GAB AP1 MD1 2023

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Determińısticos I – 2/2023
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
• Não é permitido o uso de calculadora.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
• As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Um total de 154 pessoas compraram algum tipo de produto hoje no formidável Café da Tia, que vende alfajor de doce
de leite, bolo de nozes e (obviamente) café.
(i) 10 pessoas compraram os três tipos de produto.
(ii) Todos os que compraram café, ou compraram apenas café ou compraram os três tipos de produto.
(iii) Metade dos que compraram bolo de nozes, também comprou alfajor de doce de leite.
(iv) O número de pessoas que compraram somente café é o dobro do número de pessoas que comprou somente bolo
de nozes e o triplo do número de pessoas que comprou somente alfajor de doce de leite.
Para ajudar na resolução questões 1 a 4, uma dica é
utilizar o diagrama de Venn ao lado (copiando para
sua folha de respostas, já que esta folha de questões
não será digitalizada e corrigida). No diagrama, A é
o conjunto das pessoas que compraram alfajores de
doce de leite, B é o conjunto de quem comprou bolo
de nozes, e C o conjunto de quem comprou café.
Note que algumas das regiões representadas podem
ser vazias, isto é, ter 0 elementos.
Métodos Determińısticos I AP1 2
Questão 1 [0,5 pt] Quantas pessoas compraram café e bolo de nozes, mas não compraram alfajores de doce
de leite? E quantas compraram café e alfajor de doce de leite, mas não compraram bolo de nozes? Justifique.
Solução: Pela informação (ii), não existem pessoas que compraram somente café e bolo de nozes, ou somente café
e alfajor de doce de leite. Assim, podemos dizer que
• 0 pessoas compraram café e bolo de nozes, mas não compraram alfajores de doce de leite, e
• 0 pessoas compraram café e alfajor de doce de leite, mas não compraram bolo de nozes.
Questão 2 [1,0 pt] Se chamarmos de x o número de pessoas que compraram somente bolo de nozes, qual é
o número de pessoas, em função de x, que compraram bolo de nozes e alfajores de doce de leite, mas não
compraram café? Justifique.
Solução: Vamos utilizar o digrama de Venn sugerido.
Vamos preencher com x, como dito, o conjunto de quem só comprou bolo de nozes, e também preencheremos os
valores já obtidos na questão anterior. Além disso, por (i) a interseção dos três conjuntos possui 10 pessoas, e, pela
questão 1, as interseções (C ∪A)−B e (C ∪B)−A têm 0 elementos.
Por (iii), metade dos que compraram bolo de nozes também comprou alfajor de doce de leite. Assim, observando a
região marcada com y na figura abaixo, correspondente aos que compraram bolo de nozes e alfajores de doce de
leite, mas não compraram café, temos
1
2(x + y + 10) = y + 10
∴ x + y + 10 = 2y + 20
∴ y − 2y = 20− x− 10
∴ −y = −x + 10
∴ y = x− 10.
Questão 3 [1,0 pt] Com a notação da questão 2, quantas pessoas, em função de x, compraram somente café e
quantas compraram somente alfajores de doce de leite?
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 3
Solução: A informação (iv) diz que o número de pessoas que compraram somente café é o dobro do número de
pessoas que compraram somente bolo de nozes, que é dada por x. Assim, 2x pessoas comparam somente café.
Ainda por (iv), o número de pessoas que compraram somente café, que pe 2x, é o triplo do número de pessoas que
compraram somente alfajores de doce de leite. Assim,
2x
3 pessoas compraram somente alfajores de doce de leite.
Questão 4 [1,0 pt] Quantas pessoas compraram somente bolo de nozes?
Solução: Preenchendo o diagrama de Venn com todas as informações que temos, obtemos
Com isso, e lembrando que o total de pessoas é 154, temos
x + (x− 10) + 10 + 2x3 + 2x = 154 ∴
∴ x + x−��10 +��10 +
2x
3 + 2x = 154 ∴
∴ 4x + 2x3 = 154 ∴
∴
12x + 2x
3 = 154 ∴
∴
14x
3 = 154 ∴
∴ x = 314 · 154 ∴
∴ x = 3 · 11 = 33.
