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Apresentação - 5 - Tecnicas de Integração_Integração das funções Racionais por frações parciais- 1

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INTEGRAL
INTEGRAÇÃO DAS FUNÇÕES RACIONAIS POR 
FRAÇÕES PARCIAIS -1
INTEGRAL DE FUNÇÃO RACIONAL - TEOREMA
Teorema 
A integral (primitiva ou antiderivada) de uma função racional pode ser 
escrita como a combinação linear de uma função racional, de logaritmos e de 
funções arcotangente.
න
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥
Lembrando: uma função racional pode ser escrita como o quociente de dois 
polinômios. 
Exemplos 1: 
Alguns exemplos de Integral de Função Racional (tabela):
a) ׬
1
𝑥−𝑎
 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 𝑎 + 𝑐 
b) ׬
1
(𝑥−𝑎)2
 𝑑𝑥 = −
1
𝑥−𝑎
+ 𝑐 
c) ׬
𝑚𝑥+𝑘
𝑎2+𝑥2
 𝑑𝑥 =
𝑚
2
 ln 𝑎2 + 𝑥2 +
𝑘
𝑎
arctan
𝑥
𝑎
+ 𝑐
b) ׬
6𝑥2−9𝑥+9
𝑥3−3𝑥2
 𝑑𝑥 =
3
𝑥
 + 2ln 𝑥 + 4ln(𝑥 − 3) + 𝑐
COMO CALCULAR INTEGRAIS DAS FUNÇÕES RACIONAIS
Antes de calcularmos da Integrais das funções Racionais temos que definir 
qual é a sua denominação:
▪ função racional imprópria
▪ função racional própria
Consideramos a função racional 
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
onde P e Q são polinômios. 
Na função racional imprópria 
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
 o grau do numerador P seja maior que o 
grau do denominador Q. 
Exemplo 3: 
 f 𝑥 =
𝑥3+𝑥
𝑥−1
Na função racional própria 
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
 o grau do numerador P seja menor que o 
grau do denominador Q. 
Exemplo 2: 
 f 𝑥 =
𝑥+1
𝑥3+𝑥2−6𝑥
Nas integrais das função racional própria, temos cinco casos: 
▪ Caso I : Q(x) é um produto de fatores lineares distintos
▪ Caso II: Q(x) é um produto de fatores lineares repetidos
▪ Caso III: Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis distintos
▪ Caso IV: Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos.
Veremos os passos de como integrar qualquer função racional.
Integrando qualquer função racional
 Agora veremos como integrar qualquer função racional (um quociente de 
polinômios) expressando-a como uma soma de frações mais simples, chamadas 
frações parciais, que já sabemos como integrar. 
Exemplo 4: 
Integrar ׬
𝑥+5
𝑥2+𝑥−2
𝑑𝑥
Vamos iniciar fatorando o denominador em um produto de binômios:
𝑥+5
𝑥2+𝑥−2
 = 
2 𝑥+2 −(𝑥−1)
(𝑥−1)(𝑥+2)
=
2
𝑥−1
−
1
𝑥+2
Portanto a integral, 
න
𝑥 + 5
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑑𝑥 
será reescrita como: 
2 න
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 − න
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥 =
Sua solução, será: 
= 2𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 2 + 𝐶
INTEGRANDO FUNÇÃO RACIONAL IMPRÓPRIA
Seja a função
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
Se f é imprópria, isto é, gr(P) ≥ gr(Q), então devemos fazer uma etapa 
preliminar dividindo P por Q (por divisão de polinômios) até o resto R(x) ser 
obtido, com gr(R) < gr(Q). Resultado da divisão é:
 𝑓 𝑥 =
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
= S 𝑥 +
𝑅 𝑥
𝑄(𝑥)
 (1)
onde S e R são polinômios também. Como o exemplo a seguir mostra, algumas 
vezes essa etapa preliminar é tudo de que precisamos.
Exemplo 5: 
Encontre ׬
𝑥3+𝑥
𝑥−1
𝑑𝑥. 
 Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro 
devemos fazer a divisão. 
𝑥3+𝑥
𝑥−1
= 𝑥2 + 𝑥 + 2 +
2
𝑥−1
 
