MATEMÁTICA-teorico III

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Geometria Euclidiana 
Plana e Espacial
Área de figuras planas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Conceição Aparecida Cruz Longo
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
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• Perímetro e área das principais figuras 
geométricas
• Fórmulas da área de algumas figuras 
geométricas
• Área de outras figuras geométricas
Área de fi guras planas
Você já precisou comprar cerâmica para revestir pisos e paredes 
de algum cômodo de sua casa? Ou calcular a quantidade de 
tinta para pintar uma parede? A maioria desses cálculos está 
relacionada com o cálculo da área de superfícies planas.
O estudo da área de figuras planas está ligado aos conceitos 
relacionados à Geometria Euclidiana, embasada no estudo do 
ponto, da reta e do plano.
No mundo em que vivemos, existem muitas formas planas, 
que são construídas a partir dos elementos básicos citados 
anteriormente. Desde a antiguidade, o homem necessitou 
determinar a medida da superfície de áreas, com objetivos 
voltados, por exemplo, para a plantação ou construção de 
moradias. Dessa forma, foi possível uma melhor organização 
na ocupação do espaço.
Dentro do estudo de área dos quadriláteros, você verá como calcular a área das seguintes figuras 
geométricas: quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos.
No estudo de áreas dos triângulos, você verá como determinar esse cálculo de diversas maneiras: 
com as medidas da base e altura do triângulo; com as medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo; com as medidas dos lados de um triângulo equilátero; e com as medidas dos lados de 
um triângulo qualquer.
No estudo de área do círculo, você verá uma demonstração da fórmula da área dessa figura e como 
calculá-la a partir da medida do seu raio.
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Unidade: Área de fi guras planas
Contextualização
Para iniciar a nossa conversa de hoje, vamos imaginar a seguinte situação:
Raul irá trocar o revestimento do piso de seu quarto por um piso cerâmico. Veja a planta do 
quarto de Raul com as medidas internas:
 
4,80 m 
3,30 m 
A piso cerâmico que Raul escolheu tem o modelo e as dimensões seguintes:
 
30 cm 
30 cm 
Desconsiderando o rejuntamento, quantas peças de cerâmica serão necessárias para revestir 
todo o quarto?
As dimensões do quarto de Raul são de 4,80m x 3,30m. Quantas placas de cerâmica podemos 
colocar no lado maior e no lado menor?
 
7
Para isso, dividimos a medida das dimensões do quarto pelas dimensões da cerâmica:
4,80 metros = 480 centímetros
480 : 30 = 16 cerâmicas
3,30 metros = 330 centímetros
330 : 30 = 11 cerâmicas
O total de cerâmicas será 16 x 11 = 176 cerâmicas.
Para arrematar o piso, Raul colocará em volta de todo o quarto um pedaço da cerâmica, 
como mostra a figura a seguir:
 
