APOSTILA DO LABORATÓRIO DE FÍSICA 1 - GERAL - 2014 (1)

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2014 
 
APOSTILA DO LABORATÓRIO 
FÍSICA 1 
 
FATEC - SP Página 2 
 
 
 
 
Índice 
 
 
 
 
 
 
Introdução .............................................................................................. 3 
Teoria de Erros ...................................................................................... 5 
1ª Experiência : Medidas Físicas ......................................................... 23 
2
a
 Experiência: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ......... 32 
3ª Experiência: Mesa de Força ............................................................ 38 
4ª Experiência: Molas .......................................................................... 44 
5ª Experiência: Força de Atrito ........................................................... 50 
6ª Experiência: Equilíbrio Estático do Corpo Rígido-Escada ............. 56 
7ª Experiência: Equilíbrio Estático do Corpo Rígido-Barra................64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATEC - SP Página 3 
 
Introdução 
Esta apostila contém os roteiros das seis experiências que serão desenvolvidas no 
decorrer do semestre. Cada roteiro é formado por uma parte introdutória, que aborda de 
maneira sucinta as leis físicas e os conceitos que serão usados no experimento, procedimento 
experimental e folhas de respostas. Nestas folhas de respostas serão colocados os cálculos e 
resultados obtidos relativos a quatro experiências que constituirão os exercícios de 
laboratório. Para as duas experiências restantes, o aluno não fará uso da folha de respostas, 
pois serão efetuados relatórios que deverão conter: objetivo, material utilizado, introdução 
teórica, procedimento experimental, cálculos, gráficos, resultados obtidos, conclusão e 
bibliografia. 
 Recomenda-se que o aluno leia cada roteiro antes das aulas de laboratório e que não se 
esqueça de trazer a apostila, sem a qual não conseguirá realizar a experiência. 
 Cada turma de laboratório será dividida em dois grupos que terão aulas 
quinzenalmente, alternadamente. 
No final do semestre, haverá uma prova de laboratório sobre os experimentos 
realizados ao longo do semestre. Ficará a critério do professor, decidir se a prova será prática 
ou teórica. 
 
Cálculo da média da disciplina de Física 1 
ML = nota de laboratório M1 = nota de Física sem exame 
P = nota da prova de laboratório R = média dos 2 relatórios 
EL = média dos 4 exercícios de laboratório (L1, L2, L3, L4) 
T = nota de teoria M = nota de Física com exame 
EX = nota do exame 
𝑴𝑳 = 𝟎, 𝟒𝑬𝑳 + 𝟎, 𝟑𝑹 + 𝟎, 𝟑𝑷 
 
 
 
 
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Critérios de Avaliação 
Se ML < 6,0  Automaticamente reprovado 
𝑴𝟏 = 𝟎, 𝟕𝑻 + 𝟎, 𝟑𝑴𝑳 
Se M1  6,0 
Se M1 < 6,0 
 
 Aprovado 
 Reprovado 
 
 
 
 
 
 
Corpo Docente 
Cezar Soares Martins (Coordenador do 
Laboratório de Física) 
 
Douglas Casagrande 
Edson Moriyoshi Ozono 
Eduardo Acedo Barbosa 
Eraldo do Cordeiro Barros 
Francisco Tadeu Degasperi 
João Carlos Botelho Carrero 
João Mongelli Netto 
José Augusto Martins Garcia 
Luciana Kazumi Hanamoto 
Luciana Reyes Pires Kassab (Diretora) 
Marcia Tiemi Saito 
Norberto Helil Pasqua (Responsável pela 
Disciplina de Física) 
Osvaldo Dias Venezuela 
Regina Maria Ricotta 
Renato Marcon Pugliese 
Roberto Verzini 
Valdemar Bellintani Jr. 
 
Auxiliares Docentes 
Domenico Paulo Bruno Cainelli 
Tiago Henrique Silva 
 
Estagiários 
Diego Rocha Ferreira 
Julio Cesar Justo 
Rafael Fernando Cardoso 
Vitor Minet Araújo 
 
William Yuiti Watanabe 
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Teoria de Erros 
 
Introdução 
 
As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou 
combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de 
medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do operador. 
A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com as mesmas 
precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os resultados achados não 
são em geral idênticos. 
Ao fazermos a medida de uma grandeza física, achamos um número que a caracteriza, 
cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja, toda medida física deve ser acompanhada de 
uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem universal. Além disto, para 
combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar 
quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os dados 
experimentais. 
 