Isso nos permite escrever:
න
𝑥3 + 𝑥
𝑥 − 1
𝑑𝑥 = න 𝑥2 + 𝑥 + 2 +
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 2x + 2 ln 𝑥 − 1 + C
EXERCÍCIOS EM SALA
׬ (1
𝑥3
𝑥2+1
 𝑑𝑥
Solução:
Como o numerador é maior de o denominador, temos que fatorar: 
𝑥3
𝑥2+1
 = 𝑥 − 
𝑥
𝑥2−1
 
Rescrevendo a integral:
׬ 𝑥 −
𝑥
𝑥2−1
𝑑𝑥 = ׬𝑥 𝑑𝑥 - ׬
𝑥
𝑥2−1
𝑑𝑥 
׬ - 𝑥 𝑑𝑥׬
𝑥
𝑥2−1
𝑑𝑥
 𝑢 = 𝑥2 − 1 d𝑢 = 2𝑥
=
𝑥2
2
−
1
2
׬
1
𝑢 
𝑑𝑢 
 =
𝑥2
2
−
1
2
𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶
 =
𝑥2
2
−
1
2
𝑙𝑛 𝑥2 − 1 + 𝐶
INTEGRANDO FUNÇÃO RACIONAL PRÓPRIA
Consideramos a função racional própria, onde o grau de P seja menor que o 
grau de Q: 
𝑃 𝑥
𝑄(𝑥)
P e Q são polinômios. 
É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, fazendo: 
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥
1+ 𝑎0
no qual 𝑎𝑛 ≠ 0, então o grau de P é n, e escrevemos gr(P) = n. 
A próxima etapa é fatorar o denominador Q(x) o máximo possível. 
É possível demonstrar que qualquer polinômio Q pode ser fatorado como um 
produto de fatores lineares (da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 ) e fatores quadráticos 
irredutíveis (da forma 𝑎𝑥2 + bx + c, onde 𝑏2 − a. c < 0). 
Exemplo 6:
Se 𝑄 𝑥 = 𝑥4 − 16, a fatoração ficará:
𝑄 𝑥 = (𝑥2−4)(𝑥2+4) = (x − 2)(x + 2)(𝑥2+4)
Então expressar a função racional própria como uma soma de frações 
parciais da forma: 
𝐴
(𝑎+𝑏𝑥)𝑖
 ou 
𝐴𝑥+𝐵
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)𝑗
 
O teorema na álgebra garante que é sempre possível fazer isso. Explicamos 
os detalhes para os quatro casos que ocorrem. 
Caso I: O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos 
Isso significa que podemos escrever
Q 𝑥 = (𝑎1𝑥 + 𝑏1)(𝑎2𝑥 + 𝑏2) … . (𝑎𝑘𝑥 + 𝑏𝑘)
onde nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante do outro). 
Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantes 𝐴1, 𝐴2 
, ..., 𝐴𝑘 tal que
𝑅 𝑥
𝑄(𝑥)
=
𝐴1
𝑎1𝑥+ 𝑏1
+
𝐴2
𝑎2𝑥+ 𝑏2
 +.....+ 
𝐴𝑘
𝑎𝑘𝑥+ 𝑏𝑘
 (2)
Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo seguinte.
Exemplo 7: 
Calcule ׬
1
𝑥2−4
𝑑𝑥
Solução: 
Calcule ׬
1
𝑥2−4
𝑑𝑥
Vamos iniciar fatorando o denominador em um produto de binômios:
(𝑥2−4) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Separando as frações:
𝐴
(𝑥−2)
+
𝐵
(𝑥+2)
=
1
𝑥2−4
Fazendo o m.m.c: 
𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
=
1
𝑥2 − 4
Eliminando o denominador: 
Eliminando o denominador: 
𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵 𝑥 − 2 = 1 
Aplicando a propriedade distributiva e agrupando os termos:
𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵𝑥 − 2𝐵 = 1 
 (𝐴 + 𝐵)𝑥 + 2𝐴 − 2𝐵 = 1 
Temos o sistema: 
ቊ
𝐴 + 𝐵 = 0
2𝐴 − 2𝐵 = 1
Temos o sistema: 
ቊ
𝐴 + 𝐵 = 0
2𝐴 − 2𝐵 = 1
Substituindo, temos: 
1
4
(𝑥−2)
+
−
1
4
(𝑥+2)
=
1
𝑥2−4
A integral ficará: 
1
4
׬
1
(𝑥−2)
𝑑𝑥 −
1
4
׬ 
1
(𝑥+2)
 dx
=
1
4
ln 𝑥 − 2 −
1
4
ln 𝑥 + 2 + 𝐶
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴 = −𝐵
2𝐴 − 2𝐵 = 1
2(−𝐵) − 2𝐵 = 1
−2𝐵 − 2𝐵 = 1
−4𝐵 = 1
𝐵 = −
1
4
𝐴 =
1
4
=
1
4
 ln 𝑥 − 2 −
1
4
ln 𝑥 + 2 + 𝐶
=
1
4
ln 𝑥 − 2 − ln 𝑥 + 2 + 𝐶
=
1
4
 ln
𝑥−2
𝑥+2
+ 𝐶
EXERCÍCIOS EM SALA
2) Calcule
׬ 
𝑥+1
𝑥3+𝑥2−6𝑥
𝑑𝑥
 
