FUNDAMENTOS DE ANÁLISE

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1a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	O conceito matemático mais básico da humanidade é provavelmente o da contagem, o qual está totalmente relacionado com os números naturais. O conjunto de regras/axiomas que define os números naturais foi criado por qual matemático?
		
	
	George Cantor.
	
	Julius Dedekind.
	
	Elon Lages Lima.
	
	Birkhoff Maclane.
	 
	Giussepe Peano.
	Respondido em 25/11/2023 11:55:16
	
	Explicação:
O conjunto de regras que definem os números naturais é conhecido como axiomas de Peano, sendo assim, apesar das contribuições de Cantor e Dedekind terem contribuído para uma definição precisa dos números reais, o cerne dos números naturais contido em milénios de história foi criado por Giussepe Peano em 1882.
	
		2a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Axiomas são verdades absolutas, que servem como base para o desenvolvimento de outras afirmações, postulados etc. Qual das afirmações a seguir não é o Axioma de Arquimedes e nem a Propriedade arquimediana:
		
	
	Se a é um número real tal que a≥0 e a0, então a=0
	 
	Todo conjunto limitado superiormente possui um supremo
	
	Para todo número real r>0 existe n∈N tal que 0<1/n<r< p=""></r<>
	 
	Os números naturais N não são limitados superiormente
	
	Dados dois números reais, a>0 e b>0, existe um número natural n tal que na>b
	Respondido em 25/11/2023 11:56:20
	
	Explicação:
O ponto é que todo conjunto limitado superiormente tem supremo é o Axioma do supremo, todos os outro são a propriedade arquimediana e o Axioma de Arquimedes.
	
		3a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:
I. As métricas d1  e d∞  são equivalentes em R2�2.
II. As métricas d1  e d∞  são equivalentes em Rn��
III. As métricas d1  e d∞  São equivalentes em C[0,1]
		
	
	F, V, V.
	
	V, V, V.
	 
	V, F, V.
	
	V, F, F.
	 
	V, V, F.
	Respondido em 25/11/2023 11:56:45
	
	Explicação:
Vimos que as métricas clássicas de Rn��, tem a propriedaded∞ (P,Q) ≤ d1 (P,Q) ≤ nd∞ (P,Q), o que garante que tais métricas são equivalentes. Mas vimos também que em um espaço métrico, se ele for completo com uma métrica d, então ele deverá ser completo com qualquer métrica equivalente a ela, contudo, o texto nos apresentou o resultado que (C[0,1],d∞)  é completo, mas (C[0,1],d1) , não é completo, logo as métricas não podem ser equivalentes.
	
		4a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Determine o intervalo de convergência da série:
		
	 
	[-1,1)
	 
	[-1,1]
	
	(-1,1)
	
	{-1,1}
	
	(-1,1]
	Respondido em 25/11/2023 11:59:12
	
	Explicação:
	
		5a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	O conceito matemático mais básico da humanidade é provavelmente o da contagem, o qual está totalmente relacionado com os números naturais. Seja In={1,2,⋯,n}, o conjunto das partes de P(In ) é a coleção de todos os subconjuntos de In. Determine #[P(In)].
		
	 
	2n
	
	n
	
	n2
	
	3n
	
	n3
	Respondido em 25/11/2023 11:59:27
	
	Explicação:
	
		6a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Qual das sentenças a seguir é um número irracional entre 2/3  e 3/4.
		
	
	√3333
	 
	√5353
	 
	√5252
	
	√3232
	
	√2323
	Respondido em 25/11/2023 12:02:11
	
	Explicação:
Note que:
	
		7a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Quais das sentenças a seguir definem um conjunto compacto em um espaço métrico:
		
	 
	Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito compacto, se e somente se A for fechado e limitado.
	 
	Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é compacto, se e somente se toda cobertura aberta de A, tem uma subcobertura finita.
	
	Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito compacto, se e somente se Ac é aberto.
	
	Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito compacto, se e somente se ele não puser ser a união de dois conjuntos separados.
	
	Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito compacto, se e somente se Ac for fechado.
	Respondido em 25/11/2023 12:03:22
	
	Explicação:
Basta darmos os nomes corretos a cada uma das sentenças apresentadas,
· Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito conexo, se e somente se ele não puder ser a união de dois conjuntos separados.
· Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito fechado, se e somente se Ac é aberto
· Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito aberto, se e somente se Ac  for fechado.
· Seja E um espaço métrico, diremos que um conjunto A ⊂ E é dito compacto, se e somente se A for fechado e limitado. Essa afirmação é simplesmente falsa.
Nesta última sentença, temos uma "pegadinha" que pode gerar confissão, uma vez que todo compacto é fechado e limitado, contudo, a recíproca, só vale em espaços n dinencionais, uma vez que a bola unitária fechada em l∞  é fechada e limitada, mas não é compacta.
 
	
		8a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Determine quais das sequencias abaixo são limitadas ou ilimitadas:
		
	
	I-Limitada; II-Limitada; III-Ilimitada
	
	I-Limitada; II-Ilimitada, III-Ilimitada
	 
	I-Limitata; II- Ilimitada, III-Limitada
	
	I-Limitada; II-Limitada, III-Limitada
	
	I-Ilimitada; II-Ilimitada; III-Limitada
	Respondido em 25/11/2023 12:05:23
	
	Explicação:
	
		9a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	O conceito matemático mais básico da humanidade é provavelmente o da contagem, o qual está totalmente relacionado com os números naturais. Diga se as sentenças a seguir, são verdadeiras ou falsas:
 
I. Z é enumerável.
II. Se existe uma função sobrejetora de um conjunto N em S, então S é enumerável.
III. Se existe uma função injetora de um conjunto S em N, então S é enumerável.
		IV. 
	
	F, F, F
	
	V, F, F
	 
	V, V, V
	
	V, F, V
	 
	V, V, F
	Respondido em 25/11/2023 12:05:49
	
	Explicação:
	
		10a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Considere a sequência de intervalos encaixados, K_n=[n,∞)com n∈N. Determine .
		
	
	(0,∞)
	 
	∅
	
	R
	 
	[1,∞)
	
	Existe algum elemento indeterminável {x}
	Respondido em 25/11/2023 12:06:23
	
	Explicação:
Pelo axioma de Arquimedes, fixado x>0, existe n∈N, tal que n>x, logo não existe x que pertença a todos os intervalos da forma [n,∞). Como x foi arbitrado, temos que .