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Conducao Unidimensional 16-09-2023

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Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 1 
 
2) CONDUÇÃO DE CALOR 
 
 A transferência de calor no modo de condução em um sólido pode ser avaliada pela Lei 
de Fourier, dada pela equação: 
𝑞𝑘 = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
 
 Está equação é uma expressão matemática da conservação da energia em um sólido. É 
obtida mediante um balanço de energia em um volume elementar do material, no qual o calor 
é transferido apenas por condução. 
 O balanço da energia inclui a possibilidade da geração de calor no material. A forma 
geral da equação da condução também leva em consideração o armazenamento de energia 
interna. Quando a energia interna do material aumenta, sua temperatura também aumenta. Se a 
temperatura do material permanece constante, nenhuma energia é armazenada e as condições 
do estado estacionário prevalecem. 
 
Condução de calor em coordenadas retangulares 
 
Vamos inicialmente considerar um sistema de coordenadas retangulares 
unidimensional. A temperatura é em função da coordenada “x” e do tempo, logo a função que 
representa o comportamento da temperatura deve e dada por T(x,t). Ao se analisar um elemento 
muito pequeno (elemento diferencial) as propriedades condutividade “k”, a densidade “ρ” e o 
calor específico são constantes. 
qg = calor gerado por unidade de volume [W/m
3] 
 
 
 
 
 
 
O Princípio da Conservação da Energia para o volume de controle pode ser expresso da 
seguinte maneira: a quantidade de energia que entra por uma face da parede acrescentada a 
energia gerada internamente deve ser igual a energia que sai pela outra face, incluindo a energia 
que é acumulada na parede. Simbolicamente, temos 
Eentra + Egerada = Esai + Eacumulada 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 2 
 
Taxa de condução 
de calor no V.C. 
+ 
Taxa de geração de 
calor dentro do V.C. 
Taxa de condução de 
calor fora do V.C. 
+ 
Taxa de Armazenamento 
de energia dentro do V.C. 
 Se incluirmos o fator “tempo” no Princípio da Conservação da Energia, então lidaremos 
com a grandeza “potência”, que é a quantidade de energia transferida ao longo do tempo, ou 
seja, a taxa da variação da energia em função do tempo: 
 
 
 
= 
 
 
 
Ou ainda: 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 + 𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑞𝑠𝑎𝑖 + 𝑞𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 
 
Onde cada termo é dado por: 
i) Energia que entra no Volume de Controle (V.C.) por unidade de tempo: 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥
 
 
ii) Energia gerada em função do tempo no V.C. 
𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = �̇�𝑔. 𝐴. 𝜕𝑥 
 
iii) Energia que sai no V.C. por unidade de tempo: 
𝑞𝑠𝑎𝑖 = − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥+∆𝑥
 
 
iv) Energia acumulada em função do tempo no V.C. 
𝑞𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 𝜌. 𝐴. 𝜕𝑥. 𝑐.
𝛿𝑇 (𝑥 + 𝜕𝑥/2 , 𝑡)
𝛿𝑡
 
 
Reescrevendo o Princípio da Conservação da Energia em função de cada elemento 
matematicamente temos: 
 − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥
+ �̇�𝑔. 𝐴. 𝜕𝑥 = − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥+∆𝑥
+ 𝜌. 𝐴. 𝜕𝑥. 𝑐.
𝛿𝑇(𝑥+ 
∆𝑥
2
,𝑡)
𝛿𝑡
 
 
 Dividindo e equação acima pelo V.C. (𝐴. ∆𝑥) e reorganizando, obtém-se: 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 3 
 
𝑘. (
𝛿𝑇
𝛿𝑥
)
𝑥+∆𝑥
− (
𝛿𝑇
𝛿𝑥
)
𝑥
𝜕𝑥
+ �̇�𝑔 = 𝜌. 𝑐.
𝛿𝑇 (𝑥 + 
𝜕𝑥
2 , 𝑡)
𝛿𝑡
 
 
Resolvendo a igualdade teremos a expressão que representa, de maneira sintética, a 
Equação da Condução de Calor Unidimensional: 
𝑘.
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ �̇�𝑔 = 𝜌. 𝑐.
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
 
 Esta equação representa então a condução de calor considerando a possibilidade de o 
material ter geração de calor interna e também a possibilidade de ele acumular calor em função 
do tempo. Os membros desta equação representam: 
1º termo: representa a taxa líquida da condução de calor no V.C. por unidade de volume 
[W/m3] 
 2º termo: é a taxa de geração de energia por volume unitário no interior do V.C. [W/m3] 
 3º termo: representa a taxa de aumento de energia no interior do V.C. [W/m3] 
 
Se considerarmos que a condução ocorre em três dimensões (x, y, z) ou seja T(x,y,z,t) 
e dividindo a equação por “k” teremos: 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑦2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
+ 
�̇�𝑔
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
 
 Sendo 𝛼 = difusividade térmica [m/s2], com “k”, “ρ” e “c” tabelados: 
𝛼 = 
𝑘
𝜌. 𝑐
 
 
 Se a temperatura do material não muda em função do tempo, o sistema está em estado 
estacionário e não armazena energia, logo: 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑦2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
+ 
�̇�𝑔
𝑘
= 0 
 
Se o sistema está em estado estacionário e nenhum calor é gerado internamente, teremos: 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑦2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
= 0 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________FEdS 2023-2 4 
 
 A equação anterior é denominada Equação de Laplace. A operação tomar a segunda 
derivada do potencial em um campo foi representado pelo símbolo ∇2, chamado de Operador 
Laplaciano, logo: 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑦2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
= ∇2𝑇 0 
 O operador ∇2 independe do sistema de coordenadas. 
 
 
Exercício 1) Um elemento é capaz de gerar uma quantidade de calor a uma taxa de 4.500 
[W/m3]. Determine quanto de energia em função do tempo ele pode gerar se é feito com as 
seguintes características: a) um cubo de lado 3 cm; b) um paralelepípedo cujas dimensões são 
de a = 2 cm, b = 4 cm e c = 5 cm; c) um cilindro cujo diâmetro é 1 cm e sua altura é de 2 cm. 
𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = �̇�𝑔. 𝐴. ∆𝑥 
 
Exemplo 1) Um cubo feito de cobre, possui a aresta com 5 cm de comprimento. Em uma de 
suas faces entram 500 W de energia térmica. Sabe-se que este elemento não apresenta geração 
interna de calor e a condução ocorrer em uma direção, sendo que somente 350 W deixam o 
cubo pela parede oposta. Se a densidade do material é de 8.933 kg/m3 e sua capacidade térmica 
é de 385 J/kg.K, determine a taxa de variação de temperatura em função do tempo. 
Resolução: 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 + 𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑞𝑠𝑎𝑖 + 𝑞𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑞𝑠𝑎𝑖 + 𝑞𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 
𝑞𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 𝜌. 𝑐.
𝜹𝑻
𝜹𝒕
 
500 = 350 + 8933 × 385.
𝜹𝑻
𝜹𝒕
 
150 = 8933 × 385.
𝜹𝑻
𝜹𝒕
 
150
8933 × 385
= .
𝜹𝑻
𝜹𝒕
 
𝜹𝑻
𝜹𝒕
= 𝟒, 𝟑𝟔𝟏 × 𝟏𝟎−𝟓 [
𝑪
𝒔
] 
 
