960 724,7 1016,8 803,3
9 1080 869,8 1217,2 967,4
10 1200 1033,3 1443,3 1152,4
Tabela: Folha de cálculo relacionando: corrente, tempo e temperaturas.
T i+1no = τ ⋅ (T
i
esq + T
i
sup + T
i
dir + T
i
inf )+ (1 − 4τ) ⋅ T inó + τ ⋅
ėinó ⋅ l2
k
T i+15 = τ ⋅ (T
i
4 + T
i
2 + T
i
6 + T
i
8)+ (1 − 4τ) ⋅ T
i
5 + τ ⋅
ė ⋅ l2
k
T2 = T4 = T8 = T6.
T i+15 = τ ⋅ (4T
i
2)+ (1 − 4τ) ⋅ T
i
5 + τ ⋅
ė ⋅ l2
k
Δt ≤ 179, 48s
τ =
α ⋅ Δt
l2
=
12 × 10−6 ⋅ (120)
0, 12
= 0, 144
T i+11 = 0, 3314 ⋅ T
i
1 + 0, 576 ⋅ (T
i
2)+ 43, 92
T i+12 = 85, 06 + 0, 576 ⋅ T
i
1 + 0, 288 ⋅ T
i
5 + 0, 4754 ⋅ T
i
2
T i+15 = 0, 576 ⋅ (T
i
2)+ 0, 424 ⋅ T
i
5 + 41, 14
32∘C.
T in
32∘C.
10min(600s) 414, 5∘C.
Mão na massa
Questão 1
Uma parede com de espessura e difusividade térmica de
, encontra-se, inicialmente, a uma temperatura uniforme
igual a . Subitamente, uma das suas faces tem a sua temperatura
reduzida a , enquanto a outra é perfeitamente isolada. Qual é a
temperatura na parede isolada após 20 minutos? Utilize a técnica de
diferenças finitas com incremento espacial e no tempo de e ,
respectivamente.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 2
As questões 2 e 3 são baseadas na seguinte informação:
Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de
 e condutividade térmica de , está
inicialmente a uma temperatura uniforme de . De repente, a sua
superfície é exposta a uma substância refrigerante a , que mantém um
coeficiente de transferência de calor por convecção igual a .
Usando um incremento no espaço de , determine o seguinte:
Qual seria o intervalo de tempo adequado para utilizar o método explícito?

0, 12m
1, 5 × 10−6m2/s
85∘C
20∘C
30mm 300s
A 76, 9∘C
B 64, 7∘C
C 52, 5∘C
D 42, 3∘C
E 85∘C
5, 6 × 10−6m2/s 20W/m ⋅K
325∘C
15∘C
100W/m2K
15mm
A ≥ 0s
B ≤ 18, 7s
C ≤ 20, 3s
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C3%A3o%2
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Dd9bfcc7efe364a239e0793ef506e7a5c%
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Qual será a temperatura a uma profundidade de passados 3 minutos
do início do processo? Assuma um .
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 4
Uma parede plana de aço inox
 e com uma espessura de
 experimenta uma geração uniforme de calor de . Os lados
direito e esquerdo da parede são mantidos à temperatura constantes de
 e respectivamente. Após 20 minutos, qual é o valor da
temperatura no centro da placa?
D ≤ 0, 5s
E ≤ 65s
45mm
Δt = 18s
A 276, 18∘C
B 325∘C
C 314, 07∘C
D 260, 70∘C
E 300∘C
(k = 15, 1W/m∘C;α = 3, 91 × 10−6m2/s)
1m 10000W/m3
20∘C 100∘C
A 120∘C
B 20∘C
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Questão 5
Uma barra longa de aço tem sua seção transversal como se apresenta a
seguir. A barra é extraída de um forno de tratamento térmico a e se
coloca no fundo de um tanque cheio de água a . Para intensificar a
transferência de calor, é aplicada agitação constante na água, de tal maneira
que a temperatura fica quase constante na superfície de todas as faces da
barra, , com exceção da face inferior à qual é adiabática. As
propriedades da barra são
.
Qual seria o intervalo de tempo ideal para aplicar o método explícito de
diferenças finitas?
