tema 2 5

Prévia do material em texto

04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/7
Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde
muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por
T(x, y) = 36 − 2x2 − 4y2, onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P = (2, 1). A
trajetória do objeto em cada instante t (segundos) é dada por r(t) = (t, ), dessa forma, determine a taxa de
variação de temperatura em relação ao tempo no ponto Q = (4, 4).
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202312036621_TEMAS
Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.4 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS
 
1.
-28°C/seg.
48°C/seg.
-48°C/seg.
-80°C/seg.
80°C/seg.
Data Resp.: 04/01/2024 11:26:45
Explicação:
As coordenadas do objeto dependem do tempo:
x = x(t); y = y(t)
Assim:
T = T(x(t), y(t))
Aplicando a regra da cadeia:
t2
4
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/7
O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis
independentes que permitem que a função seja de�nida. Sabendo disso, com relação a lim(x,y)→(0,0) , pode se
a�rmar que:
= ⋅ + ⋅
Calculando as derivadas:
= −4x, = −8y
A posição do objeto é dada por:
r(t) = (x(t), y(t)) = (t, )
⎧
⎨⎩
x(t) = t
y(t) =
→
⎧
⎨⎩
= 1
=
Voltando:
= ⋅ + ⋅ = −4x ⋅ 1 + −8y ⋅
Como x(t) = t e y(t) = :
= 4t ⋅ 1 + −8 ⋅ = −4t − t3
Foi pedido a taxa no tempo t = 4, logo:
= −4t − t3 = −4 ⋅ 4 − 43 = −80∘C/seg
Logo,
= −80∘C/seg
 
2.
0.
2.
-3.
∄.
1.
Data Resp.: 04/01/2024 11:27:02
Explicação:
Primeiro substituímos os valores:
lim
(x,y)→(0,0)
= = = ∄
Indeterminação .
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
∂T
∂x
∂T
∂y
t2
4
t2
4
dx
dt
dy
dt
t
2
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
t
2
t2
4
dT
dt
t2
4
t
2
dT
dt
dT
dt
xy
x4+y2
xy
x4 + y2
(0) ⋅ (0)
(0)4 + (0)2
0
0
0
0
04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/7
Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a
função composta. Sejam as funções f(x, y) = exy, g(t) = cos t, h(t) = sen t e F(t) = f(g(t), h(t)), calcule F ′(0).
Veri�cando se o Teorema do Sanduíche pode ajudar:
Não há nenhum termo multiplicador que possa ajudar:
, ,
Ou função trigonométrica.
Logo,
lim
(x,y)→(0,0)
= = ∄
 
3.
2.
1.
4.
0.
3.
Data Resp.: 04/01/2024 11:27:24
Explicação:
Sabemos que:
f(x, y) = exy
g(t) = x(t) = cos t
h(t) = y(t) = sen t
F(t) = f(x(t), y(t))
Aplicando a regra da cadeia:
= ⋅ + ⋅
Calculando as derivadas:
= exy ⋅ y = yexy
= exy ⋅ x = xexy
= − sen t
= cos t
Voltando:
= ⋅ + ⋅ = yexy ⋅ (− sen t) + xexy ⋅ cos t = exy(−y sen t + x cos t)
= exy(−y sen t + x cos t)
Para o t = 0, temos:
x2
x2 + y2
|x|
|x| + |y|
|x|
√x2 + y2
xy
x4 + y2
0
0
dF
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
∂f
∂x
∂T
∂y
dx
dt
dy
dt
dF
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
dF
dt
04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/7
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um
espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um �uido.
Considere uma placa de metal cuja temperatura (em∘C) é dada por T(x, y) = 36 − 2x2 − 4y2, onde x e y são
medidos em centímetros e um objeto está no ponto P = (2, 1). Determine a temperatura do objeto se este for na
direção do vetor v = (1, 1).
Seja a função h(x, y, z) = 2z3e−2xsen(2y). Determine a soma de fxyz +  no ponto (x,y,z) = (
0,0,2).
x(t) = cos t = cos 0 = 1
y(t) = sen t = sen 0 = 0
Calculando a derivada:
(0) = F ′(0) = e1⋅0(−1 sen 0 + 1 cos 0) = 1(0 + 1) = 1
Logo,
F ′(0) = 1
 
