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Funções de Várias Variáveis e suas Derivadas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções de várias variáveis e suas derivadas.
PROPÓSITO
Identificar a função de várias variáveis a valores reais, as derivadas parciais e o gradiente da
função, além do conceito da regra da cadeia, derivadas direcionais e derivadas parciais de
ordem superior.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar as funções de várias variáveis
MÓDULO 2
Aplicar a derivação parcial e o gradiente de uma função escalar
MÓDULO 3
Aplicar a regra da cadeia para funções escalares
MÓDULO 4
Aplicar a derivada direcional e a derivada parcial de ordem superior
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 EMPREGAR AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
Existem vários tipos de funções que são definidas dependendo do conjunto escolhido para seu
domínio e sua imagem.
Diversos fenômenos naturais, bem como diversas aplicações do nosso cotidiano fornecem,
como resultado (saída), um valor real, mas que depende de várias variáveis em suas entradas
ao invés de apenas uma.
 EXEMPLO
A temperatura em cada ponto de uma sala depende da posição desse ponto dentro dessa sala.
Assim, a função que representa o valor dessa temperatura dependerá de três variáveis que
representam a posição do ponto no espaço, isto é (x,y,z).
Dito isso, necessitamos definir uma função matemática que possua uma entrada vetorial
(várias variáveis) e forneça como resultado um valor real.
O DOMÍNIO É UM SUBCONJUNTO DE RN E A IMAGEM ESTÁ
NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. ESTAS FUNÇÕES SÃO
DENOMINADAS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS A
VALORES REAIS, OU SIMPLESMENTE FUNÇÕES ESCALARES.
Este módulo definirá as funções escalares e suas representações gráficas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES ESCALARES
Vamos relembra a definição do conjunto Rn, com n inteiro e n > 1:
RN = X1 , X2 , … , XN COM X1 , X2¸ … , XN REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O elemento do conjunto é uma n-upla que representa um vetor com n componentes, sendo que
cada componente xj, 1 ≤ j ≤ n é um número real.
{ ( ) }
Seja uma função f cujo domínio está em subconjunto de conjunto Rn e sua imagem está em um
subconjunto do Rm, com n e m inteiros maiores ou iguais a 1. Dependendo dos valores de m e
n, teremos definidas funções de tipos diferentes.
Vejamos as possibilidades:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
ETAPA 04
Quando n = 1 e m = 1, se tem uma função de uma variável real a valores reais, ou
simplesmente funções reais (f: R → R). Em outras palavras, a entrada e saída da função é um
número real. Este tipo de função é estudado no cálculo integral e diferencial com uma variável.
Por exemplo:
f(x) = 3x + 5, x ∈ R, que é uma função f:R → R
g(y) = 4 cos y + 8, y ∈ R, que é uma função g:R → R
Quando n = 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável real a valores vetoriais, ou
simplesmente funções vetoriais (f: R → Rm). Isto é, a entrada é um número real e a imagem é
um vetor.
Por exemplo:
f(t) =〈t2 + 1, cos t ,5t〉 , t ∈ R, que é uma função f: R → R3
h(u) =〈3u, 4- eu〉, u ∈ R, que é uma função h: R → R2
Quando n > 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável vetorial a valores vetoriais, ou
simplesmente campos vetoriais (f: Rn → Rm). Ou seja, a entrada e a saída são vetores.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 〈x + y, tg x + 2〉, que é uma função f: R3 → R2
g(u,v) = 〈3u2+ 5v, sen v + 3u, u - 2v〉, que é uma função f: R2 → R3
Por fim, quando n > 1 e m = 1, se tem a função de uma variável vetorial, ou de várias variáveis
a valores reais ou simplesmente função escalar (f: Rn → R). Isto é, a entrada é um vetor, e a
saída, um número real.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 9xy , que é uma função f: R3 → R
h(u,v) = u2 + 3uv, que é uma função f: R2 → R
As funções escalares, que serão o objeto deste tema, contêm diversas aplicações práticas,
pois, de forma geral, os fenômenos dependem de várias variáveis. Por exemplo, o volume de
um recipiente depende do raio e da altura, ou a temperatura de uma região na terra depende
da latitude, longitude e altura.
Vamos começar por definir formalmente a função escalar.
DEFINIÇÃO
UMA FUNÇÃO ESCALAR SERÁ UMA FUNÇÃO F: S ⊂ RN → R,
NA QUAL S É UM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO RN COM N
INTEIRO E N > 1.
Assim, a cada elemento x1 , x2 , … , xn ∈S será associado um único número real denotado
por f x1 , x2 , … , xn .
Portanto, a imagem da função será dada por:
IM F = F X1 , X2 , … , XN ∈R / X1 , X2 , … , XN ∈S⊂RN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As variáveis x1 , x2 , … , xn são denominadas de variáveis independentes, enquanto que a
variável y é denominada de variável dependente.
( )
( )
{ ( ) ( ) }
 ATENÇÃO
Quando o domínio não é especificado, se considera este como o subconjunto do Rn que
permite, através da equação que define a função, se obter um número real.
EXEMPLO 1:
Determine o domínio da função escalar 𝑓𝑥,𝑦 = √𝑥 + 𝑦 - 2𝑥 - 𝑦 .
SOLUÇÃO
Ao se analisar o numerador da função, verifica-se a existência de uma raiz quadrada.
Sabemos que só existe raiz quadrada de um número maior ou igual a zero:
𝑥 + 𝑦 - 2 ≥ 0 → 𝑥 + 𝑦 ≥ 2
Outro ponto importante é que o numerador não pode ser zero:
𝑥 - 𝑦 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 𝑦
Portanto, o domínio de f(x,y) será:
Dom f = 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅2 / 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 𝑒 𝑥 ≠ 𝑦
.
EXEMPLO 2:
Determine, caso seja possível, os valores de 𝑓𝑥,𝑦 = √𝑥 + 𝑦 - 2𝑥 - 𝑦 para 𝑥,𝑦 = 4,2 e 𝑥,𝑦 = 3,3.
SOLUÇÃO
Como calculado no exemplo anterior, o domínio da função será o conjunto S tal que
S = 𝑥,𝑦 / 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 𝑒 𝑥 ≠ 𝑦
O par ordenado (4,2) ∈ S, assim
𝑓𝑥,𝑦 = √𝑥 + 𝑦 - 2𝑥 - 𝑦 → 𝑓4,2 = √4 + 2 - 24 - 2 =
2
2 = 1
O par ordenado (3,3) não pertence a S, pois, apesar de x + y ≥ 2, o valor de x é igual a y, não
pertencendo, portanto, ao domínio da função, não sendo possível obter f(3,3).
EXEMPLO 3:
Determine o domínio da função escalar
𝑔𝑥,𝑦, 𝑧 = √3𝑥 + 53 ln (2𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑦2 + 1
e calcule, caso seja possível, os valores de g(1, 0, 2) e g(1, 0, –3).
SOLUÇÃO
Uma raiz cúbica não tem restrição de domínio. Da mesma forma, o denominador y2 + 1 nunca
fornecerá um valor de zero.
Assim, a única restrição de domínio da função será a referente à função log neperiano, que só
pode ser aplicado a um número maior do que zero. Portanto, devemos ter 2x + y + z > 0
Então: Dom f = 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 > 0
Quanto aos valores pedidos para a função:
A trinca ordenada (1, 0, 2) ∈ dom g, assim
𝑔1, 0,2 = √3.1 + 53 ln(2.1 + 0 + 2)
02 + 1
= √8 3 ln 4 = 2ln (4)
A trinca ordenada (1, 0, -3) não pertence ao dom g, pois, 2x + y + z = –1 < 0, não sendo
possível obter g(1, 0, –3).
GRÁFICO, CURVAS DE NÍVEL E
SUPERFÍCIE DE NÍVEL
Vimos a representação da função através de sua equação matemática que relaciona as suas
variáveis independentes e o valor real a ser obtido no resultado da função. Neste tópico,
analisaremos a representação gráfica da função escalar.
Só será possível uma representação gráfica que permite uma visualização geométrica para
funções escalares cujo domínio está no R2 ou no R3.
Quando o domínio é um subconjunto do R2, isto é, S ⊂ R2, o elemento de entrada da função
será um vetor ou par ordenado (x, y). A função, então, será visualizada através de sua
representação gráfica no espaço através dos eixos cartesianos, considerando que z = f(x, y).
 Assim, o gráfico da função z = f(x, y) será o conjunto de todos os pontos do espaço (x, y, z) ∈
R3, tal que z = f(x, y) e (x, y) pertence ao domínio de f(x, y).
Portanto, o gráfico de f(x, y) será definido por
𝐺𝑓 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
3 / 𝑧 = 𝑓𝑥, 𝑦 com 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O gráfico representará uma superfície que fica acima do conjunto que representa o domínio S
da função f(x, y).
Fonte: Autor
 Gráfico de uma função escalar no R2.
EXEMPLO 4:
Esboce o gráfico associado à funçãof(x, y) = 8 - 4x - 2y.
SOLUÇÃO
O gráfico de f(x,y) será definido como
𝐺𝑓 = 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
3 / 𝑧 = 8 - 4𝑥 - 2𝑦
Repare que a equação z = 8 - 4x - 2y é uma função linear, assim representará, no espaço, um
plano.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos.
Para x = y = 0 → z = 8 – 0 – 0 = 8
Para z = 0 → 8 – 4x – 2y = 0 → 4x + 2y = 8 → 2x + y = 4, assim quando x = 0 → y = 4 e
para y = 0 → x =2.
Assim a representação será
Fonte: Autor
A figura apresenta apenas uma parte do plano, pois ele vai tanto para cima quanto para baixo,
até o infinito.
Outra forma de visualizar as funções com domínio em um subconjunto do R2 são as curvas de
nível ou curvas de contorno, que é uma forma de representação planar para a função.
As curvas de nível são os contornos traçados no plano xy que representam todos os pontos em
que o valor de z = f(x, y) é constante, isto é, z = f(x, y) = k, na qual k é uma constante real.
Assim, definimos uma curva de nível para cada nível k.
 EXEMPLO
Um exemplo prático das curvas de níveis são os mapas topográficos ou mapas que fornecem
temperaturas de determinada região.
EXEMPLO 5:
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y) = 8 - 2x - 4y.
SOLUÇÃO
Se fosse para traçar o gráfico de f(x, y), seria representado uma figura espacial, que neste caso
seria um plano cuja equação se daria por z = 8 - 2x - 4y.
Como se deseja esboçar as curvas de nível, é preciso desenhar no plano xy os pontos que
atendem a equação 8 - 2x - 4y = k, com k real.
Portanto, 2x + 4y + (k - 8) = 0, que é a equação de uma reta no plano xy.
Por exemplo:
Para k = 0 → 2x + 4y - 8 = 0 → x + 2y - 4 = 0
Para k = –2 → 2x + 4y - 10 = 0 → x + 2y - 5 = 0
Para k = 4 → 2x + 4y - 4 = 0 → x + 2y - 2 = 0
Assim, as curvas de nível do gráfico que seria um plano, serão retas paralelas.
Fonte: Autor
EXEMPLO 6:
Seja a função g(x, y) = 4 - x2 - y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza
G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a superfície
formada pelo gráfico da função g(x, y).
SOLUÇÃO
O gráfico de g(x, y) será definido como
𝐺𝑓 = 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
3 / z = 4 - 𝑥2 - 𝑦2
Repare que 𝑔𝑥,𝑦 = 4 - 𝑥2 - 𝑦2 = 4 - (𝑥2 + 𝑦2 ), como 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0 → 𝑧 ≤ 4.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos:
Para x = y = 0 → z = 4 – 0 – 0 = 4
Para z = 0 → 0 = 4 -x2 - y2 → x2 + y2 = 4, que é uma circunferência de centro (x, y) = (0,
0) e raio √4 = 2
Repare que se mantivermos um valor de z = k , k < 4
k = 4 - 𝑥2 - 𝑦2 → 𝑥2 + 𝑦2 = (4 - 𝑘), que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e raio
√4 - 𝑘.
Esboçando a figura no plano cartesiano.
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
EXEMPLO 7:
Seja a função g(x,y) = 16 - x2 - 9y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da
grandeza G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a
figura formada por todos os pontos do plano que apresentam o valor de G = 7.
SOLUÇÃO
Neste caso, o que está sendo pedido é o esboço de uma curva de nível para um nível igual a 7.
𝑔𝑥,𝑦 = 16 - 𝑥2 - 9𝑦2 = 7
𝑥2 + 9𝑦2 = 16 - 7
𝑥2 + 9𝑦2 = 9 → 𝑥
2
9 +
𝑦2
1 = 1
Que representa uma elipse em (x,y) = (0,0):
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
Quando o domínio for um subconjunto do R3, isto é, S ⊂ R3, o elemento de entrada da função
será um vetor ou terna ordenado (x, y, z). O gráfico da função f(x, y, z) será o conjunto de todos
os pontos do espaço (x, y, z, w) ∈ R4, tal que w = f(x, y, z) e (x, y, z) pertence ao domínio de f(x,
y, z).
Esse gráfico será um subconjunto do R4, portanto, não será possível a representação dele
através de uma forma geométrica. Para se ter uma visão geométrica de tal função, vamos nos
valer das superfícies de nível, que serão o conjunto de pontos do R3, ou as superfícies do
espaço xyz, tais que f(x, y, z) = k, na qual k é uma constante real. Por isso, definimos uma
superfície de nível para cada nível w = f(x, y, z) = k, k real.
EXEMPLO 8:
Determine as superfícies de nível que representam graficamente a função escalar f(x, y, z) = x2
+ y2 + z2.
SOLUÇÃO
As superfícies de nível serão definidas por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = k, k real.
Como x2 + y2 + z2 ≥ 0, para todo (x, y, z), então só é possível se definir níveis k ≥ 0.
Para facilitar a visualização, vamos definir k = R2 que será um número sempre maior ou igual a
zero.
