Apostila RM Porto _caps 9-16

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FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO 
UNIVERSIDADE DE CAMPINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
Capítulos de 9 a 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RODRIGO DE MELO PORTO 
 
 
 
 
 
Edição atualizada a partir do original publicado em Limeira em agosto de 1977. 
CAPITULO 9 
 
CAMPO DE VELOCIDADE – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
9.1- Dado o escoamento permanente de um fluido incompressível, caracterizado por: 

V =a.x

i + b.y

j - (a + b)z

k 
a) Verificar se o escoamento satisfaz a equação da continuidade. 
b) Determinar a equação das linhas de corrente do escoamento no caso de a =-b. 
 
9.2- Conhecendo o escoamento variável caracterizado por: 
 

V = (2 + t2 )x 

i - (2 + t)y2

j pedem-se: 
 
a) as linhas de corrente no instante t =1 
b) a trajetória de uma partícula que no instante t =0 tem por coordenadas x =y =1. 
 
9.3- Demonstrar que o campo de velocidade




 j
yx
y
i
yx
x
2222
44
V satisfaz a 
continuidade em todos os pontos do plano xy, exceto na origem. 
a) Qual a equação da trajetória que passa no ponto (2,1). 
b) Desenhar algumas linhas de corrente que permitam a visualização do escoamento. 
c) Calcular o módulo do vetor velocidade e mostrar que a vazão através de cada circulo 
concêntrico com a origem (por metro na direção z) é constante e igual a 8 . Admita 
fluido incompressível. 
 
9.4- Comprovar se os seguintes campos de velocidades satisfazem ao principio da 
conservação da massa, para um fluido incompressível. 
a) 

V =6x

i + 6 y 

j -7 t 

k 
b) 

V =10

i + (x2 + y2)

j -2 y x 

k 
c) 

V = (6 + 2xy + t2)

i -(x. y2 + 10t)

j + 25

k 
 
9.5- Um escoamento tem seu campo de velocidade expresso por: 

V = (x- 4)

i + 15a y2

j + (a2- a- 12)t.z3

k 
Para quais valores de a, as linhas de corrente deste campo coincidem com as trajetórias, 
qualquer que seja o tempo t? Para os valores de a encontrados, determinar os pontos do 
espaço (x, y, z) para os quais o campo de velocidade satisfaz a equação da continuidade, 
para um fluido incompressível. 
 
9.6- Para cada um dos escoamentos descritos, dizer se as acelerações de transporte e 
local são zero ou diferentes de zero: 
a) escoamento em um conduto curvo de secção constante, com vazão constante. 
b) escoamento em um conduto longo de secção constante, com vazão constante. 
c) idem, idem, com vazão variável. 
d) escoamento em um conduto de secção variável com vazão crescente. 
 
9.7- Determinar a relação entre a velocidade máxima e a velocidade media 
correspondente a vazão Q nos escoamentos dados. 
a) Escoamento bidimensional com distribuição parabólica de velocidades 
b) Escoamento com simetria axial e distribuição parabólica de velocidades. 
Distribuição parabólica V= Vmax 


  2)(1
R
r
 
 
 
 
9.8- Determine a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima, para os dois 
escoamentos bidimensionais, cujos perfis de velocidade são os mostrados. 
 
 
9.9- No dispositivo mostrado na figura, através da tubulação A se introduz uma vazão 
de 140 l/s de água, enquanto que pela tubulação B se introduzem 28 l/s de óleo, de 
densidade relativa 0,8. Se os líquidos são incompressíveis e formam uma mistura 
homogênea de gotículas de óleo em água, qual é a velocidade média e a massa 
especifica da mistura que abandona o dispositivo pela tubulação C de 30 cm de 
diâmetro. Admitir uma massa especifica media constante para a mistura. 
 
 
 
9.10- Se no problema anterior o pistão D se move para a esquerda com uma velocidade 
de 30 cm/s e seu diâmetro é igual a 15 cm, qual é a velocidade média do fluido que sai 
para C. 
 
 
9.11 - Em um elevador pneumático tem-se um pistão deslocando-se com velocidade Vo 
constante, de tal maneira que também é constante a descarga G (vazão em massa) 
através do tubo de alimentação indicado na figura. Sabe-se que a massa específica do ar 
comprimido varia, dentro do cilindro, desde o valor  0, correspondente a posição 
inicial de equilíbrio xo, até o valor genérico  , assumido no instante t. Determinar a lei 
de variação de  em função do tempo t, conhecendo-se os valores de  0, x0, G e A 
área da secção reta do cilindro. 
 
9.12- Por um conduto uniformemente convergente escoa água em regime permanente. 
Na secção 1, de diâmetro igual a 0,60 m, o perfil de velocidade é dado por: 
 
V=2














2
30,0
1
r
 (m/s) 
 
e na secção 3, de diâmetro igual a 0,40 m, o perfil de velocidade tem uma distribuição 
cônica. Determinar a velocidade máxima na secção 3 e a velocidade media na secção 2 
que dista L/6 da secção 1. 
 
9.13- Considere-se um fluxo bidimensional permanente ao redor de um cilindro de raio 
a conforme a figura. Utilizando coordenadas cilíndricas podemos expressar o campo de 
velocidades, para o fluxo de um fluido não viscoso e incompressível da seguinte 
maneira: 
 

V (r, ) = - (Vo cos - 
2
2
r
Voa
 cos )

 r + (Vo sen + 2
2
r
Voa
 sen )

  
 
onde Vo é uma constante e 

 r e 

  são os vetores unitários nas direções radial e 
tangencial, respectivamente, como é mostrado na figura. Qual é a aceleração de uma 
partícula fluida em  =  o e situada no contorno do cilindro cujo raio é a? 
 
 
 
9.14- Na figura aparece um dispositivo no qual penetra água axialmente à razão de 280 
l/s e se dirige radialmente através de três condutos idênticos, cujas secções de saída são 
iguais a 460 cm2 em direção perpendicular ao fluxo. A água sai com um angulo de 30°, 
em relação ao conduto e medido a partir da direção radial, como se mostra na figura. Se 
a roda dos condutos gira em sentido dos ponteiros do relógio a uma velocidade angular 
constante de 10 rad/s com relação a Terra, qual o módulo da velocidade média com que 
sai a água pelos condutos medida com relação a Terra. Admitir fluido incompressível. 
 
9.15- Por um longo conduto circular de 0,30 m de diâmetro escoa água em regime 
permanente, com um perfil de velocidade v =[0,0225 - r2] (m/s). Determinar a 
velocidade média com que a água sai pelas tubulações de 0,05 m de diâmetro. 
 
 
9.16- Ar escoa por um tubo de secção constante de 5 cm de diâmetro. Numa secção (1) 
a massa específica é 1,18 kg/m3 e a sua velocidade é 20 m/s. Sabendo-se que o regime é 
permanente e que o escoamento é isotérmico, determinar: 
a) a velocidade do ar na secção (2), sabendo que a pressão na secção (1) é de 98 kPa 
(abs) e na secção (2) e 78,4 kPa (abs). 
b) a vazão em massa. 
c) a vazão em volume nas secções (1) e (2). 
 
9.17- Uma piscina de 20 m x 9 m x 2 m é alimentada através de um sistema, como 
mostra o esquema abaixo. O sistema consta de um poço cilíndrico de 1,20 m2 de área 
transversal, alimentado por uma vazão constante Q0 =10 l/s, do qual uma bomba recalca 
a água com uma vazão constante Q1=14 l/s, através de uma tubulação de recalque. Uma 
bóia convenientemente instalada no poço provoca o funcionamento da bomba no 
instante t=0, quando o nível d’água atinge o ponto (1) e a desliga quando o nível d’água 
atinge o ponto (2). Admitindo que uma válvula de retenção evita o esvaziamento da 
tubulação de recalque, e que a piscina esta vazia no tempo t=0, determinar: 
a) o intervalo de tempo entre o inicio e o fim do funcionamento da bomba, em cada 
ciclo, em minutos. 
b) o intervalo de tempo que a bomba permanece desligada, em cada ciclo, minutos. 
c) o tempo necessário para o enchimento total da piscina em horas. 
d) o número de vezes que a bomba e ligada até encher a piscina. 
e) trace o gráfico Q (l/s) x t (min) correspondente ao funcionamento da bomba. 
 
9.18- Um veículo possui um sistema automático para o enchimento dos próprios 
pneumáticos, para compensar uma eventual perda de ar, ocasionada por um furo 
pequeno. O compressor do veículo, por hipótese, fornece uma descarga de ar G1, 
constante, independente da pressão p no interior do pneu, e é acionado no momento em 
que a massa especifica do ar dentro do pneu atinge o valor c. Por hipótese a descarga 
(vazão em massa) G2 que sai de um furo pequeno é dada por G2 =K o
 onde K = cte. 
Admitindo que  o seja a massa específica do ar nas condições normais de uso do 
pneumático e que houve um pequeno furo, provocando o funcionamento do compressor 
no instante t =0, calcular o intervalo de tempo to de funcionamento do compressor, 
necessário para que o pneumático atinja as condições iniciais de uso. Dado, volume do 
pneumático Vol = cte. 
 
9.19- A figura mostra esquematicamente um pistão perfurado que se move no interior 
de uma câmara cilíndrica fixa, com uma velocidade constante Vo. Sabendo-se que a 
câmara está cheia de óleo, que o diâmetro do pistão é D e o diâmetro do furo é d, e que 
o fluido é incompressível. 
-Determinar: 
a) a velocidade absoluta do óleo no furo. 
b) a velocidade relativa entre o óleo e o pistão no furo. 
c) a vazão Q. 
 
9.20- Para simular o escoamento de um rio construi-se uma canaleta por onde escoa 
água com uma vazão variável em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo. 
A canaleta alimenta um reservatório regularizador cuja comporta é comandada de tal 
forma a fornecer para jusante uma vazão constante igual à vazão media do intervalo de 
tempo considerado. Tem-se disponível para o reservatório a altura de 2,0 m e uma área 
horizontal ilimitada. Determinar: 
1- A vazão media no intervalo de tempo de 24 horas. 
2-A área mínima para a execução do reservatório para que este nunca extravase, 
observando que no instante inicial t=0 hs o nível d’água no reservatório e 1,0 m. 
3-O nível mínimo que ocorre no reservatório. 
4-Traçar a curva Volume x Tempo para o reservatório. 
 
 
9.21- Determinar a velocidade média do escoamento na secção 3, conhecendo-se as 
distribuições nas secções 1 e 2 e sabendo-se que o fluido é incompressível. 
Secção 1- distribuição parabólica V1 = Vmax1















2
1
1
R
r 
Secção 2 -distribuição cônica V2 = Vmax2 ( 1 – r/R ) 
Dado: raio da secção 3 igual a R3. 
 
9.22- Como se mostra na figura, por um conduto de secção retangular entram 10 m3/s de 
água. Duas faces do conduto são porosas. Pela face superior se admite água a uma 
vazão, por unidade de comprimento, de distribuição parabólica, segundo se mostra, 
enquanto que pela face frontal se perde água com uma distribuição de vazão, por 
unidade de comprimento, linear. Na figura são dados os valores máximos da 
distribuição. Qual é o valor da velocidade media na secção de saída do conduto que tem 
1 m de comprimento e área da secção reta igual a 10 m2? 
 
9.23- O filtro de admissão de combustível de uma maquina é formado por um elemento 
poroso em forma de tronco de cone. O combustível penetra no filtro pela tubulação de 5 
cm de diâmetro, na qual o perfil de velocidade e parabólico com Vmax=1,20m/s. O 
perfil de velocidade na face superior, de 10 cm de diâmetro, e cônico com 
Vmax=0,3m/s. 
Qual a vazão de combustível que será filtrada pela parede porosa? 
 
9.24- Determinar a velocidade media na secção (3), sabendo-se que na secção (1), de 
diâmetro 2D, o escoamento é unidimensional e na secção (2), de diâmetro D, o perfil de 
velocidade e dado por V = k - r2, no qual k é uma constante e r uma dimensão linear 
marcada a partir do eixo do conduto. Faça as hipóteses necessárias. 
 
