LISTA 31 - RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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LISTA 31 – TRIGONOMETRIA – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2015) Em um triângulo ABC, retângulo em C, 
a razão
cos
senB
A
 é igual a: 
 
Obs.: senB é o seno do ângulo do vértice B e senA do 
ângulo do vértice A. 
 
)
)
)1
)2
AC
a
BC
AB
b
AC
c
d
 
 
2. (EEAR 2013) Sendo 
1
tgx
t
= e senx u= , uma 
maneira de expressar o valor de cosx é: 
 
)
)
)
)
a t
u
b
t
c u t
d u t

+
 
 
3. (EEAR 2018) Os pontos A, B, C e D estão alinhados 
entre si, assim como os pontos A, E e F também estão. 
Considerando G o ponto de interseção de FC e ED , o 
valor de tg é: 
 
 
a) 0,2 
b) 0,5 
c) 2 
d) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (EEAR 2008) Em um triângulo ABC, retângulo em A, 
a hipotenusa mede 5dm e 
1
2
sen senC = . Nessas 
condições, o maior cateto mede, em dm, 
 
)3
)4
) 5
)2 5
a
b
c
d
 
 
NÍVEL 2 - OFICIALATO 
 
1. (Ufjf-pism 1 2020) Na figura abaixo, o ponto A é 
vértice comum dos triângulos retângulos ABC, ACD e 
ADE. 
 
 
 
O comprimento do segmento EC, em centímetros, é 
 
a) 3 3+ 
b) 
9
4
 
c) 1 3+ 
d) 
1 3
2
+
 
e) 
2 2 6
2
+
 
 
 
 
 
 
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2. (G1 - ifpe 2020) André estava esperando a condução 
escolar quando percebeu que, pela posição do sol, um 
poste projetava uma sombra de comprimento " x", 
conforme a figura. Pesquisando na internet, ele 
descobriu que aquele tipo de poste tinha 10 metros de 
altura. Como ele estava estudando Trigonometria na 
escola, tentou descobrir o comprimento da sombra 
(representado pela letra " x "), o qual é de, 
aproximadamente, 
(Dados: Tg 0,75)α = 
 
 
 
a) 17 metros. 
b) 16 metros. 
c) 13 metros. 
d) 14 metros. 
e) 15 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (G1 - cftmg 2020) As alturas de dois prédios, em 
relação ao solo, são 2.640 cm e 4.720 cm. Do topo de 
um deles (ponto A), avista-se o topo do outro (ponto 
B) sob um ângulo de 30 , em relação ao plano 
horizontal, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a distância de 
A até B é, em cm, igual a 
 
a) 2.360 
b) 2.640 
c) 4.160 
d) 4.320 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. (EPCAr 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea 
Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT 
(Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura 
desprezível, com raio de 3 m, estacionado 
paralelamente ao solo a 30 m de altura. 
O VANT está a uma distância y metros de um holofote 
que foi instalado no helicóptero. 
O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide 
sobre a região plana e produz uma sombra circular de 
centro O e raio R. 
O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo 
de 60 com o feixe de luz, conforme se vê na figura 
seguinte. 
 
 
 
Nesse momento, uma pessoa que se encontra num 
ponto A da circunferência da sombra corre para o 
ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à 
região plana. 
 
A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A 
até O é um número entre 
 
a) 18 e 19 
b) 19 e 20 
c) 20 e 21 
d) 22 e 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (G1 - cotil 2019) O prefeito de uma cidade turística 
pretende construir um teleférico unindo o parque 
cultural ao topo de uma montanha de 200 m de altura, 
como mostra a figura abaixo. Considerando que a 
plataforma de embarque do teleférico deve estar a uma 
altura de 5 m do chão e que o pico da montanha possa 
ser observado sob um ângulo de 30 , determine a 
distância percorrida pelo teleférico do ponto de 
embarque ao topo da montanha. 
 
 
 
a) 350 m 
b) 370 m 
c) 390 m 
d) 410 m 
 
6. (G1 - ifpe 2019) Após a instalação de um poste de 
energia, há a orientação de que ele fique apoiado por 
um período de 48 horas, após a sua fixação no terreno, 
por meio de 4 cabos de sustentação. A figura a seguir 
ilustra um modelo de um desses cabos de sustentação. 
 
