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NOÇÕES DE CONTABILIDADE PÚBLICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS1
RACIOCÍNIO
LÓGICO
QUANTITATIVO
NOÇÕES DE CONTABILIDADE PÚBLICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS2
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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CONCEITOS BÁSICOS 
DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
RACIOCÍNIO VERBAL 
 
A Lógica é uma ciência fortemente ligada à 
Filosofia, embora tenha muitas características 
matemáticas. O Pensamento Lógico e traduzido 
através das regras do bem pensar, do pensar correto, 
é um instrumento do pensar humano. O filósofo grego 
Aristóteles, em sua obra "Órganon", foi o seu principal 
organizador. George Boole, em seu livro "A Análise 
Matemática da Lógica", estruturou os princípios 
matemáticos da lógica formal, que, em sua 
homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. 
Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra 
booleana em interruptores, o que deu origem aos 
atuais computadores. A partir de 1996 começou a 
“cobrança” deste conteúdo nos concursos públicos. 
Estudar lógica compreende a análise de raciocínio 
matemático relacionado com as premissas do 
pensamento analítico, faremos as relações entre 
pessoas, lugares, objetos e/ou eventos fictícios em 
situações arbitrárias. 
Para realizar tal feito com seriedade e resultados 
teremos que ter como base essencialmente os 
conhecimentos básicos matemáticos, é de suma 
importância o domínio dos conceitos matemáticos, 
que estão diretamente ligados ao pensamento e 
raciocínio lógico. 
Para tanto, portanto, estudaremos não só as 
relações lógicas, como também a matéria 
propriamente dita de matemática, assim você verá 
que a disciplina Raciocínio Lógico não é o “bicho 
papão” que os candidatos tanto propagam. 
Raciocínio Verbal é a condição na qual 
conseguimos raciocinar elementos verbais e 
estruturá-los, criando desta forma significados, ordem 
e relação entre eles. Esta capacidade intelectual não 
e muito trabalhada ou mesmo estimulada na fase 
escolar e na vida adulta. As informações são 
distribuídas nos meios de comunicação e o receptor 
de uma forma passiva apenas recebe-as sem 
interpretá-las com um raciocínio próprio. 
Nos testes psicológicos e de QI a avaliação do 
Raciocínio Verbal é feito certamente para avaliar o 
candidato neste nível, o objetivo dos testes de 
Raciocínio Verbal é analisar o candidato para a vaga 
pretendida e perceber qual dos profissionais avaliados 
possuem o elemento buscado nos profissionais de 
hoje em dia, a capacidade de criar, elaborar, ordenar 
e construir pensamentos próprios. 
Os testes de Raciocínio Verbal podem levar o 
candidato a criar raciocínios não lógicos no inicio da 
resolução dos exercícios, mas a resolução em si e 
todo o percurso do exercício é baseado na estrutura 
do pensamento verbal, que por sua vez e criado pelo 
caminho do raciocino logico. 
 
Falso / Verdadeiro / Não posso dizer 
Este e o formato mais popular de respostas dos 
testes de raciocínio verbal. Nossos testes ajudaram 
você a resolver este tipo de questão, e com a prática 
sua habilidade de concentração, rapidez para 
responder as perguntas e o seu raciocínio critico 
estará apto para a resolução dos testes de raciocínio 
verbal. 
Importante: 
Leia a pergunta antes de ler o texto; 
 
Divida o texto em parágrafos, 
e procure a resposta em cada paragrafo. 
 
 - Marque as palavras extremas, como muito mais, 
muito, menos, nunca, sempre, etc. 
 
Quais os Profissionais que realizam testes de 
Raciocínio Verbal? 
 
O Raciocínio Verbal dos candidatos são avaliados 
através de testes de QI e testes Psicológicos, 
certamente se sua avaliação envolver um destes 
testes você deverá se preparar para realizar o teste 
de Raciocínio Verbal. 
 
Teste de Raciocínio Verbal 
Estas questões são constituídas por frases onde 
falta a última palavra. 
É necessário encontrar essa palavra de modo a 
completar corretamente a frase. 
Veja os exemplos: 
 
Exemplo A 
Dia está para noite como claro está para: 
A. Luz 
B. Energia 
C. Escuro 
D. Claridade 
E. Eletricidade 
 
(A frase estaria correta ao escolhermos a palavra 
"escuro", ficando: Dia está para noite como claro está 
para escuro. 
A sua missão será selecionar a palavra correta). 
Analise agora os exemplos seguintes: 
 
Exemplo B 
Calçado está para couro como vestuário está 
para: 
A. Tecido 
B. Camisola 
C. Têxtil 
D. Roupa 
E. Algodão 
 
Exemplo C 
Almoço está para refeição como automóvel está 
para: 
A. Autoestrada 
B. Motor 
C. Piloto 
D. Veículo 
E. Viagem 
 
(No exemplo B a letra a indicar "A"; no Exemplo C 
a letra correta seria "D". Verifique se as suas 
respostas coincidem). 
 
Antes de começar uma prova verifique se 
compreendeu bem o tipo de exercícios a resolver e a 
forma como vai responder. 
Procure trabalhar o mais rápido que puder mas 
sem se enganar. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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SEQUÊNCIAS LÓGICAS ENVOLVENDO 
NÚMEROS LETRAS E FIGURAS 
 
Os estudos matemáticos ligados aos fundamentos 
lógicos contribuem no desenvolvimento cognitivo dos 
alunos, induzindo a organização do pensamento e das 
ideias, na formação de conceitos básicos, assimilação 
de regras matemáticas, construção de fórmulas e 
expressões aritméticas e algébricas. 
É de extrema importância, em Matemática, a 
utilização de atividades extras envolvendo lógica, no 
intuito de despertar o raciocínio, fazendo com que o 
aluno utilize seu potencial na busca por soluções dos 
problemas matemáticos baseados nos conceito 
Lógicos. 
A lógica está presente em diversos ramos da 
Matemática, como a probabilidade, os problemas de 
contagem, as progressões aritméticas e geométricas, 
as sequências numéricas, equações, funções, análise 
de gráficos entre outros. 
Os fundamentos lógicos contribuirão na resolução 
ordenada de equações, na percepção do valor da 
razão de uma sequência, na elucidação de problemas 
aritméticos e algébricos e na fixação de conteúdos 
complexos. 
 A utilização das atividades lógicas contribui na 
formação de indivíduos capazes de criar ferramentas 
e mecanismos responsáveis pela obtenção de 
resultados na disciplina de Matemática. 
O sucesso na Matemática está diretamente 
conectado à curiosidade, pesquisa, deduções, 
experimentos, visão detalhada, senso crítico e 
organizacional e todas essas características estão 
ligadas ao desenvolvimento lógico. 
As figuras a seguir possuem números que 
representam uma sequência lógica. Complete com o 
número que está faltando. Exemplos: 
 
(1) 
(2) 
(3) 
 
(4) 
 
 
Exemplo 1 
A sequência numérica proposta envolve 
multiplicações por 4. 
6 x 4 = 24 
24 x 4 = 96 
96 x 4 = 384 
384 x 4 = 1536 
 
Exemplo 2 
A diferença entre os números vai aumentando 1 
unidade. 
13 – 10 = 3 
17 – 13 = 4 
22 – 17 = 5 
28 – 22 = 6 
35 – 28 = 7 
 
Exemplo 3 
Multiplicar os números sempre por 3. 
1 x 3 = 3 
3 x 3 = 9 
9 x 3 = 27 
27 x 3 = 81 
81 x 3 = 243 
243 x 3 = 729 
729 x 3 = 2187 
 
Exemplo 4 
A diferença entre os números vai aumentando 2 
unidades. 
24 – 22 = 2 
28 – 24 = 4 
34 – 28 = 6 
42 – 34 = 8 
52 – 42 = 10 
64 – 52 = 12 
78 – 64 = 14 
 
SEQUÊNCIA DE LETRAS 
As sequências de letras podem estar associadas a 
uma série de números ou não. 
 
Em geral, você deve escrever todo o alfabeto 
(observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e 
circular as letras dadas para entender a lógica 
proposta. 
 
A C F J O U 
Observe que foram saltadas 1,2,3,4 e 5 letras e 
esses números estão em progressão. 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 
 
B1 2F H4 8L N16 32R T64 
Nesse caso, associou-se letras e números 
(potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 
1,3,1,3,1,3 e 1 posições. 
 
SEQUÊNCIA DE PESSOAS 
Na série a seguir, temo sempre um homem 
seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão 
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º, ...)serão mulheres e a posição dos braços sempre 
alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de 
dois (2º, 4º, 6º, 8º, ...). 
Sendo assim, a sequência se repete a cada seis 
termos, tornando possível determinar quem estará em 
qualquer posição. 
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SEQUÊNCIA DE FIGURAS 
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo 
padrão visto na sequência de pessoas ou 
simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a 
seguir. 
 
RACIOCÍNIO ESPACIAL 
E RACIOCÍNIO TEMPORAL 
 
Raciocínio Espacial 
O raciocínio espacial é uma habilidade importante 
que gera conceitos e soluções para problemas que 
surgem em áreas como arquitetura, engenharia, 
ciências, matemática, arte, jogos, e também no 
cotidiano. É preciso um bom raciocínio espacial para 
navegar pelas ruas, usar mapas, resolver quebra-
cabeças ou jogar sinuca, decorar a casa, estudar 
geometria e física, ou simplesmente decidir se é 
possível fazer um sofá passar pela porta. Então vá em 
frente e pratique a manipulação de representações 
mentais: gire, reflita, inverta, dobre e desdobre. 
 
Raciocínio Espacial: Exemplos 
Exercício 1 
Qual das Figuras (a, b, c, d) pode ser montada ao 
dobrar o seguinte modelo: 
 
 
 
 
 
Como o modelo do exemplo é completamente 
escuro, você só pode construir uma "figura 
completamente escura". Portanto, a resposta será a 
marcada com a letra "b", porque as outras figuras têm 
setores brancos. 
 
Exercício 2 
Qual das Figuras (a, b, c, d) pode ser montada ao 
dobrar o modelo: 
 
 
 
 
 
Como o modelo tem um quadrado preto em cada 
um de seus lados, você só pode construir uma figura 
com "quadrados-pretos em cada um de seus lados." 
Somente a forma "d" é uma figura com estas 
características. 
 
Exercício 3 
Ao sobrepor as duas figuras, são eles exatamente 
iguais? 
 
 
Sim ou Não 
 
As duas figuras têm o mesmo número de cubos, 
mais não encaixam exatamente, porque esses blocos 
estão localizados em posição diferente. 
 
Exercício 4 
Se dobro a figura pela linha tracejada, como a 
figura vai ser (a, b, c)? 
 
 
 
a: b: c: 
 
Somente a figura "a" tem a mesma forma. 
 
Exercício 5 
Qual figura não pertence ao grupo? 
 
a: b: c: 
d: e: 
 
Se sobrepomos as figuras, a forma marcada com 
"d" não encaixa com as outras. 
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NUMERAÇÃO 
 
A convivência em sociedade provocou na 
humanidade, a necessidade da criação de um 
mecanismo capaz de gerenciar numerais. 
Para expressarmos quantidades ou para 
enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um 
sistema de numeração. 
Existem vários sistemas de numeração, mas o 
mais comum e que é frequentemente utilizado por 
nós, é o sistema de numeração decimal. 
Neste sistema os números são representados por 
um agrupamento de símbolos que chamamos de 
algarismos ou dígitos. 
O sistema de numeração decimal possui ao todo 
dez símbolos distintos, através dos quais se 
utilizarmos apenas um dígito, podemos representar 
quantidades de zero a nove. 
Dígitos ou algarismos são símbolos numéricos 
utilizados na representação de um número, por 
exemplo, o número 756 é composto de três dígitos: 7, 
5 e 6. 
No sistema decimal contamos com dez símbolos 
distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
 
Ordens e Classes 
As casas das unidades, das dezenas e das 
centenas são chamadas de ordens. 
No sistema de numeração decimal a cada três 
ordens posicionadas da direita para a esquerda temos 
uma classe. 
A primeira classe, também da direita para a 
esquerda, é a das unidades, na sequência temos a 
classe dos milhares, dos milhões, bilhões e assim por 
diante conforme a figura abaixo: 
 
Bilhões Milhões Milhares Unidades
centenas dezenas unidades 
 
CONTAGEM, MEDIÇÃO, 
AVALIAÇÃO E QUANTIFICAÇÃO. 
 
O princípio fundamental da contagem nos diz que 
sempre devemos multiplicar os números de opções 
entre as escolhas que podemos fazer. 
Por exemplo, para montar um computador, temos 
3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 
tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o 
numero de diferentes possibilidades de computadores 
que podem ser montados com essas peças, somente 
multiplicamos as opções: 
3 x 4 x 2 x 3 = 72 
Então, têm-se 72 possibilidades de configurações 
diferentes. 
Um problema que ocorre é quando aparece a 
palavra “ou”, como na questão: 
Quantos pratos diferentes podem ser solicitados 
por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos 
de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de 
cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente 
não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo 
tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher 
uma opção de cada alimento? 
A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente 
pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e 
refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as 
opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O 
que devemos fazer aqui é apenas somar essas 
possibilidades: 
(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 
Resposta para o problema: existem 90 
possibilidades de pratos que podem ser montados 
com as comidas e bebidas disponíveis. 
Outro exemplo: 
No sistema brasileiro de placas de carro, cada 
placa é formada por três letras e quatro algarismos. 
Quantas placas onde o número formado pelos 
algarismos seja par, podem ser formadas? 
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. 
Segundo, para que o numero formado seja par, 
teremos de limitar o último algarismo à um numero 
par. Depois, basta multiplicar. 
26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras 
10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note 
que na última casa temos apenas 5 possibilidades, 
pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8). 
Agora é só multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 
87.880.000 
Resposta para a questão: existem 87.880.000 
placas onde a parte dos algarismos formem um 
número par. 
 
