PRIMER REGULATORIO 1C 2020 RESUETOS

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Cátedra de Matemática FFyB BIOESTADÍSTICA Respuestas Primer Regulatorio 
Primer Regulatorio 
Bioestadística 
 
Lunes 8/06 
Distribuciones básicas 
Ejercicio 1 
Sea 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(8; 0,3) 
Si 𝑌 = 3𝑋 − 5, la 𝑉𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋) y 𝑃(𝑌 = 13), son: 
 
Resolución: 
Claramente las variables no son independientes, entonces: 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(3𝑋 − 5 − 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(2𝑋 − 5) = 22 ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4 ∗ 8 ∗ 0,3 ∗ 0,7 = 6,72 
 
Por otra parte, 
 
𝑃(𝑌 = 13) = 𝑃(3𝑋 − 5 = 13) = 𝑃(3𝑋 = 18) = 𝑃(𝑋 = 6) = 0,01 
 
 
Ejercicio 2 
El número de pacientes de un grupo de m que se recuperan de una enfermedad luego de un 
tratamiento puede suponerse con distribución binomial. Se sabe que si m = 4, la probabilidad 
de que todos se recuperen es 0,015, pero si se trataran 8 pacientes, el número esperado de 
pacientes que no se recuperarán es: 
 
Resolución: 
Defino X=n° de pacientes que se recuperan de un grupo de 4, y se tiene que 𝑃(𝑋 = 4) = 0,015, 
entonces: 
 
 p = P(El paciente se recupere) = 0,35 ⇒ 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(4; 0,35) 
 
De esta forma, si tenemos m = 8 pacientes podemos definir una variable binomial nueva: 
Y = n° de pacientes que no se recuperan de un grupo de 8. 
 Así el número esperado de no curados es 
 
𝐸(𝑌) = 𝑚 ∗ 𝑝 = 8 ∗ 0,65 = 5,2 
 
Ejercicio 3 
El número de llamadas telefónicas a la línea 134 (para denunciar a quienes incumplen la 
cuarentena) alcanza un promedio de 2,5 llamadas cada 20 minutos. 
La probabilidad de que en 1 hora haya no menos de 8 llamadas si se sabe que hubo menos de 
11, es, aproximadamente: 
 
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Resolución: 
Se define X=n° de llamadas telefónicas a la línea 134 en 1 hora. 
Si cada 20 minutos llegan 2,5 llamadas, en una hora llegan 7,5, entonces 
𝑋 ∼ 𝑃(7,5) 
La probabilidad pedida es una condicional: 
 
𝑃(𝑋 ≥ 8/𝑋 < 11) =
𝑃(8 ≤ 𝑋 < 11)
𝑃(𝑋 < 11)
=
𝑃(𝑋 ≤ 10) − 𝑃(𝑋 ≤ 7)
𝐹𝑋(10)
=
0,8622 − 0,5246
0,8622
= 0,391556. . 
 
Ejercicio 4 
Para realizar la calidad de pulido de un lente, una compañía suele contar la cantidad de manchas 
que hay en una superficie, considerando que el lente es defectuoso si aparecen 2 o más manchas 
o asperezas en el lente. Si la tasa media es de 4 defectos por cada 2𝑐𝑚2, la probabilidad de 
catalogar a un lente de 3,5𝑐𝑚2como defectuoso, es: 
 
Resolución: 
Se define Y = n° de manchas en la superficie de un lente de 3,5𝑐𝑚2. Según los datos del 
ejercicio, 
𝑌 ∼ 𝑃(7) 
entonces 
𝑃(𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜) = 𝑃(𝑌 ≥ 2) = 1 − 𝐹𝑌(1) = 1 − 0.0073 = 0,9927 
 
 
Ejercicio 5 
El diámetro de cierta variedad de tomates cultivados en una plantación se distribuye 
normalmente con una media de 𝜇 = 105𝑚𝑚. Si se sabe que el diámetro de uno de estos 
tomates seleccionados al azar sea mayor a 10cm, es 0,99; la desviación estándar, es: 
 
