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Teorema de Stevin

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Embasamento Teórico da Equação de Pressão 
com relação à profundidade 
 
Sabendo que a pressão 𝒫 = 𝐹/𝐴 (para forças perpendiculares à superfície), 
a força pode ser dada por 𝐹 = 𝒫 ⋅ 𝐴. 
Num fluido estático, de densidade uniforme, todos os elementos de fluidos 
que o compõem também serão estáticos, estando em equilíbrio (𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 0). 
 
 
 
 
 
 
 
Em situação de equilíbrio, se espera que as forças laterais, bem como as 
verticais, se anulem. 
∴ 𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ = 0 ⟹ 𝒫𝐴 − ((𝒫 + 𝑑𝒫)𝐴 + 𝑑�⃗� ) = 0 
Como 𝜌 = 𝑑𝑚/𝑑𝑉, o elemento infinitesimal de massa é 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉. 
O volume é 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑦, então temos 𝑑�⃗� = 𝑑𝑚 ⋅ 𝑔 = 𝜌𝐴 𝑑𝑦 ⋅ 𝑔 . 
∴ 𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒫𝐴 − (𝒫 + 𝑑𝒫)𝐴 − 𝑔𝜌𝑑𝑦 𝐴 = 0 
𝒫 − 𝒫 − 𝑑𝒫 − 𝑔𝜌𝑑𝑦 = 0 ⟹ −𝑔𝜌 𝑑𝑦 = 𝑑𝒫 
⟹
𝑑𝒫
𝑑𝑦
= −𝑔𝜌 (𝑔 e 𝜌 constantes) 
Interpretando o elemento 𝑑𝒫 como uma diferença entre a pressão profunda 𝒫 e a pressão 
superficial 𝒫0, assim como 𝑑𝑦 como uma diferença entre a altura da superfície de baixo 
e a superfície de cima, temos: 
𝒫 − 𝒫0 = −𝑔𝜌(𝑦𝑓 − 𝑦𝑖) 
Se 𝑦𝑓 é mais profundo que 𝑦𝑖 (como no caso), a altura ℎ = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 < 0, dando origem a: 
𝓟 = 𝓟𝟎 + 𝝆𝒈𝒉 
𝑑𝑦 
Analisando a situação de uma maneira alternativa, temos o seguinte esboço 
de um volume preenchido com algum fluido, dando ênfase a duas áreas 
diferentes: na altura 𝑦𝑖 e na altura 𝑦𝑓. A área 1, no topo do volume contido, 
sofre uma força 𝐹1⃗⃗ ⃗ para baixo por decorrência da agitação das moléculas do 
fluido acima da altura 𝑦𝑖. Da mesma maneira, a área 2 sofre uma força 𝐹2⃗⃗⃗⃗ 
pelas moléculas abaixo de 𝑦𝑓. O volume contido de fluido ainda tem um peso 
�⃗� por abrigar alguma massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que todo o fluido está em repouso (equilíbrio estático), a resultante 
das forças é nula. 
∴ 𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹2⃗⃗⃗⃗ − 𝐹1⃗⃗ ⃗ − �⃗� = 0 
⟹ 𝐹2 = 𝐹1 + 𝑃 ⟹ 𝐹2 = 𝐹1 + 𝑚𝑔 
Lembrando que 𝜌 = 𝑚/𝑉, temos que 𝑚 = 𝜌𝑉. 
Mas como 𝑉 = 𝐴ℎ, concluímos que 𝑚 = 𝜌𝐴ℎ. 
∴ 𝐹2 = 𝐹1 + 𝜌𝑔ℎ𝐴 
 
Dividindo todos os termos por 𝐴 = 𝐴1 = 𝐴2, temos: 
𝐹2
𝐴2
=
𝐹1
𝐴1
+ 𝜌𝑔ℎ
𝐴
𝐴
 
 
⟹ 𝓟𝟐 = 𝓟𝟏 + 𝝆𝒈𝒉 
𝒚𝒊 
𝒚𝒇 
𝒉 
𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗�

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