Livro 3 Edição (Sem marca D'agua) - MATEMATICA FINANCEIRA APLICADA - Nelson Castanheira e Luiz Macedo

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Confira quais são os temas trabalhados nesta obra:
Taxas de porcentagem e de juros;
Simulações de operações financeiras;
Capitalização simples;
Desconto simples e composto;
Capitalização composta; 
Rendas ou séries uniformes;
Taxa interna de retorno e valor presente líquido; 
Correção monetária e indicadores econômicos;
Depreciação de bens;
Operação de arrendamento mercantil (leasing)
Debêntures e sistemas de amortização. 
Matemática Financeira Aplicada é um livro que esmiúça os conceitos 
matemáticos da área de Finanças de maneira fácil e descomplicada. 
Ideal para alunos de graduação, pós-graduação e para quem se prepa-
ra para concursos públicos, apresenta diversas explicações e exercícios 
práticos, onde cada qual aprenderá a realizar cálculos lógicos com 
segurança e eficiência, tanto com a utilização de fórmulas como com a 
utilização da calculadora financeira HP-12C.
9 788578 385460
ISBN 978-85-7838-546-0 
com novos recursos
prática
matematica financeira_CAPA.pdf 1 21/11/2011 10:12:23
matematica financeira_CAPA_verso.pdf 1 16/11/2011 14:32:02
Nelson Pereira Castanheira
Luiz Roberto Dias de Macedo
3a edição revista
Conselho Editorial
Dr. Ivo José Both, (presidente)
Dr.a Elena Godoy
Dr. Nelson Luís Dias
Dr. Ulf Gregor Baranow
Editor-chefe
Lindsay Azambuja
Editores-assistentes
Ariadne Nunes Wenger
Editor de arte
Raphael Bernadelli
Análise de Informação
Jerusa Piccolo
Revisão de Texto
Schirley Horácio de Gois Hartmann
Capa
Denis Kaio Tanaami
Projeto Gráfico
Bruno Palma e Silva
Diagramação
Regiane de Oliveira Rosa
Roberto Querido
Castanheira, Nelson Pereira.
 Matemática financeira aplicada. [livro eletrônico] / Nelson Pereira 
Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. – Curitiba: Ibpex, 2012. – 
(Série Matemática aplicada)
 2 MB; PDF
 Bibliografia
 ISBN 978-85-7838-955-0
 1. Administração financeira 2. Finanças pessoais 3. Matemática financeira 
 4. Mercado de capitais I. Macedo, Luiz Roberto Dias de. II Título. III. Série
12-07565 CDD 650.01513
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático
1.Matemática financeira 650.01513
Foi feito o depósito legal.
Av. Vicente Machado, 317 – 14o andar
Centro – CEP 80420-010 – Curitiba – PR – Brasil
Fone: (41) 2103-7306
www.editoraibpex.com.br
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Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão de conceitos. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou 
forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido 
pelo art. 184 do Código Penal.
Esta obra é utilizada como material didático nos cursos do Grupo Uninter.
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11
12
Apresentação 6
Porcentagem e regimes de capitalização 11
Capitalização simples 19
Desconto simples 37
Capitalização composta 49
Taxas 67
Desconto composto 79
Rendas ou séries uniformes 89
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 121
Correção monetária e indicadores 129
Depreciação 139
Operação de arrendamento mercantil — leasing 
e Debêntures 149
Amortizações 163
Referências 205
Respostas 207
Apêndices 213
Sobre os autores 275
Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos à necessidade que as 
pessoas em geral têm de conhecer os fundamentos básicos da matemá-
tica financeira e, simultaneamente, à dificuldade que comumente encon-
tram quando leem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja dema-
siadamente rebuscada. Procuramos, então, produzir um material de fácil 
compreensão e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da 
mate mática financeira sem que seja necessária a presença permanente de 
um professor ou profissional da área para auxiliar na aprendizagem.
Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Mate-
mática Financeira, Análise de Investimentos e Análise Financeira, esta obra 
poderá contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas 
práticas em sala de aula. As definições conceituais que propomos estão 
ancoradas nos estudos realizados ao longo de nossa carreira acadêmica e 
profissional na área, bem como nas fontes referenciadas no final do livro.
Nossa experiência mostrou, ainda, que a iniciação aos princípios da mate-
mática financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto à uti-
lização das fórmulas algébricas. Só posteriormente cabe ensinar o uso da 
calculadora financeira, ferramenta indispensável para o profissional que 
necessita de agilidade na resolução de problemas matemático-financeiros 
no dia a dia. Optamos por oferecer explicações quanto ao manuseio da 
calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido, 
poderá consultar o Apêndice A desta obra. Assim, do modo como a orga-
nizamos, o leitor poderá desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo 
o máximo de aproveitamento dos seus estudos.
Tivemos a intenção também de atender a quem deseja aprender matemá-
tica comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos 
Apêndices B, C e D – proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra 
de três simples e regra de três composta. Dessa forma, ampliamos o alcance 
deste material e esperamos expandir os benefícios que podemos trazer ao 
leitor interessado.
Os Autores
Como aproveitar ao máximo este livro
Logo na abertura do capítulo, você fica conhecendo os conteúdos que serão nele abordados. 
Você também é informado a respeito das competências que irá desenvolver e dos conheci-
mentos que irá adquirir com o estudo do capítulo.
Durante o livro há uma série de exercícios resolvidos para facilitar a compreen-
são dos capítulos.
Exercício Resolvido
Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que lemos 8 por cento) 
de 250.
Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir 
por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa 
que transformamos 8% em uma razão porcentual. Em seguida, devemos 
substituir a preposição de pelo sinal de multiplicação. 
Assim, teremos:
8% de 250 = 
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então: 
100 . x = 250 . 8
Conteúdos do capítulo
Definição de porcentagem ou percentagem.• 
Passos do cálculo de porcentagem.• 
Razão porcentual.• 
Regimes de capitalização.• 
A relação entre capital e juro.• 
 Risco país.• 
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
desenvolver a lógica do cálculo porcentual em operações cotidianas;1. 
aplicar o cálculo de transformação de uma razão qualquer em razão 2. 
porcentual; 
compreender o conceito de capitalização;3. 
entender o que é capital e o que é juro;4. 
distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalização 5. 
simples de capitalização composta;
conceituar risco país.6. 
conteudo do capitulo.pdf 29/1/2010 13:48:02
Você dispõe, ao final do capítulo, de uma síntese que traz os principais 
conceitos nele abordados.
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital 
de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-
sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. 
Supondo que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, veri-
fique quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o 
ren dimento.
4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao 
mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu 
R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?
Com estas atividades, você tem a possibilidade de rever os principais conceitosanalisa-
dos. Ao final do livro, o autor disponibiliza as respostas às questões, a fim de que você 
possa verificar como está sua aprendizagem.
18
C
apítulo 1
Nas operações financeiras, o uso do cálculo percentual é uma constante. 
Para facilitar esse tipo de prática, é importante que você compreenda a ló-
gica da concepção de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo 
e as relações de razão entre as partes e o todo, processo que tecnicamente 
é denominado de ou . Nesse cálculo, 
como vimos, aplicamos a regra de três e operamos a descoberta de quantos 
por cento corresponde a uma determinada razão dada. As operações fi-
nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um país, implicam um 
regime de capitalização. Nesse contexto, é necessário que tenhamos claro o 
que é capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por 
que se cobra juro? O que é uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro? 
O que significa “risco país”? Também não podemos esquecer que o fator 
montante é fundamental em um regime de capitalização e que período ou 
prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade. 
Síntese
sintese2.pdf 29/1/2010 13:43:59
ca
pí
tu
lo
Porcentagem e regimes 
de capitalização
12
C
apítulo 1
Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes 
iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da 
seguinte forma: , que chamamos de razão centesimal ou de razão 
porcentual e lemos um por cento.
Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem. No 
exemplo anterior, representaríamos um por cento da seguinte forma: 1%.
Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% = = 1.
Assim, chama-se 100% de unidade.
Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos.
Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo.
Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notação i%, que 
lemos i por cento, é usada para representar a fração de :
Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma 
regra de três simples, conforme vemos a seguir:
Grandeza 1 Grandeza 2
 P 100
 x i
Conteúdos do capítulo
• Definição de porcentagem ou percentagem.
• Passos do cálculo de porcentagem.
• Razão porcentual.
• Regimes de capitalização.
• A relação entre capital e juro.
• Risco país.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. desenvolver a lógica do cálculo porcentual em operações cotidianas;
2. aplicar o cálculo de transformação de uma razão qualquer em razão 
porcentual; 
3. compreender o conceito de capitalização;
4. entender o que é capital e o que é juro;
5. distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalização 
simples de capitalização composta;
6. conceituar risco país.
13
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
Então: 
1.1 Cálculo da porcentagem
O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Veja o "Exercício 
Resolvido" a seguir.
Exercício Resolvido
Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que lemos 8 por cento) 
de 250.
Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir 
por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa 
que transformamos 8% em uma razão porcentual. Em seguida, devemos 
substituir a preposição de pelo sinal de multiplicação. 
Assim, teremos:
8% de 250 = 
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então: 
100 . x = 250 . 8
x = 20
Simples e fácil, você não achou?
1.1.1 Transformação de uma razão qualquer em razão 
centesimal (ou razão porcentual) 
A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal tem como 
objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão dada. Veja e 
acompanhe os cálculos do ”Exercício Resolvido”, logo a seguir.
14
C
apítulo 1
Exercício Resolvido
Desejamos saber a quantos por cento corresponde a razão .
Escrevemos que 
4 . x = 3 . 100
x = 75
Então, ou 75%
1.2 Operações financeiras
Em qualquer país em que estejamos, seja ele um país de economia bem desen-
volvida ou não, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operações são realizadas 
com a utilização de dinheiro (moeda), com o propósito de auferir lucro.
Naqueles países considerados em desenvolvimento, como é o caso do Bra-
sil, suas economias são abertas visando receber investimentos externos e, 
em consequência, gerando novos empregos e contribuindo para o progresso 
do país.
Essas operações, denominadas financeiras, requerem os conhecimentos 
que serão mostrados ao longo desta obra.
1.2.1 Regimes de capitalização
A incorporação do juro ao capital que o produziu é denominada de capitaliza-
ção. Para que possamos compreender com facilidade esse conceito, é necessário, 
primeiro, entendermos o que é capital e o que é juro.
1.2.1.1 Capital
Qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para 
uma operação financeira denomina-se capital. Nós o representaremos por 
C. Temos outros sinônimos para capital, a saber: valor atual, valor presen-
te ou principal.
1.2.1.2 Juro
Num conceito bastante simples, porém abrangente, juro é a remuneração 
do capital. Nós o representaremos por J.
15
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 21) “o regime de capitalização é 
que determina a forma de se acumularem os juros. Caso o juro incida so-
mente sobre o capital inicial, trata-se de juro simples”, e o regime de capi-
talização correspondente denominamos de capitalização simples. “Caso 
o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, trata-se 
de juro composto”, e o regime de capitalização correspondente denomi-
namos de capitalização composta.
O conceito de juro, conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 22), pode ser 
introduzido por meio das expressões:
• valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do 
capital de terceiros colocado à nossa disposição;
• remuneração do capital empregado em atividades 
produtivas;
• remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o 
capital nelas aplicado;
• remuneração do capital emprestado, podendo ser enten-
dido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo 
uso do dinheiro.
Devemos ressaltar que o juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, 
enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Para melhor visualizar 
esse comportamento, observe o quadro 1. Consideramos uma pessoa que 
tenha obtido um empréstimo de R$ 100,00 em uma instituição financeira 
que utiliza uma taxa de juro de 80% ao ano. Qual será a sua dívida no final 
de quatro anos?
Quadro 1 – Cálculo do juro simples e do juro composto a partir de uma 
taxa de juro de 80% ao ano
Ano
Saldo no início de 
cada ano
Juro de cada ano
Saldo no final de 
cada ano
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta 
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta
1
2
3
4
100,00
180,00
260,00
340,00
100,00
180,00
324,00
583,20
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100,00= 80,00
0,8x180,00=144,00
0,8x324,00=259,20
0,8x583,20=466,56
 180,00
 260,00
 340,00
 420,00
180,00
324,00
583,20
1.049,76
Taxa de juro
Falamos em taxa de juro. Afinal, o que é essa taxa?
16
C
apítulo 1
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 22) o juro é calculado por intermé-
dio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital e que “sempre se refere 
a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, bimestre, mês, dia”. Nós 
a representaremos por i. Veja os exemplos de 1 até 6. Observe, nos mesmos 
exemplos, como se representa a unidade de tempo (a. a., a. s., entre outros).
Exemplo 1 i = 48% ao ano = 48% a. a.
Exemplo 2 i = 22% ao semestre = 22% a. s.
Exemplo 3 i = 15% ao trimestre = 15% a. t.
Exemplo 4 i = 9% ao bimestre = 9% a. b.
Exemplo 5 i = 4% ao mês = 4% a. m.
Exemplo 6 i = 0,3% ao dia = 0,3% a. d.
Exercícios Resolvidos
1. Um capitalde R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36% 
ao ano proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
36% de 5.000,00 = 36/100 . 5.000,00 = 1.800,00
2. Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 2% 
ao mês proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
2% de 5.000,00 = 2/100 . 5.000,00 = 100,00
Mas esse é o valor do juro após um mês. Como desejamos calcular o juro 
ao final de um ano, devemos multiplicar esse resultado por 12 (um ano 
tem 12 meses) e obtemos:
J = 1.200,00
Que cuidados devemos ter ao resolver esses exemplos?
Dois são os cuidados. Primeiro, observe que, para o cálculo do juro sim-
ples sobre um capital C, é necessário transformar a taxa de juro em uma 
fração decimal. Ou seja, 2% é igual a 0,02 (2 dividido por 100). Depois, Se-
gundo Castanheira e Serenato (2008, p. 23) devemos cuidar 
para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de 
tempo. Isso quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o tempo 
deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao semestre, o tem-
po deve ser expresso em semestres; e assim por diante. Se no problema 
17
Porcentagem
 e regim
es de capitalização 
apresentado isso não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quan-
to o tempo para a obtenção da homogeneidade entre ambos.
Por que se cobra juro?
É comum questionarmos por que se cobra uma taxa de juro tão elevada 
nas operações financeiras. A composição da taxa de juro leva em conta que 
o possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimônio, está 
atento para os seguintes fatores:
• nem sempre o tomador do empréstimo paga sua dívida ao possuidor 
do dinheiro (risco de crédito);
• é possível que o tomador do empréstimo atrase o pagamento da sua 
dívida (risco de liquidez);
• o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimônio;
• o possuidor do dinheiro precisa precaver-se quanto a uma possível 
desvalorização do capital ao longo do tempo, em função de um pro-
cesso inflacionário (risco de mercado);
• todo empréstimo implica despesas operacionais, contratuais e tribu-
tárias tais como impostos;
• há a possibilidade do não retorno do investimento em função de pro-
blemas operacionais da instituição onde os recursos foram aplicados 
(risco operacional);
• existe a possibilidade de perdas em função da situação econômica 
do país (risco país).
Risco país1
Outro fator responsável pela elevação ou pela diminuição da taxa de juro 
é o risco país. O nível do risco país mostra a confiança que os investidores 
(em nível mundial) têm quanto ao fato de o país honrar ou não suas dí-
vidas. Quanto maior for a incerteza ou o risco associado a uma aplicação 
financeira, maior é a taxa de juro exigida pelo investidor. Quanto mais alto 
for o risco país, maior é a possibilidade, no ponto de vista do investidor, 
de que o país pode dar “calote”. Em consequência, quanto maior a possi-
bilidade do calote, maior é o valor do juro que o país deve oferecer para 
convencer os investidores a comprar seus títulos.
Caso tenhamos duas aplicações financeiras com riscos diferentes, ambas 
1 Esse item foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 64).
18
C
apítulo 1
oferecendo o mesmo retorno (a mesma taxa de juro), parece-nos óbvio que 
os investidores optem pela aplicação menos arriscada.
Para o cálculo do risco país, é feita uma comparação entre o juro que um 
país paga por títulos de sua dívida e o que o Tesouro dos Esta dos Unidos da 
América paga pelos seus, pois ele é considerado como risco zero de calote.
Imaginemos, como exemplo, que o risco país do Brasil está em 1.000 pon-
tos. Isso quer dizer que os títulos da dívida brasileira pagam 10% acima 
dos juros pagos pelos Estados Unidos da América. 
1.2.2 Montante
Verificamos que um capital, ao longo do tempo, precisa ter seu poder de com-
pra mantido. Para tal, investimos um capital com o propósito de recebermos 
juro. Com a soma do capital ao juro, obtemos um valor a que denominamos 
montante e que representaremos por M. Temos, então, a fórmula para o cál-
culo do montante:
 M = C + J
1.2.3 Período ou prazo
Ao tempo sobre o qual um capital C ou recebe ou paga um juro J denomina-
mos de período ou prazo e o representaremos por n. Em outras palavras, n 
indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Pode ainda se 
referir à quantidade de parcelas de uma renda, como veremos adiante.
Nas operações financeiras, o uso do cálculo percentual é uma constante. 
Para facilitar esse tipo de prática, é importante que você compreenda a ló-
gica da concepção de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo 
e as relações de razão entre as partes e o todo, processo que tecnicamente 
é denominado de razão centesimal ou razão percentual. Nesse cálculo, 
como vimos, aplicamos a regra de três e operamos a descoberta de quantos 
por cento corresponde a uma determinada razão dada. As operações fi-
nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um país, implicam um 
regime de capitalização. Nesse contexto, é necessário que tenhamos claro o 
que é capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por 
que se cobra juro? O que é uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro? 
O que significa “risco país”? Também não podemos esquecer que o fator 
montante é fundamental em um regime de capitalização e que período ou 
prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade. 
Síntese
Capitalização simples
ca
pí
tu
lo
20
C
apítulo 2
Denominamos de capitalização simples o regime de capitalização em que 
a taxa de juro utilizada é simples. Nesse caso, o juro é calculado, sempre, 
sobre o valor do capital inicial. Observe que é indiferente se o tomador do 
empréstimo pagará o juro periodicamente (por exemplo, mensalmente) ou 
o pagará em uma parcela única ao final do período contratado, uma vez 
que ele é constante e proporcional ao capital sobre o qual incide.
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 25) “como para cada intervalo (pe-
ríodo ou prazo) a que corresponde a taxa de juro temos um mesmo valor 
de juro, se quisermos saber o total no período, basta multiplicar o valor de 
cada intervalo pelo número de intervalos”. Já havíamos demonstrado esse 
fato no exemplo 10.
Temos, então, a fórmula do Juro Simples:
 J = C . i . n
Já mostramos que:
 M = C + J
Então:
M = C + C . i . n
 M = C . (1 + i . n) 
Essa é a fórmula geral da capitalização simples.
Conteúdos do capítulo
• Capitalização simples.
• Juro ordinário e juro exato.
• Aplicações do juro simples.
• Uso da calculadora financeira HP-12C em capitalização simples.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. identificar as situações em que recorrer à fórmula de 
capitalização simples;
2. fazer operações com juro simples;
3. usar a calculadora financeira HP-12C;
4. fazer cálculos utilizando a “regra do banqueiro”;
5. realizar o cálculo para o juro de cheque especial, bem como 
o do saldo médio de correntista.
21
C
apitalização sim
ples
Mas onde é utilizado o juro simples? Com que tipo de juro trabalha o mer-
cado financeiro? 
Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 25) “o mercado financeiro utiliza 
tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas operações”. A cal-
culadora financeira HP-12C está preparada para tal situação. Segundo os 
mesmos autores “o juro simples é utilizado, por exemplo, na aplicação de-
nominada hot money, que é um empréstimo diário e renovável, com juros 
comerciais e com taxas mensais”, ou em descontos de cheques ou de dupli-
catas. Veremos adiante que, quando saldamos uma dívida em que temos 
períodos que não são inteiros (por exemplo, temos uma taxa de juro ao mês 
e atrasamos uma dívida por 23 dias), nos é cobrado o juro simples por ser 
mais danoso. Ainda de acordo com os mesmo autores “não podemos es-
quecer, ainda, a utilização do juro simples em contas vinculadas por saldo 
devedor (juro simples postecipado)”.
Para a fixação de todos esses conceitos, precisamosanalisar alguns Exer-
cícios Resolvidos.
Exercícios Resolvidos
Vamos imaginar um empréstimo de R$ 5.000,00 que será quitado em uma 
parcela única cinco meses após, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. 
De quanto será o montante ao final do quinto mês?
Mês Saldo inicial Juros Saldo final (m)
0
1
2
3
4
5
–
5.000,00
5.100,00
5.200,00
5.300,00
5.400,00
–
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00 . 0,02 = 100
5.000,00
5.100,00
5.200,00
5.300,00
5.400,00
5.500,00
Resolvendo esse problema pela fórmula geral da capitalização simples, te-
remos:
M = C . (1 + i . n)
M = 5.000,00 . (1 + 0,02 . 5)
M = 5.000,00 . (1,10)
M = 5.500,00
22
C
apítulo 2
Vamos, a partir de agora, utilizar a calculadora financeira HP-12C.
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C em operações de juro 
simples, é necessário atentar para o fato de que o período deve ser fornecido, 
sempre, em dias. A taxa de juro simples, por sua vez, deve ser fornecida, 
sempre, ao ano. Vejamos, então, como seria resolvido com o uso da calcu-
ladora o exercício imediatamente anterior:
f REG (limpa os registradores (memórias) financeiros)
f 2 (duas casas decimais no visor) 
150 n (introduz o período em dias – observar que 
 consideramos o ano comercial, ou seja, 360 dias)
24 i (taxa ao ano)
5000 CHS PV (capital inicial – data zero – com sinal de fluxo de caixa)
f INT (valor do juro simples = 500,00)
+ (valor do montante = 5.500,00)
Exercícios Resolvidos
1. Vamos agora resolver o cálculo de uma aplicação financeira pela fórnula 
e em seguida com a calculadora. Um valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à 
taxa de juro simples de 2% ao mês, durante oito meses. Qual é o valor do 
juro simples?
Como resolver pela fórmula?
J = C . i . n
C = 5.000,00
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 8 m
J = 5.000,00 . 0,02 . 8
J = 800,00
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?
f REG (limpa os registradores financeiros)
f 2 (queremos duas casas decimais)
23
C
apitalização sim
ples
5000 CHS PV (capital com sinal de fluxo de caixa)
2 ENTER
12 × i (taxa de juro ao ano)
8 ENTER
30 × n (período em dias – ano comercial = 360 dias)
f INT (valor do juro simples = 800,00)
2. Vamos observar os dados de outro problema: Qual o rendimento de 
R$ 3.200,00 em quatro meses, a uma taxa de juro simples de 36% ao 
ano?
Iremos resolver pela fórmula. Sendo assim:
C = 3.200,00
i = 36% a. a. = 36/12 % a. m. = 3,0% a. m. = 0,03 a. m.
J = C . i . n
J = 3.200,00 . 0,03 . 4
J = 384,00
Você já se perguntou por que dividimos a taxa fornecida por 12? Porque o 
período fornecido é uma quantidade de meses e necessitamos manter a ho-
mogeneidade nos tempos das grandezas período (n) e taxa de juro (i). Op-
tamos por transformar a taxa anual em taxa mensal. Poderíamos ter manti-
do a taxa ao ano e transformado o período em anos (4 meses = 4/12 anos).
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?
f REG (limpa os registradores financeiros)
f 2 (queremos duas casas decimais)
3200 CHS PV (capital com sinal de fluxo de caixa)
36 i (taxa fornecida ao ano)
4 ENTER
30 × n (período fornecido em dias)
f INT (valor do juro simples = 384,00)
24
C
apítulo 2
2.1 Juro ordinário
O juro é ordinário quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, 
quando consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. 
Assim, o ano comercial tem 360 dias.
2.2 Juro exato
O juro exato, como o nome sugere, considera o número exato de dias que 
tem cada mês do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias. No caso do ano 
bissexto, consideramos 366 dias.
Lembramos que, para a utilização da HP-12C, caso o tempo não esteja em 
dias, devemos transformá-lo; se a taxa fornecida não for ao ano, devemos 
transformá-la.
A melhor forma de assimilarmos esse processo é acompanhando um cál-
culo. Vamos, portanto, calcular o juro exato e o juro ordinário de um capital 
de R$ 10.000,00 que foi aplicado durante os meses de julho e agosto, a uma 
taxa de 48% ao ano.
a) Juro ordinário (ano comercial)
Pela fórmula:
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
n = 2 meses = 2/12 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 2/12
J = 800,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
10000 CHS PV
48 i
2 ENTER
30 × n
f INT (juro ordinário = 800,00, considerando 
 n = 60 dias)
25
C
apitalização sim
ples
b) Juro exato (ano civil)
Pela fórmula:
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
n = 62 dias = 62/365 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 62/365
J = 815,34
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
10000 CHS PV
48 i
62 n
f INT (juro ordinário = 826,67, considerando 
 n = 62 dias)
R↓ (tecla roll down: mostra no visor o principal)
x y (juro exato = 815,34)
Você observou nesse exemplo que a calculadora financeira HP-12C calcula, 
ao mesmo tempo, o juro ordinário e o juro exato. Para visualizar os dois, 
basta pressionar as teclas na sequência mostrada nesse exemplo.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o montante acumulado ao final de 40 dias, a partir de um ca-
pital de R$ 1.000,00, com juro simples de 48% ao ano, nas hipóteses de 
ano comercial e de ano civil.
a) Juro ordinário (ano comercial)
Pela fórmula:
M = C . (1 + i . n)
M = 1.000,00 . (1 + 0,48/360 . 40)
><
26
C
apítulo 2
M = 1.053,33
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT (juro ordinário = 53,33)
+ (montante = 1.053,33)
b) Juro exato (ano civil):
Pela fórmula:
M = C . (1 + i . n)
M = 1000,00 . (1 + 0,48/365 . 40)
M = 1.052,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT (juro ordinário = 53,33)
R↓
x y (juro exato = 52,60)
+ (montante = 1.052,60)
2. Calcule o juro exato de um capital de R$ 50.000,00 aplicado durante 60 
dias, à taxa de 24% ao ano.
Pela fórmula:
C = 50.000,00
><
27
C
apitalização sim
ples
><
i = 24% a. a. = 0,24 a. a.
n = 60 dias = 60/365 anos
J = C . i . n
J = 50.000,00 . 0,24 . 60/365
J = 1.972,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
60 n
f INT (juro ordinário = 2.000,00)
R↓
x y (juro exato = 1.972,60)
2.3 A regra do banqueiro
Podemos ainda calcular o valor do juro simples utilizando a regra do ban-
queiro. Para tal, segundo Castanheira e Serenato (2008; p.32) ao se “estabe-
lecer a homogeneidade” entre o período e a taxa de juro, “é usado o ano co-
mercial (360 dias) como no juro ordinário, mas o período (número de dias) 
segue o princípio do juro exato, ou seja, segue o calendário do ano civil”.
Vamos aplicar essa regra do banqueiro para determinar o juro gerado por 
um capital de R$ 50.000,00, aplicado durante o mês de março, a uma taxa 
de juro simples de 24% ao ano.
Primeiramente utilizaremos a fórmula:
C = 50.000,00
i = 24% a.a. = 0,24 a. a.
n = 31 dias = 31/360 anos
J = C . i . n
28
C
apítulo 2
J = 50.000,00 . 0,24 . 31/360
J = 1.033,33
Agora, faremos o mesmo cálculo com a calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
31 n 
f INT (juro do banqueiro = 1.033,33)
Vamos, então aplicar a mesma regra no cálculo de uma letra de câmbio, 
considerando seu valor nominal. O que é valor nominal? Trata-se do valor 
expresso no documento. No caso, expresso na letra de câmbio. É, portanto, 
o valor de uma dívida na data do seu vencimento.
A letra de câmbio de nos referimos possui valor nominal de R$ 7.000,00, 
resgatável daqui a dois anos e está à venda. Por quanto devo comprá-la, 
sabendo que desejo um juro mínimo de 30% ao ano?
Caso queiramos antecipar o pagamento da dívida, devemos calcular o valor 
atual dela. Valoratual é, portanto, o valor da dívida a qualquer momento 
antes da data do seu vencimento.
C = ? (valor atual)
M = 7.000,00 (valor nominal)
i = 30% a. a. = 0,30 a. a.
n = 2 anos
M = C . (1 + i . n)
7.000,00 = C . (1 + 0,30 . 2)
C = 4.375,00
Logo, devo comprar a letra de câmbio por, no máximo, R$ 4.375,00.
2.4 Juro do cheque especial
Para o cálculo do juro aplicado no saldo devedor de um correntista, no 
29
C
apitalização sim
ples
J = i . (C1 . n1 + C2 . n2 +... + Cn . nn)
Então: 
 J = i . ∑ Ck . nk com k variando de 1 até n.
Exercício Resolvido
O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos 
em determinado mês:
SALDO DIAS
– R$ 58.000,00 
+ R$ 25.000,00 
– R$ 15.400,00 
+ R$ 110.000,00 
Calcule o valor do juro pago por essa empresa, nesse mês, para uma taxa 
de juro simples igual a 3% ao mês.
seu cheque especial, os bancos utilizam-se de um método conhecido como 
método hamburguês.
Nesse caso, de acordo com Castanheira e Serenato (2008, p. 34) “devemos 
considerar diversos capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes prazos 
(n1, n2, ... , nn), utilizando-se uma taxa i, constante, de juro simples”.
Já sabemos que o juro simples é determinado pela fórmula J = C . i . n
Então, o cálculo do juro devido em cada período nk, com k variando de 1 
até n, é:
J1 = C1 . i . n1
J2 = C2 . i . n2
 .
 .
 .
Jn = Cn . i . nn
Sabemos que o valor total do juro a ser pago ao final de certo prazo é:
J = J1 + J2 + ... + Jn
J = C1 . i . n1 + C2 . i . n2 +... + Cn . i . nn
4
8
10
8
30
C
apítulo 2
Sm=
, em que n1 + n2 + ... + nn = 30
2.5 Saldo médio
Para o cálculo do saldo médio (Sm) de um correntista, basta determinar a 
média aritmética ponderada entre os saldos do período considerado. Por 
exemplo, como determinar o saldo médio de um mês com 30 dias? 
Consideremos, de acordo com Castanheira e Serenato (2008, p. 35) diversos 
capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes prazos (n1, n2, ... , nn), 
respectivamente. Então:
 C1 . n1 + C2 . n2 + ... + Cn . nn
 n1 + n2 + ... + nn
Para que fique bastante claro, vamos aplicar esta fórmula de Sm em um 
fato. Digamos que o extrato de um correntista empresarial apresentou os 
seguintes saldos credores em determinado mês:
SALDO DIAS
R$ 140.000,00 6
R$ 920.000,00 2
R$ 330.000,00 10
R$ 210.000,00 12
Vamos calcular o saldo médio dessa empresa nesse mês.
 140.000,00 . 6 + 920.000,00 . 2 + 330.000,00 . 10 + 210.000,00 . 12
 6 + 2 + 10 + 12
 840.000,00 + 1.840.000,00 + 3.300.000,00 + 2.520.000,00
 30
Sm = 283.333,33
Sm=
J = 0,03/30 . (58.000,00 . 4 + 15.400,00 . 10)
J = 0,03/30 . (232.000,00 + 154.000,00)
J = 386,00
Observe que o cálculo do juro devido é efetuado considerando-se apenas 
os dias em que o saldo é negativo.
Sm=
31
C
apitalização sim
ples
Perguntas e respostas
Lembre-se:
Quando falamos de dinheiro, nossa moeda é o real e só trabalhamos 
com centavos no nosso dia a dia. Então, devemos sempre considerar ape-
nas duas casas após a vírgula. Entretanto, ao trabalhar com taxa de juro, 
devemos considerar, no mínimo, cinco casas após a vírgula. Isso porque, 
ao longo do tempo, um arredondamento na taxa de juro pode significar 
grandes perdas de dinheiro para alguma das partes envolvidas.
E como fazer o arredondamento?
A regra, na matemática, é simples. Ela vale também para as calculadoras 
financeiras, que, sozinhas, fazem esse arredondamento.
Considere os algarismos de 0 a 9 divididos em duas partes iguais: 0 a 
4 e 5 a 9.
Caso o algarismo que você deseja eliminar esteja no primeiro intervalo 
(0 a 4), apenas ignore o algarismo. No entanto, se esse algarismo estiver 
no segundo intervalo (5 a 9), ao eliminá-lo, não se esqueça de somar 1 
(um) ao algarismo imediatamente anterior. Vejamos um exemplo. 
Queremos dividir 54 por 365 e apresentar o resultado com seis casas 
após a vírgula. Na divisão, obtivemos 0,147945205. Como queremos 
representar com seis casas após a vírgula, devemos eliminar as três úl-
timas (a parte em negrito). Então, olhamos para o primeiro algarismo 
após a sexta casa: é um 2. Logo, para eliminar tudo a partir desse 2, 
basta ignorar os algarismos eliminados, pois o 2 encontra-se no inter-
valo de 0 a 4. Suponhamos, entretanto, que queiramos representar o 
resultado dessa divisão com apenas três algarismos após a vírgula. En-
tão, devemos eliminar todos os algarismos a partir do 7. Como após o 7 
temos um algarismo que pertence ao segundo intervalo (é um algarismo 
9), ao eliminar esses algarismos (945205), devemos somar uma unidade 
ao algarismo imediatamente anterior ao 9. O resultado, portanto, será 
0,148 (somamos 1 ao 7). 
Síntese
Na capitalização simples, obviamente o juro aplicado é o juro simples. 
Nessas operações matemáticas, utilizamos tanto as fórmulas como a cal-
culadora financeira HP-12C. E essa aplicação se faz em contextos que cor-
respondem a empréstimos diários e renováveis sobre os quais se aplicam 
32
C
apítulo 2
1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital 
de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-
sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. 
Supondo que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, veri-
fique quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o 
ren dimento.
4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao 
mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu 
R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?
6. Qual será o valor do juro a ser pago, correspondente a um empréstimo de 
R$ 40.000,00, sendo a taxa de juro de 2,4% ao mês, por um período de cinco 
meses, no regime de capitalização simples?
7. Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por 125 dias, a uma taxa de juro simples 
de 3% ao mês. Calcule o juro e o montante obtidos.
8. Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam 
R$ 1.024,80 de juro. Quais foram as taxas de juro simples mensal e anual 
aplicadas?
9. Qual foi o valor do juro obtido por um investidor que aplicou R$ 12.500,00 
pelo período de 40 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês?
10. Qual será o capital necessário para obter um montante de R$ 200.000,00 
daqui a seis anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano?
11. Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 pelo prazo de 20 dias, 
a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês?
juros comerciais e taxas mensais, bem como: ao desconto de duplicatas e 
cheques, ao pagamento de dívidas ou, ainda, a contas vinculadas por sal-
do devedor. Devemos lembrar que, de acordo com as circunstâncias utili-
zamos operações de juro exato, juro ordinário, regra do banqueiro, método 
hamburguês, entre outras.
33
C
apitalização sim
ples
12. Qual será a taxa mensal de juro simples que fará um capital de R$ 
200.000,00 formar um montante de R$ 272.000,00 daqui a 12 meses?
13. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.400,00 a uma taxa de juro 
simples de 30% ao ano, durante nove meses.
14. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 20% 
ao ano, durante os meses de junho e julho. Determine o juro simples dessa 
aplicação e o montante, considerando:
a) juro ordinário;
b) juro exato;
c) juro pela regra do banqueiro.
15. Uma loja vende um produto por R$ 9.999,00 à vista. A prazo, vende por 
R$ 11.439,00, sendo R$ 1.999,00 de entrada e o restante em um pagamento 
único após três meses. Qual é a taxa de juro simples da operação?
16. Um capital de R$ 1.245,00 aplicado a juro simples, durante três meses, 
resultou num montante de R$ 1.301,03. Qual foi a taxa de juro simples utili-
zada nessa operação?
17. Uma pessoa aplicou certa quantia a juro simples de 24% ao ano, durante75 dias. Após esse prazo, recebeu R$ 23.100,00. Calcule o capital aplicado.
18. Um capital de R$ 20.550,00 aplicado à taxa de juro simples de 2,0% ao 
mês produziu um montante de R$ 25.482,00. Calcule o prazo de aplicação.
19. Um fazendeiro possuía um estoque de 2.000 sacas de soja e, na expec-
tativa de alta de preço do produto, recusou a oferta de compra desse esto-
que a R$ 1.000,00 por saca. Três meses mais tarde, vendeu o estoque a R$ 
1.100,00 por saca. Considerando que a taxa de juro simples de mercado é 
de 4% ao mês, verifique se o fazendeiro teve prejuízo. 
20. Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro sim-
ples de 1,2% ao mês, a partir de um capital de R$ 1.450,00?
21. Qual será o montante acumulado em três anos, a uma taxa de juro sim-
ples de 3% ao mês, a partir de um capital de R$ 2.000,00?
22. Uma pessoa aplicou a importância de R$ 3.000,00 numa instituição finan-
ceira que remunera seus depósitos a uma taxa de juro simples de 4,5% ao 
trimestre, no regime de juro simples. Informe o montante que poderá ser 
retirado no final do quinto trimestre.
34
C
apítulo 2
23. De quanto será o juro simples cobrado num empréstimo de R$ 50.000,00 
em seis meses, pela taxa de juro simples de 2,25% ao mês?
24. Qual o capital que deve ser aplicado para se obter um montante de R$ 
31.968,00 em quatro semestres, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano? 
25. Qual foi o capital emprestado que produziu o montante de R$ 42.160,00 
pela taxa de juro simples de 2% ao mês, no prazo de um ano?
26. Qual o capital que, aplicado a 6% ao trimestre, rendeu juro simples de 
R$ 2.160,00 ao final de três trimestres?
27. Qual o prazo de aplicação, em dias, do capital de R$ 5.000,00 que, apli-
cado à taxa de juro simples de 0,05% ao dia, produziu o montante de R$ 
5.050,00?
28. Numa aplicação de R$ 1.750,00, à taxa de juro simples de 20% ao ano, o 
montante recebido foi de R$ 4.200,00. Determine o prazo da aplicação.
29. Iolanda aplicou R$ 1.800,00 à taxa de juro simples de 36% ao ano. Se ela 
recebeu um montante de R$ 2.124,00, qual foi o prazo da aplicação?
30. Eduardo aplicou um capital de R$ 8.000,00 para receber R$ 11.200,00 
daqui a 24 meses. Qual será a rentabilidade semestral (%)?
31. Qual foi a taxa de juro simples trimestral que, aplicada a uma impor-
tância de R$ 2.500,00, produziu um montante de R$ 2.950,00 no prazo de 
nove meses?
32. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 2.000,00 ou então por R$ 320,00 
de entrada, mais uma parcela de R$ 2.100,00 cinco meses após a compra. 
Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?
33. Um carro é vendido à vista por R$ 25.000,00 ou então por R$ 5.000,00 
de entrada, mais uma parcela de R$ 21.850,00 após dois meses. Qual foi a 
taxa mensal de juro simples do financiamento? 
34. Determinada mercadoria tem seu preço à vista fixado em R$ 1.000,00, 
mas pode ser adquirida da seguinte forma: entrada correspondente a 20% 
do preço à vista e mais um pagamento no valor de R$ 880,00 para 60 dias 
após a compra. Calcule a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja na 
venda a prazo.
35. Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro sim-
ples de 24% ao ano, rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.
35
C
apitalização sim
ples
36. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 2.650,00 a uma taxa de 
juro simples de 40% ao ano, durante seis meses.
37. Foram aplicados R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano. 
Qual foi o prazo da aplicação, sabendo-se que o juro obtido foi de R$ 
10.000,00?
38. Qual foi o prazo de um empréstimo de R$ 38.500,00, se o juro foi de 
R$ 6.160,00 e a taxa de juro simples de 3,2% ao mês?
39. Por quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o seu juro 
seja igual a duas vezes o seu valor, se for aplicado a uma taxa de juro sim-
ples de 20% ao ano?
40. Pedro Henrique aplicou R$ 4.800,00 à taxa de juro simples de 12% ao 
ano. Se ele recebeu R$ 384,00 de juro, obtenha o prazo da aplicação.
41. O capital de R$ 800,00 foi aplicado durante quatro meses, a uma taxa de 
juro simples de 2% ao mês. Qual foi o valor do juro recebido pelo aplicador?
42. Considerando o exercício anterior, determine quanto o aplicador resga-
tou após o quarto mês de aplicação.
43. Uma dívida de R$ 2.350,00 foi paga com dois meses de atraso, e foi 
cobrado o valor de R$ 117,50 de juro. Qual foi a taxa de juro simples dessa 
operação financeira?
44. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 a juro simples durante certo tempo e 
obteve o montante de R$ 11.800,00. Sabendo que a taxa de juro simples utilizada 
foi de 1,8% ao mês, determine por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado.
45. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 4.560,00, que foi apli-
cado durante um ano e cinco meses, a uma taxa de juro simples de 1% ao 
mês.
46. Que capital produziu o montante de R$ 5.535,20 a partir de uma aplica-
ção a juro simples, com taxa de juro igual a 1,5% ao mês, pelo período de 
dois anos?
47. Um capital de R$ 40.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 2% ao 
mês produziu um montante de R$ 58.400,00. Calcule o período dessa apli-
cação.
48. Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 4% 
ao mês levará quanto tempo para produzir juro equivalente ao valor do 
capital aplicado?
36
C
apítulo 2
49. Uma loja vende um aparelho de som por R$ 1.000,00 à vista. A prazo, 
vende por R$ 1.160,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante em um 
pagamento único dois meses após a compra. Qual é a taxa de juro simples 
da operação?
50. Um capital foi aplicado durante 400 dias, a uma taxa de juro simples de 
1,8% ao mês e resultou num montante de R$ 3.246,00. Qual foi o valor do 
capital aplicado?
Desconto simples
ca
pí
tu
lo
38
C
apítulo 3
Inicialmente devemos lembrá-lo de que, quando nos dirigimos a um agente 
financeiro e efetuamos um empréstimo ou assumimos uma dívida, precisa-
mos assinar um documento para a garantia de quem nos empresta o capital. 
Ou seja, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 39) “se uma pessoa deve 
uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor 
um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida”. O que é título de 
crédito? Basicamente, são de dois tipos, segundo os mesmo autores:
• nota promissória – um comprovante da aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado. É um título em que necessariamente 
uma das partes é uma pessoa física;
• duplicata – um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu 
cliente (pessoa física ou jurídica). Portanto, é um título em que necessa-
riamente uma das partes é uma pessoa jurídica.
Você, com toda certeza, conhece o conceito de desconto. Quantas e quantas 
vezes já terá pedido desconto aqui e ali?
Podemos também imaginar o desconto como aquele benefício que alguém 
merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida (ou o resgate 
antecipado de um título).
Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o 
valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor 
atual desse título.
Assim como no cálculo do juro, para calcular o desconto, precisamos co-
Conteúdos do capítulo
• Os conceitos, fórmulas e cálculos dos descontos comercial e 
racional simples.
• A noção de relação entre os descontos comercial e racional.
• A substituição de títulos em situação de equivalência.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. conceituar título de crédito;
2. aplicar a fórmula de cálculo do desconto comercial;
3. aplicar a fórmula de cálculo do desconto racional;
4. realizar um cálculo comparativo entre o desconto 
comercial e racional;
5. estabelecer a equivalência entre títulos.
39
D
esconto sim
ples
nhecer uma taxa, que será denominada de taxa de desconto, e um período 
de tempo. Esse período, no caso, é o tempo que falta para o vencimento da 
dívida (ou do título).
Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 39) “todo título de crédito tem 
uma data de vencimento. Porém, pode ser antecipadamenteresgatado, ob-
tendo-se, com isso, um abatimento denominado desconto”.
Desconto é, segundo os mesmo autores (2008, p. 39), portanto, “o abatimen-
to concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipa-
do”. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de ca-
pitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.
Temos dois tipos de desconto simples a estudar:
a) o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário;
b) o racional.
3.1 Desconto comercial simples
O desconto comercial, que representaremos por Dc, é determinado apli-
cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de 
crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida 
no dia do seu vencimento.
Logo, por definição:
 Dc = M . i . n
É importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de 
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a 
dívida.
Uma vez determinado o desconto a que o possuidor do título tem direito 
por estar antecipando a sua quitação, calculamos, com facilidade, o valor 
atual (Vc) para a data do resgate do título.
Ou seja:
Vc = M – Dc
Vc = M – M . i . n
 Vc = M . (1 – i . n)
Assim, se uma pessoa tem uma dívida de R$ 5.000,00 com vencimento para 
daqui a quatro meses. Tendo quitado a dívida hoje, num banco que utiliza 
40
C
apítulo 3
1,5% ao mês de taxa de desconto comercial, determinemos o valor desse 
desconto da seguinte maneira:
M = 5.000,00
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 4 m
Dc = ?
Como, já existe uma homogeneidade entre os tempos das grandezas taxa 
de juro e período. Ambas estão expressas em meses. Portanto, podemos 
substituir os valores fornecidos diretamente na fórmula.
Dc = M . i . n
Dc = 5.000,00 . 0,015 . 4
Dc = 300,00
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C, o valor nominal do 
título deverá ser fornecido no registrador PV.
Como resolver na HP-12C ?
f REG
f 2
5000 CHS PV
1.5 ENTER
12 x i (taxa ao ano)
4 ENTER
30 x n (período em dias)
f INT (desconto comercial = 300,00)
Observe que não estamos considerando o fato de os bancos, na prática, efe-
tuarem o cálculo do desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, 
cobrada sobre o valor nominal (montante), a que denominam de taxa de 
despesa administrativa. Ou seja, o desconto bancário (Db) será calculado 
pela fórmula:
 Db = Dc + M . h 
em que h é a taxa de despesa administrativa.
41
D
esconto sim
ples
Exercício Resolvido
Um título de R$ 8.400,00 foi descontado três meses antes do seu vencimento. 
Sabemos que a taxa corrente em desconto comercial é de 22% ao ano. Calcule 
o desconto comercial e o valor que o proprietário do título recebeu.
i = 22% a. a. = 0,22 a. a. = 0,22/12 a. m.
n = 3 m
M = 8.400,00
Dc = M . i . n
Dc = 8.400,00 . 0,22/12 . 3
Dc = 462,00
Vc = M – Dc 
Vc = 8.400,00 – 462,00 
Vc = 7.938,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
8400 CHS PV
22 i (taxa ao ano)
3 ENTER
30 x n (período em dias)
f INT (desconto comercial = 462,00)
RCL PV
+ (valor atual = 7.938,00) 
3.2 Desconto racional simples
O desconto racional, que representaremos por Dr, é determinado aplican-
do-se uma taxa de desconto sobre o valor atual (Vr) do título de crédito.
42
C
apítulo 3
Logo, por definição:
 Dr = Vr . i . n
É im portante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de 
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a 
dívida.
O valor atual é igual ao valor nominal (montante), menos o desconto.
 Vr = M – Dr
Da fórmula geral da capitalização simples, temos que:
 
