Livro 3 Edição (Sem marca D'agua) - MATEMATICA FINANCEIRA APLICADA - Nelson Castanheira e Luiz Macedo

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Confira quais são os temas trabalhados nesta obra:
Taxas de porcentagem e de juros;
Simulações de operações financeiras;
Capitalização simples;
Desconto simples e composto;
Capitalização composta; 
Rendas ou séries uniformes;
Taxa interna de retorno e valor presente líquido; 
Correção monetária e indicadores econômicos;
Depreciação de bens;
Operação de arrendamento mercantil (leasing)
Debêntures e sistemas de amortização. 
Matemática Financeira Aplicada é um livro que esmiúça os conceitos 
matemáticos da área de Finanças de maneira fácil e descomplicada. 
Ideal para alunos de graduação, pós-graduação e para quem se prepa-
ra para concursos públicos, apresenta diversas explicações e exercícios 
práticos, onde cada qual aprenderá a realizar cálculos lógicos com 
segurança e eficiência, tanto com a utilização de fórmulas como com a 
utilização da calculadora financeira HP-12C.
9 788578 385460
ISBN 978-85-7838-546-0 
com novos recursos
prática
matematica financeira_CAPA.pdf 1 21/11/2011 10:12:23
matematica financeira_CAPA_verso.pdf 1 16/11/2011 14:32:02
Nelson Pereira Castanheira
Luiz Roberto Dias de Macedo
3a edição revista
Conselho Editorial
Dr. Ivo José Both, (presidente)
Dr.a Elena Godoy
Dr. Nelson Luís Dias
Dr. Ulf Gregor Baranow
Editor-chefe
Lindsay Azambuja
Editores-assistentes
Ariadne Nunes Wenger
Editor de arte
Raphael Bernadelli
Análise de Informação
Jerusa Piccolo
Revisão de Texto
Schirley Horácio de Gois Hartmann
Capa
Denis Kaio Tanaami
Projeto Gráfico
Bruno Palma e Silva
Diagramação
Regiane de Oliveira Rosa
Roberto Querido
Castanheira, Nelson Pereira.
 Matemática financeira aplicada. [livro eletrônico] / Nelson Pereira 
Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. – Curitiba: Ibpex, 2012. – 
(Série Matemática aplicada)
 2 MB; PDF
 Bibliografia
 ISBN 978-85-7838-955-0
 1. Administração financeira 2. Finanças pessoais 3. Matemática financeira 
 4. Mercado de capitais I. Macedo, Luiz Roberto Dias de. II Título. III. Série
12-07565 CDD 650.01513
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático
1.Matemática financeira 650.01513
Foi feito o depósito legal.
Av. Vicente Machado, 317 – 14o andar
Centro – CEP 80420-010 – Curitiba – PR – Brasil
Fone: (41) 2103-7306
www.editoraibpex.com.br
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Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão de conceitos. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou 
forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido 
pelo art. 184 do Código Penal.
Esta obra é utilizada como material didático nos cursos do Grupo Uninter.
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11
12
Apresentação 6
Porcentagem e regimes de capitalização 11
Capitalização simples 19
Desconto simples 37
Capitalização composta 49
Taxas 67
Desconto composto 79
Rendas ou séries uniformes 89
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 121
Correção monetária e indicadores 129
Depreciação 139
Operação de arrendamento mercantil — leasing 
e Debêntures 149
Amortizações 163
Referências 205
Respostas 207
Apêndices 213
Sobre os autores 275
Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos à necessidade que as 
pessoas em geral têm de conhecer os fundamentos básicos da matemá-
tica financeira e, simultaneamente, à dificuldade que comumente encon-
tram quando leem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja dema-
siadamente rebuscada. Procuramos, então, produzir um material de fácil 
compreensão e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da 
mate mática financeira sem que seja necessária a presença permanente de 
um professor ou profissional da área para auxiliar na aprendizagem.
Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Mate-
mática Financeira, Análise de Investimentos e Análise Financeira, esta obra 
poderá contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas 
práticas em sala de aula. As definições conceituais que propomos estão 
ancoradas nos estudos realizados ao longo de nossa carreira acadêmica e 
profissional na área, bem como nas fontes referenciadas no final do livro.
Nossa experiência mostrou, ainda, que a iniciação aos princípios da mate-
mática financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto à uti-
lização das fórmulas algébricas. Só posteriormente cabe ensinar o uso da 
calculadora financeira, ferramenta indispensável para o profissional que 
necessita de agilidade na resolução de problemas matemático-financeiros 
no dia a dia. Optamos por oferecer explicações quanto ao manuseio da 
calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido, 
poderá consultar o Apêndice A desta obra. Assim, do modo como a orga-
nizamos, o leitor poderá desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo 
o máximo de aproveitamento dos seus estudos.
Tivemos a intenção também de atender a quem deseja aprender matemá-
tica comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos 
Apêndices B, C e D – proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra 
de três simples e regra de três composta. Dessa forma, ampliamos o alcance 
deste material e esperamos expandir os benefícios que podemos trazer ao 
leitor interessado.
Os Autores
Como aproveitar ao máximo este livro
Logo na abertura do capítulo, você fica conhecendo os conteúdos que serão nele abordados. 
Você também é informado a respeito das competências que irá desenvolver e dos conheci-
mentos que irá adquirir com o estudo do capítulo.
Durante o livro há uma série de exercícios resolvidos para facilitar a compreen-
são dos capítulos.
Exercício Resolvido
Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que lemos 8 por cento) 
de 250.
Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir 
por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa 
que transformamos 8% em uma razão porcentual. Em seguida, devemos 
substituir a preposição de pelo sinal de multiplicação. 
Assim, teremos:
8% de 250 = 
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então: 
100 . x = 250 . 8
Conteúdos do capítulo
Definição de porcentagem ou percentagem.• 
Passos do cálculo de porcentagem.• 
Razão porcentual.• 
Regimes de capitalização.• 
A relação entre capital e juro.• 
 Risco país.• 
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
desenvolver a lógica do cálculo porcentual em operações cotidianas;1. 
aplicar o cálculo de transformação de uma razão qualquer em razão 2. 
porcentual; 
compreender o conceito de capitalização;3. 
entender o que é capital e o que é juro;4. 
distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalização 5. 
simples de capitalização composta;
conceituar risco país.6. 
conteudo do capitulo.pdf 29/1/2010 13:48:02
Você dispõe, ao final do capítulo, de uma síntese que traz os principais 
conceitos nele abordados.
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital 
de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-
sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. 
Supondo que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, veri-
fique quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o 
ren dimento.
4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao 
mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu 
R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?
Com estas atividades, você tem a possibilidade de rever os principais conceitosanalisa-
dos. Ao final do livro, o autor disponibiliza as respostas às questões, a fim de que você 
possa verificar como está sua aprendizagem.
18
C
apítulo 1
Nas operações financeiras, o uso do cálculo percentual é uma constante. 
Para facilitar esse tipo de prática, é importante que você compreenda a ló-
gica da concepção de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo 
e as relações de razão entre as partes e o todo, processo que tecnicamente 
é denominado de ou . Nesse cálculo, 
como vimos, aplicamos a regra de três e operamos a descoberta de quantos 
por cento corresponde a uma determinada razão dada. As operações fi-
nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um país, implicam um 
regime de capitalização. Nesse contexto, é necessário que tenhamos claro o 
que é capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por 
que se cobra juro? O que é uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro? 
O que significa “risco país”? Também não podemos esquecer que o fator 
montante é fundamental em um regime de capitalização e que período ou 
prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade. 
Síntese
sintese2.pdf 29/1/2010 13:43:59
ca
pí
tu
lo
Porcentagem e regimes 
de capitalização
12
C
apítulo 1
Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes 
iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da 
seguinte forma: , que chamamos de razão centesimal ou de razão 
porcentual e lemos um por cento.
Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem. No 
exemplo anterior, representaríamos um por cento da seguinte forma: 1%.
Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% = = 1.
Assim, chama-se 100% de unidade.
Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos.
Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo.
Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notação i%, que 
lemos i por cento, é usada para representar a fração de :
Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma 
regra de três simples, conforme vemos a seguir:
Grandeza 1 Grandeza 2
 P 100
 x i
Conteúdos do capítulo
• Definição de porcentagem ou percentagem.
• Passos do cálculo de porcentagem.
• Razão porcentual.
• Regimes de capitalização.
• A relação entre capital e juro.
• Risco país.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. desenvolver a lógica do cálculo porcentual em operações cotidianas;
2. aplicar o cálculo de transformação de uma razão qualquer em razão 
porcentual; 
3. compreender o conceito de capitalização;
4. entender o que é capital e o que é juro;
5. distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalização 
simples de capitalização composta;
6. conceituar risco país.
13
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
Então: 
1.1 Cálculo da porcentagem
O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Veja o "Exercício 
Resolvido" a seguir.
Exercício Resolvido
Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que lemos 8 por cento) 
de 250.
Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir 
por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa 
que transformamos 8% em uma razão porcentual. Em seguida, devemos 
substituir a preposição de pelo sinal de multiplicação. 
Assim, teremos:
8% de 250 = 
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então: 
100 . x = 250 . 8
x = 20
Simples e fácil, você não achou?
1.1.1 Transformação de uma razão qualquer em razão 
centesimal (ou razão porcentual) 
A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal tem como 
objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão dada. Veja e 
acompanhe os cálculos do ”Exercício Resolvido”, logo a seguir.