9.25- Determinar a descarga media, em relação ao tempo, em um duto onde escoa a 
descarga variável senoidal, G = Gmax.sen( t), proveniente de um compressor de ar 
mono cilíndrico. 
 
 
9.26- Determinar o volume especifico do fluido compressível em escoamento 
permanente na secção de diâmetro d3 = 15 cm, sabendo que a velocidade média é v=30 
m/s e que as descargas em peso valem  l = 2,94 N/s e  2 = 1,96 N/s. 
 
 
9.27- Um recipiente de volume constante Vo, deverá ser “enchido" de ar por um 
compressor que fornece uma descarga variável com o tempo, da forma: 
G = Gmax Sen ( t
T
2
 ) no qual T é o período. 
No instante t =0, em que o compressor é ligado, a massa especifica do ar no recipiente é 
 o. Determinar a variação de  com o tempo. 
Dados: Gmax, Vo,  o e T. 
 
9.28- Tem-se um escoamento de um fluido compressível em regime variável, através de 
um conduto de secção circular de área A constante. A velocidade media na secção, 
assim como a massa específica media, variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. 
Determinar a vazão e a descarga medias em relação ao tempo. Dados: Vmáx,  máx, 
 min e A. 
 
 
9.29- Água é bombeada através de uma tubulação de borracha para um reservatório cujo 
topo pode se mover livremente para cima. Na base do reservatório existe uma tubulação 
pela qual a água escoa em condições de regime laminar, com uma distribuição de 
velocidade dada por: 
 














2
1max
R
r
VV onde R é o raio da secção reta da tubulação. 
Sendo Q (m3 /s) a vazão que penetra no reservatório, A a área da seção reta e h a altura 
do reservatório, sendo V max =Kh, determine h como uma função do tempo. Assuma 
que h =0 quando t =0. 
 
 
 
9.30- Um reservatório cilíndrico de área da base igual a 10 m2 é alimentado por uma 
vazão variável com o tempo de acordo com a equação Q = -450 t2 + 3600 t, com t em 
horas e Q em litros por hora. Por outro lado o reservatório pode ser descarregado pelo 
duto de descarga que é regulado para fornecer uma vazão constante e igual a 1,25 l/s. 
No instante inicial, quando o nível d’água no reservatório é h =1,0 m este começa a ser 
alimentado e descarregado simultaneamente. Determine: 
a) a vazão média de alimentação no intervalo de 0 a 8 horas; 
b) o tempo em que ocorre o nível máximo e mínimo no reservatório; 
c) os níveis máximos e mínimos de água no reservatório. 
d) Traçar a curva Volume x Tempo 
 
 
 
9.31- Por um conduto convergente escoa água com uma vazão de 10 l/s. A maior seção 
do conduto tem 20 cm de diâmetro e a menor 10 cm. Determinar, em m/s, a expressão 
da velocidade media em uma secção genérica do conduto, de abscissa x, sendo L o 
comprimento do conduto. 
 
RESPOSTAS 
 
9.1 a) sim b) constxy (hipérbole) 
9.2 a) c
1
ln 
y
x b) 
3
2ln
3t
tx    12 122

 tty 
9.11 
tAVxA
tGxA
00
00



 
 
9.15 V=0,2 m/s 
 
9.17 a) t= 10 min. b) t=4 min. c) t=10 horas. d) n = 43 vezes 
 
9.21 







 2max
2
2
1max
2
1
2
3
32
1
V
R
V
R
R
Vm 
9.24 
2
4 13
k
VVM  
 
9.30 a) Qmed = 4800 l/h b) tmin = 1,55 h e tmax = 6,45 h c) hmin = 0,68 m e hmax = 1,55 
m 
9.31 m/s 
)2(
4
2
L
x
V



 
 
CAPITULO 10 
 
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
10.1- Determinar a velocidade média e a pressão na secção (2) de uma tubulação 
circular e horizontal, pela qual escoa um fluido incompressível e não viscoso em regime 
permanente. As condições na secção (1) são conhecidas. 
 
 
 
10.2- Calcule a vazão de gasolina (densidade relativa 0,82) através da linha de tubos da 
figura, primeiro usando as leituras dos manômetros e depois usando a leitura do 
manômetro diferencial, que contem mercúrio. 
Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6. 
 
 
 
10.3- A figura mostra um sifão. Desprezando-se totalmente as perdas, qual será a 
velocidade da água que sai por C como jato livre? Quais são as pressões da água no 
tubo, nos pontos A e B ? 
 
 
10.4- A entrada E de uma tubulação situa-se a 1,0 m abaixo da superfície livre de um 
reservatório, de grandes dimensões que contem água. A saída T da canalização situa-se 
a 3,0 m abaixo da mesma superfície livre. A tubulação tem um diâmetro de 8 cm e 
termina na extremidade T por uma contração cujo diâmetro é 4 cm. 
1- Qual o valor da velocidade Vt na saída da tubulação? 
2- Qual a vazão da água que escoa? 
3- Qual é na tubulação, o valor da pressão estática no ponto E ?. Admita g=10 m/s2 , 
 =9800 N/m3 e suponha que o escoamento se efetue sem perdas. 
 
 
10.5- A figura indica o escoamento de água em um canal de 3,0 m de largura. 
Desprezando todas as perdas de energia, determinar as possíveis profundidades dofluxo 
na seção B. 
 
10.6- Medida de velocidade -Tubo Pitot - Prandtl. 
 
 
10.7- Calcular a vazão para um fluxo ideal através das tubulações mostradas. 
 
 
10.8- A cavitação é um fenômeno que ocorre no seio de um líquido, quando a pressão 
num ponto do líquido atinge a pressão de vapor. Então no ponto onde ocorre a 
cavitação, o líquido começa a vaporizar, ocorrendo uma descontinuidade do fluxo. Na 
figura apresentada, a velocidade no ponto A é igual a l,5 vezes a velocidade no ponto B. 
Se a profundidade da água dentro do tanque é igual a 0,90 m, qual é o máximo valor de 
L que pode ser utilizado sem que se produza a cavitação? Admita que a pressão de 
vapor seja igual a 3200 Pa e a pressão atmosférica igual a 101,2 kPa,  = 9800 N/m3. 
 
 
10.9- Calcular a vazão do escoamento de ar, internamente ao duto esquematizado na 
figura. Considere o ar incompressível. Despreze o peso da coluna de ar. 
 
 
 
10.10- Se a pressão de vapor do H20 a 25
oC é 0,33 m.c.a., a que altura, sobre a 
superfície livre, pode estar o ponto B do exercício 10.3, antes que o sifão falhe por 
cavitação? Leitura barométrica 730 mm Hg. 
 
10.11- Calcular a velocidade V para R= 30 cm. 
 
 
10.12.- Na instalação abaixo para, h > 0,61m, fenômenos de cavitação são observados 
na secção contraída de 5 cm de diâmetro. Se a tubulação é horizontal e a secção se 
mantém cheia, determine a pressão de vapor da água. Leitura barométrica local 700 mm 
Hg. 
 
 
10.13- Medida de vazão de fluidos incompressíveis em tubu1ações de secção reta 
circular. 
a) Medidor Venturi 
 
 
 
 
b) Orifício ou diafragma 
 
 
 
10.14- Calcular a vazão do escoamento de ar internamente ao duto esquematizado na 
figura. Fazer as hipóteses necessárias. 
 
 
 
10.15 - Um submarino navega a 12 metros de profundidade com velocidade constante e 
igual a 3,2 m/s, em água inicialmente parada. A diferença de pressão existente entre o 
nariz do submarino (ponto A) e o ponto B distante 1,20 m de A e na mesma horizontal é 
0,3m.c.a., diferença esta provocada pela perturbação causada à massa fluída, pelo 
movimento do submarino. Determine a velocidade da água no ponto B. 
Dado:  = 9800 N/m3 
 
 
10.16- A água sai de um recipiente aberto de grandes dimensões, através de um tubo 
com contração gradual até o diâmetro d1 depois um alargamento gradual até o diâmetro 
d2. Desprezando as perdas de energia determinar a pressão absoluta na secção contraída 
1-1, se a relação dos diâmetros é d2/dl= √2. Achar a carga critica para qual a pressão 
absoluta na secção 1-1 e igual a zero. 
 
 
10.17- A figura representa um sifão composto de um tubo de 3" de A até B, seguido de 
um tubo de 4" de B à extremidade aberta C. As perdas de carga são as seguintes: 
de 1 a 2: 0,34 m. 
de 2 a 3: 0,21 m. 
de 3 a 4: 0,76 m. 
Com os valores da figura, calcular a vazão e tabelar as pressões relativas nos pontos 1,2, 
3 e 4. 
 
 
 
10.18- Qual deve ser a vazão Q, de tal forma que se tenha para uma velocidade V =3 
m/s a altura H = 3 m. Despreze o peso do ar. 
 
 
10.19- Deseja-se misturar continuamente uma solução concentrada A com água. Para 
isso utiliza-se um dispositivo como nos mostra a figura. Sabendo-se que: 
Q=23,6 l/s, d1=10 cm, d2 =5 cm, d3 =0,5 cm 
A=1078 kg/m3, p1=117,6 kPa (abs), patm = 101 kPa 
 
A- Determinar a vazão da solução em função da altura h. 
B- Determinar a máxima altura h admissível para que o dispositivo ainda funcione. 
 
 
10.20- A água está fluindo entre dois reservatórios abertos. Qual o máximo valor de h 
para que não ocorra cavitação na secção contraída de diâmetro igual a 10 cm. Leitura 
barométrica 730 mm Hg. Tensão de vapor da água 0,30 m.c.a. (22oC). 
 
 
10.21- O canal e a comporta da figura tem 1,0 m de largura. Calcule Ql, Q2, e Q3. 
Despreze as perdas. 
 
10.22- Um medidor Venturi cuja secção estrangulada tem um diâmetro de 5 cm, e 
instalado em uma tubulação vertical de 10 cm de diâmetro, como na figura. 
Desprezando as perdas, calcule a vazão de água que passa pela tubulação utilizando os 
dados da figura. O fato de o medidor estar na vertical ou na horizontal, afeta a solução 
do problema?. 
 
 
10.23- Determine a leitura no manômetro em m.c.a. Densidade relativa do mercúrio 
13,4. 
 
 
10.24- De uma tubulação cujo diâmetro é D sai um jato d’água através de um bocal cujo 
diâmetro é d. A saída está a a metros acima da linha de centro da tubulação. Um 
manômetro colocado na secção 1 mede uma pressão P. Conhecendo-se a velocidade V 
da água no ponto mais alto da trajetória, determinar a cota H deste ponto. Despreze as 
perdas. 
 
 
10.25- Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão de água pelo conduto. 
Dados: p2=19,6 kPa; Al=l0
-2 m2; g=10 m/s2. 
 
 
10.26- Pelo conduto da figura escoa um fluido incompressível em regime permanente. 
Entre as seções (1) e (2) colocou-se um tubo Pitot associado a dois manômetros 
diferenciais, cujo liquido manométrico é mercúrio. Sendo a relação das áreas A2/A1= m, 
mostre que h2/h1=m
2. 
 
 
10.27- No tubo convergente-divergente mostrado na figura ocorre cavitação. O lado 
direito do manômetro diferencial está conectado à zona de cavitação e a água no tubo 
manométrico foi toda evaporada, ficando somente vapor. Assumindo um escoamento de 
água a 20oC, sem perdas, calcule a vazão e a leitura no manômetro em Pa, se a leitura 
manométrica local for 714,6 mmHg. Densidade relativa do mercúrio 13,6. 
 
 
10.28- Pela tubulação de secção circular escoa água. Se as velocidades da linha de 
corrente que passam por 1 e 2 são respectivamente v1=3,0 m/s e v2=0,5 m/s, determinar 
o desnível h no manômetro conectado com os Pitot. 
Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6 . 
 
 
10.29- No final de um canal existe uma estrutura bidimensional que serve para 
descarregar a água, dirigindo-a para baixo como um jato livre, conforme a figura. 
Desprezando as perdas de carga, calcular a vazão de descarga, por metro linear da 
estrutura e a pressão no ponto A em m. c. a. 
 