Desconsiderando o vão da porta, calcule quantas peças serão gastas em todo rodapé?
A volta toda do quarto mede (2 x 4,80) + (2 x 3,30) = 16,2 m ou 1620 cm
1620 cm : 30 cm = 54 “pedaços” de cerâmica.
Como cada cerâmica dá 3 “pedaços”, para revestir os rodapés, serão necessárias 18 cerâmicas.
Sem contar as perdas com quebras, Raul precisará comprar, em média, 194 cerâmicas para 
revestir o seu quarto.
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Unidade: Área de fi guras planas
Perímetro e área das principais fi guras geométricas
Perímetro
Pense na seguinte situação: um fazendeiro quer saber quantos metros de arame serão gastos 
para cercar um terreno com formato retangular para pastagem de gado. Intuitivamente, sabemos 
que, para calcular a quantidade de arame necessário, será preciso determinar as medidas de cada 
lado do terreno para depois somá-las, e assim obteremos a quantidade de arame necessário.
A esse procedimento damos o nome de perímetro.
O perímetro de uma figura é representado por 2p. Assim, o perímetro da figura abaixo será:
2p = 14 + 6 + 14 + 6 = 40 cm
Exercício resolvido
1) Calcule o perímetro da figura seguinte:
O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:
 2p = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3
 2p = 18 + 4 + 9 + 5
 2p = 22 + 14
 2p = 36
9
A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de 
comprimento: metro, centímetro, quilômetro, etc. 
2) Se o perímetro de um quadrado é de 60 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado?
O quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). 
Dessa forma, para encontrar a medida do lado de um quadrado com 60 cm de perímetro, basta 
dividir 60 por 4.
60 : 4 = 15
Portanto, o lado do quadrado mede 15 cm.
3) Um fazendeiro quer cercar um terreno retangular de 180 m de comprimento por 45 m de 
largura, passando 5 fios de arame ao redor do terreno. Se o metro de arame custa R$ 3,50, 
qual será o valor gasto pelo fazendeiro?
O perímetro desse terreno será:
2p = 180 + 180 + 45 + 45 = 450 m (corresponde a passar um fio de arame). Como o 
problema diz que o fazendeiro irá passar 5 fios de arame, multiplicamos esse comprimento por 
5: 450 x 5 = 2.250 m.
Se cada metro de arame custa R$ 6,50, multiplicaremos 2.250 por 3,50:
2.250 . 3,50 = 7.875
Ou seja, o fazendeiro irá gastar com arame R$ 7.875,00.
As principais figuras geométricas planas e o cálculo de seus perímetros são:
10
Unidade: Área de fi guras planas
 
Aqui aparece o número Pi que representamos com o símbolo π. Note que o 
perímetro do círculo é o comprimento da circunferência. É interessante saber que 
o valor de π foi determinado na antiguidade, como a relação entre a medida do 
comprimento da circunferência e a medida do seu diâmetro, isso se deu porque os 
povos antigos precisavam desse valor para desenhar o projeto de suas construções. 
Em 500 a.C., Pi era tido como π = 3. Em 250 a.C., Arquimedes usou o valor π = 
3,1463. Durante séculos os matemáticos procuraram o valor exato de sem sucesso, 
com a invenção do computador já se calculou trilhões de casas decimais para esse 
número, sem que se obtivesse uma dízima periódica.
Exercício resolvido
4) Determine quantos metros, aproximadamente, uma pessoa percorrerá se der 5 voltas 
completas em torno de um canteiro circular de 2 m de raio?
Comprimento de uma por volta
C = 2. π . r
C = 2 . 3,14 . 2
C = 12,56 m
Comprimento do percurso
5 x 12,56 = 62,8
Portanto, comprimento do percurso é de 62,8 m.
5) O pneu de um veículo com 400 mm de raio, quando dá uma volta completa, percorre 
quantos metros aproximadamente?
Primeiro, vamos transformar 400 mm em metros. Para isso, basta dividir 400 por 1000. 
400 : 1000 = 0,4 m
Agora, vamos calcular o comprimento de uma volta, que é o comprimento da circunferência 
do pneu.
C = 2. π . r
C = 2 . 3,14 . 0,4
11
C = 2,512 m
Portanto, ao dar uma volta completa, o pneu percorre aproximadamente 2,5 m.
Medidas de superfície
Para medir uma superfície calculamos o número de vezes que a unidade de medida cabe 
nessa superfície.
Exemplo
Se quisermos recobrir o piso ao lado, são necessárias 9 lajotas.
Unidades de medidas de área
Um metro quadrado (1m²) é a área de um quadrado de um metro de lado.
Exemplo
A figura abaixo possui 40 cm², pois são necessários 40 quadrados de 1cm de lado para 
recobrir toda a figura.
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Unidade: Área de fi guras planas
Fórmulas da área de algumas fi guras geométricas
Área quadriláteros
Quadrilátero é toda figura geométrica plana que possui quatro lados.
Em um quadrilátero, dois lados não consecutivos ou dois ângulos não consecutivos são 
chamados de opostos.
Um quadrilátero ABCD apresenta:
 · o lado AB oposto ao lado CD e o lado BC oposto ao lado AD;
 · o ângulo A oposto ao ângulo C e o ângulo B oposto ao ângulo D.
Em um quadrilátero ABCD, como o da figura seguinte, temos os seguintes elementos comuns:
Vértices: nome dado aos pontos A, B, C, e D (pontos de interseção entre os lados);
Lados: os segmentos de reta AB, BC, CD e DA;
Diagonais: são duas. Os segmentos de retas AC e BD;
Ângulos internos: são quatro. Os ângulos A, B, C e D^^ ^ ^ ;
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Área de quadrados
A área de um quadrado é obtida pela expressão A = a². Em que, a é a medida de seus lados. 
Essa medidaa pode corresponder a 1 metro, 1 centímetro, 1 quilômetro, 1 hectômetro... Ou 
mesmo corresponder a qualquer medida de comprimento que se tome como padrão.
Calcular a área de um quadrado é obter o produto da medida da base por si mesma, ou seja, 
é obter o quadrado da medida de um de seus lados. Assim: A = a².
Exercício resolvido
1) Determinar a área do quadrado cujos lados medem 30 cm.
A = a²
A = (30)²
A = 900 cm²
2) Calcule a área do quadrado cujo lado mede 2,5 m.
A = a²
A = (2,5)²
A = 6,25 m²
3) Calcule a medida dos lados de um quadrado cuja área é igual a 144 cm².
A = a²
144 = a²
a = 
a = ± 12
a = 12
Resposta: O lado do quadrado mede 12 cm.
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Unidade: Área de fi guras planas
 