SIMETRIA 
 
A palavra Simetria tem sua origem no grego 
"medida". A simetria é uma característica que pode 
ser observada em algumas formas geométricas, 
equações matemáticas ou outros objetos, ou 
entidades abstratas, relacionadas com a sua 
invariância sob certas transformações, movimentos ou 
trocas. O seu conceito está relacionado com o de 
isometria (e às operações geométricas associadas: 
reflexão, reflexão deslizante, rotação e translação). 
Neste artigo serão consideradas apenas a reflexão 
e a reflexão deslizante, que, na maioria dos textos, 
são as operações da isometria que estão diretamente 
relacionadas com a simetria. 
Através da reflexão, uma imagem é invertida em 
relação a um eixo, formando-se uma imagem 
espelhada da original. 
De forma mais lata, existe simetria se uma 
mudança num dado sistema mantém as 
características essenciais do sistema inalteradas; e.g., 
num determinado arranjo de cargas eléctricas, se 
trocarmos o sinal de cada uma das cargas eléctricas 
aí presentes, o comportamento eléctrico do sistema 
permanecerá inalterado. 
A simetria ocorre ou é aplicada em várias das 
vertentes da ação humana: na geometria, matemática, 
física, biologia, arte e até na literatura (nos 
palíndromos), etc. Ainda que dois objetos 
semelhantes pareçam o mesmo, eles são, 
logicamente, diferentes. De fato, a simetria refere-se 
mais a semelhanças que a igualdades. 
A dificuldade que a nossa capacidade perceptiva 
tem em diferenciar imagens que à partida parecem 
ser iguais (o que se percebe nas crianças que têm 
dificuldade em desenhar figuras geométricas a partir 
de um eixo) será, provavelmente, responsável pela 
ligeireza e ameno estado de consciência alterada 
provocado pela observação de padrões geométricos 
intrincados baseados na simetria. 
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Simetria na geometria 
Em termosgeométricos, considera-se simetria 
como a semelhança exata da forma em torno de uma 
determinada linha reta (eixo), ponto ou plano. 
Se, ao rodarmos a figura, invertendo-a, ela for 
sobreponível ponto por ponto (segundo os princípios 
da geometria euclidiana), ela é simétrica. 
Para a maioria das pessoas, a ideia de simetria 
está ligada mais a pensamentos sobre arte e natureza 
do que sobre matemática. 
De fato, nossas ideias de beleza estão 
intimamente relacionadas a princípios de simetria, e 
simetrias são encontradas por todo o mundo. 
É esse o caso das imagens refletidas por um 
espelho. 
Efetivamente, se no meio da letra O colocarmos 
um espelho exatamente ao meio da figura, na vertical, 
a mistura das duas imagens (a real e a refletida) 
forma um novo O já que a letra referida tem esse eixo 
de simetria. 
Dada uma imagem, a sua simétrica preservará o 
comprimento e o ângulo, mas nem sempre mantém a 
direção e sentido das várias partes da figura (embora 
isso possa acontecer em alguns casos). 
 
Exercícios de Lógica: 
1. Admita verdadeira a declaração: “se gato é 
felino, então cachorro não é felino”. Nestas condições, 
concluímos corretamente que, 
A) se cachorro não é felino, então gato não é 
Felino. 
B) se cachorro não é felino, então gato é felino. 
C) se gato não é felino, então cachorro é felino. 
D) se cachorro é felino, então gato é felino. 
E) se cachorro é felino, então Gato não é felino. 
 
2. Mário é mais velho que Marcos, que é mais 
novo que Leandro; Júlio é mais velho do que Leandro, 
que é mais novo do que Mário. Júlio não é mais novo 
do que Mário. Sabendo-se que todos os quatros têm 
idades diferentes, podemos dizer que: 
A) Mário é o mais velho. 
B) Leandro é mais velho do que Júlio. 
C) Marcos é mais velho do que Leandro. 
D) Marcos é o mais jovem. 
E) Leandro é o mais jovem. 
 
3. Observando a sequência (A, C, F, M,…), 
podemos dizer que o próximo termo da sequência é: 
A)Q. B)T. C)S. D)P. E)R. 
 
4. Três amigas foram para um casamento usando 
vestidos nas cores vermelho, verde e amarelo, 
respectivamente. Sabe-se que seus pares de sapatos 
apresentavam essas mesmas três cores, mas 
somente Mônica usava vestido e sapatos da mesma 
cor. Nem o vestido nem os sapatos de Morgana eram 
amarelos. Juliana usava sapatos azuis. Então 
podemos dizer que os vestidos de Mônica, Morgana e 
Juliana eram, respectivamente, das seguintes cores: 
A) amarelo, vermelho e verde. 
B) azul, verde e amarelo. 
C) amarelo, verde e azul. 
D) verde, azul e amarelo 
E) vermelho, amarelo e verde. 
 
5. Ou Socorro será Bancária, ou Sônia será 
Médica, ou Graça será Enfermeira. Se Ana for 
Repórter, então Graça será Enfermeira. Se Sônia for 
Médica, então Ana será Repórter. Ora, Graça não 
será Enfermeira. Então: 
A) Socorro será Bancária e Sônia não será 
Médica. 
B) Sônia não será Médica e Ana será Repórter. 
C) Sônia será Médica ou Ana será Repórter. 
D) Sônia será Médica e Graça não será 
Enfermeira. 
E) Socorro não será Bancária e Ana não será 
Repórter. 
 
6. – Uma professora de matemática faz as três 
seguintes afirmações: 
"X > Q e Z < Y"; 
"X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z"; 
"R ≠ Q, se e somente se Y = X"; 
 
Sabendo-se que todas as afirmações da 
professora são verdadeiras, conclui-se corretamente 
que: 
A) X > Y > Q > Z B) X > R > Y > Z 
C) Z < Y < X < R D) X > Q > Z > R 
E) Q < X < Z < Y 
 
7. Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero 
é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é 
bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou 
Homero é honesto. Logo, 
A) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é 
justo. 
B) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio 
não é justo. 
C) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é 
justo. 
D) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, 
Júlio não é justo. 
E) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é 
justo. 
 
8. Durante uma conversa de bar, seis professores 
discordaram sobre quais times foram campeões 
cariocas em três anos remotos (A, B, C). Seus 
palpites estão na tabela a seguir: 
 
 
 
Verificou-se, depois, que cada um havia acertado 
ao menos um palpite. Pode-se garantir que os 
campões, nos anos A e C, foram, respectivamente: 
A) Botafogo e Botafogo. 
B) Fluminense e Fluminense. 
C) Botafogo e Fluminense. 
D) Botafogo e Flamengo. 
E) Flamengo e Botafogo. 
 
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9. Ronaldo brincava distraído com dois dados que 
planificados ficavam da seguinte forma: 
 
Marcelo seu primo, observava e imaginava quais 
seriam as possíveis somas dos resultados dos dois 
dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, 
ficassem apoiados sobre as suas faces sem 
numeração. O resultado da observação de Marcelo 
corresponde a: 
A) 3, 4, 6 e 8. B) 3, 4, 8 e 10. 
C) 4, 5 e 10. D) 4, 6 e 8. 
E) 3, 6, 7 e 9. 
 
10. O rei ir à caça é condição necessária para o 
duque sair do castelo, e é condição suficiente para a 
duquesa ir ao jardim. 
Por outro lado, o conde encontrar a princesa é 
condição necessária e suficiente para o barão sorrir e 
é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. 
O barão não sorriu. 
 
Logo: 
A) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a 
princesa. 
B) Se o duque não saiu do castelo, então o conde 
encontrou a princesa. 
C) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a 
princesa. 
D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 
E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 
 
11. A negação de “Todos os caminhos levam a 
Roma” é: 
A) “Todos os caminhos não levam a Roma”. 
B) “Nenhum caminho leva a Roma”. 
C) “Pelo menos um caminho leva a Roma” 
D) “Pelo menos um caminho não leva a Roma”. 
E) “Não há caminhos para Roma”. 
 
12. Num mesmo dia, uma mercadoria foi 
comprada por R$ 70,00, vendida por R$ 80,00, 
recomprada por R$ 90,00 e, finalmente, vendida por 
R$ 100,00. No final dessa sequência de compras e 
vendas, o dono dessa mercadoria: 
A) teve um lucro de R$ 10,00. 
B) teve um prejuízo de R$ 10,00. 
C) teve um prejuízo de R$ 20,00. 
D) teve um lucro de R$ 20,00. 
E) não teve lucro nem prejuízo. 
 
13. Em uma caixa há 2 bolas azuis, 3 bolas 
amarelas e 4 bolas pretas. Serão retiradas N bolas 
dessa caixa, simultaneamente e de forma totalmente 
aleatória. O menor valor inteiro positivo de N, para 
que se possa garantir que haverá bolas de todas as 
cores, é: 
A)4 B)5 C)6 
D)7 E) 8 
 
14. Considere uma pergunta e duas informações 
as quais assumiremos como verdadeiras. 
Pergunta: Entre João, Nuno e Luís, quem é o mais 
baixo? 
Informação 1: João é mais alto do que Luís. 
Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís. 
Diante desses dados conclui-se que: 
A) a primeira informação, sozinha, é suficiente 
para que se responda corretamente à pergunta, e a 
segunda, insuficiente. 
B) a segunda informação, sozinha, é suficiente 
para que se responda corretamente à pergunta, e a 
primeira, insuficiente. 
C) as duas informações, em conjunto, são 
suficientes para que se responda corretamente à 
pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente. 
D) as duas informações, em conjunto, são 
insuficientes para que se responda corretamente à 
pergunta. 
E) cada uma das informações sozinha é suficiente 
para que se responda corretamente à pergunta. 
 
 RESPOSTAS: 
1) E 2) D 
3) E 4) A 
5) A 6) B 
7) C 8) A 
9) D 10) C 
11) D 12) D 
13) E 14) C 
 
CALENDÁRIO 
 
Vamos supor que eu lhe peça para escolher nove 
dias quaisquer de um determinado mês. Podemos 
usar como exemplo o mês de junho de 2010. Veja que 
temos nove dias destacados no calendário abaixo: 
Mês de Junho de 2010. 
 
 
 
Agora vou lhe perguntar qual é a menor data, ou 
seja, o número de menor valor encontrado entre as 
nove datas que você escolheu. 
(É claro, supondo que você tenha escolhido o 
quadrado 1,2,3,8,9,10,15,16,17 do exemplo dado).Noexemplo temos que Terça-Feira, o dia 1º é a menor 
data, pois corresponde ao número um. Agora vem o 
truque que é muito legal. 
Vou descobrir o total da soma de todos os valores 
que estão neste quadrado supostamente escolhido 
por você. Neste momento você faz cara de espanto 
dizendo – Não acredito! Sem mostrar para você, faço 
minhas contas que na verdade são muito fáceis. 
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Veja abaixo: 
Pego o menor valor que você já me disse. 1, e 
somo com 8. Que dá o valor 9. Multiplico o valor 
encontrado por 9 que dá 81. 
 
(1+8).9 =81 . Vamos conferir? 
 
(1+2+3)+(8+9+10)+(15+16+17) = 81 
 
6+27+48=81. Confere! 
 
É fácil e muito divertido testar estes truques da 
matemática. Vamos ver outro fato interessante com 
calendários e potências. 
No livro Aritmética Recreativa do escritor espanhol 
Yakov I. Perelman, encontramos muitos destes 
truques, e um me chamou a atenção por tratar 
exatamente de calendários e potências. Na verdade é 
mais uma característica daquelas que citei no começo 
do artigo. 
O Número 365. 
É impressionante, principalmente porque ele 
representa o total de dias do ano. Além disso, a 
divisão deste número por módulo 7 dá resto 1. Por 
ser um resto tão insignificante, esta propriedade do 
número 365 adquire grande significado para nosso 
calendário com sete dias na semana. Outra 
propriedade interessante do número 365 que está 
intimamente relacionada ao nosso calendário é: 
 
365 = 10.10 + 11.11 + 12.12. É fácil notar que o 
número 365 é igual a soma dos quadrados dos 
valores que representam os 3 últimos meses 
consecutivos, ou seja, 102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 
144 = 365. 
 
Também podemos notar que a soma de 132 + 142 
= 365. Podemos encontrar esta propriedade 
destacada na tela intitulada "problema difícil" do pintor 
Bogdánov-Bielsky. 
 
PRINCÍPIOS DO RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
Há 3 (três) princípios básicos do raciocínio lógico: 
 
Princípio da identidade: "uma proposição 
verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é 
falsa". 
Ex: Um gato é um gato. 
 
Princípio da não-contradição: "nenhuma 
proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo 
tempo". 
Ex: O sol é amarelo; o sol não é amarelo. 
 
Princípio do terceiro-excluído: "uma proposição 
ou será verdadeira ou falsa: não há outra opçao". 
Ex: Estudar é fácil. (estudar ou é fácil ou é difícil). 
 
 Proposição 
 
Denomina-se proposição a toda sentença, 
expressa em palavras ou símbolos, que exprima um 
juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo 
contexto, somente um de dois valores lógicos 
possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente as sentenças declarativas podem-se 
atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre 
quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou 
negada. 
 
Quando uma proposição é verdadeira, 
atribuímos-lhe o valor lógico V; quando ela é falsa, 
atribuímos-lhe o valor lógico F. 
 
Observação: 
Não se pode atribuir valores de verdadeiro ou 
falso às outras formas de sentenças como as 
interrogativas, as exclamativas e as imperativas, 
embora elas também expressem juízos. 
 
Exemplos de proposições: 
 
 “O número 5 é ímpar” – é uma declaração 
(afirmativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 
 “Todo homem é mortal” – é uma declaração 
(afirmativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 
 “ 15127  ” – é uma declaração (negativa); 
portanto, uma proposição. 
Sabemos ser falsa (valor lógico F). 
 
 “Nenhum peixe sabe ler” - é uma declaração 
(afirmativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 
 Sentença 
 
Frase, expressão que encerra um sentido geral. 
 
Sentenças que não são proposições: 
(sentenças abertas) 
 
 “Qual o seu nome?” – é uma pergunta, e não 
uma declaração. Portanto, não é uma proposição. 
Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
 “Que dia lindo!” – é uma sentença exclamativa, e 
não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. 
Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
 “Ana, vá estudar sua lição” – é uma sentença 
imperativa, e não uma declaração. Portanto, não é 
uma proposição. 
Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
 “ 2013 x ” – é uma sentença aberta, e não 
uma declaração. Portanto, não é uma proposição. 
Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
Proposição simples 
 
Uma proposição é dita proposição simples quando 
não contém qualquer outra proposição como sua 
componente. Isso significa que não é possível 
encontrar como parte de uma proposição simples 
alguma outra proposição diferente dela. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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10
Não se pode subdividi-la em partes menores tais 
que alguma delas seja uma nova proposição. 
 
Exemplo: 
A sentença “Júlio gosta de esporte” é uma 
proposição simples, pois não é possível identificar 
como parte dela qualquer outra proposição diferente. 
 
Outros exemplos: 
“Júlio fala inglês” 
“Laranja é uma fruta” 
“Todos os ricos são homens” 
 
Proposição composta 
 
Uma proposição é composta quando se pode 
extrair como parte dela uma nova proposição. 
 
Exemplo: 
A sentença “Paulo é irmão de Ana e de César” é 
uma proposição composta, pois é possível retirar-se 
dela outras proposições: “Paulo e irmão de Ana” e 
“Paulo é irmão de César”. 
 
Conectivos lógicos (ou estruturas lógicas) 
 
Os conectivos lógicos agem sobre as proposições 
a que estão ligadas de modo a criar novas 
proposições. 
Alguns dos conectivos são: 
 
 
Exemplo: 
 
A sentença “Se Talita não bebe, então Carlos vai 
ao clube ou Bruna toma café”. 
É uma proposição composta na qual podemos 
observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se..., 
então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições 
simples “Talita não bebe”, “Carlos vai ao clube” e 
“Bruna toma café”. 
 
CONECTIVOS 
LÓGICOS 
 
Os conectivos são símbolos que irão comprovar a 
veracidade das informações. 
Eles serão utilizados na formação de proposições 
compostas, ou seja, eles vão ligar uma proposição a 
outra ou então vão transformar as proposições numa 
terceira proposição. 
 
