Atividade - PROBABILIDADES CONJUNTAS

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PROBABILIDADES CONJUNTAS 
 
Uma fábrica deseja iniciar a produção de um novo produto, composto por duas peças 
acopladas: a peça A e a B. O produto oferecerá um lucro de R$ 35,00, se estiver 
totalmente em ordem [P(A = 1, B = 1) = 0,58]. Se ambas as peças estiverem 
defeituosas, o produto deve ser descartado, com prejuízo de R$ 15,00 [P(A = 0, B = 0) 
= 0,12]. Se a peça B estiver defeituosa, mas a A não, será possível reparar o produto, 
e haverá o lucro de R$ 15,00 [P(A = 1, B = 0) = 0,04]. Se a peça A estiver defeituosa, 
mas a B não, o lucro será de R$ 20,00 [P(A = 0, B = 1) = 0,26]. 
 
Nesse contexto, espera-se conseguir, por produto montado, o lucro médio de: 
R: R$24,30 
 
Em uma região, durante certo período, foram registradas as seguintes temperaturas: T 
= {21 °C; 22,5 °C; 20,4 °C; 19,6 °C; 19,1 °C}, respectivamente, nos dias 2, 3, 4, 5 e 6 
do mês. Para uma análise preliminar, o serviço de meteorologia optou por uma 
verificação da medida de dispersão, calculando a variância. 
 
Assinale a alternativa correta em relação ao valor dessa variância, considerando os 
cinco dias. 
R: 1,406 
 
A esperança matemática consegue apresentar um panorama muito assertivo quanto 
às chances de se receber um resultado específico. Isso não significa que há certeza 
de um resultado, mas que é esperado que o resultado ocorra. Nesse sentido, 
considere o seguinte contexto: você está com um colega em um momento de 
descontração, e os amigos oferecem um jogo que se limita a cinco jogadas de dados. 
Se, em cada jogada, aparecer o número 6, seu colega ganha R$ 50,00, mas, se não 
aparecer, ou seja, se aparecerem os números 1, 2, 3, 4 ou 5, seu colega paga R$ 
25,00. 
 
Sabendo que você é conhecedor dos conceitos de esperança matemática e 
esperando não perder dinheiro com esse jogo, seu colega pede a sua opinião. Ele 
deve entrar no jogo e lançar cinco vezes o dado, esperando o número 6, ou recusar a 
descontração? 
R: Recusar, pois a esperança matemática indica que ele perderá, 
aproximadamente, R$10,00. 
 
Em uma cidade, foi realizada uma pesquisa para saber a quantidade de pessoas 
infectadas pelo vírus da Covid-19. A amostra contém 130 famílias, formadas por três 
pessoas. Considerando cada família entrevistada, os resultados são: em 68 famílias, 
nenhuma pessoa foi infectada; em 32, uma pessoa foi infectada; em 22, duas pessoas 
foram infectadas; em 8, três pessoas foram infectadas. 
 
Com base nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
variância para essa análise estatística. 
R: 0,892 
 
A covariância tem a finalidade de mensurar numericamente, considerando duas 
variáveis aleatórias, qual é o grau de relacionamento entre essas duas variáveis. Por 
exemplo, há três corpos esféricos com raio em centímetros (variável X) e massa em 
gramas (variável Y). A esfera A tem raio de 2 cm e massa de 2,5 g. A esfera B tem raio 
de 3 cm e massa de 2,9 g. A esfera C tem raio de 4 cm e massa de 3,1 g. 
 
Considerando esses valores, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
covariância entre as variáveis que representam o raio e a massa das esferas. 
R: 0,2 cm. g. 
 
Na fusão nuclear, aquece-se deutério e trítio ao ponto de plasma e eles se tornam 
ionizados, o que possibilita a fusão destes, formando um elemento mais pesado. 
Considerando o processo de fusão nuclear, a energia de ligação do deutério (H1) é de 
2,22 MeV, do oxigênio (O16) é de 7,8 MeV e do enxofre (S32) é 8,6 MeV. 
 