 Informação
Veja que o sinal mais ou menos (±) exprime a existência de dois valores para a raiz quadrada. Nesse 
caso, a medida do comprimento é sempre um número positivo.
Área de retângulos
O retângulo ABCD apresentado na figura acima tem altura medindo a unidades e comprimento 
medindo b unidades.
Os segmentos horizontais e os segmentos verticais que passam pelo interior do retângulo 
dividem o retângulo em a · b quadrados, tendo 1 unidade de área cada um.
O número de unidades de área do retângulo é obtido pelo produto do número de unidades 
do comprimento da base pelo número de unidades da altura. A área do retângulo pode ser 
representada pela expressão: A = b · h.
Exercício resolvido
1) Obter a área do retângulo cujo comprimento da base são 15 unidades de comprimento (15 
u.c.) e o comprimento da altura são 7 unidades de comprimento (7 u.c.).
Considerando que a área do retângulo é dada pela expressão A = b · h, temos:
15
A = b · h = 15 · 7 = 105 u.a.
2) Num campeonato de futebol, a equipe organizadora está providenciando o gramado que 
será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, precisa saber qual é a área 
do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo que o campo apresenta 
115 m de comprimento por 75 m de largura e o formato retangular, diga quantos metros 
quadrados de área o campo de futebol tem?
A = b . h
A = 115 . 75
A = 8 625
A equipe deverá comprar 8.625 m² de grama.
Área de paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos. No quadrilátero 
da figura seguinte, temos: AB // CD e AD // BC.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base (cuja medida será 
chamada de b). Nesse caso, tomamos como base o segmento AB. A altura do paralelogramo 
corresponde à medida h do segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde 
este segmento de reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. Nesse caso, o segmento de 
reta perpendicular à base é o segmento DE. 
16
Unidade: Área de fi guras planas
Para compreender como calcular a área do paralelogramo, imagine o recorte da figura em 
duas partes, obtendo um triângulo retângulo e um quadrilátero.
Transfira o triângulo retângulo da figura anterior para o outro extremo da figura. A figura 
resultante, como você pode ver na imagem seguinte, é um novo quadrilátero: o retângulo de 
vértices E’, E, D e D’
A figura obtida é um retângulo cuja base mede b unidades de comprimento e cuja altura 
mede h unidades de comprimento. Lembre-se que h coincide com a medida da altura do 
paralelogramo. Portanto, a área do paralelogramo ABCD pode ser obtida da mesma expressão 
de área do retângulo E’EDD’, que é igual a A = b · h.
Pense
Nos paralelogramos podemos observar as seguintes propriedades: os lados opostos são congruentes; 
cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as 
diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
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Exercício resolvido
1) Determine a área do paralelogramo, representado na figura a seguir:
A = b · h  A = 30 m · 12 m  A = 360 
A área do paralelogramo é igual a 360 m².
2) Calcule a altura do paralelogramo que tem 30 mm de base, para que ele tenha área igual a 
3,9 cm². A área do paralelogramo é dada pela expressão A = b · h. 
Observe que: b = 30 mm = 3 cm (30 : 10) e que A = 3,9 cm²
A = b · h 
3,9 = 3 . h
h = 3,9 : 3
h = 1,3 
A altura do paralelogramo é de 1,3 cm.
Área de losangos
O losango é uma figura geométrica que apresenta as seguintes características:
 · Possui duas diagonais que podem ter medidas diferentes, representadas por d (diagonal 
menor – segmento AC) e por D (diagonal maior – segmento BD);
 · Suas diagonais se cruzam formando ângulos de 90º no centro do losango e dividindo-o 
em 4 triângulos retângulos.