Resolución: 
Se define X: Diámetro de un tomate de la plantación (en mm). Entonces 𝑋 ∼ 𝑁(105; 𝜎) 
Se sabe que 𝑃(𝑋 > 100) = 0,99, así: 
0,99 = 𝑃(𝑋 > 100) = 𝑃 (
𝑋 − 105
𝜎
>
100 − 105
𝜎
) = 𝑃 (𝑍 >
−5
𝜎
) 
donde 𝑍 ∼ 𝑁(0,1), por simetría de la normal estándar, se sabe que: 
 
𝑃 (𝑍 >
−5
𝜎
) = 𝑃 (𝑍 <
5
𝜎
) = 0,99 ⇒
5
𝜎
= 2,326 ⇒ 𝜎 =
5
2,326
≃ 2,1496 
 
 
Ejercicio 6 
En una determinada población la PAD de mujeres entre 18 y 74 años se distribuye normalmente 
con media 77𝑚𝑚𝐻𝑔 y varianza 134.56(𝑚𝑚𝐻𝑔)2. La probabilidad de que una mujer entre 18 
y 74 años tenga la presión entre 67𝑚𝑚𝐻𝑔 y 90𝑚𝑚𝐻𝑔, es: 
 
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Resolución: 
Definimos X=Presión Arterial Diastólica (PAD) de mujeres entre 18 y 74 años de la 
población, entonces: 
𝑋 ∼ 𝑁(77; 11.6) 
entonces 
𝑃(67 < 𝑋 < 90) = 𝑃 (
67 − 77
11,6
< 𝑍 <
90 − 77
11,6
) = 𝐹𝑍(1,12) − 𝐹𝑍(−0,86) = 0,6737 
 
 
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Martes 9/06 
Estadística Descriptiva 
Ejercicio 1 
A partir de la siguiente muestra de valores de glucosa (mmol/L) en sangre de arteria umbilical 
de neonatos a término, indicar cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta: 
4,6 2,8 6,7 5,2 7,5 8,2 3,9 5,1 6,2 7,0 4,2 
 
Resolución: 
 
 
La varianza muestral vale 9,00 y el desvío estándar muestral vale 3,00. Es incorrecta. 
Cálculo de la Varianza muestral 
 
Cálculo del Desvío Estándar muestral 
 √𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = √𝒔𝟐 = s 
 
Ejercicio 2 
A partir de la siguiente muestra de valores de glucosa (mmol/L) en sangre de arteria umbilical 
de neonatos a término, indicar cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta: 
 
2,5 2,8 6,7 5,2 4,6 8,2 3,9 5,1 6,2 6,8 4,2 
 
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Resolución: 
 
La varianza muestral vale 16,00 y el desvío estándar muestral vale 4,00. Es incorrecta. 
Cálculo de la Varianza muestral 
 
Cálculo del Desvío Estándar muestral 
 
 √𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = √𝑠2 = s 
 
Ejercicio 3 
Para desarrollar un tratamiento para el envenenamiento por clorpirifos, se diseñó un reactivador 
de la colinesterasa eritrocitaria, cuya función es catalizar la hidrólisis de acetilcolina sobrante 
en el espacio sináptico y, de esa manera evitar daños en neuronas y músculos. Se tomó una 
muestra de 40 individuos, cuyos valores de colinesterasa (en UI/L) en el suero sanguíneo tras 
probar el reactivador, se resumen en la siguiente tabla: 
 
A continuación, se muestran determinados gráficos de Box-Plot, siendo solo uno de ellos el 
correspondiente a la muestra observada 
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Indique cuál es el gráfico correcto 
Resolución: 
Gráfico 2: es el Box-Plot correcto. Se observa que la media y la mediana toman valores 
cercanos a 1,73 y Q3 supera ligeramente 1,98 (vale 2,02). 
 