 
 
Sabendo que o cabo de sustentação do poste forma um 
ângulo de 60 com a vertical e que ele está conectado 
ao poste a uma altura de 10 metros, determine o 
comprimento mínimo do cabo. 
a) 10 m 
b) 5 m 
c) 25 m 
d) 20 m 
e) 12 m 
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7. (G1 - ifal 2018) Um atleta de 1,70 metro de altura, 
percebe que, ao fazer flexões no momento em que 
estica os braços, seu corpo, em linha reta, forma um 
ângulo de 30 com o piso. Nessas condições, a que 
altura do piso se encontra a extremidade da sua 
cabeça? (Considere que os braços formam com o piso 
um ângulo reto). 
 
a) 85 cm. 
b) 85 3 cm. 
c) 
170 3
cm.
3
 
d) 85 2 cm. 
e) 340 cm. 
 
8. (Famema 2018) A figura mostra um quadrado 
ABCD, com 6 cm de lado, e um triângulo retângulo 
ABF de hipotenusa AF, com o ponto F no 
prolongamento do lado BC e o ponto E sendo a 
intersecção dos segmentos DC e AF. 
 
 
 
Sabendo que o ângulo ˆFAB mede 60 , a medida do 
segmento CE é 
 
a) ( 3 3) cm.+ 
b) (2 3 3) cm.+ 
c) 2(3 3) cm.+ 
d) 2 3 cm. 
e) 2(3 3) cm.− 
 
 
 
 
 
 
9. (G1 - ifsul 2017) A figura a seguir representa a área 
de um jardim com o formato de um triângulo retângulo 
isóscele. Nele deverá ser colocada uma tela para cercar 
totalmente o terreno. 
 
 
 
Considerando os dados apresentados, quantos metros 
de tela, no mínimo, serão necessários? 
 
a) 4 2 2+ 
b) 2 2 2+ 
c) 4 2 
d) 2 2 
 
10. (G1 - ifal 2017) Considere um triângulo retângulo, 
cujos ângulos agudos α e β satisfazem à condição 
cos 0,8α = e cos 0,6.β = Determine a área desse 
triângulo, em 2cm , sabendo que o comprimento da 
hipotenusa é 5 cm. 
a) 4,5 
b) 6 
c) 7,5 
d) 8 
e) 10 
 
11. (G1 - ifal 2017) Um estudante do Curso de 
Edificações do IFAL utiliza um teodolito para determinar 
a altura de um prédio construindo em um terreno plano. 
A uma determinada distância desse prédio, ele 
visualizou o topo do prédio sob um ângulo de 30 . 
Aproximando-se do prédio mais 60 m, passa a ver o 
topo do prédio sob um ângulo de 60 . 
Considerando que a base do prédio está no mesmo nível 
da luneta do teodolito, qual a altura deste prédio? 
 
a) 10 3 m. 
b) 28 m. 
c) 30 m. 
d) 20 3 m. 
e) 30 3 m. 
 
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12. (G1 - ifpe 2017) Um aluno do IFPE, campus 
Garanhuns, estava caminhando próximo à Serra das 
Vacas e, ao avistar uma das torres eólicas, ficou curioso 
a respeito da altura da mesma. Utilizando um 
transferidor, com a base paralela ao solo, observou o 
ponto mais alto da torre sob um ângulo de 30 . Após 
caminhar 60 m em linha reta na direção da torre, 
passou a observar o mesmo ponto segundo um ângulo 
de 45 . Desconsiderando a altura do aluno, calcule a 
altura aproximada desta torre. (Use 3 1,73)= 
 
 
 
a) 85 metros. 
b) 82 metros. 
c) 72 metros. 
d) 90 metros. 
e) 75 metros. 
 
13. (G1 - ifal 2017) Ao soltar pipa, um garoto libera 
90 m de linha, supondo que a linha fique esticada e 
forme um ângulo de 30 com a horizontal. A que altura 
a pipa se encontra do solo? 
 
a) 45 m. 
b) 45 3 m. 
c) 30 3 m. 
d) 45 2 m. 
e) 30 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. (G1 - ifpe 2017) Um estudante do curso técnico de 
Edificaçõesdo IFPE Campus Recife, precisou medir a 
altura de um edifício de 6 andares. Para isso, afastou-
se 45 metros do edifício e, com um teodolito, mediu o 
ângulo de 28 , conforme a imagem abaixo. 
 