Desse modo, se um título de R$ 15.840,00 tem vencimento daqui a 180 dias. 
Caso esse título seja quitado hoje, a uma taxa de desconto racional simples 
de 2,5% ao mês, por quanto será resgatado?
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 180 dias = 6 m
M = 15.840,00
 M
 1 + i n
 15.840,00
 
 1 + 0,025 . 6
Vr = 13.773,91
O título será resgatado por R$ 13.773,91.
Exercício Resolvido
Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título 
de R$ 24.860,00, vencível em 4 meses e 15 dias, descontado à taxa de 25% 
ao ano?
M = 24.860,00
Vr = ?
Dr = ?
Vr =
Vr =
 .
43
D
esconto sim
ples
Vr =
Vr =
i = 25% a. a. = 0,25 a. a.
n = 4 m 15 d = 135 d = 135/360 a
 M
 1 + i . n
 24.860,00
 1 + 0,25 . 135/360
Vr = 22.729,14
Dr = M – Vr
Dr = 24.860,00 – 22.729,14
Dr = 2.130,86
O desconto racional simples é de R$ 2.130,86, e o valor do resgate é de 
R$ 22.729,14.
3.3 Relação entre o desconto comercial e o desconto racional
Dc – Dr = M . i . n – Vr . i . n
Dc – Dr = i . n . (M – Vr)
Dc – Dr = i . n . (Dr)
Dc = Dr + Dr . i . n
 Dc = Dr . (1 + i . n)
Verificamos, então, que Dc > Dr. Logo, Vc < Vr.
Para contextualizarmos essa prática vamos determinar o desconto comer-
cial e o desconto racional sobre um título de R$ 38.400,00, considerando 
uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês e sabendo que o título 
vencerá daqui a cinco meses.
M = 38.400,00
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n = 5 m
Dc = M . i . n
Dc = 38.400,00 . 0,03 . 5
44
C
apítulo 3
Dc = 5.760,00
Dc = Dr . (1 + i . n)
5.760,00 = Dr . (1 + 0,03 . 5)
5.760,00 = Dr . 1,15
Dr = 5.008,70
3.4 Títulos equivalentes
Ao necessitarmos substituir um título por outro, precisamos tera certeza de 
que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se deseja 
ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, portanto, da 
troca de papéis.
É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determi-
nada taxa. Alterando-se o valor da taxa, a equivalência desaparecerá.
Para estabelecer a equivalência entre títulos, é necessário escolhermos uma 
data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de 
data focal ou data de referência. Na data focal, os valores atuais dos dois 
títulos são iguais.
 Vimos que Vc = M . (1 − i . n)
Chamemos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo 
de vencimento n1. Portanto, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 45) 
Vc = M1 . (1 – i . n1) pois, pela definição, os valores atuais dos títulos des-
contados na mesma data focal são iguais. Então, temos que:
M . (1 – i . n) = M1 . (1 – i . n1)
 M . (1 – i . n)
 (1 – i 
. n1)
Assim, se considerarmos um título de R$ 4.200,00, que vencerá em cinco me-
ses e deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses, 
admitindo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, 
vamos calcular o valor nominal do novo título.
M = 4.200,00
n = 5 m
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
M1 =
45
D
esconto sim
ples
M1 =
n1 = 8 m
 4.200,00 . (1 – 0,015 . 5)
 1 – 0,015 
. 8
M1 = 4.414,77
Exercício Resolvido
Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 2.560,00, vencível em 
dois meses, e outro de R$ 3.440,00, vencível em cinco meses. Entretanto, não 
podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los 
por um único título, com vencimento para oito meses. Calcule o valor nomi-
nal do novo título, considerando a taxa de juro simples de 1,2% ao mês.
M = 2.560,00
M’ = 3.440,00
n = 2 m
n’= 5 m 
n1 = 8 m
i = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
 M . (1 – i . n) + M’. (1 – i . n’)
 1 – i 
. n1 1 – i . n1
 2.560,00 . (1 – 0,012 . 2) + 3.440,00 . (1 – 0,012 . 5)
 1 – 0,012 
. 8 1 – 0,012 . 8
M1 = 6.340,88
Novamente é hora de você exercitar sozinho. Apresentamos, a seguir, 
mais uma série de 20 exercícios. Resolva-os e confira com as respostas 
fornecidas.
M1 =
M1 =
46
C
apítulo 3
1. Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes 
do seu vencimento. Sabendo que a taxade juro simples corrente é de 24% 
ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve 
pagar.
2. Um título de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de venci-
mento, à taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto 
comercial?
3. Uma nota promissória de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. 
Qual foi o valor do resgate?
4. Um título de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado em 
21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto racio-
nal simples?
5. Qual seria o desconto comercial em uma negociação cujo resultado da 
operação forneceu um desconto racional de R$ 2.800,00 à taxa de juro sim-
ples de 2,0% ao mês, num período de quatro meses?
6. Um título de valor nominal igual a R$ 55.000,00, pagável em 30 dias, 
vai ser substituído por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que o 
credor pode resgatar o título à taxa de juro simples de 30% ao ano, deter-
mine o valor nominal do novo título, considerando um desconto comercial 
simples.
Síntese
Título de crédito, nota promissória, duplicata, descontos comercial e racio-
nal, bem como taxa de descontos, são todos conceitos relacionados ao am-
biente financeiro, mais especificamente nas questões relativas a emprésti-
mos e dívidas. Para facilitar as operações desse contexto são estabelecidas 
fórmulas matemáticas que envolvem, entre outras, taxa prefixada, taxa de 
despesa administrativa, além das respectivas taxas de descontos. Mas no 
processo operacional do desconto simples é necessário também conhecer 
os cálculos para estabelecer a relação entre o desconto comercial e o ra-
cional, assim como a equivalência entre títulos. Para que essas operações 
fiquem bem claras, foi que optamos por uma série contínua de exercícios 
de fixação, além dos exemplos trabalhados na exposição dos conteúdos.
47
D
esconto sim
ples
7. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento 
em 3 de novembro. No dia 17 de agosto do mesmo ano, descontou o título 
num banco que utilizou 2% ao mês de taxa de desconto comercial simples. 
Determine o valor desse desconto.
8. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação 
financeira em que um título de R$ 3.200,00 foi resgatado por R$ 2.854,40, 
noventa dias antes do seu vencimento?
9. Um título no valor de R$ 4.665,00 foi descontado antes do seu vencimen-
to, pelo valor atual de R$ 4.156,51. Sabendo que foi utilizada a taxa de des-
conto comercial simples de 2,18% ao mês, verifique quanto tempo faltava 
para o ven cimento do título.
10. Um cliente de um banco tinha uma duplicata que venceria em 75 dias. 
Dirigiu-se ao banco e resgatou-a pelo valor líquido de R$ 952,00. Sabendo 
que esse banco havia cobrado, nessa operação, uma taxa de desconto co-
mercial simples de 1,92% ao mês, descubra o valor nominal dessa dupli-
cata.
11. Um título de R$ 8.345,00 foi resgatado 80 dias antes do seu vencimento 
e, em consequência, ganhou um desconto comercial simples de R$ 747,72. 
Qual foi a taxa mensal de desconto utilizada nessa operação?
12. Um título no valor de R$ 8.000,00 foi descontado à taxa de 0,12% ao dia. 
Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule 
o período de antecipação (dias) no resgate do título.
13. Um título foi descontado à taxa de 0,30% ao dia, estando a 40 dias de 
seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de 
R$ 540,00, calcule o valor nominal do título.
14. Uma pessoa possuía uma dívida de R$ 589,00 e resolveu pagá-la dois 
meses antes do vencimento. Perguntado qual o valor do desconto comer-
cial simples a que tinha direito, responderam que a taxa de desconto era de 
1,5% ao mês. Quanto essa pessoa ganhou de desconto?
15. Uma dívida foi paga 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 
desconto comercial simples de 2% ao mês. Sabendo que o valor líquido 
pago foi de R$ 458,72, determine o valor nominal dessa dívida.
16. Um título de R$ 1.000,00 foi pago cinco meses antes do seu vencimento, 
por desconto comercial simples. Sabendo que o desconto recebido foi de 
R$ 50,00, estabeleça a taxa de desconto dessa operação.
48
C
apítulo 3
17. Uma duplicata de R$ 2.100,00 foi resgatada por R$ 1.848,00, a uma taxa 
de desconto comercial simples de 2% ao mês. Quanto tempo faltava para 
o vencimento dessa duplicata?
18. Uma dívida de R$ 3.000,00 foi paga quatro meses antes do seu venci-
mento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês. Qual foi 
o valor líquido pago pela dívida?
19. Um título de R$ 4.600,00 foi pago seis meses antes do seu vencimento. 
Sabendo que o título recebeu um desconto racional simples com uma taxa 
de desconto de 30% ao ano, determine o valor pago pelo resgate do título.
20. O desconto racional simples recebido por um título de R$ 2.388,96, que 
foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual 
foi a taxa de desconto utilizada nessa operação?
Capitalização composta
ca
pí
tu
lo
50
C
apítulo 4
No nosso dia-a-dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando to-
mamos emprestada uma certa quantia em dinheiro, em um banco comer-
cial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo 
acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria. 
Então, é de suma importância que saibamos o que é e como funciona o juro 
composto. Inicialmente, vamos ver o que é capitalização composta.
Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de 
capitalização composta, ou seja, o juro produzido num período será 
acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e 
juro, a render juro no período seguinte. Por isso, é também chamado de 
juro sobre juro.
A cada intervalo em que o juro é incorporado ao valor que o produziu deno-
minamos período de capitalização.
Em países cuja moeda sofre constantes oscilações, como é o caso brasilei-
ro, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 47) recomenda-se o uso de 
capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples produz 
distorções até no curtíssimo prazo.
4.1 Montante
Tal qual na capitalização simples, o capital envolvido em uma operação 
financeira, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 47) acrescido do juro, 
compõe o montante. Representa sempre o valor total de uma dívida ou o 
valor futuro.
Conteúdos do capítulo
• Conceituação e caracterização da capitalização composta. 
• Uso de fórmulas de cálculo de montante, juro composto, equivalência 
de taxas.
• Conceito e aplicação de período fracionário.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. entender como se processa a capitalização composta;
2. aplicar as fórmulas de cálculo de montante, juro composto 
e de equivalência de taxas na capitalização composta;
3. dimensionar e realizar os cálculos que envolvam o conceito 
de período fracionário.
51
C
apitalização com
posta
 M = C + J
Obtemos o montante segundo os mesmo autores (2008, p. 47) “calculando o 
juro simples, o período de capi talização a período de capitalização, e incor-
porando-o ao capital inicial para o próximo período”.
Para facilitar o entendimento, iremos aplicar esse conceito em um exemplo 
prático, ou seja, vamos determinar o montante produzido por um capital de 
R$ 100,00, aplicado a juro composto de 10% ao mês, capitalizado mensalmen-
te, durante três meses. Portanto:
C = 100,00
i = 10% a. m. = 0,1 a. m.
n = 3 m
M = C . (1 + i), com n = 1 período
Após o primeiro período de capitalização (n = 1 mês):
M1 = 100,00 . (1 + 0,1)
M1 = 110,00
Após o segundo período de capitalização (n = 1 mês):
M2 = M1 . (1 + 0,1)
M2 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M2 = 121,00
Após o terceiro período de capitalização (n = 1 mês):
M3 = M2 . (1 + 0,1)
M3 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M3 = 133,10
Como o fator (1 + i) varia de acordo com a quantidade de períodos de capi-
talização, fica fácil definirmos a fórmulageral da capitalização composta:
 M = C . (1 + i)n
Vamos resolver este exemplo utilizando esta fórmula:
M = 100,00 . (1 + 0,1)3 
M = 133,10
52
C
apítulo 4
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
100 CHS PV
3 n
10 i
FV valor final (montante)
Observe que, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 49) na capitalização 
composta, a calculadora financeira HP-12C precisa dos valores do período 
(n) e da taxa de juro (i) na mesma base de tempo. Devemos, portanto, man-
ter a homogeneidade nos tempos, diferentemente da capitalização simples, 
em que a taxa de juro é fornecida ao ano e o período é fornecido em dias.
Exercício Resolvido
1. Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês, 
capi talizado mensalmente, produz o montante de R$ 2.816,23 após oito 
meses?
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
 M
 (1 + i)
n
 2.816,23
 (1 + 0,015)
8
C = 2.500,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2816.23 CHS FV
1.5 i
8 n
PV
C =
C =
53
C
apitalização com
posta
C =
4.200,00 =
(1 + i)4 =
2. Um capital de R$ 4.200,00 foi aplicado a juro composto, durante quatro 
meses e resultou num montante de R$ 4.617,95. Qual a taxa de juro 
composto utilizada nessa operação?
 M
 (1 + i)
n
 4.617,95
 
 (1 + i)4
4.200,00 . (1 + i)4 = 4.617,95
 4.617,95
 4.200,00
(1 + i)4 = 1,09951191
Extraindo a raiz quarta dos dois lados da igualdade, temos:
1 + i = 1,0240
i = 0,0240 a. m. ou i = 2,4% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
4200 CHS PV
4617.95 FV
4 n
i
4.2 Juro composto
Sabemos que juro, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 49-50) é “o 
rendimento produzido por um capital em determinado tempo, calculado 
sobre o capital”. Quando sobre esse valor que já tem embutida uma parce-
la de juro incide novamente a taxa de juro (juro sobre juro), estamos diante 
de uma “capitalização composta, em que o valor do juro aumenta a cada 
período de capitalização”. 
54
C
apítulo 4
Ao final de cada período de capitalização, temos um montante parcial. Por-
tanto, para a determinação do montante total de uma operação financeira, 
utilizamos a fórmula:
 M = C . (1 + i)n
Como M = C + J:
C + J = C . (1 + i)n
J = C . (1 + i)n – C
 J = C . [(1 + i)n − 1]
Assim, chegamos à fórmula geral do juro composto.
Vamos, agora, aplicá-la. Considerando um capital de R$ 12.000,00, aplicado 
a juro composto de 1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um 
ano vamos determinar o juro produzido.
C = 12.000,00
i = 1,4% a. m. = 0,014 a. m.
n = 1 a = 12 m
J = C . [(1 + i)n − 1]
J = 12.000,00 . [(1 + 0,014)12 − 1]
J = 12.000,00 . 0,181559
J = 2.178,71
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
12000 CHS PV
1.4 i
12 n
 FV valor final (montante = 14.178,71)
 RCL PV (capital = - 12.000,00 – a tecla RCL mostra no 
 visor uma posição de memória qualquer)
+ (valor dos juros = 2.178,71)
55
C
apitalização com
posta
Exercícios Resolvidos
1. Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao 
mês, pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. Qual o va-
lor a ser pago no final do período?
M = C . (1 + i)n
M = 25.000,00 . (1 + 0,02)24
M = 40.210,93
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
25000 CHS PV
2 i
24 n
FV
2. Paulo possui um título com vencimento em cinco meses, com valor no-
minal de R$ 3.400,00. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, 
com vencimento para dali a dois meses e valor nominal de R$ 3.200,00. 
Sabendo que a taxa de juro composto corrente é de 3% ao mês, verifi-
que se a troca é vantajosa.
n = 5 – 2 = 3 meses
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
M = 3.400,00
 M
 (1 + i)
n
 3.400,00
 (1 + 0,03)
3
C = 3.111,48
Logo, a troca é vantajosa, pois o título de R$ 3.400,00, dali a dois meses, 
valerá R$ 3.111,48 (menos que o novo título que estão oferecendo, no valor 
de R$ 3.200,00).
C =
C =
56
C
apítulo 4
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
3400 CHS FV
3 n
3 i
PV
3. Beatriz aplicou um capital de R$ 3.000,00 a juro composto, a uma taxa 
de 2,2% ao mês, durante dez meses. Qual será o montante obtido?
Verificamos que M = C . (1 + i)n
Como tanto a taxa quanto o período estão referenciados a meses, nenhuma 
transformação se faz necessária. Então:
M = 3.000,00 . (1 + 0,022)10
M = 3.000,00 . 1,24310828
M = 3.729,32
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
3000 CHS PV
10 n
2.2 i
FV
4. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui 
a um ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, 
determine o seu valor atual.
Lembre-se: o valor de resgate é o valor nominal ou valor futuro do título. 
O valor atual é quanto o título vale hoje (valor presente).
Como a taxa e o período estão ambos referenciados a ano, a aplicação da 
fórmula é imediata.
57
C
apitalização com
posta
C =
M = C . (1 + i)n 
14.345,00 = C . (1 + 0,288)1
 14.345,00
 1,288
C = 11.137,42
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
14345 CHS FV
1 n
28.8 i
PV
5. Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 
1,6% ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido?
 J = C . [(1 + i)n − 1]
Como a taxa fornecida é mensal, precisamos transformar o período em 
meses. 
Então, n = 12 meses.
J = 6.600,00 . [(1 + 0,016)12 – 1]
J = 6.600,00 . [0,20983041]
J = 1.384,88
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
6600 CHS PV
12 n
1.6 i
58
C
apítulo 4
FV
RCL PV
+
6. Uma aplicação a juro composto durante três meses rendeu de juro o 
valor de R$ 288,44. Sabendo que o agente financeiro utilizou a taxa de 
juro composto de 1,88% ao mês, verifique qual foi o capital aplicado.
J = C . [(1 + i)n − 1]
288,44 = C . [(1 + 0,0188)3 – 1]
288,44 = C . 0,05746697
C = 5.019,23
7. Um televisor custa, à vista, R$ 1.999,00. A loja propõe ao comprador 
que leve o aparelho sem entrada e o pague de uma só vez, daqui a dois 
meses, a uma taxa de juro composto de 2,89% ao mês. Por quanto sairá 
o televisor?
M = C . (1 + i)n 
M = 1.999,00 . (1 + 0,0289)2
M = 1.999,00 . 1,05863521
M = 2.116,21
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1999 CHS PV
2 n
2.89 i
FV
4.3 Equivalência de taxas
Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o capital 
e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o 
mesmo quaisquer que sejam os períodos de capitalização.
59
C
apitalização com
posta
Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização composta, uti-
lizamos a fórmula:
 iq = (1 + it)q/t – 1 
em que:
iq = taxa que eu quero;
it = taxa que eu tenho;
q = tempo (período) da taxa que eu quero;
t = tempo (período) da taxa que eu tenho.
Evidentemente deverá haver uma homogeneidade nos prazos a que as 
taxas se referem (q e t deverão estar na mesma base de tempo).
Assim, com a aplicação dessa fórmula, iremos calcular a taxa anual equiva-
lente a 1,2% ao mês, pelo critério de juro composto.
it = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
q = 1 a = 12 m
t = 1 m
iq = ?
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,012)12/1 – 1
iq = 0,153895 a. a. ou 15,3895% a. a.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 4
STO EEX (indicador de estado c é ligado)
100 CHS PV
101.2 FV
12 1/x n
i (taxa equivalente = 15,3895% a. a.)
60
C
apítulo 4
 Por que pressionamos a seqüência de teclas STO EEX? Essa seqü-
ência ou liga ou desliga o indicador de estado c. Esse indicador informa 
à calculadora científica HP-12C, que deverá trabalhar em uma das duas 
seguintes funções:
• serácalculada a taxa equivalente em capitalização composta;
• deverá ser aplicado juro composto o tempo todo, inclusive em perío-
do fracionário. Esse assunto ficará mais claro para você no item 5.4 
a seguir.
Como foi usada a HP-12C?
• No registrador PV, informamos sempre o valor 100, como base de cál-
culo, para que a taxa equivalente já seja fornecida em percentual;
• no registrador FV, informamos o resultado da soma entre o valor 
fornecido no registrador PV e a taxa conhecida;
• no registrador n, devemos informar o resultado da divisão do tempo 
da taxa que eu tenho pelo tempo da taxa que eu quero (t/q).
Exercício Resolvido
Calcule a taxa mensal equivalente a 20% ao ano.
it = 20% a. a. = 0,20 a. a.
nt = 1 a = 12 m
nq = 1 m
iq = ?
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,2)1/12 – 1
iq = 0,01530947 ou 1,530947% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 6
Verifique se o indicador de estado c está ligado.
100 CHS PV
120 FV
61
C
apitalização com
posta
12 n
 i (taxa equivalente = 1,530947 a. m.)
4.4 Período fracionário
Antes de darmos o conceito de período fracionário, vamos lembrar que, 
quando fornecemos uma taxa de 2% ao mês, estamos considerando que 
esse percentual de 2% é aplicado durante um mês inteiro. Entretanto, se-
gundo Castanheira e Serenato (2008, p. 54) pode mos ter um número de pe-
ríodos de capitalização não inteiros. Podemos ter, por exemplo, um valor 
aplicado durante 1 mês e 15 dias e a capitalização ser mensal; nesse caso, 
temos um período fracionário. Ou seja, além do mês inteiro, há um período 
de 15 dias, que corresponde a uma fração do mês. Estamos falando de capi-
talização descontínua.
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 54) "para o cálculo do juro, sepa-
ramos a parte inteira da parte fracionária. Para a parte inteira, fazemos o 
cálculo normalmente. Para a parte fracionária, podemos adotar duas con-
venções: a linear ou a exponencial".
4.4.1 Convenção linear (ou convenção mista)
Para obter o juro num período fracionário, adotando a convenção linear, fa-
zemos o cálculo em duas etapas, conforme Castanheira e Serenato (2008):
• para a parte inteira de tempo (n), calculamos o montante a juro com-
posto;
• para a fração não inteira de tempo (n1), é admitida a formação linear 
de juro, ou seja, calculamos o montante a juro simples.
Para a convenção linear, portanto, as operações na HP-12C deverão ter o 
indicador de estado c desligado.
Considerando um capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juro compos-
to de 2% ao mês, por um período de 4 meses e 15 dias, com capitalização 
mensal. Portanto, para determinar qual será o montante obtido, utilizando 
a convenção linear utilizamos a sequência:
M = ?
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 4 m
62
C
apítulo 4
n1 = 15 d = 15/30 m
M = C . (1 + i)n . ( 1 + i . n1)
M = 1.000,00 . (1 + 0,02)4 . (1 + 0,02 . 15/30)
M = 1.093,26
Pela calculadora HP-12C:
Inicialmente, certificamo-nos de que o indicador de estado c está desli-
gado. Caso esteja ligado, pressionamos, na seqüência, as teclas STO EEX, 
antes do comando FV.
f REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV (montante = 1.093,26)
4.4.2 Convenção exponencial
O cálculo do juro num período fracionário, adotando a convenção expo-
nencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na 
parte inteira do tempo (n) quanto na parte não inteira (n1). Então:
M = C . (1 + i)n . (1 + i)n1 
Como as bases são iguais, podemos escrever:
M = C . (1 + i) n+n1
Utilizaremos a convenção exponencial para o cálculo.
Nesse caso, o indicador de estado c deverá estar ligado. Com isso, a 
HP-12C aplicará juro composto tanto na parte inteira quanto na parte fra-
cionária do tempo.
f REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV (montante = 1.093,20)
63
C
apitalização com
posta
Observe que o valor encontrado foi 1.093,20. Por que esse valor é ligeira-
mente menor que aquele encontrado no exemplo anterior, no qual o juro 
da parte fracionária foi simples?
A resposta a essa pergunta é: o juro simples no período fracionário é maior 
do que o juro composto.
Assim, no dia a dia do mundo financeiro, costuma-se utilizar a convenção 
linear. No caso da máquina financeira HP-12C, o indicador de estado c 
costuma já estar apagado.
Exercício Resolvido
Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de R$ 48.000,00 
à taxa de 18% ao ano, com capitalização mensal, durante 6 meses e 15 dias, 
pela convenção exponencial.
M = C . (1 + i)n+n1
i = 18% a. a. = 0,18 a. a. = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 6 m
n1 = 15 d = 0,5 m
M = 48.000,00 . (1 + 0,015)6,5
M = 52.877,45
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1.5 i
48000 CHS PV 
6.5 n
FV
Não se esqueça de que deverá estar ligado o indicador de estado c, pois na 
convenção exponencial é calculado juro composto o tempo todo.
64
C
apítulo 4
1. Foram aplicados R$ 2.800,00, durante quatro trimestres, a uma taxa de 
10% ao trimestre, no regime de juro composto. Calcule o montante obtido.
2. Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram 
recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 
3. A que taxa de juro mensal um capital de R$ 20.000,00 pode ser dobrado 
em três anos? Use quatro casas decimais.
4. Calcule o montante produzido pela aplicação de R$ 9.000,00 durante 
105 dias, a uma taxa de juro de 1,4% ao mês, no regime de capitalização 
composta, com convenção exponencial.
5. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco 
oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? 
Suponha capitalização mensal.
6. Verifique em que prazo um empréstimo de R$ 50.000,00 pode ser qui-
tado em um único pagamento de R$ 107.179,44, sabendo que a taxa contra-
tada é de 10% ao semestre.
7. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 8.000,00, 
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 8.813,29 no 
final de quatro meses. Qual a taxa de juro composto mensal cobrada? Use 
quatro casas decimais.
8. Qual será o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 15.000,00 
pelo prazo de um ano, a uma taxa de juro composto de 2,5% ao mês?
Síntese
Podemos considerar que a essência da capitalização composta está na 
definição que diz ser ela caracterizada pela reincidência de juros sobre o 
capital, ou seja, quando sobre um valor que já tem embutida uma parce-
la de juro incide novamente a taxa de juro, está instituída a capitalização 
composta. Nesse contexto, utilizamos vários instrumentos de cálculo da 
área financeira, como: juro composto, equivalência de taxas e período fra-
cionário (convenção linear, convenção exponencial). Assim, para facilitar 
a prática de tal operacionalização, além dos vários exercícios resolvidos, 
você encontra neste capítulo 30 exercícios no item "Questões para revisão" 
que auxiliam na fixação desses conteúdos.
65
C
apitalização com
posta
9. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 27.450,00, daqui a 
três meses. Sabendo que o rendimento desse título é de 1,75% ao mês, de-
termine o seu valor presente.
10. Marcella possui um título a receber com vencimento para daqui a oito 
meses, de valor nominal igual a R$ 32.000,00. Kellyn propõe a ela a troca 
por um título vencível para daqui a quatro meses e no valor de R$ 29.500,00. 
Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juro composto do mercado, verifique se a troca 
é vanta josa para Marcella.
11. Determine a taxa mensal equivalente a uma taxa de juro composto de 
18% ao semestre, de taxa efetiva. Utilize cinco casas após a vírgula.
12. Determine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juro composto 
de 36% ao ano, de taxa efetiva. Utilize cinco casas após a vírgula.
13. Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 
durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao tri-
mestre, capitalizáveis trimestralmente, acrescentando jurosimples na parte 
fracionária.
14. Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.
15. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa 
de juro composto de 25% ao ano, em dois anos.
16. Qual será o valor do montante e do juro cobrado por um empréstimo de 
R$ 55.000,00 por cinco meses, pela taxa de juro composto de 3,25% ao mês?
17. Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro com-
posto de 2,2% ao mês, a partir de um principal de R$ 1.000,00, com capitali-
zação mensal?
18. O capital de R$ 4.300,00 foi aplicado durante 36 meses, à taxa de juro de 
9% ao semestre. Calcule o montante produzido pela aplicação, supondo 
capitalização semestral.
19. A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, 
em oito meses, obtermos um montante de R$ 42.000,00? Utilize cinco casas 
após a vírgula.
20. Qual foi a taxa de juro semestral utilizada, segundo a qual a impor-
tância de R$ 10.000,00 foi remunerada produzindo um montante de 
R$ 15.200,00 no prazo de dois anos? Utilize cinco casas após a vírgula.
66
C
apítulo 4
21. O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado durante seis meses e produziu o 
montante, a juro composto, de R$ 2.744,35. Calcule a taxa de juro mensal 
de aplicação do capital. Utilize cinco casas após a vírgula.
22. Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro 
composto de 1,6 % ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?
23. O capital de R$ 1.450,00 foi aplicado durante 15 dias, à taxa de 4% ao mês. 
Calcule o juro composto produzido pela aplicação. Lembre-se de que é um 
período fracionário.
24. O capital de R$ 38.440,00 foi aplicado durante três meses, à taxa de 9% 
ao semestre. Calcule o montante, a juro composto, supondo a capitaliza-
ção mensal. Utilize para a taxa cinco casas após a vírgula.
25. Um televisor é vendido por R$ 300,00 de entrada e mais uma parcela 
única de R$ 990,00 a ser paga três meses após a compra. Determine a taxa 
de juro composto mensal dessa operação financeira, sabendo que esse tele-
visor custa R$ 1.100,00 à vista. Utilize cinco casas após a vírgula.
26. Qual será o montante produzido pela aplicação do capital de 
R$ 13.000,00 a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, capitalizado 
anualmente, ao fim de três anos?
27. Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro com-
posto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos se-
guintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. Determine o montante obtido.
28. Em que prazo uma aplicação de R$ 15.800,00, em regime de ca pita li-
zação composta mensal, a uma taxa de juro de 0,1% ao dia, produ ziu um 
montante de R$ 22.642,53? Utilize seis casas após a vírgula.
29. O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado durante dez meses e produziu o 
montante, a juro composto, de R$ 6.094,97. Calcule a taxa de juro mensal 
dessa aplicação.
30. O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o 
montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal 
dessa aplicação.
Taxas
ca
pí
tu
lo
68
C
apítulo 5
Já estudamos bastante e com precisão as taxas de juros. Precisamos, agora, 
diferenciar com clareza o que é uma taxa nominal de uma taxa efetiva. 
Precisamos, ainda, diferenciar perfeitamente uma taxa real de uma taxa 
aparente. 
5.1 Taxa nominal
Ao nos dirigirmos a um agente financeiro e questionarmos sobre o valor da 
taxa que está utilizando para empréstimo a pessoa física, é comum sermos 
informados da taxa anual que está sendo praticada naquele momento. En-
tretanto, o prazo de formação do juro e sua incorporação ao capital que o 
produziu costumam ser de periodicidade menor, geralmente mensal.
A essa taxa que nos informaram damos o nome de taxa nominal.
Sua transformação para uma periodicidade menor é realizada de forma 
proporcional.
O juro costuma ser capitalizado mais de uma vez no período a que se refere 
a taxa. Por exemplo, quando fazemos um empréstimo bancário para pagar 
em um ano, a capitalização ocorre mês a mês, durante esse ano, mesmo 
quando o pagamento é realizado em uma única parcela, ao final do período 
contratado.
Vamos portanto, considerar, para tornar objetiva essa conceituação, algu-
mas situações. Digamos que foi aplicada:
a. Taxa de 24% a. a., com capitalização mensal.
Conteúdos do capítulo
• Taxa nominal.
• Taxa efetiva.
• Taxa real.
• Taxa aparente.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. distinguir taxa nominal de taxa efetiva;
2. distinguir taxa real de taxa aparente;
3. aplicar os conceitos de taxas nominal, efetiva, real e aparente.
69
Taxas
Logo: Taxa mensal = 24% / 12 = 2% a.m.
b. Taxa de 36% a. a., com capitalização bimestral.
Logo: Taxa bimestral = 36% / 6 = 6% a. b.
c. Taxa de 20% a. s., com capitalização trimestral.
Logo: Taxa trimestral = 20% / 2 = 10% a. t.
Nesse tipo de cálculo, em linhas gerais, temos:
 