Ejercicio 4 
Para desarrollar un tratamiento para el envenenamiento por clorpirifos, se diseñó un reactivador 
de la colinesterasa eritrocitaria, cuya función es catalizar la hidrólisis de acetilcolina sobrante 
en el espacio sináptico y, de esa manera evitar daños en neuronas y músculos. Se tomó una 
muestra de 65 individuos, cuyos valores de colinesterasa (en UI/L) en el suero sanguíneo tras 
probar el reactivador, se resumen en la siguiente tabla: 
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A continuación, se muestran determinados gráficos de Box-Plot, siendo solo uno de ellos el 
correspondiente a la muestra observada 
 
Resolución: 
Gráfico 4: es el Box-Plot correcto. Se observa que la media y la mediana toman valores 
cercanos a 1,96 y Q3 supera ligeramente 2,21 (vale 2,02). 
 
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Ejercicio 5 
 Se compararon dos métodos de recolección de sangre para estudios de coagulación. Para ello 
se midió el tiempo parcial de tromboplastina activada (APTT) en la sangre de 12 pacientes, y 
con los datos obtenidos se construyó un gráfico de densidad de puntos. La media aritmética, en 
cada caso, se muestra como un punto negro. A partir del mismo, determinar cuál de las 
opciones es correcta: 
 
 
Resolución: 
Se observa que el rango (medida de dispersión) de valores obtenido al utilizar el método 1, es 
mayor que al utilizar el método 2. 
 
Ejercicio 6 
 Se compararon dos métodos de recolección de sangre para estudios de coagulación. Para ello 
se midió el tiempo parcial de tromboplastina activada (APTT) en la sangre de 14 pacientes, y 
con los datos obtenidos se construyó un gráfico de densidad de puntos. La media aritmética, en 
cada caso, se muestra como un punto negro. A partir del mismo, determinar cuál de las opciones 
es correcta: 
 
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Resolución: 
Se observa queel rango (medida de dispersión) de valores obtenido al utilizar el método 1, es 
mayor que al utilizar el método 2. 
 
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Miércoles 10/06 
Probabilidad 
Ejercicio 1 
Un grupo de 120 personas regresan al país: algunas desde Francia y otras desde Italia. Del total, 60 
están infectadas con cierto virus. De las personas infectadas, 45 provienen de Italia. De las no infectadas, 
30 provienen de Francia. Tomando una persona al azar al bajar del avión, la probabilidad de que esté 
infectada, sabiendo que proviene de Italia es: 
Resolución: 
 Infectada No infectada Total 
Francia 15 30 45 
Italia 45 30 75 
Total 60 60 120 
 
P (Inf/Italia) = 45/75=0,6 
 
Ejercicio 2 
Un test de detección de IgG para cierta enfermedad tiene una sensibilidad de 0,90 (la probabilidad de 
que la prueba resulte positiva en un enfermo); y una especificidad de 0,80 (la probabilidad de que resulte 
negativa en un individuo sano). Se aplicó la prueba en 50 individuos enfermos y 450 sanos. La cantidad 
de individuos sanos que tendrán una prueba positiva es: 
Resolución: 
 Test negativo Test positivo Totales 
Sanos 360 90 450 
Enfermos 5 45 50 
Totales 365 135 500 
 
𝑃 (+ 𝐸𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜⁄ ) = 0,90 ⟹ 𝑓𝑟𝑒𝑐(+ ∩ 𝐸𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜) = 0,90 ∗ 50 = 45 
𝑃(− 𝑆𝑎𝑛𝑜⁄ ) = 0,80 ⟹ 𝑓𝑟𝑒𝑐(− ∩ 𝑆𝑎𝑛𝑜) = 0,80 ∗ 450 = 360 
𝑓𝑟𝑒𝑐(+ ∩ 𝑆𝑎𝑛𝑜) = 90 
 
Ejercicio 3 
Un test de detección de IgG para cierta enfermedad tiene una sensibilidad de 0,90 (la probabilidad de 
que la prueba resulte positiva en un enfermo); y una especificidad de 0,80 (la probabilidad de que resulte 
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negativa en un individuo sano). Se aplicó la prueba en 50 individuos enfermos y 450 sanos. La cantidad 
de individuos que tendrán una prueba negativa es: 
Resolución: 
 Test negativo Test positivo Totales 
Sanos 360 90 450 
Enfermos 5 45 50 
Totales 365 135 500 
 