Desse modo, as superfícies de níveis definidas pela equação x2 + y2 + z2 = R2, serão esferas
de centro (0, 0, 0) com raio dado por R, em que R ≥ 0.
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Deseja-se montar um mapa topográfico que representa a altura de um monte de 900 m. O topo
do monte é considerado o ponto central do mapa. Cada ponto será marcado pela distância (x,
y) determinada pela distância a dois eixos cartesianos que passam no ponto central.
O monte será aproximado por uma forma parabólica com concavidade para baixo com altura,
medida em metro, dada por uma equação h (x, y) = H – 2x2 - 3y2, com x e y também medidos
em metros. Esboce o mapa topográfico através das curvas de níveis.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA UMA FUNÇÃO ESCALAR
COM DOMÍNIO NO R3.
A) ℎ𝑢, 𝑣 = 3𝑢𝑣, ln 𝑢, 𝑣2
B) 𝑓𝑡 = 4 + 𝑡𝑔 𝑡
C) 𝑚𝑟, 𝑠, 𝑡 = 8𝑟𝑡2
D) 𝑝(𝑟) = 3𝑟, cos 𝑟, 𝑟 + 2
E) 𝑔𝑢, 𝑣 = 𝑢 cos (2𝑣)
2. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O DOMÍNIO DA
FUNÇÃO
𝑔𝑥,𝑦, 𝑧 = 3√𝑧 - 3 ln (4 - 𝑦)
1 - 𝑥2
A) 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = (𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ - 1, 𝑦 < 4 𝑒 𝑧 ≥ 3
B) 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 1, 𝑦 < 4 𝑒 𝑧 > 3
C) 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = (𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ - 1 𝑒 𝑦 < 4
D) 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = (𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑥 = 1 , 𝑦 ≤ 4 𝑒 𝑧 ≥ 3
E) 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ - 1, 𝑦 ≤ 4 𝑒 𝑧 > 3
3. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A FUNÇÃO
REAL A VALORES VETORIAIS
ℎ𝑢,𝑤 = 4𝑒
2𝑢
𝑤 - 3 +
cos (𝑤)
√2 - 𝑢
A) ℎ2,𝜋 = 4𝑒
4
𝜋 - 3
B) ℎ-2,0 = 4𝑒43 - 12
C) ℎ6,0 = - 4𝑒
12
3 -
1
2
D) ℎ-2,𝜋 = 4𝑒
-4
𝜋 - 3 -
1
2
E) ℎ2,3 = cos (3)2
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DAS CURVAS
DE NÍVEL K PARA A FUNÇÃO ESCALAR 𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦𝑥 - 2. CONSIDERE K REAL
COMO SENDO O NÍVEL DESEJADO EM CADA CONTORNO, COM K > 0.
A) Conjunto de retas com equações x = 2k
B) Conjunto de circunferências com equações x2 + y2 = k, exceto o ponto (0,k)
C) Conjunto de retas com equações kx - y - 2k = 0, exceto o ponto (2,0)
D) Conjunto de parábolas de equações y = kx2 - 4k + 1, exceto ponto (2,1)
E) Conjunto de retas com equações x + ky + 3 = 0
5. SEJA A FUNÇÃO G(X, Y, Z) = X + 4Y + 8Z, DESCREVA AS SUPERFÍCIES
DE NÍVEL QUE REPRESENTAM A QUESTÃO.
A) Um conjunto de esferas centrada na origem
B) Um conjunto de planos
C) Um conjunto de elipsoides
D) Um conjunto vazio
E) Um conjunto de hiperboloides
6. MARQUE A ALTERNATIVA FALSA EM RELAÇÃO A FUNÇÃO
𝑓𝑥,𝑦 = √16 - 𝑥2 - 𝑦2
A) A função é uma função escalar.
B) O esboço do domínio da função no plano xy é um círculo centrado na origem com raio 4.
C) A imagem da função é f(x, y) > 0.
D) O esboço das curvas de nível são circunferências no plano xy com centro na origem e raio
√16 - 𝑘2 , 0 ≤ k ≤ 4, sendo k o nível desejado.
E) O gráfico da função será uma semiesfera de raio 4.
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa uma função escalar com domínio no R3.
A alternativa "C " está correta.
A função h(u,v) da alternativa A é um campo vetorial, com entrada e saída vetoriais.
A função f(t) da alternativa B é uma função real, com entrada e saída reais.
A função p(r) da alternativa D é uma função vetorial, com entrada real e saída vetorial.
As funções m(r,s,t) e g(u,v) são funções escalares, porém a função g(u,v) tem domínio no R2 e
a função m(r,s,t), que é a reposta correta, tem domínio no R3.
2. Determine a alternativa que apresenta o domínio da função
𝑔𝑥,𝑦, 𝑧 = 3√𝑧 - 3 ln (4 - 𝑦)
1 - 𝑥2
A alternativa"A " está correta.
Analisando o denominador da equação, ele deve ser diferente de zero:
1 - 𝑥2 ≠ 0 → 𝑥2 ≠ 1 → 𝑥 ≠ 1 𝑜𝑢 𝑥 ≠ - 1
Quanto à parcela √𝑧 - 3, o número dentro de uma raiz quadrática deve ser maior ou igual a
zero:
𝑧 - 3 ≥ 0 → 𝑧 ≥ 3
Por fim, a parcela relacionada ao log neperiano só é possível se o argumento for maior do que
zero:
4 - 𝑦 > 0 → 𝑦 < 4
Então, o domínio de g(x,y,z) será
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = (𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ - 1, 𝑦 < 4 𝑒 𝑧 ≥ 3
3. Marque a alternativa verdadeira relacionada a função real a valores vetoriais
ℎ𝑢,𝑤 = 4𝑒
2𝑢
𝑤 - 3 +
cos (𝑤)
√2 - 𝑢
A alternativa "D " está correta.
Vamos, inicialmente, determinar o domínio. Analisando o denominador da primeira parcela
sendo diferente de zero, assim
𝑤 - 3 ≠ 0 → 𝑤 ≠ 3
Quanto ao numerador da primeira parcela (4 e2u) e o da segunda parcela (cos(w)), não existe
nenhuma restrição para o domínio, pois eles podem ser calculados para qualquer valor real.
O denominador da segunda parcela é uma raiz quadrática, além disso, não pode ser zero por
estar no denominador:
2 - 𝑢 > 0 → 𝑢 < 2
Logo, o domínio de h(u, w) será
𝐷𝑜𝑚 ℎ = (𝑢,𝑤) ∈ 𝑅2 / 𝑤 ≠ 3 𝑒 𝑢 < 2
Na alternativa A, é impossível calcular h(2, π), pois o par ordenado (2, π) não atende a
condição do domínio de u < 2.
Na alternativa B, apenas é possível calcular h(-2, 0), pois (-2, 0) faz parte do domínio da
função, o valor correto é ℎ-2,0 = - 4𝑒
-4
3 +
1
2
Na alternativa C, é impossível calcular h(6, 0), pois o par ordenado (6, 0) não atende a
condição do domínio de u < 2.
Na alternativa E, é impossível calcular h(2, 3), pois o par ordenado (2, 3) não atende a
condição do domínio de w ≠ 3.
Portanto, a alternativa correta é a letra D, pois (-2, π) faz parte do domínio e vale
ℎ-2,𝜋 = 4𝑒
-4
𝜋 - 3 -
1
2
4. Marque a alternativa que apresenta a equação das curvas de nível k para a função
escalar 𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦𝑥 - 2. Considere k real como sendo o nível desejado em cada contorno, com
k > 0.
A alternativa "C " está correta.
𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦𝑥 - 2 = 𝑘 , 𝑥 ≠ 2 → 𝑘(𝑥 - 2) = 𝑦
𝑘𝑥 - 2𝑘 = 𝑦 → 𝑘𝑥 - 𝑦 - 2𝑘 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 2
Para x = 2 → y = 0, assim a equação será 𝑘𝑥 - 𝑦 - 2𝑘 = 0(𝑥,𝑦) ≠ (2,0)
Esta equação representa uma reta no plano, com exceção do ponto (2,0). Sendo a alternativa
correta a letra C.
5. Seja a função g(x, y, z) = x + 4y + 8z, descreva as superfícies de nível que representam
a questão.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
6. Marque a alternativa falsa em relação a função
𝑓𝑥,𝑦 = √16 - 𝑥2 - 𝑦2
A alternativa "C " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA, RESPECTIVAMENTE, O
DOMÍNIO DA FUNÇÃO ℎ𝑥,𝑦, 𝑧 = √2 - 𝑧 ln (𝑦 - 1)2𝑥 - 6 E O VALOR DE H(4, 3, 0).
A) 𝐷𝑜𝑚 ℎ: 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 3, 𝑦 > 1 𝑒 𝑧 ≤ 2 e ℎ4,3, 0 = 𝑙𝑛24
B) 𝐷𝑜𝑚 ℎ: 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 2, 𝑦 < 1 𝑒 𝑧 > 2 e ℎ4,3, 0 = √2 𝑙𝑛22
C) 𝐷𝑜𝑚 ℎ: 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 3, 𝑦 > 1 𝑒 𝑧 ≤ 2 e ℎ4,3, 0 = √2 𝑙𝑛22
D) 𝐷𝑜𝑚 ℎ: 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 6, 𝑦 ≥ 1 𝑒 𝑧 < 2 e ℎ4,3, 0 = √2 𝑙𝑛62
E) 𝐷𝑜𝑚 ℎ: 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ - 3, 𝑦 > 0 𝑒 𝑧 ≤ 2 e ℎ4,3, 0 = √2 𝑙𝑛24
2. SEJA A FUNÇÃO 𝑓𝑥,𝑦 = 5𝑥𝑦 + 5. MARQUE A ALTERNATIVA FALSA EM
RELAÇÃO A FUNÇÃO F(X,Y).
A) O domínio da função é
𝐷𝑜𝑚 𝑓: (𝑥,𝑦 ∈ 𝑅2 / 𝑦 ≠ - 5
A)
B) As curvas de nível da função f(x, y) representam um conjunto de retas com equações 5x - ky
- 5k = 0, na qual k é o nível desejado, com exceção do ponto (0, -5).
C) O valor de 𝑓1,5 = 12
D) O gráfico da função f(x, y) é composto por pontos (x, y, z) que formam um plano de equação
5x - y - z - 5 = 0.
E) A função f(x, y) é uma função escalar.
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta, respectivamente, o domínio da função
ℎ𝑥,𝑦, 𝑧 = √2 - 𝑧 ln (𝑦 - 1)2𝑥 - 6 e o valor de h(4, 3, 0).
A alternativa "C " está correta.
Analisando o denominador da função, verifica-se que 2𝑥 - 6 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3
A parcela do numerador referente a log neperiano ln 𝑦 - 1:𝑦 - 1 > 0 → 𝑦 > 1
A parcela do numerador referente a raiz quadrada √2 - 𝑧 : 2 - 𝑧 ≥ 0 → 𝑧 ≤ 2
Dessa forma, o domínio será 𝐷𝑜𝑚 ℎ: 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 / 𝑥 ≠ 3, 𝑦 > 1 𝑒 𝑧 ≤ 2
Calculando ℎ4,3, 0 = √2 - 0 ln 3 - 12.4 - 6 = √
2 𝑙𝑛2
2
2. Seja a função 𝑓𝑥,𝑦 = 5𝑥𝑦 + 5. Marque a alternativa falsa em relação a função f(x,y).
A alternativa "D " está correta.
Analisando as alternativas:
a) Para definir o domínio da função, verifica-se que a única restrição é que o denominador não
pode ser zero, assim y + 5 ≠ 0 → y ≠ -5,
𝐷𝑜𝑚 𝑓: (𝑥,𝑦 ∈ 𝑅2 / 𝑦 ≠ - 5, estando a alternativa A correta.
e) A entrada da função é um vetor e a saída um número real, assim a alternativa E está correta.
c) O valor de 𝑓1,5 = 5.15 + 5 =
1
2, estando correta a alternativa C.
b) As equações das curvas de nível serão obtidas por 5𝑥𝑦 + 5 = 𝑘 → 5𝑥 = 𝑘𝑦 + 5𝑘
Logo, as equações serão 5x - ky - 5k = 0 , que representa um conjunto de retas. Mas y ≠ -5,
assim 5x ≠ k(-5) + 5k → x ≠ 0. Portanto, o ponto (0, –5) não pertence a estas retas. Alternativa
B está correta.
d) Por fim, o esboço do gráfico que são os pontos (x, y, z) do R3, tais que
5𝑥
𝑦 + 5 = 𝑧 → 5𝑥 - 𝑦𝑧 - 5𝑧 = 0, que não representa um plano.
Assim, a alternativa que contém uma afirmativa falsa é a D.
MÓDULO 2
 APLICAR A DERIVAÇÃO PARCIAL E O GRADIENTE DE UMA
FUNÇÃO ESCALAR
INTRODUÇÃO
A operação matemática da derivação pode também ser definida para as funções escalares,
porém de uma forma um pouco diferente do que no caso das funções reais.
Como a função escalar depende de várias variáveis, devemos obter uma operação que
determina a variação da função em relação a uma variável, mantendo as demais constantes.
Esta operação será denominada de derivação parcial
PODEMOS OBTER UMA DERIVADA PARCIAL PARA CADA
VARIÁVEL INDEPENDENTE, ASSIM CONSEGUIMOS DEFINIR
UM VETOR QUE APRESENTA COMO COMPONENTES ESTAS
DERIVADAS PARCIAIS. TAL VETOR É DENOMINADO DE
GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR E APRESENTA
APLICAÇÕES PRÁTICAS IMPORTANTES NA OBTENÇÃO DAS
TAXAS DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO PARA QUALQUER
DIREÇÃO.
Neste módulo estudaremos as derivadas parciais e o vetor gradiente.
DERIVADAS PARCIAIS
Quando estudamos a função real, definimos a operação da derivação que representava a taxa
de variação da função em relação a sua variável independente. Isto é, como a função variava
em relação a sua variável de entrada em determinado ponto do seu domínio.