 
10.30- Pelas tubulações da figura escoa água a 20oC, se a pressão barométrica é 679,8 
mmHg, qual a máxima vazão que se pode obter pela abertura da válvula? Despreze as 
perdas. 
 
 
10.31- Determine a vazão de água através da tubulação mostrada. Despreze as perdas de 
carga. Densidade relativa do mercúrio 13,6. 
 
 
10.32- Pelas tubulações da figura escoa água a 20oC, se a pressão barométrica local é de 
679,8 mmHg, qual a máxima vazão que se pode obter pela abertura da válvula?. 
Despreze as perdas. 
 
10.33- Para um escoamento de água a 24oC, determine a leitura no manômetro, em Pa 
colocado no reservatório mantido a nível constante, tal que provoque uma cavitação 
incipiente no estrangulamento de diâmetro d. Leitura barométrica local 685,4 mmHg. 
 
 
10.34- Um liquido de densidade relativa igual a 1,2 escoa de um reservatório, mantido a 
nível constante, para a atmosfera, através de um bocal. Se a perda de carga no bocal for 
10% da carga H qual a relação entre o desnível manométrico R e a carga H ? 
 
 
10.35- Determinar a vazão Q, para a instalação abaixo. Despreze as perdas. 
 
 
10.36- Calcular a vazão de água através do bocal. Dada densidade relativa do mercúrio 
igual a dr . 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
10.1 













 1
2
42
112
d
D
g
Vpp

 
10.2 Q = 0,22 m3/s 
10.3 pA = -23,5 kPa pB = -35,3 kPa 
10.4 Vt = 7,75 m/s Q = 9,7 l/s pE = 8 kPa 
10.5 h=0,64 m e h=4,66 m 
10.6 ghVd 2 
10.7 Q = 0,12 m3/s 
10.8 L = 3,95 m 
10.9  
ar
HgHHg
D
Q


12
2
2
4
 
10.10 h = 9,6 m 
10.11 V = 1,082 m/s 
10.12pvp/=0,35 m.c.a. 
10.13 a) 
4
1
2
0
2
1
12















D
D
hgA
CQ v


 b) 4
1
22
0
0
1
12















D
D
C
hg
ACQ
c
d


 
10.14 Hg
D
Q
ar
Hg 





 12
4
2


 
 
10.15VB = 0,78 m/s 
 
10.16 a) p1/ = 1,33 m.c.a. b) Hcrit = 3,40 m.c.a. 
 
10.19 a) hQ   52,41087,0 4 m3/s b) h < 4,52m 
 
10.27 Q=31 l/s p=23.500 Pa 
 
10.28 h=3,54 cm 
 
 
CAPITULO 11 
 
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI A BOMBAS E TURBINAS – 
PERDAS DE CARGA LINHA PIEZOETRICA - CAVITAÇÃO 
 
11.1- A água de um grande depósito, como mostra a figura, tem sua superfície livre 
submetida a uma pressão manométrica de 34,3 kPa. Segundo se mostra, a água é 
bombeada e expulsa em forma de jato livre mediante uma boquilha de 7,5 cm de 
diâmetro. Com os dados da figura calcule a potência da bomba em watts necessária para 
o bombeamento. Despreze as perdas de carga. 
 
 
11.2- Desprezando o atrito com a tubulação, calcular a potência em watts desenvolvida 
na turbina pela água procedente de um depósito de grandes dimensões. Despreze as 
perdas de carga. 
 
 
11.3- Uma bomba retira água de um reservatório por um conduto de sucção 0,20 m de 
diâmetro e descarrega através de um conduto de 0,15 m de diâmetro, no qual a 
velocidade media é de 3,66 m/s. A pressão no ponto A é de -34,3 kPa. O conduto de 
diâmetro 0,15 m descarrega horizontalmente no ar. Até que altura H, acima do ponto B, 
poderá a água ser elevada, estando B 1,80 m acima de A e sendo de 14,7 kW a potência 
aplicada pela bomba? Admitir que a bomba funciona com um rendimento de 70% e que 
as perdas por atrito entre A e C totalizem 3,05 m. 
 
 
 
11.4- Uma bomba eleva água de um reservatório A para um reservatório B, como na 
figura. A perda de carga entre A e 1 é igual a 3 vezes a carga cinética no conduto de 
diâmetro 0,15 m e a perda de carga entre 2 e B é igual a 20 vezes a carga cinética no 
conduto de diâmetro 0,10 m. Admitindo um rendimento de 80%, determinar a potência 
desenvolvida pela bomba quando a vazão for 15 l/s. Determine também as pressões em 
1 e 2. Esboçar a linha piezométrica. 
 
 
11.5 -Um conduto de 0,60 m de diâmetro alimenta uma turbina que descarrega água 
através de outro tubo de 0,60 m de diâmetro para o canal de fuga B. A perda de carga 
entre o reservatório A e o ponto 1 é 5 vezes a carga cinética no conduto, e a perda de 
carga entre o ponto 2 e o canal B é 0,2 vezes a carga cinética no tubo. Sendo a vazão 
0,71m3/s. Determinar a potência fornecida à turbina pela água e as pressões nos pontos 
1 e 2. Rendimento da turbina 70%. 
 
 
11.6- Uma vazão de 7,0 m3/s de água passa através de uma turbina Kaplan. A pressão 
estática no topo da tubulação de entrada é igual a 343 kPa e em uma seção de 1,50 m de 
diâmetro na tubulação de saída (“ canal de fuga “) da turbina a pressão de estagnação é 
igual a 250mmHg (vácuo). Para um rendimento igual a 0,95, qual a potência 
desenvolvida pela turbina? 
 
 
11.7- Uma bomba tem uma vazão de 9000 l/min de água. Seu conduto de sucção, 
horizontal, tem um diâmetro de 30 cm e possui um manômetro como na figura. Seu 
conduto de saída horizontal tem um diâmetro de 20 cm e sobre seu eixo, situado a 1,22 
m acima que o precedente, reina uma pressão P2 = 68,6 kPa, superior a atmosférica. 
Supondo o rendimento da bomba igual a 80%, qual a potência necessária para realizar 
este trabalho? 
Dado  Hg =13.600 kgf/m3. 
 
11.8- Determinar a potência da bomba em watts necessária para manter uma vazão de 
62,8 l/s, sendo de 80% o rendimento da instalação. Despreze as perdas. Se a pressão de 
vapor de água é 0,33 m e a leitura barométrica local é 686,4 mmHg, calcule a máxima 
distancia x para que não ocorra cavitação. Dado 1 atm =10,33 m.c.a. 
 
 
11.9- O esquema indica o transporte de 60 l/s de água do reservatório I para o 
reservatório II , através de uma tubulação de 100 mm de diâmetro. Com os dados da 
figura, determinar: 
 
a) a posição da bomba, definida pela distancia x, para que a pressão à montante da 
mesma seja 0,90 m.c.a. 
b) A potência da bomba em kW admitindo um rendimento de 80%. 
c) Traçar mais ou menos em escala, a linha piezométrica, indicando os valores da 
pressão no ponto B, a montante e a jusante da bomba. 
A perda de carga por metro (perda unitária) ao longo da tubulação é dada por J =0,1 
V2/2g. Desprezar as perdas localizadas e a taquicarga (contribuição da energia cinética 
na carga). Considerar LAB = 500m e LBC = 1000m. 
 
 
 
11.10- De um reservatório de grandes dimensões parte uma tubulação de 15 cm de 
diâmetro, a qual termina por um bocal com diâmetro de saída igual a 5 cm e que 
descarrega o jato na atmosfera. Um manômetro colocado na secção (1) mede uma 
pressão de 31 kPa. Sabendo-se que a perda de carga na tubulação de 15 cm é dada por 
gV 24 21 e a perda de carga no bocal é dada por gV 205,0
2
2 , determine a vazão e a 
carga H. Se, após o bocal for instalada uma turbina Pelton com =90%, qual a potência 
produzida pela turbina? 
 
 
11.11- Na instalação abaixo são conhecidos: 
 Q= 10 l/s, A = 0,01m2, P0 = 49 kPa, g = 10 m/s
2 
 P = 68,6 kPa, HCD =7,5 m, rendimento de maquina 80% 
 Determinar: 
 a) O sentido de escoamento de fluxo 
 b) a perda de carga entre A e B 
 c) o tipo de maquina (bomba ou turbina) 
 d) a potência da maquina 
e) a linha piezométrica entre A e D, determinando o valor das cotas 
piezométricas nos pontos A,B,C,D. 
 
 
11.12- No esquema da figura a pressão na secção (2) é 205 kPa, a perda de carga entre 
as 
secções (1) e (4) é 2m, a vazão é 10 l/s, a área da secção das duas tubulações é 100 cm2. 
Determinar: 
a) o sentido do escoamento 
b) o tipo de máquina (bomba ou turbina) 
c) a potência da máquina se seu rendimento é de 70% 
Assuma  =9800 N/m3, e g = 9,8 m/s2 
 
 
11.13- O sistema de recalque mostrado na figura possui uma bomba com 7,35 kW de 
potência e 75% de rendimento. A tubulação que liga o reservatório I ate o ponto A é de 
4" de diâmetro e transporta uma vazão de 10 l/s com uma perda unitária J1 = 3,14 
m/l00m, e a tubulação que liga o reservatório II ao ponto A e de 4" de diâmetro e 
transporta uma vazão de 16 l/s com uma perda unitária J2 = 5,10 m/100 m. A distancia 
do reservatório II ao ponto A é 65 m, da bomba até o registro é 100 m e do registro até o 
reservatório III é 155 m. Impondo que a pressão disponível imediatamente antes da 
bomba seja 3,0 m.c.a., e sabendo que a perda de carga unitária entre o ponto A e o 
reservatório III é J = 2,55 m/100 m, determine: 
a) A distância do reservatório I ao ponto A 
b) A distância do ponto A até ate a bomba 
c) A perda de carga no registro 
d) Traçar alinha piezométrica para as tubulações, indicando o valor das cotas 
piezométricas antes e depois do registro, antes e depois da bomba e a pressão disponível 
no ponto A. 
 
 
11.14- - O sistema de bombeamento mostrado na figura, deve ter uma pressão de 73,5 
kPa, no tubo de descarga, quando a cavitação na entrada da bomba for incipiente. 
Calcular o comprimento da tubulação de sucção, para esta condição de operação, se a 
perda de carga nesta tubulação for expressa por 0,90   gVDL 22 . Qual a potência da 
bomba? Qual a percentagem desta potência que é utilizada para vencer as perdas? 
 
Dados: leitura barométrica local 701,88 mmHg . 
rendimento da bomba 80 %. 
Pressão de vapor da água 3230 Pa. 

Hg
 =133100 N/m3. 
despreze as demais perdas. 
 
 
11.15- O sistema de bombeamento mostrado na figura passa pela tubulação de 6" 
diâmetro uma vazão de 20 l/s com uma perda de carga unitária igual a J = 1,57 m/l00 m. 
O registro que deve ser colocado na cota 80,00 provoca uma perda de carga localizada 
igual a 2 m. Qual deve ser a potência da bomba e a que distância do ponto A deve ser 
colocado o registro para que a pressão disponível no ponto A seja igual a m.c.a.? Os 
reservatórios possuem níveis constantes e o rendimento da bomba é 70%. Despreze a 
taquicarga. 
 
 
11.16- A figura mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório A para o 
reservatório B, através de uma tubulação de 400 mm de diâmetro, pela qual escoa uma 
vazão de 150 l/s, com uma perda de carga unitária: igual a J =0,55 m/100m, as 
distâncias AB1 e B2B são respectivamente 300m e 554m. A bomba Bl tem potência de 
36,7 kW, rendimento de 80% e o manômetro colocado na entrada desta bomba indica 
uma pressão de24,5 kPa. Com os dados da figura, determinar: 
a) A perda de carga localizada no registro R. 
b) A que distância de Bl deverá ser instalada a bomba B2 para que a pressão na entrada 
de B2 seja 4 m.c.a. 
c) A potência da bomba B2 se seu rendimento for de 70%. 
d) As cotas piezométricas antes e após as bombas. 
e) Traçar a linha piezométrica e a de energia 
 
 
11.17- Água esta sendo bombeada de um grande reservatório para um canal de 
irrigação, retangular de 0,5 m de largura, produzindo a situação mostrada na figura. 
Calcule a potência requerida pela bomba se seu rendimento é de 80% e sabendo que as 
perdas de carga localizadas e distribuídas nas canalizações de sucção e recalque 
totalizam 2,4 m. Despreze a taquicarga nas tubulações. 
 