Algarismo Significativo 
 
Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que são corretos e o 
primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza que depende dos 
fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do instrumento, maior será o número 
de algarismos significativos que podem e devem ser usados. 
Exemplo: 
Sejam as medidas do comprimento de uma peça efetuadas com uma mesma régua por 
três observadores diferentes. Os valores obtidos são: 
 
 
 
 
 
Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da vírgula diferem, pois suas 
avaliações dependem da perícia de cada observador. Portanto, não podemos saber qual é o 
resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida quanto aos 
 12,3 cm 12,4 cm 12,6 cm 
CORRETO 
DUVIDOSO 
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algarismos que antecedem à vírgula (1 e 2). Desta forma, 1 e 2 são algarismos corretos e 3, 
4 e 6 são os duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos. 
A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma 
transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos significativos, dos 
quais o dígito 8 é duvidoso: AB = 12,8 cm = 0,128 m = 128 mm. 
 
Regras de aproximação 
 
Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando, 
deliberadamente, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes 
regras: 
I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda. 
II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é 
acrescido de uma unidade. 
Exemplo: 
a) 1,0234 arredondado 1,023 
b) 1,0235 arredondado 1,024 
c) 1,0236 arredondado 1,024 
 
Incerteza Absoluta 
 
A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em exprimi-
la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma peça: 
 L    = (13,4  0,1 ) cm 
 
onde  é o valor medido e  é a incerteza da medida. 
Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, sobre o qual reside a 
incerteza da medida. Sendo assim,  0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada incerteza 
absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores compreendidos 
entre 13,3 cm e 13,5 cm, onde 13,4 cm é o mais provável. 
O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura no 
instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela deve ser 
expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método estatístico, 
conforme será visto. 
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Incerteza Relativa 
 
A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da 
grandeza, isto é: 


 
Incerteza Percentual 
 
A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza 
percentual e é dada por: 
 
 
Classificação dos Erros 
 
Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu verdadeiro 
valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente impossível. Podemos obter, 
entretanto, após uma série de medidas, um valor que mais se aproxima do real. O erro 
absoluto de uma medida é definido como sendo a diferençaentre o valor medido e o aceito 
como verdadeiro. O erro relativo é dado pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro, 
em módulo, isto é: 
E
valor valor
valorr
verdadeiro medido
verdadeiro


 
O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é dado 
por: 
E Er%  100 
Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que dependem do 
método de medida, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que limitam 
a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem sistemática e acidental 
e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir. 
Erro Sistemático 
 
São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes 
de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros 
100


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sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a 
medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos. 
 
Erros Acidentais 
 
São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável. 
Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são: 
 Imperícia do operador. 
 Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma 
grandeza por vários observadores. 
 Erros de paralaxe. 
 Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um 
cronômetro). 
 Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, 
aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições). 
 Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de 
conseguir um valor mais representativo. 
Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador. 
 
 
Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais 
 
Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma grandeza, 
devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados experimentais. Passaremos 
a discuti-lo a seguir. 
Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um certo 
grupo ou conjunto de objetos, denominado população. 
Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa 
cidade ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é uma parte da população, 
selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões com relação a 
uma população. 
Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar várias 
características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se repete. A 
distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os valores mais 
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prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos 
valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado valor médio da 
grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza, ou seja, a sua dispersão. 
 
Média Aritmética 
 
Há várias formas para se mensurar o valor médio de uma grandeza ou o mais provável. 
Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor representa a grandeza 
observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A média aritmética de um conjunto 
de medidas é dada por : x
x
n
i
i
n



1
 , onde n é o nº total de medidas e xi é o valor de cada 
medida. 
Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por outros 
parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média harmônica. Nesta apostila, 
tais parâmetros não serão estudados. Desta forma, quando for mencionado valor médio, 
estaremos nos referindo à média aritmética. 
 
Desvio 
 
Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Desta 
forma, a diferença x xi  não é definida como erro. Quando se conhece o valor mais provável 
falamos em desvio: x x xi i  . Desvio é a diferença entre o valor medido e a média 
aritmética. 
 
Dispersão 
 
A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de 
medidas. Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do valor 
médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno do valor 
médio, isto é, qual é a dispersão das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os 
parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão. 
 
Desvio Médio 
 
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O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao valor 
médio. 
Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média aritmética 
dos desvios: 


x
x x
n
x
n
i
i
n
i
i
n



 
 
1 1
 
Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética, menor será a 
dispersão e portanto o desvio médio. 
 