𝑃 (+ 𝐸𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜⁄ ) = 0,90 ⟹ 𝑓𝑟𝑒𝑐(+ ∩ 𝐸𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜) = 0,90 ∗ 50 = 45 
𝑃(− 𝑆𝑎𝑛𝑜⁄ ) = 0,80 ⟹ 𝑓𝑟𝑒𝑐(− ∩ 𝑆𝑎𝑛𝑜) = 0,80 ∗ 450 = 360 
𝑓𝑟𝑒𝑐(−) = 365 
 
Ejercicio 4 
Se evaluó el efecto de una droga en 120 ratas, de las cuales 80 fueron tratadas con una dosis A 
de la droga y 40, con una dosis B. Se observó efecto (+) en 50 de las ratas tratadas con dosis 
A, mientras que 25 de las ratas tratadas con dosis B no mostraron efecto (−). La conclusión 
acerca de la independencia entre la dosis recibida y el efecto es: 
 
Resolución: 
 Sí E No E Total 
A 50 30 80 
B 15 25 40 
Total 65 55 120 
P(A∩E) = 50 / 120 = 0,4167 
P(A). P(E) = (80/120) * (65/120) = 13 / 36 = 0,3611  0,4167 No son independientes 
 
Ejercicio 5 
Un sitio arqueológico presenta dos niveles: uno antiguo (O) y uno reciente (R). Se clasificaron 
80 piezas dentales halladas en el sitio, por grado de desgaste: Alto (A), Medio (M) y Bajo (B). 
Del total de piezas, 60 son recientes; de éstas, 13 tienen desgaste alto (A) y 31, desgaste bajo 
(B). En total, se hallaron 36 piezas con desgaste bajo. De las piezas del nivel antiguo, 3 
presentan desgaste medio (M). La probabilidad de (A’∩R’) es: 
 
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Resolución: 
Primero se arma la tabla de contingencia. 
 A M B Total 
O 12 3 5 20 
R 13 16 31 60 
Total 25 19 36 80 
P(A’∩R’) = (3+5) / 80=0,1 
 
Ejercicio 6 
Un test de detección de IgM para cierta enfermedad tiene una sensibilidad de 0,95 (la probabilidad de 
que la prueba resulte positiva en un enfermo); y una especificidad de 0,97 (la probabilidad de que resulte 
negativa en un individuo sano). Se aplicó la prueba en 100 individuos enfermos y 300 sanos. La cantidad 
de individuos sanos que tendrán una prueba positiva es: 
 
Resolución: 
 
 Test negativo Test positivo Totales 
Sanos 291 9 300 
Enfermos 5 95 100 
Totales 296 104 400 
 
𝑃 (+ 𝐸𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜⁄ ) = 0,95 ⟹ 𝑓𝑟𝑒𝑐(+ ∩ 𝐸𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜) = 0,95 ∗ 100 = 95 
 
𝑃(− 𝑆𝑎𝑛𝑜⁄ ) = 0,97 ⟹ 𝑓𝑟𝑒𝑐(− ∩ 𝑆𝑎𝑛𝑜) = 0,97 ∗ 300 = 291 
 
𝑓𝑟𝑒𝑐(+ ∩ 𝑆𝑎𝑛𝑜) = 9 
 
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Jueves 11/06 
Estimación Puntual 
Ejercicio 1 
Para probar un medicamento para la hipertensión arterial, un laboratorio farmacéutico solicitó 
a un grupo de 100 médicos que lo suministraran a los primeros 4 pacientes hipertensos no 
tratados que se presentaran en el consultorio. 
Se definió la variable :X ”Número de pacientes, del total de 4, para los cuales el nuevo 
medicamento es efectivo”, y se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias: 
 
ix 0 1 2 3 4 
Frec. observadas 2 15 35 35 13 
 
La probabilidad estimada de que el medicamento sea efectivo en por lo menos 3 pacientes es: 
 