 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 5 
 
Exemplo 2) A distribuição de temperatura (em ºC) ao longo de uma parede com espessura de 
1 metro, em determinado instante de tempo, é dada por: 
 a = 900 ºC 
 T(x) = a + b.x + c.x2 b = -300 ºC/m 
 c = -50º C/m2 
Uma geração de calor uniforme de �̇�𝑔 = 10.000 [W/m
3] está presente na parede, cuja área é de 
10 m2. O material da parede apresenta as seguintes propriedades: 
ρ = 1.600 kg/m3 cp = 4 KJ/ kg.K k = 40 W/m.K 
Determine: 
a) a temperatura da parede nas posições x = 0 m; x = 0,25 m; x = 0,50 m; x = 0,75 m; x = 1 m 
b) a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0 m) e a que deixa a parede (x=1 m) 
c) a energia acumulada na parede 
d) a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo 
 
Resolução: 
a) a temperatura da parede nas posições x = 0 m; x = 0,25 m; x = 0,50 m; x = 0,75 m; x = 1 m 
T(x) = 900 -300.x -50.x2 
T(x=0) = 900 -300.(0) -50.(0)2 => T(x=0) = 900 ºC 
T(x=0,25) = 900 -300.(0,25) -50. (0,25)2 => T(x=0,25) = 821,875º C 
T(x=0,5) = 900 -300.(0,5) -50. (0,5)2 => T(x=0,5) = 737,5º C 
T(x=0,75) = 900 -300.(0,75) -50.(0,75)2 => T(x=0,75) = 646,875º C 
T(x=1) = 900 -300.(1) -50. (1)2 => T(x=1) = 550 ºC 
 
b) a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0 m) e a que deixa a parede (x=1 m) 
T(x) = 900 -300.x -50.x2 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 𝑇(𝑥) 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 900 − 300. x − 50. 𝑥2 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= −300 − 100. 𝑥 
 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 6 
 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = −40 × 10 × (−300 − 100. 𝑥)|𝑥=0 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = −40 × 10 × (−300 − 100 × 0)|𝑥=0 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 120.000 [𝑤] 
 
𝑞𝑠𝑎𝑖 = − 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥+∆𝑥
 
𝑞𝑠𝑎𝑖 = −40 × 10 × (−300 − 100. 𝑥)|𝑥=1 
𝑞𝑠𝑎𝑖 = −40 × 10 × (−300 − 100 × 1)|𝑥=1 
𝑞𝑠𝑎𝑖 = 160.000 [𝑤] 
 
c) a energia acumulada na parede 
𝒒𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 + 𝒒𝒈𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝒒𝒔𝒂𝒊 + 𝒒𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 120.000 [𝑤] 
𝑞𝑠𝑎𝑖 = 160.000 [𝑤] 
 
𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 =? 
𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = �̇�𝑔. 𝐴. 𝜕𝑥 
𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 10.000 × 10 × 1 
𝑞𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 100.000 [𝑊] 
 
𝒒𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 + 𝒒𝒈𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝒒𝒔𝒂𝒊 + 𝒒𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 
𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝒒𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 
𝒒𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 = 𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 [𝑾] 
 
d) a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo 
𝒒𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 = 𝜌. 𝐴. 𝜕𝑥. 𝑐.
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
=
𝒒𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂
𝜌. 𝐴. 𝜕𝑥. 𝑐
. 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
=
𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎
1600 × 10 × 1 × 4000
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
= 0,0009375 °𝐶/𝑠 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 7 
 
2.1) Condução de Calor em Geometrias Simples 
 
 Nesta seção vamos estudar a condução de calor em geometrias simples, considerando 
que há a possibilidade de geração interna de calor no material. Nossa análise será focada em 
três situações distintas: paredes planas, elementos cilíndricos e cascas esféricas. 
 
2.1.1) Parede plana com e sem geração de calor 
 
 Vimos anteriormente que: 
 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑦2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
+ 
�̇�𝑔
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
 Se: 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑦2
+ 
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
= ∇2𝑇 0 
 
 Reescrevemos a equação da seguinte forma: 
∇2𝑇 + 
�̇�𝑔
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
 
Numa parede plana o calor é transferido em uma dimensão, então operador Laplaciano 
pode ser escrito somente em função da coordenada “x”, ou seja, δ2T/δx2. Se não há geração 
interna de calor e a parede encontra-se no estado estacionário, ou seja, δT/δt = 0, então resta 
que: 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
= 0 
 
 Integrando duas vezes esta equação diferencial é possível saber o comportamento da 
temperatura nesta parede,o que resulta: 
𝑇(𝑥) = 𝐶1. 𝑥 + 𝐶2 
 
 Para uma parede temos que T(x=0) = T1 e T(x=L) = T2, então teremos: 
𝑇(𝑥) =
(𝑇2 − 𝑇1)
𝐿
. 𝑥 + 𝑇1 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 8 
 
Considerando agora que há uma geração de calor uniforme em todo o sistema, podemos 
constatar que a região centra da parede tem um maior nível de temperatura, enquanto suas 
paredes possuem menores níveis, sendo que suas faces estão expostas ao ambiente (T1 = T2). Se 
consideramos também que ela se encontra no estado estacionário, logo o que nos resta da 
equação da condução é dado abaixo: 
 
 
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
+ 
�̇�𝑔
𝑘
= 0 →
𝛿2𝑇
𝛿𝑥2
= − 
�̇�𝑔
𝑘
 
 
 Integrando uma vez resulta: 
𝛿𝑇(𝑥)
𝛿𝑥
= − 
�̇�𝑔. 𝑥
𝑘
+ 𝐶1 
 
 Integrando novamente obtemos: 
𝑇(𝑥) = − 
�̇�𝑔. 𝑥
2
2. 𝑘
+ 𝐶1. 𝑥 + 𝐶2 
 
As constantes de integração 𝐶1e 𝐶2 são determinadas de acordo com as condições de 
contorno, ou seja, T(x=0) = T1 e em T(x=L) = T2, substituindo sucessivamente, obtemos: 
𝑇1 = 𝐶2 (em x = 0) e 
𝑇2 = − 
�̇�𝑔.𝐿
2
2.𝑘
+ 𝐶1. 𝐿 + 𝑇1 (em x = L) 
 
 Resolvendo equação para a constante 𝐶1e substituindo em (*) 
𝑇(𝑥) = − 
�̇�𝑔. 𝑥
2
2. 𝑘
+
(𝑇2 − 𝑇1)
𝐿
. 𝑥 +
�̇�𝑔. 𝐿
2. 𝑘
. 𝑥 + 𝑇1 
 
 Observe que a distribuição de calor não é mais linear. Se (𝑇1 = 𝑇2), a distribuição de 
temperatura pode ser obtida pela equação: 
𝑇(𝑥) = − 
�̇�𝑔
2. 𝑘
. (𝐿. 𝑥 − 𝑥2) + 𝑇1 
 
 Portanto a distribuição de temperatura interna em uma parede onde há geração de calor 
apresenta um perfil parabólico, sendo simétrica em relação ao seu plano central. Logo 
assumimos que a temperatura máxima (Tmax) acontece em x = L/2. A temperatura máxima é 
então dada por: 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 9 
 
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇1 + 
�̇�𝑔. 𝐿
2
8. 𝑘
 
 
Exemplo 3) Uma parede plana de cobre (k = 400 W/m.K), com espessura de 2 cm, tem suas 
faces submetidas a temperaturas de 100 ºC e 20 ºC. a) Faça um gráfico com a distribuição de 
temperatura em função do afastamento da face quente. b) Caso o material da parede seja 
substituído por alumínio (k = 237 W/m.K) como fica a distribuição de temperatura nesta 
parede? 
a) 𝑇(𝑥) =
(𝑇2−𝑇1)
𝐿
. 𝑥 + 𝑇1 
𝑇(𝑥) =
(20 − 100)
0,02
. 𝑥 + 100 
𝑇(𝑥) = −4.000. 𝑥 + 100 
𝑇(𝑥 = 0) = 100 [oC] 
𝑇(𝑥 = 0,01) = 60 [oC] 
 ... 
𝑇(𝑥 = 0,02) = 20 [oC] 
 
b) Caso o material da parede seja substituído por alumínio (k = 237 W/m.K) como fica a 
distribuição de temperatura nesta parede? 
Como a distribuição de temperatura não depende do material, o gráfico gerado apresenta a 
mesma característica, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4) Uma parede plana de aço inoxidável AISI 304, com espessura de 10 cm encontra-
se exposta a temperatura ambiente de 57 ºC. Use as informações da tabela abaixo e determine 
qual é maior taxa de geração que se pode impor este material sem que ele derreta. 
 