Desvio Padrão 
 
Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média 
aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao valor 
médio, isto é: 
 2
2
1
1




 ( )x x
n
i
i
n
 
 
n = número total de xi na população. 
O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância: 
 
 



 x x
n
i
i
n
2
1
1
 
 
Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana, 
conforme mostra a figura abaixo, temos: 
 
 
 68,3% dos pontos estão no intervalo x  desvio padrão 
 95,45% dos pontos estão no intervalo x  2 desvio padrão 
 99,73% dos pontos estão no intervalo x  3 desvio padrão 
 
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freqüência
 
Desvio Padrão da Média 
É o valor 𝑛 vezes menor que o desvio padrão do conjunto de medições. Essa 
grandeza representa a incerteza final nas medições quando desconsideramos erros 
sistemáticos, sua expressão é: 
𝜎𝑚 =
𝜎
 𝑛
 
Propagação de Incertezas 
Muitas grandezas físicas são obtidas de maneira indireta, quando seus valores finais 
dependem de uma expressão matemática para calculá-las. As grandezas que compõem a 
expressão são afetadas de incertezas que se combinam e afetam o resultado final. Em outras 
palavras, temos uma “Propagação de Incertezas”. 
Considerando uma grandeza G como uma função de outras grandezas 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, ou seja: 
𝐺 = 𝐺 𝐴, 𝐵, 𝐶, … 
Considerando que as incertezas sejam 𝜎𝐴 , 𝜎𝐵 , 𝜎𝐶 , …, caso os erros entre as grandezas sejam 
independentes
1
, a incerteza padrão de G será: 
𝜎𝐺
2 = 
𝜕𝐺
𝜕𝐴
 
2
𝜎𝐴
2 + 
𝜕𝐺
𝜕𝐵
 
2
𝜎𝐵
2 + ⋯ 
 Em que os termos 
𝜕𝐺
𝜕𝐴
,
𝜕𝐺
𝜕𝐵
, … , correspondem às derivadas parciais da função G, isto é, 
as derivadas com respeito à variável A, B, ..., tomadas de forma independente. 
 
1
 A fim de simplificar, o caso mais geral, em que as incertezas são dependentes, não será tratado. 
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Para uma função de uma variável temos: 
𝜎𝐺
2 = 
𝜕𝐺
𝜕𝐴
 
2
𝜎𝐴
2 
A tabela abaixo resume algumas das principais expressões para a propagação de 
incertezas de diferentes tipos de funções: 
Tabela 2: Incertezas para algumas formas de funções 
𝑮 = 𝒇 𝑨, 𝑩, 𝑪,… 𝝈𝑮 
 𝐺 = 𝐴 ± 𝐵 ± ⋯ 𝜎𝐺² = 𝜎𝐴
2 + 𝜎𝐵
2 + ⋯ 
𝐺 = 𝑘 ∙ 𝐴𝛼 ∙ 𝐵𝛽 ∙ 𝐶𝛾 ∙ … 
 
𝜎𝐺
𝐺
 
2
= 
𝜎𝑘
𝑘
 
2
+ 𝛼
𝜎𝐴
𝐴
 
2
+ 𝛽
𝜎𝐵
𝐵
 
2
+ 𝛾
𝜎𝐶
𝐶
 
2
+ ⋯ 
𝐺 = 𝑘 ∙ 𝐴 𝜎𝐺 = 𝑘 ∙ 𝜎𝐴 
𝐺 = 𝐴𝑚 𝜎𝐺 = 𝑚𝐴
𝑚−1 ∙ 𝜎𝐴 
𝐺 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝜎𝐺 = 𝑐𝑜𝑠𝐴 ∙ 𝜎𝐴 (𝜎𝐴 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠) 
𝐺 = 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝜎𝐺 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 𝜎𝐴 (𝜎𝐴 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠) 
 
Os valores 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝑘 e m na tabela acima são constantes. 
Na equação da tabela, os termos 
𝜎𝑘
𝑘
,
𝜎𝐴
𝐴
, … são as incertezas relativas, conforme a 
definição 
Exemplos de Aplicação 
 
Exemplo 1 
Calculeo volume de uma esfera cujo raio é dado por 232,0 ± 0,1 𝑚𝑚. 
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋 ∙ 𝑟3 =
4
3
∙ 𝜋 ∙ 232,0 3 ≅ 52.306.127𝑚𝑚3 
 