Assinale a alternativa correta sobre a correlação entre a variável de número de 
núcleons (A) e a energia de ligação dos elementos (E/A), considerando do deutério 
(H1) até o enxofre (S32). 
R: A correlação entre A e E/A dos três elementos é considerada linear positiva. 
 
Um circuito que utiliza um amplificador operacional e dois resistores é utilizado, em 
geral, para aumentar, proporcionalmente, o valor de tensão em sua entrada, 
possibilitando, por exemplo, a leitura de valores de tensão muito pequenos, emitidos 
por sensores resistivos. Essa leitura é possível por meio de microcontroladores. Esses 
valores de tensão na saída do amplificador operacional têm como limite o valor de 
saturação 0 V e 12 V. Nesses casos, é comum o seguinte: 
 
 
 
Dessa forma, a esperança indica que o valor de tensão de saída do circuito, para uma 
tensão que varia de 2 V a 2,5 V, será igual a: 
R: E( ) = 4,236 V. 
 
Em testes de bancada, um projetista montou um circuito e efetuou medições de 
corrente em diversos momentos, considerando uma faixa de 0,5 mA. Em 30 medições, 
obteve os seguintes valores: 250 mA, em 11 medições; 250,5 mA, em 6 medições; 251 
mA, em 5 medições; 251,5 mA, em 8 medições. Para confirmar a precisão do circuito, 
o projetista precisa verificar o quanto os valores se distanciam da média. 
 
Nesse sentido, o valor dessa variação é: 
R: 391,1 ⲙrA. 
 
Em um experimento que considerou 150 lançamentos de três moedas ao mesmo 
tempo, foram contados os números de caras em cada um desses experimentos. Os 
valores foram dispostos, ordenadamente, no quadro a seguir, o qual apresenta o 
número de caras relacionado ao número de experimentos. 
 
 
Quadro - Lançamento de moedas 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
#PraCegoVer: a imagem apresenta um quadro com duas linhas e seis colunas e 
apresenta resultados de números de caras obtidos em cada quantidade de 
lançamentos. Na primeira linha, há o número de caras (0, 1, 2, 3, 4); na linha inferior, 
há o número de experimentos em que se obteve esses valores de caras. Assim, em 15 
experimentos, não se obteve nenhuma cara; em 35, obteve-se uma cara; em 40, 
obteve-se duas caras; em 38, obteve-se três caras; em 22 experimentos, obteve-se 
quatro caras. 
 
Com base nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
variância dos números de caras obtidos no experimento. 
R: s² = 1,470. 
 
Em um programa de TV, o candidato precisa escolher entre cinco portas com diversos 
prêmios: em duas portas, poderá ganhar um prêmio de R$ 300,00; em uma porta, não 
tem nada; em uma porta, tem um prêmio de R$ 500,00; em uma porta, há um prêmio 
de R$ 4.000,00. 
 
Sendo os valores dos prêmios as variáveis x1, x2, x3, x4 e x5, assinale a alternativa 
que indique E(x), corretamente. 
R: E(x) = R$ 1.020,00. 
 
Pretende-se verificar dados referentes à métrica de desenvolvedores web. Para tanto, 
foi analisada a taxa de linhas de código por minuto para cada desenvolvedor; e os 
desenvolvedores front-end foram divididos em HTML5, PHP e JS. Para adiantar a 
análise de dados, foi formada uma tabela como a seguir. 
 