 
 
Usando as aproximações sen 28 0,41, = 
cos 28 0,88 = e tg 28 0,53, = esse estudante 
concluiu corretamente que a altura desse edifício é 
 
a) 21,15 m. 
b) 23,85 m. 
c) 39,6 m. 
d) 143,1m. 
e) 126,9 m. 
 
15. (Efomm 2016) Determine o perímetro do triângulo 
ABD, em cm, representado na figura abaixo: 
 
 
 
a) 5 3 5+ 
b) 5(2 2)( 3 1)+ + 
c) 20 4 5+ 
d) 45 
e) 50 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (EsPCEx 2014) Um tenente do Exército está fazendo 
um levantamento topográfico da região onde será 
realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a 
largura do rio que corta a região e por isso adotou os 
seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma 
árvore que ele observou na outra margem) e B (uma 
estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se 
encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, 
fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal 
modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma 
medida de 
3
π
 rad para o ângulo ˆACB. 
Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 
 
a) 9 3 metros 
b) 3 3 metros 
c) 
9 3
metros
2
 
d) 3 metros 
e) 4,5 metros 
 
17. (EsPCEx 2013) Em uma das primeiras tentativas de 
determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos 
da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou 
montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se 
avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada 
esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse 
raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é 
dado por: 
 
 
a) 
( )sen h
R
1 sen
α
α
=
−
 
b) 
hsen
R
1 sen
α
α
=
−
 
c) 
hsen
R
sen –1
α
α
= 
d) 
1 sen
R
hsen
α
α
−
= 
e) 
1 sen
R
hsen
α
α
+
= 
 
18. (EPCAr 2012) Uma coruja está pousada em R, 
ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto 
P, no chão. 
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um 
ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo. 
 
 
 
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde 
vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e 
a uma distância BR de medida 6 2 metros. 
Com base nessas informações, estando os pontos A, B 
e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, 
pode-se afirmar então que a medida do deslocamento 
AB do rato, em metros, é um número entre 
a) 3 e 4 
b) 4 e 5 
c) 5 e 6 
d) 6 e 7 
 
19. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Em relação à figura 
abaixo, tem-se 
CÂD 30º, AC 2 cm e BC 4 cm= = = . 
 
 
 
Se AC CB e AD DB⊥ ⊥ , então, BD , em cm, é 
igual a 
a) 
6 3
3
−
 
b) 6 3 3− 
c) 2 3 1− 
d) 
4 3
2
−
 
 
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GABARITO NÍVEL 1 
 
1. C 
2. C 
3. B 
4. D 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
ˆADC 180 90 45 45 AD AC.
ˆCAB 180 90 30 60 .
ADE CAB (caso A.L.A.)Δ Δ
=  −  −  =   =
=  −  −  = 

 
Logo, AE BC.= 
 
No ABC :Δ 
AC 3 AC
tg30 AC 1.
33 3
 =  =  = 
 
Portanto, 
CE AC AE
CE AC BC
CE 1 3
= +
= +
= +
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Calculando: 
10
tg
x
10
x
0,75
x 13 m
α =
=
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
 
 
No triângulo ABC, destacado na figura, temos: 
4720 2640 1 2080
sen30 AB 4160 cm
AB 2 AB
−
 =  =  = 
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Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Desde que os ângulos BAO e BCD são correspondentes, temos 
BD y
tgBCD tg60
3CD
y 3 3 m.
=   =
 =
 
 
Portanto, segue que 
BO 3 3 30
tgBAO tg60
xAO
30
x 3
3
x 3 10 3
x 20,3 m.
+
=   =
 = +
 = +
 
 
 
É imediato que x ]20, 21[. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
 
 
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195 1 195
sen30 x 390 m
x 2 x
 =  =  = 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Sendo x o comprimento do cabo, pode-se calcular: 
10 1 10
cos60 x 20 m
x 2 x
 =  =  = 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Considere a situação 
 
 
 
Utilizando da relação de seno temos: 
cateto oposto 1 x
sen(30 ) x 85 cm.
hipotenusa 2 1,7
 =  =  = 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Desde que ABCD é quadrado, temos 
DAE 90 FAB
90 60
30 .
=  −
=  − 
= 
 