Solução: 
Calcule׬
𝑥+1
𝑥3+𝑥2−6𝑥
𝑑𝑥
Vamos iniciar fatorando o denominador em um produto de binômios:
(𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥) = 𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
Separando as frações:
𝐴
𝑥
+
𝐵
(𝑥 − 2)
+
𝐶
(𝑥 + 3)
=
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
Fazendo o m.m.c: 
𝐴 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 𝐵𝑥 𝑥 + 3 + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 
=
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
Eliminando o denominador: 
𝐴 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 𝐵𝑥 𝑥 + 3 + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 
=
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
Eliminando o denominador: 
𝐴 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 𝐵𝑥 𝑥 + 3 + 𝐶𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥 + 1
Aplicando a propriedade distributiva:
(𝐴𝑥 − 2𝐴) 𝑥 + 3 + 𝐵𝑥2 + 3B𝑥 + 𝐶𝑥2 − 2C𝑥 = 𝑥 + 1
𝐴𝑥2 + 3𝐴𝑥 − 2𝐴𝑥 − 6𝐴 + 𝐵𝑥2 + 3B𝑥 + 𝐶𝑥2 − 2C𝑥 = 𝑥 +1
𝐴𝑥2 + 𝐴𝑥 − 6𝐴 + 𝐵𝑥2 + 3B𝑥 + 𝐶𝑥2 − 2C𝑥 = 𝑥 +1
 (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + 𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶 𝑥 − 6𝐴 = 𝑥 + 1
Temos o sistema: 
ቐ
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0
𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶 = 1
−6𝐴 = 1
Temos o sistema: 
ቐ
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0
𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶 = 1
−6𝐴 = 1
Substituindo, temos: 
−
1
6
𝑥
+
3
10
(𝑥 − 2)
+
−
2
15
(𝑥 + 3)
=
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
−6𝐴 = 1
𝐴 = −
1
6
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0
−
1
6
+ 𝐵 + 𝐶 = 0
𝐵 =
1
6
− 𝐶
𝐵 =
1
6
+
2
15
𝐵 =
9
30
=
3
10
𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶 = 1 
−
1
6
+ 3(
1
6
− 𝐶) − 2𝐶 = 1
−
1
6
+
3
6
− 3𝐶 − 2𝐶 = 1
−5𝐶 = 1 −
2
6
 𝐶 = −
4
30
 
 𝐶 = −
2
15
 
A integral ficará: 
−
1
6
׬
1
𝑥
𝑑𝑥 +
3
10
׬
1
(𝑥−2)
𝑑𝑥 −
2
15
׬ 
1
(𝑥+3)
 dx
= −
1
6
𝑙𝑛 𝑥 +
3
10
 ln 𝑥 − 2 −
2
15
ln 𝑥 + 3 + 𝐶
EXERCÍCIOS EM SALA
3) Calcule ׬
𝑥2+2𝑥−1
2𝑥3+3𝑥2−2𝑥
𝑑𝑥
 