No caso de a função escalar, a entrada é composta por várias variáveis. Ao se tentar descobrir
como uma função varia em relação a uma das variáveis, devemos isolar o efeito das demais
variáveis. Este isolamento é obtido mantendo as demais variáveis constantes.
 EXEMPLO
Imaginemos o volume de um cone que depende de seu raio e de sua altura. Para se obter a
taxa de variação desse volume ao se alterar o raio do cone, devemos manter o valor da altura
constante e observar como o volume se altera ao se alterar o raio. Esta operação será
denominada de derivada parcial. O nome parcial vem do fato que se está analisando a taxa de
variação de apenas uma das variáveis.
Vamos iniciar a definição pelo caso mais simples, ou seja, para uma função com domínio no
R2, ou z = f (x, y).
Seja (x0, y0) um ponto de o domínio da função escalar f. Se fixarmos o valor y0, podemos
definir uma função que depende de apenas uma variável, dada por
ℎ(𝑥) = 𝑓( 𝑥, 𝑦0 )
A função h(x) será uma função real, pois depende apenas de uma variável, e a derivada de h(x)
no ponto x0 será dada por
ℎ' 𝑥0 = lim𝑥 → 𝑥0
 ℎ𝑥 - ℎ𝑥0𝑥 - 𝑥0
Esta derivada representa como a função h(x) varia em relação a variável x, no ponto x0.
Substituindo a função h(x) pela função escalar f(x,y0)
ℎ' 𝑥0 = lim𝑥 → 𝑥0
 
𝑓𝑥,𝑦0 - 𝑓𝑥0 ,𝑦0
𝑥 - 𝑥0
que representará como a função f(x, y) irá variar em relação a variação de x, com y constante e
igual a y0, no ponto (x0, y0). Esta função serádenominada de derivada parcial de f em relação
a variável x, representada por
∂𝑓
∂𝑥𝑥0 ,𝑦0 = ℎ
' 𝑥0 = lim𝑥 → 𝑥0
 
𝑓𝑥,𝑦0 - 𝑓𝑥0 ,𝑦0
𝑥 - 𝑥0
Se considerarmos que Δ𝑥 = 𝑥 - 𝑥0 podemos obter uma outra definição equivalente:
∂𝑓
∂𝑥𝑥0 ,𝑦0 = limΔ𝑥 → 0
 
𝑓𝑥0 + Δ𝑥,𝑦0 - 𝑓𝑥0 ,𝑦0
Δ𝑥
Seja D o subconjunto de S, formado por todos os pontos (x, y), tais que ∂𝑓∂𝑥 existe. Assim,
definirmos uma função indicada por ∂𝑓∂𝑥(𝑥,𝑦), definida em D ⊂ S ⊂ R
2, tal que:
∂𝑓
∂𝑥𝑥,𝑦 = limΔ𝑥 → 0
 𝑓𝑥 + Δ𝑥,𝑦 - 𝑓𝑥,𝑦Δ𝑥
ESTA FUNÇÃO SERÁ DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL
DE PRIMEIRA ORDEM DE F, EM RELAÇÃO A X, OU
SIMPLESMENTE DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A X.
De forma análoga, podemos definir
∂𝑓
∂𝑦𝑥,𝑦 = limΔ𝑦 → 0
 𝑓𝑥,𝑦 + Δy - 𝑓𝑥,𝑦Δ𝑦
que é a derivada parcial de f em relação a y.
Outras notações utilizadas:
∂𝑓
∂𝑥𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 𝐷1 𝑓𝑥,𝑦
∂𝑓
∂𝑦𝑥,𝑦 = 𝑓𝑦 (𝑥,𝑦) = 𝐷2 𝑓(𝑥,𝑦)
Resumindo:
A função 𝑓𝑥 𝑥,𝑦 obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no
ponto (x0, y0), em relação apenas a variável x, mantendo y constante e igual a y0
A função 𝑓𝑦 𝑥,𝑦 obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no
ponto (x0, y0), em relação apenas a variável y, mantendo x constante e igual a x0
Podemos agora extrapolar para o caso de a função escalar definida no R3
∂𝑓
∂𝑥𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝐷1 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = limΔ𝑥 → 0
𝑓𝑥 + Δ𝑥,𝑦, 𝑧 - 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧
Δ𝑥
∂𝑓
∂𝑦𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑦 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝐷2 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = limΔ𝑦 → 0
 𝑓𝑥,𝑦 + Δy, 𝑧 - 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧Δ𝑦
∂𝑓
∂𝑧𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑧 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝐷3 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = limΔ𝑧 → 0
 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 + Δz - 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧Δ𝑧
IMAGINEMOS O CASO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR QUE
REPRESENTA O VALOR DO VOLUME DE UMA CAIXA
RETANGULAR. DESSA FORMA, O VALOR DA FUNÇÃO
DEPENDERÁ DE TRÊS VARIÁVEIS (L, C, A), COM L, C E A
NÚMEROS REAIS QUE REPRESENTAM A LARGURA, O
COMPRIMENTO E A ALTURA DA CAIXA. ASSIM, V(L, C, A).
DESEJAMOS OBTER COMO O VOLUME DA CAIXA IRÁ VARIAR
COM A VARIAÇÃO DE UMA DE SUAS DIMENSÕES, OU SEJA,
QUAL SERIA A TAXA DE VARIAÇÃO DE V EM FUNÇÃO, POR
EXEMPLO DE L.
Assim, necessitamos usar a derivada parcial da função em relação a variável L,
∂𝑉
∂𝐿𝐿,𝐶,𝐴 = limh → 0
 𝑉𝐿 + ℎ,𝐶,𝐴 - 𝑓𝐿,𝐶,𝐴h
que será semelhante a derivada de uma função real, pois dependerá da variação de apenas
uma variável, neste caso L, mantendo todas as demais constantes (C e A).
Para o caso geral da função com domínio em S ⊂ Rn. Seja f(x1,x2, ..., xn ), a derivada parcial
de f em relação a variável xj será definida por
∂𝑓
∂𝑥𝑗
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = lim
h → 0
 
𝑓𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑗 + ℎ, … , 𝑥𝑛 - 𝑓𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛
h
representando a variação de f em relação a xj, mantendo as n – 1 variáveis constantes.
Podemos também usar as notações
𝐷𝑗 𝑓𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑓𝑗 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
 ATENÇÃO
A notação 𝑑𝑓𝑑𝑥 é usada para derivar a função real f em relação a x, quando a função depender
apenas da variável x.
A notação ∂𝑓∂𝑥 é usada para derivar parcialmente a função escalar f em relação a x, quando a
função depender de outras variáveis, além da variável x.
Na prática, as derivadas parciais não serão obtidas pelo limite, e sim, por fórmulas e regras de
derivação. Como consideraremos a função dependendo de apenas uma variável, pois todas as
demais permaneceram como constantes, então pode ser utilizada as mesmas propriedades e
regras que utilizamos no caso da função real.
REGRA PARA OBTER A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A
VARIÁVEL XJ
1) CONSIDERE TODAS AS OUTRAS VARIÁVEIS, QUE NÃO
SEJAM XJ, COMO CONSTANTES.
2) USE AS REGRAS DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO REAL PARA
ACHAR A DERIVADA DE F EM RELAÇÃO A XJ.
Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 1
Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = 2xy + 3x2 y3 + 5y - 3x e obtenha seus
valores no ponto (2, 1).
SOLUÇÃO
Vamos obter fx(x, y), considerando y como uma constante e aplicando as regras de
derivação em relação a x.
O primeiro termo 2xy será observado como kx, assim (2yx)' = 2y(x)' = 2y.
O termo 3x2 y3 será observado como kx2, assim (3y3 x2 )' = 3y3 (x2 )' = 3y3 . 2x = 6xy3.
O termo 5y será observado apenas como uma constante, independente de x, assim (5y)'
= 0.
Por fim, (-3x)' = -3.
Então, fx (x, y) = 2y + 6xy3 -3 e fx (2, 1) = 2 . 1 + 6 . 2 . 13 -3 = 11
Vamos obter fy(x, y), considerando x como uma constante e aplicando as regras de
derivação em relação a y.
O primeiro termo 2xy será observado como ky, assim (2xy)' = 2x(y)' = 2x.
O termo 3x2 y3 será observado como ky3, assim (3x2 (y3)' = 3x2 (y3 )' = 3x2 3y2 = 9x2 y2.
O termo (-3x) será observado apenas como uma constante, independente de y, assim
(-3x)' = 0
Por fim, (5y)' = 5.
Logo, fy (x, y) = 2x + 9x2 y2 + 5 e fy (2, 1) = 2 . 2 + 9 . 22 12 + 5 = 45
EXEMPLO 2
Deseja obter a taxa de variação da função ℎ𝑥,𝑦, 𝑧,𝑤 = 2𝑦𝑧 𝑙𝑛𝑥 + 3𝑥𝑒𝑤
2
+ 𝑧𝑤2 𝑦3 , em
relação a variável w, no ponto (x, y, z, w)=(1, 1, 1, 1).
SOLUÇÃO
O que está se pedindo é a derivada parcial da função h em relação a variável w.
Assim se mantém na função h todas as demais variáveis (x, y, z) como constantes e
aplica as regras de derivação em relação a variável w.
O termo 2𝑦𝑧 𝑙𝑛𝑥 será observado como uma constante, pois independe de w, então
2𝑦𝑧 𝑙𝑛𝑥' = 0.
O termo 3𝑥𝑒𝑤
2
 será observado como 𝑘𝑒𝑤
2
, assim 3𝑥𝑒𝑤
2 '
= 3𝑥 𝑒𝑤
2 '
= 3𝑥 2𝑤𝑒𝑤
2
= 6𝑥𝑤𝑒𝑤
2
.
Por fim, o termo 𝑧𝑤2 𝑦3 , será observado como 𝑘𝑤2 , assim
𝑧𝑦3𝑤
2 '
= 𝑧𝑦3𝑤2
'
= 𝑧𝑦3 2𝑤 = 2𝑧𝑦3𝑤.
Então, fw x, y, z, w = 6xwe
w2 + 2zy3 w e 𝑓𝑤 1,1, 1,1 = 6.1 . 1𝑒
1 + 2.1 . 1.1 = 2 + 6𝑒
GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
Seja uma função de várias variáveis a valores reais, com domínio em S⊂ R2, e que
admite as derivadas parciais, em um ponto (x0,y0), para todas as suas duas variáveis
independentes (x e y).
Define o vetor gradiente da função f como
∇𝑓𝑥0 , 𝑦0 =
∂𝑓
∂𝑥𝑥0 , 𝑦0 ,
∂𝑓
∂𝑦𝑥0 , 𝑦0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A outra notação para o vetor gradiente será grad f.
Observe que só existe gradiente de uma função escalar e o resultado é um vetor cujas
componentes são as derivadas parciais de cada uma das variáveis independentes.
Portanto,
∇𝑓𝑥0 ,𝑦0 =
∂𝑓
∂𝑥𝑥0 ,𝑦0 �̂� +
∂𝑓
∂𝑦𝑥0 ,𝑦0 �̂�
EXEMPLO 3
Obtenha o vetor gradiente para a função f(x, y) = 3x2y, no ponto (x, y) = (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais
∂𝑓
∂𝑥 =
∂
∂𝑥3𝑦𝑥
2 = 3𝑦 ∂∂𝑥𝑥
2 = 3𝑦 2𝑥 = 6𝑥𝑦
∂𝑓
∂𝑦 =
∂
∂𝑦3𝑥
2 𝑦 = 3𝑥2 ∂∂𝑦𝑦 = 3𝑥
2
Logo,
∇𝑓𝑥,𝑦 = (6𝑥𝑦, 3𝑥2 ) e ∇𝑓1,2 = (6.1 . 2,3 . 12 ) = (12, 3) = 12 �̂� + 3 �̂�
O vetor gradiente da função escalar pode ser definido, de forma análoga, para quando o
domínio for S ⊂ Rn. Assim:
∇𝑓𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = ∂𝑓∂𝑥1𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … , 
∂𝑓
∂𝑥𝑗𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … , 
∂𝑓
∂𝑥𝑛𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
O vetor gradiente tem uma interpretação geométrica. Ele apontará para direção e sentido
no qual a função f terá a sua maior variação, em relação a suas variáveis independentes,
no ponto analisado.
Por exemplo, obtivemos que no ponto (1, 2) a função f(x, y) = 3x2y tem um vetor
gradiente ∇𝑓 = (12, 3) = 12 ^𝑥 + 3 ^𝑦 . Vamos supor que esta função f(x, y)
represente a temperatura, em um ponto (x,y), de uma placa plana. Assim, se estivermos
no ponto de coordenada (x,y) = (1,2) e desejarmos saber para que direção/sentido
teremos a maior variação de temperatura ao variar a posição, ela será dada pela
direção/sentido definida pelo vetor ∇𝑓 = 12 ^𝑥 + 3 ^𝑦 .
EXEMPLO 4
Obtenha o versor que representa a direção e o sentido da maior variação da função f(x,
y, z) = x2 + y2 + z2 no ponto (1, 1, 1)
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de f(x, y, z):
∂𝑓
∂𝑥 = 2𝑥, 
∂𝑓
∂𝑦 = 2𝑦 e 
∂𝑓
∂𝑧 = 2𝑧
Assim, o vetor gradiente será ∇𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = (2𝑥, 2𝑦, 2𝑧)
No ponto (1, 1, 1), se tem ∇f(1, 1, 1)=(2, 2, 2)
Portanto, o vetor 2,2, 2 = 2�̂� + 2�̂� + 2𝑧 representa a direção de maior variaçãoda função no
ponto (1, 1, 1).