Utilizando a expressão da tabela 2: 𝐺 = 𝑘 ∙ 𝐴𝛼 ∙ 𝐵𝛽 , comparando temos que 𝑘 = 
4
3
, 
A= 𝜋, 𝛼 = 1, 𝐵 = 𝑟, 𝛽 = 3 
Assim temos: 
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𝜎𝑉
𝑉
 
2
= 
𝜎𝐾
𝐾
 
2
+ 𝛼
𝜎𝐴
𝐴
 
2
+ 𝛽
𝜎𝐵
𝐵
 
2
 
Substituindo os valores: 
 
𝜎𝑉
𝑉
 
2
= 
𝜎
 
4
3
 
4
3
 
2
+ 1
𝜎𝜋
𝜋
 
2
+ 3
𝜎𝑟
𝑟
 
2
 , como 
𝜎
 
4
3
 
4
3
= 0, 𝑒 
𝜎𝜋
𝜋
= 0 
 
Então: 𝜎𝑉 = 𝑉 3
𝜎𝑟
𝑟
 
2
= 52.306.127𝑚𝑚3 3
0,1
232,0
 
2
 
𝜎𝑉 = 67.637,23𝑚𝑚
3 = 0,7 × 105𝑚𝑚3 
𝑉 = 523,1 ± 0,7 × 105𝑚𝑚3 
 
Exemplo 2: Em uma experiência, foram encontrados para a posição o valor de 
𝑆 = 10,0 ± 0,5 𝑐𝑚 e para a aceleração o valor de 𝑎 = 1,68 ± 0,08 𝑐𝑚/𝑠2. Através da 
equação abaixo, encontre o valor do tempo t e sua respectiva incerteza. 
𝑆 =
𝑎𝑡2
2
 
Resolução: 
𝑡 = 
2𝑆
𝑎
= 
2 × 10,0
1,68
= 3,4503𝑠 
𝑡 = 
2𝑆
𝑎
 
1/2
= 2𝑆 1/2 × 𝑎 −1/2 = 2 × 𝑆1/2 × 𝑎−1/2 
 
𝜎𝑡
𝑡
 
2
= 
𝜎( 2)
 2
 
2
+
1
4
 
𝜎𝑆
𝑆
 
2
+ −
1
2
𝜎𝑎
𝑎
 
2
 =
1
4
 
𝜎𝑆
𝑆
 
2
+ 
𝜎𝑎
𝑎
 
2
 
Portanto: 
𝜎𝑡 =
𝑡
2
 
𝜎𝑆
𝑆
 
2
+ 
𝜎𝑎
𝑎
 
2
 
Substituindo os valores: 
𝜎𝑡 =
3,45
2
 
0,5
10,0
 
2
+ 
0,08
1,68
 
2
 ≅ 0,12𝑠 
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Portanto, o valor do tempo é 𝑡 = 3,45 ± 0,12 𝑠. 
 
Exemplo 3: Para uma barra cujo momento de Inércia seja dado por: 𝐼 =
𝑚𝐿2
3
 
 Utilizando a segunda expressão da tabela 2: 𝐺 = 𝑘 ∙ 𝐴𝛼 ∙ 𝐵𝛽 , por comparação, temos 
que: 𝑘 =
1
3
, 𝐴 = 𝑚, 𝛼 = 1, 𝐵 = 𝐿 𝑒 𝛽 = 2. Assim, a expressão para o quadrado do desvio 
relativo fica: 
 
𝜎𝐼
𝐼
 
2
= 
𝜎 1 3 
 1 3 
 
2
+ 1
𝜎𝑚
𝑚
 
2
+ 2
𝜎𝐿
𝐿
 
2
 
Como 
𝛿 1 3 
 1 3 
 = 0, então: 
𝜎𝐼 = 𝐼 
𝜎𝑚
𝑚
 
2
+ 2
𝜎𝐿
𝐿
 
2
 
O período de oscilação de um pêndulo-barra é: 𝑇 = 2𝜋 
𝐼
𝑚𝑔𝑅
, podemos reescrevê-la da 
forma: 
𝑇 = 2𝜋𝐼1/2𝑚−1/2𝑔−1/2𝑅−1/2 
Utilizando o mesmo procedimento adotado anteriormente, temos: 
 