14
C
apítulo 1
Exercício Resolvido
Desejamos saber a quantos por cento corresponde a razão .
Escrevemos que 
4 . x = 3 . 100
x = 75
Então, ou 75%
1.2 Operações financeiras
Em qualquer país em que estejamos, seja ele um país de economia bem desen-
volvida ou não, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operações são realizadas 
com a utilização de dinheiro (moeda), com o propósito de auferir lucro.
Naqueles países considerados em desenvolvimento, como é o caso do Bra-
sil, suas economias são abertas visando receber investimentos externos e, 
em consequência, gerando novos empregos e contribuindo para o progresso 
do país.
Essas operações, denominadas financeiras, requerem os conhecimentos 
que serão mostrados ao longo desta obra.
1.2.1 Regimes de capitalização
A incorporação do juro ao capital que o produziu é denominada de capitaliza-
ção. Para que possamos compreender com facilidade esse conceito, é necessário, 
primeiro, entendermos o que é capital e o que é juro.
1.2.1.1 Capital
Qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para 
uma operação financeira denomina-se capital. Nós o representaremos por 
C. Temos outros sinônimos para capital, a saber: valor atual, valor presen-
te ou principal.
1.2.1.2 Juro
Num conceito bastante simples, porém abrangente, juro é a remuneração 
do capital. Nós o representaremos por J.
15
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 21) “o regime de capitalização é 
que determina a forma de se acumularem os juros. Caso o juro incida so-
mente sobre o capital inicial, trata-se de juro simples”, e o regime de capi-
talização correspondente denominamos de capitalização simples. “Caso 
o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, trata-se 
de juro composto”, e o regime de capitalização correspondente denomi-
namos de capitalização composta.
O conceito de juro, conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 22), pode ser 
introduzido por meio das expressões:
• valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do 
capital de terceiros colocado à nossa disposição;
• remuneração do capital empregado em atividades 
produtivas;
• remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o 
capital nelas aplicado;
• remuneração do capital emprestado, podendo ser enten-
dido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo 
uso do dinheiro.
Devemos ressaltar que o juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, 
enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Para melhor visualizar 
esse comportamento, observe o quadro 1. Consideramos uma pessoa que 
tenha obtido um empréstimo de R$ 100,00 em uma instituição financeira 
que utiliza uma taxa de juro de 80% ao ano. Qual será a sua dívida no final 
de quatro anos?
Quadro 1 – Cálculo do juro simples e do juro composto a partir de uma 
taxa de juro de 80% ao ano
Ano
Saldo no início de 
cada ano
Juro de cada ano
Saldo no final de 
cada ano
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta 
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta
1
2
3
4
100,00
180,00
260,00
340,00
100,00
180,00
324,00
583,20
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100,00= 80,00
0,8x180,00=144,00
0,8x324,00=259,20
0,8x583,20=466,56
 180,00
 260,00
 340,00
 420,00
180,00
324,00
583,20
1.049,76
Taxa de juro
Falamos em taxa de juro. Afinal, o que é essa taxa?
16
C
apítulo 1
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 22) o juro é calculado por intermé-
dio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital e que “sempre se refere 
a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, bimestre, mês, dia”. Nós 
a representaremos por i. Veja os exemplos de 1 até 6. Observe, nos mesmos 
exemplos, como se representa a unidade de tempo (a. a., a. s., entre outros).
Exemplo 1 i = 48% ao ano = 48% a. a.
Exemplo 2 i = 22% ao semestre = 22% a. s.
Exemplo 3 i = 15% ao trimestre = 15% a. t.
Exemplo 4 i = 9% ao bimestre = 9% a. b.
Exemplo 5 i = 4% ao mês = 4% a. m.
Exemplo 6 i = 0,3% ao dia = 0,3% a. d.
Exercícios Resolvidos
1. Um capitalde R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36% 
ao ano proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
36% de 5.000,00 = 36/100 . 5.000,00 = 1.800,00
2. Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 2% 
ao mês proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
2% de 5.000,00 = 2/100 . 5.000,00 = 100,00
Mas esse é o valor do juro após um mês. Como desejamos calcular o juro 
ao final de um ano, devemos multiplicar esse resultado por 12 (um ano 
tem 12 meses) e obtemos:
J = 1.200,00
Que cuidados devemos ter ao resolver esses exemplos?
Dois são os cuidados. Primeiro, observe que, para o cálculo do juro sim-
ples sobre um capital C, é necessário transformar a taxa de juro em uma 
fração decimal. Ou seja, 2% é igual a 0,02 (2 dividido por 100). Depois, Se-
gundo Castanheira e Serenato (2008, p. 23) devemos cuidar 
para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de 
tempo. Isso quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o tempo 
deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao semestre, o tem-
po deve ser expresso em semestres; e assim por diante. Se no problema 
17
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
apresentado isso não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quan-
to o tempo para a obtenção da homogeneidade entre ambos.
Por que se cobra juro?
É comum questionarmos por que se cobra uma taxa de juro tão elevada 
nas operações financeiras. A composição da taxa de juro leva em conta que 
o possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimônio, está 
atento para os seguintes fatores:
• nem sempre o tomador do empréstimo paga sua dívida ao possuidor 
do dinheiro (risco de crédito);
• é possível que o tomador do empréstimo atrase o pagamento da sua 
dívida (risco de liquidez);
• o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimônio;
• o possuidor do dinheiro precisa precaver-se quanto a uma possível 
desvalorização do capital ao longo do tempo, em função de um pro-
cesso inflacionário (risco de mercado);
• todo empréstimo implica despesas operacionais, contratuais e tribu-
tárias tais como impostos;
• há a possibilidade do não retorno do investimento em função de pro-
blemas operacionais da instituição onde os recursos foram aplicados 
(risco operacional);
• existe a possibilidade de perdas em função da situação econômica 
do país (risco país).
Risco país1
Outro fator responsável pela elevação ou pela diminuição da taxa de juro 
é o risco país. O nível do risco país mostra a confiança que os investidores 
(em nível mundial) têm quanto ao fato de o país honrar ou não suas dí-
vidas. Quanto maior for a incerteza ou o risco associado a uma aplicação 
financeira, maior é a taxa de juro exigida pelo investidor. Quanto mais alto 
for o risco país, maior é a possibilidade, no ponto de vista do investidor, 
de que o país pode dar “calote”. Em consequência, quanto maior a possi-
bilidade do calote, maior é o valor do juro que o país deve oferecer para 
convencer os investidores a comprar seus títulos.
Caso tenhamos duas aplicações financeiras com riscos diferentes, ambas 
1 Esse item foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 64).
18
C
apítulo 1
oferecendo o mesmo retorno (a mesma taxa de juro), parece-nos óbvio que 
os investidores optem pela aplicação menos arriscada.
Para o cálculo do risco país, é feita uma comparação entre o juro que um 
país paga por títulos de sua dívida e o que o Tesouro dos Esta dos Unidos da 
América paga pelos seus, pois ele é considerado como risco zero de calote.
Imaginemos, como exemplo, que o risco país do Brasil está em 1.000 pon-
tos. Isso quer dizer que os títulos da dívida brasileira pagam 10% acima 
dos juros pagos pelos Estados Unidos da América. 
1.2.2 Montante
Verificamos que um capital, ao longo do tempo, precisa ter seu poder de com-
pra mantido. Para tal, investimos um capital com o propósito de recebermos 
juro. Com a soma do capital ao juro, obtemos um valor a que denominamos 
montante e que representaremos por M. Temos, então, a fórmula para o cál-
culo do montante:
 M = C + J
1.2.3 Período ou prazo
Ao tempo sobre o qual um capital C ou recebe ou paga um juro J denomina-
mos de período ou prazo e o representaremos por n. Em outras palavras, n 
indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Pode ainda se 
referir à quantidade de parcelas de uma renda, como veremos adiante.
Nas operações financeiras, o uso do cálculo percentual é uma constante. 
Para facilitar esse tipo de prática, é importante que você compreenda a ló-
gica da concepção de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo 
e as relações de razão entre as partes e o todo, processo que tecnicamente 
é denominado de razão centesimal ou razão percentual. Nesse cálculo, 
como vimos, aplicamos a regra de três e operamos a descoberta de quantos 
por cento corresponde a uma determinada razão dada. As operações fi-
nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um país, implicam um 
regime de capitalização. Nesse contexto, é necessário que tenhamos claro o 
que é capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por 
que se cobra juro? O que é uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro? 
O que significa “risco país”? Também não podemos esquecer que o fator 
montante é fundamental em um regime de capitalização e que período ou 
prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade. 
Síntese
Capitalização simples
ca
pí
tu
lo
20
C
apítulo 2
Denominamos de capitalização simples o regime de capitalização em que 
a taxa de juro utilizada é simples. Nesse caso, o juro é calculado, sempre, 
sobre o valor do capital inicial. Observe que é indiferente se o tomador do 
empréstimo pagará o juro periodicamente (por exemplo, mensalmente) ou 
o pagará em uma parcela única ao final do período contratado, uma vez 
que ele é constante e proporcional ao capital sobre o qual incide.
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 25) “como para cada intervalo (pe-
ríodo ou prazo) a que corresponde a taxa de juro temos um mesmo valor 
de juro, se quisermos saber o total no período, basta multiplicar o valor de 
cada intervalo pelo número de intervalos”. Já havíamos demonstrado esse 
fato no exemplo 10.