Λ = e 
V = ou 
→ = se…então 
↔ = se e somente se 
 
Operações com proposições 
 
Assim como na Álgebra tradicional existem as 
operações com números (adição, subtração etc.), na 
Álgebra Booleana existem operações com as 
proposições. 
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma 
proposição composta depende somente do valor 
lógico de cada uma de suas proposições 
componentes e da forma como estas sejam ligadas 
pelos conectivos lógicos utilizados. 
 
Exemplo 
 
 
Tabela - verdade 
 
É uma forma usual de representação das regras 
da Álgebra Booleana. 
 
Nela, é representada cada proposição (simples ou 
composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. 
 
1º- Conjunção: “A e B” (Representação: 
BA  ). 
 
Denominamos conjunção a proposição composta 
formada por duas proposições quaisquer que estejam 
ligadas pelo conectivo “e”. 
 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Marta é mãe de Beto. 
B: Marta é mãe de Carlos. 
 
A conjunção “A e B” pode ser escrita como: 
 
BA  : Marta é mãe de Beto e de Carlos. 
 
2º- Disjunção: “A ou B” (Representação: 
BA ). 
 
Denominamos disjunção a proposição composta 
formada por duas proposições quaisquer que estejam 
ligadas pelo conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Tiago fala Francês. 
B: Tiago é universitário. 
 
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como: 
BA : Tiago fala Francês ou é universitário. 
 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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11
3º- Disjunção exclusiva: “ou A ou B” 
(Representação: BA ). 
 
Denominamos disjunção exclusiva a proposiçãocomposta formada por duas proposições quaisquer 
em que cada uma delas esteja precedida pelo 
conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: O número 7 é par. 
B: O número 7 é ímpar. 
 
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita 
como: 
BA : Ou o número 7 é par ou o número 7 é 
ímpar. 
 
4º- Implicação (Condicional): “Se A, então B” 
(Representação: BA ). 
Denominamos condicional a proposição composta 
formada por duas proposições quaisquer que estejam 
ligadas pelo conectivo “Se..., então” ou por uma de 
suas formas equivalentes. 
 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Lucas é goiano. 
B: Lucas é brasileiro. 
 
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita 
como: 
BA : Se Lucas é goiano, então Lucas é 
brasileiro. 
 
 
5º- Dupla Implicação (Bicondicional): “A se e 
somente se B” (Representação: BA  ). 
Denominamos bicondicional a proposição 
composta formada por duas proposições quaisquer 
que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente 
se”. 
 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Sérgio é meu tio. 
B: Sérgio é irmão de um de meus pais. 
 
A bicondicional “A se e somente se B” pode ser 
escrita como: 
BA  : Sérgio é meu tio se e somente se 
Sérgio é irmão de um de meus pais. 
 
6º- Negação: “Não A” (Representação: A ) 
 
 
Definição 
Uma proposição é a negação de outra quando: se 
uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente 
falsa e, se uma for falsa, então a outra é 
obrigatoriamente verdadeira. 
 
Modos de Negação 
de uma Proposição Simples 
 
1) Antepondo-se a expressão “não” ao seu 
verbo. 
 
Exemplo: 
“Beto gosta de futebol”. 
“Beto não gosta de futebol”. 
 
2) Retirando-se a negação antes do verbo. 
Exemplo: 
“Ítalo não é irmão de Maria”. 
“Ítalo é irmão de Maria”. 
 
3) Substituindo-se um termo da proposição por 
um de seus antônimos. 
Exemplo: 
“n é um número ímpar”. 
“n é um número par”. 
 
Observação 
“Este lápis é verde” contradiz, mas não é a 
negação de “Este lápis é azul”, porque a negação 
desta “Este lápis não é azul” não obriga a que a cor 
do lápis seja verde. Poderia ser de qualquer outra cor, 
diferente das citadas. 
 
Tautologia 
 
Uma proposição composta é uma tautologia se 
ela for sempre verdadeira independentemente dos 
valores lógicos das proposições que a compõem. 
 
Exemplos 
1º- A proposição “  AA  ” é uma tautologia, 
pois é sempre verdadeira, independentemente dos 
valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
2º- A proposição “    BABA  ” é uma 
tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de A e de B. 
Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
 
Contradição 
 
Uma proposição composta é uma contradição se 
ela for sempre falsa independentemente dos valores 
lógicos das proposições que a compõem. 
 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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Exemplo 
1º- A proposição “  AA  ” é uma contradição, 
pois é sempre falsa, independentemente dos valores 
lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
 
Observação 
A negação de uma tautologia é sempre uma 
contradição. 
A negação de uma contradição é sempre uma 
tautologia. 
O exemplo citado mostra que uma proposição 
qualquer A e sua negação A nunca serão ambas 
verdadeiras ou ambas falsas. 
 
As três Leis Fundamentais do Pensamento 
Lógico 
 
1º- Princípio da Identidade 
Se um enunciado é verdadeiro, então ele é 
verdadeiro. 
Em símbolos: pp  
 
2º- Princípio da Não Contradição 
Nenhum enunciado pode ser verdadeiro e também 
ser falso. 
Em símbolos:  pp  
 
3º- Princípio do Terceiro Excluído 
Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. 
Em símbolos: pp  
 
Contingência 
 
Os valores lógicos podem ser verdadeiros ou 
falsos. 
 
EXERCÍCIOS 
01- Sejam as proposições: 
P: o rato entrou no buraco. 
Q: o gato seguiu o rato 
Forme sentenças, na linguagem corrente, que 
correspondam às proposições seguintes: 
a) P 
b) Q 
c) QP  
d) QP  
e) QP  
f) QP  
g)  QP  
h)  QP  
i) QP  
j) QP  
k)  P 
l)  Q 
m)   PQP  
 
02- Sejam as proposições: 
P: o rato entrou no buraco. 
Q: o gato seguiu o rato 
Expresse em simbologia a proposição “Se o rato 
não entrou no buraco ou o gato seguiu o rato, então 
não é verdade que ou o rato entrou no buraco ou o 
gato não seguiu o rato. 
 
03- Julgue as proposições a seguir: 
1. () Se 623  , então 974  . 
2. () Não é verdade que 12 é um número ímpar. 
3. () Não é verdade que “ 513  ou 761  ” 
 
04- Se p é uma proposição verdadeira, então: 
a) qp  , é verdadeira, qualquer que seja q . 
b) qp  , é verdadeira, qualquer que seja q . 
c) qp  , é falsa, qualquer que seja q . 
 
05- Sabendo que as proposições p e q são 
verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, 
determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das 
seguintes proposições: 
a) () qpr  
b) ()    sprq  
c) ()    qpsr  
 
06- (ESAF – SEFAZ) Assinale a opção verdadeira. 
a) 43  e 943  
b) Se 33  , então 943  
c) Se 43  , então 943  
d) 43  ou 943  
e) 33  se e somente se 943  
 
07- Considere as seguintes premissas: 
p : Trabalhar é saudável 
q : O cigarro mata. 
 
A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o 
cigarro mata” é FALSA se 
a) p é falsa e ~q é falsa. 
b) p é falsa e q é falsa. 
c) p e q são verdadeiras. 
d) p é verdadeira e q é falsa. 
e) ~p é verdadeira e q é falsa. 
 
08- Na lógica de primeira ordem, uma proposição 
é funcional quando é expressa por um predicado que 
contém um número finito de variáveis e é interpretada 
como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são 
atribuídos valores às variáveis e um significado ao 
predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer 
x , tem-se que 0>2x ” possui interpretação V 
quando x é um número real maior do que 2 e possui 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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13
interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao 
conjunto  0,1,2,3,4  . Com base 
nessas informações, julgue os próximos itens. 
 
1º- A proposição funcional “Para qualquer x , tem-
se que x>2x ” é verdadeira para todos os valores 
de x que estão no conjunto 






2
1
,2,
2
3
,3,
2
5
,5 . 
2º- 
3º- A proposição funcional “Existem números que 
são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para 
elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. 
 
09- Considere a afirmação P: 
P: “A ou B” 
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes 
afirmações: 
A: “Carlos é dentista” 
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto” 
 
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: 
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; 
Juca não é arquiteto. 
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca 
não é arquiteto. 
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca 
é arquiteto. 
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca 
não é arquiteto. 
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não 
é arquiteto. 
 
10- Considere as três informações dadas a seguir, 
todas verdadeiras. 
 Se o candidato X for eleito prefeito, então Y será 
nomeado secretário de saúde. 
 Se Y for nomeado secretário de saúde, então Z 
será promovido a diretor do hospital central. 
 Se Z for promovido a diretor do hospital central, 
então haverá aumento do número de leitos. 
 
Sabendo que Z não foi promovido a diretor do 
hospital central, é correto concluir que 
a) o candidato X pode ou não ter sido eleito 
prefeito. 
b) Y pode ou não ter sido nomeado secretário de 
saúde. 
c) o número de leitos do hospital central pode ou 
não ter aumentado. 
d) o candidato X certamente foi eleito prefeito. 
e) o número de leitos do hospital central 
certamente não aumentou. 
 
11- (Cespe – SEBRAE –) 
 
Considere que cada um dos cartões acima tenha 
um número em uma face e uma figura na outra, e que 
alguém fez a seguinte afirmação: “se, em um cartão, 
há um número ímpar em umaface, então, na outra 
face, há um quadrado”. Para comprovar se essa 
afirmação é verdadeira, será necessário olhar a outra 
face 
a) apenas dos cartões A e B. 
b) apenas dos cartões A, D e E. 
c) apenas dos cartões B, C e E. 
d) de todos os cartões.UESTÃO 8 
 
12- Em determinada escola, ao organizar as salas 
de aula para o ano letivo de 2010, diretor e 
professores trabalharam juntos no sentido de se obter 
a melhor distribuição dos espaços. A escola tem três 
blocos: norte, central e sul, e o problema maior estava 
na localização dos ambientes da biblioteca, do 
laboratório de informática, do laboratório de português 
e da sala de educação física. Chegou-se às seguintes 
conclusões: 
 
 Ou o laboratório de português e a biblioteca 
ficariam no mesmo bloco ou a sala de educação física 
e o laboratório de informática ficariam no mesmo 
bloco; 
 Se a biblioteca ficar no bloco central, o 
laboratório de informática ficará no bloco sul. 
 
Considerando que cada bloco tenha ficado com 
pelo menos um desses 4 ambientes e que, entre eles, 
apenas o laboratório de informática tenha ficado no 
bloco norte, então a sala de educação física e o 
laboratório de português ficaram 
a) ambos no bloco sul. 
b) ambos no bloco central. 
c) nos blocos central e sul, respectivamente. 
d) nos blocos sul e central, respectivamente.ÃO 20 
 
13- Para julgar os itens de 01 a 05, considere as 
seguintes informações a respeito de estruturas 
lógicas, lógicas de argumentação e diagramas 
lógicos. 
 
Uma proposição é uma frase a respeito da qual é 
possível afirmar se é verdadeira (V) ou se é falsa (F). 
Por exemplo: “A Terra é plana”; “Fumar faz mal à 
saúde”. As letras maiúsculas A, B, C etc. serão 
usadas para identificar as proposições, por exemplo: 
A: A Terra é plana; 
B: Fumar faz mal à saúde. 
 
As proposições podem ser combinadas de modo a 
representar outras proposições, denominadas 
proposições compostas. 
Para essas combinações, usam-se os 
denominados conectivos lógicos:  significando “e” ; 
 significando “ou”;  significando “se ... então”; 
 significando “se e somente se”; e  significando 
“não”. 
Por exemplo, com as notações do parágrafo 
anterior, a proposição “A Terra é plana e fumar faz 
mal à saúde” pode ser representada, simbolicamente, 
por BA  . 
“A Terra é plana ou fumar faz mal à saúde” pode 
ser representada, simbolicamente, por BA . 
“Se a Terra é plana, então fumar faz mal à saúde” 
pode ser representada, simbolicamente, por BA . 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
 14
14
“A Terra não é plana” pode ser representada, 
simbolicamente, por A . 
Os parênteses são usados para marcar a 
pertinência dos conectivos, por exemplo: 
  ABA  , significando que “Se a Terra é 
plana e fumar faz mal à saúde, então a Terra não é 
plana”. 
Na lógica, se duas proposições são tais que uma é 
a negação de outra, então uma delas é F. Dadas duas 
proposições em que uma contradiz a outra, então uma 
delas é V. 
 
Para determinar a valoração (V ou F) de uma 
proposição composta, conhecidas as valorações das 
proposições simples que as compõem, usam-se as 
tabelas abaixo, denominadas tabelas-verdade. 
 
Uma proposição composta que é valorada sempre 
como V, independentemente das valorações V ou F 
das proposições simples que a compõem, é 
denominada tautologia. Por exemplo, a proposição 
 AA  é uma tautologia. 
Tendo como referência as informações 
apresentadas no texto, julgue os seguintes itens. 
Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, agentes 
administrativos do MS, nascidos em diferentes 
unidades da Federação: São Paulo, Paraná, Bahia, 
Ceará e Acre, participaram, no último final de semana, 
de uma reunião em Brasília – DF, para discutir 
projetos do MS. Raul, Célio e o paulista não 
conhecem nada de contabilidade; o paranaense foi 
almoçar com Adélio; Raul, Célio e João fizeram duras 
críticas às opiniões do baiano; o cearense, Célio, João 
e Sidnei comeram um lauto churrasco no jantar, e o 
paranaense preferiu fazer apenas um lanche. 
 
Com base na situação hipotética apresentada 
acima, julgue os itens a seguir. Se necessário, utilize 
a tabela à disposição. 
 
 Raul Sidnei Célio João Adélio 
S.Paulo 
Paraná 
Bahia 
Ceará 
Aere 
 
1º- A proposição “Se Célio nasceu no Acre, então 
Adélio não nasceu no Ceará”, que pode ser 
simbolizada na forma  BA  , em que A é a 
proposição “Célio nasceu no Acre” e B, “Adélio 
nasceu no Ceará”, é valorada como V. 
2º- Considere que P seja a proposição “Raul 
nasceu no Paraná”, Q seja a proposição “João nasceu 
em São Paulo” e R seja a proposição “Sidnei nasceu 
na Bahia”. Nesse caso, a proposição “Se Raul não 
nasceu no Paraná, então João não nasceu em São 
Paulo e Sidnei nasceu na Bahia” pode ser simbolizada 
como     RQP  e é valorada como V. 
 
