Avaliação II - Individual

Prévia do material em texto

30/11/2023, 21:20 Avaliação II - Individual
about:blank 1/5
Prova Impressa
GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:884363)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 74999908
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função 
de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 2, -1, e 3 e o coeficiente 
dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) x³ - 7 x + 6 = 0 
( ) x³ + 4 x² + x - 6 = 0 
( ) x³ - 2 x² - 5 x + 6 = 0 
( ) x³ - 4 x² + x + 6 = 0 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - F - F - V.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética 
modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos 
computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita. Para esse sistema de aritmética, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) 22 ≡ -3 (mod 4)
( ) 52 ≡ 4 (mod 7)
( ) 31 ≡ 1 (mod 5)
( ) 80 ≡ 1 (mod 3) Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - F - V - F.
C V - F - V - V.
D F - V - V - F.
 VOLTAR
A+ Alterar modo de visualização
1
2
30/11/2023, 21:20 Avaliação II - Individual
about:blank 2/5
As congruências modulares permitem definir novas aritméticas que transcendem a própria teoria dos 
números, encontrando inúmeras e profundas aplicações em várias outras partes da matemática. Nas 
classes residuais, um elemento [a] será dito invertível quando existir [b] pertencente a Zm tal que 
[a]·[b] = 1. Nesse caso, diremos que [b] é o inverso de [a]. Caso Zm possua, com exceção do zero, 
somente elementos invertíveis, ele é considerado um corpo. Monte a tabela (se preferir) da 
multiplicação para Z6 e analise as opções a seguir:
I. [1] é o invertível de [1]
II. [2] é o invertível de [5]
III. [5] é o invertível de [5]
IV. Z6 é um corpo Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as opções II e IV estão corretas.
B Somente as opções I, II e III estão corretas.
C Somente as opções I e IV estão corretas.
D Somente as opções I e III estão corretas.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio possa ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. 
O polinômio P(x) = -x³ + 2x² - x + 2, possui -i, i e 2 como raízes. Então, pelo Teorema da 
Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = -(x² + 1)·(x - 2).
B P(x) = (x² - 1)·(x + 2).
C P(x) = -(x² - 1)·(x + 2).
D P(x) = (x² + 1)·(x - 2).
A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de 
um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. 
Considere os polinômios:
P(x) = x² + 3x - 3 
T(x) = 2x² - x + 2 
D(x) = x + 1
3
4
5
30/11/2023, 21:20 Avaliação II - Individual
about:blank 3/5
Quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) · T(x) por D(x), analise as sentenças a seguir:
I. O resto da divisão de P(x) · T(x) por D(x) é -25. 
II. O resto da divisão de P(x) · T(x) por D(x) é 24. 
III. O resto da divisão de P(x) · T(x) por D(x) é -35. 
IV. O resto da divisão de P(x) · T(x) por D(x) é 21. Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença I está correta.
B Somente a sentença IV está correta.
C Somente a sentença II está correta.
D Somente a sentença III está correta.
No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os Grupos 
Abelianos são assim chamados em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel que trouxe 
grandes contribuições à Álgebra no início do século XIX. Analise as sentenças a seguir sobre a 
caracterização de um grupo (G, *) como Abeliano:
I. Se, não apresentar as propriedades que o caracterizam como grupo, mais sim, verificada em (G, *) 
a propriedade comutativa.
II. Se (G, *) apresentar a propriedade comutativa, além das propriedades que caracterizam um grupo.
III. Se (G, *) possuir as características de um grupo e a propriedade distributiva.
IV. É um conjunto não vazio, munido de uma operação fechada, associativa, comutativo e que possui 
o elemento neutro e inverso de qualquer operação binária.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as sentenças II e IV estão corretas.
B Somente a sentença II está correta.
C Somente as sentenças I e IV estão corretas.
D Somente as sentenças I e III estão corretas.
Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático 
para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é 
utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x - a).
Para o polinômio P(x) = -x3 - 2x2 + 3x + 7 dividido por D(x) = x - 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 13.
B R(x) = -3.
C R(x) = -2.
D R(x) = 15.
6
7
30/11/2023, 21:20 Avaliação II - Individual
about:blank 4/5
Um grupo é uma estrutura formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definida uma 
aplicação binária, que pode ser classificado de algumas maneiras. A respeito das propriedades dessa 
estrutura, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Existência do elemento neutro.
( ) Tricotomia.
( ) Transitividade.
( ) Existência de Inversos. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - V.
B F - V - F - V.
C F - V - F - F.
D F - F - V - V.
Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema de 
aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem um certo valor, o módulo. 
Devemos muito bem conhecer a classe dos possíveis restos da divisão de um número por um certo 
valor, para defini-la. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) 22 ≡ 1 (mod 5)
( ) 31 ≡ 3 (mod 4)
( ) 25 ≡ 1 (mod 3)
( ) 22 ≡ 1 (mod 4)Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - V - F.
B V - V - F - F.
C V - F - F - V.
D F - F - V - V.
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar a divisão 
entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair 
os expoentes).
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do 
polinômio P(x) = x4 - 7x3 + 17x2 - 17x + 6 por D(x) = x2 - 3x + 2, a opção que apresenta a soma das 
soluções (raízes) dessa equação é:
A -3.
B 4.
C 3.
8
9
10
30/11/2023, 21:20 Avaliação II - Individual
about:blank 5/5
D -4.
Imprimir