Aula 6 -Projeto de Lajes Especiais

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14/03/2023, 16:48 Projeto de Lajes Especiais
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Projeto de Lajes Especiais
Prof.ª Larissa Camporez Araújo
Descrição
Propriedades e características das lajes nervuradas, lajes steel deck, lajes bubbledeck e lajes protendidas.
Propósito
O conhecimento de possibilidades variadas do elemento laje para a escolha da melhor opção para o sistema do projeto
estrutural é de grande importância para a formação do engenheiro civil.
Objetivos
Módulo 1
Lajes nervuradas
Empregar em projeto a laje nervurada do tipo treliçada.
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Módulo 2
Projeto de lajes em steel deck
Aplicar cálculos para o projeto de lajes em steel deck.
Módulo 3
Sistema de lajes bubbledeck
Reconhecer o sistema de lajes bubbledeck.
Módulo 4
Lajes protendidas
Analisar um projeto de laje em concreto protendido.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos de projeto de lajes especiais.
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1 - Lajes nervuradas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar em projeto a laje nervurada do tipo treliçada.
Vamos começar!
Como empregar em projeto a laje nervurada do tipo treliçada
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Lajes unidirecionais de vigotas pré-moldadas: introdução e
de�nições

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Neste conteúdo, serão considerados pavimentos simples, econômicos e que resultam em boas soluções para pequenos e
médios vãos – caso de casas, sobrados e prédios pequenos com fins residenciais e comerciais.
Nessas situações, é crescente o emprego de lajes nervuradas com vigotas pré-moldadas, em vez de utilizar sistemas de lajes
maciças em concreto armado. A imagem a seguir ilustra uma foto da execução de um projeto residencial com laje nervurada
pré-moldada treliçada unidirecional com enchimento de poliestireno expandido (EPS), conhecido popularmente como “isopor”.
Lajes nervuradas pré-moldadas treliçadas com enchimento de EPS (poliestireno expandido)
Estudaremos as lajes nervuradas unidirecionais com vigotas pré-moldadas de dois tipos: “trilho” e “treliça”, que são utilizadas
para vencer pequenos e médios vãos com cargas não muito elevadas. As normas brasileiras que tratam dessas lajes são a
ABNT NBR 14859:2002 e a ABNT NBR 14860:2002.
Essas lajes são formadas por vigotas (elementos pré-moldados), material de enchimento (geralmente, blocos cerâmicos ou
de “isopor”) e por uma capa de concreto moldada no local.
Veja os exemplos a seguir:
Lajes tipo a) trilho e b) treliça.
Laje tipo trilho e treliça
A imagem ilustra de forma esquemática as lajes tipo trilho e tipo treliça.
Modelo de armação da vigota da laje treliçada.
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Modelo de armação
A imagem ilustra um modelo de armação da vigota de uma laje treliçada.
Vigotas treliçadas.
Vigotas treliçadas
A imagem ilustra uma foto com várias vigotas treliçadas.
Segundo a ABNT NBR 14859-1:2002, existe uma diferença entre as lajes pré-fabricadas unidirecionais e as vigotas pré-
fabricadas, veja:
Lajes pré-fabricadas unidirecionais
São lajes nervuradas constituídas por nervuras principais longitudinais, dispostas em uma única direção.
Vigotas pré-fabricadas
São constituídas por concreto estrutural, construídas fora do local de utilização, em indústrias ou no canteiro de obras
sob rigoroso controle de qualidade.
O concreto engloba parcial ou totalmente a armadura inferior de tração. As vigotas pré-fabricadas podem ser:
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Laje pré-fabricada com vigotas de concreto armado (LC).
De concreto armado
Com seção de concreto usualmente formando um “T” invertido, com armadura passiva totalmente englobada pelo concreto
da vigota (são utilizadas para compor lajes de concreto armado – LC).
Laje pré-fabricada com vigotas de concreto protendido (LP).
De concreto protendido
Com seção de concreto usualmente formando um “T” invertido, com armadura ativa pré-tensionada totalmente englobada
pelo concreto da vigota (são utilizadas para compor lajes de concreto protendido – LP)
Laje pré-fabricada com vigotas treliçadas (LP).
Treliçadas
Com seção de concreto formando uma placa, com armadura treliçada (de acordo com a ABNT NBR 14862:2002),
parcialmente englobado pelo concreto da vigota. Dependendo dos esforços, pode ser necessária a complementação da
armadura passiva inferior de tração, que é totalmente envolvida pelo concreto da nervura. São utilizadas para compor as
lajes treliçadas (LT).
As principais vantagens são: não gastar fundo e pouco escoramento. E, entre as principais desvantages, podemos citar a
dificuldade na execução das instalações prediais e os valores dos deslocamentos transversais, que são bem maiores do que
os da laje maciça.
De acordo com a ABNT NBR 14859-1:2002, em lajes treliçadas, na impossibilidade de ser colocada na vigota treliçada toda a
armadura passiva inferior de tração necessária, é admitida a armadura longitudinal complementar. Também, de acordo com
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essa norma, deve ser colocada uma armadura de distribuição posicionada na capa de concreto, nas direções transversal e
longitudinal, para a distribuição de tensões oriundas de cargas concentradas e para o controle de fissuração.
A armadura de distribuição deve ter, no mínimo, uma área de para aços e de para aços
CA50 e CA60 e tela soldada com no mínimo três barras por metro.
Carvalho (2014) apresenta sete etapas para a execução dessas lajes:
0, 9cm2/m CA − 25 0, 6cm2/m
Etapa 1
É realizado o nivelamento e acerto do piso e execução do escoramento e das guias mestres que devem ser
colocadas em espelho. Nesta etapa, quando necessário, são posicionadas as contraflechas.
Etapa 2
É realizada a colocação das vigotas, posicionando o material de enchimento, que pode ser lajota, EPS ou outro
nas extremidades como gabarito do espaçamento entre vigotas. Podemos ter duas situações:
Apoio das vigotas sobre a estrutura de concreto armado (vigas): as vigotas devem ser apoiadas sobre as
formas, após estarem alinhadas, niveladas, escoradas e com a armadura colocada e posicionada; devem
penetrar nos apoios pelo menos 5cm e no máximo igual à metade da largura da viga; neste caso, a
concretagem da viga e da capa de concreto são simultâneas.
Apoio das vigotas diretamente sobre alvenaria: deve-se respaldar a alvenaria e distribuir uma ferragem sobre
ela para se formar uma cinta de solidarização; as vigotas devem penetrar nos apoios de modo semelhante ao
anterior, e a concretagem da cinta também deve ser simultânea à capa.
Etapa 3
É realizada a colocação dos elementos de enchimento, tubulação elétrica, caixas de passagem etc.
Etapa 4
É realizado o posicionamento das armaduras de distribuição e, quando necessárias, as negativas, conforme
indicação do projetista ou do fabricante. As armaduras negativas devem ser apoiadas e amarradas sobre a
armadura de distribuição e colocadas transversalmente às vigotas principais.
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A próxima imagem ilustra, esquematicamente, as lajes caracterizadas por nervuras, formadas pela vigota e pelo concreto,
moldando o local até a meia distância entre as duas vigotas adjacentes alinhadas segundo apenas uma direção, por isso,
denominadas de lajes nervuradas unidirecionais.É possível obter uma laje com nervuras em duas direções, com uso de
vigotas e calhas pré-moldadas.
Detalhes construtivos de lajes pré-moldadas.
Determinação das �echas e esforços
Etapa 5
É realizada a limpeza cuidadosa da interface entre as nervuras e o concreto que será lançado, retirando do local:
areia, pó, terra, óleo e qualquer substância que pode prejudicar a transferência de esforços entre as superfícies
de contato. Essa interface deve ser mantida úmida, porém, sem acúmulo de água.
Etapa 6
É realizada a concretagem da capa de concreto que deve ser adensado suficientemente para que penetre nas
juntas entre as vigotas e os elementos de enchimento. Também deve-se efetuar boa cura, molhando bem a
superfície do concreto por pelo menos três dias após a concretagem.
Etapa 7
É realizada a retirada do escoramento que deve ocorrer aproximadamente após quinze dias do lançamento do
concreto. Nos edifícios de múltiplos pavimentos, o escoramento da laje de piso só pode ser retirado após o
término da laje imediatamente superior.