14- Maria tem três carros: um gol, um palio e um 
uno. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o 
outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco, ou o 
uno é branco, 2) ou o gol é preto, ou o palio é azul, 3) 
ou o uno é azul, ou o palio é azul, 4) ou o palio é 
preto, ou o uno é preto. Portanto, as cores do gol, do 
palio e do uno são, respectivamente: 
a)Branco, preto, azul b) Preto, azul, branco 
c) Azul, branco, preto d) Preto, branco, azul 
e) Branco, azul, preto 
 
15- As afirmações que podem ser julgadas como 
verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são 
chamadas proposições. As proposições são 
usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, 
C etc. A expressão BA , lida, entre outras 
formas, como “se A então B”, é uma proposição que 
tem valoração F quando A é V e B é F, e tem 
valoração V nos demais casos. Uma expressão da 
forma A , lida como “não A”, é uma proposição que 
tem valoração V quando A é F, e tem valoração F 
quando A é V. A expressão da forma BA  , lida 
como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V 
apenas quando A e B são V, nos demais casos tem 
valoração F. Uma expressão da forma BA  , lida 
como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração 
F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. 
Com base nessas definições, julgue os itens que se 
seguem. 
- Uma expressão da forma  BA  é uma 
proposição que tem exatamente as mesmas 
valorações V ou F da proposição BA . 
- Considere que as afirmativas “Se Mara acertou 
na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na 
loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. 
Simbolizando adequadamente essas proposições 
pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” 
é também verdadeira. 
- A proposição simbolizada por 
   ABBA  possui uma única valoração 
F. 
- Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim 
ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se 
garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é 
verdadeira. 
 
16- Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a 
governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi 
efetivamente cometido por um ou por mais de um 
deles, já que podem ter agido individualmente ou não. 
Sabe-se ainda que: a) se o cozinheiro é inocente, 
então a governanta é culpada; b) ou o mordomo é 
culpado ou a governanta é culpada; c) o mordomo 
não é inocente. Logo: 
a) A governanta e o mordomo são os culpados 
b) O cozinheiro e o mordomo são os culpados 
c) Somente a governanta é culpada 
d) Somente o cozinheiro é inocente 
e) Somente o mordomo é culpado 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
 15
15
17- Ou BA  , ou CB  , mas não ambos. 
 
18- Se DB  , então DA  . Ora, DB  . 
 
Logo: 
a) CB  b) AB  c) AC  
d) DC  e) AD  
 
19- Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à 
África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então 
Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então 
Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: 
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África 
b) Celso não compra um carroe Luís não compra 
o livro 
c) Ana não vai à África e Luís compra um livro 
d) Ana vai à África ou Luís compra um livro 
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma 
 
20- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se 
o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, 
o passarinho canta. Logo: 
a) O jardim é florido e o gato mia 
b) O jardim é florido e o gato não mia 
c) O jardim não é florido e o gato mia 
d) O jardim não é florido e o gato não mia 
e) Se o passarinho canta, então o gato não mia 
 
21- Se Frederico é francês, então Alberto não é 
alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. 
Se Pedro não é português, então Frederico é francês. 
Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. 
Logo: 
a) Pedro é português e Frederico é francês 
b) Pedro é português e Alberto é alemão 
c) Pedro não é português e Alberto é alemão 
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês 
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 
 
22- De três irmãos – José, Adriano e Caio -, sabe-
se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais 
moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais 
velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o 
mais moço dos três irmãos são, respectivamente: 
a) Caio e José 
b) Caio e Adriano 
c) Adriano e Caio 
d) Adriano e José 
e) José e Adriano 
 
23- Em um posto de fiscalização da PRF, os 
veículos A, B e C foram abordados, e os seus 
condutores, Pedro, Jorge e Mário, foram autuados 
pelas seguintes infrações: (i) um deles estava 
dirigindo alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH 
vencida; (iii) a CNH apresentada pelo terceiro 
motorista era de categoria inferior à exigida para 
conduzir o veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro 
era o condutor do veículo C; o motorista que 
apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B; 
Mário era quem estava dirigindo alcoolizado. 
Com relação a essa situação hipotética, julgue os 
itens que se seguem. Caso queira, use a tabela a 
seguir. 
 
A CNH do motorista do veículo A era de categoria 
inferior à exigida. 
Mário não era o condutor do veículo A. 
Jorge era o condutor do veículo B. 
A CNH de Pedro estava vencida. 
A proposição “Se Pedro apresentou CNH vencida, 
então Mário é o condutor do veículo B” é verdadeira. 
 
Estão certos apenas os itens 
a) I e II b) I e IV c) II e III 
d) III e V e) IV e V 
 
2 A B C 
D E F 4 
G H 1 I 
J K L M 
 
Na tabela acima, as letras poderão assumir 
somente os valores 1, 2, 3 ou 4, seguindo as 
seguintes regras: cada algarismo deverá aparecer em 
todas as linhas e em todas as colunas, mas não 
poderá haver algarismo repetido em nenhuma linha e 
em nenhuma coluna; em cada uma das 4 minitabelas, 
de 4 células e separadas por linhas espessas, 
deverão aparecer todos os 4 algarismos; os 
algarismos nas células sombreadas não poderão ser 
alterados. 
Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes.Os valores das letras A, B, C, F, G e L são 
logicamente determinados a partir das informações 
acima. 
Necessariamente, H = 3. 
Se I = 3, então, necessariamente, E = 3. 
Se H = 3, então é possível determinar, de uma 
única forma, todos os valores das outras letras. 
Estão certos apenas os itens 
a) I e II.b) I e IV. 
c) II e III.d) III e IV. 
 
24- Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. 
Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, 
não bebo. Logo, 
a) Não durmo, estou furioso e bebo. 
b) Durmo, estou furioso e não bebo. 
c) Não durmo, estou furioso e bebo. 
d) Durmo, não estou furioso e não bebo. 
e) Não durmo, não estou furioso e bebo. 
 
25- Chama-se tautologia a toda proposição que é 
sempre verdadeira, independentemente da verdade 
dos termos que a compõem. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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Um exemplo de tautologia é: 
a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme 
é gordo. 
b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é 
gordo. 
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
Guilherme é gordo. 
d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
João é alto e Guilherme é gordo. 
e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é 
gordo. 
 
26- Assinale a opção que corresponde a uma 
tautologia. 
a) 
 qpp 
 b) 
 qpp  
c) qp  d) qp ~ 
e) pp ~ 
GABARITO 
01- 
a) O rato não entrou no buraco. 
b) O gato não seguiu o rato. 
c) O rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. 
d) O rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato. 
e) O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o 
rato. 
f) O rato entrou no buraco ou o gato não seguiu o 
rato. 
g) Não é verdade que o rato entrou no buraco e o 
gato seguiu o rato. 
h) Não é verdade que o rato entrou no buraco ou o 
gato seguiu o rato. 
i) O rato não entrou no buraco e o gato não seguiu 
o rato. 
j) O rato não entrou no buraco ou o gato não 
seguiu o rato. 
k) Não é verdade que o rato não entrou no buraco. 
l) Não é verdade que o gato não seguiu o rato. 
m) Se o rato entrou no buraco e o gato não seguiu 
o rato, então o rato entrou no buraco. 
02-    QPQP  
03- Certo, Certo, Errado 
04- B 
05- VVV 
06- C 
07- D 
08- Errado, Errado 
09- B 
10- C 
11- B 
12- C 
13- Errado, Certo 
14- E 
15- Certo, Errado, Certo, Errado 
16- B 
17- A 
18- A 
19- C 
20- B 
21- B 
22- D 
23- B 
24- D 
25- A 
26- B 
Proposições logicamente equivalentes 
(Símbolo  ) 
 
São proposições cujas tabelas-verdade são 
idênticas. 
Uma consequência prática da equivalência lógica 
é que, ao trocar uma dada proposição por qualquer 
outra que lhe seja equivalente, estamos apenas 
mudando a maneira de dizê-la. 
Observação 
Não devemos confundir o símbolo da equivalência 
de proposições   com o símbolo da bicondicional 
  . 
 
Regras 
de equivalência 
 
Da definição de equivalência lógica podemos 
demonstrar as seguintes equivalências: 
 
 Leis comutativas 
 
1º- ABBA  
2º- ABBA  
 
 Leis associativas: 
 
1º-    CBACBA  
2º-    CBACBA  
 
 Leis distributivas: 
 
1º-      CABACBA  
2º-      CABACBA  
 
 Lei da dupla negação: 
 
1º-   AA  
 
 Lei da absorção 
 
1º-   AABA  
2º-   AABA  
 
 Equivalências da Condicional: 
 
1º-   BABA  
2º- )( tivaContraposiABBA 
 
 
EXERCÍCIOS 
01- Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a 
proposição condicional “se eu ganhar na loteria, então 
comprarei uma casa”, necessariamente será 
verdadeira a proposição: 
a) se eu não ganhar na loteria, então não 
comprarei uma casa. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei 
na loteria. 
c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na 
loteria. 
d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. 
e) só ganharei na loteria quando decidir comprar 
uma casa. 
 
02- Dizer que “Beto é paulista ou Paulo não é 
carioca” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer 
que: 
a) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 
b) Se Beto não é paulista, então Paulo é carioca 
c) Se Paulo não é carioca, então Beto é paulista 
d) Se Paulo é carioca, então Beto é paulista 
e) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 
 
03- Considere verdadeira a declaração: “Se durmo 
cedo, então não acordo tarde”. Assim, é correto 
concluir que 
a) Se não durmo cedo, então acordo tarde. 
b) Se não durmo cedo, então não acordo tarde. 
c) Se acordei tarde, é porque não dormi cedo. 
d) Se não acordei tarde, é porque não dormi cedo. 
e) Se não acordei tarde, é porque dormi cedo. 
 
04- Uma proposição logicamente equivalente a 
“Se eu me chamo André, então eu passo no 
vestibular.” é: 
a) Se eu não me chamo André, então eu não 
passo no vestibular. 
b) Se eu passo no vestibular, então me chamo 
André. 
c) Se eu não passo no vestibular, então me chamo 
André. 
d) Se eu não passo no vestibular, então não me 
chamo André. 
e) Eu passo no vestibular e não me chamo André. 
 
05- Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo épaulista” é do ponto de vista lógico, o mesmo que 
dizer que: 
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro 
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é 
Paulista 
 
06- Dizer que “Antônio é carioca ou José não é 
baiano” é do ponto vista lógico, o mesmo que dizer 
que: 
a) Se Antônio é carioca, então José não é baiano 
b) Se Antônio não é carioca, então José é baiano 
c) Se José não é baiano, então Antônio é carioca 
d) Se José é baiano, então Antônio é carioca 
e) Antônio é carioca e José não é baiano 
 
07- Dizer que “Andre é artista ou Bernardo não é 
engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é 
engenheiro; 
b) Se André é artista, então Bernardo não é 
engenheiro; 
c) Se André não é pedreiro, então Paulo é 
pedreiro; 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é 
artista; 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
08- Admita que, em um grupo: “se algumas 
pessoas não são honestas, então algumas pessoas 
são punidas”. Desse modo, pode-se concluir que, 
nesse grupo: 
a) as pessoas honestas nunca são punidas. 
b) as pessoas desonestas sempre são punidas. 
c) se algumas pessoas são punidas, então 
algumas pessoas não são honestas. 
d) se ninguém é punido, então não há pessoas 
desonestas. 
e) se todos são punidos, então todos são 
desonestos. 
 
09- Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” 
é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: 
a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. 
b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. 
c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. 
d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. 
e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 
 
10- Um renomado economista afirma que “A 
inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do 
ponto de vista lógico, a afirmação do renomado 
economista equivale a dizer que: 
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não 
aumenta. 
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação 
baixa. 
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros 
aumenta. 
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros 
aumenta. 
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros 
não aumenta. 
 
11- Um economista deu a seguinte declaração em 
uma entrevista: “Se os juros bancários são altos, 
então a inflação é baixa”. Uma proposição 
logicamente equivalente à do economista é: 
a) Se a inflação não é baixa, então os juros 
bancários não são altos 
b) Se a inflação é alta, então os juros bancários 
são altos 
c) Se os juros bancários não são altos, então a 
inflação não é baixa 
d) Os juros bancários são baixos e a inflação é 
baixa 
e) Ou os juros bancários são baixos, ou a inflação 
é baixa. 
 
12- Com relação a lógica sentencial e de primeira 
ordem, julgue os itens que se seguem. 
1º- As proposições “Se Mário é assessor de 
Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos 
não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor 
de Pedro” são equivalentes. 
2º- Se A, B, C e D são proposições, em que B é 
falsa e D é verdadeira, então, independentemente das 
valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição 
DCBA  será sempre verdadeira. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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13- Considerando que os números naturais x e y 
sejam tais que “se x é ímpar, então y é divisível por 3”, 
é correto afirmar que 
a) se x é par, então y não é divisível por 3. 
b) se y é divisível por 3, então x é ímpar. 
c) se y = 9, então x é par. 
d) se y = 10, então x é par. 
14- Um dos novos funcionários de um cartório, 
responsável por orientar o público, recebeu a seguinte 
instrução: 
 
“Se uma pessoa precisar autenticar 
documentos, encaminhe-a ao setor verde.” 
 
Considerando que essa instrução é sempre 
cumprida corretamente, pode-se concluir que, 
necessariamente, 
a) uma pessoa que não precise autenticar 
documentos nunca é encaminhada ao setor verde. 
b) toda pessoa encaminhada ao setor verde 
precisa autenticar documentos. 
c) somente as pessoas que precisam autenticar 
documentos são encaminhadas ao setor verde. 
d) a única função das pessoas que trabalham no 
setor verde é autenticar documentos. 
e) toda pessoa que não é encaminhada ao setor 
verde não precisa autenticar documentos. 
 
GABARITO 
 
01- B 
02- D 
03- C 
04- D 
05- A 
06- D 
07- D 
08- D 
09- C 
10- D 
11- A 
12- Certo, Errado 
13- D 
14- E 
 
 
Negação de 
proposições compostas 
 
Como vimos anteriormente, a negação de uma 
proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da 
proposição dada. 
A tabela a seguir mostra as equivalências mais 
comuns para as negações de algumas proposições 
compostas: 
 
 
 
Justificando que a negação de “ BA  ” é 
“    BA  ”. 
 
 
EXERCÍCIOS 
01- De a negação das seguintes proposições: 
a) O flamengo não é um bom time. 
b) Os cariocas são chatos e os baianos são 
preguiçosos. 
c) As morenas não são convencidas ou os 
brancos são almofadinhas. 
d) Se for flamenguista, então é cardíaco. 
e) Eu estudo e aprendo 
f) O Brasil é um país ou a Bahia é um estado. 
g) Se eu estudo, então eu aprendo. 
 
02- A negação da afirmação condicional “se 
estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: 
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-
chuva 
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva 
c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-
chuva 
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-
chuva 
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
 
03- A negação de “não sabe matemática ou sabe 
português” é: 
a) Não sabe matemática e sabe português. 
b) Não sabe matemática e não sabe português. 
c) Sabe matemática ou sabe português. 
d) Sabe matemática e não sabe português. 
e) Sabe matemática ou não sabe português. 
 
04- Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e 
Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é 
verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto 
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto 
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto 
 
05- Assinale a opção que corresponde 
logicamente a  qp~  
 
a) ~q~p  b) ~q~p  c) q~p  
d) q~p  e) qp  
 
06- A negação de “se hoje chove então fico em 
casa” é: 
a) Hoje não chove e fico em casa. 
b) Hoje chove e não fico em casa. 
c) Hoje chove ou não fico em casa. 
d) Hoje não chove ou fico em casa. 
e) Se hoje chove então não fico em casa. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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07- Sejam p e q proposições simples e ~p e 
~q , respectivamente, as suas negações. Os 
conectivos e e ou são representados, 
respectivamente, por  e  . A negação da 
proposição composta ~qp  é 
 
a) q~p  b) ~q~p  c) ~qp  
d) q~p  e) ~q~p  
 
08- Maria foi informada por João que Ana é prima 
de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria 
sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que 
a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista 
lógico, Maria pode concluir que é verdade que: 
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima 
de Denise. 
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é 
prima de Denise. 
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é 
prima de Denise. 
d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é 
prima de Denise. 
e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina 
não é prima de Denise. 
 
09- A negação de “O gato mia e o rato chia” é: 
a) O gato não mia e o rato não chia 
b) O gato mia ou o rato chia 
c) O gato não mia ou o rato não chia 
d) O gato e o rato não chiam nem miam 
e) O gato chia e o rato não mia 
 
10- A negação de: Milão é a capital da Itália ou 
Paris é a capital da Inglaterra é: 
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a 
capital da Inglaterra. 
b) Paris não é a capitalda Inglaterra. 
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a 
capital da Inglaterra. 
d) Milão não é a capital da Itália. 
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital 
da Inglaterra. 
 
11- Julgue os itens que se seguem, acerca de 
proposições e seus valores lógicos. 
1º- A negação da proposição “O concurso será 
regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” 
estará corretamente simbolizada na forma 
   BA  , isto é, “O concurso não será regido 
por este edital nem será executado pelo 
CESPE/UnB”. 2º-A proposição    BABA  
é uma tautologia. 
 
12- A negação da proposição “A prova será 
aplicada no local previsto ou o seu horário de 
aplicação será alterado.” pode ser escrita como 
a) A prova não será aplicada no local previsto ou o 
seu horário de aplicação não será alterado. 
b) A prova não será aplicada no local previsto ou o 
seu horário de aplicação será alterado. 
c) A prova será aplicada no local previsto mas o 
seu horário de aplicação não será alterado. 
d) A prova não será aplicada no local previsto e o 
seu horário de aplicação não será alterado. 
 
13- (FCC – TRT) A negação da sentença “A Terra 
é chata e a Lua é um planeta.” é: 
a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um 
planeta. 
b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é 
chata. 
c) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. 
d) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. 
e) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta. 
 
GABARITO 
01- 
a) O flamengo é um bom time. 
b) Os cariocas não são chatos ou os baianos não 
são preguiçosos. 
c) As morenas são convencidas e os brancos não 
são almofadinhas. 
d) É flamenguista e não é cardíaco. 
e) Eu não estudo ou não aprendo 
f) O Brasil não é um país e a Bahia não é um 
estado. 
g) Eu estudo e não aprendo. 
02- E 
03- D 
04- A 
05- A 
06- B 
07- D 
08- C 
09- C 
10- A 
11- Errado, Certo 
12- D 
13- A 
 
QUANTIFICAÇÃO 
 
A quantificação é uma forma de estabelecer uma 
relação entre sujeito e predicado de uma proposição. 
As quantificações podem ser universais ou 
particulares, cada uma destas subdividindo-se em 
afirmativa ou negativa. 
 
Ou ainda, 
a) 




...sãonãotodos...énenhum
...éumqualquer...sãotodos
Universais 
 
b) 













...sejanãoqueum
menospeloexiste
...énãoalgum
...sejaqueum
menospeloexiste
...éalgum
esParticular
 
 
 Sentenças contraditórias 
Cada uma delas é a negação lógica da outra 
 IIIIIeIVI  . 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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Duas sentenças contraditórias terão sempre 
valores lógicos contrários, ou seja, não podem ser 
ambas verdadeiras nem ambas falsas. Veja o quadro 
a seguir. 
 
Sentenças contrárias 
Uma afirmativa universal e sua negativa  IIII  . 
Duas sentenças contrárias nunca são ambas 
verdadeiras mas podem ser ambas falsas. Desse 
modo, se soubermos que uma delas é verdadeira 
podemos garantir que a outra é falsa. Mas se 
soubermos que uma delas é falsa não poderemos 
garantir se a outra é falsa também. 
 
Sentenças subcontrárias 
Uma afirmativa particular e sua negativa  IVII  . 
Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas 
falsas mas podem ser ambas verdadeiras. Assim 
sendo, se soubermos que uma delas é falsa 
poderemos garantir que a outra é verdadeira. Mas se 
soubermos que uma delas é verdadeira não 
poderemos garantir se a outra é verdadeira também. 
 
Sentenças subalternas 
Duas afirmativas (universal e sua particular 
correspondente, III  ) ou duas negativas (universal 
e sua particular correspondente, IVIII  ). 
Sempre que a universal for verdadeira sua 
correspondente particular será verdadeira também, 
mas a falsidade da sentença universal não obriga que 
a correspondente sentença particular seja falsa 
também. 
Sempre que a particular for falsa sua 
correspondente universal será falsa também, mas a 
verdade da sentença particular não obriga que a 
correspondente sentença universal seja verdadeira 
também. 
 
EXERCÍCIOS 
01- Classifique as proposições como universais ou 
particulares, afirmativas ou negativas: 
a) Todos os homens são sábios 
b) Alguns homens são sábios 
c) Nenhum homem é sábio 
d) Todos os homens não são sábios 
e) Alguns homens não são sábios 
 
02- Dê a negação para cada uma das proposições 
a seguir: 
a) Todos os animais são quadrúpedes 
b) Nenhum homem é covarde 
c) Alguma mulher não é loira 
d) Algum músico é matemático 
 
03- Certo dia, o Centro Acadêmico de uma 
Faculdade de Medicina publicou a seguinte notícia: 
“Todos os alunos serão reprovados em Anatomia!” 
 
A repercussão dessa manchete fez com que a 
direção da Faculdade interpelasse os responsáveis e 
deles exigisse, como forma de retratação, a 
publicação de uma negação da afirmação feita. Diante 
desse fato, a nota de retratação pode ter sido: 
a) “Nenhum aluno será reprovado em Anatomia.” 
b) “Algum aluno será aprovado em Anatomia.” 
c) “Algum aluno será reprovado em Anatomia.” 
d) “Se alguém for reprovado em Anatomia, então 
não será um aluno.” 
e) “Todos os reprovados em Anatomia não são 
alunos.” 
 
04- Dizer que a afirmação “Todos os economistas 
são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, 
equivale a dizer que a seguinte afirmação é 
verdadeira: 
a) Nenhum economista é médico 
b) Pelo menos um economista não é médico 
c) Nenhum médico é economista 
d) Pelo menos um médico não é economista 
e) Todos os não-médicos são não-economistas 
 
05- A negação de “À noite, todos os gatos são 
pardos” é: 
a) De dia, todos os gatos são pardos. 
b) De dia, nenhum gato é pardo. 
c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. 
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é 
pardo. 
e) À noite, nenhum gato é pardo. 
 
06- A negação de “Fará sol em todos os dias do 
mês” é: 
a) Choverá em todos os dias do mês. 
b) Choverá em outros meses. 
c) Em pelo menos um dia do mês, não fará sol. 
d) Em pelo menos um dia do mês, choverá. 
e) Não fará sol em nenhum dia do mês. 
 
07- A negação da sentença “Nenhuma pessoa 
lenta em aprender frequenta a escola” é 
a) “Todas as pessoas lentas em aprender 
frequentam esta escola”. 
b) “Todas as pessoas lentas em aprender não 
frequentam esta escola”. 
c) “Algumas pessoas lentas em aprender 
frequentam esta escola”. 
d) “Algumas pessoas lentas em aprender não 
frequentam esta escola”. 
e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta 
esta escola”. 
 
08- A negação de “todos os gatos são pardos” é: 
a) Nenhum gato é pardo 
b) Existe gato pardo 
c) Existe gato não pardo 
d) Existe um e um só gato pardo 
e) Nenhum gato é não pardo 
 
09- Os jogadores do Estrela Futebol Clube são 
craques. Assinale a opção correspondente à negação 
da frase acima. 
a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é 
craque. 
 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
 21
21
b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol 
Clube não são craques. 
c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube 
que não é craque. 
d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol 
Clube são craques. 
 
10- A negação da proposição “Todos os homens 
são bons motoristas” é: 
a) Tidas as mulheres são boas motoristas 
b) Algumas mulheres são boas motoristas 
c) Nenhum homem é bom motorista 
d) Todos os homens são maus motoristas 
e) Ao menos um homem não é bom motorista 
 
11- Pedro, após visitar uma aldeia distante, 
afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões 
daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição 
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro 
seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte 
proposição: 
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não 
dorme a sesta. 
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a 
sesta. 
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a 
sesta. 
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a 
sesta. 
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
12- Considere a seguinte proposição: “Ninguém 
será consideradoculpado ou condenado sem 
julgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca 
dessa proposição. 
1º- A proposição “Existe alguém que será 
considerado culpado ou condenado sem julgamento” 
é uma proposição logicamente equivalente à negação 
da proposição acima. 
2º- “Todos serão considerados culpados e 
condenados sem julgamento” não é uma proposição 
logicamente equivalente à negação da proposição 
acima. 
 
GABARITO 
01- 
a) Universal; Afirmativa 
b) Particular; Afirmativa 
c) Universal; Negativa 
d) Universal; Negativa 
e) Particular; Negativa 
02- 
f) Algum animal não é quadrúpede 
g) Algum homem é covarde 
h) Todas as mulheres são loiras 
i) Nenhum músico é matemático 
03- B 
04- B 
05- D 
06- C 
07- C 
08- C 
09- C 
10- E 
11- C 
12- Certo, Certo 
LÓGICA 
DA ARGUMENTAÇÃO 
 
Argumentos Verdade X Validade 
 
Vamos discutir um dos pontos mais importantes 
da lógica. A lógica não estuda a verdade ou a 
falsidade das idéias, isso é tarefa da ciência. A lógica 
verifica a validade ou não dos argumentos. É 
importante entendermos que verdade e validade não 
têm o mesmo sentido. Também não podemos 
confundir uma sentença falsa com um raciocínio 
inválido! 
 
Argumento lógico 
 
Denomina-se argumento a relação que associa 
um conjunto de proposições PPP n,...,, 21 , 
chamadas premissas do argumento, a uma 
proposição C a qual chamamos de conclusão do 
argumento. 
 
  CPPP n ,...,, 21 
 
Premissa 
 
Premissa é cada uma das proposições que serve 
de base à conclusão. Quando falamos em premissas, 
não vamos discutir sua verdade ou falsidade, e sem 
verificar a qual conclusão nós podemos chegar 
através delas. 
 
SILOGISMO 
 
Argumento estudado por Aristóteles estruturado 
com três premissas. A primeira premissa denomina-se 
premissa maior, a segunda, premissa menor e a 
terceira, conclusão. 
 
  CPP 21, 
Exemplo 
Premissa 1: Todos os artistas são apaixonados. 
Premissa 2: Todos os apaixonados gostam de 
flores. 
Conclusão: Todos os artistas gostam de flores. 
 
Quanto à validade de um argumento 
 
1º- Argumento válido 
Dizemos que um argumento é válido ou, ainda, 
que ele é legítimo ou bem construído quando a sua 
conclusão é uma consequência obrigatória do seu 
conjunto de premissas; 
Em outras palavras: quando um argumento é 
válido, a verdade das premissas deve garantir a 
verdade da conclusão do argumento. 
Isso significa que jamais poderemos ter uma 
conclusão falsa quando as premissas forem 
verdadeiras e o argumento for válido. 
É importante observar que o estudo dos 
argumentos não leva em conta a verdade ou a 
falsidade das proposições que compõem os 
argumentos, mas tão-somente a validade destes. 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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22
Desse modo, ao se discutir a validade de um 
argumento, o valor de verdade de cada uma de suas 
premissas é irrelevante. 
 
Exemplo 
Considere o silogismo: 
Premissa 1: Todos os elefantes adoram fumar. 
Premissa 2: Nenhum fumante gosta de futebol. 
Conclusão: Nenhum elefante gosta de futebol. 
Esse silogismo está perfeitamente bem 
construído, sendo, portanto, um argumento válido, 
muito embora a verdade das premissas seja 
questionável. 
2º- Argumento inválido (falacioso) 
Dizemos que um argumento é inválido, também 
denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso, 
quando a verdade das premissas não é suficiente 
para garantir a verdade da conclusão. 
 
Exemplo 
Premissa 1: Todos os alunos do curso foram 
aprovados. 
Premissa 2: Ana não é aluna do curso. 
Conclusão: Ana foi reprovada 
É um argumento inválido, pois as premissas não 
garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. 
Observa-se que Ana pode ter sido aprovada sem ser 
aluna do curso. (A primeira premissa não afirmou que 
somente os alunos do curso foram aprovados). 
 
Observação 
Geralmente os problemas de silogismos 
apresentam expressões como “Todos”, “Algum”, 
“Nenhum”. Muitos desses problemas são resolvidos 
mais facilmente com base na Teoria de Conjuntos e 
utilizando-se os Diagramas de conjuntos. 
 
Proposição Categórica 
É toda premissa que apresenta uma das seguintes 
estruturas: 
- Todo A é B - Algum A é B 
- Algum A não é B - Nenhum A é B 
 
Diagrama lógico 
É a representação das proposições categóricas 
através de diagramas de conjuntos 
 
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
Certos enunciados se apresentam frequentemente 
na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados 
de Proposições Categóricas. São proposições em 
que existe uma relação entre atributos que denotam 
conjuntos ou classes com as próprias proposições. 
Relacionaremos as quatro proposições mais comuns: 
Todo S é P. 
Nenhum S é P. 
Algum S é P. 
Algum S não é P. 
 
CARACTERIZAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO 
CATEGÓRICA 
Quantificador + classe de atributos + elo de 
ligação + classe de atributo. 
 
DIAGRAMAS DE VENN 
 
Se considerarmos P e Q dados acima como dois 
conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem ser 
interpretados como segue: 
 
“Todo P é Q” afirma que todos os elementos de P 
são elementos de Q, isto é, P Q 
 
“Nenhum P é Q” afirma que os conjuntos P e Q 
não têm elementos comum, isto é, que P Q = 
 
“Algum P é Q” afirma que os conjuntos P e Q têm 
pelo menos um elemento em comum. 
 
“Algum P não é Q” afirma que P tem pelo menos 
um elemento que não está em Q. 
 
Estas interpretações podem ser feitas através de 
Diagramas de Venn, os quais são úteis na verificação 
da validade de argumentos cujas premissas e 
conclusão são enunciados categóricos. 
Lembramos que no Cálculo Proposicional os 
diagramas de Venn foram utilizados para estabelecer 
uma correlação entre as linhas da tabela verdade de 
uma fórmula e as regiões do diagrama de Venn 
correspondente. 
Para verificarmos a validade de um argumento, as 
interpretações dos enunciados categóricos nos 
Diagramas de Venn serão consideradas como segue: 
1. Cada diagrama representa uma classe de 
objeto que quando em branco indica ausência de 
informação a respeito do conjunto. 
2. Círculo hachurado ou região de um círculo 
hachurada, representa região VAZIA de elementos. 
3. Círculo ou região de um círculo com x 
representa região não vazia de elementos. 
 