em que:
i1 = taxa conhecida;
i2 = taxa desconhecida;
n1 = período da taxa conhecida;
n2 = período da taxa desconhecida.
Agora, vamos calcular o montante obtido, considerando que o valor de 
R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa nominal de 36% ao ano, durante um ano. 
E queremos saber:
a) capitalização semestral;
b) capitalização trimestral;
c) capitalização bimestral;
d) capitalização mensal.
n = 1 a = 2 s = 4 t = 6 b = 12 m
i = 36% a. a. = 0,36 a. a.
i = 18% a. s. = 0,18 a. s.
i = 9% a. t. = 0,09 a. t.
i = 6% a. b. = 0,06 a. b.
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
a) Capitalização semestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,18)2
70
C
apítulo 5
M = 6.962,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
18 i
2 n
FV
b) Capitalização trimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,09)4
M = 7.057,91
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
9 i
4 n
FV
c) Capitalização bimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,06)6
M = 7.092,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
71
Taxas
6 i
6 n
FV
d) Capitalização mensal:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,03)12
M = 7.128,80
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
3 i
12 n
FV
Compare agora os montantes obtidos nos quatro casos.
5.2 Taxa efetiva
Quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada coincide 
com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu, 
temos uma taxa efetiva.
Logo, não importa por quanto tempo o capital será acrescido de juro, o 
resultado final (o montante) será o mesmo.
No caso da taxa efetiva, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 60) “o 
juro é capitalizado uma única vez no período a que se refere a taxa”.
No caso de uso da taxa efetiva, se um banco emprestou o capital de R$ 
4.000,00 a ser devolvido em parcela única daqui a um ano (sabendo que a 
taxa nominal cobrada é de 10,5% ao ano, com capitalização mensal), pode-
mos calcular quais serão o montante e a taxa efetiva da seguinte maneira:
i = 10,5% a. a. = 0,105 a. a. = 0,875 % a. m. = 0,00875 a. m. (taxa nominal)
M = C . (1 + i)n
M = 4.000,00 . (1 + 0,00875)12
72
C
apítulo 5
M = 4.440,81
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
4000 CHS PV
12 n
0.875 i
FV
Para o cálculo exato, observe que esse montante foi arredondado. Seu valor, 
na realidade, é de R$ 4.440,8138.
Então, a taxa ao ano, na realidade, é:
M = C . (1 + i)1
4.440,8138 = 4.000,00 . (1 + i)
1 + i = 1,110203
i = 0,110203 ou i = 11,0203% a. a. (taxa efetiva)
Pela calculadora HP-12C, basta pressionar:
1 n
i
5.3 Taxa real e taxa aparente1
Seria correto dizer, quando se trata de taxa de juro, que as aparências enga-
nam? É isso mesmo. Você não pode deixar-se enganar quando lhe disserem 
que sua caderneta de poupança rendeu, em um único mês, dois por cento. 
Por que isso?
A resposta é simples. Dentro desse percentual está incluída a inflação do 
período considerado. Portanto, descontadaa inflação, o rendimento é bem 
menor. Precisamos, então, conhecer bem as definições a seguir.
Taxa aparente é a taxa que utilizamos sem levarmos em conta a inflação 
do período.
Taxa real é a taxa que utilizamos levando em consideração os efeitos infla-
cionários do período. 
1 Esse item foi elaborado a partir de ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 61-62). 
73
Taxas
A taxa real pode ser negativa, caso a correção efetuada sobre o capital te-
nha sido menor que a inflação do período.
Qual a relação existente entre essas taxas?
Considere um capital C que foi aplicado durante certo tempo n e que re-
sultou em um montante M. 
1º caso: considere que no período n não houve inflação e a taxa de aplica-
ção é, portanto, a taxa aparente ia.
Então:
M = C . (1 + ia)
2º caso: considere que no período n houve uma inflação I. Logo, o capital 
foi acrescido não só da taxa real i, mas também da taxa de inflação I.
Então:
M = C . (1 + i) . (1 + I)
Igualando essas duas expressões de M:
C . (1 + ia) = C . (1 + i) . (1 + I)
(1 + ia) = (1 + i) . (1 + I)
(1 + i) = 
 
 
Nesse tipo de taxação, para determinarmos a taxa de rendimento real de 
uma aplicação cuja taxa aparente foi de 40% ao ano, durante um ano em 
que a inflação foi 12%, consideramos:
 
 
Logo:
i = 1,25 – 1 
i = 0,25 ou 25% ao ano
74
C
apítulo 5
Exercícios Resolvidos
1. Vamos determinar a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja 
taxa aparente foi de 8% ao mês, em um mês em que a inflação foi 
2,86%.
 
 
i = 1,05 – 1 
i = 0,05 ou 5% ao mês
2. Agora determinaremos a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja 
taxa aparente foi de 4% ao mês, em um mês em que a inflação foi 5%.
 
 
 
i = 0,9905 – 1 
i = − 0,0095 ou − 0,95% ao mês (houve prejuízo para o aplicador)
3. Vamos supor que uma pessoa tomou emprestados R$ 3.000,00 e pa-
gou, no final do período, R$ 3.300,00. Essa pessoa pagou, no ato da 
operação, despesas no valor de R$ 30,00. Como determinar as taxas 
nominal, efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação, no pe-
ríodo, foi igual a 2%.
Taxa nominal:
M = C . (1 + i)n
3.300,00 = 3.000,00 . (1 + i)1
3.300,00 – 3.000,00 = 3.000 . i
 no período ou 10% no período 
 
Taxa efetiva:
M = C . (1 + i)n
300
3.000
i = = 0,10
75
Taxas
3.300,00 = (3.000,00 – 30,00) . (1 + i)1
3.300,00 = 2.970.00 (1 + i)
3.300,00 – 2.970,00 = 2.970,00 . i
no período ou 11,11% no período 
 
Taxa real:
O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é:
(3.000,00 – 30,00) . 1,02 = 3.029,40
M = C . (1 + i)n
3.300,00 = 3.029,40 . (1 + i)1
3.300,00 – 3.029,40 = 3.029,40 . i
no período ou 8,93246% no período
 
4. No caso de uma pessoa que tomou emprestados R$ 24.850,00 e pagou, no 
final do período, R$ 28.149,00. Essa pessoa pagou, no ato da operação, des-
pesas no valor de R$ 430,00. Como determinar as taxas nominal, efetiva e 
real dessa operação, sabendo que a inflação, no período, foi igual a 3% ?
Taxa nominal:
M = C . (1 + i)n
28.149,00 = 24.850,00 . (1 + i)1 
28.149,00 – 24.850,00 = 24.850,00 . i
no período ou 13,2757% no período
 
Taxa efetiva:
M = C . (1 + i)n
28.149,00 = (24.850,00 – 430,00) . (1 + i)1
28.149,00 = 24.420,00 . (1 + i)1
28.149,00 – 24.420,00 = 24.420,00 . i
 no período ou 15,2703% no período
 
76
C
apítulo 5
Taxa real:
O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é:
(24.850,00 – 430,00) . 1,03 = 25.152,60
M = C . (1 + i)n
28.149,00 = 25.152,60 . (1 + i)1
28.149,00 – 25.152,60 = 25.152,60 . i 
 no período ou 11,91288% no período
Sugerimos que você resolva esta série de exercícios para uma fixação efe-
tiva do asunto estudado.
1. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 10.000,00, e o juro pago no final 
da operação foi de R$ 1.244,55. Sabendo que o banco cobrou, no ato da 
operação, R$ 25,00 para cobrir despesas e mais R$ 38,00 de cadastramento, 
calcule (dê a resposta com quatro casas após a vírgula):
a) Qual foi a taxa nominal oferecida pelo banco?
b) Qual foi a taxa efetivamente paga pelo cliente?
c) Qual foi a taxa real paga pelo cliente, se a inflação no período foi de 10,5%?
2. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 4.320,00, e o juro pago no final 
da operação foi de R$ 608,34. Sabendo que o banco cobrou, no ato da ope-
ração, R$ 33,50 para cobrir despesas e mais R$ 38,00 referentes a cadastra-
mento, calcule (dê a resposta com quatro casas após a vírgula):
a) Qual foi a taxa nominal oferecida pelo banco?
b) Qual foi a taxa efetivamente paga pelo cliente?
c) Qual foi a taxa real paga pelo cliente se a inflação no período foi de 5,44%?
Síntese
Os financiamentos e as dívidas exigem o entendimento de quando aplicar 
as diferentes taxas (taxa nominal, efetiva, real e aparente). E o cálculo cor-
respondente está sujeito ao domínio das fórmulas e/ou do uso da calcula-
dora financeira. Diante disso, é importante que você acompanhe os vários 
exemplos apresentados ("Exercícios Resolvidos") e exercite esse conheci-
mento na resolução das "Questões para revisão".
77
Taxas
3. Um cliente emprestou R$ 12.400,00 e pagou, ao final do período, 
R$ 15.425,25. Ao creditar o empréstimo na conta corrente, o banco depositou 
apenas R$ 11.824,47. Utilizando quatro casas após a vírgula, determine: 
a) a taxa nominal oferecida pelo banco durante esse período;
b) a taxa efetivamente paga pelo cliente durante esse período.
4. Um cliente emprestou R$ 8.000,00 e pagou, ao final do período, 
R$ 8.888,25. No ato da operação, o banco cobrou R$ 45,00 de despesas. Utili-
zando quatro casas após a vírgula, determine: 
a) a taxa nominal oferecida pelo banco durante esse período;
b) a taxa efetivamente paga pelo cliente durante esse período.
5. Um cliente emprestou R$ 27.544,00 e pagou, ao final do período, 
R$ 29.345,26. No ato da operação, o banco cobrou R$ 115,00 de despesas. 
Utili zando quatro casas após a vírgula, determine: 
a) a taxa nominal oferecida pelo banco durante esse período;
b) a taxa efetivamente paga pelo cliente durante esse período.
6. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 5.200,00, para resgatar bru-
tos, no final, R$ 5.950,00, porém pagou R$ 112,50 de imposto de renda no 
final da operação. Sabendo que a inflação no período ficou em 3%, calcule, 
utilizando quatro casas após a vírgula:
a) a taxa nominal;
b) a taxa efetiva;
c) a taxa real.
7. Foi feita uma aplicação no valor de R$ 5.000,00, e o rendimento bruto foi 
de R$ 932,00, porém o cliente pagou R$ 139,80 de imposto de renda no final 
da operação. Identifique as taxas aparente e real utilizadas, sabendo-se que 
a inflação no período foi de 2%.
8. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 5.000,00, para resgatar bru-
tos, no final, R$ 5.240,20, porém pagou R$ 36,03 de imposto de renda no 
final da operação. Sabendo que a inflação no período ficou em 0,88%, cal-
cule, utilizando quatro casas após a vírgula:
a) a taxa nominal;
b) a taxa efetiva;
c) a taxa real.
78
C
apítulo 5
9. Aplicando um capital de R$ 4.444,00 por três meses, teremos um mon-
tante de R$ 5.000,00. Considerando a taxa da inflação nesse período igual 
a 1% ao mês, verifique se a aplicação foi rentável.
10. Aplicando um capital de R$ 2.500,00 por 48 dias, tivemos um montante 
de R$ 2.600,00. Considerando a taxa da inflação nesse período igual a 1% ao 
mês, determine se a aplicação foi rentável.
11. Aplicando um capital de R$ 1.600,00 por 25 dias, tivemos um montante 
de R$ 1.619,98. Considerando a taxa da inflação nesse período igual a 1,5% 
ao mês, descubra se a aplicação foi rentável.
12. Aplicando um capital de R$ 8.500,00 por 75 dias, tivemos um montante 
de R$ 8.950,00. Considerando a taxa da inflação nesse período igual a 1,2% 
ao mês, verifique se a aplicação foi rentável.
13. Uma loja cobra uma taxaefetiva de juro de 8,44 % ao mês, incluindo, 
nesse valor, uma taxa real de 3,5% ao mês. Determine a taxa inflacionária 
inclusa na taxa efetiva.
14. Uma loja cobra uma taxa efetiva de juro de 6,4855% ao mês, incluindo, 
nesse valor, uma taxa real de 3,8% ao mês. Determine a taxa inflacionária 
inclusa na taxa efetiva.
15. Um banco cobra uma taxa efetiva de 9% ao mês em um empréstimo, 
mas capta o dinheiro a uma taxa de 2% ao mês. Qual foi o spread praticado 
pelo banco?
16. Um banco cobra uma taxa efetiva de 8,8% ao mês em um empréstimo, 
mas capta o dinheiro a uma taxa de 2,2% ao mês. Qual foi o spread praticado 
pelo banco? 
17. O salário de um empregado passou de R$ 2.450,00 para R$ 3.044,50 em 
um período em que a inflação foi de 10%. Calcule a taxa aparente e a taxa 
real de aumento do salário desse empregado.
18. O salário de um empregado passou de R$ 850,00 para R$ 1.000,00 em 
um período em que a inflação foi de 8,5%. Calcule a taxa aparente e a taxa 
real de aumento do salário desse empregado.
19. Supondo que, em determinado mês, a caderneta de poupança rendeu 
uma taxa de 1,45%, qual o valor da TR embutida nessa rentabilidade?
20. Supondo que, em determinado mês, a caderneta de poupança rendeu 
uma taxa de 2,60%, qual o valor da TR embutida nessa rentabilidade?
Desconto composto
ca
pí
tu
lo
80
C
apítulo 6
Ao estudarmos o desconto simples, dissemos que desconto é o benefício 
que alguém merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida (ou 
o resgate antecipado de um título).
Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o 
valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor 
atual desse título. Em desconto composto, não é diferente. A única mudança 
que ocorre é o regime de capitalização.
Desconto é, portanto, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 65) o aba-
timento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate 
antecipado. Representa a retirada do juro calcu lado pelo banco nas opera-
ções de capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de 
pagamento.
Aqui também temos dois tipos de desconto composto a estudar:
a) o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário;
b) o racional.
6.1 Desconto comercial composto
O desconto comercial, que representaremos por Dc, é determinado apli-
cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de 
crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida 
no dia do seu vencimento.
Logo, por definição:
Conteúdos do capítulo
• Desconto comercial composto.
• Desconto racional composto.
• Títulos equivalentes.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. definir o desconto composto;
2. identificar os tipos de descontos compostos;
3. conhecer e aplicar as fórmulas para o desconto comercial composto, 
bem como para o racional composto;
4. estabelecer relações de equivalência entre títulos.
81
D
esconto com
posto
 Vc = M . (1 – i)n
É importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de perío-
dos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a dívida.
O desconto comercial composto é então calculado pela fórmula:
 Dc = M – Vc
Substituindo, nessa fórmula, o valor de Vc, temos:
Dc = M − [M . (1 – i)n]
Dc = M . [1 – (1 – i)n]
Vamos utilizar essa fórmula para calcular o valor atual de um título de R$ 
12.000,00 descontado nove meses antes do vencimento, a uma taxa de des-
conto comercial composto de 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente.
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 9 m 
Vc = M . (1 – i)n
Vc = 12.000,00 . (1 – 0,025)9
Vc = 9.554,83
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
12000 CHS PV
2.5 CHS i
9 n
FV (valor atual = 9.554,83)
Observe que, para a utilização da calculadora financeira HP-12C em des-
conto comercial composto:
• o valor presente é informado por meio da tecla FV;
• o valor nominal do título é informado por meio da tecla PV;
• a taxa de juro é informada com sinal negativo.
82
C
apítulo 6
Por que esse procedimento é necessário? Porque a máquina está progra-
mada para aplicar o desconto racional composto.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor do desconto comercial composto de um título de 
R$ 8.000,00 descontado um ano antes do vencimento, a uma taxa de 
desconto de 3% ao bimestre.
Dc = M . [1 – (1 – i)n]
Dc = 8.000,00 . [1 – (1 – 0,03)6]
Dc = 8.0000,00 . 0,1670281
Dc = 1.336,22
Observe que o tempo foi transformado em número de bimestres.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
8000 CHS PV (valor nominal do título)
3 CHS i (taxa de desconto)
6 n (tempo que falta para vencer o título)
FV (valor líquido = valor de resgate do título)
RCL PV (recuperando o valor do registrador PV)
+ (diferença entre o valor nominal e o valor atual)
2. Agora, vamos calcular a taxa de desconto comercial composto de um 
título de R$ 38.432,20 descontado oito meses antes do vencimento, rece-
bendo líquido o valor de R$ 34.334,60.
Vc = M . (1 – i)n
34.334,60 = 38.432,20 . (1 – i)8
(1 – i)8 = 0,89338107
(1 − i) = 0,893381071/8
1 – i = 0,986006
83
D
esconto com
posto
i = 0,013994 ou i = 1,3994% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
38432.2 CHS PV (valor nominal do título)
34334.6 FV (valor líquido = valor de resgate do título)
8 n 
i (1,3994)
6.2 Desconto racional composto
Como no desconto racional simples, o valor do desconto racional composto 
(Dr) é calculado sobre o valor atual do título (Vr).
Logo:
 Dr = M – Vr 
em que:
 
Lembre que M é o valor nominal do título.
Então:
Assim, suponha que você deva um título no valor de R$ 47.800,00 com ven-
cimento para daqui a quatro meses e que deseja quitá-lo hoje. Suponha, 
ainda, que conseguirá uma taxa de desconto racional composto de 2,8% 
ao mês. Qual o valor do desconto a ser recebido e o valor da quantia a ser 
paga?
M = 47.800,00
n = 4 m
i = 2,8% a. m. = 0,028 a. m.
84
C
apítulo 6
Dr = ?
Vr = ?
M = Vr . (1 + i)n
47.800,00 = Vr . (1 + 0,028)4
Vr = 42.801,15
Dr = M – Vr
Dr = 4.998,85
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
47800 CHS FV
4 n
2.8 i
PV (valor recebido = 42.801,15)
RCL FV (− 30.000,00)
+ (desconto racional com sinal negativo = − 4.998.85)
CHS (troca o sinal)
6.3 Títulos equivalentes
Você se lembra desse assunto já estudado em capitalização simples? A si-
tuação é semelhante.
Ao necessitarmos substituir um título por outro, é preciso ter a certeza 
de que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando 
se deseja ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, 
portanto, da troca de papéis.
É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determi-
nada taxa. Alterando o valor da taxa, a equivalência desaparecerá.
Para estabelecer a equivalência entre títulos, é necessário escolhermos uma 
data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de 
85
D
esconto com
posto
data focal ou data de referência. Na data focal, os valores atuais dos dois 
títulos são iguais.
Vimos que 
Chamemos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo de 
vencimento n1. Portanto, pois, pela definição, os valores atuais 
dos títulos descontados na mesma data focal são iguais. Então, temos que:
Ao considerarmos vários títulos M1, M2, ..., Mn, com datas de vencimentos 
diferentes, n1, n2, ..., nn, esses títulos serão equivalentes na data focal (data 
zero) pelo critério de valor atual (desconto racional composto), se a uma 
dada taxa i seus valores atuais forem iguais.
Então:
 
Usando essa fórmula, iremos considerar os títulos cujos valores nominais 
e os respectivos vencimentos estão relacionados a seguir.
Título: Vencimento em:
M1 = R$ 1.000,00 n1 = 1 mês
M2 = R$ 1.010,00 n2 = 2 meses
M3 = R$ 1.020,10 n3 = 3 meses
M4 = R$ 1.033,00 n4 = 4 meses
O passo seguinte éverificar se tais títulos são equivalentes à taxa de 1% ao 
mês, sob o critério de desconto racional composto.
M1 na data focal zero valerá:
Vr = 990,10
86
C
apítulo 6
M2 na data focal zero valerá:
Vr = 990,10
M3 na data focal zero valerá:
Vr = 990,10
M4 na data focal zero valerá:
Vr = 992,69
Em função dos resultados obtidos, verificamos que os títulos de valores 
nominais M1, M2 e M3 são equivalentes à taxa de 1% ao mês. Entretanto, 
M4 não é equivalente aos demais, a essa taxa, pois seu valor atual não é 
igual ao valor atual dos demais títulos.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1000 CHS FV
1 i
1 n
PV
f REG
87
D
esconto com
posto
1010 CHS FV
1 i
2 n
PV
f REG
1020.1 CHS FV
1 i
3 n
PV
f REG
1033 CHS FV
1 i
4 n
PV
Síntese
Uma vez que o regime de capitalização deixa de ser simples, o qual já 
foi visto, e passa a ser composto, também as fórmulas de cálculo sofrem 
alterações. Assim, se antes tínhamos descontos comercial e racional, agora 
os descontos são comercial e racional compostos. A equivalência, como 
você viu, segue o mesmo parâmetro. E o exercício dos cálculos, ou seja, 
a aplicação das fórmulas e/ou uso da calculadora financeira em várias 
situações (exercícios) é que permitem a condição de realizar tais cálculos.
Você tem uma série de dez exercícios sobre desconto composto e equi-
valência de capitais. Resolva-os e confira as respostas obtidas com o ga-
barito fornecido ao final do livro.
88
C
apítulo 6 1. Um título de R$ 48.000,00 é descontado um ano antes do vencimento, 
por desconto racional composto, pelo valor de R$ 43.106,94. Calcule a taxa 
mensal de desconto.
2. Determine o valor do desconto racional composto de um título de 
R$ 22.452,00 descontado cinco meses antes de seu vencimento, à taxa efetiva 
de desconto racional composto de 26,82418% ao ano.
3. Um título de R$ 10.000,00 foi resgatado antes do seu vencimento e obte-
ve uma taxa de desconto racional composto igual a 2,15% ao mês. Sabendo 
que o resgate foi efetuado por R$ 8.801,77, determine quanto tempo, antes 
do vencimento do título, ocorreu o resgate.
4. Determine o desconto comercial composto de um título de R$ 40.000,00 
que vencerá daqui a um ano, supondo uma taxa efetiva de desconto igual a 
1,8% ao mês.
5. Um título de R$ 27.000,00 é descontado oito meses antes do seu venci-
mento, por desconto comercial composto, pelo valor de R$ 23.925,09. Con-
siderando a capitalização mensal, calcule a taxa de desconto.
6. Um título foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, por des-
conto comercial composto, a uma taxa de desconto igual a 1,95% ao mês. 
Como o valor atual foi de R$ 11.091,02, qual era o valor nominal do título?
7. Um título de R$ 2.450,00 com vencimento para daqui a quatro meses 
deverá ser substituído por outro com vencimento daqui a seis meses. Iden-
tifique o valor desse novo título, considerando uma taxa de 2% ao mês.
8. Um título que venceria daqui a cinco meses, no valor de R$ 4.000,00, foi 
substituído por outro equivalente no valor de R$ 4.373,20, que vencerá da-
qui a oito meses. Qual deve ser a taxa utilizada?
9. Um título de R$ 8.456,00 vencerá daqui a seis meses, e deseja-se substituí-lo 
por outro equivalente com vencimento para daqui a quatro meses. Determine 
o valor do novo título, considerando uma taxa de 1,2% ao mês?
10. Uma empresa deve dois títulos de R$ 4.000,00 cada um, com vencimentos 
para daqui a quatro e oito meses, respectivamente. Deseja substituir esses dois 
títulos por um título único com vencimento para daqui a um ano. Considerando 
uma taxa de 2% ao mês, indique qual deverá ser o valor do novo título.
Rendas ou séries uniformes
ca
pí
tu
lo
90
C
apítulo 7
Até o momento, estudamos o pagamento de um montante ou o recebi-
mento de um capital de uma única vez, após um determinado período. 
Precisamos, agora, estudar como proceder para efetuar esses pagamentos 
(ou recebimentos) em parcelas.
A sucessão de depósitos ou de pagamentos (ou de recebimentos), em épo-
cas diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar (ou receber) uma 
dívida, é denominada renda ou série uniforme. 
Essa sucessão de pagamentos pode se destinar ao pagamento de uma dívida, 
o que caracteriza uma amortização. A sucessão de depósitos pode se desti-
nar, entretanto, a uma poupança, o que caracteriza uma capitalização.
7.1 Fluxo de caixa1
A sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou paga-
mentos, em dinheiro (caixa), previstos para determinado tempo, é denomi-
nada fluxo de caixa.
Assim, se considerarmos que uma determinada conta corrente efetuou os 
seguintes depósitos/saques ao longo de um mês:
1 Esse item foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 73).
Conteúdos do capítulo
• Conceito de amortização e capitalização. 
• Conceito de fluxo de caixa. 
• Classificação de uma renda. 
• Modelo básico de renda.
• Renda antecipada, renda diferida, outras rendas. 
• Equivalências de fluxo de caixa.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. fazer os cálculos relativos a uma renda, seja no caso de 
amortização, seja no de capitalização;
2. conceituar: fluxo de caixa, renda, modelo básico de renda, renda ante-
cipada, renda diferida, outras rendas, bem como de equivalências de 
fluxo de caixa;
3. efetuar cálculos de rendas tanto com fórmulas quanto com a HP-12C.
91
Rendas ou séries uniform
es
Depósitos Saques
Dia Valor (R$) Dia Valor (R$)
01
05
12
18
27
 1.000,00
 2.700,00
 1.450,00
10.000,00
 1.200,00
–
08
12
24
30
 –
2.300,00
5.000,00
1.800,00
5.000,00
A representação desse movimento, que denominamos fluxo de caixa, é feita 
graficamente conforme segue:
Observe que temos, no eixo horizontal, o tempo subdividido em períodos 
unitários (dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano etc.), orientados da 
esquerda para a direita, de forma que todos os pontos são considerados 
como momentos futuros em relação ao ponto zero. Os recebimentos ou 
depósitos são entradas de caixa e representados por setas orientadas para 
cima. Os pagamentos ou saques são saídas de caixa e representados por 
setas orientadas para baixo.
Ocorrendo no mesmo dia um pagamento e um recebimento, podemos re-
presentar os dois movimentos ou fazer a representação somente da dife-
rença entre eles. Assim, por exemplo, no dia 12, as duas setas, orientadas 
em sentidos opostos, poderão ser substituídas por uma única seta orien-
tada para baixo, indicando uma saída de caixa no valor de R$ 3.550,00 
(R$ 5.000,00 – R$ 1.450,00).
Exercício Resolvido
Uma financeira concede um empréstimo de R$ 20.000,00 a um cliente, para 
pagamento em três prestações mensais iguais a R$ 7.400,00. Representemos 
o fluxo de caixa correspondente, do ponto de vista da financeira.
92
C
apítulo 7
Como ficaria a representação desse fluxo de caixa visto pelo cliente?
 
7.2 Classificação de uma renda ou série uniforme2
Como definido anteriormente, renda ou série uniforme é uma sucessão 
de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou pagamentos, em 
épocas diferentes, destinados a formar um capital (capitalização) ou a pagar 
(ou receber) uma dívida (amortização).
Vamos classificar uma renda ou série uniforme de acordo com quatro parâ-
metros: o prazo, o valor, a forma e o período a que se refere a renda.
7.2.1 Quanto ao prazo
a) temporária, quando a duração é limitada (exemplo: consórcio);
b) perpétua, quando a duração é ilimitada (exemplo: aposentadoria).
7.2.2 Quanto ao valor
a) constante (todos os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou de-
pó sitos têm valores iguais);
b) variável (os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos 
não têm todos os valores iguais).
2 Esse item foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 75-76).
93
Rendas ou séries uniform
es
7.2.3 Quanto à forma
a) imediata, quando o primeiro pagamento ou recebimento,ou saque 
ou depósito ocorre no primeiro período, podendo ser:
• postecipado, quando a ocorrência é no final do período, ou seja, 
sem entrada;
• antecipado, quando a ocorrência é no início do período, ou seja, 
com entrada (considerar essa entrada igual às demais parcelas).
b) diferida, quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque 
ou depósito não ocorre no primeiro período, havendo, portanto, um 
prazo de carência, podendo ser:
• postecipado, quando o primeiro movimento ocorre um período 
após o término da carência ou diferimento;
• antecipado, quando o primeiro movimento coincide com o final 
da carência ou diferimento.
7.2.4 Quanto à periodicidade
a) periódica, quando a periodicidade entre os pagamentos ou recebi-
mentos, ou saques ou depósitos é igual;
b) não periódica, quando a periodicidade entre os pagamentos ou rece-
bimentos, ou saques ou depósitos não é igual entre as parcelas.
7.3 Modelo básico de renda
Quando uma renda ou série uniforme for, simultaneamente, temporária, 
constante, imediata postecipada e periódica, dizemos tratar-se de um 
modelo básico de renda, conforme Castanheira e Serenato (2008).
Ainda segundo os mesmo autores (2008), cada parcela de uma série de 
pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos, passaremos a de-
nominar prestação e será representada pela letra p.
O cálculo do valor atual é feito pela fórmula:
em que:
C é o valor capital ou valor atual;
94
C
apítulo 7
p é o valor das prestações;
i é a taxa de juro composto da operação;
n é o número de prestações.
Assim exemplificamos esse cálculo com uma situação na qual determina-
mos o valor à vista (valor atual) de uma série de dez prestações iguais a 
R$ 2.000,00, vencíveis mensalmente, a partir do primeiro mês (sem entrada), 
sabendo que a taxa de juro composto utilizada é de 2% ao mês. Utilizaremos 
oito casas após a vírgula e a resposta será dada com centavos.
p = 2.000,00
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 10
C = ?
 
 
C = 17.965,17
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2000 CHS PMT (valor da prestação)
10 n (número de prestações)
2 i (taxa de juro composto)
PV (valor atual)
Observe que não houve entrada. Por esse motivo, a expressão BEGIN não 
pode estar visível na calculadora HP-12C. Caso esteja visível, pressione g 
END antes de solicitar o resultado, ou seja, antes de pressionar PV.
Exercícios Resolvidos
1. Sabendo que um televisor custa R$ 1.199,00. Vamos determinar quanto 
custará esse bem em três prestações iguais, sem entrada, considerando a 
95
Rendas ou séries uniform
es
taxa de juro do mercado igual a 3,2456% ao mês.
Vr = 1.199,00
Para achar o mínimo múltiplo comum dos denominadores, basta multipli-
car os três valores e obtemos 1,21123752.
M = 425,89
Esse é o valor de cada uma das três parcelas.
Parece difícil. Mas não se esqueça de que as calculadoras financeiras foram 
desenvolvidas exatamente para nos ajudar a resolver situações como essa. 
Veja como é fácil.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1199 CHS PV
3 n
3,2456 i
PMT (prestação de R$ 425,89)
A tecla PMT é utilizada para o fornecimento do valor das prestações, quando 
elas são todas iguais (constantes). Caso contrário, outras teclas serão utiliza-
das, conforme veremos no item 7.6.
96
C
apítulo 7
2. Uma geladeira custa, à vista, R$ 2.450,00, mas pode ser financiada sem 
entrada e em oito prestações mensais iguais. Considerando uma taxa 
de juro de 2,88% ao mês, determinaremos qual será o valor de cada 
prestação.
C = 2.450,00
n = 8
i = 2,88% a. m. = 0,0288 a. m.
p = ?
 
p = 347,25
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2450 CHS PV
8 n
2.88 i
PMT (prestação de R$ 347,25)
3. Kendric deposita mensalmente numa caderneta de poupança progra-
mada o valor de R$ 500,00. Sabendo que a renda média da poupança, 
nos últimos três meses, foi de 1,5% ao mês, determinaremos quanto 
Kendric possuirá no momento do terceiro depósito.
p = 500,00
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 3 
M = ?
97
Rendas ou séries uniform
es
Façamos, inicialmente, passo a passo.
O primeiro depósito será capitalizado dois períodos (n = 2):
M = V . (1 + i)n
M1 = 500,00 . (1 + 0,015)2
M1 = 515,11
O segundo depósito será capitalizado 1 período (n = 1):
M2 = 500,00 . (1 + 0,015)1
M2 = 507,50
O terceiro depósito não será capitalizado (n = 0):
M3 = 500,00 . (1 + 0,015)0
M3 = 500,00
O somatório dos valores futuros é:
M = M1 + M2 + M3 
M = 1.522,61
Pela fórmula:
M = 500,00 . 3,045225
M = 1.522,61
Pela calculadora HP-12C:
g END 
f REG
f 2
500 CHS PMT
1.5 i
3 n
FV
98
C
apítulo 7
4. Henrique deposita mensalmente numa caderneta de poupança progra-
mada o valor de R$ 100,00. Sabendo que a renda média da poupança, 
nos últimos dez anos, foi de 1,4% ao mês, determinaremos quanto Hen-
rique possuirá no momento do último depósito, supondo que realizou 
os 120 depósitos na data prevista.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
100 CHS PMT
1.4 i
120 n
FV (o saldo será de R$ 30.738,59)
7.4 Renda antecipada
O que difere a renda antecipada do modelo básico de renda é o fato de que, 
na renda antecipada, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 82) “a pri-
meira parcela ocorre na data zero, ou seja, é dada uma entrada de mesmo 
valor que as demais parcelas”. Nesse caso, para a utilização da calculadora 
financeira HP-12C, é necessário manter visível a expressão BEGIN. Para 
tal, pressione as teclas g BEG.
Segundo os mesmos autores (2008, p. 82) “para o cálculo do valor atual de 
rendas antecipadas, utilizamos o mesmo conceito de rendas postecipadas. 
No entanto, como os pagamentos, ou recebimentos, ou depósitos ocorrem 
com a antecipação de um período, multiplicamos a fórmula original por 
(1 + i)". Assim, temos:
Para realizarmos a aplicação dessa fórmula, vamos supor que desejamos 
comprar uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 2.240,00. Suponha que 
faremos um financiamento em seis prestações iguais, com uma taxa de juro 
composto de 3,24% ao mês, com uma das prestações paga no ato da compra 
(na data zero). Qual será o valor das prestações?
99
Rendas ou séries uniform
es
2.240,00 = p . 5,374363216 . 1,0324
p = 403,71
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2240 CHS PV
6 n
3.24 i
g BEG (ligar o indicador de estado BEGIN)
PMT
Para o cálculo do montante, ou valor futuro, utilizamos a fórmula:
Então, no caso de uma pessoa que deseja comprar um automóvel daqui a 
seis meses, no valor de R$ 48.000,00. Quanto deverá aplicar no início de 
cada mês, se receber juro a uma taxa de 1,8% ao mês?
Como foi dito, para o cálculo do montante, utilizamos a fórmula:
p = 7.512,27
Pela calculadora HP-12C:
f REG
100
C
apítulo 7
f 2
g BEG
48000 CHS FV
1.8 i
6 n
PMT
Exercícios Resolvidos
1. Um terreno é anunciado em 12 prestações mensais iguais de R$ 
8.400,00, sendo que o primeiro pagamento ocorrerá no ato da compra 
(entrada). Veri fique o preço à vista desse terreno, sabendo que a taxa 
de juro utilizada para o cálculo das prestações foi de 2,5% ao mês. 
p = 8.400,00
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 12
C = ?
 