Desenvolvedor 
Métrica 
Menos que 10 
linhas 
Entre 10 e 15 
linhas 
Acima de 15 
linhas 
Total 
 
HTML5 E11 E12 E13 12 
PHP E21 E22 E33 8 
Número de caras 0 1 2 3 4 
Número de experimentos 15 35 40 38 22 
JS E31 E32 E33 10 
Total 5 16 9 30 
 
Tabela 6 - Métrica para cada tipo de programador (HTML5, PHP ou JS - Javascript) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores totais da métrica em relação a 30 desenvolvedores: 12 
desenvolvedores HTML5; 8 desenvolvedores PHP; e 10 desenvolvedores JS. Dentre 
eles, 5 desenvolvedores produziram menos de 10 linhas de código por minuto; 16 
desenvolvedores produziram entre 10 e 15 linhas de código por minuto; e 9 
desenvolvedores produziram acima de 15 linhas de código por minuto. 
 
Nesse sentido, identifique o valor esperado para desenvolvedores HTML5 (E12) e JS 
(E32) que desenvolveram entre 10 e 15 linhas de código por minuto. 
R: Os valores esperados para o cálculo de teste de independência referente aos dados 
apresentados são 6,4 desenvolvedores em HTML5 e 5,33 em JS. 
 
No desenvolvimento de um cristal semicondutor, testes visam verificar sua capacidade 
de servir como sensor de uma radiação específica. No laboratório, esses testes 
consistem em: utilizar um circuito eletrônico que aplica um campo elétrico no 
semicondutor; everificar a corrente obtida em miliamperes, conforme a tabela a 
seguir. 
 
Cristal A B C D E 
Corrente 12,1 mA 15 mA 9,8 mA 7,2 mA 13,4 mA 
 
Tabela 9 - Tipo de cristal semicondutor gerado e corrente elétrica obtida no circuito de 
testes 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores de miliamperes para cada um dos cristais testados. O 
cristal A produziu no circuito uma corrente de 12,1 miliamperes; o cristal B produziu no 
circuito uma corrente de 15 miliamperes; o cristal C produziu no circuito uma corrente 
de 9,8 miliamperes; o cristal D produziu no circuito uma corrente de 7,2 miliamperes; e 
o cristal E produziu no circuito uma corrente de 13,4 miliamperes. 
 
Considerando cinco cristais de geometrias diversas, verifique se a geometria é 
indiferente em 5% de significância e qc = 9,488, valor tabelado de qui-quadrado 
(CORREA; QUEIROZ; TREVISAN, 2021). 
 
CORREA, A. P. A.; QUEIROZ, E; TREVISAN, N. CE001 - Bioestatística: teste do Qui-
quadrado. [2021]. Disponível 
em: http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ce001:teste_do_qui-
quadrado.pdf. Acesso em: 20 jul. 2021. 
R: Q² < qc, então, a geometria dos cristais semicondutores é indiferente em sua 
eficiência como sensores. 
http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ce001:teste_do_qui-quadrado.pdf
http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ce001:teste_do_qui-quadrado.pdf
 
A fim de se realizar a manutenção de duas esteiras selecionadoras em uma indústria, 
os erros de seleção de produtos encontrados foram dispostos na tabela a seguir 
(quantidade de acertos e erros em cada uma das esteiras). Embora a taxa de produtos 
selecionados por segundo seja diferente, um dos especialistas declara que, para um 
nível de 5%, as máquinas são idênticas à taxa de erro. 
 
Esteira Erros de seleção Acertos de seleção Total 
Esteira A 15 35 50 
Esteira B 6 24 30 
Total 21 59 80 
 
Tabela 10 - Erros e acertos em cada esteira seletora no tempo específico 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores de acertos e erros na seleção para cada esteira 
selecionadora, sendo que as duas esteiras selecionam um total de 80 produtos. A 
esteira A acertou 35 elementos e errou a seleção de 15 elementos, totalizando 50 
produtos selecionados; e a esteira B acertou 59 elementos e errou a seleção de 21 
elementos, totalizando 30 produtos selecionados. Ao todo, houve 21 erros de seleção 
e 59 acertos de seleção. 
 
Nesse sentido, teste para verificar a afirmação do profissional em qc = 3,841 e 
assinale a alternativa correta: 
R: Q² = ; então, Q² < qc. 
 