Como foi pedido o versor, isto é, o vetor unitário, devemos dividir pelo seu módulo
∇𝑓1,1, 1 = (2,2, 2) → ∇𝑓 = √22 + 22 + 22 = √12 = 2√3
Portanto, o versor será
∇𝑓
∇𝑓 =
1
2√3
2,2, 2 = 1
√3
, 1
√3
, 1
√3
= √33 , √
3
3 , √
3
3
Quanto a amplitude do vetor ∇f, ele representará a maior taxa de variação da função em
relação à variação de suas variáveis. No exemplo anterior, a função terá uma variação de
2√3 unidades quando ocorre uma variação ∆𝑠 = ∆𝑥�̂� + ∆𝑦�̂� + ∆𝑧𝑧 de módulo unitário, na
direção do vetor √33 , √
3
3 ,
√3
3 .
Por fim, uma última característica do vetor gradiente de uma função, é o fato de ser
sempre normal às curvas de nível da função, ou seja, às curvas ou superfícies de nível
da função.
EXEMPLO 5
Determine a reta tangente a curva de nível da função 𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑥2 + 𝑦2 no ponto (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo o gradiente da função:
∂𝑓
∂𝑥 = 4𝑥 e 
∂𝑓
∂𝑦 = 2𝑦, então ∇𝑓𝑥,𝑦 = 4𝑥, 2𝑦
No ponto (1, 2): ∇f(1, 2) = (4, 4), que é um vetor normal à curva de nível no ponto (1, 2),
sendo, portanto, um vetor normal à reta tangente neste ponto.
Por isso, para se obter a equação da reta tangente, seguindo conceitos de geometria
analítica:
𝑥,𝑦 - 𝑥0 - 𝑦0 .
→𝑛 𝑟 = 0 → 𝑥,𝑦 - 𝑥0 ,𝑦0 .∇𝑓𝑥0 ,𝑦0 = 0
Portanto
𝑥,𝑦 - 1,2 .∇𝑓1,2 = 0 → 𝑥 - 1,𝑦 - 2 . 4,4 = 0
4𝑥 - 1 + 4𝑦 - 2 = 0 → 4𝑥 + 4𝑦 - 12 = 0 → 𝑥 + 𝑦 - 3 = 0
Então, a reta x + y - 3 = 0 e tangente à curva de nível da função f(x,y) = 2x2 + y2 no ponto
(1, 2).
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
As derivadas parciais de uma função escalar podem ser utilizadas para se determinar a
equação de um plano tangente ao gráfico de uma função z = f(x, y) em um ponto (x0, y0)
e com ele realizar uma aproximação linear para a função. A equação do plano tangente
ao gráfico no ponto (x0, y0, f(x0,y0) será dada por:
𝑧 - 𝑓𝑥0 ,𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0 ,𝑦0 𝑥 - 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑥0 ,𝑦0 𝑦 - 𝑦0 .
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x2 + 2y2 + 1 no
ponto (1, 1) e verifique através de uma aproximação linear, a partir deste ponto, o valor
de 𝑓1 + 1100, 1 + 1100
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. SEJA A FUNÇÃO 𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑙𝑛 (𝑦 + 𝑒), COM K REAL. DETERMINE O
VALOR DE K SABENDO QUE A DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A
X VALE – 8 NO PONTO 𝑥,𝑦 = 𝜋2, 0
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VETOR GRADIENTE DA
FUNÇÃO ESCALAR 𝑔𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦2 𝑒
2𝑥𝑦
 PARA O PONTO (X, Y) = (1, 1)
A) e2(3, 0)
B) e2(3, 4)
C) e2(1, 1)
D) e2(2, 2)
E) e2(2, 1)
3. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DE
𝑔𝑥,𝑦 = √2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥
EM RELAÇÃO A VARIÁVEL X E EM RELAÇÃO A VARIÁVEL Y,
RESPECTIVAMENTE, NO PONTO (X, Y) = (1, 1).
A) √66 e √64
B) √54 e √
5
4
C) √63 e √63
D) √56 e √
5
5
E) √63 e √
6
4
4. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR GRADIENTE A FUNÇÃO
𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 3𝑥𝑦𝑧 - 𝑥2 + 2𝑦3 + 3𝑧2
NO PONTO (1, 0, 2).
A) √23
B) √46
C) 3√23
D) 2√46
E) √73
5. SEJA A FUNÇÃO ℎ𝑥,𝑦, 𝑧 = 2𝑧 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦𝑥. MARQUE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA UM VETOR QUE POSSUA A DIREÇÃO DA MAIOR TAXA DE
VARIAÇÃO DA FUNÇÃO H(X, Y, Z) NO PONTO (1, 1, 2).
A) 2, 2, 2𝜋
B) 4, - 4, - 𝜋
C) -1, 1, 𝜋
D) 0, 2, - 𝜋
E) 4, 0, 𝜋
6. SEJA A FUNÇÃO 𝑔𝑥,𝑦 = √𝑥 - 𝑡𝑦, COM T REAL DIFERENTE DE ZERO. A
RETA 𝑥 - 2𝑦 + 4 = 0 É TANGENTE A CURVA DE NÍVEL DE G(X, Y) NO
PONTO (0, –2). DETERMINE O VALOR DE T
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
GABARITO
1. Seja a função 𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑙𝑛 (𝑦 + 𝑒), com k real. Determine o valor de k sabendo que
a derivada parcial de f em relação a x vale – 8 no ponto 𝑥,𝑦 = 𝜋2, 0
A alternativa "C " está correta.
𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑙𝑛 (𝑦 + 𝑒)
Ao se derivar parcialmente em relação a variável x, a variável y permanecerá constante,
assim é como se derivasse a função t cos(2x), com t sendo uma constante igual a (k
ln(y+e)).
Vamos relembrar que a derivada da função
ℎ𝑢 = cos 𝑢 → ℎ' 𝑢 = - 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑢'
Portanto,
𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 𝑡cos 𝑥
' = 𝑡( – 1) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) = - 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) = - 2𝑘 ln (𝑦 + 𝑒) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Mas,
𝑓𝑥 𝜋2, 0 = - 8 = - 2𝑘𝑙𝑛(0 + 𝑒)𝑠𝑒𝑛
𝜋
2 = - 2𝑘 . 1.1 = - 2𝑘 → 𝑘 = 4
2. Marque a alternativa que apresenta o vetor gradiente da função escalar 𝑔𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦2 𝑒
2𝑥𝑦
para o ponto (x, y) = (1, 1)
A alternativa "B " está correta.
𝑔𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦2 𝑒
2𝑥𝑦
O vetor gradiente será ∇𝑔 = ∂𝑔∂𝑥,
∂𝑔
∂𝑦
Vamos relembrar que:
Se ℎ = 𝑘𝑒𝑢 → ℎ' = 𝑘𝑢'𝑒𝑢
Se 𝑔 = 𝑢𝑣 → 𝑔' = 𝑢' 𝑣 + 𝑢𝑣'
Determinando a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante
∂𝑔
∂𝑥(𝑥,𝑦) = 𝑦
2 𝑥
'
 𝑒2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 𝑒2𝑦𝑥
'
∂𝑔
∂𝑥𝑥,𝑦 = 𝑦
2 𝑒2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 2𝑦 𝑒2𝑦𝑥 = 𝑦2 𝑒2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦3 𝑒2𝑦𝑥 = (𝑦2 + 2𝑥𝑦3 ) 𝑒2𝑥𝑦
∂𝑔
∂𝑥𝑥,𝑦 = 𝑦
2 (1 + 2𝑥𝑦) 𝑒2𝑥𝑦
Determinando a derivada parcial de g em relação a y, mantendo x constante
∂𝑔
∂𝑦(𝑥,𝑦) = 𝑥𝑦
2 ' 𝑒2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 𝑒2𝑥𝑦
'
∂𝑔
∂𝑦𝑥,𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑒
2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 2𝑥 𝑒2𝑦𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑒2𝑥𝑦 + 2𝑥2 𝑦2 𝑒2𝑦𝑥 = (2𝑥𝑦 + 2𝑥2 𝑦2 ) 𝑒2𝑥𝑦
∂𝑔
∂𝑦𝑥,𝑦 = 2𝑥𝑦(1 + 𝑥𝑦) 𝑒
2𝑥𝑦
O vetor gradiente será
∇𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑦2 (1 + 2𝑥𝑦) 𝑒2𝑥𝑦 , 2𝑥𝑦(1 + 𝑥𝑦) 𝑒2𝑥𝑦
∇𝑔1,1 = 1 . 1 + 2.1 . 1 𝑒2.1 . 1 , 2.1 . 1 . 1 + 1.1 𝑒2.1 . 1 = 3𝑒2 , 4𝑒2 = 𝑒2 3,4
3. Determine a derivada parcial de
𝑔𝑥,𝑦 = √2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥
em relação a variável x e em relação a variável y, respectivamente, no ponto (x, y) = (1, 1).
A alternativa "A " está correta.
𝑔𝑥,𝑦 = √2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥
Vamos relembrar que a derivada da função
ℎ𝑢 = √𝑢 → ℎ
' 𝑢 = 12√𝑢𝑢'
Para se achar a derivada parcial em relação a variável x, mantém-se a variável y
constante.
Neste caso, se
𝑢 = 2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥 → 𝑢' = 𝑑𝑢𝑑𝑥 = 0 - 𝑦 + 3 = 3 - 𝑦
Assim,
𝑔𝑥 𝑥,𝑦 =
3 - 𝑦
2√2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥
→ 𝑔𝑥 1,1 =
3 - 1
2√2 - 1.1 + 21 + 3.1
= 2
2√6
= √66
Para se achar a derivada parcial em relação a variável y, mantém-se a variável x
constante
Neste caso, se
𝑢 = 2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥 → 𝑢' = 𝑢' = 𝑑𝑢𝑑𝑦 = 0 - 𝑥 + 4𝑦 + 0 = 4𝑦 - 𝑥
Assim,
𝑔𝑦 𝑥,𝑦 =
4𝑦 - 𝑥
2√2 - 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑥
→ 𝑔𝑦 1,1 =
4.1 - 1
2√2 - 1.1 + 21 + 3.1
= 3
2√6
= 3√612 =
√6
4
4. Determine o módulo do vetor gradiente a função
𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 3𝑥𝑦𝑧 - 𝑥2 + 2𝑦3 + 3𝑧2
no ponto (1, 0, 2).
A alternativa "D " está correta.
𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 3𝑥𝑦𝑧 - 𝑥2 + 2𝑦3 + 3𝑧2
O vetor gradiente será
∇𝑓 = ∂𝑓∂𝑥,
∂𝑓
∂𝑦,
∂𝑓
∂𝑧
Determinando a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y e z constantes
∂𝑓
∂𝑥 = 3𝑦𝑧 - 2𝑥
Determinando a derivada parcial de f em relação a y, mantendo x e z constantes
∂𝑓
∂𝑦 = 3𝑥𝑧 + 6𝑦
2
Determinando a derivada parcial de f em relação a z, mantendo x e y constantes
∂𝑓
∂𝑧 = 3𝑥𝑦 + 6𝑧
Portanto,
∇𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 3𝑦𝑧 - 2𝑥, 3𝑥𝑧 + 6𝑦2 , 3𝑥𝑦 + 6𝑧 
No ponto,
(𝑥,𝑦, 𝑧) = (1, 0, 2) → ∇𝑓(1, 0, 2) = (3 . 0 . 2 - 2 . 1, 3 . 1 . 2 + 6 . 0, 3 . 1 . 0 + 6 . 2 ) = ( - 2, 6, 12)
Então,
∇𝑓 = √-22 + 62 + 122 = √4 + 36 + 144 = √184 = 2√46
5. Seja a função ℎ𝑥,𝑦, 𝑧 = 2𝑧 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦𝑥. Marque a alternativa que apresenta um vetor que
possua a direção da maior taxa de variação da função h(x, y, z) no ponto (1, 1, 2).
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
6. Seja a função 𝑔𝑥,𝑦 = √𝑥 - 𝑡𝑦, com t real diferente de zero. A reta 𝑥 - 2𝑦 + 4 = 0 é tangente
a curva de nível de g(x, y) no ponto (0, –2). Determine o valor de t
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦2 𝑧 + 2𝑧 𝑡𝑔𝑥𝑦,
EM RELAÇÃO A VARIÁVEL X, NO PONTO (0, 1, 1)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O GRADIENTE DA
FUNÇÃO 𝑔𝑥,𝑦 = 3𝑥 cos (𝑦 + 2)
A) ∇𝑔𝑥,𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛 (𝑦 + 2, 3𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑦 + 2))
B) ∇𝑔𝑥,𝑦 = 3 + cos (𝑦 + 2, 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 2))
C) ∇𝑔𝑥,𝑦 = 3cos (𝑦 + 2, - 3𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 2))
D) ∇𝑔𝑥,𝑦 = cos(𝑦 + 2, 𝑠𝑒𝑛(𝑦+ 2))
E) ∇𝑔𝑥,𝑦 = 3𝑥 cos (𝑦 + 2, 3𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑦 + 2))
GABARITO
1. Determine a derivada parcial da função 𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦2 𝑧 + 2𝑧 𝑡𝑔𝑥𝑦, em relação a variável x,
no ponto (0, 1, 1)
A alternativa "D " está correta.
𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦2 𝑧 + 2𝑧 𝑡𝑔𝑥𝑦
Para se obter a derivada parcial de f em relação a x, se deriva em relação a variável x,
mantendo as variáveis y e z constantes.
Lembre-se de que se
ℎ(𝑢) = 𝑡𝑔(𝑢) → ℎ' (𝑢) = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑢'
Se
𝑓𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦2 𝑧 + 2𝑧 𝑡𝑔𝑥𝑦 = (𝑦
2 𝑧)𝑥 + 2𝑧 𝑡𝑔1𝑦𝑥
Então
∂𝑓
∂𝑥𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑦
2 𝑧 + 2𝑧 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑦 . 1𝑦 = 𝑦
2 𝑧 + 2𝑧𝑦 𝑠𝑒𝑐
2 𝑥
𝑦
No ponto
𝑥,𝑦, 𝑧 = 0,1, 1 → ∂𝑓∂𝑥0,1, 1 = 1
2 1 + 211 𝑠𝑒𝑐
2 0
1 = 1 + 2𝑠𝑒𝑐
2 0 = 1 + 2 = 3
Assim, a alternativa correta é a da letra D.
