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Questão 23 - Pág 115 - Equações Diferenciais - Zill

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Questão 23 – Página 115 AID: 20 | 15/08/2016
Enunciado:
Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada a mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante.
Solução:
Seja a quantidade de sal ( em gramas) no tanque no instante . Para problemas desse tipo, a taxa de variação de é dada por:
Agora, a taxa pela qual o sal entra no tanque é, em gramas por minuto:
E a taxa pela qual o sal sai é:
Com isso a equação torna-se:
A qual devemos resolver sujeita a condição .
Como o fator de integração é , podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Integrando a expressão obtida, temos:
Quando , , logo encontramos . Finalmente, obtemos:
(
)
(
)
1
5 l/min x 2/
 10/min
Rgl
g
=
=
(
)
2
5 l/min x /
500
 /min
100
A
Rgl
A
l
æö
=
ç÷
èø
=
10
100
dAA
dt
=-
(
)
00
A
=
100
t
e
100100100
100100100
100100100
100100
 10
100
10
100
 10
100
 10
ttt
ttt
ttt
tt
dAA
eee
dt
dAA
eee
dt
A
edAeedt
deAedt
=-
+=
+=
éù
=
ëû
100100
100100
100
=10 
 1000
 1000
tt
tt
t
deAedt
eAec
Ace
-
éù
ëû
=+
=+
òò
0
t
=
0
A
=
1000
c
=-
(
)
100
10001000
t
Ate
-
=-
()
At
t
12
 taxa de taxa de 
()
entrada de salsaída de sal
 
dAt
dt
RR
æöæö
=+
ç÷ç÷
èøèø
=-

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