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03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/7 Exercício por Temas avalie sua aprendizagem Seja a função , onde x = (u+1) , y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1. As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um �uido. Dessa forma, determine a derivada direcional no ponto na direção do vetor . CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Lupa DGT0234_202312036621_TEMAS Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621 Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL 2023.4 FLEX (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS 1. 20 14 -12 10 -19 Data Resp.: 03/01/2024 15:17:34 Explicação: A resposta correta é: -19. 2. 0. -6. 2. f(x, y, z) = x3y − z4y2 ev−1 f(x, y, z) =xy + y2z P = (7, −2, 1) v = (2, 2, 1) javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:diminui(); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); javascript:aumenta(); 03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/7 Determine a derivada direcional da função , na direção do vetor no ponto (x,y) = (1,1). 6. -2. Data Resp.: 03/01/2024 15:17:41 Explicação: Calculando o vetor : Calculando o vetor gradiente: Calcular o vetor gradiente no ponto : Cálculo da derivada direcional: Logo, 3. Data Resp.: 03/01/2024 15:17:56 Explicação: A resposta correta é: 4. v ∥v∥ = √(2)2 + (2)2 + (1)2 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3 f(x, y, z) = xy + y2z ∇f(x, y, z) = ( , , ) = (y,x + 2yz, y2) ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂y P ∇f(x, y, z) = (y,x + 2yz, y2) ∇f(P) = ∇f(7, −2, 1) = ((−2), (7) + 2(−2)(1), (2)2) = (−2, 7 − 4, 4) = (−2, 3, 4) (P) = ∇f(P) ⋅ = (−2, 3, 4) ⋅ = [(−2, 3, 4) ⋅ (2, 2, 1)] = (P) = [(−2)(2) + (3)(2) + (4)(1)] = [−4 + 6 + 4] = (6) = 2 ∂f ∂x v ∥v∥ (2, 2, 1) 3 1 3 ∂f ∂x 1 3 1 3 1 3 (P) = 2 ∂f ∂x f(x, y) = + 52x 2 y ( , − ) √3 2 1 2 2√3 + 1 2√3 − 1 1 − √3 2√3 √3 + 1 2√3 + 1 03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/7 Considere a função . Sabe-se que x(u,v)=u v e y(u,v)=uv. Determine o valor da expressão para (u,v)=(1,2). Seja a função . Determine o vetor gradiente de h(x,y,z) Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções , e , calcule . 14 15 11 13 12 Data Resp.: 03/01/2024 15:18:02 Explicação: A resposta correta é: 13 5. Data Resp.: 03/01/2024 15:18:13 Explicação: A resposta correta é: 6. 2. 1. 4. 0. 3. Data Resp.: 03/01/2024 15:18:27 Explicação: Sabemos que: g(x, y) = arctg(2x + y) 2 37 ( + )∂g ∂u ∂g ∂v h(x, y, z) = (x + 2)2ln (y2 + z) (2(x + 2)ln(y2 + z), , )2y(x+2) 2 y2+z (x+2)2 y2+z ( , , )x+2 y2+z 2y(x+2)2 y2+z (x+2)2 y2+z ((x + 2)ln(y + z), , )xyz y2+z z(x+2)2 y2+z (2ln(y2 + z), , )(x+2) 2 y2+z y(x+2)2 y2+z ((x + 2)ln(y2 + z), , )2z(x+2) 2 y2+z y(x+2)2 y2+z (2(x + 2)ln(y2 + z), , )2y(x+2) 2 y2+z (x+2)2 y2+z f(x, y) = exy, g(t) = cos t h(t) = sen t F(t) = f(g(t),h(t)) F ′(0) f(x, y) = exy g(t) = x(t) = cos t h(t) = y(t) = sen t F(t) = f(x(t), y(t)) 03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/7 Seja a função . Determine a soma de no ponto (x,y,z) = ( 0,0,2). Aplicando a regra da cadeia: Calculando as derivadas: Voltando: Para o , temos: Calculando a derivada: Logo, 7. -144 -48 144 -96 96 Data Resp.: 03/01/2024 15:18:44 Explicação: A resposta correta é: -144 = ⋅ + ⋅ dF dt ∂f ∂x dx dt ∂f ∂y dy dt = exy ⋅ y = yexy = exy ⋅ x = xexy = − sen t = cos t ∂f ∂x ∂T ∂y dx dt dy dt = ⋅ + ⋅ = yexy ⋅ (− sen t) + xexy ⋅ cos t = exy(−y sen t + x cos t) = exy(−y sen t + x cos t) dF dt ∂f ∂x dx dt ∂f ∂y dy dt dF dt t = 0 x(t) = cos t = cos 0 = 1 y(t) = sen t = sen 0 = 0 (0) = F ′(0) = e1⋅0(−1 sen 0 + 1 cos 0) = 1(0 + 1) = 1 dF dt F ′(0) = 1 h(x, y, z) = 2z3e−2xsen(2y) fxyz + ∂3f ∂z∂y∂z 03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/7 As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um �uido. Considere uma placa de metal cuja temperatura é dada por , onde e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto . Determine a temperatura do objeto se este for na direção do vetor . O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis independentes que permitem que a função seja de�nida. Sabendo disso, com relação a , pode se a�rmar que: 8. 0. . . . . Data Resp.: 03/01/2024 15:18:49 Explicação: Calculando a derivada direcional: 9. 0. 2. 1. ∄. -3. Data Resp.: 03/01/2024 15:18:57 Explicação: Primeiro substituímos os valores: Indeterminação . Veri�cando se o Teorema do Sanduíche pode ajudar: Não há nenhum termo multiplicador que possa ajudar: Ou função trigonométrica. Logo, (em∘C) T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 x P = (2, 1) v = (1, 1) −8√2 −16√2 16√2 8√2 (x, y) = ∇f(P) ⋅ = (−8, −8) ⋅ = (−8, −8) ⋅( , ) = − − = − (x, y) = − = −8√2 Logo, (x, y) = −8√2 < 0 ⇒ resfriando ∂T ∂x v ∥v∥ (1, 1) √12 + 12 1 √2 1 √2 8 √2 8 √2 16 √2 ∂T ∂x 16√2 2 ∂T ∂x lim(x,y)→(0,0) xy x4+y2 lim (x,y)→(0,0) = = = ∄ xy x4 + y2 (0) ⋅ (0) (0)4 + (0)2 0 0 0 0 , , x2 x2 + y2 |x| |x| + |y| |x| √x2 + y2 03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/7 A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por , onde e são medidos em centímetros e um objeto está no ponto . A trajetória do objeto em cada instante (segundos) é dada por , dessa forma, determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto . 10. -48°C/seg. -28°C/seg. 48°C/seg. 80°C/seg. -80°C/seg. Data Resp.: 03/01/2024 15:19:19 Explicação: As coordenadas do objeto dependem do tempo: Assim: Aplicando a regra da cadeia: Calculando as derivadas: A posição do objeto é dada por: Voltando: Como e : Foi pedido a taxa no tempo , logo: lim (x,y)→(0,0) = = ∄ xy x4 + y2 0 0 T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 x y P = (2, 1) t r(t) = (t, )t 2 4 Q = (4, 4) x = x(t); y = y(t) T = T (x(t), y(t)) = ⋅ + ⋅ dT dt ∂T ∂x ∂x ∂t ∂T ∂y ∂y ∂t = −4x, = −8y ∂T ∂x ∂T ∂y r(t) = (x(t), y(t)) = (t, ) ⎧ ⎨⎩ x(t) = t y(t) = → ⎧ ⎨⎩ = 1 = t2 4 t2 4 dx dt dy dt t 2 = ⋅ + ⋅ = −4x ⋅ 1 + −8y ⋅ dT dt ∂T ∂x ∂x ∂t ∂T ∂y ∂y ∂t t 2 x(t) = t y(t) = t 2 4 = 4t ⋅ 1 + −8 ⋅ = −4t − t3 dT dt t2 4 t 2 t = 4 03/01/2024, 15:19 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/7 Logo, Não Respondida Não Gravada Gravada Exercício por Temas inciado em 03/01/2024 15:17:13. = −4t − t3 = −4 ⋅ 4 − 43 = −80∘C/seg dT dt = −80∘C/seg dT dt
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