2. Marque a alternativa que apresenta o gradiente da função 𝑔𝑥,𝑦 = 3𝑥 cos (𝑦 + 2)
A alternativa "C " está correta.
𝑔𝑥,𝑦 = 3𝑥 cos (𝑦 + 2)
O vetor gradiente será
∇𝑔 = ∂𝑔∂𝑥,
∂𝑔
∂𝑦
Determinando a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante
∂𝑔
∂𝑥 = 3cos 𝑦 + 2𝑥
' = 3cos (𝑦 + 2)
Determinando a derivada parcial de g em relação a y, mantendo x constante
∂𝑔
∂𝑦 = 3𝑥cos 𝑦 + 2
' = 3𝑥 -1𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2 = - 3𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 2)
Portanto,
∇𝑔𝑥,𝑦 = 3cos (𝑦 + 2, - 3𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 2))
Assim, a alternativa correta é a letra C.
MÓDULO 3
 APLICAR A REGRA DA CADEIA PARA FUNÇÕES
ESCALARES
INTRODUÇÃO
Seja uma função escalar. Suponha que se conheça a dependência desta função em
relação a um conjunto de variáveis, denominadas de intermediárias, que por sinal,
depende de outro conjunto que são denominados de variáveis independentes.
A REGRA DA CADEIA PODE SER USADA PARA SE OBTER AS
DERIVADAS DA FUNÇÃO ESCALAR EM RELAÇÃO AS
VARIÁVEIS INDEPENDENTES, MESMO NÃO SE OBTENDO A
FUNÇÃO QUE EXPLICITA DIRETAMENTE ESTA RELAÇÃO.
Estudaremos, neste módulo, três teoremas que definem esta regra da cadeia para serem
aplicadas em funções escalares.
REGRA DA CADEIA
Para o caso de uma função real, ou melhor, que dependa de apenas uma variável, a regra
da cadeia permitia a diferenciação de uma função composta. Se y = f(x) e x = g(t), com as
funções f e g diferenciáveis, se obtinha a derivada de y em relação a t de uma forma
indireta:
𝑑𝑦
𝑑𝑡 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, mesmo não se tendo a relação direta de y em relação a t, podia se obter como a
função y variava em relação a variável t.
Vamos agora definir esta regra que permitirá também calcular a derivada de funções
compostas para as funções escalares. Iremos propor o seguinte teorema:
TEOREMA 1
SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X =
H(T) E Y = G(T). SE AS FUNÇÕES H(T) E G(T) FOREM
DIFERENCIÁVEIS EM T, ENTÃO
𝑑𝑓
𝑑𝑡(𝑥𝑡,𝑦𝑡) =
∂𝑓
∂𝑥
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 +
∂𝑓
∂𝑦
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
Repare que a regra acima permite calcular a derivada de f em relação a t por uma forma
indireta. Não se conhece a relação explicita da função em relação a variável t, mas se
conhece a relação da função com x e y, e destas variáveis em relação a variável t.
Outra forma de se representar essa regra seria através do gradiente da função f.
Seja 𝛾𝑡 = (𝑥𝑡,𝑦𝑡)
df
dt(y(t)) = ∇fγt . γ
' (t)
Vejamos um exemplo de sua aplicação.
EXEMPLO 1:
Seja a função f(x, y) = 2xy2 e que x = t3 e y = 2t + 5. Obtenha a derivada de f em relação à
variável t.
SOLUÇÃO
Usando a regra da cadeia 𝑑𝑓𝑑𝑡 = ∂𝑓∂𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡 + ∂𝑓∂𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Como ∂𝑓∂𝑥 = 2𝑦
2 , ∂𝑓∂𝑦 = 4𝑥𝑦, 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 3𝑡
2 e 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 2, se tem
𝑑𝑓
𝑑𝑡 =
∂𝑓
∂𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡 +
∂𝑓
∂𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 2𝑦
2 3𝑡2 + 4𝑥𝑦 . 2 = 6𝑦2 𝑡2 + 8𝑥𝑦
Substituindo x e y em relação a variável t
𝑑𝑓
𝑑𝑡 = 6𝑦
2 𝑡2 + 8𝑥𝑦 = 62𝑡 + 52 𝑡2 + 8𝑡3 2𝑡 + 5
É obvio que neste caso, poderíamos obter o valor de f em relação apenas a t e depois
obter a derivada.
𝑓(𝑥 , 𝑦) = 2𝑥𝑦2 → 𝑓(𝑡3 , 2𝑡 + 5) = 𝑔(𝑡) = 2 𝑡3 (2𝑡 + 5)2
Assim, a derivada 𝑑𝑓𝑑𝑡 será obtida se derivando em relação a t através da regra do produto
𝑑𝑓
𝑑𝑡 = (2𝑡 + 5)
2 6 𝑡2 + 2𝑡3 2 (2𝑡 + 5) . 2 = 62𝑡 + 52 𝑡2 + 8𝑡3 2𝑡 + 5 obtendo o
mesmo valor.
Todavia, às vezes, essa forma de obter a dependência e depois derivar é mais complexa
do que usar a regra da cadeia diretamente.
EXEMPLO 2:
Sabendo que o volume de um cilindro é dado pela fórmula 𝑉𝑟, ℎ = 𝜋𝑟2 ℎ, na qual r é o raio
da base e h é a altura do cilindro, ambas medidos em metros. Determine a taxa de
variação do volume do cilindro, para r = 1 m e h = 1 m, sabendo que o raio está variando
a uma taxa de 0,5 m/s e a altura a uma taxa de –0,25 m/s.
SOLUÇÃO
Se 𝑉𝑟, ℎ = 𝜋𝑟2 ℎ, usando a regra da cadeia, se tem 𝑑𝑉𝑑𝑡 = ∂𝑉∂𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 + ∂𝑉∂ℎ𝑑ℎ𝑑𝑡
Como ∂𝑉∂𝑟 = 2𝜋ℎ𝑟, 
∂𝑉
∂ℎ = 𝜋𝑟
2 , 𝑑𝑟𝑑𝑡 = 0,5 e 
𝑑ℎ
𝑑𝑡 = - 0,25 m / s, se tem
dV
dt r, h = 2πhr . 0,5 + πr
2 ( - 0,25)
dV
dt r, h = πhr - 
π
4r
2
Para r = 1m e h = 1m
dV
dt 1, 1 = π - 
π
4 =
3π
4 m
3 / s
 ATENÇÃO
A demonstração do teorema 1 não será vista neste módulo, e pode ser analisada nos
livros que constam na referência bibliográfica deste material.
Agora vamos analisar outra situação. Seja z = f(x, y), mas x = h(u, v) e y = g(u, v). Então a
função f depende indiretamente de u e de v. Podemos usar o seguinte teorema para
obter as derivadas parciais de f em relação a variável u e em relação a variável v.
TEOREMA 2
SEJA A FUNÇÃO F(X,Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X =
H(U,V) E Y = G(U,V). SE AS FUNÇÕES H(U,V) E G(U,V) SÃO
DIFERENCIÁVEIS EM U E EM V, ENTÃO
∂𝑓
∂𝑢 =
∂𝑓
∂𝑥
∂𝑥
∂𝑢 +
∂𝑓
∂𝑦
∂𝑦
∂𝑢 E 
∂𝑓
∂𝑣 =
∂𝑓
∂𝑥
∂𝑥
∂𝑣 +
∂𝑓
∂𝑦
∂𝑦
∂𝑣
As variáveis u e v são denominadas de variáveis independentes, enquanto as variáveis x
e y serão denominadas de variáveis intermediárias, pois serão usadas para obter a
variável dependente z em relação às variáveis independentes.
Observe a aplicação da regra acima no exemplo a seguir.
EXEMPLO 3:
Seja g(x,y) = 2𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠 (𝑥), na qual 𝑥 = 𝑢2 𝑣 e 𝑦 = 𝑢𝑣2 . Determine as derivadas parciais de
g(x,y) em relação a u e a v para os pontos em que u = 1 e v = 2.
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de g em relação a x e a y.
∂𝑔
∂𝑥 = - 2𝑒
𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 e ∂𝑔∂𝑦 = 2𝑒
𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥
Além disso,
∂𝑥
∂𝑢 = 2𝑢𝑣, 
∂𝑥
∂𝑣 = 𝑢
2 , ∂𝑦∂𝑢 = 𝑣
2 , ∂𝑦∂𝑣 = 2𝑢𝑣
Assim,
∂𝑔
∂𝑢 =
∂𝑔
∂𝑥
∂𝑥
∂𝑢 +
∂𝑔
∂𝑦
∂𝑦
∂𝑢 = -2𝑒
𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑢𝑣 + 2𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑣2
∂𝑔
∂𝑢 = 2𝑣
2 𝑒
𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥 - 4𝑢𝑣 𝑒𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥
∂𝑔
∂𝑣 =
∂𝑔
∂𝑥
∂𝑥
∂𝑣 +
∂𝑔
∂𝑦
∂𝑦
∂𝑣 = -2𝑒
𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑢2 + 2𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑢𝑣
∂𝑔
∂𝑢 = 4𝑢𝑣 𝑒
𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 - 2𝑢2 𝑒𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥
Quando u = 1 e v = 2 → x = u2 v = 2 e y = uv2 = 4.
Deste modo:
∂𝑔
∂𝑢1,2 = 2 . 4 𝑒
4 𝑐𝑜𝑠2 - 4 . 1.2 𝑒4 𝑠𝑒𝑛2 = 8𝑒4 𝑐𝑜𝑠2 - 8𝑒4 𝑠𝑒𝑛2
∂𝑔
∂𝑢1,2 = 4.1 . 2 𝑒
4 𝑐𝑜𝑠2 - 2 . 12 𝑒4 𝑠𝑒𝑛2 = 8 𝑒4 𝑐𝑜𝑠2 - 2𝑒4 𝑠𝑒𝑛2
Podemos agora definir a situação geral.
Seja a função escalar f: S ⊂ Rn, ou seja, a função dependente z é função de n variáveis
intermediárias (x1,x2,…,xn ). Cada uma das variáveis intermediárias xj, a seu tempo,
depende de m variáveis independentes (u1,u2,…,um ). Se deseja agora obter o valor da
derivada parcial de z em relação a uma das variáveis independentes ui.
TEOREMA 3
SEJA A FUNÇÃO F: S⊂ RN DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO AS
N VARIÁVEIS (X1, X2, ..., XN), EM QUE CADA XJ É
DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO A M VARIÁVEIS (U1, U2, ..., UM).
ENTÃO:
∂𝑓
∂𝑢𝑗
= ∂𝑓∂𝑥1
∂𝑥1
∂𝑢𝑗
+ ∂𝑓∂𝑥2
∂𝑥2
∂𝑢𝑗
+ … + ∂𝑓∂𝑥𝑛
∂𝑥𝑛
∂𝑢𝑗
para cada j = 1,2,..., m.
Vamos aplicar esse teorema em um exemplo.
EXEMPLO 4:
Seja a função ℎ𝑟, 𝑠, 𝑡 = 𝑠𝑟2 + 2𝑟𝑠𝑡, na qual r = xz + 2yz , s = 3x2z e t = 2xy. Determine as
derivadas parciais da função h, em relação as variáveis x, y e z, para os valores de (x, y,
z) = (1, 0, 2).
SOLUÇÃO
Neste exemplo, as variáveis intermediárias serão r,s e t, enquanto as variáveis
independentes serão x, y e z.
Calculando as derivadas parciais da função h
∂ℎ
∂𝑟 = 2𝑠𝑟 + 2𝑠𝑡, 
∂ℎ
∂𝑠 = 𝑟2 + 2𝑟𝑡 e ∂ℎ∂𝑡 = 2𝑟𝑠
Mas
∂𝑟
∂𝑥 = 𝑧, ∂𝑟∂𝑦 = 2𝑧 e ∂𝑟∂𝑦 = 𝑥 + 2𝑦
∂𝑠
∂𝑥 = 6𝑥𝑧, 
∂𝑠
∂𝑦 = 0 e 
∂𝑠
∂𝑧 = 3𝑥
2
∂𝑡
∂𝑥 = 2𝑦, ∂𝑡∂𝑦 = 2𝑥 e ∂𝑡∂𝑧 = 0
Desta forma,
a) ∂ℎ∂𝑥 = ∂ℎ∂𝑟 ∂𝑟∂𝑥 + ∂ℎ∂𝑠 ∂𝑠∂𝑥 + ∂ℎ∂𝑡 ∂𝑡∂𝑥
∂ℎ
∂𝑥 = 2𝑟𝑠 + 2𝑠𝑡𝑧 + 𝑟
2 + 2𝑟𝑡 6𝑥𝑧 + 2𝑟𝑠 2𝑦
b) ∂ℎ∂𝑦 =
∂ℎ
∂𝑟
∂𝑟
∂𝑦 +
∂ℎ
∂𝑠
∂𝑠
∂𝑦 +
∂ℎ
∂𝑡
∂𝑡
∂𝑦
∂ℎ
∂𝑦 = 2𝑟𝑠 + 2𝑠𝑡 2𝑧 + 𝑟
2 + 2𝑟𝑡 0 + 2𝑟𝑠 2𝑥
c) ∂ℎ∂𝑧 =
∂ℎ
∂𝑟
∂𝑟
∂𝑧 +
∂ℎ
∂𝑠
∂𝑠
∂𝑧 +
∂ℎ
∂𝑡
∂𝑡
∂𝑧
∂ℎ
∂𝑧 = 2𝑟𝑠 + 2𝑠𝑡 (𝑥 + 2𝑦) + 𝑟
2 + 2𝑟𝑡 3𝑥2 + 2𝑟𝑠 0
Para (x, y, z) = (1, 0, 2) → r = xz + 2yz = 1 . 2 + 2 . 0 . 2 = 2, s = 3x2z = 3 . 1 . 2 = 6 e t = 2xy =
2 . 1 . 0 = 0, assim:
a) ∂ℎ∂𝑥𝑥,𝑦, 𝑧 = 2.2 . 6 + 2.6 . 0 . 2 + 2
2 + 2.2 . 0 6.1 . 2 + 2.2 . 62.0
∂ℎ
∂𝑥𝑥,𝑦, 𝑧 = 48 + 48 + 0 = 96
b) ∂ℎ∂𝑦 = 2.2 . 6 + 2.6 . 0 . 2.2 + 2
2 + 2.2 . 0 0 + 2.2 . 62.1
∂ℎ
∂𝑦 = 96 + 0 + 48 = 144
c) ∂ℎ∂𝑧 = 2.2 . 6 + 2.6 . 0 . (1 + 2.0) + 2
2 + 2.2 . 0 3.1 + 2.2 . 60
∂ℎ
∂𝑧 = 24 + 12 = 36
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa com formato de um paralelepípedo retangular é feita de um material que
apresenta um custo de R$ 10,00 por m2. Sabendo que o comprimento da caixa cresce a
uma taxa de 2 m/s, a largura decresce a uma taxa de 1 m/s e a altura cresce a uma taxa
de 3 m/s, determine a taxa de variação do custo de produção da caixa em relação ao
tempo, para quando comprimento(C) = 10 m, largura(L) = 5m e altura (A) = 2 m.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. A TENSÃO EM UM CIRCUITO ELÉTRICO É DADA PELA EQUAÇÃO V=
RI, NA QUAL R É A RESISTÊNCIA E I A CORRENTE ELÉTRICA. A TENSÃO
DO CIRCUITO ESTÁ DIMINUINDO A UMA TAXA DE 1 V/S, DEVIDO A
DESCARGA DA BATERIA E SIMULTANEAMENTE A RESISTÊNCIA
AUMENTA A UMA TAXA DE 0,05 Ω/S. DETERMINE A TAXA DA VARIAÇÃO
DA CORRENTE QUANDO A TENSÃO FOR DE 800 V E A RESISTÊNCIA DE
10 Ω.