 
11.18- Na instalação da figura, o sistema que liga os reservatórios A e B, de níveis 
constantes, é constituído por uma canalização de diâmetro constante e igual a 0,10 m e 
de comprimento total L = 100 m e pela máquina M. A perda de carga unitária na 
tubulação é dada por J =0,2 gV 22 (m/m); sendo L.E o trecho da linha de energia e L.P 
o trecho da linha piezométrica como indicado na secção 1, pedem-se: 
a) O tipo de máquina, bomba ou turbina, justificando. 
b) A potência em kW fornecida ou retirada no eixo da máquina cujo rendimento é 80%. 
c) A altura y da linha piezométrica na secção 1. 
Assuma g =9,8 m/s2 
 
 
11.19- Uma bomba eleva água do reservatório A para o reservatório B, como na figura. 
A perda de carga entre A e 1 é igual a 7 vezes a carga cinética do conduto de sucção e a 
perda de carga entre 2 e B é igual a 25 vezes a carga cinética do conduto de recalque. 
Admitindo um rendimento de 80%, determinar a potência fornecida pela bomba quando 
a vazão for de 30,0 l/s. Determinar as pressões nos pontos 1 e 2. Qual o máximo nível 
em que se deve instalar a bomba, para que não se produza cavitação? Temperatura da 
água 20oC, leitura barométrica local 712,4 mmHg. 
 
 
11.20- A figura mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório Rl para o 
reservatório R2 através de uma tubulação de diâmetro igual a 400 mm, pela qual escoa 
uma vazão de 150 l/s, com uma perda de carga unitária igual a J = 0,55m/100m. As 
distâncias ABl e B1R2 são, respectivamente 18,5 m e 1800 m. A bomba Bl tem potência 
igual a 36,7 kW e rendimento igual a 80%. Com os dados da figura determinar: 
a) A que distância de Bl devera ser instalada B2 para que a pressão na entrada de B2 seja 
2 m.c.a. 
b) A potência da bomba B2, sendo seu rendimento igual a 80%. 
c) A pressão disponível logo após as bombas Bl e B2 
Despreze em todos os itens a taquicarga. 
 
 
 
11.21- No sistema de tubulações mostrado na figura a bomba recalca pela tubulação BM 
uma vazão de 10 l/s, fornecendo uma potência de 3,67 kW com rendimento de 80 %. A 
perda de carga unitária nesta tubulação é J =2,24 m/100 m. O registro colocado na 
tubulação A, pela qual passam 7 l/s provoca uma perda de carga localizada igual a 
1,50m. Com os dados da figura, determinar: 
a) A pressão disponível no ponto M. 
b) A perda de carga unitária na tubulação AM em m/m. 
c) O nível d’água no reservatório C, se a perda de carga unitária em MC for 11,6 m/Km. 
d) Traçar as linhas piezométricas, determinando as cotas piezométricas antes e depois 
da bomba. 
Despreze a taquicarga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
11.1 Pot= 5,7 kW 
11.2 Pot= 10,1 kW 
11.3 hef = 7,4 m 
11.4 a) Pot= 14,1 kW. b) ...86,51 acmP  c) ...47,82
2 acmP  
11.5 a) Pot= 288,9 kW. b) ...48,541 acmP  c) ...86,4
2 acmP  
11.6 Pot= 2779 kW 
11.7 Pot= 39 kW 
11.8 x < 50 m 
11.9 a) x = 318 m. b) 35,2 kW. 
 
11.10 Q=15,2 l/s H=3,39 m Pot=411,6 W 
 
11.12 a) 2->1 b) bomba. c) Pot = 3,64 kW. 
 
11.14 L= 7,1 m Pot=5,18 kW porcentagem=24% 
 
11.18 a) Turbina. b) P=1,22 kW. c) y=14m. 
 
11.20 a) 527,3 m b) Pot=22,05 kW c) p1/=21,9 m p2/=14 m 
 
11.21 a) PM=10,14 m.c.a. b) J = 0,02 m/m c) N.A. = 125,40 m. 
d) C.P1 = 102,52 m C.P2 = 132,52m. 
 
 
 
 
CAPITULO 12 
 
LIQUIDOS SOB AÇÃO DE ACELERACÃO CONSTANTE 
 
12.1- O deposito da figura contem água e está sendo acelerado com 

ax = 4,9 m/s e 

ay =4,9m/s .Calcule a pressão nos pontos A, B e C, em m.c.a. 
 
 
 
12.2- Um recipiente retangular desce um plano inclinado com uma aceleração uniforme 
a, paralela a linha de maior declive do plano. Mostre que, a água dentro do recipiente 
toma uma posição fixa no interior do deposito, formando um angulo  com a 
horizontal, tal que: 


sen
a
g
tg


cos
 
 
 
 
12.3- Um depósito retangular que contem água, esta submetido a uma aceleração 
uniforme ax, ao longo de uma linha reta utilizando a equação de Euler, demonstrar 
primeiro que a variação de pressão ao longo de uma linha vertical. a partir da superfície 
livre é hidrostática em continuação demonstrar que tg = ax/g 
 
 
12.4- Suponha que o liquido contido em um deposito tenha sido submetido a um 
movimento giratório de velocidade angular constante  , durante intervalo de tempo de 
suficiente duração, para que o líquido tome uma posição fixa no recipiente. Demonstre 
que a superfície livre cuja cota sobre o plano xz designamos por y tem a forma de um 
parabolóide de revolução de equação: 
 
g
x
y
2
22
 
 
 
 
 
12.5- No problema anterior mostre que Y(r) =2a. 
 
 
12.6- Para verificar o bom funcionamento do dispositivo de frenagem de um automóvel, 
coloca-se sobre o veiculo um acelerômetro hidrostático, construído por um tubo em U 
cujos braços AB e DC são verticais e a base B horizontal de comprimento l= 20,0 cm e 
paralelo ao sentido de deslocamento do veículo. Admitindo um ensaio de frenagem com 
aceleração negativa constante, a diferença de nível que se estabelece entre os braços AB 
e CD é dada por  h=12 cm. Qual o valor da aceleração? 
 
 
12.7- Se o tubo U que contem mercúrio é girado em torno de um eixo vertical passando 
pelo braço BC, determine a altura da coluna de mercúrio no braço AD quando a 
velocidade de rotação é 40 r.p.m. 
 
12.8- Localize o eixo de rotação e calcule a velocidade angular do tubo em U da figura, 
de tal maneira que a pressão do líquido no ponto médio do ramo horizontal e no ponto 
A sejam ambas iguais a/n, onde n é um numero inteiro. 
 
 
12.9- O tubo da figura contendo água, gira em torno do eixo AB. Qual o valor da 
velocidade angular  que torna iguais as pressões em B e C? A esta velocidade, onde 
ocorre a pressão mínima no ramo BC e qual o seu valor? 
 
 
 
12.10- O tubo em U mostrado na figura é feito girar em torno de um eixo vertical 
passando pelo ponto E. Qual deve ser a velocidade angular constante  que se deve 
imprimir ao tubo para que o braço CD fique vazio. Os dois braços do tubo são abertos e 
suficientemente longos para que o liquido não extravase. 
 
 
12.11- Um tanque cilíndrico, sem tampa, conforme a figura está cheio de água. Que 
velocidade angular, em torno do eixo A-A', e necessário imprimir a ele, para que 1/3 da 
água contida no mesmo extravase. 
 
12.12.- Um tanque cilíndrico fechado de 1,80 m de altura e 0,90 m de diâmetro contem 
água até uma altura de l,35 m. Se o cilindro é posto a girar em torno do seu eixo 
geométrico, com uma velocidade angular  = 12 rad/s, qual a pressão relativa nos 
pontos B, C e D em m.c.a. 
 
 
12.13- Um reservatório cilíndrico de 0,60m de diâmetro e 1,2 m de altura esta cheio de 
água até a metade. Fazendo-se o tanque girar em torno de seu eixo vertical, determinar: 
a) Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que a água atinja a borda do 
tanque, sem extravasar. 
b) Qual será então as pressões máxima e mínima em m.c.a. no fundo do tanque, quando 
este gira com a velocidade do item a. 
c) Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que metade do diâmetro no fundo 
fique exposto, isto é, fique a pressão atmosférica. 
 
Assuma g =10 m/s2. 
12.14- Um tanque cilíndrico fechado de 1,80 m de altura e 0,90 m de diâmetro, contemágua até uma altura de 1,35 m. Girando com uma velocidade angular constante de 191 
r.p.m., que área de fundo do tanque não fica em contato com a água? 
 
 
 
12.15- Um cilindro de 7,5 cm de diâmetro, 85 cm de comprimento, e cheio 
completamente com um óleo de densidade relativa igual a 0,82 e depois fechado nas 
duas extremidades. Colocado na posição horizontal, é feito girar com uma velocidade 
angular, constante, de 96 r.p.m., em torno de um eixo vertical passando 15 centímetros a 
esquerda da extremidade A. Qual a diferença de pressão que se estabelece, devido a 
rotação, entre os pontos A e B? Considere o óleo praticamente incompressível. 
 
 
12.16- Um cilindro circular de raio r e altura L é aberto no topo e cheio com um líquido. 
Qual a velocidade angular, em torno de seu eixo vertical de simetria, que deve ser 
impressa ao cilindro, para que metade da área do fundo fique a uma pressão igual à 
atmosférica. Nestas condições que volume de líquido permanece dentro do cilindro? 
 
12.17- Um recipiente cônico, aberto, de diâmetro igual a 0,40 m e altura igual a 1,20 m 
está cheio de um liquido. Qual o volume de liquido existente no recipiente, quando ele 
estiver girando com uma velocidade angular de 80 r.p.m. em torno de seu eixo de 
simetria? 
 
12.18- Uma caixa cúbica de 2 metros de lado, esta cheia pela metade de um óleo de 
densidade relativa igual a 0,90. A caixa é acelerada ao longo de um plano inclinado 
forçando um angulo de 30o com a horizontal. Determine a inclinação da superfície livre 
do óleo, com relação ao fundo da caixa e as pressões nos pontos O e A. 
 
 
12.19- Um recipiente que tem a forma de um parabolóide de revolução está cheio de 
água. Com que velocidade angular  deve girar em torno de seu eixo, de modo que 1/3 
do volume de água contido no recipiente extravase? 
 
RESPOSTAS 
 
12.1 pA = 0 pB = 1,65 m.c.a pB = 1,05 m.c.a 
12.6 ax = 5,88 m/s
2 
12.7 h=0,36 m 
12.9  = 8,07 rad /s pmin = 0,22 m.c.a. 
12.10  = 6,6 rad /s 
12.11  = 9,9 rad /s 
12.12 pB = 0,34 m.c.a. pC = 0,65 m.c.a. pD = 2,14 m.c.a. 
12.13 a) =16,33 rad/s b) pmax=1,2 m.c.a. pmin=0 c) =18,86 rad/s 
12.14 A=0,02 m2 
12.15 pAB = 40,2 kPa 
12.16 a) gh
r
2
 b) hrVC
2
4
1  
12.17 Vol = 0,041 m3 
12.18 =40o52´ pO= 14,7 kPa pA=1058 Pa 
12.19 a
g
32 
 
CAPITULO 13 
 
TEOREMA DO IMPULSO OU DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
13.1- Um jato de água que sai de uma tubulação a uma velocidade média de 6 m/s, 
choca-se com uma placa plana, que esta em repouso e orientada normalmente a direção 
do jato. A secção da área de saída da tubulação é de 7 cm2 , qual é a força horizontal 
total que os fluidos em contato com a placa exerce sobre ela? 
Resolver este problema usando três volumes de controle diferentes. 
 