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Cálculo das �echas
O cálculo de flechas é um fator de extrema importância no dimensionamento das lajes com vigotas pré-moldadas. Iremos
efetuar o cálculo considerando as vigotas com comportamento isolado, e assim estaremos a favor da segurança. O efeito da
fluência no concreto (deformação ao longo do tempo sob ações perpendiculares) deve ser considerado na avaliação da flecha
final, conforme solicita a ABNT NBR 6118:2014. Para o cálculo da flecha, o efeito elástico do concreto para a situação de
vigotas simplesmente apoiadas nas extremidades é dada por:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a ação atuante em uma nervura;
 é o vão do tramo da nervura, medido entre os eixos das vigas de apoio;
 é o módulo de elasticidade do concreto;
 é a inércia média.
Momento �etor e modelo para o cálculo da armadura
A próxima imagem mostra os diagramas de momento fletor da região central do pavimento. Na placa (laje maciça), temos o
menor valor. Na nervura (laje pré-moldada), o valor é intermediário; e, em elemento isolado, temos o maior valor de momento.
Diagrama de momento fletor na região central da placa.
Como o valor do momento fletor máximo em elementos isolados é próximo ao apresentado na nervura, utilizaremos a
equação a seguir para o dimensionamento das lajes nervuradas.
Rotacione a tela. 
f =
5 ⋅ p ⋅ l4
384 ⋅ Ec ⋅ Im
p
l
Ec
Im
Mma ́x =
p ⋅ l2
8
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Em que:
 é a ação atuante em uma nervura;
 é o vão do tramo da nervura, medido entre os eixos das vigas de apoio;
Para o modelo de cálculo de laje, adotaremos uma seção transversal em forma de “T” como ilustrado na próxima imagem.
Lembrando que deve ser colocada uma armadura ante a face superior do piso nas regiões de apoio das nervuras para limitar a
abertura das fissuras, mesmo que as nervuras sejam calculadas como simplesmente apoiadas.
De acordo com a ABNT NBR 14859-1:2002, as vigotas devem ter uma largura mínima que resulte em uma nervura com largura
mínima de 4,0cm. E a ABNT NBR 6118:2014 diz que a espessura da nervura não pode ser inferior a 5cm para lajes nervuradas
moldadas no local.
Esquema da seção transversal da laje e o respectivo modelo adotado.
Com base nesse modelo, na prática, é possível tabelar os resultados obtidos, a fim de que o engenheiro possa usar
determinada laje pré-moldada sem efetuar todo o cálculo. Porém, esse procedimento não é o mais adequado. O melhor é que
o projetista efetue o dimensionamento para cada situação que se apresente.
Veri�cação ao cisalhamento
As lajes podem precisar de armadura transversal para resistir aos esforços de tração devido à força cortante. Ou seja, se a
força cortante de cálculo , a uma distância da face do apoio, for menor ou igual à resistência de projeto ao
cisalhamento , para situação sem armadura de protensão temos:
Rotacione a tela. 
Sendo que é a tensão resistente de cálculo ao cisalhamento; e 
é a armadura longitudinal total de todas as nervuras existentes no trecho considerado; é a altura útil das nervuras; é a
soma das larguras das nervuras no trecho considerado, lembrando que em lajes é usual utilizar uma faixa de largura igual a
1,0 m; e é um coeficiente que tem os seguintes valores:
Para elementos em que 50% da armadura inferior não chegam até o apoio: ;
Para os demais casos: , não menor que , com em metros.
p
l
(Vsd) d
(VRd1)
Vsd ≤ VRd1 = [τRd ⋅ k ⋅ (1, 2 + 40 ⋅ ρ1)] ⋅ bw ⋅ d
τRd = 0, 25. fctd = 0, 25. fctk,inf/γc ρ1 =
As1
bw⋅d
≤ 0, 02;As1
d bw
k
k = |1|
k = |1, 6 − d| |1| d
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Critérios para escolha da laje pré-moldada
Para determinar a altura e a armadura de uma laje, é preciso, primeiramente, conhecer as ações que irão atuar sobre ela. A
determinação das ações atuantes na laje foi apresentada anteriormente.
Na determinação do tipo de laje, a razão da escolha de vigotas pré-moldadas é a economia de fôrmas e por isso não é
conveniente variar muito sua geometria. É possível, uma vez fixada a geometria, a armadura e a resistência do concreto,
determinar os momentos resistidos e assim obter o vão máximo empregado. Dessa forma, o engenheiro pode escolher o tipo
de lajes sem calculá-las.
A tabela a seguir apresenta os vãos livres máximos para laje pré-moldada tipo trilho com apoio simples e intereixo de 33cm de
acordo com o tipo/altura da laje e a carga aplicada. Sendo a carga total aplicada.
Tipo de
laje
Altura (cm)
0,5 1 2 3,5 5 8 10 12
9,5 4,2 4 - - - - - -
11 4,5 4,3 4,1 3,5 2,7 - - -
15 5,7 5,5 5,3 4,5 3,4 - - -
20 6,9 6,8 6,5 5,7 4,6 3,3 2,7 -
25 8,3 8,1 7,9 6,7 5,5 4 3,3 2,9
30 - - 9 8,7 8,4 6,2 5,3 4,6
35 - - 10,3 9,9 9,6 7,2 6,2 5,4
Tabela 1: Vãos livres máximos (metros)para laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples – intereixo de 33cm.
Carvalho (2014, p. 95)
O uso de tabelas como a apresentada não é suficiente para a realização de um bom projeto, pois não fornece a área de
armadura necessária nem considera a condição de deformação excessiva. A altura da laje é determinada pelo momento fletor
máximo ou pela flecha-limite.
Exemplos
p
p (kN/m²)
β9,5
β11
β15
β20
β25
β30
β35
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Exemplo 1
(CARVALHO, 2014, p. 102-103) Escolha uma laje pré-moldada para a laje do terraço, cuja planta de fôrmas está indicada na
imagem a seguir. Suponha que o terraço não tem acesso ao público e que o revestimento superior e inferior
 é de 1,5cm.
Planta de fôrmas do exemplo 1.
Direção das nervuras
A direção usual para as nervuras é a menor, no caso .
Ações atuantes
Terraço sem acesso ao público (ABNT NBR 6120:2019): 
Revestimento inferior mais superior (3cm): 
Escolha da laje
É calculada de acordo com a tabela a seguir.
Altura total da laje Peso próprio
(forro)
10 1,1 3,5 m -
12 1,41 5,0 m 4,5 m
14 1,5 6,0 m 5,5 m
(γ = 19kN/m3)
l = 3, 0m
q = 2, 00kN/m2
g2 = 0, 03.19 = 0, 57kN/m
2
Ptotal  = 2, 57kN/m
2
(cm) (kN/m²)
p < 1, 0 kN/m²
2, 0kN/m2 < p < 5, 0kN/m2
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Altura total da laje Peso próprio
(forro)
16 ou maior 1,61 - 5,5\ m
Tabela 2: Alturas iniciais para laje pré-moldada em função de carga e vãos livres máximos.
Carvalho (2014, p. 98).
Para a carga de e , de acordo com a tabela, teremos uma altura total de laje igual a
 e peso próprio de . A altura da capa de concreto será obtida a partir da tabela a seguir.
Altura
total da
laje (cm)
- 11 12 13 14 15 16 17 20 21 24 25
Espessura
mínima
da capa
resistente
(cm)
3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5
Tabela 3: Espessuramínima da capa para as alturas totais padronizadas.
Carvalho (2014, p. 99).
Logo, a espessura considerada para a capa será de 4cm.
Exemplo 2
Calcular, para o exemplo anterior, a reação da laje nas vigas.
Com o processo simplificado e :
Vigas V101 e V102
Rotacione a tela. 
Vigas V103 e V104
(cm) (kN/m²)
p < 1, 0 kN/m²
2, 0kN/m2 < p < 5, 0kN/m2
> >
Ptotal  = 2, 57kN/m
2 l = 3, 0m
12cm (β12) 1, 41kN/m
2
(lx = 3, 0m ly = 5, 0m)
pV 101 = pV 102 =
Plaje  ⋅ lx
2
=
(1, 41 + 2, 57) ⋅ 3, 0
2
= 5, 97kN/m
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Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Para o problema anterior, qual a carga que a viga V101 transmite ao pilar P1, considerando o processo simplificado? Admita
que a viga é de concreto aparente com largura de 25cm e que sobre ela há um parapeito de tijolos cerâmicos 
) de 1,5m de altura e que o aço empregado é o CA50.
Altura da viga V101
Rotacione a tela. 