Temos, então, a fórmula do Juro Simples:
 J = C . i . n
Já mostramos que:
 M = C + J
Então:
M = C + C . i . n
 M = C . (1 + i . n) 
Essa é a fórmula geral da capitalização simples.
Conteúdos do capítulo
• Capitalização simples.
• Juro ordinário e juro exato.
• Aplicações do juro simples.
• Uso da calculadora financeira HP-12C em capitalização simples.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. identificar as situações em que recorrer à fórmula de 
capitalização simples;
2. fazer operações com juro simples;
3. usar a calculadora financeira HP-12C;
4. fazer cálculos utilizando a “regra do banqueiro”;
5. realizar o cálculo para o juro de cheque especial, bem como 
o do saldo médio de correntista.
21
C
apitalização sim
ples
Mas onde é utilizado o juro simples? Com que tipo de juro trabalha o mer-
cado financeiro? 
Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 25) “o mercado financeiro utiliza 
tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas operações”. A cal-
culadora financeira HP-12C está preparada para tal situação. Segundo os 
mesmos autores “o juro simples é utilizado, por exemplo, na aplicação de-
nominada hot money, que é um empréstimo diário e renovável, com juros 
comerciais e com taxas mensais”, ou em descontos de cheques ou de dupli-
catas. Veremos adiante que, quando saldamos uma dívida em que temos 
períodos que não são inteiros (por exemplo, temos uma taxa de juro ao mês 
e atrasamos uma dívida por 23 dias), nos é cobrado o juro simples por ser 
mais danoso. Ainda de acordo com os mesmo autores “não podemos es-
quecer, ainda, a utilização do juro simples em contas vinculadas por saldo 
devedor (juro simples postecipado)”.
Para a fixação de todos esses conceitos, precisamosanalisar alguns Exer-
cícios Resolvidos.
Exercícios Resolvidos
Vamos imaginar um empréstimo de R$ 5.000,00 que será quitado em uma 
parcela única cinco meses após, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. 
De quanto será o montante ao final do quinto mês?
Mês Saldo inicial Juros Saldo final (m)
0
1
2
3
4
5
–
5.000,00
5.100,00
5.200,00
5.300,00
5.400,00
–
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00
5.100,00
5.200,00
5.300,00
5.400,00
5.500,00
Resolvendo esse problema pela fórmula geral da capitalização simples, te-
remos:
M = C . (1 + i . n)
M = 5.000,00 . (1 + 0,02 . 5)
M = 5.000,00 . (1,10)
M = 5.500,00
22
C
apítulo 2
Vamos, a partir de agora, utilizar a calculadora financeira HP-12C.
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C em operações de juro 
simples, é necessário atentar para o fato de que o período deve ser fornecido, 
sempre, em dias. A taxa de juro simples, por sua vez, deve ser fornecida, 
sempre, ao ano. Vejamos, então, como seria resolvido com o uso da calcu-
ladora o exercício imediatamente anterior:
f REG (limpa os registradores (memórias) financeiros)
f 2 (duas casas decimais no visor) 
150 n (introduz o período em dias – observar que 
 consideramos o ano comercial, ou seja, 360 dias)
24 i (taxa ao ano)
5000 CHS PV (capital inicial – data zero – com sinal de fluxo de caixa)
f INT (valor do juro simples = 500,00)
+ (valor do montante = 5.500,00)
Exercícios Resolvidos
1. Vamos agora resolver o cálculo de uma aplicação financeira pela fórnula 
e em seguida com a calculadora. Um valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à 
taxa de juro simples de 2% ao mês, durante oito meses. Qual é o valor do 
juro simples?
Como resolver pela fórmula?
J = C . i . n
C = 5.000,00
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 8 m
J = 5.000,00 . 0,02 . 8
J = 800,00
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?
f REG (limpa os registradores financeiros)
f 2 (queremos duas casas decimais)
23
C
apitalização sim
ples
5000 CHS PV (capital com sinal de fluxo de caixa)
2 ENTER
12 × i (taxa de juro ao ano)
8 ENTER
30 × n (período em dias – ano comercial = 360 dias)
f INT (valor do juro simples = 800,00)
2. Vamos observar os dados de outro problema: Qual o rendimento de 
R$ 3.200,00 em quatro meses, a uma taxa de juro simples de 36% ao 
ano?
Iremos resolver pela fórmula. Sendo assim:
C = 3.200,00
i = 36% a. a. = 36/12 % a. m. = 3,0% a. m. = 0,03 a. m.
J = C . i . n
J = 3.200,00 . 0,03 . 4
J = 384,00
Você já se perguntou por que dividimos a taxa fornecida por 12? Porque o 
período fornecido é uma quantidade de meses e necessitamos manter a ho-
mogeneidade nos tempos das grandezas período (n) e taxa de juro (i). Op-
tamos por transformar a taxa anual em taxa mensal. Poderíamos ter manti-
do a taxa ao ano e transformado o período em anos (4 meses = 4/12 anos).
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?
f REG (limpa os registradores financeiros)
f 2 (queremos duas casas decimais)
3200 CHS PV (capital com sinal de fluxo de caixa)
36 i (taxa fornecida ao ano)
4 ENTER
30 × n (período fornecido em dias)
f INT (valor do juro simples = 384,00)
24
C
apítulo 2
2.1 Juro ordinário
O juro é ordinário quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, 
quando consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. 
Assim, o ano comercial tem 360 dias.
2.2 Juro exato
O juro exato, como o nome sugere, considera o número exato de dias que 
tem cada mês do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias. No caso do ano 
bissexto, consideramos 366 dias.
Lembramos que, para a utilização da HP-12C, caso o tempo não esteja em 
dias, devemos transformá-lo; se a taxa fornecida não for ao ano, devemos 
transformá-la.
A melhor forma de assimilarmos esse processo é acompanhando um cál-
culo. Vamos, portanto, calcular o juro exato e o juro ordinário de um capital 
de R$ 10.000,00 que foi aplicado durante os meses de julho e agosto, a uma 
taxa de 48% ao ano.
a) Juro ordinário (ano comercial)
Pela fórmula:
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
n = 2 meses = 2/12 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 2/12
J = 800,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
10000 CHS PV
48 i
2 ENTER
30 × n
f INT (juro ordinário = 800,00, considerando 
 n = 60 dias)
25
C
apitalização sim
ples
b) Juro exato (ano civil)
Pela fórmula:
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
n = 62 dias = 62/365 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 62/365
J = 815,34
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
10000 CHS PV
48 i
62 n
f INT (juro ordinário = 826,67, considerando 
 n = 62 dias)
R↓ (tecla roll down: mostra no visor o principal)
x y (juro exato = 815,34)
Você observou nesse exemplo que a calculadora financeira HP-12C calcula, 
ao mesmo tempo, o juro ordinário e o juro exato. Para visualizar os dois, 
basta pressionar as teclas na sequência mostrada nesse exemplo.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o montante acumulado ao final de 40 dias, a partir de um ca-
pital de R$ 1.000,00, com juro simples de 48% ao ano, nas hipóteses de 
ano comercial e de ano civil.
a) Juro ordinário (ano comercial)
Pela fórmula:
M = C . (1 + i . n)
M = 1.000,00 . (1 + 0,48/360 . 40)
><
26
C
apítulo 2
M = 1.053,33
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT (juro ordinário = 53,33)
+ (montante = 1.053,33)
b) Juro exato (ano civil):
Pela fórmula:
M = C . (1 + i . n)
M = 1000,00 . (1 + 0,48/365 . 40)
M = 1.052,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT (juro ordinário = 53,33)
R↓
x y (juro exato = 52,60)
+ (montante = 1.052,60)
2. Calcule o juro exato de um capital de R$ 50.000,00 aplicado durante 60 
dias, à taxa de 24% ao ano.
Pela fórmula:
C = 50.000,00
><
27
C
apitalização sim
ples
><
i = 24% a. a. = 0,24 a. a.
n = 60 dias = 60/365 anos
J = C . i . n
J = 50.000,00 . 0,24 . 60/365
J = 1.972,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
60 n
f INT (juro ordinário = 2.000,00)
R↓
x y (juro exato = 1.972,60)
2.3 A regra do banqueiro
Podemos ainda calcular o valor do juro simples utilizando a regra do ban-
queiro. Para tal, segundo Castanheira e Serenato (2008; p.32) ao se “estabe-
lecer a homogeneidade” entre o período e a taxa de juro, “é usado o ano co-
mercial (360 dias) como no juro ordinário, mas o período (número de dias) 
segue o princípio do juro exato, ou seja, segue o calendário do ano civil”.
Vamos aplicar essa regra do banqueiro para determinar o juro gerado por 
um capital de R$ 50.000,00, aplicado durante o mês de março, a uma taxa 
de juro simples de 24% ao ano.
Primeiramente utilizaremos a fórmula:
C = 50.000,00
i = 24% a.a. = 0,24 a. a.
n = 31 dias = 31/360 anos
J = C . i . n
28
C
apítulo 2
J = 50.000,00 . 0,24 . 31/360
J = 1.033,33
Agora, faremos o mesmo cálculo com a calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
31 n 
f INT (juro do banqueiro = 1.033,33)
Vamos, então aplicar a mesma regra no cálculo de uma letra de câmbio, 
considerando seu valor nominal. O que é valor nominal? Trata-se do valor 
expresso no documento. No caso, expresso na letra de câmbio. É, portanto, 
o valor de uma dívida na data do seu vencimento.