A) 0,5 A/s
B) -0,5 A/s
C) -1,5 A/s
D) 1,5 A/s
E) 2 A/s
2. SEJA A FUNÇÃO G(X, Y) = 4 COS (XY). SABE-SE QUE X = 4T2 E Y = T3.
USE A REGRA DA CADEIA E DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DA
FUNÇÃO G EM RELAÇÃO A T.
A) -80 𝑠𝑒𝑛4𝑡5
B) -40 𝑡4 𝑐𝑜𝑠𝑡5
C) -80 𝑡4 𝑠𝑒𝑛4𝑡5
D) 80 𝑡4 (𝑠𝑒𝑛4𝑡5 + 𝑐𝑜𝑠4𝑡5 )
E) 20 𝑡5 (𝑠𝑒𝑛4𝑡5 - 𝑐𝑜𝑠4𝑡5 )
3. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO G(X, Y) = 2XY, EM
RELAÇÃO A VARIÁVEL Θ, SABENDO QUE X(R, Θ) = R COSΘ E Y(R, Θ) = R
SENΘ.
A) 2𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃
B) 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃B
C) 2𝑟2 𝑐𝑜𝑠2𝜃
D) 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃
E) 4𝑟3 𝑐𝑜𝑠2𝜃D
4. SEJA A FUNÇÃO H(U, V) = -SEN(U2 + V2). SABE-SE QUE U(X, Y, Z) = X -
Y + 3Z E V(X, Y, Z) = 2X - 3Y + 2Z. DETERMINE A SOMA DA DERIVADA
PARCIAL DA FUNÇÃO H EM RELAÇÃO À VARIÁVEL Y COM A DERIVADA
PARCIAL DA FUNÇÃO H EM RELAÇÃO À VARIÁVEL Z, PARA X = Y = Z = 1.
A) cos(10)
B) -10 sen(8)
C) 10 cos(8)
D) 10 sen(10)
E) -10 cos(10)
5. A EQUAÇÃO QUE RELACIONA A PRESSÃO (P), MEDIDA EM KPA, A
TEMPERATURA (T), MEDIDA EM K, E O VOLUME (V), MEDIDAS EM
LITROS, DE DOIS MOLES DE UM GÁS IDEAL É DADA POR 𝑃𝑉𝑇 = 16,6.
DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DO VOLUME DO GÁS, QUANDO A
PRESSÃO 25 KPA ESTÁ AUMENTANDO A UMA TAXA DE 0,04 KPA/S E A
TEMPERATURA É DE 600 K E ESTÁ DIMINUINDO A UMA TAXA DE 0,1 K/S
A) Aumenta com taxa de 0,571 l/s
B) Diminui com taxa de 0,571 l/s
C) Aumenta com taxa de 0,345 l/s
D) Aumenta com taxa de 0,703 l/s
E) Diminui com taxa de 0,703 l/s
6. SEJA A FUNÇÃO 𝑓𝑥, 𝑦, 𝑧, NA QUAL 𝑥(𝑢, 𝑣,𝑤) = 𝑢𝑣,𝑦(𝑢, 𝑣,𝑤) = 𝑤𝑢 E
𝑧(𝑢, 𝑣,𝑤) = 𝑣𝑤. DETERMINE O VALOR DA EXPRESSÃO 𝑢 ∂𝑓∂𝑢 + 𝑣
∂𝑓
∂𝑣 + 𝑤
∂𝑓
∂𝑤.
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
GABARITO
1. A tensão em um circuito elétrico é dada pela equação V= RI, na qual R é a resistência e
I a corrente elétrica. A tensão do circuito está diminuindo a uma taxa de 1 V/s, devido a
descarga da bateria e simultaneamente a resistência aumenta a uma taxa de 0,05 Ω/s.
Determine a taxa da variação da corrente quando a tensão for de 800 V e a resistência de
10 Ω.
A alternativa "B " está correta.
A função V(R,I) depende de R e I, e R = h(t) e I = g(t), então
𝑑𝑉
𝑑𝑡(𝑅𝑡, 𝐼𝑡) =
∂𝑉
∂𝑅
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡 +
∂𝑉
∂𝐼
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡
Pelo enunciado 𝑑𝑅(𝑡)𝑑𝑡 = 0,05Ω / 𝑠 e 
𝑑𝑉(𝑡)
𝑑𝑡 = - 1
𝑉
𝑠
Quando 𝑉 = 𝑅𝐼 → ∂𝑉∂𝑅 = 𝐼 e ∂𝑉∂𝐼 = 𝑅
Assim, substituindo na regra da cadeia
𝑑𝑉
𝑑𝑡𝑡 = 𝐼
𝑑𝑅𝑡
𝑑𝑡 + 𝑅
𝑑𝐼𝑡
𝑑𝑡 → - 1 = 80.0,05 + 10 . 
𝑑𝐼𝑡
𝑑𝑡
10 . 𝑑𝐼𝑡𝑑𝑡 = - 1 - 4 = - 5 →
𝑑𝐼𝑡
𝑑𝑡 = - 0,5 𝐴 / 𝑠
2. Seja a função g(x, y) = 4 cos (xy). Sabe-se que x = 4t2 e y = t3. Use a regra da cadeia e
determine a taxa de variação da função g em relação a t.
A alternativa "C " está correta.
A função g(x,y) depende de x e y, e x = h(t) e y = g(t), então
𝑑𝑔
𝑑𝑡(𝑥𝑡,𝑦𝑡) =
∂𝑔
∂𝑥
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 +
∂𝑔
∂𝑦
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
Temos:
𝑥𝑡 = 4𝑡2 → 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 8𝑡
𝑦𝑡 = 𝑡3 → 𝑑𝑦(𝑡)𝑑𝑡 = 3𝑡
2
𝑔𝑥,𝑦 = 4cos 𝑥𝑦 → ∂𝑔∂𝑥 = 4-1𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑦 = - 4𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
𝑔𝑥,𝑦 = 4cos 𝑥𝑦 → ∂𝑔∂𝑥 = 4-1𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑥 = - 4𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
Portanto
𝑑𝑔
𝑑𝑡𝑥𝑡,𝑦𝑡 = - 4𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 8𝑡 + - 4𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 3𝑡
2
Porém, x = 4t2 e y = t2
𝑑𝑔
𝑑𝑡𝑡 = - 4𝑡
3 𝑠𝑒𝑛4𝑡2 𝑡3 8𝑡 - 4 4𝑡2 𝑠𝑒𝑛4𝑡2 𝑡3 3𝑡2
𝑑𝑔
𝑑𝑡𝑡 = - 32𝑡
4 𝑠𝑒𝑛4𝑡5 - 48 𝑡4 𝑠𝑒𝑛4𝑡5 = - 80 𝑡4 𝑠𝑒𝑛4𝑡5 
3. Determine a derivada parcial da função g(x, y) = 2xy, em relação a variável θ, sabendo
que x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ.
A alternativa "C " está correta.
A função g(x, y) depende de x e y, com x = h(r, θ) e y = f(r, θ) . Assim
∂𝑔
∂𝑟 =
∂𝑔
∂𝑥
∂𝑥
∂𝜃 +
∂𝑔
∂𝑦
∂𝑦
∂𝜃
Mas
𝑔𝑥,𝑦 = 2𝑥𝑦 → ∂𝑔∂𝑥 = 2𝑦 𝑒 
∂𝑔
∂𝑦 = 2𝑥 
𝑥𝑟,𝜃 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 → ∂𝑥∂𝜃 = - 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦𝑟,𝜃 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 → ∂𝑦∂𝜃 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃
Assim
∂𝑔
∂𝜃 = 2𝑦( - 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) + 2𝑥 (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)
Como x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ
∂𝑔
∂𝜃 = 2 𝑟sen 𝜃( - 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) + 2 𝑟cos 𝜃(𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)
∂𝑔
∂𝜃 = 2𝑟
2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 - 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 2𝑟2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 
4. Seja a função h(u, v) = -sen(u2 + v2). Sabe-se que u(x, y, z) = x -y + 3z e v(x, y, z) = 2x -
3y + 2z. Determine a soma da derivada parcial da função h em relação à variável y com a
derivada parcial da função h em relação à variável z, para x = y = z = 1.
A alternativa "E " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
5. A equação que relaciona a pressão (P), medida em kPa, a temperatura (T), medida em
K, e o volume (V), medidas em litros, de dois moles de um gás ideal é dada por 𝑃𝑉𝑇 = 16,6.
Determine a taxa de variação do volume do gás, quando a pressão 25 kPa está
aumentando a uma taxa de 0,04 kPa/s e a temperatura é de 600 K e está diminuindo a
uma taxa de 0,1 K/s
A alternativa "E " está correta.
𝑃𝑉
𝑇 = 16,6 → 𝑉 = 16,6
𝑇
𝑃
𝑑𝑉
𝑑𝑡 =
∂𝑉
∂𝑃
∂𝑃
∂𝑡 +
∂𝑉
∂𝑇
∂𝑇
∂𝑡
Mas:
𝑉 = 16,6𝑇𝑃 = 16,6𝑇 
1
𝑃 →
∂𝑉
∂𝑃 = 16,6𝑇
1
𝑃
' = 16,6𝑇 -1 1
𝑃2
= -16,6𝑇
𝑃2
𝑉 = 16,6𝑇𝑃 = 16,6
1
𝑃 𝑇 →
∂𝑉
∂𝑇 = 16,6
1
𝑃𝑇
' = 16,6𝑃
∂𝑃
∂𝑡 = 0,04 𝑘𝑃𝑎 / 𝑠 e ∂𝑇∂𝑡 = - 0,1 𝐾 / 𝑠
Assim
𝑑𝑉
𝑑𝑡 =
-16,6𝑇
𝑃2
0,04 + 16,6𝑃 ( - 0,1)
Mas P = 25 kPa e T = 600 K
Portanto
𝑑𝑉
𝑑𝑡 =
-16,6 . 600
252
0,04 + 16,625 -0,1 = - 0,637 - 0,066 = - 0,703 l/s
6. Seja a função 𝑓𝑥, 𝑦, 𝑧, na qual 𝑥(𝑢, 𝑣,𝑤) = 𝑢𝑣,𝑦(𝑢, 𝑣,𝑤) = 𝑤𝑢 e 𝑧(𝑢, 𝑣,𝑤) = 𝑣𝑤. Determine o
valor da expressão 𝑢 ∂𝑓∂𝑢 + 𝑣
∂𝑓
∂𝑣 + 𝑤
∂𝑓
∂𝑤.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O VOLUME DE UM CONE É DADO PELA FÓRMULA 𝑉𝑟, ℎ = 13𝜋𝑟
2 ℎ, NA
QUAL R É O RAIO DA BASE E H É A ALTURA DO CONE, AMBAS
MEDIDOS EM METROS. DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DO VOLUME
DO CONE, PARA R = 2 M E H = 1 M, SABENDO QUE O RAIO ESTÁ
VARIANDO A UMA TAXA DE – 0,1 M/S E A ALTURA A UMA TAXA DE 0,2
M/S.
A) 15𝜋 𝑚³ / 𝑠
B) -25𝜋 𝑚³ / 𝑠
C) - 215𝜋 𝑚³ / 𝑠
D) 215𝜋 𝑚³ / 𝑠
E) 415𝜋 𝑚³ / 𝑠
2. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO G(X, Y) = 2X2+Y3, EM
RELAÇÃO A VARIÁVEL R, SABENDO QUE X(R, Θ) = R COSΘ E Y(R, Θ) = R
SENΘ.
A) 4𝑟 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 3𝑟2 𝑠𝑒𝑛3 𝜃
B) 2𝑟 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑟2 𝑐𝑜𝑠3 𝜃
C) 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛3 𝜃D) 8𝑟3 𝑠𝑒𝑛4 𝜃
E) 3𝑟2 𝑐𝑜𝑠3 𝜃
GABARITO
1. O volume de um cone é dado pela fórmula 𝑉𝑟, ℎ = 13𝜋𝑟
2 ℎ, na qual r é o raio da base e h é
a altura do cone, ambas medidos em metros. Determine a taxa de variação do volume do
cone, para r = 2 m e h = 1 m, sabendo que o raio está variando a uma taxa de – 0,1 m/s e
a altura a uma taxa de 0,2 m/s.