Considerando 3cm de cobrimento da armadura chega-se a uma altura total de . Adota-se, então, .
Carga na viga V101
Peso próprio do parapeito: 
Peso próprio da viga: 
Carga proveniente da laje: 
Total: 
Reação do pilar P1
Rotacione a tela. 
pV 103 = pV 104 =
0, 25 ⋅ Plaje  ⋅ ly
2
=
0, 25(1, 41 + 2, 57) ⋅ 5, 0
2
= 2, 49kN/m
(γ = 18kN/m3
d ≥
l
Ψ2Ψ3
≥
5, 0
1, 0.17
= 0, 29m
h = 0, 32m h = 35cm
g2 = 0, 25 ⋅ 1, 5.18 = 6, 75kN/m
g1 = 0, 25 ⋅ 0, 35.25 = 2, 19kN/m
Pl = 5, 97kN/m
Pt = 14, 91 ≅15kN/m
RP1 =
15, 0 × 5
2
= 37, 5kN
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
As lajes nervuradas treliçadas são formadas por _________________ (elementos __________________),
________________________ e ____________________.
Marque a opção que preenche a frase acima de forma correta.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
As lajes nervuradas treliçadas são formadas pelas vigotas pré-moldadas, materiais de enchimentos como lajotas e EPS e
uma capa de concreto moldada in loco. Também é posicionada sobre as vigotas uma malha de aço afim de evitar a
fissuração do concreto.
Questão 2
O cálculo de flechas é muito importante no dimensionamento das lajes com vigotas pré-moldadas devido às
deformações desse sistema. Dada a viga a seguir e a equação, marque a opção que apresenta a flecha, sem considerar
os efeitos da fluência, sabendo que o módulo de elasticidade da viga é e o momento de inércia é .
A vigotas, pré-moldados, material de enchimento, capa de concreto
B capas de concreto, pré-moldados, armadura ativa, material de enchimento
C vigotas, moldados in loco, material de enchimento, capa de concreto
D materiais de enchimento, de concreto, armadura passiva, capa de concreto
E capas de concreto, moldados in loco, armadura ativa, material de enchimento
24GPa 1, 07 ⋅ 10−3m4
f =
5 ⋅ p ⋅ l4
384 ⋅ Ec ⋅ Im
A 0,41cm.
B 0,52cm.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
2 - Projeto de Lajes em steel deck
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para o projeto de lajes em steel deck.
Vamos começar!
C 0,63cm.
D 0,74cm.
E 0,85cm.
f =
5 ⋅ 20 ⋅ 103 ⋅ 54
384 ⋅ 24 ⋅ 109 ⋅ 1, 07 ⋅ 10−3
=
62500 ⋅ 103
9861, 12 ⋅ 106
= 6, 3 ⋅ 10−3m = 0, 63 cm
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Cálculos para o projeto de lajes em steel deck
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
De�nições, comportamento, materiais e dimensões
De�nições
As lajes chamadas de steel deck são lajes mistas de aço e concreto, também conhecidas como lajes com fôrma de aço
incorporada. A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a laje constituída por uma fôrma de aço nervurada conformada
a frio, sobre a qual é lançado o concreto estrutural. Como pode ser visto na próxima imagem, a fôrma de aço possui mossas
ou reentrâncias para assegurar a aderência com o concreto. Perto da face superior do concreto é posicionada uma armadura
em tela soldada a fim de evitar a ocorrência de fissuras ocasionadas por retração ou variações de temperatura.
Laje steel deck ou laje mista de aço e concreto.
Essas lajes apresentam diversas vantagens, como: facilidade de instalação, dispensa de escoramento e de desforma, alta
velocidade construtiva, possibilidade da fôrma de aço funcionar como plataforma de serviço e proteção dos operários do
andar inferior. Entre as desvantagens, podemos citar: necessidade de maior quantidade de vigas perpendiculares às nervuras
da fôrma para suporte da laje mista (geralmente vigas secundárias) e, por questões estéticas, a necessidade de utilização de
forros suspensos. A imagem a seguir ilustra um edifício com a utilização de lajes steel deck, onde podem ser vistas as fôrmas
de aço usadas como plataforma de serviço.
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Forma de aço usada como plataforma de serviços.
Comportamento
Nas lajes steel deck, as fôrmas de aço devem ser capazes de suportar as ações atuantes, na fase inicial, durante a
construção. A fase inicial compreende o tempo anterior ao concreto atingir 75% da resistência característica à compressão
. Já na fase final, a fôrma de aço e o concreto constituem um único elemento estrutural para suportar as ações durante a
vida útil da construção. Vale lembrar que a fôrma trabalha como a armadura positiva da laje na direção das nervuras.
Temos dois tipos de formas:
Trapezoidais
As fôrmas trapezoidais precisam de mossas para garantir a aderência dessa fôrma com o concreto.
Reentrantes
Nas fôrmas reentrantes, a aderência é garantida pelo atrito entre o aço e o concreto, potencializado pelo confinamento
(fck)
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do concreto entre as nervuras.
Materiais e dimensões
Atualmente, no Brasil, existem apenas fabricantes de fôrmas trapezoidais com altura nominal das nervuras variando
entre 50mm e 75mm. Com essas medidas, teremos no projeto final uma altura total variando entre 100mm e 200mm ( 
é medida da face inferior da fôrma ao topo do concreto).
O concreto precisa ter altura mínima de 50mm acima do topo das nervuras. Normalmente, o agregado utilizado é a brita
1, que apresenta a dimensão máxima de 25mm. Em algumas situações, nas quais temos uma densidade maior de armadura,
utiliza-se a brita 0. A imagem a seguir apresenta as dimensões de uma laje mista de aço e concreto.
Dimensões da laje mista.
A armadura em tela soldada deve possuir área de seção transversal mínima de 0,1% da área de concreto acima do topo da
fôrma e ter seu eixo posicionado, aproximadamente, 20mm abaixo da face superior da laje.
Dica
No catálogo da Metform, empresa especializada no ramo, é possível encontrar as especificações das telas soldadas a serem
utilizadas.
As fôrmas de aço são fabricadas com chapas finas de aço estrutural que atendam o disposto na ABNT NBR 14762:2011 e é
interessante que sejam galvanizadas em suas duas faces. Em ambientes agressivos, além da galvanização, é recomendada
uma pintura apropriada na face exposta ao meio externo.
O concreto precisa ter altura mínima de 50mm acima do topo das nervuras. Normalmente, o agregado utilizado é a brita
1, que apresenta a dimensão máxima de 25mm em algumas situações. Onde temos uma densidade maior de armadura,
utiliza-se a brita 0.
Dimensionamento da laje mista
As cargas a serem suportadas pela fôrma na fase inicial estão listadas a seguir.
Pesopróprio: Do concreto fresco, da forma, da malha de aço e de eventuais armaduras adicionais.
(hf)
(ht) ht
(hc)
(hc)
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Sobrecarga de construção: Carga uniformemente distribuída com valor característico mínimo de .
Efeito de empoçamento: Para casos em que o deslocamento no centro do vão da forma, calculado com o seu peso próprio
somado ao do concreto fresco, ultrapasse o valor de , onde é o vão teórico da laje na direção das nervuras. É
considerado um acréscimo na espessura nominal do concreto de do valor do deslocamento.
A sobrecarga de construção deve ser substituída por uma carga linear de 2,2 kN/m perpendicular à direção das nervuras, na
posição mais desfavorável, se for mais nociva, na verificação da fôrma ao momento fletor. Há alguma complexidade nos
cálculos na fase inicial, por isso, os fabricantes das fôrmas fornecem tabelas de dimensionamento que podem ser usadas
com simplicidade.
Já na fase final, temos a ação de uma carga uniformemente distribuída suportada pelo sistema misto de aço e concreto. E os
seguintes estados-limite últimos são aplicáveis, veja a seguir os estados-limite últimos em função de cargas uniformemente
distribuídas.
Charneira plástica
É a plastificação de uma linha da laje na direção perpendicular às nervuras pela ação do momento fletor.
Cisalhamento vertical
É o colapso por cisalhamento vertical, causado pela força cortante.
Cisalhamento longitudinal
É o colapso por cisalhamento longitudinal (na direção das nervuras), causado pela força cortante.
