prova final teoria dos numeros

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Avaliação Final (Objetiva) - Individual (Cod.:886275)
Código da prova: 74641387
Disciplina: Aritmética e Teoria dos Números (MAD108)
Período para responder: 24/11/2023 - 09/12/2023
Peso: 3,00
1 -
Podemos garantir que o polinômio P(n) = n² + n + 41 fornece apenas números primos? Observe a tabela a
seguir, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA:
Valores aplicados em P(n)
n P(n) n P(n)
1 43 8 113
2 47 9 131
3 53 10 151
4 61 11 173
5 71 12 197
6 83 13 223
7 97 14 251
 
A )
O polinômio não funciona para n = 14.
B )
A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.
C )
A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.
D )
Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.
2 -
Para que uma equação diofantina linear de segunda ordem tenha solução, obrigatoriamente, o MDC entre os
coeficientes precisa ser um divisor do termo independente da equação. Se calcularmos o MDC dos
coeficientes da equação 11x + 30y = 31, encontramos 1 como resultado, sendo então possível determinar a
solução da equação. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução geral:
A )
x = 589 + 30t e y = 217 - 11t.
B )
x = - 589 + 30t e y = 217 - 11t.
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C )
x = 217 + 30t e y = - 589 - 11t.
D )
x = - 589 + 30t e y = 217 + 11t.
3 -
A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b
são congruentes módulo m (m > 0) se os restos de suas divisões euclidianas por m são iguais". Considerando
as congruência módulo m, analise as sentenças a seguir:
I. 21 ≡ 15 (mod 6).
II. 715 ≡ 411 (mod 10).
III. -3 ≡ -8 (mod 5).
IV. 24 ≡ 3 (mod 7).
Assinale a alternativa que apresenta, apenas congruências CORRETAS:
A )
As sentenças I e II estão corretas.
B )
As sentenças II e III estão corretas.
C )
As sentenças II e IV estão corretas.
D )
As sentenças I, III e IV estão corretas.
4 -
Um sistema completo de resíduos é um conjunto que abrange todos os diferentes restos possíveis resultantes
das divisões por um número específico, expressos por meio de números.
Determine quais dos conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4:
A )
{0, 4, 8, 12}.
B )
{-5, 0, 6, 22}.
C )
{-2, -1, 0, 1}.
D )
{-4, 0, 5, 22}.
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5 -
O conceito de congruência possui e possibilita resolver diversos problemas do nosso dia a dia, como em
código de barras, CPF, criptografia, entre outros. Podemos pensar em um caso de congruência módulo 24 ao
relacionarmos com as horas de um dia.
Então, se agora são 9 horas, daqui 226 horas serão:
A )
Serão 9 dias e 10 horas a partir das 9 horas iniciais.
B )
Serão 10 dias e 17 horas a partir das 9 horas iniciais.
C )
Serão 9 dias e 12 horas a partir das 9 horas iniciais.
D )
Serão 8 dias e 23 horas a partir das 9 horas iniciais.
6 -
Os sistemas decimal, hexadecimal, octal e binário são os sistemas de numeração mais comuns, sob o ponto
de vista computacional (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018). Contudo o sistema octal deu lugar ao sistema
hexadecimal, devido às atuais necessidades dos recursos computacionais. De acordo com as características
do sistema octal, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Quantidade de símbolos admissíveis: 8.
( ) Símbolos admissíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
( ) A conversão do valor 5461 na base 8 para a base decimal resulta em 2863. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
FONTE: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 12. ed.
São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018.
A )
V - F - V.
B )
F - V - F.
C )
F - F - V.
D )
V - F - F.
7 -
O máximo divisor comum pode ser calculado aplicando o algoritmo das divisões sucessivas, demonstrado
por Euclides. Utilize esse método para determinar o MDC (76, 174) e encontrar r, s pertencentes ao inteiros
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tais que MDC (76, 174) = r · 76 + s · 174 e analise as sentenças a seguir:
I- Aplicamos o algoritmo da divisão sucessivamente até 10 = 5 · 2 + 0, pois aqui obtemos o resto zero.
II- Para encontrarmos r e s, precisamos realizar as substituições. Iniciamos o processo na penúltima linha até
chegarmos na primeira.
III- O MDC (76, 174) = 4.
IV- Os valores de r e s são, respectivamente, 16 e 7. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A )
Somente a sentença IV está correta.
B )
As sentenças I e III estão corretas.
C )
As sentenças I, II e IV estão corretas.
D )
Somente a sentença II está correta.
8 -
Uma aplicação importante dos números primos e compostos, abordando a sua decomposição, é a
determinação da quantidade de divisores positivos de um número natural n. Pela definição, 
n= ± p1a1 · … · prar, sendo p1, … ,· pr primos e a1,…, ar. naturais, temos que d(n) = (a1+1) · (a2+1) · … ·
(ar+1).
Analisando a decomposição do número 9216, com base nas informações acima, analise as sentenças a seguir:
I - O número de divisores naturais de 9216 será dado por: (10+1)·(2 + 1).
II - O número 9216 tem exatamente 30 divisores.
III - Os fatores do produto 210 · 32 são relativamente primos dois a dois.
Assinale a alternativa CORRETA:
A )
Somente a sentença II está correta.
B )
Somente a sentença I está correta.
C )
As sentenças I e III estão corretas.
D )
As sentenças I e II estão corretas.
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9 -
O algoritmo de divisão, também conhecido por algoritmo de Euclides, possibilita pensarmos da seguinte
maneira: a = b . q + r (se a divisão for exata, não temos o resto). Quando b é divisor de a, podemos expressar
esse fato de várias formas. Com base nas definições de divisibilidade e considerando uma divisão exata,
analise as sentenças a seguir:
I - a é divisível por b.
II - b é um divisor de a.
III - a não é um múltiplo de b.
IV - A divisão de a por b tem resto 0.
Assinale a alternativa CORRETA:
A )
As sentenças I e III estão corretas.
B )
Somente a sentença III está correta.
C )
Somente a sentença II está correta.
D )
As sentenças I, II e IV estão corretas.
10 -
A relação de congruência entre dois números pode ser verificada por várias proposições. Uma dessa
propriedade diz que, se tivermos uma congruência módulo m, um valor a será congruente a um valor b se, e
somente se, m dividir a diferença de b com a. Sendo assim, analise as sentenças a seguir:
I. 17 ≡ 35 (mod 5)
II. 19 ≡ 25 (mod 6)
III. 21 ≡ 84 (mod 4)
IV. 14 ≡ 96 (mod 8)
Assinale a alternativa CORRETA:
A )
Somente a sentença I está correta.
B )
As sentenças I e IV estão corretas.
C )
Somente a sentença II está correta.
D )
As sentenças II e III estão corretas.
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11 -
Considerando que, dados os inteiros m e n, o mdc(m, n) é o maior divisor comum, e o mmc(m, n) é o menor
múltiplo comum de m e n, avalie as afirmações a seguir.
I. O resto da divisão de 7 × 18 - 2 por 7 é 5.
II. Se m = 7 × 22 + 5 e n = 7 × 38 + 6, o resto da divisão de m + n por 7 é 3.
III. O mmc(m, n) é um divisor do mdc(m, n).
IV. mdc(m, n) × mmc(m, n) = m × n.
É correto apenas o que se afirma em:
A )
I e III.
B )
II e III.
C )
I, II e IV
D )
I e IV.