Resolución: 
𝑋 ∼ 𝐵𝑖(4; 𝑝) Debemos estimar p con los datos de la tabla de frecuencias. 
𝑥 =
0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 15 + 2 ⋅ 35 + 3 ⋅ 35 + 4 ⋅ 13
100
=
242
100
= 2,42 
Por otra parte ( ) 4E X m p p=  = El estimador de ( )E X es X luego 
𝐸(𝑋)̂ = 4�̂� = 𝑥 ⇒ �̂� =
𝑥
4
=
2.42
4
= 0,605 Consideramos entonces �̂� = 0,6. 
Estimamos la probabilidad solicitada: (No continuamos usando la notación de estimador para 
no recargar) 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝐹𝑋(2) = 1 − 0,5248 = 0,4752 
 
Ejercicio 2 
Para probar un medicamento para la migraña, un laboratorio farmacéutico solicitó a un grupo 
de 200 médicos que lo suministraran a los primeros 5 pacientes con migraña no tratados que 
se presentaran en el consultorio. 
Se definió la variable :X ”Número de pacientes, del total de 5, para los cuales el medicamento 
es efectivo”, y se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias: 
 
𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 
Frec. observadas 0 1 10 41 82 66 
 
La probabilidad estimada de que el medicamento sea efectivo en por lo menos 4 pacientes es: 
 
Resolución: 
𝑋 ∼ 𝐵𝑖(5; 𝑝) Debemos estimar p con los datos de la tabla de frecuencias. 
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𝑥 =
0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 41 + 4 ⋅ 82 + 5 ⋅ 66
200
=
802
200
= 4,01 
Por otra parte 𝐸(𝑋) = 𝑚 ⋅ 𝑝 = 5𝑝 El estimador de ( )E X es X luego 
𝐸(𝑋)̂ = 5�̂� = 𝑥 ⇒ �̂� =
𝑥
5
=
4.01
5
= 0.802 Consideramos entonces �̂� = 0,8. 
Estimamos la probabilidad solicitada: (No continuamos usando la notación de estimador para 
no recargar:) 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑋 < 4) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − 𝐹𝑋(3) = 1 − 0,2627 = 0,7373 
 
 
Ejercicio 3 
Se tiene una muestra aleatoria de tamaño 40n = de una variable X con distribución normal. 
Con los datos de esa muestra se calcularon: 
40 40
2
1 1
160 679i i
i i
x x
= =
= =  . 
La estimación de 𝑃(𝑋 > 0,25 ⋅ �̂� + 1,5) es: 
(Para estimar la probabilidad deben calcular los valores estimados de los parámetros de la 
distribución de X ) 
 
Resolución: 
�̂� = 𝑥 =
∑ 𝑥𝑖
40
𝑖=1
40
=
160
40
= 4 𝜎2̂ = 𝑠2 =
1
𝑛−1
(∑ 𝑥𝑖
2 −
(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
𝑛
𝑖=1 ) 
Luego 𝜎2̂ = 𝑠2 =
1
40−1
(∑ 𝑥𝑖
2 −
(∑ 𝑥𝑖
40
𝑖=1 )
2
40
40
𝑖=1 ) =
1
39
(679 −
1602
40
) =
1
39
(679 − 640) = 1 
Entonces, los parámetros estimados de la distribución de X son: �̂� = 4 y 𝜎2̂ = 1. 
Por tanto: 𝑃(𝑋 > 0.25 ⋅ �̂� + 1.5)̂ = 𝑃(𝑋 > 0.25 ⋅ 4 + 1.5)̂ = 𝑃(𝑋 > 2.5)̂ 
(no seguimos usando la notación de estimador para no recargar…) 
𝑃(𝑋 > 2.5) = 𝑃 (
𝑋 − 4
1
>
2.5 − 4
1
) = 𝑃(𝑍 > −1.5) = 𝑃(𝑍 < 1.5) = 𝐹𝑍(1.5) = 0,9332 
 