1kN/m2
LF/250 LF
70%
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Tabelas de dimensionamento para as fases inicial e �nal
Em Fakury et al. (2016), as tabelas apresentadas para o desenvolvimento do dimensionamento das fases inicial e final são
referentes as fôrmas MF-50 e MF-75 (formas da Metform), conforme ilustra o manual do fabricante disponível no site da
empresa, envolvendo as fases inicial e final, respectivamente. Nessas tabelas, iremos obter o vão máximo sem escoramento,
que pode ser simples, duplo, triplo, ou ainda, um balanço. Veja!
Vãos simples
A fôrma é simplesmente apoiada.
Vãos duplos
A fôrma é contínua sobre dois vãos consecutivos.
Vãos triplos
A fôrma é contínua sobre três vãos consecutivos.
Cada vão tem o seu comprimento indicado no quadro. Se o vão do projeto for maior que o vão da tabela, é necessária a
realização de escoramento para a concretagem.
Para a fase final temos a obtenção da máxima carga uniformemente distribuída sobreposta que pode atuar em determinado
vão. Nessa fase, a laje é considerada simplesmente apoiada. Para uso das tabelas, deve-se saber que:
O peso próprio da laje é pressuposto considerando o concreto com massa específica de ;
O concreto tem resistência entre 20 MPa e 50 MPa;
As cargas sobrepostas são características e não incluem o peso próprio da laje mista;
As lajes com altura total de 100mm para MF-50 e 130mm para a MF-75 devem ser utilizadas apenas para laje de forro.
Para evitar problemas localizados (enrugamento da alma da fôrma ou esmagamento do apoio), as fôrmas MF-50 devem se
apoiar em vigas com comprimento mínimo de 50mm nos apoios externos e de 100mm nos apoios internos. Repare as MF-75
em comprimento de 75mm e 150mm, respectivamente, na próxima imagem:
Comprimentos mínimos de apoio das fôrmas de aço.
2400kg/m3
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Dimensionamento da laje mista aos estados-limite de serviço
Na fase inicial, sem escoramento da forma, o deslocamento máximo sob os valores característicos dos pesos próprios,
desconsiderando a sobrecarga de construção, não deve exceder ou 20mm, o que for menor.
Na fase final, considerando apenas os efeitos das ações variáveis, o deslocamento vertical das lajes mistas não pode ser
maior que:
Rotacione a tela. 
Exemplos de aplicação
Facury et al. (2016) propõem dimensionar uma laje mista (steel deck) de piso com espaçamento entre as vigas de suporte
igual a 2,80 m (próxima imagem) para suportar uma sobrecarga característica de e carga de revestimento de
. O concreto a ser utilizado possui resistência característica de 30 MPa.
Planta de fôrma do exemplo.
Solução
Primeiro, constata-se que a resistência característica do concreto de 30 MPa está dentro da faixa permitida que vai de 20 MPa
até 50 MPa.
Carga característica sobreposta aplicada à laje: 
Saiba mais
Consultando as tabelas do catálogo da Metform para vão da laje mista de 2,80m e a carga calculada, encontramos diversas
opções de lajes para serem utilizadas como piso. Considerando apenas as soluções com a menor espessura da forma,
0,80mm, temos as seguintes lajes que podemos aplicar, veja.
Lf
180
Lf
350
4kN/m2
1, 1kN/m2
p = 4 + 1, 1 = 5, 1kN/m2
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Entre as alternativas, a que apresenta o menor peso próprio é a fôrma MF-75, com altura total da laje de 140mm. Como temos
75mm de altura de forma, teremos 65mm de altura de concreto acima da nervura.
Na próxima imagem, verificamos que, para dispensar o escoramento durante a construção, deve-se ter, no mínimo, vãos
duplos. Para vão simples, é necessário escoramento.
Identificação dos vãos máximos sem escoramento.
Na laje adotada é preciso usar uma tela soldada Q-75 (como na próxima imagem) para evitar
fissuras oriundas de retração ou variações de temperatura, situadas a aproximadamente 20mm da sua face superior.
Quadro para consumo de concreto e armadura de retração.
Na imagem a seguir, veja um exemplo de uso de tela soldada para evitar fissuras oriundas de retração ou variações de
temperatura, situadas a aproximadamente 20mm da sua face superior.
Posicionamento da tela soldada, concreto e telha-forma.
(ϕ3, 8 × ∅3, 8 − 150 × 150)
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Marque a opção que apresenta a correta definição para as lajes chamadas de steel deck.
A
Lajes de aço leve conformadas a frio, cujas formas que apresentam mossas ou reentrâncias fazem parte
da laje.
B
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Parabéns! A alternativa B está correta.
São lajes mistas de aço e concreto, com forma de aço incorporada. A forma de aço possui mossas ou reentrâncias para
assegurar a aderência com o concreto.
Questão 2
As lajes steel deck apresentam duas fases para o suporte das cargas: inicial e final. A seguir são realizadas algumas
afirmações a respeito do suporte das cargas.
I. As cargas do concreto fresco, da forma, da malha de aço e de eventuais armaduras adicionais são suportadas pela
forma na fase inicial.
II. A sobrecarga de construção com valor característico mínimo de é suportada pela forma na fase inicial.
III. O efeito de empoçamento é uma carga de suporte da fase final.
IV. Na fase final, as cargas aplicadas são suportadas apenas pelo concreto.
São corretas:
Lajes mistas de aço e concreto, cuja forma é incorporada à laje e apresenta características para assegurar
a aderência com o concreto.
C
Lajes em concreto pré-moldado, cuja forma de madeira é aderida à laje formando um sistema de maior
rigidez.
D
Lajes mistas de aço e concreto pré-moldado de grandes dimensões e que necessitam de guindaste para
sua montagem.
E
Lajes formadas por vigotas de aço e com material de enchimento (tipo: tijolos cerâmicos e EPS) que
apresentam facilidade na montagem.
1kN/m2
A apenas as afirmativas I, II.
B apenas as afirmativasII, III.
C apenas as afirmativas III, IV.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
As cargas devido ao efeito de empoçamento são suportadas pela forma na fase inicial e as cargas, na fase final, são
suportadas pelo sistema misto de aço e concreto.
3 - Sistema de lajes bubbledeck
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o sistema de lajes bubbledeck.
Vamos começar!
Como reconhecer o sistema de lajes bubbledeck
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
D apenas as afirmativas I, II, III.
E afirmativas I, II, III e IV.

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Considerações sobre lajes bubbledeck
Antes de iniciar o estudo das lajes bubbledeck é importante ressaltar que, embora não tenhamos uma norma brasileira
específica para essas lajes, estudos têm mostrado que elas apresentam os requisitos de segurança e qualidade conforme as
especificações da ABNT NBR 6118.
A bubbledeck surge como uma grande opção para construções sustentáveis e uma alternativa às
lajes mais comuns como de concreto armado maciço, nervurado e até mesmo steel deck. Ela é
caracterizada pela colocação de bolas/esferas ocas de polipropileno que não reagem com o
concreto na região onde a laje é tracionada e por isso não teria a necessidade do preenchimento
com concreto.
Isso também ocorre nas lajes nervuradas e nas lajes steel deck. Porém, as esferas da bubbledeck são feitas a partir da
reutilização de plásticos usados nas próprias construções, reduzindo a emissão de gases e a quantidade de materiais
utilizados. Por isso, esse sistema de laje ganhou o prêmio de Selo Verde.
A imagem a seguir ilustra os três tipos de laje bubbledeck. Veja:
Tipos de laje em bubbledeck.
A primeira imagem ilustra o tipo A. Tem-se uma camada inferior com espessura de 60mm de concreto que necessita de um
guindaste para erguê-la. Geralmente, é utilizada nos novos projetos por ser de fácil instalação e é ideal para acomodar tubos e
partes de instalações elétricas e hidráulicas. É possível realizar aberturas na laje mesmo após a sua finalização.
Já o tipo B do sistema bubbledeck, representado na imagem do meio, são módulos que englobam o reforço de bolha.
Geralmente, é utilizado em reformas e consiste na instalação de bolhas in loco, não necessitando de guindaste. No sistema B,
a laje é concretada em duas etapas, e é necessária a confecção de fôrmas na parte inferior.
A terceira imagem representa as lajes de tipo C, montadas fora do canteiro de obras e entregues conforme o projeto final.
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É um método dinamarquês que, embora pouco utilizado no Brasil, é bem popular no restante do
mundo: já foram construídos mais de um milhão de metros quadrados. Consiste em unir o vazio
gerado pela colocação das esferas plásticas junto à malha de aço no interior da laje de concreto,
armada em duas direções.