13.2- No problema anterior, a tubulação se move a uma velocidade de 1,5 m/s em 
relação ao terreno, para a esquerda. 
a) Se a água sai a uma velocidade de 6 m/s, com relação a tubulação, qual é a força 
horizontal que sobre a placa exercem todos os fluidos? 
b) Se ademais a placa se move para a direita a uma velocidade uniforme de 3 m/s, em 
relação ao terreno, qual a força horizontal que sobre a placa exercem os fluidos? 
 
13.3- Um jato de líquido permanente e unidimensional com vazão Q e velocidade V, 
incide sobre uma placa inclinada de um ângulo . Desprezando completamente o atrito 
e a perda de energia no choque, determine a força exercida pelo jato sobre a placa, e 
também Ql e Q2. 
 
 
13.4- Um jato de água; de velocidade Vo e vazão Qo, incide sobre uma placa e é 
defletido conforme a figura. 
a) Se a placa está parada, calcule as componentes Fx e Fy da força devido ao jato sobre 
a placa. 
b) Se a placa desloca-se para a direita com uma velocidade u, constante, na direção do 
jato, calcule a componente Fy, da força devido ao jato sobre a placa. 
Faça as hipóteses necessárias a resolução do problema. 
 
 
13.5- Uma placa fixa divide um jato de tal maneira, que passa em cada direção 28,4 l/s 
de água, como mostra a figura. Se a velocidade do jato é de 10 l/s, calcule as forças Px e 
Py para suportar a placa. Admita escoamento permanente e unidimensional. 
 
 
13.6- Nas curvas de uma canalização, costuma-se utilizar blocos de concreto conforme 
esquema mostrado, denominados "blocos de ancoragem". Calcule o volume de um 
"bloco de ancoragem", agindo por atrito numa curva horizontal de 90o, de uma 
tubulação na qual passa uma vazão de 0,3 m3/s, de água, com uma velocidade media de 
1,1 m/s constante, sob pressão interna de 490 kPa. O coeficiente de atrito entre o solo e 
o bloco é 0,7 e a massa específica do concreto é de 2,400 kg/m3. Desprezar o atrito da 
água na parede do tubo ( 0 ), o peso da água e do tubo e não levar em conta a 
possibilidade de tombamento do bloco. 
 
 
13.7- Tem-se um carrinho movendo-se sobre um plano horizontal sem atrito. Sobre o 
carrinho incide um jato de água com velocidade absoluta V1 e sai outro jato de água 
com velocidade V2 relativa ao carro. As áreas de ambos, os jatos são iguais e seu valor é 
A. O carro movimenta-se com velocidade constante para a direita. Desprezando-se 
qualquer força de atrito e sendo dados: 
 , Vl ,V2 e A pedem-se: 
1) Determinar a velocidade do carro, no instante t 
2) Determinar a potência fornecida ao carro, no instante t 
 
 
13.8- Deseja-se colocar um bocal na saída de um duto por onde escoa água. O bocal 
será fixado no duto através de quatro parafusos de diâmetro igual a 8 mm. A pressão na 
secção onde o bocal deve ser fixado é: p1 =294 kPa (relativa). Com os dados fornecidos 
(ver figura), determine a tensão a que os parafusos estarão submetidos. 
 
 
13.9- Dois jatos unidimensionais e permanentes de mesma velocidade V, um com 
diâmetro dl e outro com diâmetro d2 chocam-se sem perda de energia. Nestas condições 
demonstre usando o Teorema do Impulso que: 
2
2
2
1
2
2
2
1cos
dd
dd


 
 
 
13.10- Um obstáculo de forma mostrada na figura preenche parcialmente o final de uma 
tubulação de 0,30m de diâmetro. Calcular a força F necessária para manter o obstáculo 
imóvel, quando a velocidade media da água na tubulação for 3 m/s. Despreze as perdas. 
 
 
13.11- Um jato permanente e unidimensional de área S e velocidade V sai de um bocal 
na direção paralela à linha de declive do plano inclinado da figura. Após chocar-se com 
a placa recurvada, desvia-se de um angulo θ, conforme a figura. Nestas condições 
determine a velocidade V, tal que o carrinho de peso P permaneça imóvel. Discuta a 
solução. 
 
 
13.12- Determine o peso P, necessário para equilibrar, na vertical, a estrutura mostrada, 
a qual é submetida à ação de um jato incompressível, permanente e unidimensional. 
Dados: Área do jato-S 
Velocidade uniforme do jato-V 
Massa específica da água-  
 
 
13.13- Têm-se um jato d’água permanente e unidimensional incidindo sobre uma placa 
recurvada, conforme o esquema. Sabe-se que a placa pode sofrer um movimento de 
translação na direção do jato. Conhece-se a área Aj da secção transversal do jato e a 
vazão Q, através do bocal. 
Pedem-se: 
a) A força exercida pelo jato sobre a placa recurvada quando esta estiver imobilizada. 
b) Idem, quando a placa se desloca com a velocidade Vo constante no sentido do jato. 
c) Calculo da potência entregue pelo jato à placa. 
c) Calculo da relação entre a velocidade Vo e a velocidade do jato, para a máxima 
potência entregue pelo jato a placa. 
 
13.14- Dado um escoamento laminar (grande efeito da viscosidade) em regime 
permanente, num conduto cilíndrico, onde o perfil de velocidade é:   2max 1 RrVV  , 
determinar a perda de carga (pressão perdida por atrito) entre duas secções (1) e (2) 
distanciadas de l. 
 
13.15- Um ventilador do tipo axial, insufla ar em regime permanente na canalização 
bidimensional, conforme o esquema da figura. Conhecendo-se a vazão de ar Q e a 
dimensão h, pedem-se: 
a) A velocidade máxima Vmax. 
b) A força que atua sobreo fluido na direção do eixo da canalização 
 
13.16- Desprezando-se as perdas de carga no orifício tipo Borda, da figura, lembrando 
que a velocidade teórica de um jato através de um orifício é V= gH2 , demonstre, 
usando o Teorema do Impulso, que o coeficiente de contração do orifício vale Cc 
=Aj/Ao =0,5. Onde Aj é a área do jato e Ao a área do orifício. 
 
 
13.17- De um bocal sai um jato permanente e unidimensional de área A e velocidade V 
e choca-se contra o obstáculo da figura, que se desloca para esquerda com velocidade 
absoluta e constante Vo, dividindo-se em partes iguais. Desprezando as perdas de 
energia no choque determine a força horizontal que age sobre obstáculo. Dado: massa 
especifica do líquido  . 
 
 
13.18- A água flui sobre um vertedor de uma barragem de concreto como mostrado na 
figura. A montante, a corrente tem uma profundidade de 12 m e uma velocidade media 
de 30 cm/s, enquanto que a jusante a corrente tem uma profundidade praticamente 
constante e igual a 90 cm. Se a largura do vertedor é 9 m, determine a força horizontal 
exercida sobre a barragem. 
 
 
13.19- Ressalto hidráulico é uma elevação brusca no nível de água em um canal, quando 
o escoamento passa de um estágio de grande velocidade (secção 1) para outro de baixa 
velocidade (secção 2). Esta mudança é acompanhada por grande turbulência, 
redemoinhos, entrada de ar no liquido e ondulações na superfície do liquido. Para um 
canal retangular onde escoa uca vazão por unidade de largura igual a q (vazão por metro 
de comprimento na direção perpendicular ao desenho) e assumindo nas secções (1) e (2) 
escoamento unidimensional e distribuição de pressões, hidrostática, prove que: 








 1
8
1
2
1
1
2
1
1
2
yg
V
y
y
 
 
 
13.20- Sobre trilhos horizontais e sem atrito, desloca-se em linha reta, com velocidade 
constante V o carro da figura. Sobre ele esta agindo um jato d’água permanente e 
unidimensional de velocidade absoluta Vo e área A o qual, após chocar-se sem perdas 
com a placa defletora, desvia-se como na figura. Determinar a potência instantânea 
transmitida ao carro, bem como a quantidade de massa de água, que por segundo entra 
no volume de controle escolhido. 
 
 
13.21- Considere uma turbina Pelton fictícia, que possua somente uma "caneca". Sendo 
Q a vazão descarregada pelo bocal, Vj a velocidade do jato,  a velocidade angular da 
turbina, r o raio da turbina, Determine a potência cedida pelo jato a turbina. Determine 
que relação deve haver entre Vj e .r para que a potência cedida seja máxima.Despreze 
as perdas. 
 
 
13.22- Resolver o problema anterior para o caso de uma turbina Pelton real, com várias 
canecas. Demonstrar que, neste caso, a potência transmitida à turbina pelo jato é 
máxima quando Vj =2  r. Despreze as perdas. 
 
 
13.23- Desprezando o atrito como ar, a perda de energia no choque e no bocal, 
determine a distância x, necessária a um jato d’água que sai do bocal com velocidade V 
equilibrar uma semi-esfera oca de peso P. 
 
Dados  da água e a área A. 
 
 
13.24- Calcular a perda de carga (pressão perdida por atrito) entre duas secções 1 e 2 
distanciadas de l em um tubo horizontal de diâmetro D. Na secção 1 o escoamento é 
unidimensional de velocidade V1 e na seção 2 o perfil de velocidade tem uma 
distribuição cônica dada por V =Vmax  Rr1 . Dados  , D, V1, l e  (tensão média de 
cisalhamento entre o fluido e a parede do tubo). 
 
13.25- Pela tubulação da figura escoa água, determinar o esforço sobre os parafusos do 
flange (1). Dado g =10 m/s2. 
 
 
13.26- Uma canalização de diâmetro D, na qual esta fluindo uma vazão Q, faz "laço" 
em forma de circunferência, situado em um plano vertical. Os ramos horizontais do 
"laço" estão escorados por uma barra de aço de diâmetro d, como na figura. Calcule a 
tensão na barra de aço. Esta tensão é de tração ou compressão? A pressão interna na 
canalização é igual a p, constante. 
 
 
13.27- Calcule o volume de concreto que deve ter o bloco de ancoragem da figura. A 
tubulação tem um diâmetro de 600 m e transporta uma vazão de 400 l/s e a pressão 
interna a tubulação naquele local é 45 m.c.a. O coeficiente de atrito estático entre o 
bloco e o solo vale 0,7 e a massa especifica do concreto é 2.400 kg/m3. Despreze a 
possibilidade de tombamento do bloco e o peso do volume de água e do tubo. 
 
 
13.28- A rampa corrugada mostrada na figura, é usada como um dissipador de energia 
em um canal aberto retangular. Para uma vazão de 2,80 m3/s.m, determine a perda de 
carga, a potência dissipada pela rampa em watts e o módulo da componente horizontal 
da força que a água exerce sobre a rampa, por metro de largura. 
 
 
13.29- O fluxo de água no final de um canal aberto é defletido, sem perdas, 
verticalmente para abaixo, por uma comporta AB. Na secção B o fluxo pode ser 
considerado jato livre. Calcule a força, por unidade de largura, exercida pela água sobre 
a comporta. 
 
 
13.30- Os pilares de uma ponte estão separados, de centro a centro, de uma distância 
igual a 6,0 m. A montante, perto da ponte, o tirante d’água é de 3,00 m e a velocidade 
media da corrente é de 2,00 m/s e em uma secção a jusante, o tirante d’água é de 2,90 
m. Desprezando a declividade do rio e o atrito no pilar, determinar a força exercida pela 
corrente sobre o pilar. 
 
 
13.31- Calcular o módulo da componente horizontal da resultante da força exercida pelo 
fluxo de água sobre o desviador de jato AB, por unidade de largura. A jusante de B o 
fluxo pode ser considerado jato livre. 
 
 
13.32- Para uma vazão de 13 l/s de água, determine a força total que atua sobre os 
parafusos da flange. A perda de carga na curva é igual a 2,2 gV 221 e no bocal igual a 
0,1 gV 222 . A tubulação esta em um plano horizontal. 
 
