relatório do experimento de eratóstenes

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Reproduzindo o experimento de Eratóstenes 
Alexssandro Oliveira de Matos 
CEFET/RJ – campus Nova Friburgo 
 
 
Resumo 
Esse relatório aborda um experimento realizado por mim mesmo, cujo objetivo 
central era reproduzir o método utilizado por Eratóstenes para calcular a 
circunferência da terra. Para chegar em um valor bem próximo do exato usei a 
mesma ideia de Eratóstenes, acrescido de alguns recursos tecnológicos e 
estatísticos para diminuir a margem de erro das medidas obtidas. Ao fim do 
experimento obtive o valor de (40.003,89 ± 117,65) km, valor bem próximo do 
exato que é de 39.916 km (se encontra dentro do intervalo de incerteza). 
Palavras-chave: Eratóstenes. Experimento. Circunferência. 
 
 
Introdução 
Apesar de diversas afirmações de que a Terra é plana atualmente, estudos 
científicos de mais de dois mil anos já provavam que a terra possui um formato 
esférico com os polos um pouco achatados. Um dos principais estudos foram 
feitos por Eratóstenes de Cirene (256 a.C - 194 a.C), chefe da Biblioteca de 
Alexandria, que foi o responsável por calcular a circunferência da terra. 
Eratóstenes não possuía muitos recursos na época que realizou o experimento, 
no entanto, ele conseguiu obter o valor de 39.700 km de circunferência do 
Equador. Esse valor é bem próximo do exato que é de 40.075 km 
 
Modelo teórico 
Primeiramente, temos que considerar as ferramentas utilizadas por Eratóstenes 
para calcular a circunferência da terra. Através de documentos da biblioteca de 
Alexandria, Eratóstenes descobriu que o zênite solar (momento em que o sol 
está no ponto mais alto no céu) estaria na cidade de Siena no dia 21 de junho 
as 12h. Eratóstenes sabia que nessa data e hora em Siena os raios solares 
estavam exatamente paralelos a um poço e, consequentemente, não fazia 
nenhuma sombra. Ao fincar uma estaca perpendicular ao solo em Alexandria no 
dia e na hora do zênite em Siena, Eratóstenes percebeu que a estaca produzia 
sombra. Com essas informações, ele usou conceitos básicos de geometria para 
realizar o cálculo da circunferência. 
 
Figura 1 – Esquema geométrico da ideia de Eratóstenes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura retirada do site guiatech. 
 
 
Eratóstenes formou um triângulo retângulo, onde a altura H da estaca e o 
comprimento X da sua sombra representava os catetos. Com isso ele utilizou a 
tangente para obter um dos ângulos que era igual ao ângulo formado pelo arco 
AÔS, na qual A é a cidade de Alexandria, S é a cidade de Siena e O é o centro 
do planeta. 
tan θ = (𝟏) θ = tan (𝟐) 
 
Após obter o ângulo θ e saber o valor de L, que é a distância de Alexandria a 
Siena, Eratóstenes utilizou uma relação trigonométrica para encontrar a 
circunferência da terra. 
L
C
=
θ
2π
 
Onde C é o valor da circunferência da terra. 
Resolvendo a regra de três, obtem-se: 
C =
2πL
θ
 (𝟑) 
 
Vale destacar que Eratóstenes não utilizou nenhum método estatístico para 
mensurar o quão preciso o valor encontrado foi. No entanto, no experimento que 
eu realizei, levei em consideração os cálculos de incertezas para as medidas 
encontradas. Chamei de 𝜎 , 𝜎 , 𝜎 , 𝜎 e 𝜎 as incertezas do comprimento da 
sombra do objeto, da altura do objeto, da distância entre o zênite e o local do 
experimento, do ângulo e da circunferência da terra nessa ordem. 
 
Para calcular a incerteza do ângulo, vamos utilizar a seguinte equação: 
σ = . σ (4) , onde θ representa a função (2) 
 
É importante mencionar que a incerteza do ângulo será apenas em relação à 
altura do objeto medido. 
Para o cálculo da incerteza da distância, usamos a noção de média e a de desvio 
padrão: 
(𝟓) σ =
1
(n − 1)
 (x − x ) , Com 𝐿 =
∑ 𝐿
𝑛
 (𝟔) 
 
Por fim, para calcular a incerteza da medida da circunferência, temos: 
𝜎 =
𝜕𝐶
𝜕𝐿
. 𝜎 +
𝜕𝐶
𝜕𝜃
. 𝜎 (𝟕) 
Onde a função C (L,θ) é representada em (3). 
Também vamos utilizar o teste z, na qual: 
𝑧 =
𝐶 − 𝐶
𝜎
 (𝟖) 
Onde 𝐶 é o comprimento exato da circunferência da terra nos polos. 
 