A letra de câmbio de nos referimos possui valor nominal de R$ 7.000,00, 
resgatável daqui a dois anos e está à venda. Por quanto devo comprá-la, 
sabendo que desejo um juro mínimo de 30% ao ano?
Caso queiramos antecipar o pagamento da dívida, devemos calcular o valor 
atual dela. Valoratual é, portanto, o valor da dívida a qualquer momento 
antes da data do seu vencimento.
C = ? (valor atual)
M = 7.000,00 (valor nominal)
i = 30% a. a. = 0,30 a. a.
n = 2 anos
M = C . (1 + i . n)
7.000,00 = C . (1 + 0,30 . 2)
C = 4.375,00
Logo, devo comprar a letra de câmbio por, no máximo, R$ 4.375,00.
2.4 Juro do cheque especial
Para o cálculo do juro aplicado no saldo devedor de um correntista, no 
29
C
apitalização sim
ples
J = i . (C1 . n1 + C2 . n2 +... + Cn . nn)
Então: 
 J = i . ∑ Ck . nk com k variando de 1 até n.
Exercício Resolvido
O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos 
em determinado mês:
SALDO DIAS
– R$ 58.000,00 
+ R$ 25.000,00 
– R$ 15.400,00 
+ R$ 110.000,00 
Calcule o valor do juro pago por essa empresa, nesse mês, para uma taxa 
de juro simples igual a 3% ao mês.
seu cheque especial, os bancos utilizam-se de um método conhecido como 
método hamburguês.
Nesse caso, de acordo com Castanheira e Serenato (2008, p. 34) “devemos 
considerar diversos capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes prazos 
(n1, n2, ... , nn), utilizando-se uma taxa i, constante, de juro simples”.
Já sabemos que o juro simples é determinado pela fórmula J = C . i . n
Então, o cálculo do juro devido em cada período nk, com k variando de 1 
até n, é:
J1 = C1 . i . n1
J2 = C2 . i . n2
 .
 .
 .
Jn = Cn . i . nn
Sabemos que o valor total do juro a ser pago ao final de certo prazo é:
J = J1 + J2 + ... + Jn
J = C1 . i . n1 + C2 . i . n2 +... + Cn . i . nn
4
8
10
8
30
C
apítulo 2
Sm=
, em que n1 + n2 + ... + nn = 30
2.5 Saldo médio
Para o cálculo do saldo médio (Sm) de um correntista, basta determinar a 
média aritmética ponderada entre os saldos do período considerado. Por 
exemplo, como determinar o saldo médio de um mês com 30 dias? 
Consideremos, de acordo com Castanheira e Serenato (2008, p. 35) diversos 
capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes prazos (n1, n2, ... , nn), 
respectivamente. Então:
 C1 . n1 + C2 . n2 + ... + Cn . nn
 n1 + n2 + ... + nn
Para que fique bastante claro, vamos aplicar esta fórmula de Sm em um 
fato. Digamos que o extrato de um correntista empresarial apresentou os 
seguintes saldos credores em determinado mês:
SALDO DIAS
R$ 140.000,00 6
R$ 920.000,00 2
R$ 330.000,00 10
R$ 210.000,00 12
Vamos calcular o saldo médio dessa empresa nesse mês.
 140.000,00 . 6 + 920.000,00 . 2 + 330.000,00 . 10 + 210.000,00 . 12
 6 + 2 + 10 + 12
 840.000,00 + 1.840.000,00 + 3.300.000,00 + 2.520.000,00
 30
Sm = 283.333,33
Sm=
J = 0,03/30 . (58.000,00 . 4 + 15.400,00 . 10)
J = 0,03/30 . (232.000,00 + 154.000,00)
J = 386,00
Observe que o cálculo do juro devido é efetuado considerando-se apenas 
os dias em que o saldo é negativo.
Sm=
31
C
apitalização sim
ples
Perguntas e respostas
Lembre-se:
Quando falamos de dinheiro, nossa moeda é o real e só trabalhamos 
com centavos no nosso dia a dia. Então, devemos sempre considerar ape-
nas duas casas após a vírgula. Entretanto, ao trabalhar com taxa de juro, 
devemos considerar, no mínimo, cinco casas após a vírgula. Isso porque, 
ao longo do tempo, um arredondamento na taxa de juro pode significar 
grandes perdas de dinheiro para alguma das partes envolvidas.
E como fazer o arredondamento?
A regra, na matemática, é simples. Ela vale também para as calculadoras 
financeiras, que, sozinhas, fazem esse arredondamento.
Considere os algarismos de 0 a 9 divididos em duas partes iguais: 0 a 
4 e 5 a 9.
Caso o algarismo que você deseja eliminar esteja no primeiro intervalo 
(0 a 4), apenas ignore o algarismo. No entanto, se esse algarismo estiver 
no segundo intervalo (5 a 9), ao eliminá-lo, não se esqueça de somar 1 
(um) ao algarismo imediatamente anterior. Vejamos um exemplo. 
Queremos dividir 54 por 365 e apresentar o resultado com seis casas 
após a vírgula. Na divisão, obtivemos 0,147945205. Como queremos 
representar com seis casas após a vírgula, devemos eliminar as três úl-
timas (a parte em negrito). Então, olhamos para o primeiro algarismo 
após a sexta casa: é um 2. Logo, para eliminar tudo a partir desse 2, 
basta ignorar os algarismos eliminados, pois o 2 encontra-se no inter-
valo de 0 a 4. Suponhamos, entretanto, que queiramos representar o 
resultado dessa divisão com apenas três algarismos após a vírgula. En-
tão, devemos eliminar todos os algarismos a partir do 7. Como após o 7 
temos um algarismo que pertence ao segundo intervalo (é um algarismo 
9), ao eliminar esses algarismos (945205), devemos somar uma unidade 
ao algarismo imediatamente anterior ao 9. O resultado, portanto, será 
0,148 (somamos 1 ao 7). 
Síntese
Na capitalização simples, obviamente o juro aplicado é o juro simples. 
Nessas operações matemáticas, utilizamos tanto as fórmulas como a cal-
culadora financeira HP-12C. E essa aplicação se faz em contextos que cor-
respondem a empréstimos diários e renováveis sobre os quais se aplicam 
32
C
apítulo 2
1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital 
de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-
sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. 
Supondo que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, veri-
fique quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o 
ren dimento.
4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao 
mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu 
R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?
6. Qual será o valor do juro a ser pago, correspondente a um empréstimo de 
R$ 40.000,00, sendo a taxa de juro de 2,4% ao mês, por um período de cinco 
meses, no regime de capitalização simples?
7. Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por 125 dias, a uma taxa de juro simples 
de 3% ao mês. Calcule o juro e o montante obtidos.
8. Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam 
R$ 1.024,80 de juro. Quais foram as taxas de juro simples mensal e anual 
aplicadas?
9. Qual foi o valor do juro obtido por um investidor que aplicou R$ 12.500,00 
pelo período de 40 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês?
10. Qual será o capital necessário para obter um montante de R$ 200.000,00 
daqui a seis anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano?
11. Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 pelo prazo de 20 dias, 
a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês?
juros comerciais e taxas mensais, bem como: ao desconto de duplicatas e 
cheques, ao pagamento de dívidas ou, ainda, a contas vinculadas por sal-
do devedor. Devemos lembrar que, de acordo com as circunstâncias utili-
zamos operações de juro exato, juro ordinário, regra do banqueiro, método 
hamburguês, entre outras.
33
C
apitalização sim
ples
12. Qual será a taxa mensal de juro simples que fará um capital de R$ 
200.000,00 formar um montante de R$ 272.000,00 daqui a 12 meses?
13. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.400,00 a uma taxa de juro 
simples de 30% ao ano, durante nove meses.
14. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 20% 
ao ano, durante os meses de junho e julho. Determine o juro simples dessa 
aplicação e o montante, considerando:
a) juro ordinário;
b) juro exato;
c) juro pela regra do banqueiro.
15. Uma loja vende um produto por R$ 9.999,00 à vista. A prazo, vende por 
R$ 11.439,00, sendo R$ 1.999,00 de entrada e o restante em um pagamento 
único após três meses. Qual é a taxa de juro simples da operação?
16. Um capital de R$ 1.245,00 aplicado a juro simples, durante três meses, 
resultou num montante de R$ 1.301,03. Qual foi a taxa de juro simples utili-
zada nessa operação?
17. Uma pessoa aplicou certa quantia a juro simples de 24% ao ano, durante75 dias. Após esse prazo, recebeu R$ 23.100,00. Calcule o capital aplicado.
18. Um capital de R$ 20.550,00 aplicado à taxa de juro simples de 2,0% ao 
mês produziu um montante de R$ 25.482,00. Calcule o prazo de aplicação.
19. Um fazendeiro possuía um estoque de 2.000 sacas de soja e, na expec-
tativa de alta de preço do produto, recusou a oferta de compra desse esto-
que a R$ 1.000,00 por saca. Três meses mais tarde, vendeu o estoque a R$ 
1.100,00 por saca. Considerando que a taxa de juro simples de mercado é 
de 4% ao mês, verifique se o fazendeiro teve prejuízo. 
20. Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro sim-
ples de 1,2% ao mês, a partir de um capital de R$ 1.450,00?
