tema 2 4

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04/01/2024, 08:30 Estácio: Alunos
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Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a
função composta. Sejam as funções , e , calcule
.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202312036621_TEMAS
Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.4 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS
 
1.
0.
1.
4.
2.
3.
Data Resp.: 04/01/2024 08:28:27
Explicação:
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
f(x, y) = exy, g(t) = cos t h(t) = sen t F(t) = f(g(t),h(t))
F ′(0)
f(x, y) = exy
g(t) = x(t) = cos t
h(t) = y(t) = sen t
F(t) = f(x(t), y(t))
= ⋅ + ⋅
dF
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
04/01/2024, 08:30 Estácio: Alunos
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Seja a função . Determine a soma de   no ponto
(x,y,z) = ( 0,0,2).
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um
espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um �uido.
Considere uma placa de metal cuja temperatura é dada por , onde e y são
medidos em centímetros e um objeto está no ponto . Determine a temperatura do objeto se este for na
direção do vetor .
Voltando:
Para o , temos:
Calculando a derivada:
Logo,
 
2.
144
-144
96
-48
-96
Data Resp.: 04/01/2024 08:28:44
Explicação:
A resposta correta é: -144
 
3.
.
= exy ⋅ y = yexy
= exy ⋅ x = xexy
= − sen t
= cos t
∂f
∂x
∂T
∂y
dx
dt
dy
dt
= ⋅ + ⋅ = yexy ⋅ (− sen t) + xexy ⋅ cos t = exy(−y sen t + x cos t)
= exy(−y sen t + x cos t)
dF
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
dF
dt
t = 0
x(t) = cos t = cos 0 = 1
y(t) = sen t = sen 0 = 0
(0) = F ′(0) = e1⋅0(−1 sen 0 + 1 cos 0) = 1(0 + 1) = 1
dF
dt
F ′(0) = 1
h(x,  y,  z)  = 2z3e−2xsen(2y) fxyz +
∂3f
∂z∂y∂z
(em∘C) T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 x
P = (2, 1)
v = (1, 1)
16√2
04/01/2024, 08:30 Estácio: Alunos
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A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde
muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por
, onde e são medidos em centímetros e um objeto está no ponto . A
trajetória do objeto em cada instante (segundos) é dada por , dessa forma, determine a taxa de
variação de temperatura em relação ao tempo no ponto .
.
.
0.
.
Data Resp.: 04/01/2024 08:28:50
Explicação:
Calculando a derivada direcional:
 
4.
-80°C/seg.
48°C/seg.
-48°C/seg.
-28°C/seg.
80°C/seg.
Data Resp.: 04/01/2024 08:29:04
Explicação:
As coordenadas do objeto dependem do tempo:
Assim:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
A posição do objeto é dada por:
8√2
−8√2
−16√2
(x, y) = ∇f(P) ⋅ = (−8, −8) ⋅ = (−8, −8) ⋅( , ) = − − = −
(x, y) = − = −8√2
 Logo, 
(x, y) = −8√2 < 0 ⇒  resfriando 
∂T
∂x
v
∥v∥
(1, 1)
√12 + 12
1
√2
1
√2
8
√2
8
√2
16
√2
∂T
∂x
16√2
2
∂T
∂x
T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 x y P = (2, 1)
t r(t) = (t, )t
2
4
Q = (4, 4)
x = x(t); y = y(t)
T = T (x(t), y(t))
= ⋅ + ⋅
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
= −4x, = −8y
∂T
∂x
∂T
∂y
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O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis
independentes que permitem que a função seja de�nida. Sabendo disso, com relação a , pode
se a�rmar que:
Voltando:
Como e :
Foi pedido a taxa no tempo , logo:
Logo,
 