 
 
 
13.33- A água que abandona o depósito da figura tem uma velocidade de 3m/s e a área 
do jato vale 13 cm2. O jato incide sobre uma placa defletora desviando-se de um angulo 
de 30o, conforme a figura. Supondo o escoamento permanente e o jato unidimensional, 
calcule o empuxo sobre a vagoneta se esta se mantêm fixa ao solo mediante uma corda. 
Resolva o problema de duas maneiras diferentes (volumes de controle diferentes). 
 
 
13.34- Determinar o módulo da força horizontal provocada pela água, sobre a estrutura 
de descarga localizada no fim de um canal de 0,60 m de largura. Assuma distribuição 
uniforme de velocidades. 
 
 
13.35- Uma borda injetora de água, tem uma área de jato igual a Ao com uma 
velocidade Vo, que entra em uma corrente secundária de um fluxo de água de 
velocidade uniforme Vl, em um tubo de secção constante cuja área total é A. Na secção 
2 admite-se que a água injetada já está totalmente misturada. Calcular: 
a) A velocidade média V2 na secção 2. 
b) Demonstrar que o aumento de pressão P2 - Pl entre as seções 2 e 1, supondo que na 
secção 1 a pressão do jato e da corrente secundária é a mesma, é dado por: 
2
2)1)((
12
A
VVoAoAAo
PPp



 
Despreze as perdas 
 
 
13.36- Um ressalto hidráulico ocorre em uma tubulação cuja secção reta é um losango, 
como na figura. O conduto é horizontal e a altura d’água a montante do ressalto é 0,60 
m. O conduto está completamente cheio de água (secção plena) a jusante do ressalto e 
um manômetro ali colocado indica uma pressão de 5,9 kPa. Determine a vazão que está 
escoando, notando que, por causa da turbulência no ressalto, existe uma substancial 
perda de energia. 
 
 
13.37- Uma comporta de fundo está montada em um canal retangular de 4m de largura. 
A uma pequena distância da comporta a altura d’água é 2m. A comporta está a 0,50 m 
do fundo do canal e o coeficiente de contração da lâmina a jusante da comporta é 0,60. 
Determinar a força sobre a comporta. Despreze as perdas. 
 
 
13.38- Como mostrado na figura a água escoa com uma altura y e uma velocidade 
média V em um canal retangular, o qual é fechado por uma comporta, a qual faz com 
que a água encaminhe-se para baixo, suavemente. Calculea elevação,  y, da superfície 
da água a montante da comporta, usando primeiro o principio da energia (equação de 
Bernoulli) e depois usando a equação da quantidade de movimento levando em conta 
que 0 yy . Qual das duas respostas e a correta? Porque? 
 
 
13.39- Partindo da resposta do exercício 13.14, demonstre a equação que fornece a 
perda de carga em um conduto circular de diâmetro D e comprimento l, percorrido por 
um fluido viscoso e newtoniano em escoamento laminar (equação de Hagen–Poiseuille) 
4
128
D
lQ
p


 
 
13.40- Um jato permanente unidimensional sai de um reservatório mantido a nível 
constante e incide sobre uma superfície lisa que flutua sobre a água de outro 
reservatório. Se o volume submerso da superfície é 0,11 m3, calcular o peso da água 
dentro da superfície curva, isto é, abaixo da 1inha AB. O peso próprio da superfície 
curva é desprezível. Despreze as perdas. 
 
 
13.41- Para uma vazão de 15 l/s e uma velocidade de rotação da turbina Pe1ton igual a 
65 r.p.m., estime a potência em watts transferida à turbina pelo jato de água. As canecas 
da turbina são planas. 
 
RESPOSTAS 
 
13.1 F = 25,2 N 
13.2 a) 14,1 N b) 1,57 N 
13.3  senQVF   cos1
21

Q
Q  cos1
22

Q
Q 
13.8  = 13,8x106 N/m2 
13.10 205,8 N 
13.11 )cos1(
sen


 S
PV 
13.12   cos12 2  SVP 
13.17 Fx = ρ(V+Vo)
2 A(1+cosβ) 
13.20 a)     cos120  AVVVPot 
13.23 x = A
P
g
V
42
2
 
13.33 F = 10,1 N 
 
CAPITULO 14 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
14.1- Admite-se que a força f devido ao vento sobre um edifício alto depende da massa 
especifica do ar  , da viscosidade do ar  , da velocidade do vento V, da largura b e da 
altura do edifício h. Determinar os números adimensionais em função dos quais pode 
ser expressa a força do vento. 
 
14.2- De que grupos adimensionais depende a força de arrasto sobre uma asa de avião, 
sabendo-se que o arrasto é afetado pelo tamanho da asa, pelo ângulo de ataque, pela 
velocidade do vôo, pela viscosidade e massa especifica do ar, e pela velocidade das 
ondas de compressão no ar? 
 
14.3- Estudar dimensionalmente a perda de carga (pressão) de um fluido incompressível 
e viscoso, através de uma tubulação reta de comprimento L. As variáveis conhecidas 
que intervém no problema são: perda de carga  p, a velocidade média V, a viscosidade 
 , o diâmetro da tubulação D, o comprimento do trecho L, a massa específica  , e a 
rugosidade da tubulação  , representada pela variação média do raio interior. 
 
14.4- Para movimentar uma embarcação ou uma aeronave a uma certa velocidade há 
necessidade de se aplicar uma força cuja intensidade dependerá da resistência que o 
fluido oferece ao deslocamento da embarcação, a aquela velocidade. O mecanismo 
capaz de produzir este esforço diz-se um propulsor. Admitindo que a potência N de 
propulsão é função única e exclusiva das seguintes variáveis: 
diâmetro do propulsor(D) 
numero de rotações por segundo(n) 
velocidade do avanço(v) 
massa especifica do fluido(  ) 
viscosidade do fluido( ) 
Determine os números adimensionais independentes que descrevem o problema. 
 
14.5- A velocidade do som em um gás depende da pressão e da massa especifica. Qual a 
relação de dependência existente ? 
 
 
14.6- No estudo de bombas hidráulicas consideram-se como grandezas físicas que 
intervém no fenômeno: 
-a massa específica do fluído(  ) 
-a rotação do rotor da bomba( ) 
-o raio do rotor( R) 
-a diferença de pressões( P ) 
-a vazão da bomba:(Q) 
Consideramos então uma bomba com uma rotação  transportando uma vazão Q, de 
um fluído de massa específica  , fornecendo uma diferença de pressão P e cujo rotor 
tem raio R. Sabemos que a potência requerida pela bomba nessas condições é dada por 
N PxQ. Uma mudança na ciclagem da rede alterou o valor da rotação para o valor  ', 
tal que 

 '
=1,12. Chamando de N', a potência da bomba nas novas condições, pede-se 
calcular a relação 
N
N '
. 
 
14.7- Admite-se que a sobrelevação h do nível de um lago, devido ao vento depende da 
profundidade media D do lago, de sua largura L, do peso específico  da água e da 
tensão tangencial  devido ao vento. 
Ache uma fórmula geral que exprima h em função das demais variáveis. 
Variável importante D, profundidade média do lago. 
 
14.8- Um vertedor triangular é uma abertura feita em uma placa de madeira ou metal 
colocada verticalmente na secção reta de um canal aberto. O líquido do canal é forçado 
a escoar pelo vertedor. A vazão Q, medida pelo vertedor, é função da elevação H da 
corrente à montante do vertedor, medida acima da soleira do vertedor, da aceleração da 
gravidade g, do angulo  de abertura do vertedor e da velocidade Vo de aproximação 
da água para o vertedor; esta ultima variável Vo é algumas vezes desprezível. 
Determine, usando analise dimensional, a equação da vazão Q, em função das demais 
variáveis. 
 
14.9- A vazão Q, que escoa sobre um vertedor retangular de paredes finas, é função do 
comprimento L da soleira do vertedor, da elevação H da água à montante do vertedor, 
medida acima da soleira (crista) do vertedor, e da aceleração da gravidade g. Despreza-
se a influencia da tensão superficial, da viscosidade e da velocidade de aproximação V. 
Usando analise dimensional encontre uma formula que dê a vazão Q, em função das 
demais variáveis. 
 
14.10- O conjugado T desenvolvido por uma turbina hidráulica, depende da descarga Q, 
da altura de queda H, do peso específico da água  , da velocidade angular do rotor  e 
do rendimento  . Determine por análise dimensional a equação para o conjugado. 
 
14.11- A vazão Q de fluido que atravessa um medidor Venturi, depende da diferença de 
pressões medida entre a secção normal e a secção contraída do Venturi, do diâmetro D 
da secção norma1, do diâmetro d da seção contraída e do fluído em escoamento 
caracterizado por  e  . Determine os adimensionais independentes envolvidos no 
problema. 
 
14.12- Quando um fluido escoa em torno de um cilindro cujo eixo é perpendicu1ar a 
corrente forma-se atrás do cilindro uma esteira de remoinhos cuja freqüência  , 
depende de 
1- Diâmetro do cilindro D 
2- Velocidade da corrente V 
3- Massa especifica do fluído  
4- Viscosidade cinemática do fluído  
Quais são os grupos adimensionais independentes que descrevem o fenômeno ? 
 
14.13- O momento de arfada máximo desenvolvido pela água sobre um hidroavião ao 
amarar, se representa por Cmax. Nesta ação intervem as seguintes variáveis: 
 -ângulo da trajetória de vôo do avião c/a horizontal 
 -ângulo que define a posição do avião 
M- massa do avião 
L- comprimento do casco 
 -massa específica da água 
g -aceleração da gravidade 
R -raio de giração do avião em respeito ao eixo de arfada. 
Quantos e quais são os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno? 
 
14.14- A altura h que a água se eleva em um tubo capilar de vidro, é função da tensão 
superficial  , e do peso específico da água . Quantos e quais são os grupos 
adimensionais que descrevem o fenômeno? Determine uma relação entre h e as demais 
variáveis usando análise adimensional. 
 
14.15- O conjugado T necessário para girar um disco com uma velocidade angular 
constante, sobre um filme de óleo, depende do diâmetro D do disco, da velocidade 
angular , da espessura e do filme de óleo e da viscosidade  do óleo. Determinar, 
usando analise dimensional, uma expressão que relacione o conjugado T com as demais 
variáveis envolvidas no problema 
 
14.16- A vazão Q de um líquido ideal que escoa para a atmosfera através de um orifício 
de bordo delgado, feito na parede lateral de reservatório é função do diâmetro D do 
orifício, da massa específica  do liquido e da diferença de pressão  p entre a 
superfície livre do reservatório e o centro de gravidade do orifício. Determinar, por 
analise dimensional, a expressão da vazão em função das demais variáveis. 
 
14.17- A vazão Q de um líquido através de um pequeno orifício em uma tubulação, 
depende dodiâmetro do orifício d, do diâmetro da tubulação D, da diferença de pressão 
 p entre os dois lados do orifício, da massa especifica  e da viscosidade  do 
liquido. Demonstre, usando analise dimensional, que a vazão pode ser expressa por: 
Q = d2

p
f(



p
d
d
D

, ) 
 
14.18- Derive por analise dimensional, uma expressão para a potência de uma máquina 
hidráulica, se esta potência depende somente da velocidade angular; do diâmetro e da 
rugosidade do rotor da maquina, da vazão, da massa específica e viscosidade absoluta 
do fluido em escoamento. 
 
14.19- Gás sob pressão escoa para a atmosfera através de um pequeno orifício. A vazão 
do fluxo depende da diferença de pressão  p entre o reservatório e a atmosfera, da 
viscosidade cinemática  e da massa especifica do gás  , e do raio R do orifício. 
Mostre que: 

















 p
R
p
RQ f 2 
 
14.20- Derive por analise dimensional uma expressão para a queda de pressão  p, 
sobre um comprimento x, de um escoamento não estabilizado na entrada de uma 
tubulação, se p depende somente de x, do diâmetro da tubulação D, da vazão Q, da 
massa específica  e da viscosidade  do fluido. 
 