T1 =100 oC 
T2 =20 oC 
T1 =100 oC 
T1 =20 oC 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 10 
 
Resolução: 
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇1 + 
�̇�𝑔. 𝐿
2
8. 𝑘
 
k calcula do na temperatura média... ou seja Tm= (1670 +330,15)/2 = 1000 K 
Logo a condutividade usamos = 25,4 W/m.K 
1670 = 330,14 + 
�̇�𝑔. 0,1
2
8 × 25,4
 
�̇�𝑔 = 27.225.955 W/m
3 ~ 27,2 x106 W/m3 
 
Exercício 2) Um elemento de aquecimento elétrico alongado, feito de ferro (kfe = 64 W/m.K), 
tem uma seção transversal de 10 [cm] por 1 [cm]. Ele está imerso em um óleo de transferência 
de calor a 80 ºC, sendo que a temperatura na superfície do aquecedor não pode ultrapassar os 
200 ºC. Se calor é gerado uniformemente a uma taxa de 106 W/m3 por uma corrente elétrica, 
determine: a) a temperatura máxima que alcança o interior do elemento aquecedor; b) o 
coeficiente de transferência de calor por convecção necessário para manter a temperatura da 
superfície do aquecedor dentro da temperatura indicada. 
Sugestões: 
a) 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇1 + 
�̇�𝑔.𝐿
2
8.𝑘
 L = 10 cm ou 1 cm? 
b) 𝑞𝑔 = 𝑞𝑐 
 
 
2.1.2) Forma cilíndrica sem geração de calor 
 
 Passamos agora a estudar condução de calor em um elemento cuja geometria é um 
cilindro. Para podermos compreender como o calor se propaga da parte interna para o exterior 
(e vice e versa) é necessário discretizar um elemento infinitesimal e aplicar a equação da 
condução em função do operador Laplaciano. Desta forma é possível encontrar com esta 
distribuída a temperatura no interior deste elemento. 
‘ 
∇2𝑇 + 
�̇�𝑔
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________FEdS 2023-2 11 
 
 
 Para uma melhor descrição do fenômeno, convém utilizarmos o sistema de coordenadas 
cilíndrica, ou seja, em função de “r”, “Φ” , “z”. Desta forma, a distribuição de temperatura neste 
cilindro é dada em função de T(r, Φ, z, t). Se substituirmos o operador Laplaciano na foram da 
equação da condução em coordenadas cilíndricas, obtemos a seguinte expressão: 
 
1
𝑟
 
𝛿
𝛿𝑟
(𝑟.
𝛿𝑇
𝛿𝑟
) +
1
𝑟2
𝛿2𝑇
𝛿Φ2
+
𝛿2𝑇
𝛿𝑧2
+
�̇�𝑔
𝑘
 = 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
 
 Considerando o fluxo de calor apenas na direção radial e em regime permanente, e sem 
geração de calor, teremos: 
1
𝑟
 
𝛿
𝛿𝑟
(𝑟.
𝛿𝑇
𝛿𝑟
) = 0 
 
 Integrando a expressão acima duas vezes, chega-se a função que dá o comportamento 
da distribuição de temperatura, ou seja: 
T(r) = 𝐶1. ln 𝑟 + 𝐶2 
 
 As constantes 𝐶1 e 𝐶2 podem ser determinadas de acordo com as condições de contorno, 
para tal adotamos que a temperatura interna seja Ti e a externa seja To, desta forma: 
 𝑇𝑖 = 𝐶1. ln 𝑟𝑖 + 𝐶2 para r = ri 
 
 Logo 𝐶2 = 𝑇𝑖 − 𝐶1. ln 𝑟𝑖 
 
Analogamente para To: 
𝑇𝑜 = 𝐶1. ln 𝑟𝑜 + 𝑇𝑖 − 𝐶1. ln 𝑟𝑖 para r = ro 
 
 Logo 𝐶1 = 
(𝑇𝑜− 𝑇𝑖)
ln(
𝑟𝑜
𝑟𝑖
)
 
 
A distribuição de temperatura fica então 
 
𝑇(𝑟) − 𝑇𝑖
 𝑇𝑜 − 𝑇𝑖
=
ln (
𝑟
𝑟𝑖
)
ln (
𝑟𝑜
𝑟𝑖
)
 → 𝑻(𝒓) =
𝐥𝐧 (
𝒓
𝒓𝒊
) ( 𝑻𝒐 − 𝑻𝒊)
𝐥𝐧 (
𝒓𝒐
𝒓𝒊
)
+ 𝑻𝒊 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 12 
 
 Já a taxa de transferência de calor será dada por 
𝑞𝑘 = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
 
 Como estamos lidando com um elemento cilíndrico a área é dada por “A = 2.π.r.L”, e 
derivando a função que da a distribuição de temperatura, a taxa de transferência de calor será 
então: 
𝒒𝒌 = −𝟐. 𝝅. 𝒌. 𝑳.
(𝑻𝒐 − 𝑻𝒊)
𝐥𝐧 (
𝒓𝒐
𝒓𝒊
)
 
 
 Conforme apresentado anteriormente, podemos escrever a taxa de condução de calor 
em função da resistência térmica “R”, ou seja: 
𝑞𝑘 = 
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜
𝑅
 
 
Desta forma, concluímos que a resistência térmica de um elemento cilíndrico é dada por 
𝑹 = 
𝐥𝐧 (
𝒓𝒐
𝒓𝒊
)
𝟐. 𝝅. 𝒌. 𝑳
 
 
 
 Com este resultado e aplicando os conceitos de mecanismos combinados de 
transferência de calor, é possível encontrar a taxa de transferência de calor que ocorrer em um 
tubo (material A), por onde escoa um fluido no seu interior (caracterizado por hci), e um 
elemento isolante (material B) que o protege de um fluido no que escoa pelo exterior do arranjo, 
conforme apresentado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒒𝒌 = 
𝑻𝒊 − 𝑻𝒐
∑ 𝑹
 
 
 
 
 
 
 Rci RkA Rkb Rco 
 
Exemplo 5) Um tudo de aço cromo (K= 61 W/m.K) tem um diâmetro externo de uma polegada, 
com espessura de parede de 1/16”. Calcule a resistência térmica por metro de comprimento de 
tubulação. 
Resolução: 
𝑅 = 
𝑙𝑛 (
𝑟𝑜
𝑟𝑖
)
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿
→ 
𝑅
𝐿
= 
ln (
𝑟𝑜
𝑟𝑖
)
2. 𝜋. 𝑘 
 
 
∅𝑜 = 1" = 25,4 𝑚𝑚 → ∅𝑜 = 0,0254 𝑚 
𝑟𝑜 =
∅𝑜
2
→ 𝑟𝑜 = 0,0127 𝑚 
 
∅𝑖 = ∅𝑜 − 2. 𝑒 → ∅𝑖 = 2” – 2. (
1
16
) ” → ∅𝑖 = 1 . (
7
8
) ” = 22,225 mm 
𝑟𝑖 =
∅𝑖
2
→ 𝑟𝑖 = 0,0111125 𝑚 
 
𝑅
𝐿
= 
ln (
0,0127
0,0111125)
2. 𝜋. 61
→ 
𝑅
𝐿
= 3,4840 × 10−4
𝐾
𝑊. 𝑚
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 14 
 
Exercício 3) Um tubo de cobre (Kcu = 400 W/m.K) com 10 cm de diâmetro interno e 12 cm de 
diâmetro externo transporta vapor a 110 ºC, com um coeficiente de transferência de calor de 
10.000 W/m2.K. Do lado externo, ar a temperatura de 30 ºC proporciona um coeficiente de 
convecção de 15 W/m2.K. Calcule a taxa de dissipação de calor por metro linear de tubulação. 
 