A alternativa "D " está correta.
Se 𝑉𝑟, ℎ = 13𝜋𝑟
2 ℎ usando a regra da cadeia, se tem 𝑑𝑉𝑑𝑡 =
∂𝑉
∂𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡 +
∂𝑉
∂ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Como ∂𝑉∂𝑟 = 23𝜋ℎ𝑟, ∂𝑉∂ℎ = 13𝜋𝑟
2 , 𝑑𝑟𝑑𝑡 = – 0,1 e 𝑑ℎ𝑑𝑡 = 0,2, se tem
𝑑𝑉
𝑑𝑡 =
∂𝑉
∂𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡 +
∂𝑉
∂ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡 =
2
3𝜋ℎ𝑟-0,1 +
1
3𝜋𝑟
2 0,2
Para r = 2 m e h = 1 m
𝑑𝑉
𝑑𝑡 =
2
3𝜋 . 1.2-0,1 +
1
3𝜋2
2 0,2 = - 43𝜋 
1
10 +
4
3𝜋 
2
10
4
30𝜋 =
2
15𝜋 𝑚³ / 𝑠
2. Determine a derivada parcial da função g(x, y) = 2x2+y3, em relação a variável r,
sabendo que x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ.
A alternativa "A " está correta.
A função g(x, y) depende de x e y, com x = h(r, θ) e y = f(r, θ). Assim
∂𝑔
∂𝑟 =
∂𝑔
∂𝑥
∂𝑥
∂𝑟 +
∂𝑔
∂𝑦
∂𝑦
∂𝑟
Mas
𝑔𝑥,𝑦 = 2𝑥2 + 𝑦3 → ∂𝑔∂𝑥 = 4𝑥 𝑒 
∂𝑔
∂𝑦 = 3𝑦
2 
𝑥𝑟,𝜃 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 → ∂𝑥∂𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦𝑟,𝜃 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 → ∂𝑦∂𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
Assim
∂𝑔
∂𝑟 = 4𝑥cos 𝜃 + 3𝑦
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Como x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ
∂𝑔
∂𝑟 = 4𝑟 cos 𝜃cos 𝜃 + 3(𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
∂𝑔
∂𝑟 = 4𝑟 𝑐𝑜𝑠
2 𝜃 + 3𝑟2 𝑠𝑒𝑛3 𝜃
MÓDULO 4
 APLICAR A DERIVADA DIRECIONAL E A DERIVADA PARCIAL
DE ORDEM SUPERIOR
INTRODUÇÃO
Em algumas aplicações, se torna necessário obter a taxa de variação de uma função
escalar quando ocorre a variação das variáveis seguindo certa direção. Esta derivada é
denominada de derivada direcional e será determinada através do gradiente de uma
função escalar
A DERIVADA PARCIAL TAMBÉM SERÁ UMA FUNÇÃO
ESCALAR, CAPAZ DE POSSUIR, POR SUA VEZ, UMA
DERIVADA PARCIAL. ESTA DERIVADA É DENOMINADA DE
FUNÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR E SERÁ
CALCULADA ATRAVÉS DAS DERIVAÇÕES PARCIAIS
SUCESSIVAS.
DERIVADAS DIRECIONAIS
Certas práticas exigem a obtenção da taxa de variação de uma função escalar em
determinada direção/sentido. Essa taxa será denominada de derivação direcional da
função e dependerá do ponto analisado e do vetor que determina a direção/sentido
desejado.
 ATENÇÃO
A direção/sentido desejado deve ser definido através de um vetor unitário (versor).
Vamos iniciar a definição para funções escalares com domínio em R2.
Seja a função f: S ⊂ R2 → R, a derivada direcional de f em um ponto (x0, y0) na direção e
no sentido do vetor unitário →𝑣(a,b) é
𝐷𝑣 𝑓𝑥0 , 𝑦0 = limℎ → 0
 
𝑓𝑥0 + 𝑎ℎ,𝑦0 + 𝑏ℎ - 𝑓𝑥0 ,𝑦0
ℎ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta derivada vai existir se o limite acima existir.
Observe que se →𝑣⃗(a, b) = (1, 0), a derivada direcional será a própria derivada parcial em
relação a variável x. E se 
→
𝑣(a,b) = (0, 1), a derivada direcional será a própria derivada
parcial em relação a variável y. Dizemos, portando, que as derivadas parciais de f em
relação a x e a y são casos particulares da derivada direcional.
Não iremos calcular a derivada direcional através de sua definição, ou melhor, através do
cálculo do limite. Para a determinação da derivada direcional, usaremos o teorema, a
seguir, por permitir seu cálculo pelo gradiente da função escalar f.
TEOREMA
SE F É UMA FUNÇÃO ESCALAR DIFERENCIÁVEL EM X E EM Y,
ENTÃO A DERIVADA DIRECIONAL NA DIREÇÃO E NO SENTIDO
DE QUALQUER VETOR UNITÁRIO 
→
𝑣(A, B) É DADO POR
𝐷𝑣 𝑓𝑥,𝑦 = ∇𝑓(𝑥,𝑦) .
→𝑣 (𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑓𝑥 𝑥,𝑦 + b 𝑓𝑦 (𝑥,𝑦)
Observe que o maior valor da derivada direcional será quando o vetor unitário tiver a
mesma direção e sentido que o ∇f, tendo o módulo desta derivada o valor do módulo do
∇f. Este fato comprova o que foi dito: que o gradiente da função é o vetor que representa
a maior taxa de variação da função.
A derivada direcional pode ser analisada como sendo a projeção do vetor gradiente
sobre a direção e sentido definidos pelo vetor unitário →𝑣 .
EXEMPLO 1:
Determine a derivada direcional da função f(x, y) = 5x3 y + 5 na direção do vetor 
→
𝑣(3, 4),
para o ponto (x, y) = (1, 1)
SOLUÇÃO
Observe que o vetor →𝑣(3, 4) não é um versor, ou seja, um vetor unitário. Assim,
necessitamos achar o vetor unitário na direção/sentido de 
→
𝑣(3, 4).
→𝑣 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
Dessa forma, o versor será
�̂� = →𝑣→𝑣 =
1
53,4 =
3
5,
4
5
Sabe-se que f(x, y) = 5x3 y + 5, então
∂𝑓
∂𝑥 = 5𝑦(𝑥
3 )
'
= 5𝑦 3𝑥2 = 15𝑦𝑥2
∂𝑓
∂𝑦 = 5𝑥
3 (𝑦)' = 5𝑥3
Portanto, ∇f(x, y) = (15yx2, 5x3)
Assim, a derivada direcional será dada por
𝐷𝑣 𝑥,𝑦 = ∇𝑓 . �̂� = 15𝑦𝑥
2 3
5 + 5𝑥
3 4
5 = 9𝑦𝑥
2 + 4𝑥3
Para o ponto (x,y)=(1,1)
𝐷𝑣 𝑥,𝑦 = ∇ = 9.1 . 1
2 + 4 . 13 = 9 + 4 = 13
DERIVADA PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar, conforme já estudada neste tema, é também
uma função escalar. Por serem funções escalares, podemos também determinar as suas
derivadas parciais em relação as variáveis independentes.
A DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO QUE JÁ É DERIVADA
PARCIAL DE UMA FUNÇÃO É DENOMINADA DE DERIVADA
PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM. SE REPETIRMOS O
PROCESSO, TEREMOS AS DERIVADAS PARCIAIS DE
TERCEIRA, QUARTA, ..., ENÉSIMA ORDEM.
ESTAS DERIVADAS PARCIAIS SÃO CONHECIDAS COMO
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR.
Iniciaremos nosso estudo pelas derivadas parciais de segunda ordem para uma função
escalar f(x,y), isto é, com domínio no R2. Por exemplo, seja f(x, y) = 4x2y3, então
𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 8𝑥𝑦
3 e 𝑓𝑦 𝑥,𝑦 = 12𝑥
2 𝑦2
Vamos agora determinar as derivadas parciais de segunda ordem, ou, a derivada parcial
da função escalar fx (x, y) = 8xy3
𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 8𝑥𝑦
3 → ∂𝑓𝑥∂𝑥 = 8𝑦
3
𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 8𝑥𝑦
3 → ∂𝑓𝑥∂𝑦 = 24𝑥𝑦
2
Usamos a seguinte notação
∂𝑓𝑥
∂𝑥 =
∂
∂𝑥
∂𝑓
∂𝑥 =
∂2 𝑓
∂𝑥2
= 8𝑦3 ou 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 = 8𝑦
3
∂𝑓𝑥
∂𝑦 =
∂
∂𝑦
∂𝑓
∂𝑥 =
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 = 24𝑥𝑦
2 ou fx y = fxy = 24xy
2
De forma análoga, podemos fazer o mesmo raciocínio para as derivadas parciais da
função escalar fy (x, y) = 12x2 y2
fy x, y = 12x
2 y2 →
∂fy
∂x = 24xy
2
fy x, y = 12x
2 y2 → ∂fy∂y = 24x
2 y
Usamos a notação
∂fy
∂x =
∂
∂x
∂f
∂y =
∂2 f
∂x ∂y = 24xy
2 ou fy x = fyx = 24xy
2
∂fy
∂y =
∂
∂y
∂f
∂y =
∂2 f
∂y2
= 24x2 y ou fy y = fyy = 24x
2 y
Portanto, as funções fx(x, y) e fy(x, y) são denominadas de derivadas parciais de primeira
ordem da função f(x, y). As funções fxx(x, y) , fxy(x, y), fyx(x, y) e fyy(x, y) são as derivadas
de segunda ordem da função f(x, y).
 ATENÇÃO
É preciso cuidado com a notação utilizada, pois a ordem das variáveis na notação
determina a ordem da derivação.
Veja a primeira notação:
∂2 f
∂x ∂y → a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável y e
depois em relação a variável x.
∂2 f
∂y ∂x → a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável x e
depois em relação a variável y.
 COMENTÁRIO
Observe que a ordem de derivação parcial no denominador aparece da direita para a
esquerda.
Agora analisemos a segunda notação:
fyx → a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável y e depois
em relação a variável x.
fxy → a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável x e depois
em relação a variável y.
 COMENTÁRIO
Observe que, neste caso, a ordem da derivação parcial no índice aparece da esquerda
para a direita.
O número de derivadas parciais de segunda ordem dependerá do domínio da função.
Como vimos no exemplo, a função f(x . y) tinha domínio no R2, assim possuía 4
derivadas de segunda ordem, correspondendo a 2 variáveis vezes 2 variáveis.
Desse modo, se o domínio da função escalar for no Rn, ela possuirá n2 derivadas de
segunda ordem. Vamos ver o caso do R3, seja g(x, y, z): S ⊂ R3, as derivadas de segunda
ordem de g(x, y, z) serão nove:
∂2𝑔
∂𝑥2
, ∂
2𝑔
∂𝑦 ∂𝑥, 
∂2𝑔
∂𝑧 ∂𝑥,
∂2𝑔
∂𝑥 ∂𝑦 
∂2𝑔
∂𝑦2
, ∂
2𝑔
∂𝑧 ∂𝑦, 
∂2𝑔
∂𝑥 ∂𝑧,∂2𝑔
∂𝑦 ∂𝑧 𝑒 
∂2𝑔
∂𝑧2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função h(x, y) = 4x3y + y2 cos(x)
SOLUÇÃO
Inicialmente, precisamos obter as derivadas parciais de primeira ordem
∂ℎ
∂𝑥 = 12𝑥
2 𝑦 - 𝑦2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∂ℎ
∂𝑦 = 4𝑥
3 𝑦 + 2𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Agora iremos derivar parcialmente as derivadas parciais de primeira ordem para obter as
quatro derivadas parciais de segunda ordem.
∂
∂𝑥
∂ℎ
∂𝑥 =
∂2 ℎ
∂𝑥2
= 24𝑥𝑦 - 𝑦2 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
∂
∂𝑦
∂ℎ
∂𝑥 =
∂2 ℎ
∂𝑦 ∂𝑥 = 12𝑥
2 - 2𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∂
∂𝑥
∂ℎ
∂𝑦 =
∂2 ℎ
∂𝑥 ∂𝑦 = 12𝑥
2 𝑦 - 2𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∂
∂𝑦
∂ℎ
∂𝑦 =
∂2 ℎ
∂𝑦2
= 4𝑥3 + 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 ATENÇÃO
Foram dados exemplos de derivadas parciais de segunda ordem, mas as derivadas
parciais de ordem maiores do que a segunda seguem a mesma notação e o mesmo
procedimento.
EXEMPLO 3:
Seja a função f(x, y, z) = 2xez + 3x2y3z – 2 cos x. Determine as derivadas parciais de
ordem superior fxyz.
SOLUÇÃO
Como visto na teoria, a notação fxyz, representa uma derivada parcial de terceira ordem
com a seguinte sequência de derivadas x, y e por último z.
Assim 𝑓𝑥𝑦𝑧 = ∂
3 𝑓
∂𝑧 ∂𝑦 ∂𝑥
∂𝑓
∂𝑥 = 2𝑒
𝑧 (𝑥)' + 3𝑦3 𝑧𝑥2
'
- 2𝑐𝑜𝑠𝑥' = 2𝑒𝑧 + 3𝑦3 𝑧 2𝑥 - 2-𝑠𝑒𝑛𝑥
∂𝑓
∂𝑥 = 2𝑒
𝑧 + 6𝑥𝑦3 𝑧 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 =
∂
∂𝑦
∂𝑓
∂𝑥 = 2𝑒
𝑧 ' + 6𝑥𝑧𝑦3
'
+ 2𝑠𝑒𝑛𝑥' = 0 + 6𝑥𝑧 3𝑦2 + 0 = 18𝑥𝑧𝑦2
∂3 𝑓
∂𝑧 ∂𝑦 ∂𝑥 =
∂
∂𝑧
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 = 18𝑥𝑦
2 𝑧
'
= 18𝑥𝑦2
As derivadas parciais de ordem superior que envolvem variáveis diferentes são
denominadas derivadas mistas da função.