Estatísticas são muito utilizadas em estudos da radiação, ressalte-se. Em um 
experimento, por sua vez, uma quantidade de óxido de urânio e iodo produziu uma 
quantidade de radiações alfa e beta (tabela adiante). 
 
Para o início dos estudos de probabilidades, o físico solicitou ao estagiário que 
verificasse o grau de liberdade. 
 
Candidato Radiação alfa Radiação beta Total 
Óxido de urânio E11 E12 TL1 
Iodo E21 E22 TL2 
Total TC1 TC2 Total geral 
 
Tabela 12 - Taxas de radiação em relação ao óxido de urânio e ao iodo 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores de contagem de partículas de radiação alfa e beta para 
cada um de dois elementos. Com o óxido de urânio contaram-se: E11 de radiação alfa; 
e E12 de radiação beta, totalizando TL1. Com o iodo contaram-se: E21 de radiação alfa; 
e E22 
de radiação beta, totalizando TL2. No total de radiação alfa, contaram-se TC1; e de 
radiação beta, TC2. O total dos dados foi nomeado de “Total geral”. 
 
A seguir, assinale a alternativa que indica corretamente a quantidade de graus de 
liberdade. 
R: GL = 1. 
 
O grau de liberdade em estatística indica quantas variações um conjunto de dados 
permite. Um serviço de streaming de vídeo gostaria de analisar, mediante estudo, os 
interesses de seu público para saber qual seriado descontinuaria. As opiniões de 
2.500 clientes de quatro regiões distintas sobre quatro séries foram dispostas em 
tabela com quatro colunas e quatro linhas. 
 
Re
giã
o 
Opinião 
Seriado A Seriado B Seriado C Seriado D Total 
 
Norte 131 123 134 123 511 
Sul 123 126 118 112 479 
Leste 123 123 112 119 477 
Oeste 132 135 123 143 533 
Total 509 507 487 497 2.500 
 
Tabela 3 - Clientes de quatro regiões (Norte, Sul, Leste e Oeste) e suas opiniões sobre 
qual seriado mais gostariam de assistir (seriado A, seriado B, seriado C ou seriado D) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: A tabela apresenta valores de gosto de clientes em 4 regiões diferentes 
sobre 4 seriados. O seriado A foi preferido por 131 clientes da região Norte, 123 da 
região Sul, 123 da região Leste e 132 da região Oeste, totalizando 509. O seriado B foi 
preferido por 123 clientes da região Norte, 126 da região Sul, 123 da região Leste e 
135 da região Oeste, totalizando 507. O seriado C foi preferido por 134 clientes da 
região Norte, 118 da região Sul, 112 da região Leste e 123 da região Oeste, 
totalizando 487. O seriado D foi preferido por 123 clientes da região Norte, 112 da 
região Sul, 119 da região Leste e 143 da região Oeste, totalizando 497. Quanto aos 
valores totais, temos: 511 clientes da região Norte opinaram; 479 clientes da região 
Sul opinaram; 477 clientes da região Leste opinaram; e, por fim, 533 clientes da região 
Oeste opinaram. 
 
Considere esses dados e assinale a alternativa que indica o valor de graus de 
liberdade desse conjunto: 
R: 9. 
 
Deseja-se saber se a preferência por certos tipos de alimentos possui correlação 
direta com o sexo dos participantes (masculino ou feminino). Dessa forma, 300 
participantes foram questionados, conforme a tabela a seguir. 
 