A área do losango é o semiproduto da soma das medidas das diagonais, ou seja, A = (d · D)
Acompanhe, na demonstração a seguir, como essa fórmula foi encontrada.
18
Unidade: Área de fi guras planas
Tome dois losangos, como os da figura seguinte:
Dividindo um desses losangos sobre as diagonais, ou seja, em 4 partes iguais, que são 
triângulos retângulos.
Encaixe as quatro partes do primeiro losango no segundo losango (o inteiro) para formar 
uma figura já conhecida.
Uma das figuras conhecidas que pode ser formada é um retângulo de altura, que tem a 
mesma medida da diagonal maior e cuja base tem a mesma medida da diagonal menor. Ou 
seja, a área do retângulo é dada por: A = b·h  A = d . D.
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Como essa expressão é referente à área de dois losangos, podemos afirmar que:
2 A = d . D  A = d. D
 2
Exercício resolvido
1) Calcule a área do losango cujas diagonais medem 2,8 m e 1,0 m.
A = d . D = 1 . 2,8 = 1,4
 2 2
Resposta: A = 1,4 m2.
2) A medida da diagonal maior de um losango é igual a 18 cm e a diagonal menor mede um 
terço dessa medida. Determine a área desse losango.
D = 18
d = 1 . 18 = 6 cm
 3
A = d . D = 6 . 18 = 54
 2 2
Resposta: A = 54 cm²
Área de trapézios
Trapézio é qualquer quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos e que chamamos 
de bases. O menor desses lados paralelos é chamado de base menor, de medida b. O maior 
desses lados paralelos é a base maior, de medida B.
A menor distância entre as bases é a altura do trapézio, que representaremos pela medida h. 
Na figura seguinte, a altura é segmento DE.
A área do trapézio é a média aritmética das medidas das bases multiplicada pela medida da 
altura, isto é: A = (B + b) . h
 2
20
Unidade: Área de fi guras planas
Para entender como foi obtida essa fórmula, podemos construir dois trapézios idênticos e 
encaixando-os lado a lado, para encontrar um paralelogramo cujas bases tem medida B + b e 
altura de medida h. A área da figura obtida pela união dos dois trapézios é igual a (B + b) · h, 
que é o dobro da área de cada trapézio.
Assim, temos que dividir por 2 para obter a área do trapézio e obter: 
A = (B + b) . h
 2
Exercício resolvido
1) Determine a área do trapézio cuja altura h é igual a 80 cm e cujas bases medem 2,5 m e 1,4 
m. Os dados do enunciado são: h = 80 cm = 0,80 m; b = 1,4 m e B = 2,5.
Substituindo-os na expressão da área do trapézio, temos:
A = (B + b) . h
 2 
A = (2,5 + 1,4) . 0,8 = 3,9 . 0,8 = 1,56m2
 2 2
2) Determine a medida da base maior de um trapézio com 150 cm² de área, 10 cm de altura e 
base menor medindo 12 cm. Dados do problema:
A = 150 cm² h = 10 cm b = 12 cm B = x
A = (B + b) . h
 2 
150 = (x + 12) . 10
 2
150 = (x + 12) . 5
150 = 5x + 60
5x = 150 – 60
5x = 90
x = 18.
Portanto, a base maior do trapézio mede 18 cm.
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Área de outras fi guras geométricas
Área de triângulos
Triângulo é a figura geométrica que apresenta três lados e três ângulos internos.
 · Área de um triângulo conhecendo-se as medidas da base e da altura
A área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de sua 
altura, isto é: 
b.hA .=
2
Exercício resolvido
1) Calcule a área do triângulo cujas medidas de base e altura são, respectivamente, iguais a 30 
cme 12 cm.
Basta substituir os valores na fórmula A = b . h = 30. 12 = 180cm²
 2 2
 · Área do triângulo equilátero
Para calcular a área do triângulo equilátero pela fórmula A = b . h , é preciso calcular 
 2
primeiramente o valor de h.
Veja, que a altura do triângulo equilátero dividiu o triângulo em dois triângulos idênticos. 
Como esses triângulos são retângulos, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular 
a medida de h.
22
Unidade: Área de fi guras planas