Exercício 4) Compare a perda de calor de um tubo de cobre isolado e não isolado sobre as 
seguintes condições: diâmetro interno de 10 cm, diâmetro externo com 12 cm, Kcu = 400 
W/m.K, recoberto por um isolamento térmico com 5 cm de espessura, cujo Kisolante = 0,20 
W/m.K. O fluido que circula no interior esta a 110 ºC, cujo hci = 10.000 W/m2.K e do lado de 
fora, ar a temperatura de 30 ºC proporciona um hco = 15 W/m
2.K. 
 
 
2.1.3) Forma esférica sem geração de calor 
 
Em um elemento esférico, assim com em um cilindro, o calor é transferido na direção 
radial, do interior para o exterior (caso a temperatura interna for maior do que a externa. 
Estamos interessados em analisar como é a distribuição de temperatura pela parede deste 
elemento, e para isto, usa-se um sistema de coordenadas esféricas, logo a temperatura será dada 
em função das variáveis raio, ângulos sólidos e temperatura, ou seja T(r, , , t) 
 
 
 
 
 
 
 
∇2𝑇 + 
�̇�𝑔
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
Aplicando o operador Laplaciano na equação da condução em coordenadas cilíndricas 
chegamos a seguinte expressão: 
1
𝑟2
 .
𝛿
𝛿𝑟
(𝑟2.
𝛿𝑇
𝛿𝑟
) +
1
𝑟2. sin2 
.
𝛿
𝛿
(sin 
𝛿𝑇
𝛿
) +
1
𝑟2. sin2 
.
𝛿2𝑇
𝛿Φ2
+
�̇�𝑔
𝑘
 = 
1
𝛼
 
𝛿𝑇
𝛿𝑡
 
Como o fluxo de calor ocorre na direção radial, considerando que não há geração interna 
de calor e o modo de condução encontra-se em regime estável, a equação da condução pode ser 
simplificada para: 
Condução de Calor 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 15 
 
1
𝑟2
 .
𝛿
𝛿𝑟
(𝑟2.
𝛿𝑇
𝛿𝑟
) = 0 
 
 Se a esfera é oca e sua temperatura interna é uniforme (Ti em ri) e igual a To em ro, a 
distribuição de temperatura é encontrada pela integração dupla da equação anterior e será dada 
por: 
𝑇(𝑟) = (𝑇𝑜 − 𝑇𝑖).
𝑟𝑜
𝑟𝑜−𝑟𝑖
. (1 −
𝑟𝑖
𝑟
) + 𝑇𝑖 
 
 Recorrendo a equação de Fourier, e considerando que a área de transferência de calor é 
dada por: 
𝑞𝑘 = −4. 𝜋. 𝑟
2. 𝑘.
𝛿𝑇
𝛿𝑟
→ 𝑞𝑘 =
(𝑇𝑜 − 𝑇𝑖)
𝑟𝑜−𝑟𝑖
(4. 𝜋. 𝑘. 𝑟𝑜. 𝑟𝑖)
 
 
 Concluímos desta forma que a resistência térmica de uma esfera será dada por: 
𝑅 = 
𝑟𝑜−𝑟𝑖
(4. 𝜋. 𝑘. 𝑟𝑜. 𝑟𝑖)
 
 
Exemplo 6) Calcule a resistência térmica de um recipiente esférico feito de alumínio (kal = 237 
W/m.k) com diâmetro externo de 30 centímetro, com espessura de parede de 2 centímetros. 
𝑅 = 
𝑟𝑜−𝑟𝑖
(4. 𝜋. 𝑘. 𝑟𝑜. 𝑟𝑖)
 
ro = 0,15 m ri = 0,13 m 
𝑅 = 
0,15 − 0,13
(4. 𝜋. 237.0,15.0,13)
 
R = 3,4438x10-4 [K/W] 
 
Exercício 5) Um recipiente metálico de paredes finas é utilizado para armazenar nitrogênio 
líquido a 77 K. Com um diâmetro externo de 0,5 metros, ele é revestido com uma película de 
isolamento térmico feito com pó de sílica (k = 0,0017 W/m.K) com 25 milímetros de espessura, 
sendo que a temperatura externa mantem-se a 300 K e o coeficiente de transferência de calor 
por convecção é de 20 W/m2.K. Se o calor latente de vaporização (hvap) do nitrogênio líquido é 
de 2x105 J/kg determine a taxa de evaporação do nitrogênio por hora. 
Obs: taxa de transferência de calor para o nitrogênio = taxa de evaporação X calor 
latente de vaporização. 𝑞 = �̇�. ℎ𝑣𝑎𝑝 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 16 
 
2.1.4) Raio crítico de isolamento 
 
 Isolantes térmicos são usados para diminuir a taxa de dissipação de calor quando, por 
dentro de uma tubulação circula um fluído quente, ou analogamente, quanto se quer evitar que 
um fluido frio sofra aquecimento, uma vez que esta tubulação fica exposta ao ambiente. Há, 
porém, uma situação em que ao invés de a adição de um isolante térmico promover uma redução 
na taxa de dissipação de calor acontece justamente o contrário. 
 Para ilustrar esta situação vamos considerar um fio condutor por onde passa uma 
corrente elétrica “i” (e resistência elétrica R), o que produz um aquecimento por Efeito Joule. 
Se sobre o fio é adicionado um isolante térmico e raio “r”, o calor gerado pela passagem da 
corrente será dissipado pelo ambiente, sendo que a energia por convecção, mas primeiramente 
deverá “vencer” a resistência térmica do isolante, conforme apresentado na figura abaixo: 
 
𝑞 = 𝑅. 𝑖2 (energia produzida por efeito Joule) 
 
Já o calor dissipado pode ser obtido analisando a 
transferência de calor pela resistência total formado ao 
redor do fio, ou seja: 
𝑞 =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Sendo a resistência total igual a soma das resistências de condução pelo isolante 
acrescentando a resistência térmica da convecção do lado externo do fio, logo: 
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑘 + 𝑅𝑐 
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
ln (
𝑟
𝑟𝑖
)
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿
+
1
ℎ∞. 2. 𝜋. 𝑟. 𝐿
 
 
 Da equação acima concluímos que conforme o raio de isolamento aumenta: 
 i) Rk também aumenta; 
 ii) Rc diminui, devido ao aumento da área da superfície externa. 
 