Assim, 33 pessoas compraram apenas bolo de nozes.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Um dos principais pontos da reforma tributária que se discute para o Brasil é a introdução de um Imposto sobre
Valor Agregado (IVA), já existente na maioria dos páıses. É posśıvel que, na versão brasileira, este imposto receba o
nome de Imposto sobre Bens e Serviços (IBS). Neste imposto, haverá uma aĺıquota fixa, digamos de 20% (a aĺıquota
exata ainda não foi informada), que incidirá sobre o preço de cada bem ou produto, permitindo porém o desconto do
imposto já pago ao longo da cadeia produtiva ou de distribuição. Vejamos como isso funciona com um exemplo:
Um artesão fabrica um produto a partir de matérias primas obtidas de graça na natureza. Se um distribuidor adquirir
o produto do artesão por 100 reais, o artesão terá que recolher 20 reais como IVA/IBS, isto é, 20% de 100 reais. Se
este distribuidor revender o mesmo produto por 150 reais para uma loja, terá que recolher 20% de 150 reais (isto é,
30 reais) menos os 20 reais que já foram recolhidos pelo artesão, resultando portanto em um recolhimento de 10 reais
pelo distribuidor. Se, por sua vez, a loja vender o produto por 180 reais, terá que recolher 20% de 180 reais = 36
reais, menos os 20% de 150 = 30 reais que já foram recolhidos pelo artesão e pelo distribuidor, resultando em 6 reais
de imposto recolhido pela loja.
Note que, neste exemplo:
• O IVA/IBS total recolhido foi de 36 reais (20 reais pelo artesão, 10 reais pelo distribuidor e 6 reais pela loja),
correspondendo a 20% do valor final de venda, 180 reais.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 4
• O IVA/IBS recolhido pelo artesão, 20 reais, corresponde a 20% de 100 reais, que é preço inicial do produto.
• O IVA/IBS recolhido pelo distribuidor, 10 reais, corresponde a 20% de 50 reais, que é a diferença entre o preço
pelo qual vendeu (150 reais) e o preço pelo qual adquiriu o produto (100 reais).
• O IVA/IBS recolhido pela loja, 6 reais, corresponde a 20% de 30 reais, que é a diferença entre o preço pelo
qual vendeu (180 reais) e o preço pelo qual adquiriu o produto (150 reais).
Isto explica por que este imposto é sobre o valor agregado. Em cada etapa da cadeia é recolhido o imposto sobre o
que foi agregado naquela etapa ao preço do produto.
Questão 5 [1,0 pt] Uma loja adquire um produto por C reais e o revenderá por V reais. Considerando um IVA/IBS
com aĺıquota de 20%, dê o valor que esta loja deverá recolher como IVA/IBS, em função de C e de V . Justifique.
Solução: Pelo que foi visto no texto acima, a loja irá recolher como imposto 20% do que foi agregado ao preço, isto
é,
20% · (V − C),
ou ainda
20
100(V − C),
que pode ainda ser escrito
1
5(V − C).
Outra forma de ver isso é notar que o imposto sobre a venda será de
20% · V,
mas já foram recolhidos, na etapa anterior,
20% · C,
ou seja, a loja deverá recolher como imposto20% · V − 20% · C = 20% · (V − C) = 15(V − C).
Observação: Não é necessário simplificar 20% = 15 .
Questão 6 [1,0 pt] Se, ainda com a aĺıquota de 20%, uma loja recolheu 9 reais de IVA/IBS na venda de um produto
que lhe custou 120 reais, por quanto o produto foi vendido? Justifique a partir da resolução de uma equação
que utilize a expressão obtida na questão 5.
Solução: O enunciado nos diz que o imposto é de 9 reais e que C = 120. Assim,
1
5(V − 120) = 9.
Com isso
V − 120 = 5 · 9 ∴ V − 120 = 45 ∴ V = 45 + 120 = 165.
Assim, o produto foi vendido por 165 reais.
Questão 7 [1,5 pt] Determine o conjunto de todos os valores de x ∈ R que satisfazem a desigualdade
(x− 2)(x− 3) ≥ (x− 1)2.
Apresente todos os cálculos e justificativas necessários.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 5
Solução: Temos
(x− 2)(x− 3) ≥ (x− 1)2 ⇔ x2 − 3x− 2x + 6 ≥ x2 − 2x + 1
⇔ ��x2 − 5x + 6 ≥��x2 − 2x + 1
⇔ −5x + 2x ≥ 1− 6
⇔ −3x ≥ −5
⇔ 3x ≤ 5
⇔ x ≤ 53 .
Questão 8 [1,0 pt] Racionalize e simplifique o número A =
√
27√
(−2)2 −
√
7
.