Exemplo: Se C representa o predicado “ser 
culpado” temos os diagramas abaixo: 
 
 Não é culpado Alguns são culpados
C C
X
 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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REPRESENTAÇÃO DOS ENUNCIADOS 
CATEGÓRICOS 
Os enunciados categóricos podem ser 
representados como segue: 
 
 
 
VALIDADE DE ARGUMENTO 
No início deste roteiro, mencionamos que nosso 
principal objetivo é a investigação da validade de 
ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais 
um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. 
Vamos verificar como podemos proceder na 
investigação de certos argumentos de modo formal. 
 
DEFINIÇÃO: 
Chamamos ARGUMENTO uma sequência A1, A2, 
A3, ... , An , B (n 0) de fórmulas onde os Ai (0 i n) 
chamam-se premissas e a última fórmula B, 
conclusão. 
 
DEFINIÇÃO: 
Um ARGUMENTO A1, A2, A3, ... , An , B é 
VÁLIDO se e somente se, sendo as premissas 
verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou 
ainda, se e somente se, a fórmula “A1, A2, A3, ... , An 
acarretam B” ou, “B decorre de A1, A2, A3, ... , An” 
ou, “B se deduz de A1, A2, A3, ... , An” ou ainda, “B 
se infere de A1, A2, A3, ... , An.” 
 
ARGUMENTOS CATEGÓRICOS 
VALIDADE DE ARGUMENTOS CATEGÓRICOS 
POR DIAGRAMAS DE VENN 
Para verificarmos a validade de um argumento 
categórico procedemos como segue: 
 
1. Transferimos para o diagrama, formado por três 
círculos, as informações das premissas, iniciando 
pelos enunciados universais; 
 
2. Verificamos se a informação dada na conclusão 
esta aí representada sem nenhuma condição e de 
modo único. 
 
3. Se isto ocorre então o argumento é válido. 
 
Vejamos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo I. 
(1) Todos os cientistas são estudiosos. 
(2) Alguns cientistas são inventores.(3) Alguns estudiosos são inventores. 
 
 
 
A parte hachurada corresponde ao enunciado (1), 
vazia de elementos; a parte assinalada com X 
corresponde ao enunciado (2). 
Dessa forma, as informações das premissas forem 
transferidas para o diagrama e a conclusão (3) está 
representada. 
Portanto o argumento é válido. 
 
Exemplo II. 
Todos os brasileiros são felizes. 
Todos os paulistas são brasileiros. 
Todos os paulistas são felizes. 
 
 
 
Vemos que o argumento é válido pelo diagrama 
acima. 
 
Exemplo III. 
(1) Nenhum estudante é velho . 
(2) Alguns jovens não são estudantes. 
(3)Alguns velhos não são jovens. 
 
 
 
A premissa (1) está representada na região 
hachurada e a premissa (2) está marcada com X 
sobre a linha pois a informação correspondente pode 
estar presente em duas regiões e não temos 
informação para saber especificamente em qual 
delas. 
Desse modo o argumento não é válido pois a 
conclusão não está representada com absoluta 
certeza. 
 
A validade de um argumento não depende do 
conteúdo dos enunciados e sim da sua forma 
e da relação entre as premissas e a conclusão. 
 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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EXERCÍCIOS 
01- Todos os bons médicos são pessoas estudiosas. 
Assim sendo: 
a) Alguma pessoa estudiosa não é um bom médico 
b) O conjunto dos bons médicos contém o conjunto 
das pessoas estudiosas 
c) Toda pessoa estudiosa é um bom médico 
d) Nenhuma pessoa estudiosa é um bom médico 
e) O conjunto das pessoas estudiosas contém o 
conjunto dos bons médicos 
 
02- Todo baiano gosta de axé music. Sendo assim: 
a) Todo aquele que gosta de axé music é baiano 
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de axé 
music 
c) Todo aquele que não gosta de axé music não é 
baiano 
d) Algum baiano não gosta de axé music 
e) Alguém que não goste de axé music é baiano 
 
03- Considere verdadeira a declaração: “Nenhum dos 
alunos que fizeram uma determinada prova tirou mais do 
que 7”. Diante disso, qual a conclusão correta? 
a) Todos os alunos tiraram menos do que 7 na prova. 
b) Todos os alunos tiraram 7 na prova. 
c) Algum aluno tirou 7 na prova. 
d) Algum aluno tirou menos de 7 na prova. 
e) Algum aluno tirou 7 ou menos na prova. 
 
04- Considere que os argumentos seguintes são 
verdadeiros: 
 Todo comilão é gordo. 
 Todo guloso é comilão. 
Com base nesses argumentos, é correto afirmar que 
a) Todo gordo é guloso. 
b) Todo comilão não é guloso. 
c) Existem gulosos que não são comilões. 
d) Existem comilões que não são gulosos. 
e) Existem gulosos que não são gordos. 
 
05- Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. 
Sabe-se também, que todo B é C. Segue-se, portanto, 
necessariamente que: 
a) Todo C é B 
b) Todo C é A 
c) Algum A é C 
d) Nada que não seja C é A 
e) Algum A não é C 
 
06- Considere as seguintes proposições: 
I. Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o 
direito de herança. 
II. Joaquina não tem garantido o direito de herança. 
III. Todos aqueles que têm direito de herança são 
cidadãos de muita sorte. 
Supondo que todas essas proposições sejam 
verdadeiras, é correto concluir logicamente que 
1º- Joaquina não é cidadã brasileira. 
2º- Todos os que têm direito de herança são cidadãos 
brasileiros. 
06- Se Joaquina não é cidadã brasileira, então 
Joaquina não é de muita sorte. 
07- (Cespe) Na lógica sentencial, denomina-se 
proposição uma frase que pode ser julgada como 
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. 
Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta 
frase é falsa” não são proposições porque a primeira é 
pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As 
proposições são representadas simbolicamente por letras 
maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. 
Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B 
forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma 
“Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é 
V. 
Um raciocínio lógico considerado correto é formado 
por uma sequência de proposições tais que a última 
proposição é verdadeira sempre que as proposições 
anteriores na sequência forem verdadeiras. 
Considerando as informações contidas no texto 
acima, julgue os itens subsequentes. 
 
- É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de 
proposições seguintes: 
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José 
será aprovado no concurso. 
Maria é alta. 
Portanto José será aprovado no concurso. 
 
- É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de 
proposições seguintes: 
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá 
um emprego. 
Ela conseguiu um emprego. 
Portanto, Célia tem um bom currículo. 
 
08- Com relação à lógica formal, julgue os itens 
subsequentes. 
1º- A frase “Pedro e Paulo são analistas do 
SEBRAE” é uma proposição simples. 
2º- Toda proposição lógica pode assumir no 
mínimo dois valores lógicos. 
3º- A negação da proposição “ 952  ” é a 
proposição “ 752  ”. 
4º- A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um 
exemplo de sentença aberta. 
5º- A proposição “João viajou para Paris e Roberto 
viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada 
por duas proposições simples relacionadas por um 
conectivo de conjunção. 
6º- A negação da proposição “Ninguém aqui é 
brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”. 
 
08-a - Admita serem verdadeiros os seguintes fatos: 
 Alguns fumantes não tomam café. 
 Todos os cariocas tomam café. 
Pode-se concluir, corretamente, que: 
a) Nenhum carioca é fumante. 
b) Nenhum fumante é carioca. 
c) Alguns cariocas não são fumantes. 
d) Alguns fumantes não são cariocas. 
e) Alguns fumantes são cariocas. 
 
09- Em uma pequena comunidade, sabe-se que: 
"nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores 
são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que 
nesta comunidade 
a) Alguns filósofos são professores 
b) Alguns professores são filósofos 
c) Nenhum filósofo é professor 
d) Alguns professores não são filósofos 
e) Nenhum professor é filósofo 
 
10- Todos os que conhecem João e Maria admiram 
Maria. Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo: 
a) Todos os que conhecem Maria a admiram. 
b) Ninguém admira Maria 
c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João 
d) Quem conhece João admira Maria. 
e) Só quem conhece João e Maria conhece Maria 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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11- O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. 
Na sua forma padronizada, é constituído por três 
proposições: as duas primeiras denominam-se premissas 
e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que 
precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é 
consequência necessária das premissas. Assinale a 
alternativa que corresponde a um silogismo. 
a) 
Premissa 1: Marcelo é matemático. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Marcelo gosta de física. 
b) 
Premissa 1: Marcelo é matemático. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Marcelo não gosta de física. 
c) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Mário é matemático. 
d) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Todos os matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Mário é matemático. 
e) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Nenhum matemático gosta de física. 
Conclusão: Mário não é matemático. 
 
12- Considere que as seguintes afirmações são 
verdadeiras: 
“Todo aluno da Universidade de Fortaleza é inteligente.” 
“Existem alunos da Universidade de Fortaleza que 
não são estudiosos.” 
Assim sendo, com relação aos alunos da 
Universidade de Fortaleza, pode-se concluir 
corretamente que, com certeza, 
a) alguns não são estudiosos e nem inteligentes. 
b) alguns são estudiosos e inteligentes. 
c) alguns são estudiosos e não inteligentes. 
d) todos são estudiosos e inteligentes. 
e) todos os não inteligentes são estudiosos. 
 
13- Todas as amigas de Aninha que foram à suafesta de aniversário estiveram, antes, na festa de 
aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de 
Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, 
conclui-se que, das amigas de Aninha, 
a) todas foram à festa de Aninha e algumas não 
foram à festa de Betinha. 
b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha. 
c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à 
festa de Betinha. 
d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à 
festa de Betinha. 
e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à 
festa de Betinha. 
 
14- Todos os alunos de matemática são, também, 
alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de 
história. Todos os alunos de português são também 
alunos de informática, e alguns alunos de informática são 
também alunos de história. Como nenhum aluno de 
informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de 
português é aluno de história, então: 
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. 
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de 
história. 
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática. 
d) todos os alunos de informática são alunos de 
matemática. 
e) todos os alunos de informática são alunos de 
português. 
 
15- Considerando as seguintes proposições: “Alguns 
filósofos são matemáticos” e “não é verdade que algum 
poeta é matemático”, pode-se concluir apenas que: 
a) algum filósofo é poeta. 
b) algum poeta é filósofo. 
c) nenhum poeta é filósofo. 
d) nenhum filósofo é poeta. 
e) algum filósofo não é poeta. 
 
16- Em uma pequena comunidade sabe-se que: 
“Nenhum filósofo é rico” e que “alguns professores são 
ricos”. Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta 
comunidade; 
a) Alguns filósofos são professores. 
b) Alguns professores são filósofos. 
c) Nenhum filósofo é professor. 
d) Alguns professores não são filósofos. 
e) Nenhum professor é filósofo. 
 
17- Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que 
todos os mecânicos são engenheiros e que todos os 
engenheiros são pós-graduados. 
Se alguns administradores da empresa também são 
engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa: 
a) todos os administradores são pós-graduados. 
b) alguns administradores são pós-graduados. 
c) há mecânicos não pós-graduados. 
d) todos os trabalhadores são pós-graduados. 
e) nem todos os engenheiros são pós-graduados. 
 
18- A forma de uma argumentação lógica consiste de 
uma sequência finita de premissas seguidas por uma 
conclusão. Há formas de argumentação lógica 
consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. 
A respeito dessa classificação, julgue os itens 
seguintes. 
- A seguinte argumentação é inválida. 
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com 
orçamento conhece contabilidade. 
Premissa 2: João é funcionário e não conhece 
contabilidade. 
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. 
- A seguinte argumentação é valida. 
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos 
devidos. 
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. 
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 
 
19- (FCC) No diagrama a seguir está representado o 
conjunto H de todos os habitantes de uma cidade, além 
dos seguintes subconjuntos de H: 
 
A, formado pelos habitantes que são advogados. 
B, formado pelos habitantes que costumam jogar 
basquete. 
C, formado pelos habitantes que gostam de 
carambola. 
D, formado pelos habitantes que são donos de 
alguma padaria. 
 
 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - 
 
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Sabendo que em todas as regiões do diagrama pode-
se representar corretamente pelo menos um habitante da 
cidade, é certo afirmar que, se um habitante dessa 
cidade 
a) costuma jogar basquete ou gosta de carambola, 
então, ele é advogado. 
b) gosta de carambola, então, ele é advogado e 
costuma jogar basquete. 
c) é dono de alguma padaria, então, ele costuma 
jogar basquete. 
d) não é dono de alguma padaria, então ele não é 
advogado. 
e) não é advogado, então, ele não gosta de 
carambola. 
 
20- Todos os advogados que trabalham numa cidade 
formaram-se na universidade X. Sabe-se ainda que 
alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são 
advogados. A partir dessas informações, é correto 
concluir que, necessariamente, 
a) existem funcionários da prefeitura dessa cidade 
formados na universidade X. 
b) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade 
formados na universidade X são advogados. 
c) todos os advogados formados na universidade X 
trabalham nessa cidade. 
d) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os 
advogados formaram-se na universidade X. 
e) existem funcionários da prefeitura dessa cidade 
que não se formaram na universidade X. 
 
GABARITO: 
01-E 02-C 03-E 04-D 05-C 
06-Certo, Errado, Errado 
07-Certo, Errado 
08-Certo, Errado, Errado, Errado, Certo, Errado 
08-a – D 09-D 10-C 11-E 12-B 
13-B 14-C 15-E 16-D 17-B 
18-Errado. Errado 
19-E 20-A 
 
ENUMERAÇÃO POR RECURSO 
 
Enumeração é a sequência de pelo menos dois 
elementos de mesmo status sintático no discurso. Há 
três tipos de enumeração: 
Aditiva - representada pelo conetivo ‘e’. 
Optativa exclusiva - representada pelo conetivo 
‘ou’. 
Optativa não exclusiva - representada pela 
conexão ‘e/ou’. 
Geralmente os elementos de uma enumeração 
são comuns a uma classe. 
Quando isso ocorre temos uma enumeração com 
paralelismo de similaridade. 
Hipoteticamente pode-se supor uma enumeração 
caótica, aquela em que os elementos são totalmente 
disjuntos. 
 
Enumeração ordenada: é aquela em que a 
disposição dos elementos na sequência admite algum 
tipo de ordem. 
Enumeração na enumeração: há casos em que 
um ou mais elementos da enumeração são 
enumeração. 
Enumeração classificada: ocorre quando os 
termos da enumeração são classes de uma 
taxonomia. 
Diferencia-se da enumeração com paralelismo 
pois, no paralelismo, não existe a obrigatoriedade de 
atender às regras que definem uma taxonomia, como 
conter todos os elementos do universo considerado e 
não haver interseção de domínios. 
 