4.
0.
−8√2.
−16√2.
16√2.
8√2.
Data Resp.: 04/01/2024 11:27:35
Explicação:
Calculando a derivada direcional:
(x, y) = ∇f(P) ⋅ = (−8, −8) ⋅ = (−8, −8) ⋅ ( , ) = − − = −
(x, y) = − = −8√2
 Logo, 
(x, y) = −8√2 < 0 ⇒ resfriando 
 
5.
144
96
-144
-48
-96
Data Resp.: 04/01/2024 11:27:56
Explicação:
A resposta correta é: -144
dF
dt
∂T
∂x
v
∥v∥
(1, 1)
√12 + 12
1
√2
1
√2
8
√2
8
√2
16
√2
∂T
∂x
16√2
2
∂T
∂x
∂3f
∂z∂y∂z
04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/7
Seja a função f(x, y, z) = x3y − z4y2, onde x = (u+1)ev−1, y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o
valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1.
Considere a função g(x, y) = arctg(2x + y). Sabe-se que x(u,v)=u2v e y(u,v)=uv. Determine o valor
da expressão 37 ( + ) para (u,v)=(1,2).
Determine a derivada direcional da função f(x, y) = + 5, na direção do vetor ( , − ) no
ponto (x,y) = (1,1).
 
6.
10
14
-12
-19
20
Data Resp.: 04/01/2024 11:28:08
Explicação:
A resposta correta é: -19.
 
7.
11
15
14
13
12
Data Resp.: 04/01/2024 11:28:13
Explicação:
A resposta correta é: 13
 
8.
2√3
1 − √3
2√3 + 1
√3 + 1
2√3 − 1
Data Resp.: 04/01/2024 11:28:31
Explicação:
A resposta correta é: 2√3 + 1
 
9.
∂g
∂u
∂g
∂v
2x2
y
√3
2
1
2
04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/7
Seja a função h(x, y, z) = (x + 2)2ln (y2 + z). Determine o vetor gradiente de h(x,y,z)
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um
espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um �uido. Dessa
forma, determine a derivada direcional f(x, y, z) = xy + y2z no ponto P = (7, −2, 1) na direção do vetor
v = (2, 2, 1).
(2(x + 2)ln(y2 + z), , )
((x + 2)ln(y + z), , )
((x + 2)ln(y2 + z), , )
( , , )
(2ln(y2 + z), , )
Data Resp.: 04/01/2024 11:28:38
Explicação:
A resposta correta é: (2(x + 2)ln(y2 + z), , )
 
10.
0.
2.
-2.
-6.
6.
Data Resp.: 04/01/2024 11:28:55
Explicação:
Calculando o vetor v :
∥v∥ = √(2)2 + (2)2 + (1)2 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3
Calculando o vetor gradiente:
f(x, y, z) = xy + y2z
∇f(x, y, z) = ( , , ) = (y, x + 2yz, y2)
Calcular o vetor gradiente no ponto P :
∇f(x, y, z) = (y, x + 2yz, y2)
∇f(P) = ∇f(7, −2, 1) = ((−2), (7) + 2(−2)(1), (2)2) = (−2, 7 − 4, 4) = (−2, 3, 4)
Cálculo da derivada direcional:
(P) = ∇f(P) ⋅ = (−2, 3, 4) ⋅ = [(−2, 3, 4) ⋅ (2, 2, 1)] =
(P) = [(−2)(2) + (3)(2) + (4)(1)] = [−4 + 6 + 4] = (6) = 2
2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
xyz
y2+z
z(x+2)2
y2+z
2z(x+2)2
y2+z
y(x+2)2
y2+z
x+2
y2+z
2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
y(x+2)2
y2+z
2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂y
∂f
∂x
v
∥v∥
(2, 2, 1)
3
1
3
∂f
∂x
1
3
1
3
1
3
04/01/2024, 11:29 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/7
Logo,
(P) = 2
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 04/01/2024 11:26:30.
∂f
∂x