5.
0.
1.
-3.
2.
∄.
Data Resp.: 04/01/2024 08:29:24
Explicação:
Primeiro substituímos os valores:
Indeterminação .
Veri�cando se o Teorema do Sanduíche pode ajudar:
Não há nenhum termo multiplicador que possa ajudar:
Ou função trigonométrica.
Logo,
r(t) = (x(t), y(t)) = (t, )
⎧
⎨⎩
x(t) = t
y(t) =
→
⎧
⎨⎩
= 1
=
t2
4
t2
4
dx
dt
dy
dt
t
2
= ⋅ + ⋅ = −4x ⋅ 1 + −8y ⋅
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
t
2
x(t) = t y(t) = t
2
4
= 4t ⋅ 1 + −8 ⋅ = −4t − t3
dT
dt
t2
4
t
2
t = 4
= −4t − t3 = −4 ⋅ 4 − 43 = −80∘C/seg
dT
dt
= −80∘C/seg
dT
dt
lim(x,y)→(0,0)
xy
x4+y2
lim
(x,y)→(0,0)
= = = ∄
xy
x4 + y2
(0) ⋅ (0)
(0)4 + (0)2
0
0
0
0
, ,
x2
x2 + y2
|x|
|x| + |y|
|x|
√x2 + y2
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Seja a função , onde x = (u+1) , y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o
valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1.
Considere a função . Sabe-se que x(u,v)=u v e y(u,v)=uv. Determine o
valor da expressão   para (u,v)=(1,2).
Determine a derivada direcional da função , na direção do vetor 
 no ponto (x,y) = (1,1).
 
6.
14
10
-12
20
-19
Data Resp.: 04/01/2024 08:29:35
Explicação:
A resposta correta é: -19.
 
7.
14
15
11
13
12
Data Resp.: 04/01/2024 08:29:44
Explicação:
A resposta correta é: 13
 
8.
Data Resp.: 04/01/2024 08:29:52
Explicação:
A resposta correta é: 
lim
(x,y)→(0,0)
= = ∄
xy
x4 + y2
0
0
f(x,  y,  z)  = x3y − z4y2 ev−1
g(x, y)  = arctg(2x + y) 2
37 ( + )∂g
∂u
∂g
∂v
f(x, y)  = + 52x
2
y
( ,   − )√3
2
1
2
1 − √3
2√3
√3 + 1
2√3 + 1
2√3 − 1
2√3 + 1
04/01/2024, 08:30 Estácio: Alunos
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Seja a função . Determine o vetor gradiente de h(x,y,z)
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um
espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um �uido. Dessa
forma, determine a derivada direcional no ponto na direção do vetor
.
 
9.
Data Resp.: 04/01/2024 08:30:00
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
-2.
-6.
0.
6.
2.
Data Resp.: 04/01/2024 08:30:16
Explicação:
Calculando o vetor :
Calculando o vetor gradiente:
Calcular o vetor gradiente no ponto :
Cálculo da derivada direcional:
h(x,  y,  z)  = (x + 2)2ln (y2 + z)
(2ln(y2 + z),   ,   )(x+2)
2
y2+z
y(x+2)2
y2+z
(2(x + 2)ln(y2 + z), ,   )2y(x+2)
2
y2+z
(x+2)2
y2+z
( ,   ,   )x+2
y2+z
2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
((x + 2)ln(y + z), ,   )xyz
y2+z
z(x+2)2
y2+z
((x + 2)ln(y2 + z),   ,   )2z(x+2)
2
y2+z
y(x+2)2
y2+z
(2(x + 2)ln(y2 + z), ,   )2y(x+2)
2
y2+z
(x+2)2
y2+z
f(x, y, z) =xy + y2z P = (7, −2, 1)
v = (2, 2, 1)
v
∥v∥ = √(2)2 + (2)2 + (1)2 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3
f(x, y, z) = xy + y2z
∇f(x, y, z) = ( , , ) = (y,x + 2yz, y2)
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂y
P
∇f(x, y, z) = (y,x + 2yz, y2)
∇f(P) = ∇f(7, −2, 1) = ((−2), (7) + 2(−2)(1), (2)2) = (−2, 7 − 4, 4) = (−2, 3, 4)
04/01/2024, 08:30 Estácio: Alunos
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Logo,
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 04/01/2024 08:28:14.
(P) = ∇f(P) ⋅ = (−2, 3, 4) ⋅ = [(−2, 3, 4) ⋅ (2, 2, 1)] =
(P) = [(−2)(2) + (3)(2) + (4)(1)] = [−4 + 6 + 4] = (6) = 2
∂f
∂x
v
∥v∥
(2, 2, 1)
3
1
3
∂f
∂x
1
3
1
3
1
3
(P) = 2
∂f
∂x