14.21- Derive uma expressão para a velocidade limite de uma esfera sólida e lisa, 
caindo através de um líquido incompressível, se esta velocidade só depende do diâmetro 
e massa específica da esfera, da aceleração da gravidade, da massa especifica e da 
viscosidade do fluido. 
 
RESPOSTAS 
 
 
 
CAPITULO 15 
 
SEMELHANÇA FÍSICA ENTRE ESCOAMENTOS 
 
15.1- Através de uma tubulação de 25 cm de diâmetro está escoando um óleo com 
viscosidade cinemática de 5,62 x 10-6 m2/s. A que velocidade, deve fluir água a 20oC 
pela tubulação, para se ter um escoamento dinamicamente semelhante? Qual é a relação 
das forças de resistência, para comprimentos correspondentes da tubulação, produzidas 
pelos dois fluxos? Densidade relativa do óleo é 0,8. 
 
15.2- Se quer ensaiar um modelo de submarino, na escala 1/20, em um túnel 
aerodinâmico em que a pressão da corrente livre é p = 2058 kPa (abs) e a temperatura T 
= 50oC. A velocidade a que se quer estimar o arrasto no protótipo é 15 nós. Qual deve 
ser a velocidade da corrente livre do ar no túnel? Qual será a relação entre os arrastos no 
modelo e no protótipo? Explicar porque, apesar da elevada pressão no túnel 
aerodinâmico, pode considerar-se o fluxo incompressível. Dado: viscosidade cinemática 
da água do mar igual a 1,3x10-6 m2/s. 
 
15.3- Explicar porque no problema anterior não se teria semelhança dinâmica, se o 
protótipo do submarino se movesse perto da superfície livre do mar. 
 
15.4- Um pequeno modelo de uma piscina foi construído na escala 1/10 afim de, 
experimentalmente, se determinar o tempo de descida do nível d’água (esvaziamento). 
Determine o tempo de esvaziamento para o protótipo, se para o modelo foi de 5 
minutos. 
 
15.5- Para se estudar as forças longitudinais que aparecem na decolagem de um 
hidroavião, utiliza-se um modelo reduzido em escala geométrica 1:5. Pede-se 
estabelecer as condições necessárias para que subsista semelhança física entre o modelo 
e o protótipo, sabendo-se que o ensaio é feito com o mesmo fluido e no mesmo local. 
Variáveis que influem , V, µ, g, F e l. 
 
15.6- Um aeroplano que terá uma asa de 3,66 m, é desenhado para voar a 161 km/h. 
Usando-se um túnel de vento à pressão atmosférica, determinou-se a resistência sofrida 
pelo protótipo, através de um modelo na escala 1/5. Qual deve ser a velocidade do vento 
no túnel, para que os escoamentos sejam semelhantes? 
 
15.7- Num tanque de provas de navios, está sendo testado o modelo de um novo navio, 
de modo a determinar a resistência devido à formação de ondas que será encontrada por 
este. Sabe-se que: 
a) O deslocamento (peso) do protótipo é igual a 27.000 tonf. 
b) O comprimento do modelo é 8,0 m. 
c) O comprimento do protótipo é igual a 200 m. 
d) A densidade da água do tanque é igual a da água do mar. 
Pedem-se: 
Qual deve ser o deslocamento (peso) do modelo. 
Se a velocidade máxima a ser atingida pelo protótipo é 29,6 km/h, qual deve ser a 
velocidade do modelo no tanque de provas, a fim de que se obtenha uma configuração 
de ondas dinamicamente semelhante à do protótipo a 29,6 km/h. 
Qual a resistência de ondas no protótipo a 29,6 km/h, se foi determinado que, no 
modelo, à velocidade correspondente, essa resistência é igual a 11,8 N. 
 
15.8- No estudo de ondas de gravidade de pequena amplitude, cuja equação da 
velocidade de propagação (celeridade) é dada por: 
L
dgL
L
c




 2
tanh
2
22






 , as variáveis que intervêm no fenômeno são: c celeridade, 
L comprimento de onda, d altura do liquido não perturbado, g aceleração da gravidade, 
 massa específica do liquido e  a tensão superficial do liquido. Determinar: 
a) Os números adimensionais independentes que descrevem o fenômeno. 
b) Um liquido cuja tensão superficial é 1/4 da tensão superficial da água e de densidade 
relativa igual a 1,02, é usado para simular o movimento de ondas de pequena amplitude 
na água. Qual deve ser a escala geométrica, para que se estabeleça semelhança 
dinâmica, entre os dois escoamentos? 
 
15.9- Deseja-se construir uma ponte sobre um canal, cuja velocidade máxima da 
corrente é de 3,6 m/s, e, para o estudo da formação de ondas nos pilares da ponte, foi 
construído um modelo reduzido na escala 1:20. 
a) Qual a velocidade a ser tomada no modelo, de modo a se conseguir uma idêntica 
configuração geométrica da superfície das ondas? 
b) Se a vazão por baixo da ponte é de 0,2 m3/s, no modelo, qual será a vazão 
correspondente no protótipo ? 
 
15.10- No estudo de bombas hidráulicas, consideram-se como grandezas físicas que 
intervém no fenômeno. 
 
1 -A massa específica do fluído  
2- A rotação do rotor da bomba  
3- O raio do rotor R 
4- A diferença de pressão  P 
5- A vazão de líquido Q 
Na hipótese de somente estas grandezas influírem no fenômeno, pedem-se: 
a) Os números adimensionais necessários ao estudo da bomba em laboratório partindo 
de  p = f (  , , R, Q). 
b) Usando os adimensionais obtidos, resolva o seguinte problema: Uma bomba 
centrífuga deve ser projetada para a vazão de 220 m3/h, altura manométrica ( p) de 30 
m e uma rotação de 1740 r.p.m. No projeto do modelo desta bomba, as condições 
desejadas são: vazão 5 m3/h, altura manométrica ( p) de 20m e o mesmo liquido que 
escoará na bomba protótipo. Pedem-se: 
1- A escala geométrica  
2- A rotação da bomba modelo. 
 
15.11- Quer-se ensaiar um modelo de perfil de pá de uma hélice de avião, em um túnel 
aerodinâmico. Sabe-se que o protótipo tem uma corda de 50cm e que a velocidade do 
escoamento do fluido não perturbado é de l0m/s. Pedem-se: 
a) Os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno, sabendo-se que as variáveis 
que intervêm são: , µ, g , F , v e l. 
b) A velocidade do escoamento de ar na secção de ensaio do túnel, se o modelo tiver 5 
cm de corda, justifique. 
c) Como diminuir a velocidade do item b, permanecendo satisfeitas as condições de 
semelhança física entre os dois escoamentos? 
 
15.12- Deseja-se determinar a perda de carga em uma curva de uma tubulação, de 1 
metro de diâmetro, na qual escoará ar comprimido de  = 6,7 kg/m3 e  = 2x10-5 
Kg/(s.m) a uma vazão de 3,30 m3/s. Para isto deseja-se construir um modelo reduzido 
da tubulação e os testes serão feitos com água a 25oC, de  =1000 kg/m3, em 
laboratório cuja capacidade máxima de suprimento de água para o modelo é de 50 l/s. 
Qual deve ser escala geométrica do modelo para se ter semelhança dinâmica entre os 
escoamentos no modelo e no protótipo? Qual a relação entre as perdas de pressão no 
protótipo e no modelo? 
 
15.13- Deseja-se simular o arrasto de uma gota de chuva de 2,5 mm de diâmetro, caindo 
no ar, através de partículas de areia de 0,25 mm caindo na água. São dados: 
pêso específico da areia = 2.65 ton/m3 
viscosidade cinemática do ar =15 x 10-6 m2/s 
viscosidade cinemáticada água =10-6 m2/s 
 
Dispõe-se da seguinte equação que dá a velocidade da queda de uma gota d’água no ar: 
dV 16,0 onde V em m/s, d em mm. 
Dispõe-se do gráfico anexo que dá a velocidade de queda de uma particu1a esférica de 
quartzo na água. Pergunta-se, o modelo da queda da areia na água, representa o 
protótipo da queda da gota d’água no ar? Se não, sugerir uma modificação do esquema 
proposto, para solucionar o problema. 
 
15.14- Deseja-se conhecer as perdas de carga em uma galeria circular onde irá escoar 
água; para isto mediu-se a perda de carga devido ao escoamento de ar, insuflado na 
própria galeria. 
a) A vazão de água que ira circular na galeria é de, 7,5 m3/s, qual deve ser a vazão de ar, 
para se ter semelhança dinâmica entre os escoamentos? 
b) sobre um trecho de comprimento igual a 500 m, obteve-se com aquela vazão de ar, 
um valor da perda de carga igual a 0,12 m.c.a. Qual será o valor da perda de carga em 
um trecho de 6050 m de galeria, quando escoar 7,5 m3/s de água? 
Dados: 
viscosidade cinemática do ar: ar =14,7 x 10-6 m2/s. 
viscosidade cinemática da água: H2O =1,15 x 10-6m/s 
massa específica do ar: ar= 1,25 Kg/m3 
massa especifica da água: H20= 1000 Kg/m3 
 
15.15- Um trecho do rio Paraná, no qual deverá ser construída uma ponte, foi 
reconstituído em um laboratório na escala 1/100. Para se estudar o arrasto sobre um 
pilar da ponte, o modelo foi testado para uma velocidade média da corrente igual a 0,20 
m/s. Medindo-se o arrasto sobre o pilar da ponte modelo, a essa velocidade, encontrou-
se o valor de 0,1 N. Determinar a velocidade correspondente no protótipo e o valor da 
força de arrasto sobre o pilar da ponte protótipo. 
 
15.16- Em um certo fenômeno físico a função representativa é dada por f (N, g,  , V, 
L)=0 no qual N é potência e L uma dimensão característica, qualquer. Ao determinar os 
grupos adimensionais pelo teorema dos e efetuando-se uma série de experiências em 
laboratório, chegou-se ao gráfico indicado abaixo. Se em uca certa experiência tem-se 
 =980 kg/m3 , V=2 m/s, L=0,5 m e g =10 m/s , qual será a potência em C.V.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.17- O modelo reduzido de um vertedor de barragem foi construído na escala 1/60. O 
vertedor protótipo foi projetado para uma vazão milenar igual a 3.200 m3/s. Qual deverá 
ser a máxima vazão requerida nos testes do modelo? Que tempo, em minutos, 
representa um dia no protótipo ? 
 
15.18- Um determinado laboratório de hidráulica deverá fazer um modelo reduzido para 
o estudo do alargamento da praia de Copacabana. Segundo informações não oficiais, o 
estudo de semelhança será baseado exclusivamente nos adimensionais Weber e 
Reynolds. Qual a sua opinião sobre esta informação. Critique-a se for o caso, 
justificando o seu ponto de vista. 
 
15.19- Um modelo reduzido de um porto, foi construído na escala 1:225 (sem distorção 
da escala vertical). Fortes ondas de 4,5 m de amplitude e 6 m/s de velocidade, deverão 
ser contidas pelo quebra-mar do porto protótipo. 
a) Desprezando o efeito do atrito, qual deverá ser a amplitude e a velocidade das ondas 
no modelo, para se ter semelhança física entre o modelo e o protótipo? 
b) Se o período das marés no protótipo for de 12 horas, qual deverá ser o período das 
mares no modelo? 
 
 
 
 
 
 
15.20- Para simular a resistência oferecida pela água um trecho de l00 m de 
comprimento e l m de diâmetro, de um emissário submarino de esgotos, quando este for 
rebocado, totalmente submerso, no mar, foi feito um teste, ã pressão atmosférica, em um 
túnel de vento, de um modelo reduzido, a uma velocidade de 20 m/s. Que dimensões 
deverão ter o modelo para que se estabeleça semelhança física entre o modelo e 
protótipo, sabendo-se que o trecho de emissário será rebocado a uma velocidade 
constante de 6m/min. 
Nestas condições qual será a relação entre as resistências oferecidas ao deslocamento do 
protótipo e do modelo. Sendo a função representativa do fenômeno f (F,V,L,  , ) = 0 
e como o teste é feito em um túnel de vento, pergunta-se se não ocorrerá um "efeito de 
escala" pelo fato do numero de Mach não ser um dos grupos adimensionais 
independentes que representam o fenômeno físico. 
Explique. 
Assuma que: H20 =1000 Kg/m3, H20 =10-6 m2 /s 
45 o 
Π2 
Π1 
ar =1,2 Kg/m3 , ar =10-5 m2 /s 
 
15.21- Uma esfera totalmente submersa em um líquido movimenta-se em um plano 
horizontal com uma velocidade V1, sendo necessária uma força Fl, para manter o 
movimento. Essa força foi medida para diversas velocidades, tendo-se obtido os dados 
da tabela abaixo. Se uma outra esfera, totalmente submersa, de diâmetro D2 =50 cm 
movimenta-se no mesmo fluído, com velocidade V2 =2 m/s, qual será a força 
necessária? 
Dado Dl =20 cm. 
 