Agora podemos calcular a área do triângulo equilátero:
A = , em que a é a medida do lado do triângulo equilátero.
Portanto, a área do triângulo equilátero é dada pela fórmula:
Exercício resolvido
1) Calcule a área do triângulo equilátero que tem perímetro igual a 15 cm.
Para calcular a área do triângulo, devemos lembrar que o perímetro de um triângulo equilátero 
é dado pela expressão 3a. 
Como 3a = 15  a = 5 cm.
Assim, a área do triângulo equilátero é:
A = 
 é aproximadamente 1,73, portanto, área do triângulo equilátero é de 
10,8125 cm².
23
 · Área de um triângulo retângulo
Para calcular a área de um triângulo retângulo, basta conhecer as medidas de seus catetos.
Em um triângulo retângulo, os lados menores são chamados de catetos. Quando consideramos 
um dos catetos como a base do triângulo, como na figura seguinte, o outro cateto passa a 
coincidir com a altura da figura.
Para calcular a fórmula do triângulo retângulo, temos a fórmula 
b.hA ,=
2
 
e, nesse caso, o produto b · h é o produto dos catetos.
Exercício resolvido
1)Calcule a área do triângulo retângulo cujos lados menores medem 1,5 m e 2,0 m. 
Nesse caso, como 1,5 m e 2,0 m são os lados menores, eles são os catetos do triângulo 
retângulo, assim a altura h coincide com um dos catetos.
A = b . h = 1,5 . 2,0 = 3 = 1,5
 2 2 2
A área, nesse caso, é de 1,5 m².
2) Calcule a área do triângulo retângulo seguinte.
Primeiro, vamos calcular a medida do outro cateto (altura) do triângulo. Para isso, vamos usar 
a fórmula de Pitágoras.
a² = b² + c²
10² = b² + 8²
100 = b² + 64
24
Unidade: Área de fi guras planas
b² = 100 – 64
b² = 36
b = 6 (altura do triângulo)
A = b . h = 8 . 6 = 48 = 24
 2 2 2
A área, nesse caso, é de 24 cm².
 · Cálculo da área de um triângulo pela fórmula de Heron
Considere o perímetro de um triângulo de lados a, b e c, ou seja, 2p = a + b + c. O valor 
do semiperímetro dessa figura é p = a + b + c 
 2
A área do triângulo citado pode ser expressa pela fórmula:
A = que é chamada de fórmula de Heron.
Exercício resolvido
1) Calcular a área de uma região triangular cujos lados medem 21 cm, 28 cm e 45 cm. Primeiro, 
vamos calcular p. Para isso, substituímos a por 21 cm, b por 28 cm, c por 45 cm:
2p = (21 + 28 + 45) cm  2p = 94 cm  p = 47 cm. 
Agora, vamos calcular a área.
 
