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05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/8 Exercício por Temas avalie sua aprendizagem As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é . CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Lupa DGT0234_202312036621_TEMAS Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621 Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL 2023.4 FLEX (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. INTEGRAIS TRIPLAS 1. 1. Data Resp.: 05/01/2024 16:22:07 Explicação: Desenhando os limites de integração: x + y + z = 2 ρ(x, y, z) = 2x .5 3 .4 3 .2 3 .1 3 javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:diminui(); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); javascript:aumenta(); 05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/8 Determine o valor de Onde Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta .Para um ponto (x,y) determinado, a variável z, varia: A massa é dada por: Logo, 2. 60 70 40 30 50 Data Resp.: 05/01/2024 16:24:02 Explicação: 0 ≤ x ≤ 2 xy y = 2 − x 0 ≤ z ≤ 2 − x − y m = ∭ W ρ(x, y, z)dV = ∭ W 2xdV = ∫ 20 ∫ 2−x 0 ∫ 2−x−y 0 2xdzdydx = ∫ 2 0 ∫ 2−x 0 2xz ∣∣ 2−x−y 0 dydx = = ∫ 2 0 ∫ 2−x 0 2x(2 − x − y)dydx = ∫ 2 0 ∫ 2−x 0 (4x − 2x2 − 2xy) dydx = ∫ 2 0 (4x − 2x2 − 2x( )) ∣ ∣∣ ∣ 2−x 0 dx = ∫ 2 0 (4x − 2x2 − 2x( )) dx = ∫ 2 0 (x3 − 4x2 + 4x) dx = ( − − 2x2) ∣ ∣ ∣ 2 0 = y2 2 (2 − x)2 2 x4 4 4x3 3 4 3 m = 4 3 1 ∫ 3 1 ∫ −1 2 ∫ 0 (x + 2y − 3z)dxdydz 05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/8 A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos de inércia. Determine o centro de massa do cubo , cuja densidade no ponto é . A resposta correta é: 40 3. Data Resp.: 05/01/2024 16:24:54 Explicação: As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por: Onde são os momentos e é a massa total do sólido. Calculando a massa , para um cubo Calculando os momentos: Voltando para o cálculo do centro de massa: Logo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 (x, y, z) ρ(x, y, z) = x ( , , ) .2 3 1 2 1 2 ( , , ) .2 3 2 3 2 3 ( , , ) .1 2 1 2 1 2 ( , , ) .1 2 2 3 1 2 ( , , ) .2 3 2 3 1 2 x̄ = ; ȳ = ; z̄ = Myz m Mxz m Mxy m M m m 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 m = ∭ W ρ(x, y, z)dV = ∭ W xdV = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 xdxdydz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∣ ∣ ∣ 1 0 dydz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 dydz = m = ∫ 1 0 y ∣ ∣ ∣ 1 0 dz = ∫ 1 0 dz = z ∣ ∣ ∣ 1 0 = x2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Myz = ∭ W xρ(x, y, z)dV = ∭ W x2dV = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 xdxdydz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∣ ∣ ∣ 1 0 dydz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 dydz = Mxy = ∭ W zρ(x, y, z)dV = ∭ W xzdV = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 xzdxdzdy = ∫ 1 0 ∫ 1 0 z ∣ ∣ ∣ 1 0 dzdy = ∫ 1 0 ∫ 1 0 zdzdy = = ∫ 1 0 ∣ ∣ ∣ 1 0 dy = ∫ 1 0 dy = Mxz = ∭ W yρ(x, y, z)dV = ∭ W xydV = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 xydxdzdy = ∫ 1 0 ∫ 1 0 y ∣ ∣ ∣ 1 0 dydz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ydydz = = ∫ 1 0 ∣ ∣ ∣ 1 0 dz = ∫ 1 0 dz = x3 3 1 3 1 3 x2 2 1 2 1 2 z2 2 1 4 1 4 x2 2 1 2 1 2 y2 2 1 4 1 4 x̄ = = = Myz m 1/3 1/2 2 3 ȳ = = = z̄ = = = Mxz m 1/4 1/2 1 2 Mxy m 1/4 1/2 1 2 05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/8 Determine o volume do sólido de�nido pelo cilindro parabólico e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0. Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral 4. 128 32 256 16 64 Data Resp.: 05/01/2024 16:25:21 Explicação: A resposta correta é: 64. 5. Data Resp.: 05/01/2024 16:25:29 Explicação: Integrando de dentro para fora. Primeiro, integrando em relação ao u: Como a derivada de pela regra da cadeia é: Voltado a integral: Segundo, integrando em relação ao v: Terceiro, integrando em relação ao w: (x̄, ȳ , z̄) = ( , , )2 3 1 2 1 2 x = y2 ∫ π0 ∫ π 0 ∫ π 0 cos(u + v + w)dudvdw. .π 2 2π. .3π 2 0. π. ∫ π0 ∫ π 0 ∫ π 0 cos(u + v + w)dudvdw = ∫ π 0 ∫ π 0 [sen(u + v + w)]∣∣ u=π u=0 dvdw sen(u + v + w) (sen(u + v + w))′ = cos(u + v + w) ⋅ (u + v + w)′ = cos(u + v + w) ⋅ (1 + 0 + 0) = = cos(u + v + w) = ∫ π0 ∫ π 0 [sen(u + v + w)]∣∣ u=π u=0 dvdw = ∫ π0 ∫ π 0 sen(u + v + w) − sen(v + w)dvdw ∫ π 0 ∫ π 0 [sen(u + v + w) − sen(v + w)]dvdw = ∫ π 0 [− cos(π + v + w) + cos(v + w)] ∣ ∣ ∣ v=π v=0 dw = = ∫ π 0 [− cos(2π + w) + cos(π + w) − (− cos(π + w) + cos(w))]dw = = ∫ π 0 − cos(2π + w) + 2 cos(π + w) − cos(w)dw 05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/8 A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de , sabendo que compreende a região contida dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone . Sabendo que para qualquer Logo: Portanto, Logo, 6. Data Resp.: 05/01/2024 16:25:55 Explicação: Transformando em coordenadas cilíndricas: De�nindo os limites de integração: Sabemos que e que a região está dentro do cilindro , logo: Como a região está entre o plano e abaixo do cone , temos: Como não temos restrição para o ângulo : ∫ π 0 − cos(2π + w) + 2 cos(π + w) − cos(w)dw = [− sen(2π + w) + 2 sen(π + w) − sen(w)]|w=πw=0 = = [− sen(3π) + 2 sen(2π) − sen(π) − (− sen(2π) + 2 sen(π) − sen(0))] = sen(kπ) = 0 k ∈ Z sen(3π) = sen(2π) = sen(π) = sen(0) = 0 = [− sen(3π) + 2 sen(2π) − sen(π) − (− sen(2π) + 2 sen(π) − sen(0))] = 0 ∫ π0 ∫ π 0 ∫ π 0 cos(u + v + w)dudvdw = 0 ∭ E x2dV E x2 + y2 = 1 z = 0 z2 = 4x2 + 4y2 π. .2 5 .5π 2 .π 5 .2π 5 (x, y, z) → (r, θ, z) ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ x = r cos θ y = r sen θ z = z x = r cos θy = r sen θ x2 + y2 = 1 x2 + y2 ≤ 1 (r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 1 r2(cos2 θ + sen2 θ) 1 ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1 z = 0 z2 = 4x2 + 4y2 0 ≤ z2 ≤ 4x2 + 4y2 0 ≤ z2 ≤ 4(r cos θ)2 + 4(r sen θ)2 0 ≤ z2 ≤ 4r2(cos2 θ + sen2 θ) 1 0 ≤ z ≤ 2r θ 0 ≤ θ ≤ 2π 05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/8 Determine o valor da integral , onde V está contido na região de�nida por . A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume , sabendo que compreende a região contida dentro do cilindro e entre os planos e . Montando a integral, Calculando a integral, temos: Logo, 7. Data Resp.: 05/01/2024 16:26:21 Explicação: A resposta correta