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ESCRITA E REFLEXÃO CÁLCULO II

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CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
RICARDO NASCIMENTO CORRÊA 
 
 
 
 
 
ESCRITA E REFLEXÃO 
PROBLEMA DE APLICAÇÃO DE CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro / RJ 
Outubro de 2023 
 
 
∫ 
CM 
M 0 
1. INTRODUÇÃO. 
 
A aplicação do cálculo integral desempenha um papel fundamental em uma 
ampla variedade de campos, desde a física e engenharia até a economia e ciências 
sociais. O cálculo integral permite-nos analisar e resolver problemas complexos 
relacionados à acumulação de quantidades, taxas de variação e muitos outros 
fenômenos que envolvem mudanças contínuas. 
Vamos explorar alguns dos problemas comuns que surgem ao aplicar o cálculo 
integral, bem como os benefícios que podem ser obtidos ao superar esses desafios. 
Vamos discutir exemplos de problemas do mundo real que envolvem o cálculo integral 
e destacar a importância de dominar essa ferramenta matemática para a resolução 
eficaz de problemas em diversas áreas do conhecimento. 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA. 
 
Uma das principais aplicações do cálculo é na solução de problemas físicos. 
Podemos, por exemplo, usar o conhecimento de cálculo integral para calcularmos 
a massa de um objeto unidimensional (uma barra de comprimento L, por 
exemplo) que possui densidade de massa variável, através da expressão [1]: 
 
 
M = 
L 
ρ(x)dx. (1) 
0 
 
 
Note que se tivermos uma densidade de massa constante, não 
necessitamos do uso da integral e resgatamos a relação conhecida entre massa, 
densidade e comprimento: M = ρL. Além disso, podemos calcular também seu 
centro de massa, dado pela expressão [1]: 
 
 
x = 
 1 
∫ L 
xρ(x)dx. (2) 
 
 
Abaixo, iremos apresentar um problema de aplicação de cálculo integral que 
envolve o uso dos conceitos apresentados acima. Depois discutiremos quais 
tópicos das unidades 1 e 2 poderão ou serão utilizados na resolução, com sua 
respectiva justificativa. 
 
 
 
CM 
M 0 
0 
Situação problema: Uma haste tem comprimento L e distribuição de 
massa dada por ρ(x) = ρ0(2 − e−x/L), onde ρ0 é uma constante e x é a distancia de 
um ponto qualquer da haste até sua extremidade esquerda. Determine: a) a 
massa desse objeto; b) a posição xCM do centro de massa. 
 
ρ(x) = ρ0(2 − e−x/L) 
x 
0 L 
 
 
Posto o problema, vamos discutir os caminhos para sua resolução. 
Primeiramente, precisamos calcular a massa do objeto. Para isso, usaremos a 
distribuição de massa dada juntamente com a integral 1: 
 
M = 
∫
0
L 
ρ0(2 − e−x/L)dx. 
 
Para resolvermos a primeira parte, usaremos os conceitos de Noções de 
integrais e Integral Definida (Unidade 1), pois precisaremos integrar uma função 
constante e uma função exponencial dentro de um intervalo de integração 
definido entre 0 e L. Note que a integral possui uma soma (diferença) de dois 
termos, de modo que será feito o uso da propriedade da integral da soma 
(diferença), que atesta que a integral da soma (diferença) de funções é obtida 
pela soma (diferença) da integral de cada função. Também usaremos o conceito 
de Integral por substituição de variáveis (Unidade 2) para resolvermos o termo que 
acompanha a exponencial e−x/L. 
 
Na segunda parte, trabalharemos com a integral: 
 
 
x =
 1 
∫ L 
ρ x(2 − e−x/L)dx. 
 
 
Aqui, além dos conceitos discutidos anteriormente, precisaremos também usar a 
Integração por partes (Unidade 2) para resolvermos a integral do termo xe−x/L. 
 
 
 
 
Em resumo, montamos um problema de dificuldade média de aplicação 
de cálculo integral num problema de física, que envolve a utilização de vários 
tópicos e um bom entendimento de algumas técnicas de integração. 
 
3. CONCLUSÃO. 
 
Em conclusão, o problema de aplicação de cálculo integral é um desafio 
comum e relevante em diversas disciplinas e campos do conhecimento. Embora o 
cálculo integral seja uma poderosa ferramenta para analisar e resolver problemas 
que envolvem acumulação, variação e muitos outros fenômenos contínuos, ele 
também apresenta dificuldades e obstáculos significativos. 
No entanto, ao superar esses desafios, os benefícios são numerosos. O 
cálculo integral permite uma compreensão mais profunda dos processos contínuos e 
a capacidade de modelar e resolver problemas do mundo real de maneira precisa. 
Ele desempenha um papel fundamental em áreas como engenharia, física, 
economia, biologia e muitas outras, contribuindo para avanços tecnológicos e 
científicos. 
 
4. REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO. 
 
 
 
2009. 
[1] STEWART, James. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
 
[2] YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A., FISICA IV - ÓTICA E FÍSICA 
MODERNA, 12a ed. São Paulo, Addison Wesley, 2008.

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