Solução: 
Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos 
dividir. 
Fatoramos o denominador como ou escrevemos em forma de raízes:
2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 𝑥 2𝑥 − 1 (𝑥+ 2)
Como o denominador tem três fatores lineares distintos, a decomposição em 
frações parciais do integrando (2) tem a forma:
𝑥2+2𝑥−1
𝑥 2𝑥−1 (𝑥+2) 
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
2𝑥−1
 + 
𝐶
𝑥+2
 (3)
𝐴
𝑥
 +
𝐵
2𝑥−1
 + 
𝐶
𝑥+2
 = 
𝑥2+2𝑥−1
𝑥 2𝑥−1 (𝑥+2) 
(3)
Fazendo o m.m.c, temos: 
𝐴 2𝑥−1 𝑥+2 +𝐵𝑥 𝑥+2 +𝐶𝑥 2𝑥−1
𝑥 2𝑥−1 (𝑥+2)
=
𝑥2+2𝑥−1
𝑥 2𝑥−1 (𝑥+2) 
Eliminando o denominador: 
 𝐴 2𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 𝐵𝑥 𝑥 + 2 + 𝐶𝑥 2𝑥 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 (4)
Expandindo o lado direito da Equação 4 e escrevendo-a na forma-padrão para os 
polinômios, temos:
 
 (2A + 𝐵 + 2𝐶) 𝑥2 + 3𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 𝑥 − 2𝐴 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 (5)
 
Os polinômios na Equação 5 são idênticos, então seus coeficientes devem ser 
iguais. 
O coeficiente de 𝑥2 do lado direito, 2A + 𝐵 + 2𝐶, deve ser igual ao coeficiente de 
𝑥2 do lado esquerdo, ou seja, 1. Do mesmo modo, os coeficientes de x são iguais 
e os termos constantes também. Isso resulta no seguinte sistema de equações 
para A, B e C:
 ቐ
2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 = 1
3𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 2
−2𝐴 = −1
Resolvendo, obtemos 𝐴 =
1
2
, 𝐵 =
1
5
 e 𝐶 = −
1
10
.
Substituindo na integral, temos: 
׬
𝑥2+2𝑥−1
2𝑥3+3𝑥2−2𝑥
𝑑𝑥 = ׬
1
2
1
𝑥
+
1
5
 
1
2𝑥−1
−
1
10
1
𝑥+2
𝑑𝑥 
Separando a integral: 
1
2
න
1
𝑥
𝑑𝑥 +
1
5
න
1
2𝑥 − 1
𝑑𝑥 −
1
10
න
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥
=
1
2
 ln 𝑥 +
1
10
 ln 2𝑥 − 1 −
1
10
 ln 𝑥 + 2 + C
o integrar o termo do meio, fizemos mentalmente a substituição 𝑢 = 2𝑥 − 1, que 
resulta em 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 e 𝑑𝑥 =
du
2
 .
4) Calcule ׬
1
𝑥2−𝑎2
𝑑𝑥 onde 𝑎 ≠ 0.
EXERCÍCIOS EM SALA
Solução: 
O método das frações parciais: 
Fatoramos o denominador como:
1
𝑥2 − 𝑎2
 =
1
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎)
=
𝐴
(𝑥 − 𝑎)
 +
𝐵
(𝑥 + 𝑎)
portanto, 𝐴 𝑥 + 𝑎 + 𝐵 𝑥 − 𝑎 = 1
Usando o método da observação anterior, colocamos 𝑥 = 𝑎 a nesta equação e 
obtemos 𝐴 =
1
2𝑎
. Se pusermos 𝑥 = −𝑎, obteremos B(- 2𝑎)= 1, dessa forma, 𝐵 = −
1
2𝑎
(- 2𝑎)= 1, Então
Então:
න
1
𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
 න
1
(𝑥 − 𝑎)
 −
1
(𝑥 + 𝑎)
𝑑𝑥
=
1
2𝑎
( ln 𝑥 − 𝑎 − ln 𝑥 + 𝑎 ) + C
Como 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛
𝑥
𝑦
, podemos escrever a integral como:
׬ 
1
𝑥2−𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
 𝑙𝑛
𝑥−𝑎
𝑥+𝑎
+ C (6) 
EXERCÍCIOS: 
1) Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine 
os valores numéricos dos coeficientes. 
a) 
2𝑥
𝑥+3 3𝑥+1
b) 
1
𝑥3+2𝑥2+𝑥
c) 
𝑥−2
𝑥2+3𝑥−4
d) 
𝑥2 
(𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)
e) 
𝑥4
𝑥4−1
f) 
𝑡4+𝑡2+1
(𝑡2+1)(𝑡2+4)2
2) Resolva as integrais das funções racionais improprias por frações parciais:
a) ׬
𝑥2+𝑥+3
𝑥−2
𝑑𝑥 
b) ׬
𝑥3+𝑥2+𝑥+3
𝑥4+4𝑥2+3
𝑑𝑥 
c) ׬
𝑥3+4
𝑥2+4
𝑑𝑥
d) ׬
𝑥3+1
𝑥−1
𝑑𝑥 
e) ׬
𝑥4−2𝑥2+4𝑥+1
𝑥3−𝑥2−𝑥+1
𝑑𝑥 
 