Além de ser caracterizada como uma boa alternativa sustentável devido à redução dos impactos ambientais, também
apresenta redução de custos e tempo de construção.
O sistema apresenta diversas vantagens: arquitetônicas, de engenharia, para o desenvolvedor, para o construtor e para o meio
ambiente. Algumas outras estão descritas a seguir.
Liberdade arquitetônica – Pode apresentar qualquer forma. Vence grandes vãos e balanços, com consequente liberdade de
projeto para os arquitetos;
Comportamento biaxial – Permite alterações como a adição de aberturas e escadas adicionais. Não são necessárias vigas,
tendo uma laje completamente plana e mais leve;
Baixo peso próprio – As esferas ocas incorporadas na laje reduzem o peso em até 35% em relação a uma laje maciça com a
mesma capacidade de carga;
Grandes vãos– Devido à sua leveza e biaxialidade, pode alcançar grandes vãos em todas as direções;
Industrializada – Possibilidade de ser industrializada, diante da redução dos prazos de execução e custos indiretos;
Redução do custo – Devido à redução da utilização de aço e concreto;
Potencial– Alto potencial de isolamento térmico e acústico;
Cálculo fácil – Pode ser dimensionada como uma laje maciça, pelos mesmos métodos; É testado e calculado de acordo
com as normas internacionais (Eurocodes EC2, ACI, BS 8110 e AS3660);
Possibilidade de lajes termoativas.
Veja na imagem a seguir exemplos da liberdade arquitetônica que esse tipo de sistema apresenta:
Exemplos de obras com Lajes bubbledeck.
Na próxima imagem é possível ver a montagem de uma laje termoativa.
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Montagem de laje termoativa.
Pré-dimensionamento
O sistema de lajes bubbledeck é composto por pilares, pré-lajes em concreto armado montados sobre escoramento metálico
e com posterior complemento de concreto (capeamento), como pode ser visto na imagem a seguir.
O cálculo apresenta os mesmos princípios estruturais de uma laje maciça convencional, trabalhando nas duas direções, mas
com até 35% de redução do seu peso próprio.
Montagem de uma laje no sistema bubbledeck.
A Bubbledeck (2021) apresenta as seguintes informações técnicas para esse sistema, veja:
Informações técnicas.
A distância entre as esferas de polipropileno deve ser 1/9 maior que seu diâmetro e a espessura da laje varia de acordo com o
vão a ser vencido e da tipologia de cada projeto.
Para o dimensionamento dessas lajes, no Brasil, é utilizada como referência a ABNT NBR 6118, considerando a laje de
concreto armado maciça. É importante desconsiderar os vazios devido ao posicionamento das esferas ocas que não
apresentam função estrutural. Alguns autores relataram a deficiência em relação à resistência e à punção nas ligações da laje
com o pilar. Uma solução é, nessas regiões, retirar as esferas e dimensionar a laje maciça.
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A tabela a seguir apresenta as propriedades das lajes de acordo com os diâmetros das esferas. Esses dados são importantes
para realizar o projeto no sistema bubbledeck, pois consta o espaçamento entre intereixos das esferas, a quantidade de
esferas por , os fatores de redução da carga e a espessura mínima a ser adotada para a laje.
Diâmetro da esfera
(mm)
180 225 270 315
Mínimo intereixo
das esferas (mm)
200 250 300 350
Número de esferas
(m²)
25 16 11 8,16
Espessura mínima
da laje (mm)
230 280 340 400
Redução de carga
por esfera (kN)
0,08 0,15 0,26 0,41
Redução máxima
de carga (kPa)
1,91 2,39 2,86 3,34
Tabela 4: Propriedades de acordo com o diâmetro da esfera.
Bubbledeck internacional, 2021, n. p.
A partir dessas informações, podemos realizar um pré-dimensionamento da altura da laje e as dimensões das esferas.
Exemplo de dimensionamento
Oliveira (2020) propõe o estudo de dimensionamento que avalia a viabilidade do sistema construtivo de bubbledeck em uma
edificação residencial de dois pavimentos com pé-direito de 3m e uma área de , conforme ilustra a próxima imagem.
Planta baixa do exemplo.
Para o dimensionamento de lajes bubledeck, considera-se uma redução de do peso em relação à laje lisa maciça. No
cálculo da flecha, foi considerado o fator de 0,9EI (módulo de elasticidade momento de inércia).
m2
241, 8m2
35%
×
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Primeiramente, Oliveira (2020) realizou o dimensionamento da bubbledeck com 230mm, 285mm e 340mm, ou seja, BD230,
BD285 e BD340, já que são espessuras usuais para o tipo de projeto adotado. Adotou-se um concreto de classe C25 usinado.
O tipo de bubbledeck utilizado foi o B, sem a pré-laje. Foram utilizados osaços CA-50 e CA-60 com malhas inferiores e
superiores espaçadas a cada 10cm e 15cm, respectivamente.
Para determinar o consumo de volume de concreto no sistema, foi adotado o apresentado na imagem de informações
técnicas. Logo, os resultados foram:
nformações técnicas
Para concluir o dimensionamento, Oliveira (2020) utilizou o software CypeCAD, embora a técnica não esteja presente. O
sistema foi calculado como laje nervurada e com os parâmetros da laje bubbledeck.
BD230 → 0, 15m3
BD285 → 0, 19m3
BD340 → 0, 23m3
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
As _______________ de ____________ podem ser feitas de materiais reciclados e são utilizadas nas lajes bubbledeck na
região de ______________o. Essas lajes são uma opção para as construções _______________.
A sequência de palavras correta é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
A esferas ocas, polipropileno, tração, sustentáveis
B vigas, concreto, tração, sustentáveis
C esferas ocas, concreto, neutralidade, rápidas
D vigas, polipropileno, neutralidade, flexíveis
E pilares, aço, compressão, rápidas
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O que caracteriza as lajes bubbledeck é a presença de esferas ocas de polipropileno, material que pode ser obtido por
meio de reciclagem. Essas esferas são posicionadas em substituição ao concreto tracionado, visto que o concreto na
tração tem resistência desprezível. Por esses motivos é considerada uma construção sustentável.
Questão 2
A seguir, são apresentadas afirmações sobre as lajes bubble eck.
I. Grandes vãos são alcançados em todas as direções devido à leveza e à biaxialidade dessa laje.
II. Caso seja industrializada, pode haver a redução tanto dos prazos de produção quanto dos custos indiretos de
fabricação.
III. Apresentam baixo potencial de isolamento térmico e acústico.
IV. Por poder ser dimensionada como se fosse uma laje maciça, pelos mesmos métodos normativos, é considerada de
cálculo fácil.
São corretas:
Parabéns! A alternativa E está correta.
Entre as diversas vantagens na utilização das lajes bubbledeck, podemos citar: os grandes vãos alcançados por ser uma
laje leve e biaxial; a possibilidade de ser industrializada e termos a redução do tempo de produção e dos custos; alto
isolamento térmico e acústico devido à presença das esferas ocas; e embora não tenha uma norma brasileira para esse
tipo de lajes, podemos utilizar para o seu dimensionamento a NBR 6118 para lajes maciças, que é considerada de cálculo
fácil.
A apenas as afirmativas I, II.
B apenas as afirmativas II, III.
C apenas as afirmativas III, IV.
D apenas as afirmativas I, II, III.
E apenas as afirmativas I, II e IV.
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4 - Lajes protendidas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar um projeto de laje em concreto protendido.
Vamos começar!
Analisando um projeto de laje em concreto protendido
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Tipos de lajes protendidas
A seguir veja uma laje protendida sendo armada e um edifício construído com laje protendida já finalizado. Como o conceito e
os cálculos de uma estrutura protendida já foram vistos em estudo anterior, para uma melhor compreensão das lajes em
concreto protendido veremos o exemplo numérico adaptado, proposto por Carvalho (2017) mais adiante.

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Laje sendo armada
Nessa imagem, é possível ver uma laje protendida sendo armada.
Laje construída
Nessa imagem, é possível ver um edifício contruído com laje protendida já finalizado.
Temos as lajes protendidas moldadas no local e as pré-moldadas. As moldadas no local são executadas com pós-tração,
com destaque para as lajes lisas (lajes sem vigas) e as cordoalhas engraxadas de monocordoalhas, que simplificam bem o
sistema. As lajes pré-moldadas usam a pré-tração. A seguir, são citados os tipos de lajes protendidas.