Parabéns! A alternativaA está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
C 66∘C
D 81∘C
E 92∘C
700∘C
10∘C
Ts = 10∘C
k = 40W/m∘C;Cp = 430J/kg ⋅ ∘C; ρ = 8000kg/m3
A Δt ≤ 13, 4s
B Δt ≤ 0, 25s
C Δt ≤ 0, 5s
D Δt ≤ 23, 5s
E Δt ≤ 0s
Questão 6
Assumindo um intervalo de tempo de 10s, qual é o valor da temperatura no
ponto 5 após 20s?
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%20Prepara
Teoria na prática
Consideremos a transferência de calor bidimensional em uma barra sólida em
formato de que está inicialmente a uma temperatura uniforme de e
cuja seção transversal está representada na imagem a seguir. As propriedades
da barra são . O lado direito da barra
está isolado e a superfície inferior se mantém a uma temperatura uniforme de
 em todo momento. No instante , a superfície superior completa se
sujeita a uma convecção com ar a uma temperatura de e um coeficiente
de transferência de calor de . Além disso, a superfície esquerda se
mantém a um fluxo de calor uniforme de . A rede de pontos é
igualmente espaçada com . Utilizando o método explícito,
determine a temperatura do nó 2 após 2 minutos.
A 700∘C
B 315∘C
C 10∘C
D 234∘C
E 169∘C
_black
L 140∘C
k = 15W/m∘C;α = 3, 2 × 10−6m2/s
140∘C t = 0
25∘C
80W/m2∘C
q̇ = 8000W/m2
Δx = Δy = 1, 5cm
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Análise as seguintes afirmações sobre condução de calor transiente:
I. Na transferência de calor por condução em regime transiente,
sempre existirá geração de calor.
II. O critério de estabilidade do método explícito por diferenças finitas
é função do número de Fourier .
III. Os coeficientes primários que acompanham as variáveis de
temperatura no método explícito precisam ser maiores ou iguais a
zero.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20o%20problema%20n%C3%A3o%20apresentar%20uma%20varia%C3%A7%C3%A3o%20de%20gera%C3%A7%C3
Questão 2
Análise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por condução
bidimensional transiente:
I. Se o problema não tiver variação da temperatura com o tempo no
balanço de energia em um ponto da malha, a equação é assertiva
para a análise em estado estacionário.
II. Pontos que são predominantes de convecção são estratégicos para
analisar o critério de estabilidade do método explícito de diferenças
finitas.
Mostrar solução
τ
A Somente II.
B Somente III.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.
III. A malha sempre deve ser quadrada para ser utilizado o método
bidimensional por diferenças finitas.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20aus%C3%AAncia%20da%20varia%C3%A7%C3%A3o%20da%20temperatura%20com%20o%20tempo%20no%20b
Considerações �nais
Como vimos, a transmissão de calor é uma área relevante em múltiplos
problemas de engenharia e na vida cotidiana. Observamos o fato de que os
mecanismos de transferência de calor por condução podem acontecer tanto em
estado estacionário como de forma transiente. Independentemente da forma de
propagação, é possível calcular ou aproximar a taxa de transferência de calor
mediante a equação geral de condução, resistências térmicas ou balanço de
energia para elementos de volume.
Podcast
Para encerrar, ouça um resumo dos conceitos básicos abordados neste estudo.
A Somente I.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.

Explore +
Para continuar com as discussões tratadas neste conteúdo, sugerimos a leitura
dos seguintes artigos:
Dissipadores de calor microaletados para resfriamento de processadores, de
Isabelle Guimarães da Silva, João Batista Campos-Silva e Elaine M Cardoso,
publicado em 2020.
Um estudo das variações da temperatura do solo via equação do calor, de
Gustavo Sutana Lima e Judith de Paula Araújo, disponível no portal SciELO.
Referências
BERGMAN, T. L. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 7. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2017.
CREMASCO, M. A. Fundamentos de Transferência de Massa. 3. ed. São Paulo:
Blucher, 2015.
ÇENGEL, Y. Transferência de Calor e massa: fundamentos e aplicações. 4. ed.
New York: McGraw Hill, 2011.
DATLA, G.; SAHU, P. K.; SAINI, J. Review on numerical analysis of rectangular fin
profile using different fin materials. International Research Journal of
Engineering and Technology (IRJET), v. 6. n. 10. out. 2019.
INCROPERA, F. P. Fundamentos de transferência de calor e massa. 6. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2012.
KREITH, F. MANGLIK, R. M.; BOHN, M. S. Princípios de transferência de calor.
São Paulo: Cengage Learning, 2014.
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