Sexo 
Opinião 
Macarrão Frutos do mar Churrasco Total 
 
Homem 28 16 76 120 
Mulher 40 54 86 180 
Total 68 70 162 300 
 
Tabela 4 - Sexos (masculino ou feminino) e opiniões sobre comidas diversas 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores de tipos de alimentos (macarrão, frutos do mar e 
churrasco) e opiniões de homens e mulheres: 120 homens e 180 mulheres foram 
entrevistados; 28 homens preferiram o macarrão; 16 homens preferiram os frutos do 
mar; 76 homens preferiram o churrasco; 40 mulheres preferiram o macarrão; 54 
mulheres preferiram os frutos do mar; e 86 mulheres preferiram o churrasco. Os 
valores totais são: 68 pessoas preferiram macarrão; 70 pessoas preferiram frutos do 
mar; e 162 pessoas preferiram churrasco. 
 
Dessa forma, faça o teste de independência para os dados coletados considerando 
95% de confiança, com Qc = 5,991 calculado por meio da tabela do qui-quadrado. 
R: Q² > q c, a opção de gosto depende do sexo dos entrevistados. 
 
Em uma indústria, três máquinas produzem parafusos idênticos; e o engenheiro 
responsável prepara um plano de qualidade de produto (para isso, necessita saber os 
valores esperados, por máquina, de parafusos com tamanhos errados ou roscas 
imperfeitas). Assim, ele ordenou a análise de 200 parafusos do lote de 200 peças 
(tabela a seguir). 
 
Máquinas Defeito no comprimento Defeito na rosca do parafuso Total 
Máquina A E11 E12 58 
Máquina B E21 E22 61 
Máquina C E31 E32 81 
Total 107 93 200 
 
Tabela 11 - Defeitos encontrados nos parafusos produzidos em cada uma das três 
máquinas 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores de defeitos na produção de parafusos para cada uma das 3 
máquinas, sendo testados 200 parafusos. A máquina A produziu um total de 58 
parafusos defeituosos; a máquina B produziu um total de 61 parafusos defeituosos; e 
a máquina C produziu um total de 81 parafusos defeituosos. No total geral, foram 
encontrados 107 parafusos com tamanho irregular e 93 parafusos com rosca irregular. 
 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indica os valores esperados para parafusos 
com rosca defeituosa nas três máquinas: 
R: E12 = 26,97;E22 = 28,36; e E32 = 37,66. 
 
Leia os excertos a seguir. 
No teste paramétrico, “quando não conhecemos como se comporta a população 
devemos, se possível, utilizar grandes amostras (n ≥ 30). Caso não se tenha condição 
de se obter grandes amostras, e não se conheça a forma de distribuição da 
população, pode-se recorrer a outro método de inferência estatística: a chamada 
estatística não-paramétrica”. 
 
Fonte: SALSA, I. da S. Probabilidade e estatística. 2. ed. Natal: EDUFRN, 2014. p. 
274. 
 
“Algumas técnicas não paramétricas são testes de ordenação, de maneira que a 
identificação sugere outro aspecto em que testes não paramétrico diferem de testes 
paramétricos.” 
 
Fonte: SIEGEL, S.; CASTELLAN JR., N. J. Estatística não paramétrica para 
ciências do comportamento. Bookman: São Paulo, 2006. p. 25. 
 
A respeito das diferenças entre testes não paramétricos e testes paramétricos, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Nos testes não paramétricos, especificam-se certas condições não testadas 
ordinariamente, apenas assumidas como válidas, sobre a distribuição das respostas 
na população da qual a amostra da pesquisa foi retirada. 
II. ( ) O teste não paramétrico é baseado em um modelo que especifica somente 
condições muito gerais. 
III. ( ) Teste paramétrico é aquele utilizado normalmente quando os dados são 
homogêneos. 
IV. ( ) Quando não conhecemos como se comporta a população, e a amostra é 
pequena, podemos utilizar o teste não paramétrico. 
R: F, V, V, V. 
 
Leia os excertos a seguir. 
“Caso não se tenha condição de se obter grandes amostras, e não se conheça a 
forma de distribuição da população, pode-se recorrer a outro método de inferência 
estatística: a chamada estatística não-paramétrica.” 
 
Fonte: SALSA, I. da S. Probabilidade e estatística. 2. ed. Natal: EDUFRN, 2014. p. 
274. 
 