C = 88.319,35
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
g BEG
8400 CHS PMT
2.5 i
12 n
PV
101
Rendas ou séries uniform
es
2. Uma loja que vende produtos a prazo opera com planos de financia-
mento em até seis pagamentos mensais iguais. Sendo a taxa de juro 
cobrada pela loja de 3,5% ao mês, pediremos:
a) elaborar a tabela de multiplicadores do valor financiado, a fim de facilitar 
para os vendedores da loja o cálculo do valor dos pagamentos mensais;
b) calcular o pagamento mensal relativo ao financiamento de R$ 1.240,00 
em cinco prestações (sem entrada);
c) determinar o valor do pagamento mensalrelativo ao financiamento 
de uma mercadoria cujo preço à vista é R$ 1.450,00, dando como en-
trada 10% desse valor e financiando o restante em seis pagamentos.
Pela calculadora HP-12C:
a) 1 CHS PV
 1 n
 3.5 i
 0 FV
 PMT (1,03500)
 2 n
 PMT (0,52640)
 3 n
 PMT (0,35693)
 4 n
 PMT (0,27225)
 5 n
 PMT (0,22148)
 6 n
 PMT (0,18767)
102
C
apítulo 7
Tabela de multiplicadores:
Número de pagamentos Valor da prestação
1 V . 1,03500
2 V . 0,52640
3 V . 0,35693
4 V . 0, 27225
5 V . 0,22148
6 V . 0,18767
b) 1240 ENTER
 0,22148 × (prestações de R$ 274,64))
c) 1450 ENTER
 10 % −
 0,18767 × (prestações de R$ 244,91)
7.5 Renda diferida
Definimos anteriormente, no item 7.2.3-b, renda diferida como aquela em 
que existe um prazo de carência, após o qual são iniciados os pagamentos 
ou recebimentos. Verificamos também que "essas rendas podem ser poste-
cipadas ou antecipadas", conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 88).
Para você entender bem a renda diferida, é importante analisar os exem-
plos a seguir. Veja que as fórmulas utilizadas já são de seu conhecimento.
Nessas circunstâncias, a de renda diferida, considerando que um banco 
receberá dez prestações mensais iguais a R$ 2.560,00 com uma carência de 
cinco meses. Sabendo que a taxa de juro é de 2,8% ao mês, como vamos de-
terminar o valor atual com as prestações vencendo no final do intervalo.
C = ?
p = 2.560,00
i = 2,8% a. m. = 0,028 a. m.
n = 10 prestações
n de carência = 5 m.
103
Rendas ou séries uniform
es
C = 22.061,91
Como se trata de uma renda postecipada, o valor de C representa o valor 
atual um período antes do primeiro pagamento. Vamos agora considerar 
o período de carência para calcular o valor atual na data zero.
C = 19.216,64
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2560 CHS PMT
2.8 i
10 n
PV 
CHS FV
0 PMT
5 n
PV 
Observe que, antes de pressionar a tecla PV, a palavra BEGIN não deve 
estar visível no visor; se estiver, pressione g END para apagá-la antes de 
dar o comando PV.
104
C
apítulo 7
Exercício Resolvido
Andrea receberá 20 prestações mensais, iguais a R$ 1.000,00, com uma ca-
rência de dez meses. Sabendo que a taxa de juro utilizada foi de 2,55% ao 
mês, determine o valor atual, com as prestações vencendo no início do 
intervalo.
C = ?
p = 1.000,00
i = 2,55% a. m. = 0,0255 a. m.
n = 20 prestações
n de carência = 9 m.
C = 15.515,79
Você acaba de encontrar o valor atual um período antes do primeiro paga-
mento (renda postecipada). Agora, vamos calcular o valor atual conside-
rando o período de carência, ou seja, o valor atual na data zero.
Como o pagamento será feito no início do intervalo, trata-se de uma renda 
diferida antecipada. Utilizando a fórmula de renda antecipada, temos uma 
carência de dez meses. Utilizamos renda postecipada e por isso temos um 
intervalo a menos de carência, ou seja, nove meses de carência.
C = 12.369,52
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
105
Rendas ou séries uniform
es
1000 CHS PMT
2.55 i
20 n
PV (15.515,79)
CHS FV
0 PMT
9 n
PV (12.369,52)
7.6 Outras rendas
Consideraremos como outras rendas aquelas em que não há uma perio-
dicidade constante entre as parcelas ou aquelas nas quais os valores das 
parcelas são diferentes ao longo do tempo, mesmo que o intervalo entre 
elas seja constante. Vamos analisar alguns exemplos.
No caso de uma mercadoria é vendida em oito prestações mensais, sem 
entrada, sendo que as prestações ímpares são de R$ 2.000,00, enquanto as 
pares são de R$ 1.500,00. Considerando a taxa de juro de 2% ao mês, como 
determinamos qual é o valor à vista?
C = ?
pímpares = 2.000,00
ppares = 1.500,00
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
Para você visualizar melhor o problema, vamos representar o fluxo de caixa 
correspondente.
 
Vamos inicialmente dividir essa sequência de oito prestações em duas par-
tes: a primeira com quatro prestações bimestrais iguais de R$ 2.000,00 e a 
segunda com quatro prestações bimestrais iguais de R$ 1.500,00.
106
C
apítulo 7
Como as prestações ímpares têm intervalos de dois meses, precisamos cal-
cular a taxa de juro ao bimestre.
f REG
f 2
STO EEX (“c” aceso)
100 CHS PV
102 FV
1 ENTER 2 ÷ n
i
Obtivemos a taxa = 4,04% a. b. 
Observe que a primeira prestação venceu apenas um mês depois do instante 
zero. Então, consideraremos quatro prestações bimestrais de R$ 2.000,00, 
com entrada e, em seguida, verificaremos o valor atual no instante zero.
Então, para a primeira parte, o valor atual (V1) é:
C = 7.545,97
Trazendo esse valor para o instante zero (um mês antes), temos:
C1 = 7.398,01
Agora, consideremos as quatro prestações de R$ 1.500,00, bimestrais e sem 
entrada. Então, para a segunda parte, o valor atual é:
C2 = 5.439,71
Somando C1 e C2, temos o valor à vista da mercadoria, ou seja, R$ 12.837,72.
107
Rendas ou séries uniform
es
Agora você aprenderá a utilizar outras teclas da HP-12C, quando as presta-
ções e/ou os períodos considerados não são iguais. Vamos resolver o mesmo 
exemplo do cálculo anterior.
f REG
f 2
2000 g CFj
1500 g CFj
2000 g CFj
1500 g CFj
2000 g CFj
1500 g CFj
2000 g CFj
1500 g CFj
2 i
f NPV (12.837,72)
Vamos analisar essas novas teclas. 
A tecla CFo (cash flow no ponto o) é utilizada para informarmos o valor 
da entrada, se houver. A tecla CFj (cash flow no ponto j) é utilizada para 
fornecermos, em ordem de ocorrência, as prestações do fluxo de caixa não 
homogêneo. Não se esqueça: se em algum período não houve recebimento 
ou pagamento, informe o valor zero.
A tecla NPV (Net Present Value) serve para efetuar o cálculo do valor atual 
líquido do fluxo de caixa quando as prestações foram fornecidas pelas teclas 
CFo e CFj.
Exercício Resolvido
Um apartamento foi vendido em seis pagamentos, conforme segue:
Entrada R$ 50.000,00
1º mês R$ 35.000,00
3º mês R$ 28.000,00
5º mês R$ 19.000,00
108
C
apítulo 7
8º mês R$ 19.000,00
9º mês R$ 15.000,00
Como calcular o valor à vista do apartamento, supondo que a taxa do mer-
cado imobiliário é de 3,5% ao mês?
Inicialmente, vamos trazer ao ponto zero cada prestação paga.
C1 = 50.000,00
 
C2 = 33.816,43 
C3 = 25.254,39
 C4 = 15.997,49
C5 = 14.428,82
C6 = 11.005,96
O preço à vista do terreno é a soma de C1, C2, C3, C4, C5, e C6, ou seja, R$ 
150.503,09.
109
Rendas ou séries uniform
es
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 g CFo
35000 g CFj
0 g CFj (no mês 2 não houve parcela)
28000 g CFj
0 g CFj (no mês 4 não houve parcela)
19000 g CFj 
0 g CFj (no mês 6 não houve parcela)
2 g Nj (considerar o valor anterior duas vezes, pois 
 no mês 7 também não houve parcela) 
19000 g CFj
15000 g CFj
3.5 i
f NPV
Apareceu uma tecla nova: Nj. Para que serve essa tecla? Ela é utilizada 
para facilitar a entrada do fluxo de caixa que apresentar parcelas iguais e 
repetidas sequencialmente. Ao teclar 2 g Nj, estamos informando à má-
quina que o último valor informado deverá ser considerado duas vezes.
7.7 Equivalência de fluxos de caixa
Estudamos os fluxos de caixa. Precisamos, agora, aprender em que situa ção 
dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes. Primeiramente, é necessário 
saber que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juro e, se 
dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de 
existir se a taxa for alterada.
Como verificar se dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes?
Para tal, é necessário calcular o valor atual de cada fluxoe verificar se são 
iguais.
110
C
apítulo 7
Admitindo que os fluxos de caixa têm o mesmo valor atual a uma deter-
minada taxa de juro, observamos que os seus montantes após n períodos, 
obtidos com essa taxa, serão necessariamente iguais. 
A equivalência de dois ou mais fluxos de caixa pode ser verificada em qual-
quer data, não necessariamente na data zero. 
Vamos analisar alguns exemplos resolvidos para melhor fixar esses conceitos.
Por exemplo, um empréstimo de R$ 3.000,00 pode ser pago em qualquer 
dos planos de financiamento a seguir:
a) uma parcela única no final do quinto mês, a juro composto, no valor 
de R$ 3.394,22;
b) em seis parcelas mensais e iguais a R$ 544,65 nos primeiros seis meses, 
sem entrada;
c) em quatro parcelas mensais e iguais a R$ 400,00 nos primeiros qua-
tro meses, sem entrada, e uma quinta parcela de R$ 1.821,77 no final 
do oitavo mês;
d) em três parcelas mensais, sendo a primeira de R$ 492,00 em um mês, 
a segunda de R$ 1.596,95 em dois meses e a terceira de R$ 1.076,89 
em três meses.
Mas como verificamos se esses quatro planos são equivalentes, à taxa de 
juro composto de 2,5% ao mês?
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 98), “o primeiro passo é fixar 
uma data para que possamos elaborar os cálculos. Vamos convencionar 
essa data como sendo a data zero”.
a) 
 
 C = 3.000,00
b) 
 C = 544,65 . 5,508125441
 C = 3.000,00
111
Rendas ou séries uniform
es
c) 
 C = 1.504,79 + 1.495,21
 C = 3.000,00
d) 
 C = 480,00 + 1.520,00 + 1.000,00
 C = 3.000,00
Logo, os resultados comprovam que os quatro planos são equivalentes à 
taxa de 2,5% ao mês.
Exercícios Resolvidos
1. Como verificar se os fluxos de caixa a seguir (a, b, c) são equivalentes 
a uma taxa de 2% ao mês?
Para verificarmos a equivalência desses fluxos de caixa a 2% ao mês, pre-
cisamos calcular os seus valores atuais a essa taxa, conforme podemos ver 
a seguir:
a) 
 C = 3.000,00
b) 
 C = 3.000,00
112
C
apítulo 7
c) Observe que necessitamos da taxa ao bimestre. 
Pela calculadora HP-12C: 
STO EEX
100 CHS PV
102 FV
1 ENTER 2 ÷ n
 i (4,04% a. b.)
c) 
 C = 3.000,00
Como todos os valores atuais são iguais na data escolhida, podemos afir-
mar que esses fluxos são equivalentes à taxa de 2% ao mês.
2. Você pode dizer que os fluxos de caixa a seguir (a, b, c) são equivalen-
tes a 1,8% ao mês?
Vejamos:
a) montante de R$ 1.112,98 em seis meses, para pagamento único;
b) oito parcelas mensais, sem entrada, de R$ 135,34;
c) seis parcelas mensais, com entrada, de R$ 177,32.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
1112.98 CHS FV
6 n
1.8 i
PV (1.000,00)
f REG
8 n
1.8 i
135.34 CHS PMT
113
Rendas ou séries uniform
es
PV (1.000,00)
f REG
STO EEX
6 n
1.8 i
177.32 CHS PMT
PV (1.000,00)
Como o valor presente é igual nos três casos, os fluxos são equivalentes 
para a taxa de 1,8% ao mês.
3. Vamos, agora, verificar se os fluxos de caixa A e B, da tabela a seguir, 
são equivalentes para a taxa de 2,5% ao mês.
Mês Fluxo A Fluxo B
0
1
2
3
4
5
0
1.076,23
1.076,23
1.076,23
1.076,23
1.076,23
400,00
–
1.000,00
1.500,00
2.000,00
501,66
Solução pela calculadora HP-12C:
Fluxo A:
1076.23 CHS PMT
5 n
2.5 i
PV (5.000,00)
Fluxo B:
f REG
1000 CHS FV
2.5 i
2 n
114
C
apítulo 7
PV (951,81)
f REG
1500 CHS FV
2.5 i
3 n
PV (1.392,90)
f REG
2000 CHS FV
2.5 i
4 n
PV (1.811,90)
f REG
501.66 CHS FV
2.5 i
5 n
PV (443,39)
Somando os valores atuais, temos: 
400,00 + 951,81 + 1.392,90 + 1.811,90 + 443,39 = 5.000,00
Como o valor presente é igual nos dois fluxos, eles são equivalentes para 
a taxa de 2,5% ao mês.
Síntese
No pagamento ou recebimento de um capital em diferentes períodos, va-
mos encontrar o processo denominado de renda ou série uniforme, na qual 
se realizam duas operações: a amortização, no caso de pagamento de uma 
dívida; a capitalização, no caso de recebimento. Para operar situações finan-
ceiras, você precisa conhecer os procedimentos que estão inseridos na série 
uniforme, isto é, fluxo de caixa, renda, modelo básico de renda, renda ante-
cipada, renda diferida, outras rendas, bem como de equivalências de fluxo 
de caixa. E todos esses passos requerem uma sequência de aplicação de fór-
mulas matemáticas e/ou uso da calculadora financeira.
115
Rendas ou séries uniform
es
1. Um título de R$ 37.400,00, com vencimento para daqui a cinco meses, de-
verá ser substituído por quatro títulos de mesmo valor nominal para daqui a 
um, dois, três e quatro meses, respectivamente. Considerando uma taxa de 
desconto de 2,5% ao mês, determine o valor nominal dos novos títulos.
2. Um apartamento é vendido por R$ 128.000,00 à vista ou em 48 presta-
ções mensais, sem entrada, de R$ 4.519,86. Qual é o valor da taxa mensal 
de juro que está sendo cobrada?
3. Caso uma pessoa deseje possuir R$ 40.000,00 daqui a dois anos, quanto 
ela deve aplicar mensalmente, a uma taxa de 2% ao mês? Considere renda 
antecipada.
4. Qual será a prestação mensal para um financiamento de R$ 4.568,00, a 
uma taxa de 3,5% ao mês, num prazo de um ano?
5. Quanto devemos depositar mensalmente numa caderneta de poupança 
que oferece uma taxa de juro de 1,98% ao mês, em média, para termos acu-
mulado no final de dez anos um montante de R$ 84.000,00? Considere renda 
antecipada.
6. Uma loja financia uma geladeira em nove prestações mensais e sucessi-
vas de R$ 155,00. Calcule a taxa mensal desse financiamento, supondo que a 
primeira prestação é paga no ato da compra, a título de entrada, e que a gela-
deira, à vista, custa R$ 1.179,19. Utilize quatro casas após a vírgula.
7. Um terreno custa R$ 20.000,00 à vista, podendo ser adquirido em presta-
ções mensais, sem entrada, com taxa de juro de 2,9% ao mês. Se a pessoa pode 
dispor de R$ 902,46 por mês, quantas prestações mensais deverá pagar?
8. Um automóvel é anunciado em 36 prestações mensais iguais de R$ 1.499,00, 
sendo que o primeiro pagamento ocorrerá no ato da compra. Determine o preço 
à vista desse automóvel, sabendo que a loja cobra 1,99% ao mês de taxa de juro.
9. Uma loja anuncia a venda de um aspirador de pó em dez prestações 
mensais de R$ 199,00, com carência de três meses. Qual será o preço à vista 
do eletrodoméstico, se a taxa de juro for de 2,98% ao mês e se a compra for 
efetuada sem entrada? 
Você já acumulou muitos conhecimentos sobre matemática financeira. 
Mas é importantíssimo que continue exercitando. Para isso, a seguir, 
apresentamos 40 exercícios para você resolver. Mãos à obra.
116
C
apítulo 7
10. Um televisor de tela plana custa R$ 11.999,00 à vista. Se o cliente pre-
tende pagá-lo em cinco prestações mensais, sem entrada, com a primeira 
paga três meses após a compra, e se a loja cobrar 3,98% ao mês de taxa de 
juro, qual será o valor de cada prestação?
11. Uma mercadoria foi vendida em 27 prestações mensais de R$ 200,00 sem 
entrada, numa loja que cobra 2,75% ao mês de taxa de juro. Qual seria o va-
lor da prestação, se fosse vendida em nove prestações trimestrais, também 
sem entrada?
12. Uma construtora vende um apartamento por R$ 38.000,00 de entrada e 
o restante em 60 prestações mensais fixas de R$ 990,00 e com dez “balões” 
de R$ 1.000,00 a cada seis meses, sendo o primeiro “balão” no sexto mês 
do contrato. Considerando a taxa de juro de 2,5% ao mês, determine qual 
é o valor desse imóvel à vista.
13. Um imóvel foi vendido por R$ 100.000,00 de entrada e mais três parce-
las: a primeira de R$ 50.000,00 para dois meses, a segunda de R$ 60.000,00 
para seis meses e a última de R$ 70.000,00 para um ano. Sabendo que a 
taxa de juro é de 2% ao mês, determine o preço do imóvel à vista.
14. Ao adquirir um eletrodoméstico, uma pessoa se compromete a efetuar 
oito pagamentos mensais de R$ 100,00 sem entrada. Se a loja cobra a taxa 
de juro de 2,6% ao mês, qual é o preço à vista do eletrodoméstico? 
15. Qual era o preço à vista de um produto que foivendido por R$ 324,00 
de entrada, mais seis prestações mensais e iguais de R$ 200,00, a uma taxa 
de juro de 2,5% ao mês?
16. Ao adquirir uma mercadoria, uma pessoa dá como entrada 25% do 
preço à vista e compromete-se a efetuar mais 12 pagamentos mensais de 
R$ 340,00. Se a loja cobra a taxa de juro de 1,9% ao mês, qual é o preço à 
vista dessa mercadoria?
17. Ao adquirir um eletrodoméstico, uma pessoa dá como entrada 20% do 
preço à vista e compromete-se a efetuar mais quatro pagamentos mensais 
de R$ 100,00. Se a loja cobra a taxa de juro de 3% ao mês, qual é o preço à 
vista do eletrodoméstico?
18. Ao pretender adquirir um televisor cujo preço à vista é de R$ 1.220,00, 
uma pessoa deseja financiamento integral em oito pagamentos mensais e 
iguais, com entrada. Se a loja cobra a taxa de juro de 3,3% ao mês, qual é o 
valor das prestações? 
117
Rendas ou séries uniform
es
19. Uma motocicleta cujo preço à vista é de R$ 6.000,00 deverá ser finan-
ciada da seguinte forma: entrada de 30% do preço à vista e mais 24 paga-
mentos mensais e iguais, a uma taxa de juro de 4% ao mês. Determine o 
valor das prestações.
20. Ao adquirir um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 1.840,00, 
uma pessoa deseja financiamento integral em oito pagamentos mensais e 
iguais, sem entrada. Se a loja cobra a taxa de juro de 4% ao mês, qual é o 
valor das prestações?
21. Uma máquina cujo preço à vista é de R$ 8.500,00 deverá ser financiada 
da seguinte forma: entrada de 25% do preço à vista e mais 20 pagamentos 
mensais e iguais, a uma taxa de juro de 3,8% ao mês. Determine o valor 
das prestações.
22. Um empréstimo cujo valor principal é de R$ 30.000,00 foi realizado com 
a taxa de juro efetiva de 36% ao ano, capitalizados bimestralmente, e deve-
rá ser liquidado com o pagamento de dez prestações bimestrais, iguais e 
sucessivas. Determine o valor dessas prestações. Utilize cinco casas após a 
vírgula.
23. Um automóvel cujo preço à vista é de R$ 54.356,00 deverá ser finan-
ciado em 36 pagamentos mensais e iguais, sendo o primeiro de entrada, a 
uma taxa de juro de 2,99% ao mês. Determine o valor das prestações. 
24. Uma dívida no valor de R$ 15.600,00 deverá ser liquidada em oito pa-
gamentos trimestrais iguais, sendo o primeiro dado como entrada, à taxa 
de juro de 4% ao mês. Qual seria o valor das prestações? Utilize quatro 
casas após a vírgula.
25. Uma dívida no valor de R$ 12.000,00 deverá ser liquidada em 24 paga-
mentos mensais e iguais, sendo o primeiro dado como entrada, a uma taxa 
de juro efetiva de 36% ao ano. Qual será o valor das prestações? Utilize seis 
casas após a vírgula.
26. Um empréstimo no valor de R$ 14.800,00 deverá ser liquidado em pa-
gamentos mensais e iguais a R$ 873,90, com o primeiro pagamento ven-
cendo em 30 dias. Se a financeira cobra uma taxa de juro de 3% ao mês, 
qual será o número de pagamentos mensais?
27. Um empréstimo no valor de R$ 4.000,00 deverá ser liquidado em paga-
mentos mensais e iguais a R$ 320,97, sem entrada. Se a financeira cobra uma 
taxa de juro de 5% ao mês, qual será o número de pagamentos mensais?
118
C
apítulo 7
28. Um jogo de sala é vendido à vista por R$ 2.900,00 ou a prazo em seis 
prestações mensais e iguais, vencendo a primeira três meses após a com-
pra. Verifique qual é o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juro 
do financiamento é de 3,2% ao mês.
29. Uma mercadoria custa à vista R$ 2.000,00. Se for dada uma entrada de 
20% desse valor e financiado o restante em cinco parcelas mensais e iguais, 
vencendo a primeira 90 dias após a compra, a uma taxa de juro de 3% ao 
mês, qual será o valor de cada prestação?
30. Um automóvel é anunciado por 60 prestações mensais e iguais de 
R$ 838,54, vencendo a primeira quatro meses após a compra. Qual será o pre-
ço à vista desse automóvel, se a taxa de juro do financiamento for de 3,15% ao 
mês e tendo sido dada uma entrada de R$ 3.400,00?
31. Um aparelho de DVD é vendido por R$ 499,00 à vista ou em quatro 
prestações mensais e iguais, vencendo a primeira dois meses após a compra. 
Sendo de 3,8% ao mês a taxa de juro, qual é o valor de cada prestação?
32. Uma loja que vende a prazo opera com planos de financiamento em até 
quatro pagamentos mensais iguais. Admitindo que a taxa de juro cobrada 
pela loja é de 4,8844% ao mês, elabore a tabela de multiplicadores do valor 
financiado, para facilitar o trabalho dos vendedores da loja ao calcular o 
valor dos paga mentos mensais. Utilize seis casas após a vírgula.
Número de pagamentos Valor da prestação
1
2
3
4
33. Uma empresa dispõe mensalmente de apenas R$ 10.000,00 para pagar 
as 20 prestações mensais, iguais e sucessivas, relativas ao financiamento de 
um equipamento cujo valor, à vista, é de R$ 220.000,00. Calcule o valor que 
deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o financiamento seja 
contratado a uma taxa efetiva de 30% ao ano, capitalizado mensalmente.
34. Uma pessoa efetua 20 depósitos mensais no valor de R$ 250,00 cada um. 
Se a financeira remunera esses depósitos à taxa de juro de 2% ao mês, qual 
é o montante produzido pelas aplicações imediatamente após o último de-
pósito?
119
Rendas ou séries uniform
es
35. Uma pessoa efetua 15 depósitos mensais no valor de R$ 100,00 cada 
um. Se a financeira remunera esses depósitos à taxa de juro de 2,2% ao 
mês, qual é o montante produzido pelas aplicações imediatamente após o 
último depósito?
36. Uma pessoa efetua 120 depósitos mensais no valor de R$ 50,00 cada 
um. Se a financeira remunera esses depósitos à taxa de juro de 1,9% ao 
mês, qual é o montante produzido pelas aplicações um mês após o último 
depósito?
37. Uma pessoa efetua 60 depósitos mensais no valor de R$ 1.000,00 cada 
um. Se a financeira remunera esses depósitos à taxa de juro de 2% ao mês, 
qual é o montante produzido pelas aplicações um mês após o último de-
pósito?
38. Qual é a quantia que devo depositar no início de cada mês, durante 
dois anos, para constituir o montante de R$ 20.000,00, se a taxa de juro é 
de 2,5% ao mês
39. Qual é a quantia que devo depositar no início de cada mês, durante dez 
anos, para constituir o montante de R$ 1.000.000,00, se a taxa de juro é de 
2% ao mês?
40. Uma empresa efetuou 38 depósitos mensais de R$ 5.000,00 numa de-
terminada instituição financeira e verificou que o saldo à sua disposição, 
imediatamente após o último depósito, era de R$ 345.797,25. Determine 
a taxa mensal oferecida por essa instituição financeira. Utilize seis casas 
após a vírgula.
Taxa interna de retorno 
e valor presente líquido
ca
pí
tu
lo
122
C
apítulo 8
Após termos estudado que a equivalência de fluxos de caixa depende da 
taxa de juro, precisamos saber calcular a taxa de retorno, chamada tam-
bém de taxa interna de um fluxo de caixa.
8.1 Taxa interna de retorno (TIR)
Taxa de retorno ou taxa interna de um fluxo de caixa é, segundo 
Castanheira e Serenato (2008, p. 108), a taxa de juro composto (taxa de 
desconto) que anula o seu valor presente (valor atual), sendo necessário 
observar o valor algébrico das suas parcelas dentro do seguinte critério:
a) os recebimentos (ou depósitos) terão sinal positivo, por 
representarem entradas de caixa;
b) os pagamentos terão sinal negativo, por representarem saídas 
de caixa.
Ainda segundo os mesmo autores (2008, p. 108), "em uma operação de 
crédito, verificamos que as partes contratantes, a financeira e o comprador, 
apresentam fluxos de caixa iguais e opostos".
Nessas circunstâncias, se tiverem, por exemplo um financiamento de 
R$ 5.000,00 que será pago em três parcelas consecutivas de R$ 1.500,00, 
R$ 2.300,00 e R$ 2.000,00, respectivamente, em um, dois e três meses, para 
calcular o custo efetivo do financiamento, vamos inicialmente representar 
esse problema esquematicamente:
Conteúdos do capítulo
• Cálculo da taxa interna de retorno.
• Cálculo do valor presente líquido.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. aplicar os critérios da taxa interna de retorno;
2. fazer os cálculos da taxainterna de retorno com o uso da 
calculadora financeira HP-12C;
3. utilizar o valor presente líquido na análise dos fluxos de caixa.
123
Taxa interna de retorno e valor presente líquido
Pela calculadora HP-12C:
f REG
5000 g CF0 
1500 CHS g CFj
2300 CHS g CFj 
2000 CHS g CFj
f IRR (7,4530%)
Observe que acabamos de utilizar uma nova tecla da calculadora HP-12C: 
a tecla IRR. Com ela, determinamos a taxa interna de retorno, ou seja, o 
custo efetivo do financiamento, quando as parcelas são fornecidas pelas 
teclas CF0 e CFj.
Como comprovar esse valor? Pela definição de TIR, temos:
5.000,00 = 1.395,96 + 1.992,01 + 1.612,03 
Observe que, sem o uso de uma calculadora financeira, o processo é dema-
siadamente demorado. Para a determinação da taxa interna de retorno, 
nesse caso, utilizaríamos o processo de interpolação linear, que consiste 
em tentativa e erro. Por essa razão, neste livro, estudaremos o cálculo da 
TIR somente com o uso da calculadora financeira.
Exercício Resolvido
1. Suponha uma operação de crédito direto ao consumidor para a com-
pra de uma máquina cujo valor à vista é de R$ 70.000,00 e que será 
adquirida em dez prestações mensais e iguais, sem entrada, de R$ 
8.206,14. Qual é a taxa interna de retorno dessa operação?
124
C
apítulo 8
Pela calculadora HP-12C:
f REG
70000 CHS PV
8206.14 PMT
10 n
i (3% ao mês)
2. Uma compra cujo valor à vista é de R$ 3.245,00 pode ser paga com 
uma entrada de 10%, mais três parcelas mensais de R$ 1.000,00, R$ 
1.200,00 e R$ 1.400,00, respectivamente. Considerando que a primeira 
parcela será paga três meses após a compra, qual o custo efetivo do 
financiamento?
Pela calculadora HP-12C:
f REG
3245 ENTER 10 % − g CF0
0 g CFj
0 g CFj
1000 CHS g CFj
1200 CHS g CFj 
1400 CHS g CFj
f IRR (5,24172% ao mês)
3. Suponhamos que um cidadão comprou um apartamento cujo valor à vis-
ta era de R$ 400.000,00. Pagou R$ 100.000,00 de entrada, mais seis presta-
ções mensais, iguais e consecutivas de R$ 25.000,00, e outras oito presta-
ções mensais, iguais e consecutivas de R$ 28.000,00. Como calcular a taxa 
interna de retorno desse financiamento? A primeira prestação venceu um 
mês após a compra.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
400000 ENTER 100000 − g CF0
25000 CHS g CFj
125
Taxa interna de retorno e valor presente líquido
6 g Nj 
28000 CHS g CFj
8 g Nj 
f IRR (3,00183% ao mês)
8.2 Valor presente líquido (VPL)
O valor presente líquido (VPL) é utilizado para a análise de fluxos de caixa 
e consiste no cálculo do valor presente de uma série de pagamentos, ou rece-
bimentos, ou depósitos, a uma determinada taxa de juro conhecida.
Essa série pode ser de valores todos iguais ou de valores diferentes.
Deste valor presente deduzimos o valor inicial do fluxo de caixa (no ponto 
zero) e assim obtemos o VPL.
Então, temos:
Vamos representar esse fluxo de caixa:
Observe que i é a taxa de juro composto da operação financeira ou a taxa 
mínima de retorno desejada em um investimento.
Para você entender bem a aplicação do VPL, nada melhor que analisar 
alguns exemplos.
Portanto, vamos considerar que uma empresa de radiotáxi está analisando 
a possibilidade de adquirir, para a sua frota, veículos no valor unitário de 
R$ 40.000,00, sabendo que as receitas líquidas estimadas, em cinco anos, 
são de R$ 18.000,00, R$ 18.500,00, R$ 19.200,00, R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00, 
respectivamente.
Ao final do quinto ano, o valor residual do veículo será de R$ 10.000,00.
A pergunta é: a empresa deve ou não investir nesses veículos, para uma 
taxa de retorno de 18% ao ano?
126
C
apítulo 8
Vamos representar esse fluxo de caixa:
Observe que, no quinto ano, o valor residual foi somado à receita líquida 
estimada.
VPL = 15.254,24 + 13.286,41 + 11.685,71 + 10.315,78 + 13.637,81 – 40.000 
VPL = 24.179,95
Obtivemos um VPL positivo, o que significa dizer que a taxa efetiva de 
retorno é superior à taxa de retorno de 18% ao ano. Logo, a empresa deve 
investir na aquisição desses veículos.
Exercício Resolvido
Suponhamos, no exemplo anterior, que o valor unitário dos veículos seja 
de R$ 59.000,00 e que a taxa mínima de retorno desejada seja de 22% ao 
ano. Considerando as mesmas receitas líquidas, vamos verificar se a empre-
sa deve ou não investir nos veículos.
VPL = 14.754,10 + 12.429,45 + 10.573,57 + 9.027,98 + 11.543,98 – 59.000
VPL = – 670,92
Agora, obtivemos um VPL negativo, o que significa dizer que a taxa efetiva 
de retorno é inferior a 22% ao ano. Logo, a empresa não deve investir na 
aquisição desses veículos.
Síntese
Você já pôde constatar neste estudo que, nas operações de crédito, é im-
portante o conhecimento do fluxo de caixa. Nessa condição, a taxa interna 
de retorno representa um instrumental útil para determinar o custo efetivo 
de um financiamento. Entre essas ferramentas de análise do fluxo de caixa, 
127
Taxa interna de retorno e valor presente líquido
1. Uma pessoa investiu R$ 50.000,00 em uma operação para receber 
R$ 10.000,00 ao ano, durante oito anos. Supondo uma taxa média da atrati-
vidade (TMA) igual a 12% ao ano, verifique se esse investimento é atrativo. 
Utilize quatro casas após a vírgula.
2. Identifique a viabilidade do investimento representado no fluxo de caixa a 
seguir, para uma taxa minima de atratividade (TMA) de 12% ao ano.
Ano Valor
0 – 2.000,00
1 500,00
2 500,00
3 500,00
4 500,00
5 500,00
3. Verifique a viabilidade do investimento representado no fluxo de caixa a 
seguir, para uma taxa minima de atratividade (TMA) de 2% ao ano.
Ano Valor
0 – 5.000,00
1 0
2 500,00
3 600,00
4 700,00
5 800,00
6 900,00
7 1.000,00
8 2.000,00
encontra-se também o valor presente líquido, que nos permite decidir se 
um investimento é ou não é atrativo.
Importante saber:
 A taxa de juros que representa o minimo que um investi-
dor se propõe a ganhar quando faz um investimento é denomi-
nada Taxa Minima de Atratividade (TMA).
128
C
apítulo 8
4. Uma empresa que trabalha com taxa minima de atratividade (TMA) 
de 20% ao ano está em dúvida quanto a que projeto escolher para inves-
tir, entre os quatro representados a seguir. Verifique qual projeto deve ser 
escolhido.
Ano Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D
0 – 45.000,00 – 45.000,00 – 45.000,00 – 45.000,00
1 10.000,00 15.000,00 10.000,00 15.000,00
2 15.000,00 15.000,00 10.000,00 10.000,00
3 15.000,00 15.000,00 10.000,00 15.000,00
4 10.000,00 10.000,00 15.000,00 10.000,00
5 10.000,00 10.000,00 15.000,00 15.000,00
6 15.000,00 10.000,00 15.000,00 15.000,00
TIR
5. Uma empresa deseja adquirir novas máquinas para sua linha de produção 
no valor de R$ 500.000,00 que gerarão uma receita líquida de R$ 170.000,00 ao 
ano, durante cinco anos. Ao final do quinto ano, o valor residual das máqui-
nas (preço de venda) será de R$ 75.000,00. Verifique se a empresa deve efetuar 
a compra para uma TIR de 20% ao ano e para uma TIR de 25% ao ano, a partir 
da análise do VPL. 
Correção monetária e indicadores
ca
pí
tu
lo
130
C
apítulo 9
Correção monetária (CM) é a revisão estipulada pelas partes de um con-
trato, ou imposta por lei, que tem como ponto de referência a desvaloriza-
ção da moeda.
Por que é necessária essa revisão?
Mesmo em países em que a moeda corrente é considerada forte, a hipótese de 
moeda estável é meramente teórica, uma vez que nesses países também ocorre 
o fenômeno da inflação, mesmo que em taxas percentuais bastante reduzidas.
Tanto a inflação quanto a deflação afetam a economia de uma nação.
O que seria um período inflacionário?
É o momento em que os preços estão em elevação, ou seja, durante um 
período inflacionário, uma certa quantidade de dinheiro compra menor 
quantidade de bens do que comprava antes.
E a deflação?
No período em que existeuma deflação, ocorre um processo inverso ao da 
inflação, ou seja, durante um período deflacionário, a mesma quantia de 
dinheiro compra mais do que comprava anteriormente.
Assim, a correção monetária é a recuperação ou atualização do poder aquisitivo 
da moeda, conforme os índices oficiais informados pelo governo. O índice a ser 
adotado para a correção monetária deve ser expresso em contrato e deve estar 
previsto um substituto caso haja a extinção do primeiro índice pactuado.
A variação ou correção monetária de um determinado período é dada 
Conteúdos do capítulo
• Conceito de correção monetária.
• A inflação e a deflação.
• O papel da correção monetária nas operações de crédito.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. definir a correção monetária;
2. identificar o âmbito de aplicação da correção monetária;
3. calcular a correção monetária de um determinado período.
131
C
orreção m
onetária e indicadores
CM = – 1
segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 117) “pela variação percentual 
entre o índice no final do período indicado e o índice no final do período 
anterior”, ou seja:
 índice período indicado 
 índice período anterior
Ainda segundo os mesmo autores (2008) quando temos os índices de correção 
monetária de vários períodos, fazemos:
CMt = (1 + CM1) . (1 + CM2) . . . . . (1 + CMn) − 1 e a média da correção é 
dada por:
CMm = (1 + CMt)1/n − 1
Como ilustração, temos a seguir alguns dos índices utilizados, em percen-
tual, que nos mostram como tem se comportado a economia brasileira de 
agosto de 2004 a julho de 2005. Ver Quadro 2.
Quadro 2 – Alguns indicadores da economia brasileira
Mês
IGP-M 
FGV
INPC 
IBGE
IPCA 
IBGE
IGP-DI 
FGV
IPC 
FIPE
Agosto/2004
Setembro/2004
Outubro/2004
Novembro/2004
Dezembro/2004
Janeiro/2005
Fevereiro/2005
Março/2005
Abril/2005
Maio/2005
Junho/2005
Julho/2005
1,22
0,69
0,39
0,82
0,74
0,39
0,30
0,85
0,86
− 0,22
− 0,44
− 0,34
0,50
0,17
0,17
0,44
0,86
0,57
0,44
0,73
0,91
0,70
− 0,11
0,03
0,69
0,33
0,44
0,69
0,86
0,58
0,59
0,61
0,87
0,49
− 0,02
0,25
1,31
0,48
0,53
0,82
0,52
0,33
0,40
0,99
0,51
− 0,25
− 0,45
− 0,40
0,99
0,21
0,62
0,56
0,67
0,56
0,36
0,79
0,83
0,35
− 0,20
0,30
Acumulado do ano 1,40 3,31 3,42 1,13 3,02
Acumulado de 12 meses 5,37 5,54 6,57 4,88 6,20
Fonte: Estadão (2006).
Nota: Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna (IGP-DI ); Fundação Getúlio Vargas (FGV); 
Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE); Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE); Índice Geral de Preços ao Mercado (IGP-M); Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC); 
Índice de Preços ao Consumidor (IPC); Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA).
 