21. Qual será o montante acumulado em três anos, a uma taxa de juro sim-
ples de 3% ao mês, a partir de um capital de R$ 2.000,00?
22. Uma pessoa aplicou a importância de R$ 3.000,00 numa instituição finan-
ceira que remunera seus depósitos a uma taxa de juro simples de 4,5% ao 
trimestre, no regime de juro simples. Informe o montante que poderá ser 
retirado no final do quinto trimestre.
34
C
apítulo 2
23. De quanto será o juro simples cobrado num empréstimo de R$ 50.000,00 
em seis meses, pela taxa de juro simples de 2,25% ao mês?
24. Qual o capital que deve ser aplicado para se obter um montante de R$ 
31.968,00 em quatro semestres, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano? 
25. Qual foi o capital emprestado que produziu o montante de R$ 42.160,00 
pela taxa de juro simples de 2% ao mês, no prazo de um ano?
26. Qual o capital que, aplicado a 6% ao trimestre, rendeu juro simples de 
R$ 2.160,00 ao final de três trimestres?
27. Qual o prazo de aplicação, em dias, do capital de R$ 5.000,00 que, apli-
cado à taxa de juro simples de 0,05% ao dia, produziu o montante de R$ 
5.050,00?
28. Numa aplicação de R$ 1.750,00, à taxa de juro simples de 20% ao ano, o 
montante recebido foi de R$ 4.200,00. Determine o prazo da aplicação.
29. Iolanda aplicou R$ 1.800,00 à taxa de juro simples de 36% ao ano. Se ela 
recebeu um montante de R$ 2.124,00, qual foi o prazo da aplicação?
30. Eduardo aplicou um capital de R$ 8.000,00 para receber R$ 11.200,00 
daqui a 24 meses. Qual será a rentabilidade semestral (%)?
31. Qual foi a taxa de juro simples trimestral que, aplicada a uma impor-
tância de R$ 2.500,00, produziu um montante de R$ 2.950,00 no prazo de 
nove meses?
32. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 2.000,00 ou então por R$ 320,00 
de entrada, mais uma parcela de R$ 2.100,00 cinco meses após a compra. 
Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?
33. Um carro é vendido à vista por R$ 25.000,00 ou então por R$ 5.000,00 
de entrada, mais uma parcela de R$ 21.850,00 após dois meses. Qual foi a 
taxa mensal de juro simples do financiamento? 
34. Determinada mercadoria tem seu preço à vista fixado em R$ 1.000,00, 
mas pode ser adquirida da seguinte forma: entrada correspondente a 20% 
do preço à vista e mais um pagamento no valor de R$ 880,00 para 60 dias 
após a compra. Calcule a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja na 
venda a prazo.
35. Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro sim-
ples de 24% ao ano, rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.
35
C
apitalização sim
ples
36. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 2.650,00 a uma taxa de 
juro simples de 40% ao ano, durante seis meses.
37. Foram aplicados R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano. 
Qual foi o prazo da aplicação, sabendo-se que o juro obtido foi de R$ 
10.000,00?
38. Qual foi o prazo de um empréstimo de R$ 38.500,00, se o juro foi de 
R$ 6.160,00 e a taxa de juro simples de 3,2% ao mês?
39. Por quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o seu juro 
seja igual a duas vezes o seu valor, se for aplicado a uma taxa de juro sim-
ples de 20% ao ano?
40. Pedro Henrique aplicou R$ 4.800,00 à taxa de juro simples de 12% ao 
ano. Se ele recebeu R$ 384,00 de juro, obtenha o prazo da aplicação.
41. O capital de R$ 800,00 foi aplicado durante quatro meses, a uma taxa de 
juro simples de 2% ao mês. Qual foi o valor do juro recebido pelo aplicador?
42. Considerando o exercício anterior, determine quanto o aplicador resga-
tou após o quarto mês de aplicação.
43. Uma dívida de R$ 2.350,00 foi paga com dois meses de atraso, e foi 
cobrado o valor de R$ 117,50 de juro. Qual foi a taxa de juro simples dessa 
operação financeira?
44. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 a juro simples durante certo tempo e 
obteve o montante de R$ 11.800,00. Sabendo que a taxa de juro simples utilizada 
foi de 1,8% ao mês, determine por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado.
45. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 4.560,00, que foi apli-
cado durante um ano e cinco meses, a uma taxa de juro simples de 1% ao 
mês.
46. Que capital produziu o montante de R$ 5.535,20 a partir de uma aplica-
ção a juro simples, com taxa de juro igual a 1,5% ao mês, pelo período de 
dois anos?
47. Um capital de R$ 40.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 2% ao 
mês produziu um montante de R$ 58.400,00. Calcule o período dessa apli-
cação.
48. Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 4% 
ao mês levará quanto tempo para produzir juro equivalente ao valor do 
capital aplicado?
36
C
apítulo 2
49. Uma loja vende um aparelho de som por R$ 1.000,00 à vista. A prazo, 
vende por R$ 1.160,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante em um 
pagamento único dois meses após a compra. Qual é a taxa de juro simples 
da operação?
50. Um capital foi aplicado durante 400 dias, a uma taxa de juro simples de 
1,8% ao mês e resultou num montante de R$ 3.246,00. Qual foi o valor do 
capital aplicado?
Desconto simples
ca
pí
tu
lo
38
C
apítulo 3
Inicialmente devemos lembrá-lo de que, quando nos dirigimos a um agente 
financeiro e efetuamos um empréstimo ou assumimos uma dívida, precisa-
mos assinar um documento para a garantia de quem nos empresta o capital. 
Ou seja, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 39) “se uma pessoa deve 
uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor 
um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida”. O que é título de 
crédito? Basicamente, são de dois tipos, segundo os mesmo autores:
• nota promissória – um comprovante da aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado. É um título em que necessariamente 
uma das partes é uma pessoa física;
• duplicata – um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu 
cliente (pessoa física ou jurídica). Portanto, é um título em que necessa-
riamente uma das partes é uma pessoa jurídica.
Você, com toda certeza, conhece o conceito de desconto. Quantas e quantas 
vezes já terá pedido desconto aqui e ali?
Podemos também imaginar o desconto como aquele benefício que alguém 
merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida (ou o resgate 
antecipado de um título).
Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o 
valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor 
atual desse título.
Assim como no cálculo do juro, para calcular o desconto, precisamos co-
Conteúdos do capítulo
• Os conceitos, fórmulas e cálculos dos descontos comercial e 
racional simples.
• A noção de relação entre os descontos comercial e racional.
• A substituição de títulos em situação de equivalência.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. conceituar título de crédito;
2. aplicar a fórmula de cálculo do desconto comercial;
3. aplicar a fórmula de cálculo do desconto racional;
4. realizar um cálculo comparativo entre o desconto 
comercial e racional;
5. estabelecer a equivalência entre títulos.
39
D
esconto sim
ples
nhecer uma taxa, que será denominada de taxa de desconto, e um período 
de tempo. Esse período, no caso, é o tempo que falta para o vencimento da 
dívida (ou do título).
Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 39) “todo título de crédito tem 
uma data de vencimento. Porém, pode ser antecipadamenteresgatado, ob-
tendo-se, com isso, um abatimento denominado desconto”.
Desconto é, segundo os mesmo autores (2008, p. 39), portanto, “o abatimen-
to concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipa-
do”. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de ca-
pitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.
Temos dois tipos de desconto simples a estudar:
a) o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário;
b) o racional.
3.1 Desconto comercial simples
O desconto comercial, que representaremos por Dc, é determinado apli-
cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de 
crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida 
no dia do seu vencimento.
Logo, por definição:
 Dc = M . i . n
É importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de 
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a 
dívida.
Uma vez determinado o desconto a que o possuidor do título tem direito 
por estar antecipando a sua quitação, calculamos, com facilidade, o valor 
atual (Vc) para a data do resgate do título.
Ou seja:
Vc = M – Dc
Vc = M – M . i . n
 Vc = M . (1 – i . n)
Assim, se uma pessoa tem uma dívida de R$ 5.000,00 com vencimento para 
daqui a quatro meses. Tendo quitado a dívida hoje, num banco que utiliza 
40
C
apítulo 3
1,5% ao mês de taxa de desconto comercial, determinemos o valor desse 
desconto da seguinte maneira:
M = 5.000,00
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 4 m
Dc = ?
Como, já existe uma homogeneidade entre os tempos das grandezas taxa 
de juro e período. Ambas estão expressas em meses. Portanto, podemos 
substituir os valores fornecidos diretamente na fórmula.
Dc = M . i . n
Dc = 5.000,00 . 0,015 . 4
Dc = 300,00
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C, o valor nominal do 
título deverá ser fornecido no registrador PV.
Como resolver na HP-12C ?
f REG
f 2
5000 CHS PV
1.5 ENTER
12 x i (taxa ao ano)
4 ENTER
30 x n (período em dias)
f INT (desconto comercial = 300,00)
Observe que não estamos considerando o fato de os bancos, na prática, efe-
tuarem o cálculo do desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, 
cobrada sobre o valor nominal (montante), a que denominam de taxa de 
despesa administrativa. Ou seja, o desconto bancário (Db) será calculado 
pela fórmula:
 Db = Dc + M . h 
em que h é a taxa de despesa administrativa.
41
D
esconto sim
ples
Exercício Resolvido
Um título de R$ 8.400,00 foi descontado três meses antes do seu vencimento. 
