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11/12/2023, 08:37 Unicesumar - Ensino a Distância about:blank 1/5 ATIVIDADE 4 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54/2023 Período:27/11/2023 08:00 a 15/12/2023 23:59 (Horário de Brasília) Status:ABERTO Nota máxima:0,50 Gabarito:Gabarito será liberado no dia 16/12/2023 00:00 (Horário de Brasília) Nota obtida: 1ª QUESTÃO Se uma função f for derivável, então f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de ordem 2), e assim por diante. As derivadas primeira e segunda de uma função carregam informações importantes, como: seja f uma função contínua no intervalo a, b e derivável em (a, b). i) Se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em a, b . ii) Se f ’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em a, b . Agora: Seja f uma função derivável em um intervalo (a, b) e seja c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ’(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada segunda em (a, b) então: i) Se f ”(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c. ii) Se f ”(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c. Fonte: adaptado de: https://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf. Acesso em: 29 ago. 2023. Sobre as aplicações das derivadas primeira e segunda para obter possíveis pontos de mínimo ou máximo de uma função, observe a função a seguir: f(x) = -x + 15.x . Ao estudar a disciplina de Cálculo, Matheus se depara com tal função e precisa saber, caso exista, qual ou quais são os pontos de mínimo e/ou de máximo dessa função f(x). Ao fazer os cálculos usando a derivada primeira e a derivada segunda da função f(x), Matheus poderá encontrar os pontos de mínimo e/ou de máximo. Caso Matheus os encontre, tais valores serão: ALTERNATIVAS 3 2 11/12/2023, 08:37 Unicesumar - Ensino a Distância about:blank 2/5 0. 10. 15. 0 e 10. 10 e 15. 2ª QUESTÃO Uma integral é dita indefinida quando não se conhece os limites de integração, ou seja, o intervalo no qual ela está sendo integrada. Exemplo: . Na integração indefinida, a função resultante será a função integrada F(x), sendo necessário somá-la a uma constante, chamada de constante de integração. Diferentemente da integral indefinida, os limites da integral definida já estão estabelecidos. Para resolvê-la, basta encontrar a integral da função em questão, e neste resultado substituir os valores dos limites superior e inferior. Como as constantes de integração são iguais, a integral definida é a subtração das funções primitivas substituídas pelos limites superior e inferior, neste caso (B e A, respectivamente). Fonte: adaptado de: https://fontana.paginas.ufsc.br/files/2017/02/Material-de-Apoio-Integrais- Metodos.pdf. Acesso em: 29 ago. 2023. Com relação às definições sobre Integral Definida, observe a função a seguir: f(x) = 5x +7x-2. Calculando a Integral Definida dessa função em relação à variável x, nos valores 0 e 2, ou seja: , teremos como resultado: ALTERNATIVAS 0. -4. 10. 14. 23. 3ª QUESTÃO Uma das aplicações da Integral de uma função f '(x) é obter a função primitiva f(x) quando se tem a derivada, ou seja, f '(x). Ao fazer um trabalho em uma empresa, João sabe que a taxa de variação instantânea, a derivada, da função receita de um produto é dada pela função R '(q) = 3q , em que R representa a receita em reais, e q representa a quantidade de produtos vendidos em unidades. João precisa saber qual é o valor da receita quando se vende 500 unidades de tal produto. Assim, João faz a Integral da função R '(q) obtendo a função R(q) e a calcula no valor 500. Fonte: adaptado de: https://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=128. Acesso em: 29 ago. 2023. Sobre o valor que João encontra após esses cálculos, assinale a alternativa correta: ALTERNATIVAS 2 2 11/12/2023, 08:37 Unicesumar - Ensino a Distância about:blank 3/5 500 + c. 125000 + c. 250000 + c. 500000 + c. 125000000 + c. 4ª QUESTÃO A aparência externa remete à borracha. Ninguém imagina, no entanto, que o pneu possa contar com tantos e variados componentes responsáveis pelo desempenho necessário para garantir, com segurança, todas as características exigidas por esse complexo produto. Ele é fabricado para rodar por milhares de quilômetros em todos os tipos de estrada, em terrenos enlameados, pistas pedregosas, desertos e até terras geladas. A proporção dos itens na composição do pneu varia de acordo com seu uso. Por exemplo, nos pneus de automóveis de passeio, que rodam em estradas pavimentadas, a borracha sintética é mais usada que a borracha natural. Nos pneus de caminhões de carga, empregados em múltiplas estradas, predomina o uso da borracha natural, por sua maior resistência aos cortes e lacerações. A presença do negro de fumo ou carbono amorfo, derivado do petróleo, é fundamental em todos os compostos de borracha, porque confere resistência à abrasão e deixa o pneu preto. Além disso, é imprescindível o uso do enxofre, elemento vulcanizante, somado com vários outros produtos químicos, catalisadores, plastificantes e cargas reforçantes. Fonte: adaptado de: https://www.anip.org.br/fabricacao/. Acesso em: 29 ago. 2023. Com relação à fabricação de pneus, a função R(q) = -0,4q +400q expressa a receita R em reais, para a venda de q unidades de um tipo de pneu. Com base na função dada, assinale a alternativa que expressa, respectivamente, a quantidade de pneus vendidos para se ter a receita máxima e o valor da receita máxima: ALTERNATIVAS Quantidade q = 100 e receita R$ 1000,00. Quantidade q = 100 e receita R$ 10.000,00. Quantidade q = 500 e receita R$ 10.000,00. Quantidade q = 500 e receita R$ 100.000,00. Quantidade q = 100 e receita R$ 1000.000,00. 5ª QUESTÃO 2 11/12/2023, 08:37 Unicesumar - Ensino a Distância about:blank 4/5 Como estudado na disciplina de cálculo, é possível determinar extremos, assim como os mínimos e/ou máximos de uma função utilizando as suas derivadas. Esses recursos podem ser úteis para se encontrar soluções de problemas que exigem os melhores valores possíveis de uma variável, e muito aplicáveis no cotidiano em problemas de otimização, otimização que é fundamental em qualquer meio aplicado afim de se descobrir mínimos ou máximos do que se está estudando ou trabalhando. Fonte: adaptado de: https://www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus/maximos_minimos_donizetti.pdf. Acesso em: 29 ago. 2023. Sobre a questão de mínimos e/ou máximos de funções, observe o gráfico a seguir. Fonte. O autor. No gráfico, consta informações sobre mínimos e máximos de uma função. Sobre as representações expressas no gráfico, analise as afirmativas a seguir. I. O maior valor da função f(x) acontece quando ela é aplicada no ponto f. II. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada segunda de f(x) calculada no ponto b, apresenta um valor positivo. III. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada segunda de f(x) calculada no ponto c, apresenta um valor positivo. IV. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada primeira de f(x), é igual a zero no ponto d. V. O menor valor da função f(x) acontece quando ela é aplicada no ponto c. É correto o que se afirma em: 11/12/2023, 08:37 Unicesumar - Ensino a Distância about:blank 5/5 ALTERNATIVAS I, apenas. I e II, apenas. II, III e IV, apenas. IV e V, apenas. I, III, IV e V, apenas.
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