As lajes protendidas moldadas no local usam a cordoalha engraxada que simplifica a operação de protensão diminuindo o
custo. É possível, também, usar a protensão com aderência posterior usando as bainhas chatas que alojam até duas
cordoalhas com excentricidade. Os pisos com lajes protendidas podem ser compostos com lajes maciças e vigas,
nervuradas, lisas, lisas e aliviadas e nervuradas com vigas faixas.
Lajes lisas protendidas
O foco do nosso estudo será nas lajes lisas protendidas. Os sistemas estruturais dessas lajes são conhecidos por sem vigas
ou lajes-cogumelo. Veremos a seguir as vantagens desse sistema sobre o sistema com vigas.

Construção 
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Permite, de uma maneira geral, velocidade e repetição das formas; requisitos básicos para a racionalização, e,
dependendo da espessura do elemento, inclusive o embutimento de pequenas tubulações.
Permite amplos ambientes e um pé-direito livre em toda a área de construção. O que é interessante quando se deseja
ambientes versáteis em que divisórias ou paredes podem ser suprimidas ou acrescidas sem que apareçam vigas. Não
há o obstáculo de vigas para passagem de tubulação, o que é muito interessante em hospitais, em que tubulações de
oxigênio e outras precisam ter trajetórias com curvas suaves em planta (raios grandes) e podem ser necessárias
depois da execução da edificação.
Permite um fluxo constante do ar, melhorando os aspectos de ventilação da edificação.
Já as desvantagens da laje lisa são:
Pode ter um consumo maior de concreto e armadura.
As deformações verticais são maiores, o que geralmente inviabiliza esse sistema para vãos acima de cerca de 9m,
necessitando da protensão, que pode eliminar a fissuração do concreto em serviço.
Possibilidade de punção da laje junto aos pilares, sendo que nesse caso a protensão gera um alívio, pois introduz uma
compressão na região e combate o cortante atuante.
Estética 
Conforto 
Consumo 
Deformações 
Punção 
Rigidez 
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Por não possuir vigas, não conta com a mesma rigidez que o sistema tradicional pilar-viga-laje possui sob esforços
transversais.
Dimensionamento de lajes lisas protendidas
Determinação dos esforços solicitantes
Os esforços solicitantes em lajes lisas podem ser obtidos por: método dos pórticos equivalente, método dos elementos
finitos e grelha equivalente. Este último é o método mais empregado no Brasil porque permite ao engenheiro analisar os
resultados de maneira simples e manipular a entrada de dados facilmente.
No método da grelha equivalente pode-se, com precisão, considerar as cargas e sobrecargas permanentes e acidentais como
aplicadas nos nós, levando em conta que cada nó interno terá aplicado uma carga igual a:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a intensidade da ação uniformemente distribuída que se deseja considerar ou ;
 e são os espaçamentos entre os elementos da grelha.
O cálculo do efeito de protensão pode ser feito a partir de três processos: carga equivalente, forças de desviação e método de
ação interna. Neste estudo, iremos aprofundar apenas a carga equivalente, considerando uma carga linear e uniforme
distribuída em trechos e os esforços de protensão aplicados na extremidade. Tal processo resultará em um carregamento
linear constante (sem considerar as perdas) aplicado à estrutura igual a:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a força de protensão aplicada no trecho considerando o cabo parabólico;
 é a flecha da parábola;
 éo vão da parábola;
 é o carregamento aplicado à estrutura no trecho considerado da parábola.
Pi = p ⋅ a ⋅ b
p (g1, g2 q)
a b
up =
8 ⋅ P ⋅ e
l2
P
e
l
up
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A próxima imagem ilustra como é realizado o carregamento equivalente.
Carregamento equivalente.
Pré-dimensionamento dos cabos
É preciso atender os estados-limite últimos (ELU) e de serviço (ELS). Veja:
Estados-limite últimos (ELU)
Para o ELU, na flexão, há duas situações, a da protensão em vazio (protensão no tempo zero e carga permanente 
) e no tempo infinito.
Estados-limite de serviço (ELS)
Para as condições do ELS será preciso atender as condições de limitações de tensões ou aberturas de fissuras em função
das condições ambientais.
A seguir são apresentadas as etapas para o pré-dimensionamento dos cabos.
Distribuição da estrutura em faixas
São regiões em que os momentos fletores são da mesma ordem de grandeza e deseja-se colocar cabos com mesma
trajetória e um determinado espaçamento. Ao concluir o pré-dimensionamento, os esforços de protensão são introduzidos e
assim repetem-se os cálculos descritos a seguir considerando todas as cargas.
Resolução da estrutura
Resolve-se a estrutura considerando-a submetida às ações g1, g2 e q obtendo-se flechas e esforços solicitantes nas diversas
seções e faixas.
De�nição da trajetória do cabo representante
−pto− −g1
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O cabo representante é aquele que representa os demais em cada faixa, podendo ser usado para toda a estrutura. Em geral, o
formato de sua trajetória é um diagrama de momento fletor da faixa em questão. Para faixas mais solicitadas, considera-se
que o início e o final do cabo estejam no centro de gravidade da peça. Após a ancoragem, tem-se um trecho reto (trecho 1) e
em seguida um trecho curvo (trecho 2) e parte central no tramo (trecho 3). Junto ao apoio intermediário, o trecho curvo 4 terá
como cota vertical a máxima excentricidade possível, veja na próxima imagem.
Traçado vertical típico de um cabo em laje lisa.
Perdas de protensão nos cabos representantes
São as diminuições dos esforços de protensão que ocorrem ao longo dos cabos, discutidas em estudo anterior de estruturas
protendidas. No caso da perda por fluência, a tensão no nível dos cabos poderá ser considerada em torno de 3 MPa.
Consideração do carregamento equivalente do cabo e seus esforços
Deve-se montar o carregamento do cabo representante para o tempo zero e infinito, considerando a distribuição de um cabo
por metro, e com forças constantes por trecho, como mostra a imagem a seguir.
Ações do cabo representante atuando em um metro (no caso para o tempo zero).
Determinação do número de cabos a se usar em cada faixa com a condição do
estado-limite último no ato da protensão
Faz-se, inicialmente, para a seção mais solicitada da faixa, considerando a força de um cabo representante no tempo zero,
sendo os limites para compressão de 0,7 (resistência à compressão do concreto na data da protensão) e para tração,
inicialmente o valor de tensão nula (situação em vazio). As equações são:
fcj
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Rotacione a tela. 
Em que:
 é o número de cabos;
 é o módulo de resistência da faixa em questão (largura e altura da laje);
 o momento fletor devido à carga permanente na seção e faixa em questão;
 e é o esforço normal e o momento fletor na seção e faixa em questão para o tempo zero e para situação de um
cabo por metro;
 é a tensão de protensão;
 é a área de resistência da faixa em questão (largura e altura da laje).
Resolução da estrutura com o número de cabos determinados
Deve-se resolver a estrutura, considerando agora o efeito de protensão, por faixas, com os valores de determinados no item
anterior, verificando se atendem às condições de protensão em vazio.
Veri�cação em serviço, �ssuração
Para a verificação em serviço, deve-se adotar o disposto no quadro da próxima imagem.
Quadro referente à combinação de ações para o ELS.
Para a fissuração, deve-se adotar o disposto no quadro da imagem a seguir.
σs =
nNP
A
+
nMP
Ws
−
Mg1
Ws
≤ 0, 7 ⋅ fcj
σi =
nNP
A
+
nMP
Wi
−
Mg1
Wi
≥ 0
n
W
Mg1
NP MP
σ
A
n
n
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Quadro referente à combinação de ações para o ELS.
Veri�cação de ruptura no tempo in�nito (cálculo da armadura passiva
complementar)
Essa verificação é feita igual ao concreto armado, e o modelo é apresentado na imagem a seguir.
Verificação no estado-limite último na flexão no tempo infinito seção transversal em cima do apoio.
Em que:
 é a área da armadura ativa;
 é a área da armadura passiva;
 é a força total;
 é a força ativa;
 é a força passiva;
 é a força do concreto;
 é o momento de cálculo aplicado.
Veri�cação quanto à �echa
É realizada a verificação com as combinações de ações, as características geométricas das seções, os efeitos da fissuração,
a fluência do concreto e as flechas-limite.
Ap
As
Ft
Fp
FS
Fc
Md
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Exemplo numérico
Agora vamos determinar o número de barras de protensão de uma laje sem viga de 16 x 16m, apoiada em nove pilares, com
os seguintes dados:
Laje: espessura da laje = 26cm; vão = 8m;
Armadura: ativa cordoalha engraxada com (aço CP190RB). Passiva AÇO CA50; cobrimento
; área do cabo ;
Geometria do cabo: ;
Ações: ;
Características dos materiais: ;
.