Ejercicio 4 
Se tiene una muestra aleatoria de tamaño 50n = de una variable X con distribución normal. 
Con los datos de esa muestra se calcularon: 
50 50
2
1 1
150i i
i i
x x
= =
= =  499 
La estimación de 𝑃 (𝑋 >
1
3
⋅ �̂� + 1,5) es: 
(Para estimar la probabilidad deben calcular los valores estimados de los parámetros de la 
distribución de X ) 
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Resolución: 
�̂� = 𝑥 =∑ 𝑥𝑖
50
𝑖=1
50
=
150
50
= 3 𝜎2̂ = 𝑠2 =
1
𝑛−1
(∑ 𝑥𝑖
2 −
(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
𝑛
𝑖=1 ) 
 
Luego 𝜎2̂ = 𝑠2 =
1
50−1
(∑ 𝑥𝑖
2 −
(∑ 𝑥𝑖
50
𝑖=1 )
2
50
50
𝑖=1 ) =
1
49
(499 −
1502
50
) =
1
49
(499 − 450) = 1 
Entonces, los parámetros estimados de la distribución de X son: �̂� = 3 y 𝜎2̂ = 1. 
Por tanto: 𝑃 (𝑋 >
1
3
⋅ �̂� + 1.5)
̂
= 𝑃 (𝑋 >
1
3
⋅ 3 + 1,5)
̂
= 𝑃(𝑋 > 2,5)̂ 
(no seguimos usando la notación de estimador para no recargar …) 
𝑃(𝑋 > 2,5) = 𝑃 (
𝑋−3
1
>
2,5−3
1
) = 𝑃(𝑍 > −0,5) = 𝑃(𝑍 < 0,5) = 𝐹𝑍(0,5) = 0,6915 
 
Ejercicio 5 
Se estudió la presencia de linfocitos reactivos en pacientes de un centro de salud, con 
mononucleosis infecciosa por el virus de Epstein Barr. Para ello se tomaron 200 muestras de 
sangre de pacientes infectados y se determinó el número linfocitos reactivos por gota de sangre 
analizada, obteniéndose: 
 
ix 0 1 2 3 4 5 6 o más 
Frec. observadas 6 12 15 45 63 43 16 
 
Teniendo en cuenta los datos obtenidos, la probabilidad estimada de hallar en pacientes 
infectados al menos 4 linfocitos reactivos por gota de sangre, es: 
 
Resolución: 
X= n° de linfocitos reactivos por gota de sangre. 𝑋~𝑃 (𝜆) 
�̅� = 
0.6 + 1.12 + 2.15 + 3.45 + 4. 63 + 5. 43 + 6. 16
200
= 3,7 
𝐸(𝑥)̂ = �̅� = 3,7 = �̂� 
X= n° de linfocitos reactivos por gota de sangre. 𝑋~𝑃 (�̂� = 3,7) 
 
𝑃 ̂(𝑥 ≥ 4) = 
𝑃 ̂(𝑥 ≥ 4) = 1 − �̂� (𝑥 ≤ 3) = 1 − 0,4942 = 0,5058 
 
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Ejercicio 6 
Se estudió la presencia de linfocitos reactivos en pacientes de un centro de salud, con 
mononucleosis infecciosa por el virus de Epstein Barr. Para ello se tomaron 200 muestras de 
sangre de pacientes infectados, y se determinó el número linfocitos reactivos por gota de sangre 
analizada, obteniéndose: 
 
ix 0 1 2 3 4 5 6 o más 
Frec. observadas 6 12 15 45 63 43 16 
 
Teniendo en cuenta los datos obtenidos, la probabilidad estimada de hallar en pacientes 
infectados al menos 2 linfocitos reactivos por gota de sangre, es: 
 
Resolución: 
X = n° de linfocitos reactivos por gota de sangre. 𝑋~𝑃 (𝜆) 
�̅� = 
0.6 + 1.12 + 2.15 + 3.45 + 4. 63 + 5. 43 + 6. 16
200
= 3,7 
𝐸(𝑥)̂ = �̅� = 3,7 = �̂� 
X = n° de linfocitos reactivos por gota de sangre. 𝑋~𝑃 (�̂� = 3,7) 
 