Sabemos que a taxa corrente em desconto comercial é de 22% ao ano. Calcule 
o desconto comercial e o valor que o proprietário do título recebeu.
i = 22% a. a. = 0,22 a. a. = 0,22/12 a. m.
n = 3 m
M = 8.400,00
Dc = M . i . n
Dc = 8.400,00 . 0,22/12 . 3
Dc = 462,00
Vc = M – Dc 
Vc = 8.400,00 – 462,00 
Vc = 7.938,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
8400 CHS PV
22 i (taxa ao ano)
3 ENTER
30 x n (período em dias)
f INT (desconto comercial = 462,00)
RCL PV
+ (valor atual = 7.938,00) 
3.2 Desconto racional simples
O desconto racional, que representaremos por Dr, é determinado aplican-
do-se uma taxa de desconto sobre o valor atual (Vr) do título de crédito.
42
C
apítulo 3
Logo, por definição:
 Dr = Vr . i . n
É im portante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de 
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a 
dívida.
O valor atual é igual ao valor nominal (montante), menos o desconto.
 Vr = M – Dr
Da fórmula geral da capitalização simples, temos que:
 
Desse modo, se um título de R$ 15.840,00 tem vencimento daqui a 180 dias. 
Caso esse título seja quitado hoje, a uma taxa de desconto racional simples 
de 2,5% ao mês, por quanto será resgatado?
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 180 dias = 6 m
M = 15.840,00
 M
 1 + i n
 15.840,00
 
 1 + 0,025 . 6
Vr = 13.773,91
O título será resgatado por R$ 13.773,91.
Exercício Resolvido
Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título 
de R$ 24.860,00, vencível em 4 meses e 15 dias, descontado à taxa de 25% 
ao ano?
M = 24.860,00
Vr = ?
Dr = ?
Vr =
Vr =
 .
43
D
esconto sim
ples
Vr =
Vr =
i = 25% a. a. = 0,25 a. a.
n = 4 m 15 d = 135 d = 135/360 a
 M
 1 + i . n
 24.860,00
 1 + 0,25 . 135/360
Vr = 22.729,14
Dr = M – Vr
Dr = 24.860,00 – 22.729,14
Dr = 2.130,86
O desconto racional simples é de R$ 2.130,86, e o valor do resgate é de 
R$ 22.729,14.
3.3 Relação entre o desconto comercial e o desconto racional
Dc – Dr = M . i . n – Vr . i . n
Dc – Dr = i . n . (M – Vr)
Dc – Dr = i . n . (Dr)
Dc = Dr + Dr . i . n
 Dc = Dr . (1 + i . n)
Verificamos, então, que Dc > Dr. Logo, Vc < Vr.
Para contextualizarmos essa prática vamos determinar o desconto comer-
cial e o desconto racional sobre um título de R$ 38.400,00, considerando 
uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês e sabendo que o título 
vencerá daqui a cinco meses.
M = 38.400,00
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n = 5 m
Dc = M . i . n
Dc = 38.400,00 . 0,03 . 5
44
C
apítulo 3
Dc = 5.760,00
Dc = Dr . (1 + i . n)
5.760,00 = Dr . (1 + 0,03 . 5)
5.760,00 = Dr . 1,15
Dr = 5.008,70
3.4 Títulos equivalentes
Ao necessitarmos substituir um título por outro, precisamos tera certeza de 
que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se deseja 
ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, portanto, da 
troca de papéis.
É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determi-
nada taxa. Alterando-se o valor da taxa, a equivalência desaparecerá.
Para estabelecer a equivalência entre títulos, é necessário escolhermos uma 
data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de 
data focal ou data de referência. Na data focal, os valores atuais dos dois 
títulos são iguais.
 Vimos que Vc = M . (1 − i . n)
Chamemos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo 
de vencimento n1. Portanto, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 45) 
Vc = M1 . (1 – i . n1) pois, pela definição, os valores atuais dos títulos des-
contados na mesma data focal são iguais. Então, temos que:
M . (1 – i . n) = M1 . (1 – i . n1)
 M . (1 – i . n)
 (1 – i 
. n1)
Assim, se considerarmos um título de R$ 4.200,00, que vencerá em cinco me-
ses e deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses, 
admitindo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, 
vamos calcular o valor nominal do novo título.
M = 4.200,00
n = 5 m
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
M1 =
45
D
esconto sim
ples
M1 =
n1 = 8 m
 4.200,00 . (1 – 0,015 . 5)
 1 – 0,015 
. 8
M1 = 4.414,77
Exercício Resolvido
Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 2.560,00, vencível em 
dois meses, e outro de R$ 3.440,00, vencível em cinco meses. Entretanto, não 
podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los 
por um único título, com vencimento para oito meses. Calcule o valor nomi-
nal do novo título, considerando a taxa de juro simples de 1,2% ao mês.
M = 2.560,00
M’ = 3.440,00
n = 2 m
n’= 5 m 
n1 = 8 m
i = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
 M . (1 – i . n) + M’. (1 – i . n’)
 1 – i 
. n1 1 – i . n1
 2.560,00 . (1 – 0,012 . 2) + 3.440,00 . (1 – 0,012 . 5)
 1 – 0,012 
. 8 1 – 0,012 . 8
M1 = 6.340,88
Novamente é hora de você exercitar sozinho. Apresentamos, a seguir, 
mais uma série de 20 exercícios. Resolva-os e confira com as respostas 
fornecidas.
M1 =
M1 =
46
C
apítulo 3
1. Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes 
do seu vencimento. Sabendo que a taxade juro simples corrente é de 24% 
ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve 
pagar.
2. Um título de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de venci-
mento, à taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto 
comercial?
3. Uma nota promissória de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. 
Qual foi o valor do resgate?
4. Um título de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado em 
21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto racio-
nal simples?
5. Qual seria o desconto comercial em uma negociação cujo resultado da 
operação forneceu um desconto racional de R$ 2.800,00 à taxa de juro sim-
ples de 2,0% ao mês, num período de quatro meses?
6. Um título de valor nominal igual a R$ 55.000,00, pagável em 30 dias, 
vai ser substituído por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que o 
credor pode resgatar o título à taxa de juro simples de 30% ao ano, deter-
mine o valor nominal do novo título, considerando um desconto comercial 
simples.
Síntese
Título de crédito, nota promissória, duplicata, descontos comercial e racio-
nal, bem como taxa de descontos, são todos conceitos relacionados ao am-
biente financeiro, mais especificamente nas questões relativas a emprésti-
mos e dívidas. Para facilitar as operações desse contexto são estabelecidas 
fórmulas matemáticas que envolvem, entre outras, taxa prefixada, taxa de 
despesa administrativa, além das respectivas taxas de descontos. Mas no 
processo operacional do desconto simples é necessário também conhecer 
os cálculos para estabelecer a relação entre o desconto comercial e o ra-
cional, assim como a equivalência entre títulos. Para que essas operações 
fiquem bem claras, foi que optamos por uma série contínua de exercícios 
de fixação, além dos exemplos trabalhados na exposição dos conteúdos.
47
D
esconto sim
ples
7. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento 
em 3 de novembro. No dia 17 de agosto do mesmo ano, descontou o título 
num banco que utilizou 2% ao mês de taxa de desconto comercial simples. 
Determine o valor desse desconto.
8. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação 
financeira em que um título de R$ 3.200,00 foi resgatado por R$ 2.854,40, 
noventa dias antes do seu vencimento?
9. Um título no valor de R$ 4.665,00 foi descontado antes do seu vencimen-
to, pelo valor atual de R$ 4.156,51. Sabendo que foi utilizada a taxa de des-
conto comercial simples de 2,18% ao mês, verifique quanto tempo faltava 
para o ven cimento do título.
10. Um cliente de um banco tinha uma duplicata que venceria em 75 dias. 
Dirigiu-se ao banco e resgatou-a pelo valor líquido de R$ 952,00. Sabendo 
que esse banco havia cobrado, nessa operação, uma taxa de desconto co-
mercial simples de 1,92% ao mês, descubra o valor nominal dessa dupli-
cata.
11. Um título de R$ 8.345,00 foi resgatado 80 dias antes do seu vencimento 
e, em consequência, ganhou um desconto comercial simples de R$ 747,72. 
Qual foi a taxa mensal de desconto utilizada nessa operação?
12. Um título no valor de R$ 8.000,00 foi descontado à taxa de 0,12% ao dia. 
Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule 
o período de antecipação (dias) no resgate do título.
13. Um título foi descontado à taxa de 0,30% ao dia, estando a 40 dias de 
seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de 
R$ 540,00, calcule o valor nominal do título.
14. Uma pessoa possuía uma dívida de R$ 589,00 e resolveu pagá-la dois 
meses antes do vencimento. Perguntado qual o valor do desconto comer-
cial simples a que tinha direito, responderam que a taxa de desconto era de 
1,5% ao mês. Quanto essa pessoa ganhou de desconto?
15. Uma dívida foi paga 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 
desconto comercial simples de 2% ao mês. Sabendo que o valor líquido 
pago foi de R$ 458,72, determine o valor nominal dessa dívida.
16. Um título de R$ 1.000,00 foi pago cinco meses antes do seu vencimento, 
por desconto comercial simples. Sabendo que o desconto recebido foi de 
R$ 50,00, estabeleça a taxa de desconto dessa operação.
48
C
apítulo 3
17. Uma duplicata de R$ 2.100,00 foi resgatada por R$ 1.848,00, a uma taxa 
de desconto comercial simples de 2% ao mês. Quanto tempo faltava para 
o vencimento dessa duplicata?
