LISTA 16 - POLIEDROS

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 16 – POLIEDROS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2018) Sabendo que o dodecaedro regular 
possui 20 vértices, o número de arestas desse poliedro 
é: 
 
a) 16 
b) 28 
c) 30 
d) 32 
 
2. (ESA 2015) A palavra “icosaedro”, de origem grega, 
significa “20 faces”. Sabendo que o icosaedro regular é 
formado por 20 triângulos regulares, determine o 
número de vértices. 
 
a) 12 
b) 42 
c) 52 
d) 8 
e) 48 
 
3. (EEAR 2009) “Existem somente ________ poliedros 
regulares.” A palavra que completa corretamente a 
asserção anterior é: 
 
a) quatro 
b) cinco 
c) seis 
d) três 
 
4. (EEAR 2008) O número de poliedros regulares que 
têm faces triangulares é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
5. (EEAR 2012) O poliedro regular cujas faces são 
pentágonos é o: 
 
a) octaedro. 
b) tetraedro. 
c) icosaedro. 
d) dodecaedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (EsPCEx 2021) Um poliedro possui 20 vértices. 
Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o 
número de faces que poliedro possui é igual a 
a) 12. 
b) 22. 
c) 32. 
d) 42. 
e) 52. 
 
2. (CMRJ 2021) No Laboratório de Matemática do 
Colégio Militar do Rio de Janeiro, há somente os 
modelos de sólidos da imagem a seguir. 
 
 
 
Sabe-se que são 40 esferas e que o número de cilindros 
é três vezes o número de arestas da pirâmide. Sabe-se 
também que existem 24 poliedros de 5 faces e que o 
número de cones é igual ao quádruplo do número de 
faces do prisma. Já a quantidade de prismas é um 
número menor do que 50 e múltiplo, simultaneamente, 
de 6 e 7. 
 
Dentre as frações abaixo, qual representa a quantidade 
de poliedros em relação à quantidade total de sólidos? 
 
a) 
33
79
 
b) 
2
11
 
c) 
12
79
 
d) 
7
11
 
e) 
21
38
 
 
3. (Ueg 2020) O poliedro convexo regular cujo número 
de arestas é o dobro do número de vértices é o 
octaedro. O número de vértices do octaedro é 
 
a) 4 
b) 20 
c) 12 
d) 8 
e) 6 
 
 
 
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4. (EsPCEx 2020) Um poliedro convexo, com 13 
vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces formadas 
por polígonos do tipo P. Com base nessas informações, 
pode-se concluir que o polígono P é um 
 
a) dodecágono. 
b) octógono. 
c) pentágono. 
d) quadrilátero. 
e) triângulo. 
 
5. (Ufjf-pism 2 2019) A figura abaixo corresponde à 
planificação de um determinado poliedro: 
 
 
 
O número de vértices desse poliedro é 
 
a) 12 
b) 18 
c) 21 
d) 30 
e) 36 
 
6. (Uece 2016) Um poliedro convexo com 32 vértices 
possui apenas faces triangulares. O número de arestas 
deste poliedro é 
 
a) 100. 
b) 120. 
c) 90. 
d) 80. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (Upf 2015) O poliedro representado na figura 
(octaedro truncado) é construído a partir de um 
octaedro regular, cortando-se, para tal, em cada vértice, 
uma pirâmide regular de base quadrangular. A soma 
dos ângulos internos de todas as faces do octaedro 
truncado é: 
 
 
 
a) 2160 
b) 5760 
c) 7920 
d) 10080 
e) 13680 
 
8. (Uece 2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, 
sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de 
vértices deste polígono 
 
a) 90. 
b) 72. 
c) 60. 
d) 56. 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. C 
2. A 
3. B 
4. C 
5. D 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Como cada aresta está presente em dois vértices 
distintos, o número de arestas presentes nesse 
poliedro é: 
20 3
A 30
2

= = 
 
Portanto, o número de faces é igual a: 
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V F A 2
20 F 30 2
F 12
+ = +
+ = +
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Considerando que o número de esferas é 40, temos: 
 
Número de cilindros: 3 8 24 = 
Número de pirâmides: 24 
Número de cones: 4 7 28 = 
Número de prismas: 6 7 42 = 
 
Portanto, a fração pedida será dada por: 
24 42 66 33
40 24 24 28 42 158 79
+
= =
+ + + +
 
 
Resposta [A]. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
O octaedro regular é obtido a partir da justaposição 
pelas bases de duas pirâmides quadrangulares 
regulares iguais em que as faces laterais são triângulos 
equiláteros. 
Portanto, o número de vértices do octaedro é 6. 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Seja n o número de lados de cada polígono do tipo P. 
Se =V 13 e =F 19, então, pela Relação de Euler, vem 
+ = +  + = +
 =
V F A 2 13 19 A 2
A 30.
 
 
Por outro lado, temos 
=  +   = +2A 18 n 1 6 A 9n 3. 
 
Desse modo, encontramos 
+ =  =9n 3 30 n 3, 
 
ou seja, P é um triângulo. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
Faces 8 faces
4 6 4 3
Arestas 4 hexágonos 4 triângulos 18
2
V F A 2 V 8 18 2 V 12

 + 
 + = =
+ = +  + = +  =
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se 
V 32.= Por conseguinte, sendo F e A, 
respectivamente, o número de faces e o número de 
arestas, pelo Teorema de Euler, vem 
V F A 2 32 F A 2 F A 30.+ = +  + = +  = − 
 
Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, 
temos 3F 2A= e, portanto, 
3(A 30) 2A A 90.− =  = 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma 
pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice 
do octaedro, obtemos um octaedro truncado com 
6 4 24 = vértices. Portanto, a resposta é 
360 (24 2) 7920 .  − =  
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
F: número de faces 
A: número de arestas 
V: número de vértices 
 
20 6 12 5
A 90
2
 + 
= = 
 
F = 32 
V = 2 + A – F 
V = 2 + 90 – 32 
V = 60.