 Portanto, uma diminuição relativamente maior de “r” para Rc sugere que há um valor 
ótimo (raio crítico de isolamento “rcr”) para o qual Rtotal é mínima e a perda de calor é máxima. 
Isto pode ser obtido pela diferenciação de Rtotal em relação a “r” e igualando a zero: 
Rc Rk 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 17 
 
𝑑𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑟
= 0 →
𝑑
𝑑𝑟
(
ln (
𝑟
𝑟𝑖
)
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿
+
1
ℎ∞. 2. 𝜋. 𝑟. 𝐿
) = 𝑂 
Resolvendo esta derivada: 
1
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿. 𝑟
−
1
2. 𝜋. ℎ∞. 𝐿. 𝑟2
= 0 
1
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿. 𝑟
=
1
2. 𝜋. ℎ∞. 𝐿. 𝑟2
 → 
2. 𝜋. ℎ∞. 𝐿. 𝑟
2
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿. 𝑟
= 1 →
ℎ∞. 𝑟
2
𝑘. 𝑟
= 1 →
ℎ∞. 𝑟
𝑘.
= 1 → 𝑟 =
𝑘
ℎ∞
 
 
 Concluímos que: 
𝑟 = 𝑟𝑐𝑟 =
𝑘
ℎ∞
 
 A funcionalidade do raio crítico é limitada a sistemas de pequenos diâmetros e em 
ambientes com baixo coeficiente de transferência de calor por convecção: em suma, o raio em 
sistemas cilíndricos que necessita de resfriamento deve ser menor do que a relação “k/h∞”. 
 
Exercício 6) Considere um tubo de cobre com 10,0 mm de diâmetro e 1 metro de comprimento, 
isolado externamente com um isolante de condutibilidade térmica k = 0,055 W/m.K. Sobre a 
superfície do isolante o escoamento de ar promove um coeficiente de transferência de calor por 
convecção de h = 5 W/m2.K. A temperatura na superfície externa do tubo se mantém em 120 
ºC sendo que a temperatura ambiente é de 20 ºC. 
Analise a transmissão de calor montando uma tabela (conforme sugerido abaixo) para 
espessuras de isolamento iguais a: a) sem isolamento (e = 0 mm); b) e = 2 mm; c) e = 5 mm; d) 
e = 6 mm; e) e = 10 mm; f) e = 20 mm; f) e = 40 mm. 
Determine o raio crítico de isolamento e observe o que acontece com a resistência térmica total 
e com a taxa de dissipação de calor: 
𝑟𝑐𝑟 =
0,055
5
= 0,011 𝑚 
 
Espessura 
do isolante 
(cm) 
Raio externo 
do tubo com 
isolante [m] 
Resistencia de 
condução 
[K/W] 
Resistencia de 
convecção 
[K/W] 
Resistencia 
total [K/W] 
q = taxa de trans 
de calor no tubo 
isolado [W] 
e r = D/2 + e 
ln (
𝑟
𝑟𝑖
)
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿
 
1
ℎ∞. 2. 𝜋. 𝑟. 𝐿
 
Rt = Rk + 
Rc 
𝑞 =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜
𝑅𝑡
 
0 
 
 
 
Condução de Calor 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 18 
 
Espessura 
do isolante 
(cm) 
Raio externo 
do tubo com 
isolante [m] 
Resistencia de 
condução 
[K/W] 
Resistencia de 
convecção 
[K/W] 
Resistencia 
total [K/W] 
q = taxa de trans 
de calor no tubo 
isolado [W] 
e r = D/2 + e 
ln (
𝑟
𝑟𝑖
)
2. 𝜋. 𝑘. 𝐿
 
1
ℎ∞. 2. 𝜋. 𝑟. 𝐿
 
Rt = Rk + 
Rc 
𝑞 =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜
𝑅𝑡
 
0 
2 
5 
6 
10 
20 
40 
 
 
 
Comentários sobre o exercício anterior: 
 
i) o efeito do raio crítico é revelado pelo fato que, mesmo para um isolante com 20 mm de 
espessura, a resistência total não é tão grande quanto o valor par ao tubo sem isolamento. 
ii) Se ri < rcr (como é o caso do exercício) a resistência térmica total decresce e, portanto, a 
taxa de transferência de calor aumenta com a adição do isolante. Esta tendência 
permanece até que o raio externo do isolamento corresponda ao raio crítico. Da mesma 
forma, se ri > rcr qualquer adição de um isolante aumenta a resistência total e, portanto, 
diminui a perda de calor. Este comportamento é desejável para escoamento de vapor em 
turbulência, onde o isolante é adicionado para reduzir a perda de calor para a vizinhança. 
iii) Em sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência total através da aplicação de 
isolamento existe somente para casos de tubos de pequeno diâmetro e para coeficiente 
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04
Dissipação & Resistência Térmica
Resistencia total [K/W]
q = taxa de trans de calor no tubo isolado [W]
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 19 
 
de transferência de calor (ℎ̅) pequeno, tais que rcr > ri. Para um isolante típico ( k ~ 0,03 
W/m.K) e uma taxa de convecção natural ao ar (~ 5 < ℎ̅ ~ 10 W/m2.K) o raio crítico 
resulta em rcr = 𝑘/ℎ∞ = 0,003 < rcr < 0,006 m. Um valor tão pequeno nos indica que 
normalmente ri > rcr e não precisamos nos preocupar com os efeitos do raio crítico, mas 
é bom ficarmos atentos a este fato. 
iv) A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor varie na direção 
da transferência, como é o caso da condução radial em um cilindro (ou uma esfera). Em 
uma parede plana a área normal à direção da transferência e constante e não há uma 
espessura crítica de isolamento: a resistência total sempre aumenta com o aumento da 
espessura do isolante. 
 
2.1.5) Aletas (superfícies estendidas) 
Definição: é um sólido relativamente pequena que se projeta a partir de um corpo grande em 
um fluido a uma temperatura diferente da superfície de onde ele é projetado. A finalidade é 
aumentar a taxa de resfriamento ou aquecimento da superfície da qual foi inserida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aletas de seção transversal uniforme 
Conceitos sobre uma aleta do tipo “pino”. 
 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 20 
 
O calor flui da face da esquerda por condução e sai pela face da direita: neste processo, 
parte do calor é dissipado na forma de convecção ela superfície ao redor do cilindro. Fazendo 
um balanço de energia, temos: 
𝑞𝑘𝑥 = 𝑞𝑘𝑥+ ∆𝑥 + 𝑑𝑞𝑐 
− 𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
|
𝑥
= − 𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
|
𝑥+∆𝑥
+ ℎ. 𝑃. 𝑑𝑥. [𝑇(𝑥) − 𝑇(∞)] 
Onde: P = perímetro do pino 
 P.dx = área da superfície 
Sendo “k” e “h” constantes, teremos: 
𝑑2𝑇(𝑥)
𝑑𝑥2
− 
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
× [𝑇(𝑥) − 𝑇(∞)] = 0 
Adotando: 𝜃(𝑥) = [𝑇(𝑥) − 𝑇(∞)] 
𝑑2 𝜃(𝑥)
𝑑𝑥2
− 
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
 . 𝜃(𝑥) = 0 
Definimos “m” como um parâmetro da aleta, sendo que: 
𝑚2 = 
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
 
Desta forma, reescrevemos a equação anterior em função do m2, obtendo: 
𝑑2 𝜃(𝑥)
𝑑𝑥2
− 𝑚2 . 𝜃(𝑥) = 0 
 Está é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, cuja solução 
geral é dada por: 
𝜃(𝑥) = 𝐶1. 𝑒
𝑚.𝑥 + 𝐶2. 𝑒
−𝑚.𝑥 
Para avaliar C1 e C2 é necessário avaliar as condições de contorno. Uma das condições 
é que, na base (em x = 0) a temperatura da aleta é a mesma da parede, ou seja: 
𝜃(𝑥=0) = 𝑇(𝑠) − 𝑇(∞) = 𝜃(𝑠) 
A outra condição diz respeito a outra extremidade da aleta, onde serão tratados quatro 
casos distintos: 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 21 
 