18. Uma dívida de R$ 3.000,00 foi paga quatro meses antes do seu venci-
mento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês. Qual foi 
o valor líquido pago pela dívida?
19. Um título de R$ 4.600,00 foi pago seis meses antes do seu vencimento. 
Sabendo que o título recebeu um desconto racional simples com uma taxa 
de desconto de 30% ao ano, determine o valor pago pelo resgate do título.
20. O desconto racional simples recebido por um título de R$ 2.388,96, que 
foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual 
foi a taxa de desconto utilizada nessa operação?
Capitalização composta
ca
pí
tu
lo
50
C
apítulo 4
No nosso dia-a-dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando to-
mamos emprestada uma certa quantia em dinheiro, em um banco comer-
cial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo 
acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria. 
Então, é de suma importância que saibamos o que é e como funciona o juro 
composto. Inicialmente, vamos ver o que é capitalização composta.
Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de 
capitalização composta, ou seja, o juro produzido num período será 
acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e 
juro, a render juro no período seguinte. Por isso, é também chamado de 
juro sobre juro.
A cada intervalo em que o juro é incorporado ao valor que o produziu deno-
minamos período de capitalização.
Em países cuja moeda sofre constantes oscilações, como é o caso brasilei-
ro, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 47) recomenda-se o uso de 
capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples produz 
distorções até no curtíssimo prazo.
4.1 Montante
Tal qual na capitalização simples, o capital envolvido em uma operação 
financeira, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 47) acrescido do juro, 
compõe o montante. Representa sempre o valor total de uma dívida ou o 
valor futuro.
Conteúdos do capítulo
• Conceituação e caracterização da capitalização composta. 
• Uso de fórmulas de cálculo de montante, juro composto, equivalência 
de taxas.
• Conceito e aplicação de período fracionário.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. entender como se processa a capitalização composta;
2. aplicar as fórmulas de cálculo de montante, juro composto 
e de equivalência de taxas na capitalização composta;
3. dimensionar e realizar os cálculos que envolvam o conceito 
de período fracionário.
51
C
apitalização com
posta
 M = C + J
Obtemos o montante segundo os mesmo autores (2008, p. 47) “calculando o 
juro simples, o período de capi talização a período de capitalização, e incor-
porando-o ao capital inicial para o próximo período”.
Para facilitar o entendimento, iremos aplicar esse conceito em um exemplo 
prático, ou seja, vamos determinar o montante produzido por um capital de 
R$ 100,00, aplicado a juro composto de 10% ao mês, capitalizado mensalmen-
te, durante três meses. Portanto:
C = 100,00
i = 10% a. m. = 0,1 a. m.
n = 3 m
M = C . (1 + i), com n = 1 período
Após o primeiro período de capitalização (n = 1 mês):
M1 = 100,00 . (1 + 0,1)
M1 = 110,00
Após o segundo período de capitalização (n = 1 mês):
M2 = M1 . (1 + 0,1)
M2 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M2 = 121,00
Após o terceiro período de capitalização (n = 1 mês):
M3 = M2 . (1 + 0,1)
M3 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M3 = 133,10
Como o fator (1 + i) varia de acordo com a quantidade de períodos de capi-
talização, fica fácil definirmos a fórmulageral da capitalização composta:
 M = C . (1 + i)n
Vamos resolver este exemplo utilizando esta fórmula:
M = 100,00 . (1 + 0,1)3 
M = 133,10
52
C
apítulo 4
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
100 CHS PV
3 n
10 i
FV valor final (montante)
Observe que, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 49) na capitalização 
composta, a calculadora financeira HP-12C precisa dos valores do período 
(n) e da taxa de juro (i) na mesma base de tempo. Devemos, portanto, man-
ter a homogeneidade nos tempos, diferentemente da capitalização simples, 
em que a taxa de juro é fornecida ao ano e o período é fornecido em dias.
Exercício Resolvido
1. Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês, 
capi talizado mensalmente, produz o montante de R$ 2.816,23 após oito 
meses?
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
 M
 (1 + i)
n
 2.816,23
 (1 + 0,015)
8
C = 2.500,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2816.23 CHS FV
1.5 i
8 n
PV
C =
C =
53
C
apitalização com
posta
C =
4.200,00 =
(1 + i)4 =
2. Um capital de R$ 4.200,00 foi aplicado a juro composto, durante quatro 
meses e resultou num montante de R$ 4.617,95. Qual a taxa de juro 
composto utilizada nessa operação?
 M
 (1 + i)
n
 4.617,95
 
 (1 + i)4
4.200,00 . (1 + i)4 = 4.617,95
 4.617,95
 4.200,00
(1 + i)4 = 1,09951191
Extraindo a raiz quarta dos dois lados da igualdade, temos:
1 + i = 1,0240
i = 0,0240 a. m. ou i = 2,4% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
4200 CHS PV
4617.95 FV
4 n
i
4.2 Juro composto
Sabemos que juro, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 49-50) é “o 
rendimento produzido por um capital em determinado tempo, calculado 
sobre o capital”. Quando sobre esse valor que já tem embutida uma parce-
la de juro incide novamente a taxa de juro (juro sobre juro), estamos diante 
de uma “capitalização composta, em que o valor do juro aumenta a cada 
período de capitalização”. 
54
C
apítulo 4
Ao final de cada período de capitalização, temos um montante parcial. Por-
tanto, para a determinação do montante total de uma operação financeira, 
utilizamos a fórmula:
 M = C . (1 + i)n
Como M = C + J:
C + J = C . (1 + i)n
J = C . (1 + i)n – C
 J = C . [(1 + i)n − 1]
Assim, chegamos à fórmula geral do juro composto.
Vamos, agora, aplicá-la. Considerando um capital de R$ 12.000,00, aplicado 
a juro composto de 1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um 
ano vamos determinar o juro produzido.
C = 12.000,00
i = 1,4% a. m. = 0,014 a. m.
n = 1 a = 12 m
J = C . [(1 + i)n − 1]
J = 12.000,00 . [(1 + 0,014)12 − 1]
J = 12.000,00 . 0,181559
J = 2.178,71
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
12000 CHS PV
1.4 i
12 n
 FV valor final (montante = 14.178,71)
 RCL PV (capital = - 12.000,00 – a tecla RCL mostra no 
 visor uma posição de memória qualquer)
+ (valor dos juros = 2.178,71)
55
C
apitalização com
posta
Exercícios Resolvidos
1. Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao 
mês, pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. Qual o va-
lor a ser pago no final do período?
M = C . (1 + i)n
M = 25.000,00 . (1 + 0,02)24
M = 40.210,93
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
25000 CHS PV
2 i
24 n
FV
2. Paulo possui um título com vencimento em cinco meses, com valor no-
minal de R$ 3.400,00. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, 
com vencimento para dali a dois meses e valor nominal de R$ 3.200,00. 
Sabendo que a taxa de juro composto corrente é de 3% ao mês, verifi-
que se a troca é vantajosa.
n = 5 – 2 = 3 meses
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
M = 3.400,00
 M
 (1 + i)
n
 3.400,00
 (1 + 0,03)
3
C = 3.111,48
Logo, a troca é vantajosa, pois o título de R$ 3.400,00, dali a dois meses, 
valerá R$ 3.111,48 (menos que o novo título que estão oferecendo, no valor 
de R$ 3.200,00).
C =
C =
56
C
apítulo 4
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
3400 CHS FV
3 n
3 i
PV
3. Beatriz aplicou um capital de R$ 3.000,00 a juro composto, a uma taxa 
de 2,2% ao mês, durante dez meses. Qual será o montante obtido?
Verificamos que M = C . (1 + i)n
Como tanto a taxa quanto o período estão referenciados a meses, nenhuma 
transformação se faz necessária. Então:
M = 3.000,00 . (1 + 0,022)10
M = 3.000,00 . 1,24310828
M = 3.729,32
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
3000 CHS PV
10 n
2.2 i
FV
4. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui 
a um ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, 
determine o seu valor atual.
Lembre-se: o valor de resgate é o valor nominal ou valor futuro do título. 
O valor atual é quanto o título vale hoje (valor presente).
Como a taxa e o período estão ambos referenciados a ano, a aplicação da 
fórmula é imediata.
57
C
apitalização com
posta
C =
M = C . (1 + i)n 
14.345,00 = C . (1 + 0,288)1
 14.345,00
 1,288
C = 11.137,42
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
14345 CHS FV
1 n
28.8 i
PV
5. Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 
1,6% ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido?
 J = C . [(1 + i)n − 1]
Como a taxa fornecida é mensal, precisamos transformar o período em 
meses. 
Então, n = 12 meses.
J = 6.600,00 . [(1 + 0,016)12 – 1]
J = 6.600,00 . [0,20983041]
J = 1.384,88
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
6600 CHS PV
12 n
1.6 i
58
C
apítulo 4
FV
RCL PV
+
6. Uma aplicação a juro composto durante três meses rendeu de juro o 
valor de R$ 288,44. Sabendo que o agente financeiro utilizou a taxa de 
juro composto de 1,88% ao mês, verifique qual foi o capital aplicado.