𝜎𝑇
𝑇
 
2
= 
1
2
𝜎𝐼
𝐼
 
2
+ −
1
2
𝜎𝑚
𝑚
 
2
+ −
1
2
𝜎𝑔
𝑔
 
2
+ −
1
2
𝜎𝑅
𝑅
 
2
 
e portanto: 
𝜎𝑇 =
𝑇
2
 
𝜎𝐼
𝐼
 
2
+ 
𝜎𝑚
𝑚
 
2
+ 
𝜎𝑔
𝑔
 
2
+ 
𝜎𝑅
𝑅
 
2
 
 
Instrumentos de Medida 
 
O resultado da leitura deve incluir todos os dígitos que o instrumento de medida 
permite ler diretamente e o dígito que deve ser estimado pelo observador. Por exemplo, na 
leitura de uma régua graduada em milímetros, o resultado deve incluir a fração de milímetro 
que é estimada pelo observador. 
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O erro limite de um instrumento de medida deve ser indicado pelo fabricante do 
instrumento, que é o responsável por sua construção e sua calibração. É importante observar 
que, mesmo que um dado instrumento seja perfeitamente calibrado na sua construção, esta 
calibração pode sofrer variação com o tempo devido a fatores diversos. Para instrumentos 
mais sofisticados, o erro limite geralmente é indicado em manuais fornecidos pelo fabricante. 
Entretanto, no caso de instrumentos analógicos mais simples, isto não ocorre e o erro limite 
pode ser estimado a partir da seguinte regra geral: o erro limite do instrumento de medida 
pode ser admitido como a metade da menor divisão indicada pelo instrumento de medida. 
Para instrumentos digitais, o erro é dado pela menor leitura do instrumento. 
 
Paquímetro 
 
Utilizamos o paquímetro para medir pequenos comprimentos, diâmetros internos, 
externos e profundidades. 
 O instrumento é formado uma escala fixa principal, e uma escala móvel auxiliar, o 
nônio, que permite medir a fração da escala principal. Ele é construído de maneira que suas n 
divisões correspondam a menor divisão da escala principal. 
 
 
O paquímetro abaixo apresenta 1 mm como menor divisão. O nônio, por sua vez, tem 
50 divisões, isto é, cada divisão do nônio corresponde a 0,02 mm, o que fornece a precisão do 
equipamento. 
 
FATEC - SP Página 16 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o 
paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da escala principal. 
As medidas com o paquímetro são efetuadas da seguinte forma: 
 A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas. Tais 
esperas devem ficar completamente encostadas na peças. 
 O comprimento da peça é dado pelo no na escala principal correspondente à 
posição imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este número um 
décimo do valor lido no nônio que melhor coincide com algum número da escala 
principal. A figura que segue ilustra o que foi explicado. 
 
 
 
 
Micrômetro 
 
Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos. 
Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos, 
entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será usado no 
laboratório. 
O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é 
colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma horizontal e a 
outra vertical, conforme figura que segue. 
 
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Suponhamos que a escala vertical (nônio) tenha n = 50 divisões. Na escala horizontal, 
a menor divisão equivale a 0,5 mm. Assim, a precisão será dada por 
P
n
mm mm 
0 5
50
0 01
,
, , 
ou seja, cada divisão do nônio corresponde a 0,01 mm. 
A seguir apresentamos exemplos de leituras efetuadas com micrômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos e Análises Gráficas 
 
 
- escala horizontal = 13 mm 
- escala vertical = 25  0,01 = 0,25 mm 
- leitura = 13,25 mm 
 - escala horizontal = 17 + 0,5 = 17,50 mm 
 - escala vertical = 22  0,01 = 0,22 mm 
 - leitura = 17,72 mm 
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As leis físicas são expressas por equações matemáticas, que contém variáveis 
dependentes entre si. Seja a equação abaixo, onde a velocidade depende da variável 
independente t: 
 v t x a t( ) . 0 
Esta equação nos mostra que a dependência entre v e t é linear. Esta linearidade é 
melhor observada por um gráfico v(t) e é traduzida por uma reta. 
Por convenção, a variável dependente é colocada ao longo do eixo y (vertical) e é 
denominada ordenada; a variável independente é colocada no eixo x ( horizontal) e chama-se 
abcissa. 
As incertezas devem ser também incluídas nos gráficos. A figura que segue apresenta 
um gráfico para a função v(t) = 6t. Neste gráfico foi traçada uma reta média, a partir de cinco 
pontos e suas respectivas barras de erro, associadas à incerteza da velocidade. Cabe ressaltar 
que os pontos que muito se afastam da reta média podem se desprezados ou medidos 
novamente. 
 