132
C
apítulo 9
Para você visualizar com maior facilidade os indicadores do Quadro 2, 
veja os gráficos de 1 a 5.
Gráfico 1 – IGP-M, da Fundação Getúlio Vargas
Fonte: Estadão (2006).
Gráfico 2 – INPC, do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
Fonte: Estadão (2006).
133
C
orreção m
onetária e indicadores
Gráfico 3 – IPCA, do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
Fonte Estadão (2006).
Gráfico 4 – IGP-DI, da Fundação Getúlio Vargas
Fonte: Estadão (2006).
134
C
apítulo 9
Gráfico 5 – IPC, da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas
Fonte: Estadão (2006).
Um país pode se ver obrigado a introduzir no seu ordenamento jurídico a 
correção monetária quando houver uma desvalorização acelerada da sua 
moeda, ou a dificuldade para a obtenção de empréstimos públicos, ou mes-
mo a necessidade de alongamento de prazo para o pagamento da dívida pú-
blica mobiliária.
Qual a origem da correção monetária no Brasil?
Sua origem data de 16 de julho de 1964, quando, pela Lei nº 4.357, foi criada 
a Obrigação Reajustável do Tesouro Nacional (ORTN), cujo valor seria rea-
justado mensalmente em função das oscilações de preços de determinados 
bens e serviços, evidenciados pelos índices calculados pela Fundação Ge-
túlio Vargas.
A correção monetária só alcançou, inicialmente, a dívida pública mobiliá ria 
(Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional) e, quanto a tributos, passou 
a ser:
a) obrigatória sua incidência sobre o valor original dos bens do ativo imo-
bilizado das pessoas jurídicas;
b) permitida sobre o custo de aquisição de imóvel, na venda por pessoa 
física;
c) obrigatória sobre débitos fiscais decorrentes do não recolhimento na 
data de vencimento.
Ano após ano, os contratos no Brasil passaram a ser, quase que na sua tota-
lidade, corrigidos pelos mais diversos índices, e a economia brasileira ficou 
quase que integralmente indexada, o que se estendeu a diversos setores da 
135
C
orreção m
onetária e indicadores
economia em que os atos negociais e contratuais envolvessem dívida, de 
tal maneira que o pagamento de valor, a prazo ou após o vencimento, sem 
o respectivo reajuste monetário, poderia representar enriquecimento sem 
causa do devedor, em prejuízo do credor.
Em função desse fato, em 1981, a Lei nº 6.899 determinou a incidência de corre-
ção monetária sobre qualquer débito resultante de decisão judicial, inclusive 
sobre custas e honorários advocatícios. 
Assim, a inflação futura ficou atrelada à inflação passada, que passava a 
ser, portanto, um elemento de realimentação da própria inflação. Para cortar 
esse vínculo, a partir de março de 1991, a inflação futura passou a ser esti-
mada a partir de uma taxa de referência, que foi denominada de TR.
A ORTN fora extinta em 27 de fevereiro de 1986 pelo Decreto-Lei nº 2.283, 
quando foi substituída pela Obrigação do Tesouro Nacional (OTN). A OTN, 
por sua vez, foi extinta em 31 de janeiro de 1989 pela Lei nº 7.730 e substi-
tuída pelo Bônus do Tesouro Nacional (BTN). Já a BTN foi substituí da pela 
Taxa de Referência (TR), instituída em 31 de janeiro de 1991 pela Medida 
Provisória nº 294, transformada na Lei nº 8.177 em 1º de março de 1991. 
A partir do Plano Real, em 1994, foram criadas as condições necessárias à 
desindexação da economia, em virtude da estabilidade da moeda e de in-
flação baixa, permitindo que tanto os títulos da dívida mobiliária interna da 
União quanto os valores previstos na legislação tributária federal, inclusive 
créditos tributários recebidos com atraso, deixassem de ser corri gidos mone-
tariamente.
Conforme Castanheira e Senerato (2008, p. 118-119), dois são os procedimen-
tos utilizados para a aplicação da correção monetária aos planos de pagamen-
tos no Brasil:
a) Prefixada: neste caso, determina-se uma taxa de juro contratual, 
independentemente do comportamento futuro da inflação. Nesse mo-
delo, a taxa de juro real de cada período e a taxa de inflação devem ser 
agregadas numa única taxa, a que chamaremos taxa prefixada. Ao as-
sim proceder, corre-se o risco de que a estimativa da inflação e a inflação 
efetivamente ocorrida sejam diferentes e um dos dois, o tomador do 
empréstimo ou o provedor dos recursos, terá prejuízo. Como exemplo 
de aplicação do modelo prefixado no mercado financeiro, temos:
• papéis de renda fixa;
• crédito direto ao consumidor.
136
C
apítulo 9
b) Pós-fixada: neste caso, a correção monetária só terá seu valor co-
nhecido com o decorrer do tempo, à medida que os índices oficiais do 
governo vão sendo divulgados. Nesse procedimento, os saldos devedo-
res, as parcelas de juros e a amortização serão corrigidos em função da 
inflação efetivamente ocorrida durante o período considerado, com o 
auxílio de um índice que é definido no início da operação. Como exem-
plo de aplicação do modelo pós-fixado no mercado financeiro, temos:
• contratos com correção pelo IGP-M;
• contratos em moeda estrangeira.
Exercícios Resolvidos
1. Calcule a correção monetária no 1º semestre de 2005 e a média mensal 
de inflação, considerando os dados do IPC da FIPE, conforme tabela 
a seguir:
Período Mensal (%) Índice
Dezembro/2004
Janeiro/2005
Fevereiro/2005
Março/2005
Abril/2005
Maio/2005
Junho/2005
–
0,560,36
0,79
0,83
0,35
– 0,20
100,0000
100,5600
100,9220
101,7193
102,5636
102,9225
102,7171
CM = 0,027171
CM = 2,7171% ao semestre
Poderíamos calcular a inflação do período pela fórmula:
 (1 + 0,0056) . (1 + 0,0036) . (1 + 0,0079) . (1 + 0,0083) . (1 + 0,0035) 
 (1 + 0,0020)
CMt = 0,027171 ou CM = 2,7171% ao semestre
Por que dividimos por (1+0,0020)? Observe que em junho/2005 houve de-
flação de 0,20%.
Qual foi a média inflacionária desse semestre?
CMm = (1 + CMt)1/n − 1
CMt= – 1
137
C
orreção m
onetária e indicadores
CMm = (1 + 0,027171)1/6 − 1
CMm = 0,004478 ou 0,4478% ao mês
2. Calcule a correção monetária e a média mensal de inflação, de 
outubro/2004 a maio/2005, inclusive, considerando os dados do INPC 
do IBGE, conforme tabela a seguir:
Período Mensal (%) Índice
Setembro/2004
Outubro/2004
Novembro/2004
Dezembro/2004
Janeiro/2005
Fevereiro/2005
Março/2005
Abril/2005
Maio/2005
–
0,17
0,44
0,86
0,57
0,44
0,73
0,91
0,70
100,0000
100,1700
100,6107
101,4760
102,0544
102,5035
103,2517
104,1913
104,9207
CM = 0,049207
CM = 4,9207% no semestre
Pela acumulação dos índices, teríamos:
CMt = (1 + 0,0017) . (1 + 0,0044) . (1 + 0,0086) . (1 + 0,0057) . (1 + 0,0044) .
 (1 + 0,0073) . (1 + 0,0091) . (1 + 0,0070) − 1
CMt = 0,049207 ou CM = 4,9207% ao semestre
Qual foi a média inflacionária desse semestre?
CMm = (1 + CMt)1/n − 1
CMm = (1 + 0,049207)1/8 − 1
CMm = 0,006022 ou 0,6022% ao mês
138
C
apítulo 9
1. Calcule a inflação acumulada de janeiro de 2005 a julho de 2005, inclusive, de 
acordo com os índices fornecidos pelo IPCA do IBGE. Calcule também a mé-
dia inflacionária desses sete meses. Consulte o quadro 2 na página 133.
2. Um pessoa fez uma aplicação de R$ 8.000,00 em 01/10/2004, quando o 
índice de correção monetária considerado foi o IGP-M da FGV. Qual o mon-
tante obtido em 01/05/2005? Consulte o quadro 2 na página 133. Utilize sete 
casas após a vírgula.
3. Qual seria o montante do exercício anterior, se o índice utilizado para a 
correção monetária fosse o IPC da Fipe?
4. Calcule a correção monetária de outubro de 2004 a março de 2005, inclu-
sive, utilizando como índice o IGP-DI da FGV. Utilize o quadro 2 na página 
133. Utilize sete casas após a vírgula.
5. Calcule a correção monetária de agosto de 2004 a fevereiro de 2005, in-
clusive, utilizando como índice o IPC da Fipe. Utilize o quadro 2 na página 
133. Utilize sete casas após a vírgula.
Síntese
Nas atividades de crédito, é grande a influência da correção monetária. A 
maneira como ela se comporta, ou como estabelecemos contratos conside-
rando inflação ou deflação, pode significar grandes lucros ou prejuízos.
Depreciação
ca
pí
tu
lo
140
C
apítulo 10
Conforme Bauer (2003), depreciação “é a desvalorização dos bens da em-
presa, que perdem valor com o passar do tempo, os quais são denomina-
dos de bens depreciáveis”.
O que causa a depreciação? Os fatores são muitos. Entre eles, destacamos 
o envelhecimento de equipamentos não só pelo uso mas, principalmente, 
pelo avanço tecnológico. Alguns setores, como o da informática, estão sujei-
tos a uma rápida depreciação.
Após certo tempo de uso, o ativo de uma empresa possui um valor de troca 
a que denominamos valor residual. Em alguns casos, esse valor residual é 
igual a zero.
É importante, portanto, antes de investir na aquisição dos bens que consti-
tuirão o ativo de uma empresa, estimar a vida útil desses bens.
A depreciação real, definida como a diferença entre o preço de aquisição 
de um bem antes do uso e o seu valor residual após determinado tempo de 
uso, é naturalmente difícil de ser calculada e devemos levar em considera-
ção a correção monetária do período em análise.
Já a depreciação teórica é mais fácil de ser calculada, uma vez que nos 
utilizamos de fórmulas preestabelecidas. Vários são os métodos que nos 
permitem realizar esse cálculo. Entre eles, destacamos o método linear, o 
método da taxa constante e o método de capitalização. Vamos analisar cada 
um deles.
Conteúdos do capítulo
• Conceito de depreciação.
• Métodos de depreciação.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. definir depreciação;
2. aplicar os métodos de depreciação: linear, da taxa constante 
 e o de capitalização.
141
D
epreciação
10.1 Depreciação pelo método linear
O método linear para o cálculo da depreciação não só é o mais simples 
como é o método utilizado pela Receita Federal para a contabilidade das 
empresas. Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 120) “consiste apenas 
em dividir o total a depreciar pelo número de períodos de vida útil do 
bem”. Utilizamos a fórmula:
em que: 
DL é o valor da depreciação linear;
C é o valor de compra do bem;
M é o valor residual;
n é a vida útil do bem.
Para você acompanhar a aplicação dessa fórmula, vamos determinar a de-
preciação ao ano pelo método linear no caso de um equipamento adqui-
rido por uma empresa pelo valor de R$ 25.000,00. Sabendo que a vida útil 
estimada desse equipamento é de oito anos, após a qual o valor residual 
será de R$ 5.000,00.
DL = 2.500,00 ao ano.
Exercício Resolvido
Uma máquina foi adquirida por uma empresa por R$ 220.000,00 e vendi-
da após determinado tempo de uso por R$ 60.000,00. Considerando uma 
depreciação linear igual a R$ 20.000,00 ao ano. Qual terá sido a vida util 
dessa máquina?
142
C
apítulo 10
20.000,00 . n = 160.000,00
n = 8 anos
10.2 Depreciação pelo método da taxa constante
Como diz o nome do método, a taxa a ser considerada para o cálculo da 
depreciação de um bem é uniforme ao longo da sua vida útil. Utilizamos 
a fórmula:
em que: 
i é a taxa constante;
C é o valor de compra do bem;
M é o valor residual;
n é a vida útil do bem.
Assim, para determinarmos a taxa de depreciação pelo método da taxa 
constante no caso de um equipamento que foi adquirido por uma empresa 
pelo valor de R$ 25.000,00. Sabendo que a vida útil estimada desse equipa-
mento é de oito anos e que, após esse período, o valor residual será de R$ 
5.000,00, fazemos o seguinte cálculo:
(1 − i)8 = 0,20 
1 − i = (0,20)1/8
1 − i = 0,817765
i = 1 – 0,817765 
i = 0,182235 ou i = 18,2235% ao ano.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 4
250000 CHS PV
143
D
epreciação
5000 FV
8 n
i − 18,2235
O resultado encontrado para a taxa é negativo porque o valor do montante 
fornecido para a calculadora é menor que o valor do capital. Basta, portanto, 
ignorarmos o sinal negativo e considerarmos a taxa como positiva.
Exercício Resolvido
Uma máquina foi adquirida por uma empresa por R$ 220.000,00 e vendida, 
após determinado tempo de uso, por R$ 60.000,00. Considerando que a de-
preciação foi determinada pelo método da taxa constante e que a taxa utiliza-
da foi de 14,990772% ao ano. Como identificar a vida útil dessa máquina?
0,85009228n = 0,27272727
log 0,85009228n = log 0,27272727
n . log 0,85009228 = log 0,27272727
n = 8 anos
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 4
220000 CHS PV
60000 FV
14.990772 CHS i
n
144
C
apítulo 10
Lembre que a taxa deve ser fornecida com sinal negativo, tendo em vista que 
o valor do montante é menor que o valor do capital.
10.3 Depreciação pelo método de capitalização
Para o entendimento desse método, vamos diretamente a um exemplo. Va-
mos considerar o caso de que um taxista que adquiriu um veículo novo por 
R$ 40.000,00 e que a vida útil desse táxi é de cinco anos. Após esse tempo, o 
taxista precisará trocar o seu veículo por um novo. Observe que, durante os 
cinco anos de vida útil do veículo, o taxista aplicou o valor da depreciação, 
que passou a render juro. Ao final dos cinco anos, os juros somados aos valo-
res aplicados (depre ciação total), mais o valor residual, deverão ser suficien-
tes para adquirir o novoveículo, considerando o mesmo valor do veículo 
anterior. Suponha então que, após a vida útil, o valor residual do veículo é 
de R$ 18.000,00. Considere uma taxa de mercado de 9% ao ano. 
Para fazer o cálculo da depreciação pelo método da capitalização, utiliza-
mos a fórmula:
em que: 
DC é a depreciação pelo método de capitalização;
C é o valor de compra do bem;
M é o valor residual;
n é a vida útil do bem;
i é a taxa de mercado.
 DC = 3.676,03
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
145
D
epreciação
18000 ENTER 
40000 – FV
5 n
9 i
PMT
Para melhor visualização desse método de depreciação, é conveniente mon-
tarmos uma tabela com os principais dados. Veja a tabela a seguir.
n
Juros 
acumulados
DC + Juros acumulados
Depreciação 
total
Valor 
residual
0 0,00 0,00 0,00 40.000,00
1 0,00 3.676,03 + 0,00 = 3.676,03 3.676,03 36.323,97
2 330,84 3.676,03 + 330,84 = 4.006,87 7.682,90 32.317,10
3 691,46 3.676,03 + 691,46 = 4.367,49 12.050,39 27.949,61
4 1.084,54 3.676,03 + 1.084,54 = 4.760,57 16.810,96 23.189,04
5 1.512,99 3.676,03 + 1.512,99 = 5.189,02 21.999,98 18.000,02
Observe que os juros acumulados são calculados aplicando-se 9% sobre a 
depreciação total do período correspondente. Observe ainda que a depre-
ciação total somada ao valor residual após a vida útil do táxi, é igual ao 
valor do veículo quando novo.
Exercício Resolvido
Um equipamento foi adquirido por uma empresa pelo valor de R$ 25.000,00. 
Sabendo que a vida útil estimada desse equipamento é de oito anos e que, 
após esse período, o valor residual será de R$ 5.000,00, e sabendo que a 
taxa de mercado é igual a 18,2235% ao ano, vamos montar uma tabela de 
depreciação.
DC = 1.294,19
146
C
apítulo 10
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 ENTER 
25000 – FV
8 n
18.2235 i
PMT
n
Juros 
acumulados
DC + Juros acumulados
Depreciação 
total
Valor 
residual
0 0,00 0,00 0,00 25.000,00
1 0,00 1.294,19 + 0,00 = 1.294,19 1.294,19 23.705,81
2 235,85 1.294,19 + 235,85 = 1.530,04 2.824,23 22.175,77
3 514,67 1.294,19 + 514,67 = 1.808,86 4.633,09 20.366,91
4 844,31 1.294,19 + 844,31 = 2.138,50 6.771,59 18.228,41
5 1.234,02
1.294,19 + 1.234,02 = 
2.528,21
9.299,80 15.700,20
6 1.694,75
1.294,19 + 1.694,75 = 
2.988,94
12.288,74 12.711,26
7 2.239,44
1.294,19 + 2.239,44 = 
3.533,63
15.822,37 9.177,63
8 2.883,39
1.294,19 + 2.883,39 = 
4.177,58
19.999,95 5.000,05
Síntese
Entre os aspectos financeiros que devemos observar está o fator deprecia-
ção. Nesse contexto, encontramos a depreciação real e a depreciação teóri-
ca. Esta última é o objeto de nossos cálculos, os quais podem ser feitos pelo 
método linear, método da taxa constate e pelo método de capitalização, 
dentre outros.
147
D
epreciação1. Uma máquina foi adquirida por uma empresa por R$ 55.000,00 e vendida, 
após determinado tempo de uso, por R$ 10.000,00. Considerando-se uma 
depreciação linear igual a R$ 9.000,00 ao ano, descubra a vida útil dessa 
máquina.
2. Um equipamento foi adquirido por uma empresa pelo valor de R$ 88.000,00. 
Sabendo que a vida útil estimada desse equipamento é de dez anos e que, após 
esse período, o valor residual será de R$ 8.000,00, determine a depreciação ao 
ano pelo método linear.
3. Um equipamento foi adquirido por uma empresa pelo valor de R$ 55.000,00. 
Sabendo que a vida útil estimada desse equipamento é de cinco anos e que, 
após esse período, o valor residual será de R$ 10.000,00, determine a taxa de 
depreciação pelo método da taxa constante.
4. Uma máquina foi adquirida por uma empresa pelo valor de R$ 88.000,00 
e vendida, após determinado tempo de uso, por R$ 8.000,00. Considerando-se 
que a depreciação foi determinada pelo método da taxa constante e que a taxa 
utilizada foi de 29,004697% ao ano, descubra a vida útil dessa máquina.
5. Um equipamento foi adquirido por uma empresa pelo valor de 
R$ 66.000,00. Sabendo que a vida útil estimada desse equipamento é de qua-
tro anos e que, após esse período, o valor residual será de R$ 16.000,00, e 
sabendo que a taxa de mercado é igual a 10% ao ano, calcule a DC.
Operação de arrendamento 
mercantil – leasing e Debêntures
ca
pí
tu
lo
150
C
apítulo 11
11.1 Leasing
O leasing é uma operação financeira que teve seu início em 12 de setem-
bro de 1974, quando foi denominado de arrendamento mercantil. Hoje, 
esse termo é utilizado para nos referirmos ao leasing financeiro, que nada 
mais é que um contrato entre duas partes: o arrendador, que possui um 
bem, e o arrendatário, que utiliza esse bem a partir do pagamento perió-
dico de prestações, durante prazo estipulado entre as partes envolvidas. 
Normalmente, no Brasil, é feito por instituições financeiras.
Qual a principal característica dessa operação denominada de leasing? É o 
fato de o arrendatário, decorrido o prazo contratual, poder adquirir o bem 
pelo seu valor residual. Não havendo interesse na aquisição imediata, ou 
o bem é devolvido ao arrendador, ou o bem é novamente arrendado por 
um novo prazo.
Temos, também, o leasing operacional, quando a locação envolve bens mó-
veis como computadores, que estão sujeitos a grande obsolescência tecno-
lógica. Nesse caso, é comum que o contrato seja realizado por um período 
curto. Normalmente, no Brasil, é feito pelos próprios fabricantes dos bens.
O valor residual não precisa ser pago ao final do contrato, podendo ser 
amortizado ao longo de sua vigência. Pode, ainda, ser dado no início da 
operação, como entrada.
Quais as vantagens para o arrendador?
A principal vantagem é um abatimento no imposto de renda a pagar, me-
diante o lançamento dos aluguéis pagos como despesas. É, também, uma 
forma de obter rápidos rendimentos a partir dos bens que estariam “na 
Conteúdos do capítulo
• Definição de leasing.
• Leasing financeiro e leasing operacional.
• Conceituação de debêntures.
• Cálculo de debêntures.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. definir leasing;
2. calcular operação de leasing.
3. definir debêntures.
4. realizar cálculos envolvendo debêntures.
151
O
peração de arredondam
ento m
ercantil - leasing e D
ebêntures
prateleira” e sujeitos à depreciação pelo desuso.
E quais as vantagens para o arrendatário?
A grande vantagem é a empresa não necessitar fazer um grande desembolso 
no momento da aquisição dos bens. Consequentemente, há a manutenção 
do capital de giro da empresa para aplicação no processo produtivo.
Observe que o leasing está sujeito ao ISS.
Vamos tornar isso prático, através de um exemplo. Vamos considerar um 
contrato de leasing para a aquisição de um computador no valor de R$ 
5.000,00. O contrato é feito por um prazo de dois anos, com prestações 
mensais e iguais, com a primeira vencendo ao final do primeiro mês do 
contrato. Agora vamos verificar o valor das prestações, considerando uma 
taxa de arrendamento igual a 3,2% ao mês e supondo que o valor residual 
do computador, após o contrato, é de 30% do valor atual.
Temos então:
C = 5.000,00
M = 1.500,00 (30% de 5.000,00)
n = 24 meses
i = 3,2% ao mês
Como há um valor a ser pago ao final do contrato, caso o arrendatário 
queira adquirir o computador, o valor efetivamente financiado não é de 
R$ 5.000,00. Então, que valor é esse?
O valor financiado é igual aos R$ 5.000,00, menos o valor residual trazido 
para a data zero, ou seja, o momento em que se efetuou a operação de 
leasing.
M = C . (1 + i)n
1.500,00 = C . (1 + 0,032)24
C = 704,33
O valor efetivamente financiado foi então:
5.000,00 – 704,33 = 4.295,67 
152
C
apítulo 11
Agora, podemos calcular as prestações:
 