 Caso 1: a aleta é muito longa; 
 Caso 2: a extremidade é isolada; 
 Caso 3: a temperatura da extremidade é fixa; 
 Caso 4: a ponta da aleta perde calor por convecção; 
 
Representação esquemática das quadro condições de contorno na ponta de uma aleta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir são apresentadas as equações para a distribuição de temperatura para as aletas 
de seção transversal uniforme, nos casos de número 1 a 4: 
 
 
 
 
 
 
 
Condução de Calor 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 22 
 
Onde M é definido como a taxa de transferência total da aleta, definida logo abaixo e 
“m” é o parâmetro da aleta, também já apresentado: 
 
Taxa total de transferência de calor 
O calor conduzido pela base da superfície estendida deve ser igual ao calor transferido 
por convecção a partir da superfície que envolve a aleta para o fluido que a circunda. 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = − 𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
|
𝑥=0
= ∫ ℎ. 𝑃.
∞
0
[𝑇(𝑥) − 𝑇(∞)]. 𝑑𝑥 
 Resolvendo esta igualdade obtém-se: 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = √ℎ. 𝑃. 𝑘. 𝐴. . 𝜃𝑠 
Para feito de simplificação das equações de trabalho sobre a taxa de transferência de 
calor, adotaremos 𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑀, ou seja: 
𝑀 = √ℎ. 𝑃. 𝑘. 𝐴 . 𝜃𝑠 
Abaixo é apresentado as equações para a determinação da taxa de transferência de calor 
total para cada um dos quatro casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que: 𝜃(𝑠) = 𝜃(0) = 𝑇(𝑠) − 𝑇(∞) 𝑚
2 = 
ℎ.𝑃
𝑘.𝐴
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 23 
 
Exemplo 7) Uma aleta pino feita de cobre (k= 400 W/m.k) deve ter um comprimento de 2 cm 
e ficará instalada em um ambiente onde o coeficiente de convecção natural é de h = 5 W/m.K. 
Determine o parâmetro “m” da aleta se ela tiver: a) um diâmetro de 1 cm; b) uma seção 
transversal quadrada, cuja aresta é de 1 cm. 
𝑚2 = 
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
 → 𝒎 = √
𝒉. 𝑷
𝒌. 𝑨
 
a) um diâmetro de 1 cm P = p.D A = 
𝜋𝐷2
4
 
𝒎 = √
𝒉. 𝑷
𝒌. 𝑨
 → 𝑚 = √
ℎ. π. D
𝑘.
𝜋𝐷2
4
 → 𝑚 = √
4. ℎ.
𝑘. D
 → 𝑚 = √
4.5
400. (0,01)
 → 𝑚 = 2,236 [𝑚−1] 
b) uma seção transversal quadrada, cuja aresta é de 1 cm 
P = 4.a A = 𝑎2 
𝒎 = √
𝒉. 𝑷
𝒌. 𝑨
 → 𝑚 = √
ℎ. 4. a
𝑘. 𝑎2
 → 𝑚 = √
ℎ. 4
𝑘. 𝑎
 → 𝑚 = √
5.4
400 (0,01)
 → 𝑚 = 2,236 [𝑚−1] 
 
Exercício 7) Um cilindro longo, com 25 mm de diâmetro, tem uma extremidade à temperatura 
de 100º C e encontra-se exposto a um escoamento de ar caracterizado por uma temperatura de 
25º C, sendo o coeficiente de transmissão de calor por convecção sobre a superfície externa hc 
= 10 W/m2.K. Determine: a) Se o cilindro for de cobre (k = 397 W/m.K) , qual é a potência 
térmica que ele dissipa? b) E se o cilindro for feito de aço inox, cujo k = 14,4 W/m.K? c) Qual 
será, em cada caso, o comprimento mínimo para que se possa considerar que o cilindro tenha 
uma taxa de dissipação de 95% de uma aleta infinita? 
a) e b) Considere a dissipação de calor de uma aleta muito longa, ou seja 
𝑀 = √ℎ. 𝑃. 𝑘. 𝐴 . 𝜃𝑠 e 𝜃𝑠 = [𝑇(𝑥) − 𝑇(∞)] 
Resp: a) 29,34 W b) 5,58 W c) lcu = 0,912 m Laço = 0,174 m 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 24 
 
Exercício 8) Um dispositivo experimental que produz calor excessivo é passivamente esfriado. 
Para aumentar a taxa de resfriamento, adicionou-se aletas-pino no revestimento do dispositivo. 
Considere uma aleta-pino de cobre de 0,25 cm de diâmetro, que se projeta de uma parede a 
95ºC para o ar ambiente a 25ºC. A transferência de calor é essencialmente por convecção 
natural, com um coeficiente igual a 10 W/m2.K. Calcule a perda de calor, considerando que: a) 
a aleta é infinitamente longa; b) a aleta tem 2,5 cm de comprimento e o coeficiente na 
extremidade é o mesmo em torno da circunferência. 
Interpolação linear: 
𝑘(𝑇) = 𝑘0 + 
(𝑘1−𝑘0)
(𝑇1−𝑇0)
× (𝑇 − 𝑇0) 
Interpolando a condutividade do cobre obtemos: 
kcu ~ 399 W/m.K 
Resp: a) 0,865 W; b) 0,140 WW 
 
Exercício 9) Uma aleta já previamente testada, cuja área da base é 1,5x10-4 m2, pode dissipar 
calor a uma taxa de 4 W. Ela deverá ser instalada em um dispositivo que tem uma área 
disponível de 0,3 m2 de modo que aumente a taxa de resfriamento em 4 vezes o valor inicial. 
Se o coeficiente de convecção é de 17 W/m2.K, a temperatura da placa é de 120º C e a 
temperatura ambiente é de 20 ºC determine o número de aletas a ser fixada na placa. 
 Resp: 409 aletas 
 
Exercício 10) Considerando que uma aleta 
longitudinal com perfil retangular dissipe uma 
quantidade de calor igual a “q”, determine 
algebricamente a quantidade de calor dissipada pela 
placa aletada com as seguintes dimensões: 
 
 
Temperatura 
[K] 
Condutividade 
Térmica [W/m.K] 
200 413 
400 392 
600 383 
800 371 
1.000 357 
1.200 342 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 25 
 
Exercício 11) Considerando que uma aleta 
circunferencial dissipe uma quantidade de calor igual a 
“q”, determine algebricamente a quantidade de calor 
dissipado por um tubo aletado com “n” aletas, 
comprimento “l”, e com as demais dimensões: 
 
Hipóteses para se utilizar uma aleta 
 O uso de aletas sobre uma superfície deve levar em consideração o incremento da área 
de troca de calor em contrapartida da resistência térmica, logo quando é interessante utilizar (ou 
não) uma aleta? Uma possível resposta a esta perguntadeve se concentrar em responder a outra 
questão: o calor transmitido pela aleta é superior ao que é transferido pela área da sua base na 
sua ausência? 
 Como uma aleta acaba incrementando a área de troca de calor então, em suma, toda 
aleta apresenta um ganho na dissipação de calor. Mas então, quando efetivamente deve ser 
usada uma aleta? Vamos analisar o caso mais geral das aletas que é o caso onde ela também 
perde calor por convecção em sal ponta (caso 4): 
 
 
 