Solução: Temos que
A =
√
27√
(−2)2 −
√
7
=
√
27√
4−
√
7
=
√
27
2−
√
7
=
√
27
2−
√
7
· 2 +
√
7
2 +
√
7
=
√
27(2 +
√
7)
4− 7
=
√
27(2 +
√
7)
−3 =
√
32 · 3 (2 +
√
7)
−3 =
3
√
3 (2 +
√
7)
−3 = −
√
3(2 +
√
7).
Questão 9 [2,0 pt] Uma empresa aceita pagamentos com boleto bancário e cheque. Sabe-se apenas que:
(i) Se o pagamento foi feito com cheque e o cheque foi depositado há menos de 2 dias, então o valor ainda não
está dispońıvel na conta da empresa.
(ii) Se o pagamento foi feito com boleto e o boleto foi pago no Banco Fabril, então o valor já está dispońıvel na
conta da empresa.
(iii) Se o pagamento foi feito com boleto e o boleto foi pago em outros bancos há mais de 2 dias, então o valor já
está dispońıvel na conta da empresa.
Diga quais conclusões abaixo estão corretas a partir das informações acima, justificando:
(a) Se um cheque foi depositado há 2 dias ou mais, o valor já está dispońıvel na conta da empresa.
(b) Se um boleto foi pago hoje no Banco Fabril, o valor já está dispońıvel na conta da empresa.
(c) Se o valor de um pagamento feito ontem com boleto já está dispońıvel na conta da empresa, então o boleto foi
pago no Banco Fabril.
(d) Se o valor de um pagamento ainda não está dispońıvel na conta da empresa, o pagamento foi feito ou em cheque
ou em um boleto pago em outro banco que não o Banco Fabril.
(e) Se um pagamento com cheque ainda não está dispońıvel na conta da empresa, então o cheque foi depositado há
menos de 2 dias.
Solução:
(a) A conclusão está incorreta, pois a afirmação não pode ser conclúıda. Considere, por exemplo, um cheque que
foi depositado há 5 dias mas cujo valor ainda não está dispońıvel.
Considerando um pagamento feito com cheque, a informação (i) diz que
Se foi depositado há menos de 2 dias︸ ︷︷ ︸
m
⇒ o valor não está dispońıvel︸ ︷︷ ︸
n
.
Repare que, no exemplo dado, temos m falso e n verdadeiro e, portanto, m⇒ n será F ⇒ V , o que é verdadeiro.
Portanto, a informação dada está sendo satisfeita.
(b) A conclusão está correta, pois a afirmação pode ser conclúıda. Por (ii) todo boleto pago no Banco Fabril já
está dispońıvel, independentemente de quando foi pago.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 6
(c) A conclusão está incorreta, pois a afirmação não pode ser conclúıda. Considere um boleto pago ontem em um
banco que não seja o Fabril e cujo valor já esteja dispońıvel.
Sobre pagamento em boletos, (ii) e (iii) dizem que
Se foi pago no fabril︸ ︷︷ ︸
f
⇒ o valor está dispońıvel︸ ︷︷ ︸
d
.
Se foi pago há mais de 2 dias︸ ︷︷ ︸
a
⇒ o valor está dispońıvel︸ ︷︷ ︸
d
.
No exemplo (boleto pago ontem em um banco que não seja o Fabril com valor já dispońıvel), temos f falso, a
falso e d verdadeiro. Com isso, as informações (ii) e (iii), que são d⇒ d e a⇒ d serão verdadeiras, pois ambas
serão F ⇒ V , que é verdadeiro.
(d) A conclusão está correta, pois a afirmação pode ser conclúıda. Podemos concluir que o pagamento foi feito
ou em cheque ou em um boleto de outro banco que não o Banco Fabril, pois, caso contrário, teria sido feito com
um boleto pago no Banco Fabril e, por (ii), o valor já estaria dipońıvel.
(e) A conclusão está incorreta, pois a afirmação não pode ser conclúıda. Considere por exemplo um pagamento
com cheque feito há 5 dias e com valor ainda não dispońıvel. Com a notação do itam (a) para a informação (i),
Se foi depositado há menos de 2 dias︸ ︷︷ ︸
m
⇒ o valor não está dispońıvel︸ ︷︷ ︸
n
.
no exemplo teremos m falso e n verdadeiro. Novamente teremos F ⇒ V , o que é válido.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