p = 259,14
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1500 CHS FV
24 n
3.2 i
PV 
ENTER
5000 − 
Obtivemos o valor de R$ 4.295,67.
PV
0 FV
PMT 
Obtivemos o valor das prestações (mensalidades) igual a R$ 259,14.
Exercício Resolvido
Uma máquina foi adquirida por uma empresa por meio do sistema leasing, 
sendo que,após 36 meses de contrato, não houve valor residual. Saben-
do que o preço da máquina no momento da operação contratual era de 
R$ 360.782,15 e que as mensalidades foram de R$ 14.154,51, com a primei-
ra paga um mês após a assinatura do contrato, vamos verificar a taxa de 
arrendamento utilizada.
Resolvendo pela HP-12C, temos que:
f REG
f 4
153
O
peração de arredondam
ento m
ercantil - leasing e D
ebêntures
14154.51 CHS PMT
360782.15 PV
36 n
i
A taxa de arrendamento obtida foi de 2% ao mês.
Atualmente, o leasing está sendo disponibilizado, inclusive no segmento 
imobiliário, com taxa de juro muito atraente. 
Como o arrendatário tem a opção de adquirir o bem depois de decorrido 
o prazo contratado, pelo valor residual, trata-se de uma operação interes-
sante para quem necessita adquirir a casa própria.
11.2 Debêntures
Debênture é um título de dívida amortizável, cujo nome tem origem no 
latim debere, que significa dever ou aquilo que deve ser pago. Como o pró-
prio nome indica, a debênture é, portanto, um título comprobatório de 
dívida de quem a emitiu. A expressão inglesa debenture é geralmente mais 
empregada no país do que a sua correspondente francesa obligation, tam-
bém adotada na legislação brasileira (Iudícibus, 2000).
Debênture é um valor mobiliário emitido pelas sociedades anônimas, re-
presentativo de uma fração de um empréstimo. Cada debênture oferece 
ao debenturista idênticos direitos de crédito contra a Sociedade Emissora, 
direitos esses estabelecidos na Escritura de Emissão.
De acordo com Bulgarelli citado por Melo (2002), “debêntures são títulos 
de crédito causais, representativos de frações de mútuo, com privilégio 
geral sobre os bens sociais ou garantia real sobre determinados bens, emi-
tidos por sociedades anônimas, no mercado de capitais”.
A finalidade desse tipo de financiamento é a de satisfazer, de maneira mais 
econômica, as necessidades financeiras das sociedades por ações, evitando, 
com isso, os contratempos das constantes e caras operações de curto prazo. 
Como são emitidas sempre em bloco, são conhecidas como título de massa.
Dessa forma, as sociedades por ações têm, à sua disposição, as facilidades 
necessárias para a captação de recursos do público, a prazos longos e juro 
mais baixo, com ou sem atualização monetária, e resgates a prazo fixo ou 
mediante sorteio, conforme suas necessidades, para melhor adequar o seu 
fluxo de caixa.
154
C
apítulo 11
Assim, uma vez identificada a necessidade de captação de recursos finan-
ceiros de terceiros, para a concretização de investimentos ou para o cumpri-
mento de obrigações assumidas anteriormente, a administração da empresa 
levará à Assembleia-Geral ou ao Conselho de Administração, conforme o 
caso, proposta para que seja contraído empréstimo, normalmente a longo 
prazo, mediante a emissão de debêntures.
Já para Vigna (2004), a debênture é um título de dívida emitido apenas por 
sociedades anônimas. É muito utilizada para tomar empréstimos de longo 
prazo junto ao público investidor, pois seu custo financeiro é mais baixo que 
o juro normalmente cobrado em empréstimos bancários. Além disso, tam-
bém pode ser utilizada em captações para auxiliar o capital de giro da so-
ciedade.
As primeiras menções feitas sobre debêntures, no Brasil, ocorrem, na Lei n.º 
3.150, de 04 de novembro de 1882, regulamentada pelo Decreto no 8.821, de 
30 de dezembro de 1882, em que aparece a expressão debênture ou obriga-
ções ao portador.
Carneiro (2004) caracteriza as debêntures como títulos de créditos emitidos, 
usualmente, pelas companhias abertas, porém tal faculdade é também con-
cedida às sociedades anônimas cujo sistema de capital fora o fechado.
Segundo o autor (2004), as debêntures podem ser tanto nominativas quanto 
es cri turais. As primeiras são títulos em cujos certificados (documento físico) 
consta o nome do titular, sendo sua transferência registrada em livro pró-
prio, mantido pela companhia emissora. A sua transferência é efetuada so-
mente por endosso em preto, substituindo-se posteriormente o certificado. 
Não há mais debêntures ao portador, que foram oficialmente extintas, assim 
como também não há ações ao portador, também revo gadas pela legislação 
vigente. As escriturais são títulos que estão em nome de seus titulares, tal 
como ocorre nas debêntures nominativas, mas que não possuem certificados 
(documento físico), sendo mantidas em conta de depósito em instituição 
finan ceira depo sitária designada pela emissora. É a forma mais utilizada.
As debêntures podem ser simples, ou seja, que não podem ser convertidas 
em ação, ou conversíveis, aquelas que, além de serem resgatáveis em moe da, 
podem ser convertidas em ações de emissão da empresa, nas condições esta-
belecidas pela escritura de emissão. Podem, ainda, ser permutáveis, aquelas 
que podem ser transformadas em ações de emissão de outra companhia 
que não a emissora dos papéis, ou ainda, apesar de raro, transformadas em 
outros tipos de bens, tais como títulos de crédito.
155
O
peração de arredondam
ento m
ercantil - leasing e D
ebêntures
As debêntures podem ser também classificadas segundo suas espécies:
a) com garantia real – aquelas garantidas por bens (móveis ou imóveis) dados 
em hipoteca, penhor ou anticrese (contrato pelo qual o devedor entrega ao 
credor um imóvel como garantia), pela companhia emissora, por empresas 
de seu conglomerado ou por terceiros;
b) com garantia flutuante – aquelas com privilégio geral sobre o ativo da em-
presa, o que não impede, entretanto, a negociação dos bens que compõem 
esse ativo;
c) quirografárias ou sem preferência – não possuem as vantagens dos tipos 
anteriores; assim, os debenturistas, em caso de falência, equiparam-se aos 
demais credores quirografários não privilegiados da empresa. O valor de 
emissão de uma debênture quirográfica não pode ultrapassar o valor do 
capital social da companhia emissora;
d) subordinadas – aquelas sem garantia, que preferem apenas os acionistas 
no ativo remanescente, em caso de liquidação da companhia; não possuem 
limite para a emissão.
Finalmente, as debêntures ainda podem ser por prazo determinado ou 
mesmo por prazo indeterminado, conforme estiver disposto na escritura.
Conforme Figueiredo e Rioli (1973), as debêntures podem ser não garanti-
das, com garantia ou permutáveis.
11.2.1 Debêntures não garantidas
São emitidas sem a caução de qualquer tipo específico de colateral, ou seja, 
sem garantia ou privilégio. Portanto, representam uma reivindicação sobre os 
lucros da empresa, não sobre seus ativos. Há três tipos básicos de debêntures 
não garantidas: debêntures, debêntures subordinadas e debêntures de lucros.
Debêntures
Essas têm uma reivindicação sobre quaisquer ativos da empresa que resta-
rem após terem sido satisfeitas as reivindicações de todos os credores com 
garantia. O contrato sob o qual uma debênture é emitida poderá conter 
restrições a respeito da emissão de debêntures futuras ou empréstimo com 
garantia. Já que o possuidor da debênture é apenas um credor geral, essas 
cláusulas poderão ser bastante importantes. Apenas as empresas de grande 
credibilidade podem emitir debêntures. As debêntures conversíveis geral-
mente são desse tipo.
156
C
apítulo 11
Debêntures subordinadas
São aquelas que estão especificamente subordinadas a outros tipos de dí-
vida, embora os possuidores de dívida subordinada se alinhem abaixo de 
todos os outros credores a longo prazo. Quanto à liquidação e ao pagamento 
de juro, suas reivindicações precisam ser satisfeitas antes das de acionis-
tas comuns e preferenciais. Algumas pessoas consideram as debêntures 
subordinadas como um tipo de capital próprio. O risco mais elevado das 
debêntures subordinadas geralmente as torna um método mais dispendioso 
de financiamento para a emitente. Se as debêntures subordinadas forem 
conversíveis, elas poderão ter uma taxa de retorno inferior às das debên-
tures. A existência de debêntures subordinadas é benéficaaos possuidores 
de debêntures regulares (prioritárias) no caso de liquidação.
Debêntures de lucros
Uma debênture de lucros exige o pagamento de juro somente quando 
existirem lucros disponíveis para efetuar o pagamento. Geralmente, essas 
debêntures são emitidas durante a reorganização de uma empresa falida 
ou prestes a falir. O juro não pago é acumulado e deve ser pago antes de 
qualquer distribuição de fundos a acionistas comuns. A taxa de juro esti-
pulada é geralmente bem elevada.
11.2.2 Debêntures com garantia
Há uma variedade de debêntures com garantia para levantar fundos a longo 
prazo. Os tipos básicos são: debêntures com hipotecas, debêntures garanti-
das por colateral e certificados de garantia de equipamentos. Debêntures 
com garantia, tal qual empréstimos a curto prazo com garantia, têm ativos 
específicos como colateral. Se a emitente deixa de observar quaisquer cláu-
sulas do contrato de debêntures com garantia, o agente fiduciário poderá 
liquidar o colateral para satisfazer às reivindicações do possuidor de debên-
tures. Se a reivindicação total do possuidor de debêntures não for satisfeita 
por meio da liquidação, ele se torna um credor geral.
Debêntures com hipotecas
É uma debênture garantida com um vínculo sobre propriedade real ou 
edificações. Normalmente, o valor de mercado do colateral é maior do que 
o montante da emissão da debênture. Algumas debêntures com hipotecas 
são garantidas por hipotecas gerais, de forma que todos os ativos da em-
presa atuem como colateral.
157
O
peração de arredondam
ento m
ercantil - leasing e D
ebêntures
Debêntures garantidas por colateral
Se o título possuído por um agente fiduciário consistir de ações e/ou de-
bêntures de outras companhias, as debêntures garantidas, emitidas contra 
esse colateral, são chamadas de debêntures garantidas por colateral. Já que 
os ativos de companhias holding consistem de ações e debêntures de suas 
subsidiárias, essas companhias são as emitentes básicas de debêntures ga-
rantidas por colateral. Muitas dessas debêntures possibilitam a substitui-
ção de ativos permanentes, contanto que seja mantido um prêmio colateral 
predefinido sobre o montante emprestado. O valor do colateral geralmente 
precisa ser de 25% a 35% superior ao valor das debêntures.
Certificados de garantia de equipamentos
Os certificados de garantia, originariamente de equipamentos, foram usa-
dos basicamente pelas companhias ferroviárias, para financiar a compra 
desses equipamentos. Hoje, são geralmente usados por empresas aéreas, 
de navegação e de frotas de caminhões, para financiar seu principal bem: 
aviões, caminhões ou barcos. A fim de obter o equipamento, um pagamen-
to inicial, geralmente entre 20% e 25%, é feito pela empresa (tomador) ao 
agente fiduciário, que é normalmente um banco. 
11.2.3 Debêntures permutáveis
São debêntures que podem ser transformadas em ações de emissão de ou-
tra companhia que não a emissora dos papéis, ou ainda, apesar de raro, em 
outros tipos de bens, tais como títulos de crédito.
Exercício Resolvido
1. Uma pessoa física adquiriu 2.000 debêntures ao valor unitário de 
R$ 1.000,00. O juro é pago mensalmente à taxa de 1,2% ao mês. Vamos 
erificar o valor dos juros líquido e bruto, sabendo que o imposto de 
renda é de 27,5% e que o prazo de vencimento das debêntures é de 24 
meses. Devemos também indicar o valor do montante, considerando 
que o juro líquido será reaplicado a 1% ao mês. Para a reaplicação, 
desconsidaremos o imposto de renda.
Foram adquiridas 2.000 debêntures a R$ 1.000,00 cada. Logo, o investimento 
foi de R$ 2.000.000,00.
Então, o juro recebido (bruto) é igual a:
2.000.000,00 . 0,012 = 24.000,00 ao mês.
158
C
apítulo 11
Sobre esse valor incidirá 27,5% de imposto de renda. O juro líquido será de:
24.000,00 – (24.000,00 . 0,275) = 17.400,00
O valor líquido mensal de R$ 17.400,00 será reaplicado a 1% ao mês, resul-
tando, ao final de 24 meses, no montante:
M = 17.400,00 . 26,9734649
M = 469.338,29
Ao final dos dois anos, o investidor terá R$ 2.000.000,00 + R$ 469.338,29.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2000 ENTER
1000 x
1.2 %
27.5 % –
CHS PMT
1 i
24 n
FV
Obtivemos R$ 469.338,29.
Ao resgatar os R$ 2.000.000,00 investidos, o investidor terá R$ 2.469.338,29.
2. Uma pessoa física adquiriu 800 debêntures ao valor unitário de R$ 
1.500,00. O juro é pago trimestralmente à taxa de 4,2% ao mês. Quere-
mos determinar qual o valor dos juros líquido e bruto, sabendo que 
o imposto de renda é de 27,5% e que o prazo de vencimento das de-
bêntures é de 30 meses. Queremos indicar também qual o valor do 
montante, considerando que o juro líquido será reaplicado a 3,3% ao 
trimestre. Para a reaplicação, desconsidaremos o imposto de renda.
159
O
peração de arredondam
ento m
ercantil - leasing e D
ebêntures
Foram adquiridas 800 debêntures a R$ 1.500,00 cada. Logo, o investimento 
foi de R$ 1.200.000,00.
Então, o juro recebido (bruto), a cada três meses, é igual a:
1.200.000,00 . 0,042 = 50.400,00 ao trimestre.
Sobre esse valor incidirá 27,5% de imposto de renda. O juro líquido será de:
50.400,00 – (50.400,00 . 0,275) = 36.540,00
Esse valor líquido mensal de R$ 36.540,00 será reaplicado a 3,3% ao trimestre, 
resultando, ao final de 30 meses (10 trimestres), no montante:
M = 36.540,00 . 11,623534
M = 424.723,93
Ao final dos trinta meses, o investidor terá R$ 1.200.000,00 + R$ 424.723,93. 
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
800 ENTER
1500 x
4.2 %
27.5 % –
CHS PMT
3.3 i
10 n
FV
Obtivemos R$ 424.723,93.
Ao resgatar os R$ 1.200.000,00 investidos, o investidor terá R$ 1.624.723,93.
160
C
apítulo 11
3. Neste caso, vamos considerar que uma pessoa física adquiriu 5.000 de-
bêntures ao valor unitário de R$ 500,00. O juro é pago mensalmente à 
taxa de 1,5% ao mês. Vamos determinar o valor dos juros líquido e bru-
to, sabendo que o imposto de renda é de 27,5% e que o prazo de venci-
mento das debêntures é de 18 meses. Também indicaremos o valor do 
montante, considerando que o juro líquido será reaplicado a 1,2% ao 
mês. Para a reaplicação, desconsideraremos o imposto de renda.
Foram adquiridas 5.000 debêntures a R$ 500,00 cada. Logo, o investimento 
foi de R$ 2.500.000,00.
Então, o juro recebido (bruto) é igual a:
2.500.000,00 . 0,015 = 37.500,00 ao mês.
Sobre esse valor incidirá 27,5% de imposto de renda. O juro líquido será de:
37.500,00 – (37.500,00 . 0,275) = 27.187,50
Esse valor líquido mensal de R$ 27.187,50 será reaplicado a 1,2% ao mês, 
resultando, ao final de 18 meses, no montante:
M = 27.187,50 . 19,95897408
M = 542.634,61
Ao final dos dezoito meses, o investidor terá R$ 2.500.000,00 + R$ 542.634,61.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 ENTER
500 x
1.5 %
27.5 % –
CHS PMT
1.2 i
18 n
161
O
peração de arredondam
ento m
ercantil - leasing e D
ebêntures
FV
Obtivemos R$ 542.634,61.
Ao resgatar os R$ 2.500.000,00 investidos, o investidor terá R$ 3.042.634,61.
1. É feito um contrato de leasing para a compra de um helicóptero, no prazo 
de 36 meses. O valor do bem é de R$ 1.000.000,00 e o valor residual é de 
R$ 100.000,00. Determine o valor das prestações mensais, sabendo que a 
primeira vence um mês após o contrato e que a taxa de arrendamento é de 
0,99% ao mês.
2. Uma máquina foi adquirida por uma empresa através do sistema leasing, 
sendo que, após 30 meses de contrato, não houve valor residual. Sabendo que 
o preço da máquina no momento da operação contratual era de R$ 245.000,00 
e que as mensalidades foram de R$ 10.566,79, com a primeira paga um mês 
após a assinatura do contrato, identifique a taxa de arrendamento utilizada.
3. É feito um contrato de leasing para a compra de um computador, no prazo 
de 24 meses. O valor do bem é de R$ 4.800,00 e o valor residual é de R$ 480,00. 
Determine o valor das prestações mensais, sabendo que a primeira vence um 
mês após o contrato e que a taxa dearrendamento é de 0,8945% ao mês.
4. Uma pessoa física adquiriu 2.500 debêntures ao valor unitário de 
R$ 1.400,00. O juro é pago mensalmente à taxa de 1,25% ao mês. Sabendo 
que o imposto de renda é de 27,5% e que o prazo de vencimento das de-
bêntures é de 20 meses, determine o valor do montante após o resgate do 
capital investido, considerando que o juro líquido será reaplicado a 0,95% 
ao mês. Para a reaplicação, desconsidere o imposto de renda.
Síntese
Entre as operações financeiras, o leasing constitui-se em um processo de 
arrendamento que traz vantagens para o arrendador e para o arrendatário.
As debêntures se constituem em títulos de créditos. Na sua diversidade 
operacional, encontramos debêntures não garantidas (debêntures, debên-
tures subordinadas, debêntures de lucros) e as com garantias (debêntures 
com hipotecas, debêntures garantidas por colateral, certificados de garan-
tia de equipamentos), além das debêntures permutáveis.
162
C
apítulo 11
5. Uma pessoa física adquiriu 1.000 debêntures ao valor unitário de 
R$ 400,00. O juro é pago mensalmente à taxa de 1,6% ao mês. Sabendo-
se que o imposto de renda é de 27,5% e que o prazo de vencimento das 
debên tures é de 36 meses, calcule o valor do montante após o resgate do 
capital investido, considerando que o juro líquido será reaplicado a 1,25% 
ao mês. Para a reaplicação, desconsidere o imposto de renda.
Amortizações
ca
pí
tu
lo
164
C
apítulo 12
Ao tomarmos um capital emprestado ou ao fazermos um financiamento, 
poderemos devolver esse capital ou o valor do financiamento em parcelas 
ou em um pagamento único. Nos dois casos, amortizar significa devolver 
o capital que se tomou emprestado.
No Brasil, temos mais de uma forma de realizar essa amortização. Temos, 
assim, os chamados sistemas de amortização. Vamos, a seguir, estudar os 
principais desses sistemas.
12.1 Amortizações sem correção monetária
No caso de não haver correção monetária, supomos que a inflação do período 
será estimada e embutida na taxa de juro a ser cobrada.
Não se esqueça:
Amortizar é devolver o capital que se tomou emprestado.
É necessário que saibamos que o juro (J) é calculado sempre sobre o saldo 
devedor (sd), pelo critério de capitalização composta.
As prestações (p) serão, sempre, a soma de duas parcelas: a parcela corres-
pondente à amortização (a) e a parcela correspondente ao juro (J) cobrado, 
além de outros possíveis encargos financeiros.
Quando vence a primeira prestação? 
Isso depende de acerto entre as partes envolvidas. A primeira prestação 
pode vencer exatamente um período após a assinatura do contrato ou 
Conteúdos do capítulo
• Definição e características dos sistemas de amortização.
• Cálculos de amortizações sem correção monetária.
• O sistema americano de amortização.
• O sistema francês de amortização.
• O sistema de amortização constante.
• O sistema de amortização misto.
• Cálculos de amortizações com correção monetária.
• O sistema de amortização crescente.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. escolher uma forma de amortização para devolver o 
capital emprestado;
2. calcular os juros e encargos financeiros nos diversos sistemas 
de amortização.
165
A
m
ortizações
pode haver uma carência. Durante a carência, se houver, o tomador do 
empréstimo poderá pagar o juro ou ele será acrescido ao capital para pos-
terior pagamento.
Observe que, após o pagamento de qualquer prestação, o saldo devedor 
deverá ser recalculado, abatendo-se do saldo anterior somente a parcela 
de amortização.
12.1.1 Amortização pelo sistema americano (SAA) sem pagamento 
periódico de juro
O sistema americano de amortização é, sem dúvida, o mais simples dos 
sistemas de amortização, pois consiste em devolver o capital emprestado 
em um pagamento único, ao final do prazo contratado. Nesse sistema, é 
comum conceder-se carência do tomador do empréstimo, prazo durante o 
qual estará sendo cobrado juro sobre juro.
Essa modalidade de pagamento é utilizada em várias situações, como em 
papéis de renda fixa com renda paga no final, cabendo destacar as letras 
de câmbio e os certificados de depósitos com renda final.
Assim, se uma pessoa física tomou emprestada a quantia de R$ 6.000,00 a 
ser devolvida em um pagamento único após cinco meses, e ficou acertado 
que o juro seria cobrado somente após os cinco meses, determine o valor do 
montante, sabendo que a taxa de juro composto utilizada na operação foi de 
2% ao mês, com capitalização mensal, da seguinte maneira:
M = C . (1 + i)n
M = 6.000,00 . (1 + 0,02)5
M = 6.624,48
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
6000 CHS PV
2 i
5 n
FV
Como você pôde observar, trata-se de um problema simples de capitaliza-
ção composta com pagamento único.
166
C
apítulo 12
Exercício Resolvido
Uma pessoa jurídica contraiu um empréstimo de R$ 50.000,00 no sistema 
financeiro, a ser quitado em um pagamento único quatro meses após, e fi-
cou acertado que o juro seria cobrado somente após os quatro meses. Como 
determinar o valor do montante, sabendo que a taxa de juro composto uti-
lizada na operação foi de 2,4% ao mês, com capitalização mensal?
M = C . (1 + i)n
M = 50.000,00 . (1 + 0,024)4
M = 54.975,58
Pela calculadora HP-12C: 
f REG
f 2
50000 CHS PV
2.4 i
4 n
FV
12.1.2 Amortização pelo sistema americano (SAA) com pagamento 
perió dico de juro
O mais comum, na prática, é a cobrança de juro durante o período de ca-
rência. Por exemplo, quando se penhora uma joia na Caixa Econômica Fe-
deral ou quando se paga o juro da dívida externa brasileira.
Esse é o caso de um empréstimo de R$ 20.000,00 feito pelo sistema pelo 
sistema americano no qual ficou acertado que, durante o prazo de carência, 
seria cobrado juro composto a uma taxa de 3% ao mês. Vamos estabelecer 
como foi efetuado esse pagamento, supondo que a amortização do capital 
emprestado ocorreu oito meses após o empréstimo.
Durante os sete primeiros meses, foi pago somente o juro no valor de:
J = 3% de 20.000,00
J = 0,03 . 20.000,00
J = 600,00 mensais
Então, no oitavo mês, será pago o valor de R$ 20.600,00, sendo R$ 600,00 de 
juro e R$ 20.000,00 de devolução do capital emprestado.
167
A
m
ortizações
12.1.3 Sistema francês de amortização (SFA) 
O sistema francês de amortização, muito utilizado no setor financeiro 
e de capitais, é também conhecido como sistema price. Nesse sistema, é 
adotado o critério de rendas imediatas, ou seja, a amortização ocorre em 
parcelas periódicas, iguais e sucessivas, com o primeiro pagamento ao fim 
do primeiro período contratado. Trata-se do sistema mais adotado pelas 
instituições financeiras e pelas construtoras no financiamento imobiliário.
Devemos lembrar que, como determina a Lei 8.078/90 (Código de Defesa 
do Consumidor), a forma de aplicação de juro deve ser definida no contrato 
entre as partes.
À medida que as parcelas são pagas, o saldo devedor vai diminuindo. Como 
o juro é calculado sempre sobre o saldo devedor, ele também irá diminuir ao 
longo do contrato. Logo, os valores correspondentes à amortização (devolu-
ção do capital emprestado) irão aumentar ao longo do tempo, uma vez que 
as parcelas são fixas (periódicas, iguais e sucessivas).
Lembre que, sendo as parcelas periódicas, o intervalo entre elas depende 
do que ficou acertado entre as partes envolvidas.
Como determinar o valor dessas parcelas? Para tal, utilizamos a fórmula 
do modelo básico de renda, estudada no capítulo 8.3.
Como dito anteriormente, as parcelas p são constituídas de duas partes: o 
juro (calculado sobre o saldo devedor) e a amortização. Então:
 p = a + J
em que J = i . sd
No SFA, se considerarmos que um apartamento no valor de R$ 100.000,00 
foi financiado pelo sistema francês de amortização, sem correção monetá-
ria, nas condições a seguir:
• entrada de R$ 10.000,00;
• dez parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira um 
mês após a assinatura do contrato;
• taxade juro composto de 1,8% ao mês.
168
C
apítulo 12
Com base nesses dados, podemos preencher uma planilha demonstrando, 
ao longo do tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo 
devedor. Para o cálculo das parcelas, utilizaremos a fórmula:
p = 9.914,83
Portanto, teremos dez parcelas iguais a R$ 9.914,83.
No momento do pagamento da primeira parcela, o saldo devedor era de 
R$ 90.000,00, uma vez que haviam sido dados R$ 10.000,00 de entrada e tendo 
em vista que não há correção monetária. Nessa primeira parcela, o juro é:
J = i . sd
J = 0,018 . 90.000,00
J = 1.620,00
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 1.620,00
a = 8.294,83
Então, o novo saldo devedor será 90.000,00 – 8.294,83 = 81.705,17, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da segunda parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 81.705,17
J = 1.470,69
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 1.470,69
a = 8.444,14
Então, o novo saldo devedor será 81.705,17 – 8.444,14 = 73.261,03, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da terceira parcela. Assim, temos:
J = i . sd
169
A
m
ortizações
J = 0,018 . 73.261,03
J = 1.318,70
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 1.318,70
a = 8.596,13
Então, o novo saldo devedor será 73.261,03 – 8.596,13 = 64.664,90, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da quarta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 64.664,90
J = 1.163,97
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 1.163,97
a = 8.750,86
Então, o novo saldo devedor será 64.664,90 – 8.750,86 = 55.914,04, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da quinta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 55.914,04
J = 1.006,45
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 1.006,45
a = 8.908,38
Então, o novo saldo devedor será 55.914,04 – 8.908,38 = 47.005,66, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da sexta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 47.005,66
J = 846,10
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 846,10
a = 9.068,73
170
C
apítulo 12
Então, o novo saldo devedor será 47.005,66 – 9.068,73 = 37.936,93, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da sétima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 37.936,93
J = 682,86
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 682,86
a = 9.231,97
Então, o novo saldo devedor será 37.936,93 – 9.231,97 = 28.704,96, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da oitava parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 28.704,96
J = 516,69
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 516,69
a = 9.398,14
Então, o novo saldo devedor será 28.704,96 – 9.398,14 = 19.306,82, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da nona parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 19.306,82
J = 347,52
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 347,52
a = 9.567,31
Então, o novo saldo devedor será 19.306,82 – 9.567,31 = 9.739,51, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da décima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 9.739,51
J = 175,31
171
A
m
ortizações
Como p = a + J ,
a = 9.914,83 – 175,31
a = 9.739,52 (sobrou 0,01)
Agora, é só somar as dez parcelas e conferir se o capital foi totalmente 
amortizado.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
100000 ENTER
10000 – CHS PV
1.8 i
10 n
PMT (9.914,83)
1 f AMORT (juro na primeira parcela = 1.620,00)
x y (amortização na primeira parcela = 8.294,83)
RCL PV (novo saldo devedor = 81.705,17)
1 f AMORT (juro na segunda parcela = 1.470,69)
x y (amortização na segunda parcela = 8.444,14)
RCL PV (novo saldo devedor = 73.261,03)
1 f AMORT (juro na terceira parcela = 1.318,70)
x y (amortização na terceira parcela = 8.596,13)
RCL PV (novo saldo devedor = 64.664,90)
1 f AMORT (juro na quarta parcela = 1.163,97)
x y (amortização na quarta parcela = 8.750,86)
RCL PV (novo saldo devedor = 55.914,04)
1 f AMORT (juro na quinta parcela = 1.006,45)
x y (amortização na quinta parcela = 8.908,38)
RCL PV (novo saldo devedor = 47.005,66)
><
><
><
><
><
172
C
apítulo 12
1 f AMORT (juro na sexta parcela = 846,10)
x y (amortização na sexta parcela = 9.068,73)
RCL PV (novo saldo devedor = 37.936,93)
1 f AMORT (juro na sétima parcela = 682,86)
x y (amortização na sétima parcela = 9.231,97)
RCL PV (novo saldo devedor = 28.704,96)
1 f AMORT (juro na oitava parcela = 516,69)
x y (amortização na oitava parcela = 9.398,14)
RCL PV (novo saldo devedor = 19.306,82)
1 f AMORT (juro na nona parcela = 347,52)
x y (amortização na nona parcela = 9.567,31)
RCL PV (novo saldo devedor = 9.739,51)
1 f AMORT (juro na décima parcela = 175,31)
x y (amortização na décima parcela = 9.739,51)
RCL PV (novo saldo devedor = 0,00)
Vamos, então, visualizar a planilha correspondente a esse exemplo.
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo 
devedor
0 – – – 90.000,00
1 9.914,83 8.294,83 1.620,00 81.705,17
2 9.914,83 8.444,14 1.470,69 73.261,03
3 9.914,83 8.596,13 1.318,70 64.664,90
4 9.914,83 8.750,86 1.163,97 55.914,04
5 9.914,83 8.908,38 1.006,45 47.005,66
6 9.914,83 9.068,73 846,10 37.936,93
7 9.914,83 9.231,97 682,86 28.704,96
8 9.914,83 9.398,14 516,69 19.306,82
9 9.914,83 9.567,31 347,52 9.739,51
10 9.914,83 9.739,52 175,31 (0,01)
– Σ = 90.000,00
><
><
><
><
><
173
A
m
ortizações
Exercício Resolvido
Um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 foi feito pelo sistema price, sem 
correção monetária, nas seguintes condições:
• carência de quatro meses;
• quatro parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 
um mês após a carência;
• taxa de juro composto de 30% ao ano;
• o juro será incorporado ao capital durante o período de carência, mas 
não será pago durante esse período.
Com base nesses dados, preencheremos uma planilha demonstrando, ao 
longo do tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo de-
vedor.
Antes do cálculo das parcelas, é necessário verificar:
• o valor da taxa de juro mensal;
• o valor da dívida após o período de carência.
Para o cálculo da taxa de juro equivalente, utilizamos a fórmula:
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,30)1/12 – 1 
iq = 0,022104451 ao mês, ou seja, 2,2104451% ao mês.
Para o cálculo da dívida ao final da carência, utilizamos a fórmula:
M = C . (1 + i)n
M = 50.000,00 . (1 + 0,022104451)4
M = 54.569,64
Para o cálculo das parcelas, utilizamos a fórmula:
p = 14.404,55
174
C
apítulo 12
Portanto, teremos quatro parcelas iguais a R$ 14.404,55.
No momento do pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é de 
R$ 54.569,64, tendo em vista que não há correção monetária. Nessa primeira 
parcela, o juro é:
J = i . sd
J = 0,022104451 . 54.569,64
J = 1.206,23
Como p = a + J ,
a = 14.404,55 – 1.206,23
a = 13.198,32
Então, o novo saldo devedor será 54.569,64 – 13.198,32 = 41.371,32, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da segunda parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,022104451 . 41.371,32
J = 914,49
Como p = a + J ,
a = 14.404,55 – 914,49
a = 13.490,06
Então, o novo saldo devedor será 41.371,32 – 13.490,06 = 27.881,26, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da terceira parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,022104451 . 27.881,26
J = 616,30
Como p = a + J ,
a = 14.404,55 – 616,30
a = 13.788,25
Então, o novo saldo devedor será 27.881,26 – 13.788,25 = 14.093,01, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da quarta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
175
A
m
ortizações
J = 0,022104451 . 14.093,01
J = 311,52
Como p = a + J ,
a = 14.404,55 – 311,52
a = 14.093,03 (sobrou 0,02)
Agorasomamos as quatro parcelas e conferimos se o capital foi totalmente 
amortizado.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
STO EEX
100 CHS PV
130 FV
12 n
i (2,2104451% ao mês)
50000 CHS PV
4 n
2.2104451 i
FV (54.569,64)
54569.64 CHS PV
2.2104451 i
4 n
0 FV
PMT (14.404,55)
1 f AMORT (juro na primeira parcela = 1.206,23)
x y (amortização na primeira parcela = 13.198,32)
RCL PV (novo saldo devedor = 41.371,32)
1 f AMORT (juro na segunda parcela = 914,49)
x y (amortização na segunda parcela = 13.490,06)
><
><
176
C
apítulo 12
RCL PV (novo saldo devedor = 27.881,26)
1 f AMORT (juro na terceira parcela = 616,30)
x y (amortização na terceira parcela = 13.788,25)
RCL PV (novo saldo devedor = 14.093,03)
1 f AMORT (juro na quarta parcela = 311,52)
x y (amortização na quarta parcela = 14.093,03)
RCL PV (novo saldo devedor = 0,00)
Vamos, então, visualizar a planilha correspondente a este exercício.
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo 
devedor
0 – – – 50.000,00
1 – – – 51.105,22
2 – – – 52.234,87
3 – – – 53.389,49
4 – – – 54.569,64
5 14.404,55 13.198,32 1.206,23 41.371,32
6 14.404,55 13.490,06 94,49 27.881,26
7 14.404,55 13.788,25 616,30 14.093,01
8 14.404,55 14.093,03 311,52 (0,02)
– Σ = 54.569,64 
12.1.4 Sistema de amortização constante (SAC) 
Como o próprio nome diz, esse sistema tem as parcelas de amortização 
constantes durante todo o período de pagamento da dívida. Para calculá-la, 
portanto, basta dividir o capital pelo número de parcelas de amortização. 
Temos então que:
Continua válida a expressão:
 p = a + J 
O juro é calculado sempre sobre o saldo devedor. Logo:
 J = i . sd
><
><
177
A
m
ortizações
Observe que, no sistema de amortização constante, as prestações dimi-
nuem ao longo do período contratado, uma vez que, sendo a parcela de 
amortização constante e sendo o juro calculado sobre o saldo devedor, a 
cada parcela paga, o saldo devedor diminui, diminuindo, assim, o juro da 
parcela seguinte.
Esse sistema de amortização tem grande utilização em financiamentos 
imobiliários.
Vamos, portanto, aplicá-lo no caso de um apartamento no valor de 
R$ 100.000,00 que foi financiado pelo sistema de amortização constante, 
sem correção monetária, e cujas condições foram:
• entrada de R$ 10.000,00;
• dez parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assinatura 
do contrato;
• taxa de juro composto de 1,8% ao mês.
Com base nesses dados, preencheremos uma planilha demonstrando, ao 
longo do tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo de-
vedor.
Como foi dada uma entrada de R$ 10.000,00, o valor a ser financiado é 
R$ 90.000,00. A parcela de amortização é então:
a = 9.000,00
Para determinar os valores das parcelas, é necessário determinar o va-
lor do juro a cada período. Assim, como no momento do pagamento da 
primeira parcela, quando o saldo devedor é de R$ 90.000,00, o juro corres-
pondente é:
J = i . sd
J = 0,018 . 90.000,00
J = 1.620,00
Como p = a + J ,
p = 9.000,00 + 1.620,00
178
C
apítulo 12
p = 10.620,00
Então, o novo saldo devedor será 90.000,00 – 9.000,00 = 81.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da segunda parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 81.000,00
J = 1.458,00
Como p = a + J ,
p = 9.000,00 + 1.458,00
p = 10.458,00
Então, o novo saldo devedor será 81.000,00 – 9.000,00 = 72.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da terceira parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 72.000,00
J = 1.296,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 1.296,00
p = 10.296,00
Então, o novo saldo devedor será 72.000,00 – 9.000,00 = 63.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da quarta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 63.000,00
J = 1.134,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 1.134,00
p = 10.134,00
Então, o novo saldo devedor será 63.000,00 – 9.000,00 = 54.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da quinta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
179
A
m
ortizações
J = 0,018 . 54.000,00
J = 972,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 972,00
p = 9.972,00
Então, o novo saldo devedor será 54.000,00 – 9.000,00 = 45.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da sexta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 45.000,00
J = 810,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 810,00
p = 9.810,00
Então, o novo saldo devedor será 45.000,00 – 9.000,00 = 36.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da sétima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 36.000,00
J = 648,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 648,00
p = 9.648,00
Então, o novo saldo devedor será 36.000,00 – 9.000,00 = 27.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da oitava parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 27.000,00
J = 486,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 486,00
p = 9.486,00
180
C
apítulo 12
Então, o novo saldo devedor será 27.000,00 – 9.000,00 = 18.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da nona parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 18.000,00
J = 324,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 324,00
p = 9.324,00
Então, o novo saldo devedor será 18.000,00 – 9.000,00 = 9.000,00, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da décima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 9.000,00
J = 162,00
Como p = a + J,
p = 9.000,00 + 162,00
p = 9.162,00
Vamos, então, visualizar a planilha correspondente a este exemplo, onde 
utilizamos o sistema de amortização constante.
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo 
devedor
0 – – – 90.000,00
1 10.620,00 9.000,00 1.620,00 81.000,00
2 10.458,00 9.000,00 1.458,00 72.000,00
3 10.296,00 9.000,00 1.296,00 63.000,00
4 10.134,00 9.000,00 1.134,00 54.000,00
5 9.972,00 9.000,00 972,00 45.000,00
6 9.810,00 9.000,00 810,00 36.000,00
7 9.648,00 9.000,00 648,00 27.000,00
8 9.486,00 9.000,00 486,00 18.000,00
9 9.324,00 9.000,00 324,00 9.000,00
10 9.162,00 9.000,00 162,00 0,00
Σ = 90.000,00 
181
A
m
ortizações
Exercício Resolvido
Um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 foi feito pelo sistema de amorti-
zação constante, sem correção monetária, nas seguintes condições:
• carência de quatro meses;
• quatro parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a carência;
• taxa de juro composto de 30% ao ano;
• o juro será incorporado ao capital durante o período de carência, mas 
não será pago durante esse período.
Com base nesses dados, preencha uma planilha demonstrando, ao longo do 
tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo devedor.
Antes do cálculo das parcelas, é necessário verificar:
• o valor da taxa de juro mensal;
• o valor da dívida após o período de carência.
Para o cálculo da taxa de juro equivalente, utilizamos a fórmula:
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,30)1/12 – 1 
iq = 0,022104451 ao mês, ou seja, 2,2104451% ao mês.
Para o cálculo da dívida ao final da carência, utilizamos a fórmula:
M = C . (1 + i)n
M = 50.000,00 . (1 + 0,022104451)4
M = 54.569,64
 a = 13.642,41
No momento do pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é de 
R$ 54.569,64, tendo em vista que não há correção monetária. Nessa primeira 
parcela, o juro é:
182
C
apítulo 12
J = i . sd
J = 0,022104451 . 54.569,64
J = 1.206,23
Como p = a + J,
p = 13.642,41 + 1.206,23
p = 14.848,64
Então, o novo saldo devedor será 54.569,64 – 13.642,41 = 40.927,23, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da segunda parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,022104451 . 40.927,23
J = 904,67
Como p = a + J,
p = 13.642,41 + 904,67
p = 14.547,08
Então, o novo saldo devedor será 40.927,23 – 13.642,41 = 27.284,82,e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da terceira parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,022104451 . 27.284,82
J = 603,12
Como p = a + J,
p = 13.642,41 + 603,12
p = 14.245,53
Então, o novo saldo devedor será 27.284,82 – 13.642,41 = 13.642,41, e é sobre 
esse valor que incidirá o juro da quarta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,022104451 . 13.642,41
J = 301,56
Como p = a + J,
p = 13.642,41 + 301,56
p = 13.943,97
183
A
m
ortizações
Vamos, então, visualizar a planilha correspondente a este cálculo de amor-
tização 
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo 
devedor
0 – – – 50.000,00
1 – – – 51.105,22
2 – – – 52.234,87
3 – – – 53.389,49
4 – – – 54.569,64
5 14.848,64 13.642,41 1.206,23 40.927,23
6 14.547,08 13.642,41 904,67 27.284,82
7 14.245,53 13.642,41 603,12 13.642,41
8 13.943,97 13.642,41 301,56 0,00
– Σ = 54.569,64 
12.1.5 Sistema de amortização misto (SAM)
Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 136),
esse sistema foi criado pelo extinto Banco Nacional da Habitação (BNH) 
em maio de 1979 e constitui-se num misto entre o sistema francês de 
amortização e o sistema de amortização constante, originando-se daí 
sua denominação. O SAM é um plano de pagamentos composto por 
prestações cujos valores são resultantes da média aritmética das presta-
ções no SFA e no SAC, correspondentes aos respectivos prazos. Os valo-
res das parcelas de amortização e dos juros resultam da mesma regra.
12.2 Amortizações com correção monetária
Nós estudamos, no capítulo 9, a correção monetária e alguns indicadores 
da economia brasileira. Naquela oportunidade, verificamos que a correção 
184
C
apítulo 12
monetária é a recuperação ou atualização do poder aquisitivo da moeda, 
conforme os índices oficiais informados pelo governo. Pode ser utilizada, 
ainda, a variação cambial.
Na prática, todos os sistemas de amortização utilizados no Brasil têm corre-
ção monetária a partir de um índice que pode ser prefixado ou pós-fixado.
É importante salientar que, quando, além do juro, temos a correção mo-
netária, devemos calcular primeiramente a correção monetária e, a seguir, 
calcular o juro.
A correção monetária pode ou não ser considerada plena. Ela é plena 
quando tanto a parcela a ser paga quanto o saldo devedor são corrigidos, 
simultaneamente, pelo mesmo índice. Logo, não é plena quando a parcela 
é corrigida por um índice e o saldo devedor por outro. Por exemplo, te-
mos contratos do sistema financeiro de habitação em que as parcelas são 
corrigidas em função da variação salarial do mutuário, enquanto o saldo 
devedor é corrigido por um índice definido no contrato, tal como a taxa 
referencial de juro (TR).
Nos contratos do sistema financeiro de habitação, podem ser adotados 
vários índices, a saber:
a) índice de custo, a ser utilizado durante a construção do imóvel; 
temos o Índice Nacional da Construção Civil (INCC), o Índice da 
Construção Civil (ICC), entre outros;
b) índice de preço, normalmente utilizado após a entrega das chaves; 
temos o Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M), o Índice Na-
cional de Preços ao Consumidor (INPC), entre outros.
Observe que você não poderá utilizar nem o salário mínimo, nem uma moeda 
estrangeira como índice de correção monetária.
12.2.1 Sistema francês de amortização com correção plena
Já estudamos que o sistema francês de amortização é também conhecido 
como sistema price. Verificamos que, nesse sistema, é adotado o critério 
de rendas imediatas, ou seja, a amortização ocorre em parcelas periódicas, 
iguais e sucessivas, com o primeiro pagamento ao fim do primeiro período 
contratado.
Como, agora, faremos a correção monetária por meio de um índice, para o 
cálculo das parcelas dividimos o valor financiado pelo valor do índice a ser 
utilizado e passamos a trabalhar com o valor em unidades desse índice. 
185
A
m
ortizações
Feita a conversão, os demais cálculos são como já estudado anteriormente, 
ou seja:
 
 p = a + J
em que J = i . sd
Nesse tipo de cálculo, se tomarmos como exemplo um apartamento no 
valor de R$ 100.000,00 que foi financiado em 1º de fevereiro de 2005 pelo 
sistema francês de amortização, nas seguintes condições:
• entrada de R$ 10.000,00;
• dez parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assinatura 
do contrato;
• taxa de juro composto de 1,8% ao mês;
• correção monetária mensal conforme a variação da TR (ver Anexo F).
Podemos com base nesses dados, preencher uma planilha demonstrando, 
ao longo do tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo 
devedor.
C = 90.000,00 (uma vez que houve uma entrada de 10.000,00)
i = 1,8% ao mês
n = 10 parcelas mensais
TR = 1,1134 (em fevereiro de 2005)
Vamos inicialmente transformar o valor financiado em unidades de TR.
C = 80.833,4830 TRs
Para o cálculo das parcelas, utilizamos a fórmula:
186
C
apítulo 12 p = 8.905,00295 TRs
Portanto, teremos dez parcelas iguais a 8.905,00295 TRs. 
No momento do pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é de 
80.833,4830 TRs. Nessa primeira parcela, o juro é:
J = i . sd
J = 0,018 . 80.833,4830 TRs
J = 1.455,00269 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 1.455,00269
a = 7.450,00026 TRs
Então, o novo saldo devedor será 80.833,4830 – 7.450,00026 = 73.383,48274, e 
é sobre esse valor que incidirá o juro da segunda parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 73.383,48274
J = 1.320,90269 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 1.320,90269
a = 7.584,10026 TRs
Então, o novo saldo devedor será 73.383,48274 – 7.584,10026 = 65.799,38248, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da terceira parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 65.799,38248
J = 1.184,38889 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 1.184,38889
a = 7.720,61407 TRs
187
A
m
ortizações
Então, o novo saldo devedor será 65.799,38248 – 7.720,61407 = 58.078,76842, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da quarta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 58.078,76842
J = 1.045,41783 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 1.045,41783
a = 7.859,58512 TRs
Então, o novo saldo devedor será 58.078,76842 – 7.859,58512 = 50.219,18330, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da quinta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 50.219,18330
J = 903,94530 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 903,94530
a = 8.001,05765 TRs
Então, o novo saldo devedor será 50.219,18330 – 8.001,05765 = 42.218,12565, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da sexta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 42.218,12565
J = 759,92626 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 759,92626
a = 8.145,07669 TRs
Então, o novo saldo devedor será 42.218,12565 – 8.145,07669 = 34.073,04896, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da sétima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 34.073,04896
188
C
apítulo 12
J = 613,31488 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 613,31488
a = 8.291,68807 TRs
Então, o novo saldo devedor será 34.073,04896 – 8.291,68807 = 25.781,36089, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da oitava parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 25.781,36089
J = 464,06450 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 464,06450
a = 8.440,93845 TRs
Então, o novo saldo devedor será 25.781,36089 – 8.440,93845 = 17.340,42244, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da nona parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 17.340,42244
J = 312,12760 TRs
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 312,12760
a = 8.592,87535 TRs
Então, o novo saldo devedor será 17.340,42244 – 8.592,87535 = 8.747,54709, e 
é sobre esse valor que incidirá o juro da décima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 8.747,54709
J = 157,45585 TR’s
Como p = a + J,
a = 8.905,00295 – 157,45585
a = 8.747,54710 TRs
189
A
m
ortizações
Agora, somamos as dezparcelas e conferimos se o capital foi totalmente 
amortizado (em TRs).
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 5
100000 ENTER
10000 – 
1.1134 ÷ CHS PV
1.8 i
10 n
PMT (8.905,00295)
1 f AMORT (juro na primeira parcela = 1.455,00269)
x y (amortização na primeira parcela = 7.450,00026)
RCL PV (novo saldo devedor = 73.383,48276)
1 f AMORT (juro na segunda parcela = 1.320,90269)
x y (amortização na segunda parcela = 7.584,10026)
RCL PV (novo saldo devedor = 65.799,38250)
1 f AMORT (juro na terceira parcela = 1.184,38889)
x y (amortização na terceira parcela = 7.720,61406)
RCL PV (novo saldo devedor = 58.078,76844)
1 f AMORT (juro na quarta parcela = 1.045,41783)
x y (amortização na quarta parcela = 7.859,58512)
RCL PV (novo saldo devedor = 50.219,18332)
1 f AMORT (juro na quinta parcela = 903,94530)
x y (amortização na quinta parcela = 8.001,05765)
RCL PV (novo saldo devedor = 42.218,12567)
1 f AMORT (juro na sexta parcela = 759,92626)
><
><
><
><
><
190
C
apítulo 12
x y (amortização na sexta parcela =8.145,07669)
RCL PV (novo saldo devedor = 34.073,04898)
1 f AMORT (juro na sétima parcela = 613,31488)
x y (amortização na sétima parcela = 8.291,68807)
RCL PV (novo saldo devedor = 25.781,36091)
1 f AMORT (juro na oitava parcela = 464,06450)
x y (amortização na oitava parcela = 8.440,93845)
RCL PV (novo saldo devedor = 17.340,42246)
1 f AMORT (juro na nona parcela = 312,12760)
x y (amortização na nona parcela = 8.592,87535)
RCL PV (novo saldo devedor = 8.747,54711)
1 f AMORT (juro na décima parcela = 157,45585)
x y (amortização na décima parcela = 8.747,5471)
RCL PV (novo saldo devedor = 0,00001)
Vamos, então, visualizar a planilha correspondente a esses cálculos.
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo devedor
0 – – – 80.833,4830
1 8.905,00295 7.450,00026 1.455,00269 73.383,48274
2 8.905,00295 7.584,10026 1.320,90269 65.799,38248
3 8.905,00295 7.720,61407 1.184,38889 58.078,76842
4 8.905,00295 7.859,58512 1.045,41783 50.219,18330
5 8.905,00295 8.001,05765 903,94530 42.218,12565
6 8.905,00295 8.145,07669 759,92626 34.073,04896
7 8.905,00295 8.291,68807 613,31488 25.781,36089
8 8.905,00295 8.440,93845 464,06450 17.340,42244
9 8.905,00295 8.592,87535 312,12760 8.747,54709
10 8.905,00295 8.747,54711 157,45585 0,00
– Σ = 80.833,4831 
Observe que a planilha está com todos os valores em quantidades de TRs. 
Para a transformação desses valores em moeda corrente, devemos multi-
plicá-los pelo valor do índice na data do pagamento da respectiva parcela. 
><
><
><
><
><
><
191
A
m
ortizações
Vamos mostrar, a seguir, como ficam os valores considerando os índices 
do dia 1º do mês de vencimento (ver Anexo F, p. 278), lembrando que a 
aquisição do imóvel ocorreu em 1º de fevereiro de 2005.
Temos os seguintes índices:
TR em 1º/03/2005 = 1,1145
TR em 1º/04/2005 = 1,1174
TR em 1º/05/2005 = 1,1196
TR em 1º/06/2005 = 1,1224
TR em 1º/07/2005 = 1,1258
TR em 1º/08/2005 = 1,1287
TR em 1º/09/2005 = 1,1326
TR em 1º/10/2005 = 1,1356
TR em 1º/11/2005 = 1,1380
TR em 1º/12/2005 = 1,1402
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização Juro da parcela
Saldo 
devedor
0 (1º/02/2005) – – – –
1 (1º/03/2005) 9.924,63 8.303,03 1.621,60 81.785,89
2 (1º/04/2005) 9.950,45 8.474,47 1.475,98 73.524,23
3 (1º/05/2005) 9.970,04 8.644,00 1.326,04 65.024,99
4 (1º/06/2005) 9.994,98 8.821,60 1.173,38 56.366,01
5 (1º/07/2005) 10.025,25 9.007,59 1.017,66 47.529,17
6 (1º/08/2005) 10.051,08 9.193,35 857,73 38.458,25
7 (1º/09/2005) 10.085,81 9.391,17 694,64 29.199,97
8 (1º/10/2005) 10.112,52 9.585,53 526,99 19.691,78
9 (1º/11/2005) 10.133,89 9.778,69 355,20 9.954,71
10 (1º/12/2005) 10.153,48 9.973,95 179,53 (-19,24)
– Σ = 91.173,38
12.2.2 Sistema de amortização constante com correção plena
Como no sistema francês de amortização, fazemos a correção monetária 
por meio de um índice e, para o cálculo das parcelas, dividimos o valor 
192
C
apítulo 12
financiado pelo valor do índice a ser utilizado e passamos a trabalhar com 
o valor em unidades desse índice. 
Feita a conversão, os demais cálculos são como os já estudados anteriormente.
Assim, para fazermos a aplicação do sistema de amortização constante 
com correção plena no caso de um apartamento no valor de R$ 100.000,00 
que foi financiado em 1º de fevereiro de 2005, nas seguintes condições:
• entrada de R$ 10.000,00;
• dez parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assinatura 
do contrato;
• taxa de juro composto de 1,8% ao mês;
• correção monetária mensal conforme a variação da TR (ver Anexo F).
Devemos com base nesses dados, preenchermos uma planilha demons-
trando, ao longo do tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e 
o saldo devedor.
C = 90.000,00 (uma vez que houve uma entrada de 10.000,00)
i = 1,8% ao mês
n = 10 parcelas mensais
TR = 1,1134 (em fevereiro de 2005)
Vamos inicialmente transformar o valor financiado em unidades de TR.
Como foi dada uma entrada de R$ 10.000,00, o valor a ser financiado é 
R$ 90.000,00. Transformando-o em TRs, temos:
 