Ambiente industrial.
Veja o desenho esquemático na imagem a seguir.
Desenho esquemático da fôrma de laje.
Solução
1. Escolha as faixas com que irá trabalhar
As faixas escolhidas estão representadas na imagem a seguir, com 4m para as faixas do tipo 1 e 2 e 2m para as do tipo 3. Os
esforços serão considerados por metro e os momentos máximos de cada faixa. As faixas ímpares contêm os pilares e,
portanto, devem possuir momentos fletores de grande magnitude, enquanto a faixa 2 deve conter momento positivo grande e
o maior deslocamento vertical (flecha).
∅ = 12, 7mm
cnom = 3.27cm = 1cm2
l1 = 115cm; l2 = 235cm; l3 = 235cm; l4 = 115cm
g1 = 6, 5kN/m2; g2 = 0, 5kN/m2; q = 1, 5kN/m2
fck = 30MPa;Ec,i = 30672MPa;Gc = 12200.MPa
Ep = 2, 0 ⋅ 105MPa; fpyk = 1, 6 ⋅ 10
3Mpa; fptk = 1, 9 ⋅ 10
3MPa
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Desenho esquemático das faixas.
2. De�nir a malha da grelha equivalente
A laje foi resolvida utilizando o método de grelha equivalente e, com o programa LASER, obteve-se a malha com os nós e
elementos ilustrados na imagem a seguir.
Grelha equivalente para representar a laje com a numeração dos nós e elementos.
O processo utilizado foi o de dupla simetria, considerando apenas um quarto da estrutura: apenas os pilares P1 (nó 1), P2 (nó
9), P4 (nó 72) e P5 (nó 81). O giro segundo o eixo vertical nos nós está impedido, assim como as rotações
segundo um eixo horizontal nos nós também estão impedidas. O espaçamento entre os elementos da grelha é
de 1m.
3. De�nição do cabo representante
O cabo representante é detalhado com o perfil apresentado na imagem a seguir.
Traçado do cabo representante da laje lisa do exemplo.
A partir desse traçado foram obtidos os valores do desvio angular e da flecha para cada trecho do cabo, como apresentado na
tabela a seguir.
9, 18, 27, . .81
72, 73, … 81
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Trechos S1-S2 S2-S3 S3-S4 S4-S5
Flechas (cm) 2,99 6,1 12,2 5,98
Desvio angular (°) 2,77 2,77 5,52 5,52
Tabela 5: Valores do desvio angular e daflecha para cada trecho do cabo representante
CARVALHO, 2015, p. 12.
4. Cálculo das perdas imediatas
Com os valores da tabela 5, é possível obter as perdas imediatas por atrito e por deformação da ancoragem. Como é pequena,
a perda imediata do concreto durante a protensão será desprezada. A perda por atrito é:
Rotacione a tela. 
Em que:
;
 (cordoalha engraxada);
 (tensão do aço na extremidade ativa por ocasião da protensão).
Adota-se o menor valor das equações a seguir:
Rotacione a tela. 
Logo, 
5. Cálculo das tensões em cada trecho após as perdas devido ao atrito
Os valores são apresentados na tabela a seguir.
Seção Distância(m)
S1 0 0 0 1 13440
σs = σpi ⋅ e
−μ.(Δα+βx)
β = 0, 01rad∖m
μ = 0, 05
σpi
σpi = 0, 74 ⋅ fptk = 14060kgf/cm
2
σpi = 0, 84 ⋅ fpyk = 13440kgf/cm
2
σpi = 13440kgf/cm
2
Δα (∘) Δα(rad) e−μ⋅(Δα+βx) Fs = Fs′ ⋅ e−μ⋅(Δα+βx)
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Seção Distância(m)
S1 1,00 0 0 0,999 13426
S2 2,25 2,77 0,048 0,996 13386
S3 4,50 5,54 0,097 0,993 13346
S4 6,85 11,06 0,193 0,987 13265
S5 8,00 16,58 0,289 0,982 13198
S6 9,15 22,11 0,386 0,976 13117
S7 11,50 27,62 0,482 0,970 13037
S8 13,85 30,39 0,530 0,967 12996
S9 15,00 33,16 0,578 0,964 12956
S10 16,00 33,16 0,578 0,964 12956
Tabela 6: Valores das tensões pós-atrito
CARVALHO, 2015, p. 13.
6. Cálculo das tensões em cada trecho após as perdas devido à deformação por
ancoragem
O cálculo é feito da seguinte forma:
Rotacione a tela. 
Os valores finais da protensão após a perda de ancoragem são mostrados na tabela a seguir.
Δα (∘) Δα(rad) e−μ⋅(Δα+βx) Fs = Fs′ ⋅ e−μ⋅(Δα+βx)
Δl = 6mm (Catálogo do MAC), Ep = 1, 9 ⋅ 106kgf. cm2
Ω = Ec ⋅ Δl = 1, 9 ⋅ 106 ⋅ 0, 6
Ω = 1140000kgf. cm
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Tensão Distância (m) Área parcial
Somatória das
áreas
Tensão final
13440 0 0 0 12309,5
13426 100 1400 1400 12323,5
13386 225 13000 14400 12363,5
13346 450 27000 41400 12403,5
13265 685 91935 133335 12484,5
13198 800 99495 232830 12551,5
13117 915 138915 371745 12632,5
13037 1150 165200 536945 12712,5
12996 1385 103935 640880 12753,5
12956 1500 115400 756280 12793,5
12956 1600 0 756280 12793,5
Tabela 7: Tensões finais
CARVALHO, 2015, p. 13.
7. Cálculo das forças de protensão em cada trecho e os carregamentos 
Como:
Rotacione a tela. 
Na tabela a seguir, temos os valores das forças de protensão e os carregamentos provenientes da ação dos cabos :
com um cabo por metro, e com um cabo a cada 44cm. Também são apresentados os valores dos esforços para um cabo
médio.
(u)
Fp =
σi + σi+1
2
1, 00cm2
w1 =
8Fpei
(2li)
2
(P) (up)
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Seção
Unidade ( (
SO-S10 1230,95 1279,35 1255,15
125,987* 0 1 0,00
S1-S9 1233,53 1295,65 1264,59
126,022* 0,0299 1,15 0,57
S2-S8 1236,35 1275,35 1255,85
125,5825* 0,061 2,35 0,277
S3-S4 1240,35 1271,25 1255,8
125,5825* 0,122 2,35 0,555
S4-S6 1248,45 1263,25 1255,85
125,55* 0,0598 1,15 1,135
S5-S5 1255,15 1255,15 1255,15
Tabela 8: Tensões no cabo AP e PA, forças de protensão e carga uniforme
CARVALHO, 2015, p. 14-15.
É importante ressaltar que o cabo utilizado tem ancoragem ativa (viva) do lado esquerdo e ancoragem passiva (morta) do
lado direito. Logo, o seu simétrico corresponde a outro com ancoragem ativa à direita e passiva à esquerda.
E, a partir desses cálculos, obtém-se o carregamento final ilustrado na imagem a seguir.
Ações em uma faixa de 1 m.
8. Cálculo das perdas ao longo do tempo
σA−P σP−A σmédia Ptrecho e L u (c/100cm) u
(MPa) (MPa) (MPa) (kN) (m) m) kN/m)
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As perdas são calculadas da seguinte forma:
Têm-se os seguintes dados: ; Umidade: ; Tempo zero: to 
Com esses dados:
Logo,
Adotar:
Logo,
Perda por retração do concreto 
hfic = 26cm U = 75% = 5
φ (t∞, t0) = 3, 0
εcs (t∞, t0) = −0, 23 ⋅ 10
4
Δσp, s = −2, 3.10 − 5 ⋅ 1, 9 ⋅ 1044 = 4, 37.10 − 1 = 43, 7MPa = 437Kgf/cm2
Perda por fluência do concreto 
Δσp,c = αp ⋅ σco.ϕ
σco = 50Kgf/cm
2
σP =
εP
EP
αP =
1, 9 ⋅ 106
3, 06 ⋅ 105
= 6, 2
φ (t∞, t0) = 3, 0
Δσp,c = 6, 2.50.3 = 930kgf
Perda por relaxação 
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Para um tempo infinito:
Portanto,
E,
A tabela a seguir apresenta os valores das tensões iniciais e as tensões no tempo infinito.