 
 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = √ℎ. 𝑃. 𝑘. 𝐴 . Ɵ𝑠 . 
senh(𝑚. 𝐿) + (
ℎ
𝑚. 𝑘) . cosh (𝑚. 𝐿)
cosh(𝑚. 𝐿) + (
ℎ
𝑚. 𝑘) . senh (𝑚. 𝐿)
 
Derivando a equação anterior em relação a L, o valor máximo da potência transferida 
acontece quando o produto “m.k” for igual a “h”, ou seja: 
𝑚. 𝑘 = ℎ 
Logo, resgatando a Lei de resfriamento de Newton e substituindo “h” por “m.k”, 
teremos: 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑚. 𝑘. 𝐴 . Ɵ𝑠 * 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 26 
 
 Por outro lado, a potência térmica que seria transmitida pela base da aleta (na ausência 
dela) é dada por: 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = ℎ. 𝐴. Ɵ𝑠 ** 
Comparando as equações * com **: 
𝑚. 𝑘. 𝐴 . Ɵ𝑠 = ℎ. 𝐴. Ɵ𝑠 → 𝑚. 𝑘 = ℎ 
Lembrando que: 
𝑚2 = 
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
 → 𝑚 = √
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
 
Então 
√
ℎ. 𝑃
𝑘. 𝐴
. 𝑘 = ℎ 
Conclui-se que só é aconselhável a utilização de aletas, quando: 
𝑘 . 𝑃
ℎ. 𝐴
> 1 
 A análise da inequação acima permite tirar as seguintes conclusões: 
• É conveniente usar materiais com elevada condutividade térmica (o cobre é o 
ideal, mas o seu preço torna o alumínio mais utilizado); 
• Devem utilizar-se aletas com valores elevados para a razão “P/A”, ou seja, tão 
finas quanto possível; 
• As aletas deverão ser usadas nas situações que correspondem à ocorrência de 
valores baixos de “h” (no caso do fluido ser um gás e se a convecção for natural). 
 
Efetividade (ou eficácia) de uma aleta (𝜺𝒇) 
Aletas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície 
através do aumento da área efetiva da superfície para troca térmica. Entretanto, a aleta em si 
representa uma resistência à condução para a transferência de calor da superfície original. Por 
essa razão, não há qualquer garantia de que a taxa de transferência de calor aumente pelo uso 
de aletas. Uma avaliação desse aspecto pode ser feita pelo cálculo da efetividade da aleta, que 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 27 
 
é definida como a razão entre a taxa de transferência de calor da aleta e a taxa de transferência 
de calor que existiria sem a aleta. 
 
 
 
 
 
A eficácia de uma aleta (Ɛf) é definido como o quociente entre o calor transferido pela 
a aleta e o que seria transferido pela sua base (caso a aleta não fosse inserida), ou seja: 
𝜀𝑓 = 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
ℎ. 𝐴. Ɵ𝑏
 
A eficácia deve ser tão elevada quanto possível. Na prática, a utilização de aletas só é 
justificável quando Ɛf > 2. 
 
Eficiência de uma aleta (ηaleta) 
Definido como a razão entre o calor efetivamente transferido e o calor que seria 
transferido se toda a aleta estivesse na mesma temperatura da base. 
ɳ𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
 
 
Esquematicamente, temos: 
 
 
 
 
Podemos finalmente então encontrar a taxa de transferência de calor da aleta como 
sendo: 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎. ℎ. 𝐴 . Ɵ𝑠 
𝑞𝑏 = ℎ. 𝐴. Ɵ𝑏 
O produto “h.A.Ɵb” refere-se a 
perda de calor por convecção na 
área da base da aleta, caso ela não 
existisse. 
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 28 
 
ÇENGEL, GHAJAR, 2012 
 Cabe observar que a área destacada na fórmula acima refere-se a área total da aleta, 
incluindo a superfície lateral mais a área da superfície da ponta. 
 A eficiência de uma aleta pino circular, cuja seção transversal é uniforme, com diâmetro 
“D” comprimento “L”, pode ser definia como: 
𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 
tanh √
4. 𝐿2. ℎ
𝑘. 𝐷 
√4. 𝐿
2. ℎ
𝑘. 𝐷 
 
 Diversos gráficos podem ser consultados para se determinar a eficiência (ηaleta) de uma 
aleta, desde as que possuem seção transversal uniforme ou não uniforme, podendo ser também 
aletas circunferenciais, conforme os gráficos a seguir: 
 
Eficiência de apelas longitudinais 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________FEdS 2023-2 29 
 
ÇENGEL, GHAJAR, 2012 
 
Eficiência de aletas circunferenciais 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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ÇENGEL, GHAJAR, 2012 
 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 31 
 
Exercício 12) Determine a eficiência e a taxa de dissipação de uma aleta do tipo pino circular 
com diâmetro de 1 cm e comprimento de 2 cm, considerando o material feito com cobre (cujo 
k = 400 W/m.K) e uma taxa de convecção natural de 30 W/m2.K. A temperatura da superfície 
onde a aleta foi instalada é de 100º C e o ar ambiente encontra-se a 20º C. 
Resp: ɳaleta = 0,996 q = 1,690 W 
 
Exercício 13) Determine a taxa de dissipação para as aletas abaixo, considerando o material 
feito com alumínio (k = 240 W/m.K) e uma taxa de convecção natural de 25 W/m2.K. A 
temperatura na base da aleta é de 150º C e o ar ambiente encontra-se a 35º C. Considere L = 12 
mm e t = 3 mm, e sendo a barra com comprimento igual a 1 metro. 
a) Aleta na forma retangular b) Aleta na forma triangular 
Resp: ɳaleta = 0,98 ɳaleta = 0,98 
 q = 76,275 W q = 68,248 W 
 
Exercício 14) Para aumentar a dissipação de calor de um tudo de 2,5 cm de diâmetro externo, 
aletas circunferenciais de alumínio (k = 200 W/m.K) são isolados da superfície externa. As 
aletas são de 0,1 cm de espessura e tem diâmetro externo de 5,5 cm, conforme mostrado abaixo. 
Se a temperatura do tubo é de 100 ºC e do ambiente é de 25 ºC e o coeficiente de transferência 
de calor entre as aletas e o ambiente é de 65 W/m2.K. Calcule a taxa de perda de calor de uma 
aleta. Resp: q = 17,5 W 
 
 
 
 
 
Exercício 15) Com relação ao exercício anterior, se o tubo tem 30 centímetros de comprimento 
e são fixadas 50 aletas igualmente espaçadas, qual é o aumento percentual de dissipação de 
calor com esta nova configuração? Resp: ε% ~ 750 % 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 32 
 
Exercício 16) Um tubo de 50 mm de diâmetro externo e 1,2 
m de comprimento transporta um fluido a 150 ºC. Para 
facilitar a troca de calor com o ar ambiente foi sugerido o 
aletamento do tubo, com aletas longitudinais de 2 mm de 
espessura, 19 mm de altura e montadas em um conjunto de 
6 unidades. O tubo e as aletas são feitas de aço cromo cuja 
condutibilidade é Kaço = 61 W/m.K e estão submetidos a um 
coeficiente de convecção igual a 30 W/m2.K, com 
temperatura ambiente de 22º C. Determine: a) o calor 
transferido por convecção pelo tubo sem as aletas; b) Qual o 
ganho de calor transferido por convecção pelo tubo aletado? 
 