“Os testes não paramétricos têm como base o teste de hipóteses, porém não 
conservam 
uma 
organização normal. Em geral, possuem resultados estatísticos provenientes de suas 
ordenações, o que torna mais fáceis de entender.” 
 
Fonte: HINES, W. W.; MONTGOMERY, D. C.; GOLDSMAN, D.; BORROR, C. 
M. Probabilidade e Estatística na Engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2006. p. 440. 
 
A respeito dos testes não paramétricos, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Os métodos denominados não paramétricos são válidos para amostras de 
distribuições populacionais contínuas. 
II. ( ) A dificuldade de compreensão em relação aos testes não paramétricos provém 
do fato de eles possuírem resultados estatísticos provenientes de suas ordenações. 
III. ( ) A técnica não paramétrica deve ser utilizada com dados exatos, ou seja, dados 
com sentido numérico. 
IV. ( ) Uma grande vantagem para aplicação do teste não paramétrico é a simplicidade 
de se passar dele para um algoritmo. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
R: V, F, F, V. 
 
Após a devolução de 500 produtos defeituosos, verificou-se a existência de três 
defeitos distintos em três peças diferentes. Considere 2% para declarar a dependência 
dos valores e o fragmento da tabela qui-quadrado e indique se os defeitos estão 
relacionados com as três peças defeituosas (verifique as tabelas a seguir). 
 
Peças Defeitos 
 
Peça A 130 146 235 511 
Peça B 145 123 132 400 
Peça C 198 219 172 589 
Total 473 488 539 1.500 
 
Tabela 7 - Peças A, B e C e defeitos encontrados 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores totais de 3 tipos de defeitos em relação a 3 peças 
diferentes de um produto, totalizando 1.500 peças. As peças com dimensões erradas 
foram: 130 peças A; 145 peças B; e 198 peças C, totalizando 473 peças com 
dimensões erradas. As peças com furação errada foram: 146 peças A; 123 peças B; e 
219 peças C, totalizando 488 peças com furação errada. As peças com erros de 
acabamento foram: 235 peças A; 132 peças B; e 172 peças C, totalizando 539 peças 
com erros de acabamento. Assim, 511 peças A, 400 peças B e 589 peças C estavam 
com defeitos. 
 
Dimensões erradas Furação errada Erros de acabamento Total 
 
Tabela Q² 
 
Graus de liberdade 0,01 0,02 
2 9,210 7,824 
3 11,345 9,837 
4 13,277 11,668 
5 15,086 13,338 
 
Tabela 8 - Fragmento da tabela de valores qui-quadrado em relação ao grau de 
liberdade 
Fonte: Correa, Queiroz e Trevisan (2021, p. 10). 
#PraCegoVer: 
A tabela apresenta valores de qui-quadrado para 2, 3, 4 e 5 graus de liberdade. Para 2 
graus de liberdade a 0,01, equivale a um qui-quadrado de 9,210; e, a 0,02, equivale a 
7,824. Para 3 graus de liberdade a 0,01, equivale a um qui-quadrado de 11,345; e, a 
0,02, equivale a 9,837. Para 4 graus de liberdade a 0,01, equivale a um qui-quadrado 
de 13,277; e, a 0,02, equivale a 11,668; para 5 graus de liberdade a 0,01, equivale a 
um qui-quadrado de 15,086; e, a 0,02 equivale, a 13,338. 
 
Fonte: CORREA, A. P. A.; QUEIROZ, E; TREVISAN, N. CE001 - Bioestatística: teste 
do Qui-quadrado. [2021]. Disponível 
em: http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ce001:teste_do_qui-
quadrado.pdf. Acesso em: 20 jul. 2021. 
R: Q² = , então, Q² > qc. 
 
 
http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ce001:teste_do_qui-quadrado.pdf
http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ce001:teste_do_qui-quadrado.pdf