C = 80.833,4830 TRs
A parcela de amortização é então:
a = 8.083,34830 TRs
193
A
m
ortizações
Para determinar os valores das parcelas, é necessário determinar o valor do juro 
a cada período. Assim, como no momento do pagamento da primeira parcela, 
quando o saldo devedor é de 80.833,4830, o juro correspondente é:
J = i . sd
J = 0,018 . 80.833,4830
J = 1.455,00269 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 1.455,00269
p = 9.538,35099 TRs
Então, o novo saldo devedor será 80.833,4830 – 8.083,34830 = 72.750,13470, e 
é sobre esse valor que incidirá o juro da segunda parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 72.750,13470
J = 1.309,50243 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 1.309,50243
p = 9.392,85073 TRs
Então, o novo saldo devedor será 72.750,13470 – 8.083,34830 = 64.666,78640, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da terceira parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 64.666,78640
J = 1.164,00216 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 1.164,00216
p = 9.247,35046 TRs
Então, o novo saldo devedor será 64.666,78640 – 8.083,34830 = 56.583,43810, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da quarta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
194
C
apítulo 12
J = 0,018 . 56.583,43810
J = 1.018,50189 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 1.018,50189
p = 9.101,85019 TRs
Então, o novo saldo devedor será 56.583,43810 – 8.083,34830 = 48.500,08980, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da quinta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 48.500,08980
J = 873,00162 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 873,00162
p = 8.956,34992 TRs
Então, o novo saldo devedor será 48.500,08980 – 8.083,34830 = 40.416,74150, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da sexta parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 40.416,74150
J = 727,50135 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 727,50135
p = 8.810,84965 TRs
Então, o novo saldo devedor será 40.416,74150 – 8.083,34830 = 32.333,39320, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da sétima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 32.333,39320
J = 582,00108 TRs
Como p = a + J,
195
A
m
ortizações
p = 8.083,34830 + 582,00108
p = 8.665,34938 TRs
Então, o novo saldo devedor será 32.333,39320 – 8.083,34830 = 24.250,04490, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da oitava parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 24.250,04490
J = 436,50081 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 436,50081
p = 8.519,84911TRs
Então, o novo saldo devedor será 24.250,04490 – 8.083,34830 = 16.166,69660, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da nona parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 16.166,69660
J = 291,00054 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 291,00054
p = 8.374,34884 TRs
Então, o novo saldo devedor será 16.166,69660 – 8.083,34830 = 8.083,34830, 
e é sobre esse valor que incidirá o juro da décima parcela. Assim, temos:
J = i . sd
J = 0,018 . 8.083,34830
J = 145,50027 TRs
Como p = a + J,
p = 8.083,34830 + 145,50027
p = 8.228,84857 TRs
196
C
apítulo 12
Vamos, então, visualizar a planilha correspondente ao exemplo calculado.
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo devedor
0 – – – 80.833,4830
1 9.538,35099 8.083,34830 1.455,00269 72.750,13470
2 9.392,85073 8.083,34830 1.309,50243 64.666,78640
3 9.247,35046 8.083,34830 1.164,00216 56.583,43810
4 9.101,85019 8.083,34830 1.018,50189 48.500,08980
5 8.956,34992 8.083,34830 873,00162 40.416,74150
6 8.810,84965 8.083,34830 727,50135 32.333,39320
7 8.665,34938 8.083,34830 582,00108 24.250,04490
8 8.519,84911 8.083,34830 436,50081 16.166,69660
9 8.374,34884 8.083,34830 291,00054 8.083,3483
10 8.228,84857 8.083,34830 145,50027 0,00
– Σ = 80.833,4830 
Observe novamente que a planilha está com todos os valores em quantida-
des de TRs. Para a transformação desses valores em moeda corrente, deve-
mos multiplicá-los pelo valor do índice na data do pagamento da respecti-
va parcela. Vamos mostrar, a seguir, como ficam os valores considerando 
os índices do dia 1º do mês de vencimento (ver Anexo F), lembrando que a 
aquisição do imóvel ocorreu em 1º de fevereiro de 2005.
Temos os seguintes índices:
TR em 1º/03/2005 = 1,1145
TR em 1º/04/2005 = 1,1174
TR em 1º/05/2005 = 1,1196
TR em 1º/06/2005 = 1,1224
TR em 1º/07/2005 = 1,1258
TR em 1º/08/2005 = 1,1287
TR em 1º/09/2005 = 1,1326
TR em 1º/10/2005 = 1,1356
TR em 1º/11/2005 = 1,1380
TR em 1º/12/2005 = 1,1402
197
A
m
ortizações
Nº da 
parcela
Valor da 
parcela
Amortização
Juro da 
parcela
Saldo devedor
0 – – – 90.000,00
1 10.630,49 9.008,89 1.621,60 81.080,03
2 10.495,57 9.032,33 1.463,24 72.258,67
3 10.353,33 9.050,12 1.303,22 63.350,82
4 10.215,92 9.072,75 1.143,17 54.436,50
5 10.083,06 9.100,23 982,83 45.501,17
6 9.944,81 9.123,68 821,13 36.494,70
7 9.814,37 9.155,20 659,17 27.465,60
8 9.675,14 9.179,45 495,69 18.358,90
9 9.530,01 9.198,85 331,16 9.198,85
10 9.382,53 9.216,63 165,90 (-17,78)
– Σ = 91.138,13 
12.3 Sistema de amortização crescente (Sacre)
O sistema de amortização crescente atende às linhas de crédito para a 
aquisição de casa própria por meio do sistema financeiro de habitação, e 
o reajuste das prestações é feito uma vez por ano, sendo que o cálculo da 
primeira prestação é realizado de forma semelhante à utilizada no sistema 
de amortização constante. Durante cada interstício de 12 meses, a presta-
ção permanece com o valor constante.
Como calcular esse valor da prestação? Dividimos o valor a ser financiado 
pelo número de prestações e aplicamos sobre o valor encontrado a taxa no-
minal mensal contratada.
Temos então:
Continuam válidas as igualdades:
J = i . sd
p = a + J
198
C
apítulo 12
Vamos analisar um exemplo resolvido.
Digamos que um apartamento no valor de R$ 100.000,00 foi financiado em 1º 
de dezembro de 2002 pelo sistema de amortização crescente nas seguintes 
condições:
• entrada de R$ 10.000,00;
• trinta e seis parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a 
assinatura do contrato;
• taxa nominal de juro composto de 10,5% ao ano;
• correção monetária mensal conforme a variação da TR (ver Anexo F).
Com base nesses dados, preenchemos uma planilha demonstrando, ao longo 
do tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo devedor.
i = 10,5% a.a. 
a = 2.500,00
J = i . sd
J = 0,00875 . 90.000,00
J = 787,50
p = a + J
p = 2.500,00 + 787,50
p = 3.287,50
Assim, as 12 primeiras prestações são iguais a R$ 3.287,50.
Como calculamos o juro e a amortização na primeira prestação?
Um mês após a aquisição do apartamento, o saldo devedor (R$ 90.000,00) foi 
corrigido em 0,3609% (TR de dezembro/2002, conforme Anexo E). Sobre o 
novo saldo devedor calculamos o juro (0,00875 . 90.324,81 = 790,34). Como a 
prestação é de R$ 3.287,50, a amortização é igual a R$ 2.497,16.
199
A
m
ortizações
Após um ano, cálculo semelhante será efetuado para determinar o valor das 
próximas 12 prestações. Para tal, consideramos o saldo devedor naquele 
momento, já corrigido monetariamente conforme a TR.
Vamos, então, montar a planilha com os dados relativos a esse financiamento.
n Vencimento Prestação Amor ti-
zação
Juro Saldo 
devedor
TR 
(%)
Saldo devedor 
+ TR
0 – 0,00 0,00 0,00 90.000,00 0,3609 90.324,81
1 1º/01/2003 3.287,50 2.497,16 790,34 87.827,65 0,4878 88.256,07
2 1º/02/2003 3.287,50 2.515,26 772,24 85.740,81 0,4116 86.093,72
3 1º/03/2003 3.287,50 2.534,18 753,32 83.559,54 0,3782 83.875,56
4 1º/04/2003 3.287,50 2.553,59 733,91 81.321,97 0,4184 81.662,22
5 1º/05/2003 3.287,50 2.572,96 714,54 79.089,26 0,4650 79.457,03
6 1º/06/2003 3.287,50 2.592,25 695,25 76.864,78 0,4166 77.185,00
7 1º/07/2003 3.287,50 2.612,13 675,37 74.572,87 0,5465 74.980,41
8 1º/08/2003 3.287,50 2.631,42 656,08 72.348,99 0,4038 72.641,13
9 1º/09/2003 3.287,50 2.651,89 635,61 69.989,24 0,3364 70.224,68
10 1º/10/2003 3.287,50 2.673,03 614,47 67.551,65 0,3213 67.768,69
11 1º/11/2003 3.287,50 2.694,52 592,98 65.074,17 0,1776 65.189,74
12 1º/12/2003 3.287,50 2.717,09 570,41 62.472,65 0,1899 62.591,29
13 1º/01/2004 3.149,67 2.602,00 547,67 59.989,29 0,1280 60.066,08
14 1º/02/2004 3.149,67 2.624,09 525,58 57.441,99 0,0458 57.468,30
15 1º/03/2004 3.149,67 2.646,82 502,85 54.821,48 0,1778 54.918,95
16 1º/04/2004 3.149,67 2.669,13 480,54 52.249,82 0,0874 52.295,49
17 1º/05/2004 3.149,67 2.692,08 457,59 49.603,41 0,1546 49.680,09
18 1º/06/2004 3.149,67 2.714,97 434,70 46.965,12 0,1761 47.047,83
19 1º/07/2004 3.149,67 2.738,00 411,67 44.309,83 0,1952 44.396,32
20 1º/08/2004 3.149,67 2.761,20 388,47 41.635,12 0,2005 41.718,60
21 1º/09/2004 3.149,67 2.784,63 365,04 38.933,97 0,1728 39.001,25
22 1º/10/2004 3.149,67 2.808,41 341,26 36.192,84 0,1108 36.232,94
23 1º/11/2004 3.149,67 2.832,63 317,04 33.400,31 0,1146 33.438,59
24 1º/12/2004 3.149,67 2.857,08 292,59 30.581,51 0,2400 30.654,90
25 1º/01/2005 2.816,05 2.547,82 268,23 28.107,08 0,1880 28.159,92
26 1º/02/2005 2.816,05 2.569,65 246,40 25.590,27 0,0962 25.614,89
27 1º/03/2005 2.816,05 2.591,92 224,13 23.022,97 0,2635 23.083,64
28 1º/04/2005 2.816,05 2.614,07 201,98 20.469,57 0,2003 20.510,57
(continua)
200
C
apítulo 12
n Vencimento Prestação Amortização Juro Saldo 
devedor
TR 
(%)
Saldo 
devedor + TR
29 1º/05/2005 2.816,05 2.636,58 179,47 17.873,99 0,2527 17.919,16
30 1º/06/2005 2.816,05 2.659,26 156,79 15.259,90 0,2993 15.305,58
31 1º/07/2005 2.816,05 2.682,13 133,92 12.623,45 0,2575 12.655,96
32 1º/08/2005 2.816,05 2.705,31 110,74 9.950,65 0,3466 9.985,14
33 1º/09/2005 2.816,05 2.728,68 87,37 7.256,46 0,2637 7.275,60
34 1º/10/2005 2.816,05 2.752,39 63,66 4.523,21 0,2100 4.532,71
35 1º/11/2005 2.816,05 2.776,39 39,66 1.756,32 0,1929 1.759,71
36 1º/12/2005 2.816,05 2.800,65 15,40 (1.040,94) 0,2269 0,00
Após o pagamento da 12ª prestação, o saldo devedor era de R$ 62.472,65. 
Sobre esse saldo foi calculado o valor das 12 prestações seguintes. 
a = 2.603,03
J = i . sd
J = 0,00875 . 62.472,65
J = 546,64
p = a + J
p = 2.603,03 + 546,64
p = 3.149,67
Processo semelhante foi efetuado para o cálculo das prestações de 25 a 36.
Após o pagamento da 24ª prestação, o saldo devedor era de R$ 30.581,51. 
Sobre esse saldo foi calculado o valor das 12 prestações seguintes. 
a = 2.548,46
J = i . sd
J = 0,00875 . 30.581,51
J = 267,59
(conclusão)
201
A
m
ortizações
p = a + J
p = 2.548,46 + 267,59
p = 2.816,05
Verifique que, apóso pagamento da última prestação, o saldo devedor re-
sultou num valor negativo, o que significa que o mutuário tem direito à 
devolução desse valor.
Nunca é demais lembrar o leitor de que, na prática, além dos valores mostra-
dos nesta obra, o mercado financeiro cobra do mutuário uma taxa de adminis-
tração e, somado ao valor das prestações, um seguro do imóvel financiado.
Síntese
No sistema financeiro, mais especificamente no âmbito do crédito, as 
amortizações correspondem ao ato de devolver o capital que foi tomado 
por empréstimo. No entanto, tal operação se vale de inúmeras maneiras 
que estão englobadas em amortizações sem correção monetária e amorti-
zações com correção monetária. Há vários sistemas de amortização, onde 
se destacam o sistema francês (Price), o de amortização constante (SAC) e 
amortização crescente (SACRE).
1. Andrew tomou emprestada a quantia de R$ 15.000,00, a ser devolvida 
em um pagamento único após oito meses. Ficou acertado que o juro seria 
cobrado somente após os oito meses. Calcule o valor do montante, sabendo 
que a taxa de juro composto utilizada na operação foi de 2,2% ao mês, com 
capitalização mensal.
2. Uma pessoa jurídica contraiu um empréstimo de R$ 44.800,00 no sis-
tema financeiro, a ser quitado em um pagamento único seis meses após. 
Ficou acertado que o juro seria cobrado somente após os seis meses. Deter-
mine o valor do montante, sabendo que a taxa de juro composto utilizada 
na operação foi de 2% ao mês, com capitalização mensal.
202
C
apítulo 12
3. Foi feito um empréstimo de R$ 140.000,00 pelo sistema americano 
de amortização e ficou acertado que, durante o prazo de carência, seria 
cobrado juro composto a uma taxa de 2,5% ao mês. Descubra como foi 
efetuado esse pagamento, supondo que a amortização do capital 
emprestado ocorreu seis meses após o empréstimo.
4. Foi feito um empréstimo de R$ 18.000,00 pelo sistema americano e ficou acer-
tado que, durante o prazo de carência, seria cobrado juro composto a uma taxa 
de 1,95% ao mês. Descubra como foi efetuado esse pagamento, supondo que a 
amortização do capital emprestado ocorreu um ano após o empréstimo.
5. Um apartamento no valor de R$ 200.000,00 foi financiado pelo sistema 
francês de amortização, sem correção monetária, nas seguintes condições:
• sem entrada;
• vinte e quatro parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a pri-
meira um mês após a assinatura do contrato;
• taxa de juro composto de 1,75% ao mês.
Qual o valor das parcelas?
6. Um apartamento no valor de R$ 140.000,00 foi financiado pelo sistema 
francês de amortização, sem correção monetária, nas seguintes condições:
• sem entrada;
• trinta e seis parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a pri-
meira um mês após a assinatura do contrato;
• taxa de juro composto de 1,5% ao mês.
Qual o valor das parcelas?
7. Um apartamento no valor de R$ 150.000,00 foi financiado pelo sistema de 
amortização constante, sem correção monetária, nas seguintes condições:
• sem entrada;
• doze parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assina-
tura do contrato;
• taxa de juro composto de 2,0% ao mês.
Qual o valor da primeira prestação?
8. Um apartamento no valor de R$ 200.000,00 foi financiado em 1º de setem-
bro de 2005 pelo sistema francês de amortização, nas seguintes condições:
• sem entrada;
203
A
m
ortizações
• vinte e quatro parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após 
a assinatura do contrato;
• taxa de juro composto de 1,5% ao mês;
• correção monetária mensal conforme a variação da TR (ver Anexo F).
Qual o valor da amortização na segunda prestação?
9. Um apartamento no valor de R$ 90.000,00 foi financiado em 1º de abril 
de 2005 pelo sistema de amortização constante, nas seguintes condições:
• sem entrada;
• trinta parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assina-
tura do contrato;
• taxa de juro composto de 2,4% ao mês;
• correção monetária mensal conforme a variação da TR (ver Anexo F).
Qual o valor da primeira prestação, em TRs? Utilize, para os cálculos, cinco 
casas após a vírgula.
10. Um apartamento no valor de R$ 350.000,00 foi financiado em 1º de agosto de 
2004 pelo sistema de amortização crescente, nas seguintes condições:
• sem entrada;
• sessenta parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assi-
natura do contrato;
• taxa nominal de juro composto de 10,5% ao ano;
• correção monetária mensal conforme a variação da TR (ver Anexo E).
Qual o valor do juro pago na segunda prestação?
205
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: 
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207
Capítulo 2
1. M = 122.400,00
2. C = 150.000,00
3. C = 4.200,00
4. M = 12.720,00
5. M = 117.070,00
6. J = 4.800,00
7. J = 125,00
 M = 1.125,00
8. i = 2,1% a. m.
 i = 25,2% a. a.9. J = 300,00
10. C = 80.000,00
11. M = 7.575,00
12. i = 3% a. m.
13. M = 2.940,00
14. a) J = 83,33; M = 2.583,33
 b) J = 83,56; M = 2.583,56
 c) J = 84,72; M = 2.584,72
15. i = 6% a. m.
16. i = 1,5% a. m.
17. C = 22.000,00
18. n = 12 meses
19. Teve um prejuízo de R$ 40.000,00.
20. M = 1.867,60
21. M = 4.160,00
22. M = 3.675,00
23. J = 6.750,00
24. C = 21.600,00
25. C = 34.000,00
26. C = 12.000,00
27. n = 20 dias
28. n = 7 anos
29. n = 6 meses
30. i = 10% a. s.
31. i = 6% a. t.
32. i = 5% a. m.
33. i = 4,625% a. m.
34. i = 5% a. m.
35. M = 5.900,00
36. J = 530,00
37. n = 125 meses
38. n = 5 meses
39. n = 10 anos
40. n = 8 meses
41. J = 64,00
42. M = 864,00
43. i = 2,5% a. m.
44. n = 10 meses
45. J = 775,20
46. C = 4.070,00
47. n = 23 meses
208
48. n = 25 meses
49. i = 10% a. m.
50. C = 2.617,74
Capítulo 3
1. Dc = 234,00
2. Dc = 284,38
3. Vc = 40.931,25
4. i = 3,1304% a. m.
5. Dc = 3.024,00
6. M1 = 57.972,97
7. Dc = 426,67
8. i = 3,6% a. m.
9. n = 5 meses
10. M = 1.000,00
11. i = 3,36% a. m.
12. n = 25 dias
13. M = 5.040,00
14. Dc = 17,67
15. M = 470,00
16. i = 1% a. m.
17. n = 6 meses
18. Vc = 2.700,00
19. Vr = 4.000,00
20. i = 3% a. m.
Capítulo 4
1. M = 4.099,48
2. n = 16 meses
3. i = 1,9441% a. m.
4. M = 9.448,77
5. C = 31.447,16
6. n = 8 semestres
7. i = 2,45% a. m.
8. J = 5.173,33
9. C = 26.057,88
10. A troca é vantajosa para 
Marcella porque, daqui a 
quatro meses, o título que 
tem em mãos só valerá 
R$ 28.990,42.
11. i = 2,79697% a. m.
12. i = 7,99029% a. t.
13. M = 42.841,69
14. M = 42.813,27
15. J = 56.250,00
16. M = 64.537,63 
 J = 9.537,63
17. M = 1.685,86
18. M = 7.211,53
19. i = 2,30519% a. m.
20. i = 11,03526% a. s.
21. i = 7,28224% a. m.
22. n = 14 meses
23. J = 28,72
24. M = 40.132,54
25. i = 7,36146% a. m.
26. M = 25.390,63
27. M = 4.462.891,92
209
28. n = 12 meses
29. i = 2% a. m.
30. i = 1,5% a. m.
Capítulo 5
1. a) i = 12,4455%
 b) i = 13,1584%
 c) i = 2,4057%
2. a) i = 14,0819%
 b) i = 16,0019%
 c) i = 10,0169%
3. a) i = 24,3972%
 b) i = 30,4519%
4. a) i = 11,1031%
 b) i = 11,7316%
5. a) i = 6,5396%
 b) i = 6,9863%
6. a) i = 14,4231%
 b) i = 12,2596%
 c) i = 8,9899%
7. iefetiva = 15,8440% 
ireal = 13,5725%
8. a) i = 4,8040%
 b) i = 4,0834%
 c) i = 3,1755%
9. Sim, a 3,0077% a. m.
10. Sim, a 1,4770% a. m.
11. Não, pois a rentabilidade 
foi igual à inflação.
12. Sim, a 0,874437% a. m.
13. I = 4,77% a. m.
14. I = 2,59% a. m.
15. i = 6,86% a. m.
16. i = 6,46% a. m.
117. iaparente = 24,2653% 
 ireal = 12,9685%
18. iaparente = 17,6471% 
 ireal = 8,4305%
19. i = 0,9453%
20. 2,0896%
Capítulo 6
1. i = 0,9% a. m.
2. Dr = R$ 2.116,53
3. n = 6 meses
4. Dc = 7.833,94
5. i = 1,5% a. m.
6. M = 12.000,00
7. M = 2.548,98
8. i = 3,018% a. m.
9. Vr = 8.256,65
10. M = 9.016,37
Capítulo 7
1. p = 8.786,92
2. i = 2,4% a. m.
3. p = 1.289,06
4. p = 472,71
5. p = 171,41
210
6. i = 4,4563% a. m.
7. 36 prestações
8. C = 39.030,76
9. C = 1.555,96
10. p = 2.912,48
11. p = 616,65
12. C = 73.438,32
13. C = 256.531,24
14. C = 713,97
15. C = 1.425,63
16. C = 4.823,73
17. C = 464,64
18. p = 170,38
19. p = 275,46
20. p = 273,29
21. p = 460,81
22. p = 3.934,03
23. p = 2.413,82
24. p = 2.839,35
25. p = 660,90
26. n = 24 prestações
27. n = 20 prestações
28. p = 573,93
29. p = 370,64
30. C = 23.882,54
31. p = 142,02
32. 
Número de pagamentos Valor da prestação
1 V . 1,048844
2 V . 0,536924
3 V . 0,366413
4 V . 0,281255
33. C = 59.758,34
34. M = 5.960,14
35. M = 1.718,93
36. M = 22.552,06
37. M = 114.051,54
38. p = 603,18
39. p = 2.007,94
40. i = 3% a. m.
Capítulo 8
1. O investimento não é atra tivo, 
pois a TIR = 11,8145% a. a.
2. O investimento é inviável, pois 
a TIR = 7,9308% a. a.
3. O investimento é viá vel, pois a 
TIR = 4,6651% a. m.
4. Nenhum deles, pois a maior TIR 
é de 19,1070% a. a. (projeto D).
5. Para TIR = 20%, a em presa 
comprará as má quinas, pois 
VPL = 38.544,88 (positivo). 
Para TIR = 25%, a empresa 
não comprará as máquinas, 
pois VPL = − 18.246,40 (nega-
tivo).
211
Capítulo 9
1. CMt = 3,4165% no período. 
CMm = 0,4811% a. m.
2. M = 8.354,40
3. M = 8.357,82
4. CMt = 3,64247% no período
5. CMt = 4,03632% no período
Capítulo 10
1. n = 5 anos
2. DL = 8.000,00 a. a.
3. i = 28,8905% a. a.
4. n = 7 anos
5. DC = 10.773,54 a. a.
Capítulo 11
1. p = R$ 30.831,32
2. i = 1,75% a. m.
3. p = 205,11
4. M = 4.195.026,59
5. M = 609.335,95
Capítulo 12
1. R$ 17.852,47
2. R$ 50.452,08
3. J = 3.500,00 durante os cin-
co primeiros meses. M = 
143.500,00 no sexto mês.
4. J = 351,00 durante os 11 primei-
ros meses. M = 18.351,00 no 
12º mês.
5. p = 10.277,13
6. p = 5.061,34
7. p = 15.500,00
8. a = 6.259,5733 TR’s
9. p = 4.617,86290 TR’s
10. J = 3.017,65
ap
ên
di
ce
s
215
A Calculadora Financeira HP-12C
1 Introdução
Para os cálculos financeiros, nem sempre uma calculadora comum ou até mes-
mo uma calculadora científica nos permite obter os resultados com a rapidez 
desejada. Assim, é importante a utilização de uma calculadora financeira.
Várias são as calculadoras encontradas no mercado. Entretanto, as calcu-
ladoras da Hewlett Packard, ou simplesmente HP, são as mais utilizadas pe-
los profissionais do mercado financeiro em todo o mundo. Por essa razão, 
neste livro, mostraremos a solução dos exercícios tanto com a utilização de 
fórmulas quanto com a utilização da calculadora financeira HP-12C.
Lembramos ao leitor que a HP-12C, como a designaremos a partir de agora, 
pode ainda ser utilizada para cálculos estatísticos (média, média ponde-
rada, estimativa linear, desvio-padrão, fatorial) ou simplesmente para os 
cálculos aritméticos tal como uma calculadora não financeira. Entretanto, 
não abordaremos nesta obra as funções estatísticas por não ser esse o nosso 
objeto de estudo.
Essa máquina tem ainda a capacidade de programação de rotinas, o que é 
de grande auxílio na solução de problemas repetitivos, como acontece nas 
operações financeiras normais do mercado.
Observe que as teclas da máquina HP-12C estão dispostas segundo uma 
matriz de quatro linhas e dez colunas, de tal forma que cada tecla pode ser 
identificada pela interseção da linha e da coluna a que pertence. A tecla n, 
por exemplo, é representada por 11, uma vez que se localiza na interseção 
da linha 1 com a coluna 1; a tecla CLx, por sua vez, é representada por 
35, uma vez que se localiza na interseção da linha 3 com a coluna 5. Essa 
identificação matricial das teclas é importante para a compreensão dos 
programas da HP-12C.
1.1 Testando a máquina
Para saber se a máquina está em perfeitas condições, proceda da seguinte 
forma:
• desligue a calculadora na tecla ON;
1 Esse apêndice foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 17-20).
1
216
• pressione a tecla ON, mantendo-a pressionada;
• pressione a tecla x, mantendo-a pressionada;
• solte a tecla ON, soltando em seguida a tecla x;
• depois de algum tempo durante o qual o visor apresenta a palavra 
running, vai aparecer:
 – 8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, e uma série de anunciadores (USER f g BEGIN 
GRAD D.MY c PRGM);
• se isso acontecer, a máquina está perfeita. Caso contrário, algum seg-
mento do visor está queimado ou alguma função da calculadora não 
está sendo processada.
1.2 Notação brasileira e americana para os números no visor
A máquina HP-12C trabalha tanto com a notação americana para os números, 
ou seja, ponto para separar a parte decimal e vírgula para separar grupos de 
três dígitos da parte inteira, como com a notação brasileira, que é exatamente 
o contrário. Para transformar da notação americana para a notação brasileira, 
ou vice-versa, proceda da seguinte maneira:
• desligue a calculadora na tecla ON;
• aperte a tecla • e a mantenha pressionada; 
• ligue a máquina: tecla ON;
• soltea tecla •.
Por exemplo: 
Digite 24680.13
Se no visor aparecer 24,680.13, estamos com a notação americana. Entretanto, se 
aparecer 24.680,13, estamos com a notação brasileira. Para transformar de uma 
notação para outra, utilize os quatro procedimentos descritos anteriormente.
1.3 As teclas amarela f e azul g
A maioria das teclas da HP-12C tem mais de uma função, ou seja, uma 
mesma tecla pode operar as seguintes funções:
• função normal, escrita em branco na parte superior da tecla;
• função amarela, escrita no corpo da máquina, acima da tecla;
217
• função azul, escrita na face lateral inferior da própria tecla.
Para realizarmos as funções amarela ou azul, basta que as teclas f ou g, 
respectivamente, sejam pressionadas antes da utilização da tecla desejada. 
Por exemplo, desejamos calcular a raiz quadrada do número 4. Deveremos, 
então, pressionar a sequência de teclas:
4
g
yx
Devemos observar que a função secundária de cor azul da tecla yx é a raiz 
quadrada de um número fornecido. 
1.4 A pilha ou memórias temporárias (T, Z, Y, X) 
A calculadora HP-12C utiliza quatro registradores especiais, os quais são 
usados para o armazenamento dos dados numéricos durante os cálculos. 
São quatro memórias temporárias que funcionam como se fossem um 
tambor rotativo, por isso denominadas de “memória de pilha”, e podem 
ser esquematizadas como a seguir:
a) A memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor, a 
menos que a calculadora esteja no modo de programação.
b) Todas as operações aritméticas são efetuadas apenas com os conteú-
dos das memórias X e Y; a tecla ENTER separa o segundo número 
do primeiro que foi introduzido.
c) Os conteúdos das memórias do tambor são movimentados:
• quando os valores são colocados dentro da máquina por meio da 
tecla ENTER;
• quando são efetuadas operações aritméticas por meio das teclas 
+, −, x, ÷;
• pressionando as teclas R↓ ou x y.
d) O conteúdo de cada memória só é destruído quando um novo valor 
ocupa o seu lugar. Assim, o fato de o conteúdo da memória ter sido 
transferido para a memória Y trará as seguintes consequências:
• a memória Y passará a conter o valor anteriormente contido na 
memória X; a memória X continuará a conter o seu valor anterior.
><
218
e) As memórias Z e T são usadas para a retenção automática dos resul-
tados intermediários de cálculos em cadeia.
Esse método de entrada de números, chamado RPN (Reverse Polish Notation 
– Notação Polonesa Inversa), é um caminho muito natural para traduzir cálcu-
los, escritos em uma forma que a calculadora possa compreen der. Usando 
a pilha, não há necessidade de usar parênteses, desde que a sua posição 
determine a ordem na qual os números serão usados nos cálculos. 
1.5 A tecla ENTER 
Quando um número é digitado, ele imediatamente ocupa a memória X, 
que é a única cujo conteúdo aparece no visor.
Ao acionarmos a tecla ENTER, desencadeiam-se as seguintes transferências 
de valores entre as memórias:
Ou seja; 
• o conteúdo de X (visor) é transferido para Y e mantido em X; 
• o conteúdo de Y é transferido para Z; 
• o conteúdo de Z é transferido para T; 
• o conteúdo de T é perdido. 
Assim, o valor digitado, após acionarmos a tecla ENTER, passa a ser o 
conteúdo das memórias X e Y.
1.6 A tecla x y
Essa tecla, ao ser acionada, permuta os conteúdos das memórias X e Y, 
mantendo as memórias Z e T inalteradas.
1.7 A tecla R↓ (roll down)
Ao ser acionada, essa tecla desencadeia as seguintes transferências:
• o conteúdo de X é transferido para T;
><
219
• o conteúdo de T é transferido para Z;
• o conteúdo de Z é transferido para Y;
• o conteúdo de Y é transferido para X.
Como vemos, há um giro no tambor para cada acionamento da tecla R↓ , 
sem haver qualquer perda de informação. Assim, o acionamento consecu-
tivo da tecla R↓ por quatro vezes nos permite conhecer os conteúdos das 
quatro memórias X, Y, Z e T, ao passarem pelo visor, e devolve o tambor 
para a sua posição inicial.
1.8 As teclas + , − , × , ÷ 
Observe que a máquina HP-12C não tem a tecla = (sinal de igualdade). 
Já vimos que ela utiliza o sistema RPN (Reverse Polish Notation – Notação 
Polonesa Reversa), na qual, para somar 1 e 2, por exemplo, informamos os 
dois valores a operar, consecutivamente, intercalados com o acionamento 
da tecla ENTER e, em seguida, a operação que se deseja realizar. A máquina 
efetua a operação e apresenta o resultado:
1 ENTER 
2 + (o resultado apresentado no visor é 3). 
Observe também que, na HP-12C Platinum, as teclas CHS e EEX têm fun-
ções secundárias denominadas, respectivamente, RPN (Reverse Polish No-
tation) e ALG (Algebraic). Quando, no visor, está escrito RPN, a máquina se 
comporta como a HP-12C comum. Entretanto, se estiver no visor a indica-
ção ALG, ela se comporta de forma semelhante às calculadoras científicas, 
não utilizando o sistema RPN, ou seja, as operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão são efetuadas pelo modo tradicional. A função 
LSTx foi transferida da tecla ENTER para a tecla + e, na tecla ENTER, foi 
adicionada a função =. Por exemplo, para somar 1 e 2 quando o indicador 
ALG estiver aceso, teclamos: 1 + 2 = e o resultado apresentado é 3. Nosso 
livro considera, em toda a sua extensão, a calculadora HP-12C trabalhando 
no regime comum (sistema RPN).
1.9 Fixação do número de casas decimais no visor
O visor mostra apenas o valor contido na memória X, com o número de 
casas decimais que for fixado, fazendo o arredondamento necessário (se 
a primeira decimal não mostrada for ≥ 5, a última decimal do visor será 
acrescida de uma unidade).
220
A fixação do número de casas decimais será feita com o auxílio da tecla 
amarela f. Basta, para isso, que acionemos a tecla f e, em seguida, o número 
de casas decimais desejado (de 0 a 9).
1.10 Importante saber
a) A sequência de teclas f REG limpa, de uma só vez, o conteúdo das 
seguintes memórias:
• memórias temporárias: X, Y, Z, T;
• memórias fixas: 0 a 9, .0 a .9;
• memórias financeiras: n, i, PV, PMT, FV.
b) A tecla CHS troca o sinal do conteúdo da memória X, ou seja, do núme-
ro que aparece no visor; informa à máquina que se trata de um fluxo de 
caixa.
c) As cinco teclas financeiras obedecem às seguintes definições:
n número de períodos de capitalização, expresso em anos, 
 semestres, meses, dias etc.;
i taxa de juros por período de capitalização, expressa em 
 porcentagem;
PV valor do principal, ou seja, do capital (C) inicial 
 empregado (PV = valor presente);
PMT valor de cada prestação (p) da série uniforme (renda);
FV valor do montante após n períodos de capitalização, à taxa i, 
 em capitalização composta (FV = valor futuro).
221
Proporcionalidade
1 Razão
Você sabe o que é razão?
 Razão é o quociente entre dois números. 
Vejamos um exemplo. Nas últimas eleições presidenciais, para cada voto 
que o candidato da situação ganhou, o candidato da oposição recebeu dois 
votos. Dizemos, então, que a relação entre o número de votos da situação 
e o número de votos da oposição é representada pelo quociente indicado 
(lemos: 1 está para 2). A esse quociente chamamos razão.
Vamos a outro exemplo. Uma pessoa ficou durante algum tempo na janela 
de sua casa observando os carros que trafegavam na rua. Verificou que, para 
cada carro importado que passava, outros oito carros nacionais circulavam 
naquela rua. Dizemos, então, que a relação entre o número de carros impor-
tados e o número de carros nacionais é representada pelo quociente indicado 
(lemos: 1 está para 8). De novo, a esse quociente chamamos razão.
Realmente é um conceito muito simples.
De forma geral, representamos a razão entre dois números racionais x e y 
(com y diferente de zero) da seguinte forma:
ou x : y (lemos: x está para y)
Chamamos x e y de termos da razão, em que x é o antecedente e y é o 
consequente.
Para termos certeza de que você entendeu o conceito de razão, vamos veri-
ficar alguns exemplos?1) Vamos escrever como lemos a razão. 
a) (a está para b)
 
b) (16 está para 4)
222
2) Escreveremos na forma de razão os números dados e daremos a leitura 
correspondente.
a) 7 e 10 7 está para 10
 
b) 8 e m 8 está para m
 
c) antecedente 3 e consequente 4 3 está para 4
3) Determinaremos o valor da razão entre os números dados.
a) 1 e 4 = 0,25
 
b) 30 e 5 = 6
 
c) 64 e 8 = 8
 
d) 1 e 10 = 0,1 
 
Observe que, para o cálculo do valor de uma razão entre dois números 
dados, basta dividir esses dois números tal qual você faria com uma fração, 
ou seja, o numerador (no caso, o antecedente) dividido pelo denominador 
(no caso, o consequente).
1.1 Razões inversas
Duas razões são chamadas de inversas quando o antecedente da pri-
meira é igual ao consequente da segunda e o consequente da primeira é 
igual ao antecedente da segunda.
Vejamos alguns exemplos:
1) são razões inversas.
 
2) são razões inversas.
3) são razões inversas.
;
;
;
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
223
1.2 Razões iguais
Duas ou mais razões são iguais quando as frações que as representam 
são equivalentes. 
Como é isso ?
Suponhamos as razões . Como saber se são iguais?
Simplifiquemos a segunda fração dividindo tanto o seu numerador quan-
to o seu denominador por 5. Assim, teremos:
Então, as duas razões são iguais, pois as frações que as representam são 
equivalentes.
Para você fixar melhor o conceito de razões iguais, vejamos outros exemplos:
1) As razões são equivalentes, porque . 
2) As razões são equivalentes, porque .
Ficou fácil ? 
Caso você não tenha percebido que as frações acima são equivalentes, faça 
a divisão de cada uma delas e verifique que seus valores são iguais.
1.3 Razões entre duas grandezas
Primeiramente, devemos tomar o cuidado de lembrar que, para estabele-
cer uma razão entre duas grandezas, elas devem ser da mesma espécie.
Então, a razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quo-
ciente dos números que medem essas grandezas.
Por exemplo, consideremos as alturas de duas pessoas: Larissa mede 1,44 m e 
Gabriele mede 1,60 m. Qual é a razão entre as alturas de Larissa e Gabriele?
A razão entre as alturas é: medida 
Observe que devemos tomar os números que medem as grandezas conside-
radas na mesma unidade. No exemplo anterior, ambas estão em metros.
Vamos analisar outros exemplos para esclarecer melhor a razão entre duas 
grandezas. 
224
1) Estabeleceremos a razão entre as idades de Denise (38 anos) e Nelson (50 
anos).
A razão entre as idades é 
2) Dois terrenos têm formas retangulares. O primeiro tem 12 metros de 
largura por 40 metros de comprimento, e o segundo tem 15 metros de 
largura por 50 metros de comprimento. 
 Vamos, portanto, determinar a razão entre:
a) A largura do primeiro terreno e a largura do segundo terreno.
b) O comprimento do segundo terreno e o comprimento do primeiro terreno.
3) Uma pessoa comprou um apartamento por R$ 60.000,00 e vendeu-o por 
R$72.000,00. 
 Vamos determinar a razão entre:
a) O preço de compra e o preço de venda do apartamento.
b) O preço de venda e o preço de compra do apartamento.
4) Agora iremos determinar a razão entre um minuto e meia hora.
Lembre-se de que as grandezas consideradas devem estar na mesma unidade 
de medida. Portanto, vamos trabalhar com minutos. A razão procurada é:
5) Determinaremos a razão entre quatro semestres e um ano.
Novamente, devemos prestar atenção nas grandezas envolvidas: semestre 
e ano. 
Vamos transformar as duas grandezas para semestres. A razão procurada é:
225
 
1.4 Aplicações diversas de razão
A razão nos permite fazer cálculos dos mais variados. Podemos, por exem-
plo, resolver problemas de partilhas.
Imaginemos que Nilza e Layra compraram uma barra de chocolate por R$ 2,00. 
Nilza deu R$ 1,50 e Layra deu R$ 0,50. Suponhamos que elas tenham concor-
dado em dividir a barra de chocolate na mesma razão do valor pago. Quanto 
cada uma recebeu da barra?
A razão é 
Isso significa que Nilza recebeu três partes para cada parte recebida por 
Layra. Logo, elas dividiram a barra em quatro partes iguais: três para Nilza 
e uma para Layra.
Observe que o chocolate deve ser dividido em quatro partes iguais (três 
mais uma).
Vamos a mais um exemplo de partilha.
Cauê e Tainã lavaram o carro do Sr. José e receberam pelo trabalho R$ 10,00. 
Cauê trabalhou duas horas e Tainã trabalhou três horas. Eles concordaram 
em dividir os R$ 10,00 na mesma razão que as horas trabalhadas por cada um. 
Quando cada um deve receber?
A razão das horas trabalhadas é: , o que dá um 
total de cinco partes (2 mais 3). Logo, cada parte vale R$ 10,00 divididos por 
5 = R$ 2,00.
Então, Cauê deverá receber 2 . R$ 2,00 = R$ 4,00 e Tainã deverá receber 
3 . R$ 2,00 = R$ 6,00.
Não é fácil? Então vamos ver outra aplicação da razão: a escala.
Suponhamos que você vá comprar um apartamento ainda na planta, ou 
seja, o apartamento não está construído. Você provavelmente desejará ver 
o desenho desse apartamento, ou seja, a sua planta. É claro que você não 
verá o desenho em tamanho real, mas sim em tamanho reduzido. Você há 
de concordar que seria estranho, nesse desenho, se o banheiro fosse maior 
que a sala de jantar.
226
Então, como é que fazemos esse desenho? Como é que fazemos a planta 
desse apartamento?
A resposta é: utilizando uma escala. A escala nada mais é que a razão entre 
a medida do comprimento de um desenho e a medida do comprimento real 
do que se está desenhando.
Por exemplo, um apartamento desenhado na escala (representamos 1 : 100) 
significa dizer que cada 1 centímetro do desenho corresponde a 100 centí-
metros do comprimento real do apartamento. Lemos 1 por 100.
Imaginemos que esse apartamento tenha uma sala retangular de 10 me-
tros de comprimento (1.000 cm) por 3,5 metros de largura (350 cm). Isso 
significa dizer que desenharíamos um retângulo de centímetros de 
com pri mento por centímetros de largura.
 