𝑃 ̂(𝑥 ≥ 2) = 
𝑃 ̂(𝑥 ≥ 2) = 1 − �̂� (𝑥 ≤ 1) = 1 − 0,1162 = 0,8838 
 
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Viernes 12/06 
Variable Aleatoria 
Ejercicio 1 
Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es: 
 
La P (4 ≤ X ≤ 5), es: 
Resolución: 
Para hallar b, calculo el área bajo la curva: 
 
1 = á𝑟𝑒𝑎 (𝑅1) + á𝑟𝑒𝑎 (𝑅2) = 
2 ∗ 𝑏
2
+ 1 ∗ 𝑏 = 2𝑏 ⟹ 𝑏 = 
1
2
 
P( 4 ≤ X ≤ 5) = área(R2) = ½ 
 
Sea X una variable aleatoria continua cuya función de distribución es: 
𝐹𝑋(𝑡) =
{
 
 
 
 
0 𝑠𝑖 𝑡 < −1
3
4
(𝑡 + 1) 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑡 <
1
3
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥
1
3
 
Sean los sucesos 𝐴 = [−2; 0] y 𝐵 = [−2/3; 1]. 𝑃(𝐴/𝐵) es: 
Resolución: 
18 
 
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𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =
𝑃(−
2
3
< 𝑋 < 0)
𝐹(1) − 𝐹(
2
3
)
=
3
4 − (
3
4 (−
2
3 + 1))
1 − (
3
4 (−
2
3 + 1))
=
3
4
−
1
4
1 −
1
4
=
2
3
 
 
Ejercicio 3 
El siguiente es el grafico correspondiente a la función de densidad de una variable 
aleatoria continua X: 
 
Entonces P (1≤ X ≤2) es: 
Resolución: 
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2) =
(2 − 1). 𝑐
2
=
𝑐
2
 𝑃𝑒𝑟𝑜 
2 ∗ 2𝑐
2
= 1 ⇒ 𝑐 =
1
2
⇒ 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2) =
1
4
 
 
Ejercicio 4 
Una variable aleatoria discreta X tiene la función de probabilidad 
 
 
 
La 𝐸 (𝑋2 − 4𝑋), es: 
Resolución: 
𝐸(𝑋2 − 4𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 4𝐸(𝑋) = 
= (9 ∗ 0,25 + 0,35 + 4 ∗ 0,1 + 9 ∗ 0,15) − 4
∗ (−3 ∗ 0,25 − 1 ∗ 0,35 + 2 ∗ 0,10 + 3 ∗ 0,15) 
= 4,35 − 4 ∗ (−0,45) = 6,15 
 
 
 
X = xi -3 -1 0 2 3 
p(xi) 0,25 0,15 0,10 0,15 
19 
 
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Ejercicio 5 
Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente función de probabilidad: 
 
 
 
Sea Y una variable aleatoria discreta, independiente de X, tal que 𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 5𝑋 + 1) =
 26. La Var(Y) es: 
Resolución: 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = (
2
5
+
8
5
+
9
5
) − (
2
5
+
4
5
+
3
5
)
2
=
19
5
−
81
25
=
14
25
 
 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 5𝑋 + 1) = 4 ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + (−5)2 ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 26 ⇒ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) =
26 − 25 ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
4
=
26 − 25 ∗
14
25
4
=
12
4
= 3 
 
Ejercicio 6 
Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidad: 
 
 
 
Sea 𝑌 = 𝑋2 − 2𝑋. La E(Y) es: 
Resolución: 
𝐸(𝑋2 − 2𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 2𝐸(𝑋) = 
= (0,15 + 9 ∗ 0,5 + 25 ∗ 0,20) − 2 ∗ (1 ∗ 0,15 + 3 ∗ 0,50 + 5 ∗ 0,20) 
= 9,65 − 2 ∗ (2,65) = 4,35 
 
 
 
X = xi 1 2 3 
p(xi) 2/5 2/5 1/5 
X = xi 0 1 3 5 
p(xi) 0,15 0,15 0,20