Exercício 17) A adição de aletas de cobre (Kcu = 240 W/m.K) foi sugerida para aumentar a 
taxa de dissipação de calor de um lado de um dispositivo 
eletrônico de 1 metro de largura por 1 metro de altura. As 
aletas devem ser de seção transversal retangular, ter 2,5 
cm de comprimento e 0,25 cm de espessura, como ao lado. 
Devem existir 100 aletas por metro. O coeficiente de 
transferência de calor por convecção na parede e nas 
aletas está estimado em 35 W/m2.K. Com esta 
informação, determine o aumento percentual da taxa de 
transferência de calor da parede com as aletas em 
comparação com a parede sem elas. Resp: ε% ~ 459 % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 33 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS EXTRA CLASSE 
 
01) Uma placa plana de alumínio, com espessura de 4 mm, possui um filamento cuja resistência 
elétrica gera calor a uma taxa de 500 W/m3 e está sujeita a uma distribuição de temperatura 
𝑇(𝑥) = 𝑥3 +
𝑥2
4
+ 35 [ºC]. Determine a taxa da variação da temperatura em função do tempo 
na posição x = 2 mm. Dados: ρ = 2702 kg/m3 cp = 896 J/kg.K k= 236 W/m.K 
Resp: 
𝚫𝐓
𝚫𝐭
= 𝟐, 𝟓𝟔 × 𝟏𝟎−𝟒 [𝑲/𝒔] 
 
02) O fio de um aquecedor elétrico tem diâmetro de 2 milímetros e 60 cm de comprimento, e 
se comporta como um emissor ideal. Se a temperatura do fio atinge 1.100 ºC quando uma 
corrente elétrica passa por ele, determine qual é a potência da radiação térmica que ele apresenta 
quanto exposto à temperatura ambiente. 
 
03) Determine a resistência térmica de uma esfera feita de aço (k = 60,5 W/m.K) na temperatura 
ambiente. A esfera tem 8 polegadas de diâmetro externo e a espessura da parede é de 1/8 de 
polegadas. 
 
04) Um forno industrial é construído com uma parede dupla, sendo uma com espessura de 2 
cm (ka = 30 W/m.k) e a outra com 3 cm (kb= 0,05 W/m.K). A temperatura na face interna do 
forno chega a 600 ºC, e foi determinado que o fluxo de calor pela parede é de 600 W/m2 . 
Determine a) a temperatura na interface das duas paredes e; b) temperatura da superfície externa 
da parede. 
 
05) Uma tubulação de aço de 8 cm de diâmetro externo é revestida com uma camada de 1,5 cm 
de amianto (k = 0,208 W/m.K). Cobrindo o amianto há uma camada de 5 cm de lã de vidro de 
(k = 0,055 W/m.K. A temperatura na interface lã de vidro / amianto é de 182 ºC. A temperatura 
da superfície mais externa é de 40 ºC. Determine: a) O fluxo de calor por unidade de 
comprimento; b) A temperatura na superfície externa da tubulação de aço. 
Resp: a) q/A = 75,89 W/m2, b) T = 200,5 ºC 
 
06) Um oleoduto com 50 cm de diâmetro instalado no Ártico encontra-se exposto a uma 
temperatura ambiente de – 20 ºC e transporta em seu interior óleo a 30 ºC. Uma camada de 
isolante, com 5 cm de espessura e condutividade térmica de 0,007 W/m.k, envolve 
exteriormente o tudo. O coeficiente de transmissão de calor por convecção sobre a superfície 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 34 
 
externa do isolante é de 12 W/m2.K. Calcule a perda de calor por unidade de comprimento, 
admitindo que a temperatura da superfície exterior desta é igual à do óleo. 
Resp: q/L = 11,9 W/m 
 
07) Um tanque de aço (kaço = 45 W/m.K), de formato esférico com raio interno de 0,5 m e 
espessura de 5 mm, é isolado com 38 mm de lã de rocha (klã = 0,04 W/m.K). A temperatura da 
face interna do tanque é 220 ºC e a da face externa do isolante é 30 ºC. Determine o fluxo de 
calor que dissipado pelo tanque. Resp: a) q = 689,1 W 
 
08) Um reservatório térmico em formato esférico é utilizado para armazenar uma substância 
líquida a temperatura de 90 ºC. Este reservatório possui um diâmetro externo de 2,2 m e está 
instalado em um galpão onde a temperatura ambiente média é de 25 ºC, proporcionado um 
coeficiente de transferência de calor por convecção de 20 W/m2.K. Para diminuir as perdas de 
calor para o ambiente, você dispõe de duas opções de isolantes, cujas espessuras estão descritas 
na tabela abaixo, e deve indicar o uso do material que garanta o menor fluxo possível. Justifique 
sua resposta. 
Material Espessura 
Condutividade 
[W/m.K] 
Espuma de poliuretano 20 cm 0,026 
Lã mineral com amianto 12 cm 0,046 
 
09) Uma aleta com perfil quadrado tem 1 cm de lado e 3 cm de comprimento. Se ela é feito 
com cobre, cuja condutividade é de 400 W/m.k, determine quanto ela dissipa de calor se for 
fixada sobre uma superfície com temperatura de 150 ºC e exposta a uma temperatura ambiente 
de 20 ºC cuja taxa de transferência de calor de 22 W/m2.K. Considere que ela dissipa calor por 
convecção pela ponta. 
 
10) Em um laboratório de uma indústria pretende-se testar um novo tipo de aletas, na forma de 
um prisma reto, de seção transversal triangular equilátera com 1 cm de lado. 40 aletas são 
instaladas com uma altura de 5 cm e serão colocadas, durante o teste, sobre placas de 10 cm x 
10 cm, submetidas a uma temperatura de 150 ºC na base e expostas ao ar a 40 ºC. Se a 
condutibilidade do material testado é de a 50 W/m.K e a taxa de transferência de calor por 
convecção é de 20 W/m2.K, qual é a quantidade de calor dissipada pela placa aletada, sabendo 
que ela também perde calor pela ponta? 
 
 
Condução de Calor 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
FEdS 2023-2 35 
 
11) Uma extremidade de uma haste de aço (k 43 W/m.K) com 0,3 m de comprimento está 
conectada a uma parede a 204ºC. A outra extremidade está conectada a uma parede mantida a 
93ºC. Ar é soprado através da haste, de modo que o coeficiente de transferência de calor é 17 
W/m2.K e mantido ao longo de toda a superfície. Se o diâmetro da haste é de 5 cm e a 
temperatura do ar é de 38ºC, qual é a taxa líquida da perda de calor para o ar? 
Resp: q = 74.4W 
 
 
 
 
 
12) Uma parede plana com temperatura de superfície de 350 °C está́ ligada a aletas retangulares 
retas (k = 235 W/m K). As aletas são expostas 
à condição do ar ambiente a 25 °C, e o 
coeficiente de transferência de calor por 
convecção é de 154 W/m2 K. Cada aleta tem 
comprimento de 50 mm, base de 5 mm de 
espessura e largura de 100 mm. Determine a 
eficiência e a taxa de transferência de calor 
desta aleta. 
 
 
13) Uma aleta circunferencial de seção transversal retangular de 3,7 cm de diâmetro externo e 
0,3 cm de espessura envolve um tubo de aço de 2,5 cm de diâmetro. A aleta é construída em 
aço carbono. O ar sobre a aleta produz um coeficiente de transferência de calor de 28,4 W/m2.K. 
Se a temperatura da base da aleta é de e do ar são 260ºC e 28ºC, respectivamente, calcule: a) a 
taxa de transferência de calor da aleta; b) se o tubo tem 2 metros de comprimento e são 
instaladas 200 aletas, qual o aumento percentual de dissipação com esta nova configuração? 
Adote Kaço = 43 W/m.K 
Resp: a) q = 9,46 W

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