 
Portanto, sabendo que 
3
tg30 ,
3
 = do triângulo ADE, vem 
ED 6 CE
tgDAE tg30
6AD
CE 6 2 3
CE 2(3 3)cm.
−
=   =
 = −
 = −
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Do fato do triangulo ser isósceles, os dois outros ângulos serão de 45 e então, basta aplicar o teorema de 
Pitágoras para obter o valor dos dois lados que serão iguais. Logo: 
2
sen(45 ) cos(45 )
2
2 cat. 2 cat.
2 2 2 cat
2 hip 2 2
cat 2
 =  =
=  =   = 
=
 
 
Obtendo o perímetro (soma de todos os lados) temos: 
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2 2 2 2 2 2+ + = + 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Considere o triângulo: 
 
 
 
Daí, 
catetoadjacente a
cos 0,8
hipotenusa 5
a 4 cm
catetoadjacente b
cos 0,6
hipotenusa 5
a 3 cm
α
β
=  =
=
=  =
=
 
 
Calculando a área do triângulo T(A ), temos: 
2
T
a b 4 3
A 6 cm .
2 2
 
= = = 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Considere a seguinte situação: 
 
 
 
Dessa maneira temos a seguinte proporção: 
cateto oposto 3 h 3
tg(30 ) h x
cateto adjacente 3 x 3
 =  =  =  
 
Aplicando no outro ângulo: 
cateto oposto h
tg(60 ) 3 h 3 x 60 3
cateto adjacente x 60
 =  =  =  −
−
 
 
Substituindo o valor de h 
3
h 3 x 60 3 x 3 x 60 3 3 x 3 3 x 180 3 ( 3) x 90
3
=  −  =  −   =  −    = 
 
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Logo, temos: 
3 3
h x h 90 30 3 m.
3 3
=   =  = 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Analisando o problema temos a seguinte situação formando dois triângulos: 
 
 
 
Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de 45 , temos: 
cateto oposto h
tg(45 ) 1 h x
cateto adjacente x
 =  =  = 
 
Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de 30 temos: 
cateto oposto 3 h 3 x
tg(30 )
cateto adjacente 3 60 x 3 60 x
(60 x) 3 3x 60 3 x 3 3x
60 (1,73) 1,73x 3x
103,8 1,27x
x 82 h 82 m
 =  =  =
+ +
+  =  + =
 + =
=
  =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Considere a situação 
 
 
 
Aplicando o seno de 30 temos: 
h 1 h
sen(30 )
90 2 90
h 45 m.
 =  =
=
 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Utilizando a relação de tangente do ângulo 28 , temos: 
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cateto oposto altura
tg(28 ) 0,53 altura 23,85 m.
cateto adjacente 45
 =  =  = 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Sendo ABC um triângulo retângulo isósceles com catetos medindo xcm, vem y 2xcm.= Por outro lado, do 
triângulo ADC, temos: 
AD x
tgACD tg30
x 10AC
3 x
3 x 10
10 3 3 3
x
3 3 3 3
x 5( 3 1)cm.
=   =
+
 =
+
+
 = 
− +
 = +
 
 
Portanto, o perímetro do triângulo ABD é: 
2x x 2 x(2 2) 5( 3 1)(2 2)cm.+ = + = + + 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
 
 
x
tg60 x 9 tg60 9 3m.
9
 =  =   =  
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura. 
 
 
 
Como AB é tangente à esfera, segue que OB AB.⊥ Além disso, AO h R= + e OB R.= Portanto, do triângulo 
AOB, obtemosTEOREMA MILITAR 
LISTA 31 – TRIGONOMETRIA – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
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OB R
sen sen
h RAO
R hsen Rsen
R Rsen hsen
R(1 sen ) hsen
hsen
R .
1 sen
α α
α α
α α
α α
α
α
=  =
+
 = +
 − =
 − =
 =
−
 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h. 
 
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 2 2 2h h (6 2) ,+ = logo h = 6. 
 
 
No triângulo APR, podemos escrever: 
 
h
tg30
h AB
3 6
3 AB 6
18 6 3
AB
3
18 3 18
AB
3
AB 4,2
 =
+
=
+
−
=
−
=
 
 
e 4 < 4,2 < 5. 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
o
o
x 2. 3x
(no BPD) cos30 y
y 3
2. 3x
4
3 12 2 3.x3(no APC)tg30 x 2 3 1
2 3 6
Δ
Δ
=  =
−
−
=  =  = −