é: 8. Data Resp.: 05/01/2024 16:26:55 Explicação: Transformando em coordenadas cilíndricas: De�nindo os limites de integração: Sabemos que e que , e que a região está dentro do cilindro , logo: ∭ E x2dV = ∫ 2π0 ∫ 1 0 ∫ 2r 0 (r cos θ) 2rdzdrdθ ∭ E x2dV = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ 2r 0 (r cos θ)2rdzdrdθ dV = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ 2r 0 r3 cos2 θdzdrdθ = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 2r4 cos2 θdrdθ = 2( ) ∣ ∣ ∣ 1 0 ⋅ ( ) ∣ ∣ ∣ 2π 0 π = r5 5 2 5 θ + sen θ + cos θ 2 2π 5 ∭ E x2dV = 2π 5 ∭ V 64z dxdydz {(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ e 0 ≤ φ ≤ }π 4 π 4 30π 25π 15π 10π 20π 15π ∭ E √x2 + y2dV E x2 + y2 = 16 z = −5 z = 4 84π. 284π. 484π. 184π. 384π. (x, y, z) → (r, θ, z) ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ x = r cos θ y = r sen θ z = z x = r cos θ y = r sen θ x2 + y2 = 16 05/01/2024, 16:28Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/8 Marque a alternativa que apresenta a integral em coordenadas cilíndricas, onde V é o sólido limitado inferiormente pelo cone e superiormente pelo paraboloide Como não temos restrição para o ângulo : Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é (r): Calculando a integral, temos: Logo, 9. Data Resp.: 05/01/2024 16:27:44 Explicação: A resposta correta é: 10. x2 + y2 ≤ 16 (r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 16 r2(cos2 θ + sen2 θ) 0≤r≤4 ≤ 42 θ 0 ≤ θ ≤ 2π ∭ E √x2 + y2dV = ∫ 4−5 ∫ 2π 0 ∫ 4 0 (r)rdrdθdz dV ∫ 4 −5 ∫ 2π 0 ∫ 4 0 r2drdθdz = ∫ 4 −5 ∫ 2π 0 ∣ ∣ ∣ 4 0 dθdz = ∫ 4 −5 ∫ 2π 0 dθdz = ∫ 4 −5 θ ∣ ∣ ∣ 2π 0 dz = ∫ 4 −5 (2π)dz = = ∫ 4 −5 dz = z ∣ ∣ ∣ 4 −5 = (4 + 5) = 384π r3 3 64 3 64 3 64 3 128π 3 128π 3 128π 3 ∭ E √x2 + y2dV = 384π ∭ V e(x 2+y2)3/2dV z2 = x2 + y2 z = 4 − x2 − y2 2π ∫ 0 4 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 eρ 2 dzdρdθ 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρeρ 2 dzdρdθ π ∫ 0 1 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρeρ 3 dzdρdθ 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρ3 dzdρdθ 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρ2eρ 3 senθ dzdρdθ 2π ∫ 0 2 ∫ 0 4−x2−y2 ∫ √x2+y2 ρeρ 2 dzdρdθ 05/01/2024, 16:28 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/8 Seja o sólido limitado pelos planos e pelo paraboloide . Sabe-se que sua densidade volumétrica de massa é dada pela equação . Marque a alternativa que apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. Data Resp.: 05/01/2024 16:27:58 Explicação: A resposta correta é: Não Respondida Não Gravada Gravada Exercício por Temas inciado em 05/01/2024 16:21:26. z = 9 z = 25 − x2 − y2 δ (x, y, z) = x2y2 4 ∫ −4 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 x2y2dxdydz 4 ∫ 0 √16−x2 ∫ 0 25−x2−y2 ∫ 0 (x2 + y2)x2y2dzdydx 4 ∫ 0 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 0 (x2 + y2)x2y2dzdydx 4 ∫ −4 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 (x2 + y2)x2y2dzdydx 5 ∫ −5 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 (x2 + y2)x2y2dxdydz 4 ∫ −4 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 (x2 + y2)x2y2dzdydx
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