J = C . [(1 + i)n − 1]
288,44 = C . [(1 + 0,0188)3 – 1]
288,44 = C . 0,05746697
C = 5.019,23
7. Um televisor custa, à vista, R$ 1.999,00. A loja propõe ao comprador 
que leve o aparelho sem entrada e o pague de uma só vez, daqui a dois 
meses, a uma taxa de juro composto de 2,89% ao mês. Por quanto sairá 
o televisor?
M = C . (1 + i)n 
M = 1.999,00 . (1 + 0,0289)2
M = 1.999,00 . 1,05863521
M = 2.116,21
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1999 CHS PV
2 n
2.89 i
FV
4.3 Equivalência de taxas
Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o capital 
e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o 
mesmo quaisquer que sejam os períodos de capitalização.
59
C
apitalização com
posta
Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização composta, uti-
lizamos a fórmula:
 iq = (1 + it)q/t – 1 
em que:
iq = taxa que eu quero;
it = taxa que eu tenho;
q = tempo (período) da taxa que eu quero;
t = tempo (período) da taxa que eu tenho.
Evidentemente deverá haver uma homogeneidade nos prazos a que as 
taxas se referem (q e t deverão estar na mesma base de tempo).
Assim, com a aplicação dessa fórmula, iremos calcular a taxa anual equiva-
lente a 1,2% ao mês, pelo critério de juro composto.
it = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
q = 1 a = 12 m
t = 1 m
iq = ?
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,012)12/1 – 1
iq = 0,153895 a. a. ou 15,3895% a. a.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 4
STO EEX (indicador de estado c é ligado)
100 CHS PV
101.2 FV
12 1/x n
i (taxa equivalente = 15,3895% a. a.)
60
C
apítulo 4
 Por que pressionamos a seqüência de teclas STO EEX? Essa seqü-
ência ou liga ou desliga o indicador de estado c. Esse indicador informa 
à calculadora científica HP-12C, que deverá trabalhar em uma das duas 
seguintes funções:
• serácalculada a taxa equivalente em capitalização composta;
• deverá ser aplicado juro composto o tempo todo, inclusive em perío-
do fracionário. Esse assunto ficará mais claro para você no item 5.4 
a seguir.
Como foi usada a HP-12C?
• No registrador PV, informamos sempre o valor 100, como base de cál-
culo, para que a taxa equivalente já seja fornecida em percentual;
• no registrador FV, informamos o resultado da soma entre o valor 
fornecido no registrador PV e a taxa conhecida;
• no registrador n, devemos informar o resultado da divisão do tempo 
da taxa que eu tenho pelo tempo da taxa que eu quero (t/q).
Exercício Resolvido
Calcule a taxa mensal equivalente a 20% ao ano.
it = 20% a. a. = 0,20 a. a.
nt = 1 a = 12 m
nq = 1 m
iq = ?
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,2)1/12 – 1
iq = 0,01530947 ou 1,530947% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 6
Verifique se o indicador de estado c está ligado.
100 CHS PV
120 FV
61
C
apitalização com
posta
12 n
 i (taxa equivalente = 1,530947 a. m.)
4.4 Período fracionário
Antes de darmos o conceito de período fracionário, vamos lembrar que, 
quando fornecemos uma taxa de 2% ao mês, estamos considerando que 
esse percentual de 2% é aplicado durante um mês inteiro. Entretanto, se-
gundo Castanheira e Serenato (2008, p. 54) pode mos ter um número de pe-
ríodos de capitalização não inteiros. Podemos ter, por exemplo, um valor 
aplicado durante 1 mês e 15 dias e a capitalização ser mensal; nesse caso, 
temos um período fracionário. Ou seja, além do mês inteiro, há um período 
de 15 dias, que corresponde a uma fração do mês. Estamos falando de capi-
talização descontínua.
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 54) "para o cálculo do juro, sepa-
ramos a parte inteira da parte fracionária. Para a parte inteira, fazemos o 
cálculo normalmente. Para a parte fracionária, podemos adotar duas con-
venções: a linear ou a exponencial".
4.4.1 Convenção linear (ou convenção mista)
Para obter o juro num período fracionário, adotando a convenção linear, fa-
zemos o cálculo em duas etapas, conforme Castanheira e Serenato (2008):
• para a parte inteira de tempo (n), calculamos o montante a juro com-
posto;
• para a fração não inteira de tempo (n1), é admitida a formação linear 
de juro, ou seja, calculamos o montante a juro simples.
Para a convenção linear, portanto, as operações na HP-12C deverão ter o 
indicador de estado c desligado.
Considerando um capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juro compos-
to de 2% ao mês, por um período de 4 meses e 15 dias, com capitalização 
mensal. Portanto, para determinar qual será o montante obtido, utilizando 
a convenção linear utilizamos a sequência:
M = ?
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 4 m
62
C
apítulo 4
n1 = 15 d = 15/30 m
M = C . (1 + i)n . ( 1 + i . n1)
M = 1.000,00 . (1 + 0,02)4 . (1 + 0,02 . 15/30)
M = 1.093,26
Pela calculadora HP-12C:
Inicialmente, certificamo-nos de que o indicador de estado c está desli-
gado. Caso esteja ligado, pressionamos, na seqüência, as teclas STO EEX, 
antes do comando FV.
f REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV (montante = 1.093,26)
4.4.2 Convenção exponencial
O cálculo do juro num período fracionário, adotando a convenção expo-
nencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na 
parte inteira do tempo (n) quanto na parte não inteira (n1). Então:
M = C . (1 + i)n . (1 + i)n1 
Como as bases são iguais, podemos escrever:
M = C . (1 + i) n+n1
Utilizaremos a convenção exponencial para o cálculo.
Nesse caso, o indicador de estado c deverá estar ligado. Com isso, a 
HP-12C aplicará juro composto tanto na parte inteira quanto na parte fra-
cionária do tempo.
f REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV (montante = 1.093,20)
63
C
apitalização com
posta
Observe que o valor encontrado foi 1.093,20. Por que esse valor é ligeira-
mente menor que aquele encontrado no exemplo anterior, no qual o juro 
da parte fracionária foi simples?
A resposta a essa pergunta é: o juro simples no período fracionário é maior 
do que o juro composto.
Assim, no dia a dia do mundo financeiro, costuma-se utilizar a convenção 
linear. No caso da máquina financeira HP-12C, o indicador de estado c 
costuma já estar apagado.
Exercício Resolvido
Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de R$ 48.000,00 
à taxa de 18% ao ano, com capitalização mensal, durante 6 meses e 15 dias, 
pela convenção exponencial.
M = C . (1 + i)n+n1
i = 18% a. a. = 0,18 a. a. = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 6 m
n1 = 15 d = 0,5 m
M = 48.000,00 . (1 + 0,015)6,5
M = 52.877,45
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1.5 i
48000 CHS PV 
6.5 n
FV
Não se esqueça de que deverá estar ligado o indicador de estado c, pois na 
convenção exponencial é calculado juro composto o tempo todo.
64
C
apítulo 4
1. Foram aplicados R$ 2.800,00, durante quatro trimestres, a uma taxa de 
10% ao trimestre, no regime de juro composto. Calcule o montante obtido.
2. Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram 
recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 
3. A que taxa de juro mensal um capital de R$ 20.000,00 pode ser dobrado 
em três anos? Use quatro casas decimais.
4. Calcule o montante produzido pela aplicação de R$ 9.000,00 durante 
105 dias, a uma taxa de juro de 1,4% ao mês, no regime de capitalização 
composta, com convenção exponencial.
5. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco 
oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? 
Suponha capitalização mensal.
6. Verifique em que prazo um empréstimo de R$ 50.000,00 pode ser qui-
tado em um único pagamento de R$ 107.179,44, sabendo que a taxa contra-
tada é de 10% ao semestre.
7. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 8.000,00, 
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 8.813,29 no 
final de quatro meses. Qual a taxa de juro composto mensal cobrada? Use 
quatro casas decimais.
8. Qual será o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 15.000,00 
pelo prazo de um ano, a uma taxa de juro composto de 2,5% ao mês?
Síntese
Podemos considerar que a essência da capitalização composta está na 
definição que diz ser ela caracterizada pela reincidência de juros sobre o 
capital, ou seja, quando sobre um valor que já tem embutida uma parce-
la de juro incide novamente a taxa de juro, está instituída a capitalização 
composta. Nesse contexto, utilizamos vários instrumentos de cálculo da 
área financeira, como: juro composto, equivalência de taxas e período fra-
cionário (convenção linear, convenção exponencial). Assim, para facilitar 
a prática de tal operacionalização, além dos vários exercícios resolvidos, 
você encontra neste capítulo 30 exercícios no item "Questões para revisão" 
que auxiliam na fixação desses conteúdos.
65
C
apitalização com
posta
9. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 27.450,00, daqui a 
três meses. Sabendo que o rendimento desse título é de 1,75% ao mês, de-
termine o seu valor presente.
10. Marcella possui um título a receber com vencimento para daqui a oito 
meses, de valor nominal igual a R$ 32.000,00. Kellyn propõe a ela a troca 
por um título vencível para daqui a quatro meses e no valor de R$ 29.500,00. 
Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juro composto do mercado, verifique se a troca 
é vanta josa para Marcella.
11. Determine a taxa mensal equivalente a uma taxa de juro composto de 
18% ao semestre, de taxa efetiva. Utilize cinco casas após a vírgula.
12. Determine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juro composto 
de 36% ao ano, de taxa efetiva. Utilize cinco casas após a vírgula.
13. Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 
durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao tri-
mestre, capitalizáveis trimestralmente, acrescentando juro