Seção
Tensões com perdas inicias - Tensões no tempo infinito -
Relação 
S0 12309,5 9636 0,78
S1 12323,5 9650 0,78
S2 12363,5 9690 0,78
S3 12403,5 9730 0,78
S4 12484,5 9811 0,79
S5 12551,5 9878 0,79
S6 12632,5 9959 0,79
S7 12712,5 10039 0,79
S8 12753,5 10080 0,79
r =
σpi
fptk
=
13440
16000
= 0, 84 = 84% →  baixa relaxação 
ψ1000,0.84 = 3, 9%
ψ1000,0.84 = 3, 9.2, 5 = 9, 75%
Δσp,r(∞ + 7) = ψ1000,0.84 ⋅ Δσp,i = 0, 0975.13400 = 1306, 5kgf/cm
2
Δσp,s+c+r = 437 + 930 + 1306, 5 = 267, 35MPa
t0(Nf/cm²) t∞(Nf/cm²)
t0/t∞
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Seção
Tensões com perdas inicias - Tensões no tempo infinito -
Relação 
S9 12793,5 10120 0,79
S10 12793,5 10120 0,79
Tabela 9: Tensões com perdas iniciais e no tempo infinito
CARVALHO, 2015, p. 16.
9. Determinação do número de cabos
Resolvendo a estrutura com os dados da tabela 9, chegamos aos resultados apresentados na tabela 10.
Ação Pg1 Pg1+g2+0,3q Pg1+g2+0,4q Pg1+g2+q Pp t0
Pp
tinf
Momento apoio
pilar central
(kNm/m)
-156 -179 -182 -204 62,36 49,26
Momento meio
do vão (kNm/m)
18,6 21,2 21,7 24,2 -12,05 -9,52
Momento na
borda (kNm/m)
-61,48 70,08 71,73 -80 14,95 11,81
Tabela 10: Valores dos momentos considerando um cabo por metro
CARVALHO, 2008, p. 17
No pré-dimensionamento da quantidade de cabos na laje, consideramos a verificação no ato da protensão (protensão no
tempo zero e ação do peso próprio) como mais desfavorável. Portanto, os limites das tensões para ELU no ato da protensão
são (sem tração) ou - (com tração). Será apresentado o cálculo de cabos para o pilar
central e para o meio do vão.
Em que:
 é o número de cabos;
 é o módulo de resistência da seção;
 é o momento devido ao peso próprio;
 é o momento de protensão obtido da resolução da estrutura;
 é a tensão de protensão inicial (considerando as perdas iniciais);
t0(Nf/cm²) t∞(Nf/cm²)
t0/t∞
2100kN/m2 ≤ σ ≤ 0 347.57kN/m2
n
W
Mg1
M1cabo
σi
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 é a área do cabo de protensão.
Pilar central
As bordas são calculadas da seguinte forma:
 sem tração 
 (com tração)
Meio do vão
As bordas são calculadas da seguinte forma:
 (sem tração)
Acabo
Borda inferior 
nσiAcabo 
Aconcreto 
− nM1 cabo Wi +
Mg1
Wi
≥ 0( )
n125,5
1.0,26 −
n62,36
1,126⋅10−2
+ 156
1,126⋅10−2
≥ 0
n ≤ 2, 74
n125,5
1.0,26
− n62,36
1,126⋅10−2
+ 156
1,126⋅10−2
≥ −347, 57
n ≤ 3, 42
Borda superior 
nσsAcabo 
Aconcreto 
− nM1 cabo Ws +
Mg1
Ws
≤ 2100
n125,5
1.0,26 +
n62,36
1,126⋅10−2
− 156
1,126⋅10−2
≤ 2100
n ≤ 5, 79
Borda inferior 
n124
1.0,26
+ n12,05
1,126⋅10−2
− 18,6
1,126⋅10−2
≤ 0
n ≤ 14, 66
Borda superior 
n124
1.0,26 −
n12,05
1,126⋅10−2
+
18,6
1,126⋅10−2
≥ 0
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 (com tração)
Falta pouco para atingir seus objetivos.
n ≤ 2, 77
n124
1.0,26
− n12,05
1,126⋅10−2
+ 18,6
1,126⋅10−2
≥ −347, 57
n ≤ 8, 64
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Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O cálculo do efeito de protensãopode ser realizado por três processos: carga equivalente, forças de desviação e método
de ação interna. No processo de carga equivalente, considera-se uma carga linear e uniforme distribuída em trechos e os
esforços de protensão aplicados na extremidade. Um engenheiro, ao projetar uma laje protendida de comprimento de 7m,
encontrou uma força de proteção de 325 kN e uma flecha de 6cm. Logo, o valor do carregamento linear (sem considerar
as perdas) aplicado à estrutura será de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Questão 2
Os sistemas estruturais das lajes protendidas são conhecidos por “sem vigas” ou “lajes-cogumelo”. Abaixo são
apresentadas vantagens desse sistema sobre o sistema com vigas.
I. No aspecto de estética, permite amplos ambientes e um pé-direito livre em toda área de construção.
II. Permite ambientes versáteis em que divisórias ou paredes podem ser suprimidas ou acrescidas sem que apareçam as
vigas.
up =
8 ⋅ P ⋅ e
l2
A 3, 2kN/m2
B 3, 4kN/m2
C 3, 6kN/m2
D 3, 8kN/m2
E 4, 0kN/m2
up =
8.P .e
l2
= 8.325.0,0672 = 3, 2kN/m
2
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III. No caso de hospitais, em que tubulações de oxigênio e outras precisam ter trajetórias curvas com raios grandes e
podem ser necessárias depois da execução da edificação, é uma solução muito interessante.
IV. No aspecto de construção, as lajes lisas têm como desvantagem o ganho de velocidade, pois não pode haver
repetição das formas, impactando em baixa a economia e reutilização de materiais.
Estão corretas
Parabéns! A alternativa E está correta.
Para o sistema de lajes protendidas lisas, ou seja, sem vigas, entre as diversas vantagens, podemos citar: a possibilidade
de ambientes amplos e com pé-direito livre em toda a extensão da edificação; as divisórias e paredes podem ser retiradas
ou acrescentadas sem que pareçam vigas, o que torna os ambientes versáteis; a possibilidade de trajetórias curvas de
grandes raios para as tubulações; e velocidade, economia e reutilização de materiais na repetição das formas nas lajes.
Considerações �nais
Como vimos, as lajes especiais aqui consideradas – nervurada, steel deck, laje bubbledeck e protendida – apresentam
características específicas e métodos de dimensionamento próprios.
Durante o estudo, compreendemos particularidades, vantagens, desvantagens, processos construtivos e de cálculo aplicados
a cada laje de forma específica.
Por fim, para uma boa formação, o engenheiro calculista precisa saber aplicar as diversas opções de sistemas estruturais
para, então, escolher a que irá fornecer a melhor solução para o seu projeto.
A apenas I e II.
B apenas II, III.
C apenas II, III, IV.
D apenas I, III, IV.
E afirmativas I, II, III.
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Podcast
Agora, o especialista encerra o tema falando sobre os principais tópicos abordados.

Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14859 . Laje pré-fabricada – pré-laje – requisitos, parte 1: lajes
unidirecionais. Rio de Janeiro: ABNT, 2002a.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14860 . Laje pré-fabricada – requisitos, parte 1: lajes
unidirecionais. Rio de Janeiro: ABNT, 2002b.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14762 . Dimensionamento de estruturas deaço constituídas
por perfis formados afrio – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2011.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118 . Projeto de estruturas de concreto: procedimento. Rio de
Janeiro: ABNT, 2014.
BUBBLEDECK INTERNATIONAL. BubbleDeck. 2021. Consultado na internet em: 11 nov. 2022.
DIALAMAN, J. P.; MIRANDA, L. R.; FLORIAN, F. Bubbledeck: inovação, sustentabilidade e custobenefícios no sistema
construtivo de lajes bubbledeck. Uniara, Araraquara, p. 1-14, out. 2021.
CARVALHO, R. C. Estruturas de concreto protendido : cálculo e detalhamento. São Paulo: PINI, 2012.
CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. 4. ed. São Paulo: EduFSCar, 2014.
CARVALHO, R. C. Estruturas em concreto protendido: cálculo e detalhamento. São Paulo: EduFSCar, 2015.
FAKURY, R. H. et al. Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto. São Paulo: Pearson, 2016.
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