NOS EXEMPLOS APRESENTADOS ATÉ AQUI, AS DERIVADAS
MISTAS ENVOLVENDO AS MESMAS VARIÁVEIS
APRESENTARAM OS MESMOS VALORES, MAS NEM SEMPRE
ISSO ACONTECE. AS DERIVADAS MISTAS, ENVOLVENDO O
MESMO CONJUNTO DE VARIÁVEIS, APENAS EM ORDEM
DIFERENTE, SERÃO IGUAIS SE FOREM FUNÇÕES
CONTÍNUAS.
Por exemplo, para o caso do R2, elas serão ∂
2 𝑓
∂𝑥 ∂𝑦 e 
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥. Estas derivadas serão iguais se, e
somente se, as derivadas ∂2 𝑓∂𝑥 ∂𝑦 e ∂
2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 forem contínuas. Assim, se uma for contínua,
obrigatoriamente a outra também será e terá o mesmo valor da primeira.
Esta conclusão diminui o número de cálculo para obter as derivadas de ordem superior,
pois necessitaremos apenas fazer a conta uma vez para cada conjunto de derivadas
mistas.
RESUMO DO MÓDULO 4
TEORIA NA PRÁTICA
A temperatura em uma placa plana é dada pela equação 𝑇𝑥,𝑦 = √𝑥2 + 2𝑦2 , que apresenta
a temperatura (T), medido em °C em um ponto (x, y), com x e y medida em metros. Um
objeto se encontra no ponto (1,√2). Determine a taxa de variação da temperatura sofrida
pelo objeto, quando ele segue uma trajetória definida pelo vetor (2, 4).
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. A DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM MISTA DA FUNÇÃO G(X,Y) = (XY-
2YX3+KXY4), COM K REAL, NO PONTO (1,1) VALE 3. DETERMINE O
VALOR DE K
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. DETERMINE O VALOR DA MAIOR DERIVADA DIRECIONAL PARA A
FUNÇÃO 𝑔𝑥,𝑦, 𝑧 = 3𝑥
2𝑦
𝑧2
 NO PONTO (X, Y, Z) = (1, 1, –1).
A) 5
B) 9
C) -3
D) 2
E) 6
3. SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) = 3X2 + 2XY. DETERMINE A DERIVADA
DIRECIONAL DA FUNÇÃO ∂𝑓∂𝑥 NA DIREÇÃO DO VETOR (–4, 3).
A) 85
B) 125
C) -185
D) -125
E) 185
4. DETERMINE A SOMA DAS QUATRO DERIVADAS DE SEGUNDA ORDEM
DA FUNÇÃO𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑦2 𝑒
𝑥2
 NO PONTO (1, 1)
A) 16e
B) 32e
C) 48e
D) 64e
E) 72e
5. DETERMINE A EXPRESSÃO DA DERIVADA PARCIAL ∂
3ℎ
∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧(𝑥,𝑦, 𝑧),
SENDO ℎ𝑥,𝑦, 𝑧 = 4𝑥3 𝑒-2𝑦 cos (3𝑧)
A) 72𝑥2 𝑒-2𝑦 𝑠𝑒𝑛(3𝑧)
B) 36𝑥3 𝑒-𝑦 𝑐𝑜𝑠(3𝑧)
C) 36𝑥2 𝑒-2𝑦 𝑐𝑜𝑠(3𝑧)
D) 18𝑥2 𝑒-2𝑦 𝑠𝑒𝑛(3𝑧)
E) 24𝑥2 𝑦 𝑠𝑒𝑛(3𝑧)
6. SEJA A FUNÇÃO 𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦2 cos(𝑥𝑦). DETERMINE A DERIVADA
DIRECIONAL, NO PONTO 𝑥,𝑦 = √𝜋2 ,
√𝜋
2 , EM RELAÇÃO A DIREÇÃO DEFINIDA
PELO VETOR UNITÁRIO (1, –1).
A) 𝜋8
B) 𝜋√24
C) 𝜋√22
D) -𝜋8
E) -𝜋2
GABARITO
1. A derivada de segunda ordem mista da função g(x,y) = (xy-2yx3+kxy4), com k real, no
ponto (1,1) vale 3. Determine o valor de k
A alternativa "C " está correta.
gx, y = xy - 2yx3 + kxy4
∂𝑔
∂𝑥 = 𝑦(𝑥)
' - 2𝑦𝑥3
'
+ 𝑘𝑦4 𝑥' = 𝑦 - 2𝑦 3𝑥2 + 𝑘𝑦4 = 𝑦 - 6𝑦𝑥2 + 𝑘𝑦4
∂
∂𝑦
∂𝑔
∂𝑥 = (𝑦)
' - 6𝑥2 𝑦
'
+ 𝑘𝑦4
'
= 1 - 6𝑥2 + 𝑘 . 4𝑦3 = 1 - 6𝑥2 + 4𝑘𝑦3
∂2𝑔
∂𝑦 ∂𝑥1,1 = 1 - 6 . 1
2 + 4 . 𝑘 . 13 = 1 - 6 + 4𝑘 = 3
4k = 3 + 5 = 8 → 4k = 8 → k = 2
2. Determine o valor da maior derivada direcional para a função 𝑔𝑥,𝑦, 𝑧 = 3𝑥
2 𝑦
𝑧2
 no ponto (x,
y, z) = (1, 1, –1).
A alternativa "B " está correta.
Sabe-se que a derivada direcional de maior valor é o próprio ∇g.
𝑔𝑥,𝑦, 𝑧 = 3𝑥
2 𝑦
𝑧2
∂𝑔
∂𝑥 =
3𝑦
𝑧2
𝑥2
'
= 3𝑦
𝑧2
 2𝑥 = 6𝑥𝑦
𝑧2
∂𝑔
∂𝑦 =
3𝑥2
𝑧2
𝑦' = 3𝑥
2
𝑧2
 
∂𝑔
∂𝑧 = 3𝑥
2 𝑦 1
𝑧2
'
= 3𝑥2 𝑦-2 1
𝑧3
= -6𝑥
2 𝑦
𝑧3
 
No ponto (1, 1, -1)
∇𝑔1,1, - 1 = 6.1 . 1
( - 1)2
, 3 . 1
2
( - 1)2
, -6 . 1
2 . 1
( - 1)3
= 6,3, 6
∇𝑔 = √62 + 32 + 62 = √81 = 9
3. Seja a função f(x, y) = 3x2 + 2xy. Determine a derivada direcional da função ∂𝑓∂𝑥 na
direção do vetor (–4, 3).
A alternativa "C " está correta.
𝑓𝑥,𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦
∂𝑓
∂𝑥 = 6𝑥 + 2𝑦
Para facilitar a nomenclatura chamaremos de
 ∂𝑓∂𝑥 = 𝑔𝑥,𝑦 = 6𝑥 + 2𝑦
Necessitamos achar o gradiente de f
∂𝑔
∂𝑥 = 6 e 
∂𝑔
∂𝑦 = 2
Repare que é constante e temo mesmo valor para todo (x,y)
O vetor ( – 4 , 3) não é unitário, assim necessitamos do versor:
→𝑣 = √( - 4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5
Assim
�̂� = →𝑣→𝑣 =
1
5-4,3 = -
4
5,
3
5
A derivada direcional vale
𝐷𝑣 = ∇𝑓 . �̂� = 6,2 . -45,
3
5 = 6 . -
4
5 + 2 .
3
5 = -
18
5
4. Determine a soma das quatro derivadas de segunda ordem da função𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑦2 𝑒
𝑥2
 no
ponto (1, 1)
A alternativa "B " está correta.
𝑓𝑥,𝑦 = 2𝑦2 𝑒
𝑥2
∂𝑓
∂𝑥 = 2𝑦
2 (𝑒𝑥
2
)
'
= 2𝑦2 2𝑥𝑒𝑥
2
= 4𝑥𝑦2 𝑒𝑥
2
∂𝑓
∂𝑦 = 2𝑒
𝑥2 (𝑦2 )
'
= 2𝑒𝑥
2
 2𝑦 = 4𝑦𝑒𝑥
2
∂2 𝑓
∂𝑥2
= ∂∂𝑥
∂𝑓
∂𝑥 = 4𝑦
2 (𝑥𝑒𝑥
2
)
'
= 4𝑦2 𝑒𝑥
2
+ 𝑥 2𝑥 𝑒𝑥
2
= 4𝑦2 (1 + 2𝑥2 )𝑒𝑥
2
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 =
∂
∂𝑦
∂𝑓
∂𝑥 = 4𝑥𝑒
𝑥2 (𝑦2 )
'
= 4𝑥𝑒𝑥
2
 2𝑦 = 8𝑥𝑦𝑒𝑥
2
Não existe necessidade de se calcular ∂
2 𝑓
∂𝑥 ∂𝑦, pois como 
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 é contínua, então
∂2 𝑓
∂𝑥 ∂𝑦 =
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥 = 8𝑥𝑦𝑒
𝑥2
∂2 𝑓
∂𝑦2
= ∂∂𝑦
∂𝑓
∂𝑦 = 4𝑒
𝑥2 (𝑦)' = 4𝑒𝑥
2
Para o ponto (x, y) = (1, 1)
∂2 𝑓
∂𝑥2
1,1 = 4 . 12 1 + 2 . 12 𝑒1
2
= 4.3 . 3 = 12 𝑒
∂2 𝑓
∂𝑦2
1,1 = 4𝑒1
2
= 4𝑒
∂2 𝑓
∂𝑥 ∂𝑦1,1 =
∂2 𝑓
∂𝑦 ∂𝑥1,1 = 8.1 . 1𝑒
12 = 8𝑒
Somando se tem 12e + 4e + 8 e + 8 e = 32e
5. Determine a expressão da derivada parcial ∂
3 ℎ
∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧(𝑥,𝑦, 𝑧), sendo ℎ𝑥,𝑦, 𝑧 = 4𝑥
3 𝑒-2𝑦 cos (3𝑧)
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
6. Seja a função 𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦2 cos (𝑥𝑦). Determine a derivada direcional, no ponto 𝑥,𝑦 = √𝜋2 , √
𝜋
2 ,
em relação a direção definida pelo vetor unitário (1, –1).
A alternativa "D " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A FUNÇÃO 𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦2 + 3𝑥𝑦. DETERMINE A DERIVADA
DIRECIONAL DA FUNÇÃO, NO PONTO (1, –1), NA DIREÇÃO DO VETOR (–
3, 4).
A) 115
B) 195
C) 35
D) 135
E) 175
2. SEJA A FUNÇÃO ℎ𝑥,𝑦 = 𝑥2𝑦 ln (𝑦). DETERMINE A DERIVADA DE
SEGUNDA ORDEM ∂
2ℎ
∂𝑦 ∂𝑥.
A) 2𝑥(ln 𝑦 + 1)
B) 2𝑦(ln 𝑦 - 1)
C) 𝑥(ln 𝑦 - 1)
D) xy(ln 𝑦 + 1)
E) 4𝑥(ln 𝑦 + 2)
GABARITO
1. Seja a função 𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦2 + 3𝑥𝑦. Determine a derivada direcional da função, no ponto (1,
–1), na direção do vetor (–3, 4).
A alternativa "D " está correta.
𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦2 + 3𝑥𝑦
∂𝑓
∂𝑥 = 3𝑦 e ∂𝑓∂𝑦 = 2𝑦 + 3𝑥
No ponto (1, –1)
∇𝑓1, - 1 = 3 . -1, 2 . -1 + 3.1 = ( - 3,1)
O vetor (–3, 4) não é unitário, assim necessitamos do versor:
→𝑣 = √( - 3)2 + (4)2 = √16 + 9 = √25
Assim
�̂� = →𝑣→𝑣 =
1
5-3,4 = -
3
5,
4
5
A derivada direcional vale
𝐷𝑣 = ∇𝑓 . �̂� = -3,1 . -35,
4
5 = -3 . -
3
5 + 1 .
4
5 =
9 + 4
5 =
13
5
2. Seja a função ℎ𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦 ln (𝑦). Determine a derivadade segunda ordem ∂
2 ℎ
∂𝑦 ∂𝑥.
A alternativa "A " está correta.
ℎ𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦 ln (𝑦)
∂ℎ
∂𝑥 = 𝑦𝑙𝑛𝑦𝑥
2 ' = 𝑦ln 𝑦 2𝑥 = 2𝑥𝑦ln 𝑦
∂
∂𝑦
∂ℎ
∂𝑥 = 2𝑥𝑦ln 𝑦
' = 2𝑥ln 𝑦 + 𝑦 . 1𝑦 = 2𝑥(ln 𝑦 + 1)
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito de função de várias variáveis, também
conhecida como função escalar, e suas derivadas.
No primeiro módulo, definimos a função escalar e vimos as suas representações, além
de analisarmos o gráfico e as curvas e superfícies de nível.
No segundo e terceiro módulos, aplicamos as derivadas parciais, o gradiente e a regra
da cadeia, bem como algumas de suas aplicações no cálculo diferencial e integral de
várias variáveis. Por fim, apresentamos a derivada direcional e as derivadas parciais de
ordem superior.
Temos certeza de que, a partir deste momento, você saberá definir e trabalhar com
funções escalares e aplicar suas derivadas.
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AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. 1 ed. Barcelona – Espanha: Editorial Reverte SA,
1985. cap. 8, p. 243-281
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 8, p.147-162, cap.
12, p. 211-225, cap. 13, p. 245-273 e cap. 14, p. 274-287.
STEWART, J. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 14, p.
884-977
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet e nas
referências:
Sobre funções escalares, derivadas parciais e derivadas direcionais.
Sobre as superfícies planas e espaciais, de forma a conhecer possíveis
representações gráficas obtidas por uma função escalar no plano ou no espaço.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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