 
 
 
Exemplo: v(t) = 6
.
t 
  
 t 
} v 
 
 t s  v m s 
0 0 2 
1 6 2 
2 15 2 
3 20 2 
4 24 2 
 
 
 
FATEC - SP Página 19 
 
 
Caso os valores colocados nos gráficos sejam muito grandes ou pequenos, devemos 
escolher um fator que permita o uso de no máximo dois dígitos para os eixos. Este fator deve 
ser colocado entre parênteses, juntamente com a unidade associada ao eixo em questão. 
Para o gráfico da função v(t)  6t podemos calcular o coeficiente angular (b) que é 
numericamente igual à aceleração, ou seja, 
 b
v
t
v v
 








( ) ( )
,
3 0
3 0
20 0
3 0
6 67 
 
Desta forma a aceleração é dada por: a = 6,67 m/s
2
. 
Conforme mostra a figura da página 18, a aceleração pode também ser calculada 
através do seguinte procedimento: 
 Trace duas retas paralelas (r1 e r2) à reta média, pelas extremidades das barras de 
erros associadas aos pontos mais distantes da reta média. Feche o quadrilátero, 
com retas perpendicularesà reta média de tal forma que todos os pontos 
experimentais fiquem dentro do mesmo. 
 Trace as diagonais do quadrilátero (d1 e d2). 
 Calcule o coeficiente angular das diagonais. 
 O novo valor da aceleração será numericamente igual a: 
 
b b1 2
2

 onde b1 e b2 são os coeficientes angulares das diagonais d1 
e d2 respectivamente (onde b1 > b2). 
 A incerteza da aceleração será dada por: 
b b1 2
2

 
 
 
 
FATEC - SP Página 20 
 
 4 3 2 1
 25
 20
 15
 6
 0
 RM
 d1
 d2
 r1
 r2
 t (s)
 v (m/s)
 LEGENDA
RM = reta média
r1 e r2 = retas paralelas à reta média, que envolvem todos
os pontos experimentais, formando um quadrilátero
d1 e d2 = diagonais do quadrilátero, cujos coeficientes
angulares, fornecerão os valores de 1 e 2. 
 
Exercícios 
 
1. Um técnico de laboratório, com um cronômetro, obteve os dados abaixo, referentes ao 
período de um pêndulo de torção, em segundos. 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
T 6,315 6,320 6,325 6,328 6,338 6,314 6,330 6,340 6,337 6,322 
 
Escreva o valor mais provável do período com o respectivo desvio; procure a equação 
do período do pêndulo de torção em livros. 
 
2. A constante elástica da associação em série de duas molas, de constantes k1 e k2 é dada por: 
k
k k
k ks


1 2
1 2
.
 
 
Considerando que k1= (2,8  0,2) gf/mm e k2 = (1,7  0,3)gf/mm. Determine a 
constante elástica da associação e sua incerteza relativa. 
 
 
 
FATEC - SP Página 21 
 
3. Controle Estatístico de Processo, CEP 
 Ao realizarmos uma série de medidas de uma grandeza podemos observar com que 
freqüência ocorre cada valor ou um grupo de valores da grandeza. A distribuição das 
freqüências tem três características principais: 
 Indica os valores mais prováveis e menos prováveis (Probabilidade de 
Ocorrência) 
 Indica a tendência de certos valores se concentrarem em torno de um 
determinado valor (Valor médio) 
 Indica o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza (Dispersão) 
 Quando temos uma série de medições de uma mesma grandeza podemos fazer um 
Histograma, que é um gráfico, que pode representar no eixo das abcissas as próprias Medidas 
e no eixo das ordenadas as Freqüências relativas. Podemos fazer um Histograma 
representando as Freqüências relativas (ordenadas) em função do Desvio (abscissas) de cada 
medida. Ver figuras 1 abaixo. 
 
 
Figura 1 A Figura 1 B 
 
 Meça os diâmetros (D) de 50 bolinhas de chumbo, com um micrômetro 
analógico, preencha a Tabela 1 e calcule o desvio padrão das medidas; 
 

 



 D D
n
i
i
n
2
1
1
 
 
 Faça os Histogramas da freqüência em função do diâmetro e do desvio. 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4,7 4,8 4,9 5 5,1
F
re
q
u
ê
n
c
ia
Diâmetro (mm)
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 
Desvio (mm)
 
 
FATEC - SP Página 22 
 
 
Tabela 1: Medida dos diâmetros de 50 bolinhas de chumbo e seus respectivos desvios 
D (mm)  D Di  D Di
2
 D (mm)  D Di  D Di
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D mm  
 
 que você pode concluir a respeito do processo de produção das bolinhas e o sistema 
de controle de qualidade do fabricante ?