A = 215,49 cm² (aproximadamente)
25
2) Calcule a área do triângulo a seguir.
2p = (9 + 7 + 14)  2p = 30  p = 15 cm. 
Agora, vamos calcular a área.
 
Área do círculo
Um círculo é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos internos de uma 
circunferência. Também chamamos círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é 
menor ou igual a um dado valor, que chamamos raio.
A área A de um círculo pode ser expressa matematicamente por A = π · r², onde r é o raio 
da circunferência e π (Pi) uma constante, cujo valor é aproximadamente de 3,14.
Considere dois círculos de raios iguais a r, divididos em fatias extremamente finas que se 
assemelhem a triângulos.
Vamos abri-los para que possam ser encaixados um no outro.
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Unidade: Área de fi guras planas
Dessa forma, vamos obter um paralelogramo cujas bases têm medida igual a 2 · π · r e cuja 
altura tem medida igual a r.
O paralelogramo obtido tem área igual a A = b · h 
A = (2 · π · r) · r = 2 · π · r²
Lembre-se de que essa medida é obtida a partir da área de dois círculos. Então, para encontrar 
a área de um círculo de raio igual a r, temos que dividir 
2 · π · r² por 2, assim a área do círculo é calculada pela fórmula:
A = π · r² (onde π = 3,141592653589...  π ≅ 3,14)
Exercício resolvido
1) Determine a área de um círculo cujo raio mede 13 cm. Para calcular a área do círculo, vamos 
substituir essa medida (r = 13 cm) e substituir π por 3,14 na fórmula A = π · r²
Logo, obteremos:
A = π · r²
A = (3,14) · 13²
A = (3,14) · 169 
A = 530,66 cm²
2) Calcule a área do círculo cujo diâmetro mede 8 cm. Diâmetro é igual a 2 · r, por tanto r = 4 cm.
A = π · r²
A = (3,14) · 4²
A = (3,14) · 16 
A = 50,24 cm²
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Material Complementar
 
 Explore
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/
dissertacao_ana_chiummo.pdf
http://cursinhopimentas.org.br/wp-content/uploads/2013/06/%C3%81REAS.pdf
http://carlnasc.pt/Textos/MV%20TXT/MV%200701%20PAVL1%20TXT%20V5.pdf
 
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Uma história da China: figuras geométricas planas
Martins R. Teixeira
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As aventuras das figuras geométricas
Pablo Maestro
Editora Salesianas
Geometria plana simples assim
Wanderson Coelho Cardoso
Editora Ciência Moderna
 
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https://www.youtube.com/watch?v=9G3ga_2yAxI
28
Unidade: Área de fi guras planas
Referências
BIGODE, A.J.L. Projeto Velear: Matemática (9º ano). São Paulo: Scipione, 2012.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações - 1º ano. São Paulo: Ática, 2011.
DOLCE, Oswaldo e POMPEO, Jose Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: 
Geometria Plana. Volume 9. 8ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2005.
PAIVA, M. Matemática: volume único. São Paulo: Moderna, 1999.
RIBEIRO, J. Matemática: Ciência e linguagem: volume único. São Paulo: Scipione, 2007.
SOUZA, J.R.; PATARO, P. R. Vontade de saber matemática, 6º ao 9º ano, 1. ed. São Paulo: 
FTD, 2009.
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Anotações
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