PRINCÍPIO DA CASA DE POMBOS 
 
Ideia principal: Se existirem pelo menos K+1 
pombos, e somente K casas, pelo menos uma casa 
vai ter mais do que um pombo. 
A afirmação acima é bem simples, porém tem 
muitas aplicações na matemática. 
Exemplos: 
A maneira com que justificamos o Princípio das 
Casas de Pombos nos dá uma estratégia para utilizá-
lo na resolução de problemas: a partir dos dados do 
problema a ser resolvido, devemos: 
- identificar quais são as “casas” e quais são 
os “pombos”, 
- distribuir os pombos nas casas, 
- determinar a relação existente entre ambos: 
pombos e casas. 
 
Exemplo 1: Qual o número mínimo de pessoas 
que devemos reunir para que tenhamos certeza de 
que duas entre elas fazem aniversário no mesmo 
mês? 
Resposta: O número mínimo de pessoas é 13. 
Justificativa: Para este problema temos: 
- casas: meses do ano (12); 
- pombos: pessoas (13); 
- relação: associamos cada pessoa ao seu mês de 
nascimento. 
Pelo Princípio das Casas de Pombos, como temos 
12 casas e 13 pombos, uma das casas receberá, pelo 
menos, 2 pombos, ou seja, um dos meses terá dois 
aniversariantes. 
 
Exemplo 2) Existem N pessoas em uma sala. 
Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza 
de que 3 nasceram no mesmo mês? 
Resposta: Pelo princípio da casa dos pombos: 
(12*2)+1 = 25 pessoas. 
Existem 12 meses, então se pegarmos 24 
pessoas, pode ser que não existam 3 pessoas que 
nasceram no mesmo mês. 
Ao adicionar mais uma pessoa, termos certeza de 
que ela nasceu no mesmo mês que pelo menos 
outras 2 presentes na sala. 
 
Exemplo 3) Quantas rolagens de dado (um dado 
de 6 faces) são necessárias para se ter certeza que 
um mesmo número vai cair duas vezes? 
Resposta: Bem, vamos ver pela "pior" das 
hipóteses: na "pior" das hipóteses, se jogarmos o 
dado 6 vezes, teremos os números (não 
necessariamente nesta ordem): 3, 5, 6, 1, 2 e 4. 
O que acontece se jogarmos o dado mais uma 
vez?Vai cair um número igual a outro já rolado. 
Conclusão: Como temos 6 possibilidades, se 
jogarmos o dado 6+1 vezes, teremos um número que 
se repete mais do que uma vez. Esse processo pode 
ser simplificado se você se lembrar do princípio da 
casa dos pombos. 
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS27
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
RAZÕES E PROPORÇÕES:
RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS,
PROPORÇÃO E SUAS PROPRIEDADES,
RAZÃO:
Definição: denomina-se razão de dois números
a e b, o quociente de a por b (b = 0 ).
Notação: a/b ou a:b
Obs.: 1ª) O primeiro termo de uma razão é deno-
minado antecedente e o segundo conseqüente.



econsequent - b
eantecedent - a
=b : a ou
b
a
2ª) Quando o antecedente de uma razão é igual ao
conseqüente de outra, e vice-versa, as razões são
ditas inversas.
4
3
3
4
;
3
5
5
3
;

ee
a
b
e
b
a
 são razões inversas.
PROPORÇÃO:
Definição: denomina-se proporção a igualdade
de duas razões.
d
c
b
a
 ;
20
12
5
3
;
9
6
3
2
ou a : b = c : d
a e d (extremos da proporção)
b e c (meios da proporção)
Propriedade Fundamental das Proporções: Em
toda proporção, o produto dos meios é igual ao pro-
duto dos extremos.

d
c
b
a
a . d = b . c
10 . 3=15 . 2
15
10
3
2

Quarta Proporcional: denomina-se quarta proporcio-
nal ao número que com três outros forma uma proporção.
Ex.: Determinar a quarta proporcional entre os nú-
meros 3, 5 e 9.
Solução: Seja x a quarta proporcional procurada;
então:

x
9
5
3
 3x = 9 . 5 3x = 45  x = 3
45
  x = 15
Proporção Contínua: uma proporção é chamada con-
tínua, quando ela possui os meios ou os extremos iguais.
Ex.: 
2
4
4
8
 ou 2 : 4 = 4 : 8 (meios iguais)
8
1 6
4
8
 ou 8 : 16 = 4 : 8 (extremos iguais)
Observações Importantes:
1ª) O meio, ou extremo, comum em uma proporção
contínua é a média proporcional ou média geométrica.
Assim: 
8
4
4
2
 4

8
4
16
8
 8
é a média proporcional ou
média geométrica, entre 2 e 8.
é a média proporcional ou mé-
dia geométrica, entre 16 e 4.
2ª) Os termos desiguais de uma proporção contí-
nua, denominam-se terceira proporcional. Então:
8
4
4
2
 



. . 4 entre alproporcion terceira a e 8 
. . 4 2
9
8entrealproporcionterceiraae
Ex.: 1) Calcule a média proporcional entre 4 e 9.
Solução: Chamando de x a média proporcional
ou geométrica, temos:

9
4 x
x
4 . 9 = x . x 2x = 4 . 9
x = 4 . 9 x = 6
ou então: 
x
x 9
4
 x . x = 4 . 9
x2 = 4 . 9 x = 4 . 9 x = 6
3ª) Em uma proporção podemos permutar entre
si, sem alterar a mesma:
a) os meios entre si
b) os extremos entre si
c) os antecedentes com seus respectivos conse-
qüentes.
Ex.: 
a
b
c
d
a .  d = b . c
a) 
a
c
b
d
a .  d = b . c
b) 
d
b
c
a
a .  d = b . c
c) 
b
a
d
c
a .  d = b . c
Note que a proporção não foi alterada em nenhum
caso, pois se verificou a propriedade fundamental em
todas elas sem alteração: a . d = b . c
Propriedades das Proporções:
Dada a proporção 
a
b
c
d
 podemos escrever:
1ª Propriedade:
a b
b
c d
d



 ou
a b
a
c d
c



2ª Propriedade:
d
c
 
b
a
 
d b
c a



3ª Propriedade:
a
b
c
d
n
n
n
n
 ou
a
b
c
d
n
n
n
n

4ª Propriedade:
a . a
b
c
d
 c
b . d
=
2
2
2
2
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS28
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
MÉDIAS
Média Aritmética (Ma): a média aritmética de dois
ou mais números, é o quociente da soma desses
números pelo número de parcelas. Assim, a média
aritmética entre os números a, b e c será:
Ma
a b c

 
3
Média Aritmética Ponderada (Mp): a média arit-
mética ponderada é igual ao somatório dos produtos
de n números pelos seus respectivos pesos, dividi-
do pelo somatório desses pesos. Assim, a média arit-
mética ponderada dos números a, b e c de pesos
respectivamente iguais a p, q e r será:
Mp
a .

 p + b . q + c . r
p + q + r
Média Harmônica (Mh): denomina-se média har-
mônica de vários números, o inverso da média arit-
mética dos inversos desses números. Assim a mé-
dia harmônica dos números a, b e c será:
Mh 
 
3
1
a
1
b
1
c
Escala (E):
Definição: é a razão entre o comprimento do de-
senho e o comprimento real a que corresponde.
E
D
R
 onde: E escala
D comprimento do desenho
R comprimento real
Importante:
- As grandezas D e R devem estar na mesma unidade.
- A razão da escala deve ser uma fração irredutível.
Quando 2 cm no desenho corresponde a 1m real
temos:
E = 
2 cm
100 cm : 2
 2 E =
1
50
: 
fração irredutível
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
1) Calcule x na proporção:
 x : (3 - 0,75) = 4 : (2 - 1/8)
Solução: aplicando a propriedade fundamental em:
x
3 -

75
100
=
4
2 -
1
8
8
1 - 16
 4
 
100
75300


x
15
8
 . 4
225
 . 
100
x
5
24
225
100
15
8
 . 4  xx
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando uma cresce, a outra também ou quando uma
decresce e a outra também. Ex.: Kg de feijão e dinhei-
ro. Um pouco de feijão custa um preço. Se comprar-
mos mais quilos pagaremos mais.
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando uma cresce e a outra decresce ou vice-versa.
Ex.: Velocidade e tempo. Andarmos com determina-
da velocidade para percorrermos uma distância e de-
moramos um tempo. Se aumentermos a velocidade,
o tempo diminui para percorrer a mesma distância.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Definição: A regra de três consiste na comparação
de grandezas proporcionais diretas ou inversas. Pode
ser:







aisproporciongrandezas
demaisenvolveComposta
aisproporciongrandezasenvolveSimples
 
2 
 2 
Regra de Três Simples: Pode ser:





inversasgrandezasInversa
diretasgrandezasDireta
 2 
 2 
Direta: a resolução é feita através de proporção
como a montagem do problema. Ex.: Uma quantida-
de de 21 quilos de arroz custa R$ 42,00. Calcular o
preço de 15 quilos deste arroz.
Solução:
 kg-arroz - R$
X
42
15
21

30
21
42 . 15000.42
15
21
 X
X
Resposta: R$ 30,00
Inversa: a resolução é feita através de proporção
invertendo-se os dados de uma das duas grandezas
proporcionais. Ex.: Um automóvel percorre na estra-
da uma determinada distância. Sabendo que com a
velocidade de 50 Km/h, demora 4 horas, quanto tem-
po gastará se a velocidade for de 40 Km/h?
Solução:
km/h - hora
X
4
40
50

50
40 4
4
40
5  
x . 50
Resposta: 5 horas
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS29
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Envolve mais de duas grandezas proporcionais. A
resolução poderá ser feita de duas maneiras.
1º método:
Comparamos a grandeza a determinar com as
demais. Se for inversa, invertermos os dados dessa
grandeza (das demais).
A grandeza a determinar não se altera.
Por fim igualamos a razão de grandeza a determi-
nar com a razão do produto dos dados das demais
grandezas e determinamos o valor procurado.
Ex.: Na alimentação de 3 cavalos, durante 7 dias
são consumidos 1470 Kg de alfafa.
Se mais cinco cavalos são adquiridos, quantos
quilos de alfafa serão necessários para alimentá-los
durante 10 dias?
Solução:
alfafa(kg) dias cavalos
8
3
10
71470

x
1470 7 1470
x
x  
 . 3
10 8
 . 10 8
7 3.
.
.
x = 5.600
Resposta: 5.600 Kg
2º método:
Unimos por uma linha as causas dos primeiros
dados com a conseqüência dos segundos casos e
por outra linha as causas dos segundos dados com
a coseqüência dos primeiros dados.
Igualamos o produto de uma linha com o produto
da outra para determinar o valor procurado.
Observe que neste método não é necessário a
comparação das grandezas proporcionais, mas a no-
ção do que é causa e conseqüência.
Conseqüência é tudo que se produz ou se faz tendo
como causa o trabalho e seus fatores para determiná-lo.
Ex.: mesmo do 1º método:
alfafa(kg) dias cavalos
8
3
10
71470
x
Para determinarmos a conseqüência faremos a
pergunta: o que foi feito?
A resposta é: a alimentação dos cavalos através
de quilos dealfafa.
O restante então é a causa da alimentação dos
cavalos e do problema.
Então igualamos as duas linhas de daos como
explicado anteriormente.
x . 7 . 3 = 1470 . 10 . 8
x  
1470
5600
 . 10 8
7 3
.
.
.
Resposta: 5.600 Kg
Observe que qualquer dos 2 métodos pode ser
utilizado. Cada um escolherá o que melhor entender.
PORCENTAGEM
DEFINIÇÃO: pode ser definida como sendo o nú-
mero de centésimos existentes em uma grandeza. A
taxa de porcentagem é a representação de uma fra-
ção onde o denominador é 100. Assim a fração 20/
100 é equivalente à notação 20%.
%  representação de porcentagem.
Ex.: 1) Dar a fração irredutivél equivalente a cada
uma das notações percentuais abaixo:
a) 15% b) 20%
Solução:
5
1
20:
100
 20
=20%b)
20
3
=5 :
100
15
%15 ) a
Ex.: 2) Estabelecer a notação percentual equivalen-
te a cada uma das frações seguintes: a) 2/5 b) 5/4
Solução:
a) 
2
5
40
100
40%= = b) 
5
4
125
100
125%= =
Obs.: Taxa Milesimal é a representação de uma fra-
ção onde o denominador é 1000. Assim 2/1000 é anota-
do por 2% . Todo o trabalho algébrico da taxa milesimal
segue o mesmo procedimento da taxa percentual.
CÁLCULO DA PORCENTAGEM:
Sempre que, por exemplo, escrevendo 20% estamos
nos referindo a 20% de um determinado valor. Este va-
lor é chamado de principal, isto é, o valor sobre o qual
calculamos a porcentagem. Este valor equivale sempre
a 100% ou a um inteiro. Ex.: 20% de 500.
100
i . p
P 




 
(p) principal-500
(i) taxa=20
(P) 100 mporcentage
Podemos calcular também a porcentagem atra-
vés de regra de três simples direta.
Ex.:
Percentual / valor
x
500
20
100

x = 100




 
(p) principal-500
(i) taxa=20
(P) 100 mporcentage
Transações Comerciais:
Existe nas transações comerciais o preço de cus-
to de uma mercadoria e o seu preço de venda tam-
bém. Toda vez que se calcula o percentual de lucro ou
de prejuízo sobre determinado valor, este valor equi-
vale a 100%, como já visto, pois é o principal.
Numa transação comercial pode haver lucro ou pre-
juízo. Lucro (L) - o preço de venda (Pv) é maior que
preço de custo (Pc). Prejuízo (P) - o preço de venda
(Pv) é menor que o preço de custo (Pc).
Observe que:
 