Procedimento experimental 
Diferentemente da época de Eratostenes, nos dias de hoje, podemos encontrar 
o zênite a qualquer momento do dia através de meios tecnológicos. Portanto, 
não precisamos esperar até o dia 21 de junho para realizar o experimento. 
A princípio, para realizar o experimento, esperei até o meio-dia de um dia 
ensolarado, fixei um pedaço de cano pvc em um solo plano, usei um esquadro 
para garantir que o objeto estava normal ao solo e utilizei uma fita métrica para 
medir a altura do cano e o tamanho da sua sombra. Usei o google maps para 
encontrar o local do experimento e obtive as coordenadas 21°59'12.2"S 
42°15'28.4"W. para encontrar o zênite, utilizei o site timeanddate e obtive as 
coordenadas 19°38'00.0"N 49°53'00.0"W. Por fim usei as informações 
encontradas para calcular a distância L entre o zênite e o local do experimento 
por meio do google maps. Como a distância depende de um clique de mouse 
preciso, calculei a média e o desvio padrão de três distâncias diferentes para 
obter uma distância média e a sua incerteza. 
As medidas citadas acima se encontram na tabela a seguir: 
 
MEDIDA VALOR 
Altura do cano pvc (H) (67,5 ± 0,1) cm 
Sombra do cano pvc (X) (61,0 ± 0,2) cm 
Distância 1 (𝐿 ) 4.654,5 km 
Distância 2 (𝐿 ) 4.680,3 km 
Distância 3 (𝐿 ) 4.701,3 km 
 
 
Tratamento de dados 
Com os valores mencionados acima, podemos realizar os cálculos necessários. 
Primeiramente, vamos obter o ângulo θ utilizando a equação (2). 
θ = tan
X
H
 ∴ θ = tan
61,0
67,5
= 0,2339124335π rad 
 
Com a equação (4) obtêm-se a incerteza do ângulo θ. Lembrando que a 
incerteza será apenas em relação à altura do cano pvc. 
σ =
∂θ
∂H
. σ ∴ σ =
∂ (tan
X
H
)
∂H
. σ = 
= −
61,0
(61,0) + (67,5)
. (0,1) = −
61,0
8277,25
. 0,01 = 
= 0,0000005431 = 0,0007369532𝜋 𝑟𝑎𝑑 
Então, θ= (0,2339124335 ± 0,0007369532)𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
 
Agora vamos obter a medida da distância L e a sua incerteza usando (5) e (6): 
𝐿 =
∑ 𝐿
𝑛
=
4.654,5 + 4.680,3 + 4.701,3
3
= 4678,7 
σ =
1
(n − 1)
 L − L
=
1
(3 − 1)
 (4.678,7 − 4654,5) + (4.678,7 − 4.680,7) + (4.678,7 − 4.701,3) 
1
2
[585,64 + 4 + 510,76] = 550,2 ≅ 23,5 𝑘𝑚 
Portanto, L= 𝐿 ± σ = (4.678,7 ± 23,5) km 
Possuindo todos esses valores foi possível, finalmente, realizar o cálculo da 
circunferência da terra de maneira análoga a Eratóstenes. Utilizando a equação 
(3), obtemos: 
C =
2πL
θ
=
2π 4.678,7
0,2339124335π
= 40.003,89 
Também precisamos calcular a incerteza 𝜎 por meio da equação (7). 
𝜎 =
𝜕𝐶
𝜕𝐿
𝜎 +
𝜕𝐶
𝜕𝜃
𝜎 
=
2𝜋
𝜃
(23,5) + (2𝜋𝐿 ln 𝜃) (0,0007369532) 
=
,
(552,25) + 1.824.008.461,5416 (0,0000005431) = 
= 12.851 + 1.824.008.461,5416 (0,0000005431) = 117,65 𝑘𝑚 
 
Assim, conseguimos obter a circunferência da terra e a sua incerteza. Por conta 
de o zênite estar localizado ao norte do local do experimento, a circunferência 
encontrada está de acordo com os polos do planeta. 
C= (40.003,89 ± 117,65) km 
Resultados e conclusão 
Após obter o valor de (40.003,89 ± 117,65) km para a circunferência da terra nos 
polos, podemos concluir que o resultado está bem próximo do valor exato, que 
é de 39.916 km. Note que o valor exato se encontra dento do intervalo de 
incerteza. 
Podemos calcular a acurácia da medida através do teste z: 
𝑧 = 𝑍 = . , .
,
=
,
,
≅ 0,74705 
 
Como z < 1, a medida pode ser considerada compatível. 
Vale ressaltar que o valor encontrado poderia estar mais próximo do exato se as 
medidas encontradas fossem ainda mais precisas, isto é, se não houvesse erros 
no instrumento de medida e nos objetos utilizados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
HTTPS://WWW.FACEBOOK.COM/HELIOANDROIDE. Eratóstenes e a Esfericidade 
da Terra - GuiaTECH. Disponível em: <https://guiatech.net/eratostenes-e-a-
esfericidade-da-terra/>. Acesso em: 24 maio. 2022.VUOLO, José Henrique. Fundamentos da teoria de erros. 2. ed. , rev. e amp. São 
Paulo: Blucher, c1996. 249 p., il. Inclui bibliografia e índice. ISBN 9788521200567 
(broch.) 
DOS, C. matemático, gramático, poeta, geógrafo, bibliotecário e astrónomo 
grego. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes>. Acesso em: 
24 maio. 2022. 
timeanddate.com. Disponível em: <https://www.timeanddate.com/>. Acesso em: 24 
maio. 2022. 
GOOGLE MAPS. Google Maps. Disponível em: <https://www.google.com.br/maps/>. 
Acesso em: 24 maio. 2022.