3) Resolva as integrais das funções racionais próprias com denominador de fatores lineares 
distintos por frações parciais:
a) ׬
1
𝑥2−9
𝑑𝑥 
b) ׬
1
𝑥3−4𝑥2+3𝑥
𝑑𝑥 
c) ׬
1
𝑥2+7𝑥−6
𝑑𝑥 
e) ׬
𝑥2+7𝑥−6
2𝑥3+3𝑥2−7𝑥
𝑑𝑥 
 
Resposta:
1) 
a) 
𝐴
𝑥+3
 + 
𝐵
3𝑥+1
b) 
𝐴
𝑥
 + 
𝐵
𝑥+1
 + 
𝐶
𝑥+1 2
c) 
𝐴
𝑥+4
 + 
𝐵
𝑥−1
d) 
𝐴
𝑥−1
 + 
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+𝑥+1
e) 1+ 
𝐴
𝑥−1
 + 
𝐵
𝑥+1
 + 
𝐶𝑥+𝐷
𝑥2+1
f) 
𝐴𝑡+𝐵
𝑡2+1
 + 
𝐶𝑡+𝐷
𝑡2+4
 + 
𝐸𝑡+𝐹
𝑡2+4 2
2)
a) 
𝑥2
2
+ 3𝑥 + 9 ln 𝑥 − 2 + C
b) 
𝑥2
2
−
8
𝑥−2
−
11
(𝑥−2)2
+ C
c) 
1
2
𝑥2 − 2 ln 𝑥2 + 4 + 2 𝑡𝑔−1
𝑥
2
+ C
d) 
𝑥3
3
 + 
𝑥2
2
+ 2𝑥 + 2 ln 𝑥 − 1 + C
 e) 
𝑥2
2
+ 𝑥 −
2
𝑥−1
+ ln
𝑥−1
𝑥+1
+ C
3)
a) -
1
2
 ln
1
𝑥+3
+
1
2
 ln
1
𝑥−3
+ C
b) 
1
3
 ln 𝑥 −
1
2
 ln 𝑥 − 2 +
1
6
ln 𝑥 − 3 + C
c) 
1
5
 ln
𝑥+6
𝑥+1
+ C
e) 
1
2
 ln 𝑥 +
1
10
 ln 2𝑥 − 1 −
1
10
 ln 𝑥 + 2 + C
OBRIGADA...
“Mas aqueles que buscam ao Senhor de nada têm falta .” (Sal 34:10)
	Slide 1: INTEGRAL Integração das funções Racionais por frações parciais -1
	Slide 2: Integral de Função Racional - Teorema
	Slide 3
	Slide 4: Como calcular Integrais das Funções Racionais
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9: Integrando função racional imprópria
	Slide 10
	Slide 11: Exercícios em Sala
	Slide 12
	Slide 13: Integrando função racional própria
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22: Exercícios em Sala
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27: Exercícios em Sala
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32: Exercícios em Sala
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35: Exercícios: 
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41: OBRIGADA...

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