V1 (m/s) 2 4 6 8 10 
F1 (N) 40 100 180 300 450 
 
15.22- Uma determinada companhia de eletricidade pretende fazer ensaios em um 
modelo reduzido na escala 1/50, de um canal de desvio para uma obra de 
aproveitamento hidrelétrico, no qual a máxima vazão esperada é de 1500 m3/s. Para isto 
entrou em contato com um laboratório de hidráulica, cuja capacidade máxima de 
suprimento de água para o modelo é de 50 l/s. Você acha que este laboratório tem 
condições de fazer os ensaios no modelo com aquela escala? Porque? 
 
15.23- Um modelo reduzido de um projeto de aproveitamento hidrelétrico possui um 
ressalto hidráulico (dissipador de energia) que dissipa, para uma determinada vazão, 
0,013 H.P. O modelo é construído na escala 1/40. Qual a potência dissipada no 
protótipo do ressalto hidráulico? 
 
15.24- Duas bombas A e B, geometricamente semelhantes, são instaladas em série e o 
escoamento em ambas é francamente turbulento (Rey alto). 
Para a bomba A temos os seguintes dados: altura manométrica HA= 25 m, rotação 
nA=1200 r.p.m e diâmetro do rotor DA=20 cm. Determinar a rotação da bomba B e a sua 
altura manométrica, sabendo que o diâmetro do seu rotor é 15 cm. 
 
 
 
15.25- Em certo fenômeno físico as forças viscosas e da gravidade são predominantes. 
Em um determinado ensaio, o modelo construído na escala 1:4 deverá ser testado para 
um determinado fluido. Se o protótipo irá funcionar com um fluido de viscosidade 
cinemática = 4,8 x 10-5 m2/s, qual deve ser a viscosidade do fluido utilizado nos testes 
do modelo, para que haja semelhança física entre os dois casos particulares do 
fenômeno ? 
 
15.26- Você foi informado, oficiosamente, que o laboratório de aerodinâmica que 
estudou o arrasto sobre a asa do caça P-47 Thunderbolt, utilizado pelo 1o Grupo de caça 
da FAB, na Itália, foi o mesmo que fez os testes do arrasto sobre a asa do caça Northrop 
F-5B, recentemente adquirido pela F.A.B., e que nestes testes o laboratório considerou, 
para ambos os aviões, como importantes, os mesmos grupos adimensionais envolvidos 
no fenômeno. Qual a sua opinião sobre esta informação. Expresse seu ponto de vista 
justificando. 
 
15.27- Um modelo de uma bomba centrifuga, construído na escala 1:4, é testado sob 
uma carga de 7,6m a 500 r.p.m. Foi determinado no ensaio que a potência requerida 
pelo modelo é igual a 10 H.P. Calcule a velocidade de rotação e a potência requerida 
pelo protótipo, quando a carga for de 44m. Qual a relação entre as vazões bombeadas 
pelo protótipo e pelo modelo, sob estas condições. 
 
15.28- Um modelo, de um fenômeno de escoamento no qual as forças da gravidade e de 
tensão superficial são dominantes, está para ser construído. Determine uma expressão 
para a escala do modelo em termos das propriedades físicas dos fluidos. 
 
15.29- Para determinar a resistência oposta pelas ondas a um barco, fizeram-se ensaios 
no laboratório, em um tanque de provas, com um modelo reduzido na escala 1:25. Se a 
velocidade máxima que o protótipo desenvolverá é de 37 Km/h, qual deve ser a 
velocidade máxima desenvolvida pelo modelo, para se obter ondas dinamicamente 
semelhantes às reais. Se a força de arrasto medida no modelo foi de 2,22 N, qual a 
potência, em c.v., que o motor do barco protótipo devera ter para desenvolver aquela 
velocidade,se seu rendimento for de 80%. 
 
15.30- O gráfico mostra a curva de calibração de um vertedor retangular de paredes 
finas, cujo comprimento L1 da soleira é 0,40 m., descarregando com a veia vertente 
livre. Mostre como uma curva de calibração para um vertedor semelhante com 
comprimento de soleira L2= 0,60 m pode de ser traçada partindo somente da curva dada. 
Desenhe esta nova curva sobre o gráfico dado. Dimensão importante do fenômeno H, 
carga. Despreze a viscosidade e a tensão superficial. 
 
15.31- Têm-se dois medidores de vazão, tipo diafragma, montados em tubulações, como 
mostra a figura. Determinar a relação H/ h quando existir semelhança física entre os 
dois escoamentos. Liquido em escoamento: água. 
 
15.32- Por médio de um modelo experimental deseja-se estabelecer a profundidade 
mínima, h min, desde a superfície livre, em que se deve colocar o tubo de sucção de 
uma bomba, para que não se produzam vórtices na entrada e não exista arrastamento de 
ar para dentro da bomba. O líquido que se deseja bombear é petróleo, =0,75 stokes, 
com uma vazão de 140 l/s; o diâmetro do tubo de sucção é igual a d =250 mm. O 
ensaio, se deseja efetuar com um modelo na escala geométrica igual a 1:5. Para se obter 
no modelo um liquido de qualidade desejada, pode-se utilizar uma solução de glicerina 
em água, que modifica a viscosidade da mistura desde 0,01 stokes (água pura) até 8 
stokes (glicerina pura). Calcular: 
a) a viscosidade do líquido que deve ser usado no modelo. 
b) a vazão Qm no modelo e a velocidade média Vm no tubo de sucção do modelo. 
c) a profundidade h min em que se formará os vórtices no protótipo, se no modelo se 
obteve h min=60mm. 
 
15.33- Um laboratório de hidráulica deverá testar um modelo reduzido de um quebra-
mar de um porto. O período médio das ondas no local onde será construído o porto é de 
10s. Se o gerador de ondas do laboratório somente pode fazer ondas com 1,0s de 
período, qual deverá ser a escala do modelo para se ter semelhança física? 
 
15.34- Um modelo reduzido de um vertedor de uma barragem foi construído na escala 
1:60. Quando a altura d’água sobre a crista do vertedor modelo é 3cm, a vazão 
descarregada vale 42,6 l/s. Qual a altura sobre a crista e a vazão descarregada 
correspondentes no protótipo? 
 
15.35- Um grande medidor Venturi para medida de escoamentos de ar tem um diâmetro 
da secção estrangulada igual a 0,90m. Este Venturi esta sendo calibrado usando-se um 
modelo na escala 1:12 e sendo água o líquido. Quando uma vazão de 0,02 m3/s de água 
passa através do Venturi a queda de pressão correspondente é de 149 kPa. Calcule a 
correspondente vazão e a queda de pressão no protótipo. 
Dados: H20= 1,14 x 10-6 m2/s. 
 ar=1225 kg/m3. 
ar=1,77 x 10-5 kg/(m.s). 
 
15.36- No teste de um modelo em um tanque de carena verificou-se que as variáveis que 
intervém no fenômeno são: v, g, l e . O protótipo vai trabalhar em água a 20oC, de 
viscosidade cinemática  = 10-6m2/s. Sendo a escala geométrica 1:2, escolher entre os 
fluidos abaixo aquele no qual deve ser feito o teste. 
Fluido  (m2/s) 
Água a 20oC 10-6 
Água a 50oC 7 X 10-7 
Água a 90 oC 3,54 x 10-7 
Mercúrio 1,25 x 10-7 
Gasolina 5,12 x 10-7 
Querosene 3,1 x 10-6 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
 
CAPITULO 16 
 
ESCOAMENTO AO REDOR DE CORPOS IMERSOS 
 
16.1- Um Volkswagen sedan possui um coeficiente de arrasto igual a 0,43, suposto 
constante, e uma área frontal de 1,4 m2. Calcular a potência necessária para vencer a 
resistência do ar, estando o automóvel em uma pista plana horizontal, ao nível do mar e 
desenvolvendo uma velocidade constante de 104 km/h. Dado  =1,225 kg/m3. 
 
16.2- Qual é a velocidade limite de descida de um paraquedas pesando com seu 
equipamento 1180 N, se o paraquedas tem uma forma semiesférica de 6 m de diâmetro 
e um coeficiente de arrasto igual 1,20? De que altura se deve saltar sem paraquedas para 
se chegar ao solo com a mesma velocidade? Dado  =1,225 kg/m3. 
 
16.3- Uma chaminé cilíndrica, de 1,50 m de diâmetro e 22,5 m de altura, é exposta a um 
vento de 30 km/h. Sendo a viscosidade do ar igual a 15 x 10-6 m2/s determine a força 
devido à ação do vento sobre a estrutura, desprezando os efeitos de extremidade. 
 
16.4- Um submarino tem um comprimento igual a 84 m e uma superfície total de 1800 
m2. Calcular a potência em c.v. necessária para manter um uma velocidade de 5 m/s. 
Para fazer o calculo admita que o valor do coeficiente de arrasto para o submarino é 
igual ao coeficiente de arrasto de uma placa plana e lisa. Dados:  = 1025 kg/m3 e  = 
1,2 x 10-6 m2/s. 
 
16.5- Uma placa plana de 3 m de largura e 30 m de comprimento esta sendo rebocada 
paralelamente a ela mesma, no sentido de seu comprimento, na água a uma velocidade 
de 6 m/s. Determine a força de atrito exercida sobre uma das faces da placa e a força 
exercida sobre os três primeiros metros da placa. Dado:  = 10-6 m2/s. 
 
16.6- Um perfil de asa delgado e liso desloca-se no ar com uma velocidade de 380 km/h 
no ar. Um paraquedas de parada está colocado atrás do perfil como mostra a figura. 
Calcular o diâmetro do paraquedas, requerido para produzir um arrasto extra, igual ao 
arrasto do perfil de asa àquela velocidade. Dados:  = 1,225 kg/m3 e  = 14 x 10-6 m /s. 
 
 
16.7- Uma esfera de aço (dr= 7,82) de 51 mm de diâmetro é solta em um grande 
depósito que contem óleo (dr =0,82 e  =0,98 kg/(s.m)). Determinar a velocidade limite 
desta esfera. 
 
16.8- Estimar o arrasto sobre um modelo de um N.P.L. de uma fuselagem de avião de 
0,15 de diâmetro, o qual esta sendo testado em uma corrente de ar a 15oC e pressão de 
101,3 kPa (abs) a 27 m/s. Nas condições do teste  = 1,225 kg/m3 e  =1,764 x 10-5 
kg/(s.m). 
 
16.9- Determinar o coeficiente de arrasto do pilar da ponte no exercício 13.30. 
 
16.10- Sobre um rio onde a velocidade media não perturbada é v = 0,90 m/s e cujo 
tirante d’água é h= 2,40 m existe uma ponte apoiada sobre pilares de forma cilíndrica 
com diâmetro D = 0,30 m. Estime o valor da força de arrasto devida a corrente sobre um 
pilar. Dado: 
 
Dado: H20= 10-6 m2 /s. 
 
RESPOSTAS 
 
16.1 Pot= 8,82 kW 
16.2 V = 7,52 m/s H = 2,89 m 
16.3 F = 484 N 
16.4 Pot= 207,3 kW 
16.5 F = 3077 N F = 437 N 
16.6 d = 0,70 m 
16.7 v = 2,32 m/s 
16.8 F = 0,69 N 
16.9 Cd = 2,06 
16.10 F = 291 N