 L = Pv - Pc
% . L = % . Pv - % . Pc
 P = Pc- Pv
% . P = % . Pc - % . Pv
Importante frisar que se o lucro for calculado sobre
o preço de custo, este equivale a 100% e se for sobre
o preço de venda, este também equivale a 100%.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS30
JUROS SIMPLES
Juros simples é aquele calculado unicamente so-
bre o capital inicial.
CÁLCULO DO JURO SIMPLES
Consideremos o problema:
Apliquei R$ 2.000,00 por 2 anos. Quanto receberei
de juros se a taxa foi de 36% ao ano?
Solução:
Se me pagam 36% ao ano, isto significa que recebo
R$ 36,00 em 1 ano em cada R$ 100,00 aplicados ou,
então, que em 100 recebo 36 em 1 ano.
Temos então:
Como as grandezas são diretamente proporcionais,
vem:
isto é, receberei de juros R$ 1.440,00
Assim, designando por:
C o capital inicial ou principal;
j o juro simples;
n o tempo de aplicação;
r a taxa percentual;
i a taxa unitária,
temos: C = 2.000 / j = 1.440 / n = 2 / r = 36
Logo, de: 
ou:
Lembrando que: 
podemos escrever: j = C . n . i
Então, de um modo geral, podemos calcular os ju-
ros simples pela fórmula: j = C . i . n
É importante observar que essa fórmula só pode
ser aplicada se o prazo de aplicação n for expresso
na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa
i considerada.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 - Tomou-se emprestada a importância de R$
12.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao
ano. Qual será o valor do juro a ser pago?
Solução: Temos:
C = 12.000,00 / n = 2 a / r = 30% a.a i = 0,3 a.a.
e, como: j = C . i . n
temos: j = 12.000 x 0,3 x 2
j = 7.200 isto é, o juro a ser pago é de R$ 7.200
2 . Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo
prazo de 3 meses à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor
do juro a receber?
Solução: Temos:
C = 3.000,00 / n = 3 me / r = 1,2% a.m. i = 0,012
a.m.
donde: j = 3.000 x 0,012 x 3
j = 108 isto é, o juro a receber é de R$ 108,00
RESOLVA:
1 - Calcule os juros a serem pagos por um emprés-
timo de R$ 920,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3
trimestres.
2 - À taxa de 0,75% ao mês, foi empregado um ca-
pital de R$ 5.680,00 durante 2,5 meses. Calcule os ju-
ros produzidos.
GABARITO: 1 - R$ 138,00 / 2 - R$ 106,50
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no
sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos
de problemas do dia-a-dia.
Os juros gerados a cada período são incorporados ao
principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os
juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P. (1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês an-
terior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês an-
terior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i) n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mes-
ma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao
mês para n meses.
Para calcular apenas os juros basta diminuir o prin-
cipal do montante ao final do período: J = M - P
Exemplo: Calcule o montante de um capital de
R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano,
à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000. (1+0,035)12 = 6000 . (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, en-
contramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x
= 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$ 9.054,00
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS31
RELAÇÃO ENTRE JUROS E PROGRESSÕES
- num regime de capitalização a juros simples o
saldo cresce em progressão aritmética
- num regime de capitalização a juros compostos
o saldo cresce em progressão geométrica
TESTES
1) Uma pessoa deseja emprestar um Capital para
obter taxa de juros reais de 5% ao ano. Se a inflação
do ano em questão for 20%, qual a taxa de juros apa-
rentes a ser cobrada?
Solução:
FATOR DE JUROS APARENTES =
FATOR DE INFLAÇÃO x FATOR DE JUROS REAIS
FATOR DE JUROS APARENTES =
1,20 x 1,05 = 1,26
TAXA DE JUROS APARENTES =
26% ao ano
2) Se uma aplicação financeira, em um ano você
obteve rendimento de 30%, e no mesmo período a taxa
de inflação foi de 25%, qual foi a taxa de juros reais?
Solução:
FATOR INFLAÇÃO, FATOR JUROS REAIS =
FATOR JUROS APARENTES
1,25 + T = 1,30
 4% ao mês
CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS
A fórmula do montante para juros simples é:
S = P (1 + i . n) e para os juros J = Pin
Ex.
1) Calcular o rendimento obtido aplicando no regi-
me de juros simples um principal de R$ 12.000 durante
8 meses a uma taxa de 24% ao ano.
Solução:
J = Pin => 
J = 12.000 x 0,02 x 8 => J = 1920,00
Obtendo-se portanto um montante S = R$ 13.920,00
2) Ao aplicarmos R$ 10.000,00 pelo prazo de 89
dias obtivemos um montante de R$ 10.445,00. Qual a
taxa anual de juros simples?
Solução:
S = P (1 + i . n)
10.445 = 10.000 (1 + i . 89)
10.445 = 10.000 + 10.000 x 89 x i
10.000 x 89 x i = 10.445 - 10.000
10.000 x 89 x i = 445
i = 445 / 10.000 x 89 = 5 / 10.000 = 0,0005
i = 00,5% ao dia
r - 00,5 x 360 = 18% ao ano
3) Qual é o investimento necessário para produzir
um montante de R$ 8.000,00 daqui a 3 anos a uma
taxa de juros simples de 20% ao ano?
Solução: S = P (1 + n . i)
 => 
 => P = R$ 5.000,00
DESCONTO "POR DENTRO"
E DESCONTO "POR FORA":
Desconto Por Fora:
DESCONTO "POR DENTRO" E DESCONTO
"POR FORA
Desconto é a diferença entre o valor futuro e o valor
atual de um título:
D = S - P
Associa-se ao desconto uma TAXA (d) e um perío-
do de tempo (n)
D em R$ d em %
(Normalmente utiliza-se o termo "DESCONTO"em
lugar de "TAXA DE DESCONTO")
Desconto Por Fora (Comercial):
DESCONTOPOR FORA (D) = VALOR RESGATE
(S) x TAXA DESCONTO (d) x PRAZO (n).
D = S x d x n
Ex. 1) Qual o valor do desconto "por fora"de um
título de R$ 2.000.000,00, (valor futuro) com prazo de 2
meses. à taxa de 15% a.m.?
Solução: D = S x d x n
D = 2.000.000 x 0,15 x 2 => D = 600,000,00
Desconto Por "Dentro" ou Racional:
DESCONTO POR DENTRO = (VALOR ATUAL) x
(TAXA DESCONTO) x (PRAZO)
 D = P x d x n
Normalmente P é desconhecido, sendo mais utili-
zado a fórmula de D em função de S, d e n:
Exemplo: Calcular o desconto simples, "por
dentro"de um título de R$ 115.000,00 a uma taxa de
5% a.m., num prazo de 3 meses:
Solução:
Podemos interpretar a fórmula de Desconto Racio-
nal ou "Por Dentro" da seguinte forma:
d . n = % acumulado de desconto no prazo n:
Logo, o desconto "por dentro"é calculado rapida-
mente da seguinte forma:
Valor Atual: 
Desconto = 100.000 x 3 x 5% = 15% de 100.000 =
15.000,00
ou seja:
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS32
POPULAÇÃO E AMOSTRA
TIPOS DE DADOS
Exprimindo por meio de número as observações
que se fazem de elementos com, pelo menos, uma
característica comum (por exemplo: os alunos do sexo
masculino de uma comunidade), obtemos os chama-
dos dados referentes a esses elementos; podemos di-
zer, então:
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada
que fornece métodos para a coleta, a organização, a
descrição, a análise e a interpretação de dados quanti-
tativos e a utilização desses dados para a tomada de
decisões.
A coleta, a organização, a descrição dos dados
estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a
análise e a interpretação desses mesmos dados fi-
cam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo
Estatística, o fazem no sentido da organização e des-
crição dos dados (estatística do Ministério da Educa-
ção, estatística dos acidentes de tráfego etc.), desco-
nhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o
de proporcionar métodos inferenciais, que permi-
tam conclusões que transcendam os dados obti-
dos inicialmente.
Assim, é a análise e a interpretação dos dados es-
tatísticos que tornam possível o diagnóstico de uma
empresa (por exemplo, de uma escola), o conhecimento
de seus problemas (condições de funcionamento, pro-
dutividade), a formulação de soluções apropriadas e
um planejamento objetivo de ação.
Fases do método estatístico: Podemos distinguir
no método estatístico as seguintes fases:
Coleta de dados
Após cuidadoso planejamento e a devida determi-
nação das características mensuráveis do fenômeno
coletivamente típico* que se quer pesquisar, damos iní-
cio à coleta dos dados numéricos necessários à sua
descrição.
A coleta pode ser direta e indireta.
A coleta é direta quando feita sobre elementos in-
formativos de registro obrigatório, como os nascimen-
tos, casamentos e óbitos, a importação e exportação
de mercadorias, elementos pertinentes aos prontuári-
os dos alunos de uma escola ou, ainda, quando coligi-
dos pelo próprio pesquisador através de inquéritos e
questionários, como é o caso das notas de verificação
e de exames, do censo demográfico etc.
A coleta direta de dados pode ser classificada rela-
tivamente ao fator tempo em:
a. contínua (registro) - quando feita continuamen-
te, tal como a de nascimentos e óbitos, a freqüência
dos alunos às aulas;
b. periódica - quando feita em intervalos constan-
tes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos), as
avaliações mensais dos alunos;
c. ocasional - quando feita extemporaneamente, a
fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergên-
cia, como no caso de epidemias que assolam ou di-
zimam rebanhos inteiros.
A coleta se diz indireta quando é inferida de ele-
mentos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento
de outros fenômenos relacionados com o fenômeno es-
tudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa so-
bre a mortalidade infantil, que é feita através de dados
colhidos por uma coleta direta.
Crítica dos dados
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente
criticados, à procura de possíveis falhas, imperfeições
e erros, a fim de não incorrermos em erros grosseiros
ou de certo vulto, que possam influir sensivelmete nos
resultados.
A crítica é externa quando visa as causas dos er-
ros por parte do informante, por distração ou má inter-
pretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna
quando visa observar os elementos originais dos da-
dos da coleta.
Apuração dos dados
Nada mais é que a soma e o processamento dos da-
dos obtidos e a disposição mediante critérios de classifica-
ção. Pode ser manual ou eletromecânica ou eletrônica.
Exposição ou apresentação dos dados
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha
em vista, os dados devem ser apresentados sob forma
adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o
exame daquilo que está sendo objeto de tratamento es-
tatístico e ulterior obtenção de medidas típicas.
Análise dos resultados
Como já dissemos, o objetivo último da Estatística
é tirar conclusões sobre o todo (população), a partir de
informações fornecidas por parte representativa do todo
(amostra). Assim, realizadas as fases anteriores (Esta-
tística Descritiva) fazemos uma análise dos resulta-
dos obtidos, através dos métodos da Estatística
Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução,
inferência ou tirando daí conclusões e previsões.
* Fenômeno coletivamente típico é aquele que não
apresenta regularidade na observação de casos isola-
dos, mas na massa de observações. (Marcos Vinícius
da ROCHA, Curso de Estatística).
POPULAÇÃO
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos,
uma característica comum, denominamos população
estatística ou universo estatístico.
Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma
população, pois apresentam pelo menos uma caracte-
rística comum: são os que estudam.
Como em qualquer estudo estatístico, temos em
mente pesquisar uma ou mais características dos ele-
mentos de alguma população; esta característica deve
estar perfeitamente definida. E isto se dá quando, con-
siderado um elemento qualquer, podemos afirmar, sem
ambigüidade, se esse elemento pertence ou não à po-
pulação. É necessário, pois, exisir um critério de cons-
tituição da população, válido para qualquer pessoa, no
tempo ou no espaço.
Assim, quando pretendemos fazer uma pesquisa en-
tre os alunos das escolas de 1° grau, precisamos defi-
nir quais são os alunos que formam o universo: os que
atualmente ocupam as carteiras das escolas, ou deve-
mos incluir também os que já passaram pela escola? É
claro que a solução do problema vai depender de cada
caso em particular.
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS33
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou
inviabilidade econômica ou temporal, limitamos as
observações referentes a uma determinada pesqui-
sa a apenas uma parte da população. A essa parte
proveniente da população em estudo denominamos
amostra.
Uma amostra, portanto, um subconjunto finito de
uma população.
Como vimos no capítulo anterior, a Estatística
Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as po-
pulações, com base em resultados verificados em amos-
tras retiradas dessa população.
Mas para as inferências serem corretas, é ne-
cessário garantir que a amostra seja representati-
va da população, isto é, a amostra deve possuir as
mesmas características básicas da população, no
que diz respeito ao fenômemo que desejamos
pesquisar. É preciso, pois, que a amostra ou as
amostras que vão ser usadas sejam obtidas por pro-
cessos adequados.
Há casos, como o de pesquisas sociais, econômi-
cas e de opinião, em que os problemas de amostragem
são de extrema complexidade. Mas existem também
casos em que os problemas de amostragem são bem
mais fáceis.
Como exemplo, podemos citar a retirada de amos-
tra para controle de qualidade dos produtos ou materi-
ais de determinada indústria.
FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA
Freqüência simples ou freqüência absoluta ou,
simplesmente, freqüência de uma classe ou de um
valorindividual é o número de observações correspon-
dentes a essa classe ou a esse valor.
A freqüência simples é simbolizada por f
i 
(lemos: f
índice i ou freqüência da classe i).
Assim, em nosso exemplo, temos:
f
1
 = 4; f
2
 = 9; f
3
 = 11; f
4
 = 8; f
5
 = 5 e f
6
 = 3
A soma de todas as freqüências será representada
pelo símbolo de somatório:


k
i
fi
1
É evidente que:
nfi
k
i

1
Para a distribuição em estudo, temos:
40
6
1

i
fi
Não havendo possibilidade de engano, usamos:
40 fi
Podemos, agora, dar à distribuição de freqüência
das estaturas dos 40 alunos do Colégio A a seguinte
representação tabular técnica:
TABELA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
TIPOS DE FREQÜÊNCIAS
Freqüências simples ou absolutas (f
i
) são os va-
lores que realmente representam o número de dados
de cada classe.
Como vimos anteriormente, a soma das freqüênci-
as simples é igual ao número total dos dados:
Freqüências relativas (fr
i
) são os valores das ra-
zões entre as freqüências simples e a freqüência total,
isto é:
Logo, a freqüência relativa da terceira classe no
nosso exemplo (Tabela) é:
Evidentemente, 
Freqüência acumulada (F
i
) é o total das freqüên-
cias de todos os valores inferiores ao limite superior do
intervalo de uma dada classe. Temos, pois:
Assim, no exemplo apresentado no início deste ca-
pítulo, a freqüência acumulada correspondente à ter-
ceira classe é:
o que significa existirem 24 alunos com estatura in-
ferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira
classe).
Freqüência acumulada relativa(Fr
i
) de uma clas-
se é a freqüência acumulada da classe, dividida pela
freqüência total da distribuição:
Assim, para a terceira classe, temos:
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS34
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
DIAGRAMA DE BARRAS
É a representação de uma série por meio de re-
tângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou
horizontalmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base
e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura
e os comprimentos proporcionais aos respectivos dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade
entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos.
Exemplos:
GRÁFICO EM COLUNAS
PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
BRASIL - 2016 - 2021
Quantidades 
(1.000 unid) Anos 
919
1.063
1.128
1.165
781
859 
2009
2010
2011
2012
2013
2014
Fonte: Simulação
PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
BRASIL - 2009-2014
Mil
Unidades
09 10 11 12 13 14
Fonte: Simulação
GRÁFICO EM BARRAS
ALUNOS REPETENTES - BRASIL 2021
ALUNOS REPETENTES - Brasil - 2014
1.000 alunos
Fonte: Simulação
GRÁFICO EM COLUNAS
OU EM BARRAS
MÚLTIPLAS
É geralmente empregado quando queremos re-
presentar, simultaneamente, dois ou mais fenôme-
nos estudados com o propósito de comparação.
Exemplo:
RECEITA E DESPESA
FUNDEP
2017 - 2021
Valor (R$1.000.000)
2014
2013
2012
2011
2010
Fonte: Simulação
Receita Despesa
Fonte: Simulação
Média
Aritmética (x)
Em um conjunto de dados, podemos definir vários
tipos de médias.
Porém, em nossos estudos, iremos dar mais im-
portância a média aritmética.
Estados Quantidades
(aluno)
São Paulo
R.G. do Sul
Stª. Catarina
Pernambuco
M. Gerais
Paraná
255.620
168.555
113.602
54.091
46.023
21.903
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2016 - 2021
2016 2017 2018 2019 2020 2021
2021
2017
2018
2019
2020
2021
2017 2018 2019 2020 2021
2017 - 2021
Fonte: Simulação
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