Para fixar melhor esse conceito de escala, vamos resolver alguns exemplos.
1) Sabendo que 8 centímetros num desenho corresponde a 4 metros no real, 
vamos determinar qual foi a escala utilizada.
Lembre inicialmente que 4 metros são 400 centímetros. Então, a escala uti-
lizada foi de ou 1 : 50 
2) O mapa do Brasil foi desenhado na escala 1 : 20.000.000. Se a distância 
entre duas cidades, no desenho, é de 2 centímetros, qual a distância real 
entre elas?
Como no desenho cada 1 cm corresponde, na realidade, a 20.000.000 cm, 
2 cm corresponderão a 40.000.000 cm, ou seja, 400 quilômetros. Essa é a 
distância real entre as duas cidades.
3) Um carro foi desenhado na escala 1 : 60. Qual o comprimento e a largu-
ra desse carro?
227
O comprimento do carro é de 372 cm ou 3,72 m, e a largura é de 162 cm 
ou 1,62 m.
Como chegamos a esses resultados?
Sabemos que cada 1 cm do desenho corresponde a 60 cm do tamanho real 
do carro. Então, 2,7 cm de largura, no desenho, corresponderão a 2,7 . 60 = 
162 cm ou 1,62 m, e 6,2 cm de comprimento, no desenho, corresponderão 
a 6,2 . 60 = 372 cm ou 3,72 m.
Como você pode observar, as aplicações da razão são muitas. Podemos, 
ainda, citar como aplicação a ampliação ou a redução de desenhos ou de 
figuras, muito utilizada por artistas de pintura.
2 Proporção
Agora que você já sabe o que é razão, saberia definir o que é proporção?
Caso não saiba, não se preocupe. De agora em diante, esse assunto ficará 
claro para você.
Imagine que a razão entre o número de moças e o número de rapazes que 
estejam assistindo a um curso seja igual a . O que isso significa? Signi-
fica que:
a) para cada 2 moças temos 3 rapazes no curso; ou
b) para cada 4 moças temos 6 rapazes no curso; ou
c) para cada 6 moças temos 9 rapazes no curso; e assim por diante.
As frações são frações equivalentes pois, se simplificarmos
ambas serão iguais a . 
 
Logo, as razões são iguais. 
A igualdade de duas razões chama-seproporção.
2,7 cm
6,2 cm
,
228
A proporção é lida 4 está para 6, assim como 6 está para 9. 
A proporção anterior pode ainda ser indicada por 4 : 6 = 6 : 9
De um modo geral, uma proporção pode ser escrita da forma:
 ou a : b = c : d 
Lemos: a está para b, assim como c está para d.
Os termos de uma proporção são:
Vejamos outros exemplos de proporção.
1) , que lemos 3 está para 4, assim como 6 está para 8. 
 
2) , que lemos 5 está para y, assim como 10 está para 4. 
3) Na proporção , 7 e 4 são os extremos; 2 e 14 são os meios. 
2.1 Propriedade fundamental das proporções
Em qualquer proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos.
Vamos utilizar como exemplos as proporções já mostradas anteriormente.
1) 
Verifique que o produto dos meios (3 . 4) é igual ao produtos dos extremos 
(2 . 6). 
2) 
Verifique novamente que (6 . 6) = (4 . 9).
3) 
Agora, (4 . 6) = (3 . 8).
229
2.2 Aplicação da propriedade fundamental das proporções
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, podemos calcular 
o valor de um termo desconhecido, caso conheçamos os outros três. Veja-
mos, como exemplo, a proporção já citada anteriormente:
 Qual o valor do termo desconhecido y?
Aplicando a propriedade fundamental, temos:
(10 . y) = (5 . 4)
Resolvendo a equação de primeiro grau acima, temos:
10 . y = 20
y = 2
Vamos praticar mais a utilização da propriedade fundamental. Analise-
mos os exemplos a seguir.
1) Qual o valor de x na proporção?
8 . x = 4 . 10
x = 5
2) Qual o valor de y na proporção?
 5 . y = 7 . 10
y = 14
230
3) Qual o valor de z na proporção?
6 . z = 12 . 5
z = 10
Acreditamos que você já tenha entendido bem o que é proporção.
Com o conhecimento adquirido até aqui, você poderá resolver uma infini-
dade de problemas que envolvam razão e proporção. Vejamos mais alguns 
exemplos.
1) No século XIX, as bicicletas tinham rodas grandes na frente e rodas meno-
res atrás, e a razão entre o diâmetro da roda dianteira e o diâmetro da roda 
traseira era de aproximadamente 2 : 1. Supondo que a roda dianteira tinha 
um diâmetro de 100 cm, verifique o diâmetro da roda traseira.
Aplicando o conceito de proporção e chamando de x o diâmetro da roda 
traseira, temos:
Essa proporção está expressando que o diâmetro da roda dianteira está 
para 2, assim como o diâmetro da roda traseira (que denominamos de x) 
está para 1.
Resolvendo a equação de primeiro grau, temos:
2 . x = 100 . 1
x = 50
Logo, a roda traseira tem 50 cm de diâmetro.
2) Os salários de Zezinho e de Duda estão na razão de 2 : 5. Sabendo que 
Duda recebe, mensalmente, R$ 1.200,00, identifique o valor do salário 
de Zezinho.
Aplicando o conceito de proporção e chamando de y o salário de Zezinho, 
temos:
231
y . 5 = 1.200 . 2
y = 480
Logo, o salário de Zezinho é de R$ 480,00.
3) Determine os números cuja soma é 20 e a razão entre eles é .
Observe que, se você não conhece os números, deve chamá-los por duas 
letras do alfabeto, por exemplo x e y. Então, sabemos que x + y = 20 e a 
razão entre eles é de .
Assim, podemos montar um sistema de equações de primeiro grau, com 
duas equações e duas incógnitas.
Resolvendo o sistema de equações, temos:
Somando as duas equações, temos:
4x + 0 = 20
x = 5
Conhecendo o valor de x, escolhemos qualquer das duas equações do sistema 
e determinamos o valor de y.
Por exemplo, sabemos que x + y = 20. Como x vale 5, então 5 + y = 20.
232
Logo, y = 20 – 5 
Ou seja: y = 15.
2.3 Outras propriedades das proporções
a) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 
primeiro (ou segundo), assim como a soma dos últimos termos está 
para o terceiro (ou quarto).
Vamos esclarecer.
Seja a proporção
, em que a é o 1º termo, b é o 2º termo, c é o 3º termo e d é o 4º termo.
Então:
Vamos a um exemplo numérico sobre esse assunto.
Vamos determinar os valores das incógnitas x e y em:
6 . x = 30 . 1
x = 5
Como e como x = 5, temos: 
233
y . 1 = 5 . 5
y = 25
b) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para 
o primeiro (ou segundo), assim como a diferença dos dois últimos 
termos está para o terceiro (ou quarto).
Seja novamente a proporção
, em que a é o 1º termo, b é o 2º termo, c é o 3º termo e d é o 4º termo.
Vamos a mais um exemplo numérico.
Quais os valores das incógnitas x e y na expressão a seguir?
3 . x = 6 . 5
 x = 10
Como x − y = 6, temos:
10 − y = 6
y = 4
c) Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para 
a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente 
está para o seu respectivo consequente.
234
Seja mais uma vez a proporção
, em que a é o 1º termo, b é o 2º termo, c é o 3º termo e d é o 4º termo.
 
Então:
Vejamos um exemplo numérico.
Quais os valores das incógnitas x e y na expressão a seguir?
5 . x = 50.000 . 2
x = 20.000
5 . y = 50.000 . 3
y = 30.000
ou
235
Resolva os exercícios a seguir. Caso sinta alguma dificuldade, reveja neste 
material o assunto relativo a sua dúvida. Mãos à obra!
1) Dadas as razões a seguir, identifique com (i) as que forem iguais e com 
(v) as que forem inversas.
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
2) Determine a razão entre:
a) um dia e uma semana
( ) 1 : 7
( ) 7 : 1
( ) 1 : 30
( ) 30 : 1
b) um dia e uma hora
( ) 1 : 60
( ) 1 : 24
( ) 24 : 1
( ) 60 : 1
3) Marcel e Chauã resolveram limpar o terreno da casa dos avós. Como 
recompensa, foi-lhes prometido o pagamento total de R$ 50,00, pagos 
na mesma razão das horas trabalhadas por cada um. Marcel trabalhou 
seis horas, enquanto Chauã trabalhou apenas quatro horas. Quanto re-
cebeu cada um pelo trabalho executado?
( ) Marcel = R$ 35,00 e Chauã = R$ 15,00
( ) Marcel = R$ 20,00 e Chauã = R$ 30,00
( ) Marcel = R$ 15,00 e Chauã = R$ 35,00
( ) Marcel = R$ 30,00 e Chauã = R$ 20,00
236
4) Determine o valor da incógnita nas proporções a seguir.
a) 
( ) x = 6
( ) x = 9
( ) x = 12
( ) x = 8
b) 
( ) y = 8
( ) y = 6
( ) y = 2
( ) y = 10
5) A diferença entre dois números é 12, e a razão entre eles é de . Deter-
mine esses números.
( ) x = 32 e y = 20
( ) x = 20 e y = 32
( ) x = 8 e y = 20
( ) x = 20 e y = 8
1. (i) 5 (v) 3 (v) 12 (i) 8
2. a) 1 : 7
 b) 24 : 1
3. Marcel = R$ 30,00 e Chauã = R$ 20,00
4. a) x = 9
 b) y = 2
5 . x = 20 e y = 8
8 5 20 5
237
Grandezas proporcionais
1 Números diretamente proporcionais
No Apêndice B você aprendeu o que é razão. Só para relembrar, aí vai nova-
mente a definição:
Razão é o quociente entre dois números. 
Vamos agora observar a correspondência entre a quantidade de pessoas e 
a correspondente quantidade de pernas:
Pessoas Pernas
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
Temos aqui duas sucessões de números, a saber:
a) pessoas: 1, 2, 3, 4, 5
b) pernas: 2, 4, 6, 8, 10
Como saber se essas duas sucessões de números são diretamente propor-
cionais ? 
É extremamente simples. 
Primeiramente, devemos estabelecer uma correspondência entre os núme-
ros das duas sucessões. Então, teremos:
Pessoas: 1, 2, 3, 4, 5
Pernas: 2, 4, 6, 8, 10
A seguir, devemos obter a razão entre esses números em correspondência, 
ou seja:
238
Devemos agora verificar se essas razões possuem o mesmo valor, ou seja, 
se a razão é constante.
Fazendo a divisão de cada uma das frações, obtemos o resultado sempre 
igual a 0,5. Logo, a razão é constante.
Sucessões como essas, em que a razão entre os elementos correspondentes 
é constante, são chamadas de diretamente proporcionais.
Essa razão constante, que no exemplo anterior é igual a 0,5 , é denominada 
de fator de proporcionalidade.
Vamos a alguns exemplos para você fixarmelhor esse conceito.
1) Determine os valores da incógnitas x e y nas sucessões diretamente 
proporcionais a seguir.
Como sabemos que as sucessões são diretamente proporcionais, podemos 
escrever:
Igualando essas razões duas a duas, temos:
12 . x = 4 . 24
x = 8
4 . y = 12 . 12
y = 36
2) Divida uma herança de R$ 50.000,00 em partes proporcionais a 2 e 3.
Vamos chamar de x e y as partes procuradas. Assim, temos:
239
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando agora as duas equações, temos:
5 . x = 100.000
x = 20.000
Substituindo o valor de x na equação x + y = 50.000, temos:
20.000 + y = 50.000
y = 50.000 − 20.000
y = 30.000
Assim, a pessoa que receberá de herança a quantia proporcional a 2 recebe-
rá R$ 20.000,00, e a pessoa que receberá a quantia proporcional a 3 receberá 
R$ 30.000,00.
3) Distribua 100 quilos de alimentos para duas famílias carentes, obede-
cendo à proporção de pessoas nelas residentes. Na família A temos seis 
pessoas e na família B temos quatro pessoas.
Vamos chamar de x o número de quilos de alimentos que cabe à família A 
e de y o número de quilos que cabe à família B. Temos então que:
Vamos agora resolver esse problema aplicando a propriedade de propor-
ções relembrada anteriormente.
240
10 . x = 100 . 6
x = 60
Como x + y = 100, 60 + y = 100 
Logo, y = 40
Então, a família A receberá 60 quilos de alimentos, e a família B receberá 
40 quilos de alimentos.
2 Números inversamente proporcionais
Vamos agora observar a correspondência entre duas novas sucessões de 
números. Imaginemos que queremos distribuir 96 brinquedos entre as 
crianças de uma creche.
 Crianças Brinquedos
Se houver 4 cada uma receberá 24
Se houver 6 cada uma receberá 16 
Se houver 8 cada uma receberá 12
Se houver 12 cada uma receberá 8
Temos aqui duas sucessões de números, a saber:
a) crianças: 4, 6, 8, 12
b) brinquedos: 24, 16, 12, 8
Como saber se essas duas sucessões de números são inversamente propor-
cionais ? 
É extremamente simples. 
241
Primeiramente, devemos estabelecer uma correspondência entre os núme-
ros das duas sucessões. Então, temos:
Crianças: 4, 6, 8, 12
Brinquedos: 24, 16, 12, 8
A seguir, devemos obter os produtos dos números mantendo a correspon-
dência anteriormente assinalada. Assim, temos:
4 . 24 = 96
6 . 16 = 96
8 . 12 = 96
12 . 8 = 96
Devemos agora verificar se esses produtos possuem o mesmo valor. No 
caso, obtivemos produtos constantes e iguais a 96.
Sucessões como essas, em que o produto entre os elementos correspon-
dentes é constante, são chamadas de inversamente proporcionais.
Esse produto constante, que no exemplo anterior é igual a 96, é denominado 
de fator de proporcionalidade.
Observe que 
 
Vamos, então, a alguns exemplos resolvidos para melhor fixar esse conteúdo.
1) Determine os valores das incógnitas nas seguintes sucessões inversa-
mente proporcionais.
Como sabemos que as sucessões são inversamente proporcionais, então:
x . 2 = 3 . 6 = y . 9
Igualando esses produtos dois a dois, temos:
x . 2 = 3 . 6
242
x = 9
y . 9 = 3 . 6
y = 2
2) Divida uma herança de R$ 50.000,00 em partes proporcionais inversa-
mente a 2 e 3.
Vamos chamar de x e y as partes procuradas. Assim, temos:
Aplicando novamente a propriedade de proporções que diz “Em toda 
proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou 
diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu 
respectivo consequente”, temos:
10 . x = 6 . 50000
 x = 30000
 e
243
15 . y = 6 . 50000
 
y = 20000
Assim, a pessoa que receberá de herança a quantia inversamente propor-
cional a 2 rece berá R$ 30.000,00, e a pessoa que receberá a quantia inversa-
mente proporcional a 3 receberá R$ 20.000,00.
3 Grandezas diretamente proporcionais
Quando compramos mercadorias (arroz, macarrão, café, ...), gastamos certa 
importância em dinheiro. O peso da mercadoria e o seu custo são duas 
grandezas variáveis dependentes, ou seja, se uma aumenta, a outra tam-
bém aumenta. Por exemplo, se um quilograma de café custa R$ 6,00, então 
dois kg custarão R$ 12,00, três kg custarão R$ 18,00, e assim por diante.
Verificamos que, duplicando a quantidade de mercadoria, duplica o custo; 
triplicando a quantidade de mercadoria, triplica o custo, e assim por diante.
Dizemos, então, que as grandezas mercadoria e custo são diretamente 
proporcionais.
Considerando as razões entre os números que exprimem as medidas das 
grandezas acima, temos:
Observamos, ao simplificar as frações acima, que são todas iguais, ou 
seja:
Logo, são números diretamente proporcionais, e as grandezas a eles asso-
ciadas se dizem diretamente proporcionais.
244
Vejamos outro exemplo.
Uma máquina produz 18 peças de determinado equipamento por hora. 
Logo, em duas horas, produzirá 36 peças, em três horas produzirá 54 pe-
ças, e assim por diante. A quantidade de peças produzidas e o tempo gasto 
para produzi-las são diretamente proporcionais?
Vamos estabelecer a razão entre essas duas grandezas.
Verificamos, ao simplificar as frações acima, que são todas iguais, ou seja:
Logo, são números diretamente proporcionais e as grandezas a eles asso-
ciadas se dizem diretamente proporcionais.
4 Grandezas inversamente proporcionais
Consideremos a velocidade de um veículo, suposta constante durante um 
trajeto, e o tempo empregado para percorrer certa distância. Por exemplo, 
com a velocidade constante de 30 km/h, um veículo leva 12 horas para 
percorrer certa distância. Ao dobrar a velocidade para 60 km/h, o mesmo 
veículo levará 6 horas para percorrer a mesma distância. Ao triplicar a ve-
locidade inicial, portanto 90 km/h, o mesmo veículo levará agora 4 horas 
para percorrer aquela distância.
Verificamos que, ao dobrar a velocidade, o tempo gasto caiu pela metade; 
ao triplicar a velocidade, o tempo gasto caiu para um terço.
Dizemos, então, que as grandezas velocidade e tempo são inversa-
mente proporcionais.
Para montarmos a razão entre esses números, temos que:
Observamos, então, que o produto entre os números correspondentes é 
sempre igual, ou seja:
30 . 12 = 60 . 6 = 90 . 4
245
Logo, as grandezas analisadas são inversamente proporcionais, pois as su-
cessões de números que as representam são inversamente proporcionais.
Para representarmos as proporções de grandezas inversamente proporcio-
nais, precisamos inverter uma das razões. Verifique:
Velocidade Tempo
30 km/h 12 horas
60 km/h 6 horas
Fácil, não é ?
Para fixar melhor, vamos analisar outro exemplo.
Dois pintores pintam uma residência em seis dias, e quatro pintores, nas 
mesmas condições, pintam a mesma residência em três dias. As grandezas 
envolvidas, pintores e dias, são inversamente proporcionais ?
Pintores Dias
2 6
4 3
Notamos que o produto dos números correspondentes é igual, ou seja:
2 . 6 = 4 . 3
Logo, as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Quanto 
mais pintores, menos dias são necessários para pintar a residência.
Então, para representar a proporção dessas duas grandezas, temos que:
Resolva os exercícios a seguir. Caso sinta alguma dificuldade, reveja 
neste material o assunto relativo a sua dúvida.
246
1) Determine os valores das incógnitas nas seguintes sucessões de núme-
ros diretamente proporcionais:
( ) 4 e 5
( ) 45 e 36
( ) 5 e 4
( ) 36 e 45
2) Divida 300 em partes diretamente proporcionais a 6 e 9.
( ) 90 e 210
( ) 210 e 90
( ) 180 e 120
( ) 120 e 180
3) Divida R$ 700,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
( ) R$ 400,00 e R$ 300,00
( ) R$ 300,00 e R$ 400,00
( ) R$ 490,00 e R$ 210,00
() R$ 210,00 e R$ 490,00
4) Um aluno resolve 20 exercícios de matemática em três horas. Esse mesmo 
aluno, em seis horas, resolveria quantos exercícios de matemática seme-
lhantes aos primeiros?
( ) 10
( ) 40
( ) 60
( ) 20
247
1. 5 e 4
2. 120 e 180
3. R$ 400,00 e R$ 300,00
4. 40
5. Duas horas e meia.
5) Três torneiras enchem uma caixa d’água em cinco horas. Em quantas horas 
seis torneiras semelhantes às primeiras encheriam a mesma caixa-d’água?
( ) 5 horas
( ) 10 horas
( ) 2 horas e meia
( ) 7 horas e meia
248
Regra de três
1 Regra de três simples
Consideremos os números 6, 8, 9 e 12. Vemos que a razão entre o primeiro 
e o segundo e a razão entre o terceiro e o quarto são iguais, ou seja:
Dizemos, nesse caso, que os números 6, 8, 9 e 12, nessa ordem, formam uma 
proporção e assim lemos a igualdade acima: 6 está para 8, assim como 9 está 
para 12.
Você se lembra disso? Foi o nosso assunto do Apêndice B.
Os números 6, 8, 9 e 12 são chamados termos da proporção, em que o pri-
meiro e o quarto termos são chamados de extremos, enquanto que o segundo 
e o terceiro termos são chamados de meios.
Aqui é interessante você recordar que, quando duas razões são iguais, o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No exemplo acima, 
então, temos: 8 . 9 = 6 . 12
Portanto, se um dos quatro termos dessa igualdade for desconhecido, fica 
fácil calculá-lo. Para tal, lançamos mão de uma regra prática que nos per-
mite esse cálculo, sejam as grandezas envolvidas direta ou inversamente 
proporcionais. A essa regra denominamos regra de três simples. Observe 
que a regra se diz simples porque envolve somente duas grandezas.
Vamos analisar inicialmente o caso em que as duas grandezas envolvidas 
são diretamente proporcionais. Para tal, vamos nos valer de um exemplo.
Certa máquina produziu 100 peças trabalhando durante 60 minutos. Quantas 
peças produzirá em uma hora e meia?
O primeiro passo consiste em identificar quais são as grandezas envolvi-
das. No caso, são peças produzidas e tempo gasto (em minutos).
O segundo passo é verificar se essas grandezas são direta ou inversamente 
proporcionais. Como, à medida que o tempo aumenta, a produção de peças 
também aumenta, trata-se de grandezas diretamente proporcionais. Coloca-
mos, então, essas grandezas dispostas em duas colunas, como a seguir:
249
Peças produzidas Tempo gasto (minutos)
 100 60
 x 90
Observe que o termo desconhecido chamamos de x e que não devemos mis-
turar, em uma mesma grandeza, diferentes unidades. Na coluna do tempo 
gasto, transformamos uma hora e meia em minutos, pois a outra informação 
que temos é em minutos.
O terceiro passo consiste em colocarmos flechas ao lado dos valores de cada 
coluna, indicando em que sentido as grandezas crescem. Veja como fica:
Peças produzidas Tempo gasto (minutos)
 100 60
 x 90
As flechas no mesmo sentido nos indicam que as grandezas são diretamen-
te proporcionais.
Acredite: isso ajuda bastante a visualizar o problema e facilita a sua solução.
O quarto passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do problema.
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão dos dois 
valores de uma das grandezas é igual à razão dos dois valores correspon-
dentes da outra grandeza. Então, temos:
O quinto e último passo é determinarmos o valor da incógnita x a partir da 
lembrança de que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Logo:
60 . x = 100 . 90
x = 150
Assim, verificamos que, em uma hora e meia, a máquina produzirá 150 
peças.
Vamos, agora, analisar o caso em que as grandezas envolvidas são inversa-
mente proporcionais a partir do exemplo a seguir.
250
Oito máquinas iguais fabricam certo número de peças em 15 dias. Em 
quantos dias 12 máquinas iguais às primeiras fabricam o mesmo número 
de peças?
As grandezas envolvidas nesse problema são máquinas e tempo (em dias).
Como, diminuindo o número de máquinas que estão trabalhando, aumenta 
o tempo necessário para fabricar o mesmo número de peças, as grandezas 
envolvidas são inversamente proporcionais. Vamos colocar essas grandezas 
dispostas em colunas.
Máquinas Tempo gasto (dias)
 8 15
 12 x
Observe os sentidos das flechas representadas nas colunas. Elas estão em 
sentidos contrários para indicar que as grandezas envolvidas são inversa-
mente proporcionais.
Para representarmos, agora, a proporção entre essas grandezas, precisa-
mos inverter uma delas, pois, quando duas grandezas são inversamente 
proporcionais, a razão dos dois valores de uma delas é igual ao inverso da 
razão dos dois valores correspondentes da outra.
Então, temos:
 
Determinando o valor da incógnita x:
12 . x = 8 . 15
x = 10
Então, as 12 máquinas fabricarão o mesmo número de peças em dez dias.
Resumindo:
Regra de três simples é uma regra prática utilizada para resolver 
certos problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente 
proporcionais, cujos valores podem formar uma proporção, sendo co-
nhecidos apenas três termos dessa proporção.
251
O principal cuidado que devemos tomar é na hora de escrever a proporção, 
uma vez que, caso as grandezas sejam inversamente proporcionais, deve-
mos inverter uma das razões.
2 Aplicações de regra de três simples
Para você entender bem a regra de três simples, nada melhor que analisar-
mos uma série de exemplos resolvidos. Vamos lá.
1) Com R$ 80,00 compro 20 metros de certo tecido. Quanto pagarei por 
32 metros desse tecido?
As grandezas envolvidas são dinheiro (em reais) e comprimento (em metros).
Observe que, se a quantidade de tecido aumenta, o seu custo também au-
menta. Logo, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais (fle-
chas com o mesmo sentido). Vamos, então, representá-las em colunas.
Dinheiro Comprimento (metros)
 80 20
 x 32
Vamos, agora, obter a proporção que nos permitirá determinar o valor da 
incógnita x.
Ficou fácil. Aplicando o nosso conhecimento de que o produto dos extre-
mos é igual ao produto dos meios, temos:
20 . x = 80 . 32
 x = 128
Verificamos que, para comprar 32 metros do tecido, são necessários R$ 128,00.
2) Com certa quantidade de lã fabrica-se uma peça de tecido de 10 metros 
de comprimento por 90 centímetros de largura. Qual seria o compri-
mento dessa peça de tecido se a largura fosse diminuída para 60 centí-
metros?
252
As grandezas envolvidas são comprimento (em metros) e largura (em 
centímetros).
Verificamos que, se diminuirmos a largura da peça, sobrará mais lã. Logo, 
poderemos ter um comprimento maior. Então, as grandezas envolvidas são 
inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui. 
Vamos representar isso em colunas.
Comprimento (metros) Largura (centímetros)
 10 90
 x 60
Para escrevermos a proporção, será necessário inverter uma das razões. Temos 
então:
Agora é só determinar o valor de x:
60 . x = 10 . 90
 x = 15
Conforme previsto, poderemos fabricar uma peça de tecido de lã com com-
primento maior. No caso, com 15 metros de comprimento.
3) Uma torneira que despeja seis litros de água por minuto enche uma 
caixa-d’água em duas horas. Quanto tempo levará para encher a mesma 
caixa-d’água uma torneira que despeja oito litros de água por minuto?
As grandezas envolvidas são vazão (em litros por minuto) e tempo (em 
horas).
Verificamos que, se aumentarmos a vazão, diminuirá o tempo necessário 
para encher a caixa-d’água. Logo, são grandezas inversamente proporcio-
nais. Vamos representar isso em colunas.
Vazão (litros por minuto) Tempo (horas)
 62
 8 x
253
Para escrevermos a proporção, será necessário inverter uma das razões. 
Temos então:
Ficou fácil. Agora é só determinar o valor de x:
8 . x = 2 . 6
x = 1,5
Então, o tempo necessário para encher a caixa-d’água é de uma hora e meia.
4) Um trem percorreu uma distância de 400 quilômetros em 5 horas e 
20 minutos, a uma velocidade supostamente constante. Qual o tempo 
necessário para o mesmo trem, mantendo as mesmas condições de velo-
cidade, percorrer 620 quilômetros?
Agora, as grandezas envolvidas são distância (em quilômetros) e tempo 
gasto (em minutos).
Podemos entender que, se a distância aumenta, aumentará também o tempo 
necessário para percorrê-la, já que a velocidade não se alterou. Então, as gran-
dezas são diretamente proporcionais. Vamos representá-las em colunas.
Distância (quilômetros) Tempo gasto (minutos)
 400 320
 620 x
Lembre-se: transformamos 5 horas e 20 minutos em minutos, ou seja:
5 . 60 + 20 = 320 minutos
Nesse caso, para escrevermos a proporção, não é necessário inverter uma 
das razões, pois as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
Então, temos:
x = 496
254
Ou seja, o trem levará 496 minutos para percorrer a distância de 620 quilô-
metros.
Caso você deseje, por curiosidade, transformar esse tempo em horas, divida 
496 por 60 (496 minutos : 60 minutos). Obtém-se o resultado: 8 de quociente 
e 16 de resto. Isso significa que o trem levará 8 horas e 16 minutos para per-
correr a distância desejada.
5) Uma secretária digita uma correspondência de 2.160 caracteres em 12 
minutos. Em quantos minutos a mesma secretária digitaria uma corres-
pondência com 4.500 caracteres?
Nesse problema, as grandezas envolvidas são a velocidade de digitação 
(em caracteres por minuto) e tempo gasto (em minutos). É fácil verificar 
que, quanto mais caracteres uma pessoa tem para digitar, mais tempo ela 
levará para realizar o seu trabalho. Logo, as grandezas envolvidas são dire-
tamente proporcionais. Vamos representá-las em colunas.
Velocidade de digitação Tempo gasto
 2160 12
 4500 x
Nesse caso, para escrevermos a proporção, não é necessário inverter uma 
das razões, pois as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
Então, temos:
2160 . x = 12 . 4500
x = 25
Em outras palavras, a secretária levaria 25 minutos para digitar uma corres-
pondência com 4.500 caracteres.
6) A uma velocidade constante, um automóvel gasta 38 litros de gasolina 
para percorrer uma distância de 400 quilômetros. Que distância esse 
mesmo automóvel percorreria, em condições semelhantes, com 66 litros 
e meio de gasolina?
As grandezas envolvidas são distância (em quilômetros) e combustível 
(em litros).
255
Você verifica com facilidade que, se as condições não se alteram, com mais 
gasolina a distância percorrida também aumenta. Logo, as grandezas envol-
vidas são diretamente proporcionais. Representando-as em colunas, temos:
Distância (km) Combustível (litros)
 400 38
 x 66,5
A proporção do problema será:
38 . x = 400 . 66,5
 x = 700
Ou seja, seriam percorridos 700 quilômetros.
7) Uma passagem de avião entre duas localidades custa, em determinado 
dia, R$ 238,00. Quanto custariam, nesse mesmo dia e nessa mesma em-
presa, 17 passagens entre essas duas mesmas localidades?
As grandezas envolvidas são custo (em reais) e passagens aéreas. Fácil no-
vamente verificar que, quanto maior o número de passagens a serem ad-
quiridas, maior será o custo total delas. Logo, são grandezas diretamente 
proporcionais. Vamos representá-las em colunas.
Custo (R$) Passagens
 238,00 1
 x 17
A proporção do problema será:
1 . x = 238 . 17
x = 4046
Pelo resultado obtido, verificamos que as 17 passagens custariam R$ 4.046,00.
256
8) Um grupo de cinco amigos resolveu acampar e levou alimentos e bebida 
suficientes para oito dias. Antes de chegarem ao acampamento, outros 
três amigos se integraram ao grupo e não levaram nenhum alimento ou 
bebida adicional. Quantos dias durarão os alimentos e as bebidas com o 
novo grupo?
As grandezas desse problema são pessoas e tempo (em dias). 
Como a quantidade de alimentos e de bebida não se alterou, quanto maior o 
número de pessoas para consumi-los, menor o número de dias que durarão. 
Logo, são grandezas inversamente proporcionais. Vamos representá-las em 
colunas e lembrar que, nesse caso, as flechas têm sentidos invertidos.
Pessoas Tempo (dias)
 5 8
 8 x
Como as grandezas são inversamente proporcionais, para escrevermos a 
proporção, precisamos nos lembrar de que uma das razões deverá ser in-
vertida. Então, temos:
 8 . x = 5 . 8
x = 5
Logo, os alimentos e a bebida serão suficientes para apenas cinco dias.
9) Um muro leva 18 dias para ser construído por dez homens. Caso um 
desses homens não trabalhe, quanto tempo será necessário para cons-
truir o mesmo muro?
Nesse problema, as grandezas envolvidas são homens e tempo gasto (em 
dias).
Verificamos com facilidade que, quanto menor a quantidade de homens 
trabalhando na construção de um muro, maior será a quantidade de dias 
necessários para construí-lo. Logo, trata-se de grandezas inversamente 
proporcionais. Vamos, então, representá-las em colunas.
257
Homens Tempo (dias)
 10 18
 9 x
Aqui também devemos inverter uma das razões para escrever a proporção, 
pois as grandezas são inversamente proporcionais. Então, temos:
9 . x = 10 . 18
x = 20
Pelo resultado, verificamos que serão necessários 20 dias para a constru-
ção do muro.
10) A 75 km/h, um trem percorre certa distância em seis horas. Qual deverá ser 
a sua velocidade para percorrer a mesma distância em apenas cinco horas?
Agora, as grandezas envolvidas são velocidade (em km/h) e tempo gasto 
(em horas).
Aqui, também, notamos que, se desejo levar menos tempo, devo correr mais, 
ou seja, a velocidade deve aumentar. Logo, são grandezas inversamente 
proporcionais. Vamos representá-las em colunas.
Velocidade Tempo
 75 6
 x 5
Nesse caso, para escrevermos a proporção, é necessário inverter uma das razões, 
pois as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Então, temos:
5 . x = 6 . 75
x = 90
Logo, o trem deverá fazer a viagem com uma velocidade de 90 km/h.
258
Você estudou alguns exemplos de aplicação de regra de três simples. Na 
sequência, apresentamos cinco exercícios para você resolver.
1) Para editar dois livros de matemática, foram consumidas 256 folhas de 
papel. Quantas folhas do mesmo papel serão necessárias para editar 15 
exemplares do mesmo livro?
( ) 2.880 folhas
( ) 3.840 folhas 
( ) 1.920 folhas
( ) 5.760 folhas
2) Quinze operários constroem uma residência em 72 dias. Quantos dias 
serão necessários para construir a mesma residência, se aumentarmos 
o número de operários para 18?
( ) 86,4 dias
( ) 37,5 dias
( ) 56 dias
( ) 60 dias
3) Uma pessoa, caminhando, percorre dez quilômetros em duas horas 
e trinta minutos. Quanto tempo levará essa pessoa para percorrer, 
caminhando, seis quilômetros?
( ) 90 minutos
( ) 250 minutos
( ) 120 minutos
( ) 40 minutos
4) Um minuto tem 60 segundos. Logo, quantos segundos tem uma hora?
( ) 216.000 segundos
( ) 3.600 segundos
( ) 21.600 segundos
( ) 36.000 segundos
259
5) Cinco torneiras enchem uma piscina em nove horas. Caso duas dessas 
torneiras não sejam utilizadas, quanto tempo levará para encher essa 
piscina?
( ) 5,4 horas
( ) 12 horas
( ) 15 horas( ) 18 horas
3 Regra de três composta
Neste Apêndice D, enfatizamos que a regra de três simples sempre envolve 
apenas duas grandezas. Logo, fica fácil deduzir que, se forem envolvidas 
mais de duas grandezas, a regra de três não se diz simples, e sim composta.
Consideremos dois operários que produzem, em cinco dias, 320 peças de 
certo produto. Quantas peças desse produto produzirão cinco operários 
em oito dias?
O primeiro passo consiste em determinar quais são as grandezas envolvi-
das no problema. Nesse caso, são três as grandezas: tempo (em dias), nú-
mero de peças e número de operários.
O segundo passo é dispor essas grandezas em colunas, tal qual foi feito na 
regra de três simples.
Operários Tempo (dias) Peças
 2 5 320
 5 8 x
O terceiro passo é estabelecer a natureza da proporcionalidade, ou seja, se 
as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Para tal, conside-
ramos as grandezas separadamente, duas a duas, uma das quais deve ser 
sempre a que possui a incógnita. No caso, a grandeza peças.
Não se esqueça: use sempre o dispositivo prático das flechas. É muito útil.
Consideremos, então, as grandezas peças e operários. Quanto mais ope-
rários trabalhando, mais peças serão produzidas. Logo, as grandezas são 
diretamente proporcionais e as duas flechas terão o mesmo sentido.
260
Operários Tempo (dias) Peças
 2 5 320
 5 8 x
Agora, consideremos as grandezas peças e tempo. Quanto mais tempo tiver-
mos para produzir as peças, mais peças serão produzidas. Logo, também são 
diretamente proporcionais. Então, se havíamos colocado a flecha de peças 
apontando para baixo, a flecha do tempo também apontará nesse sentido.
Operários Tempo (dias) Peças
 2 5 320
 5 8 x
O quarto passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do problema. 
Para tal, primeiramente formaremos as razões entre os dois valores de cada 
uma das grandezas do problema. No caso, temos:
O quinto e último passo é determinarmos o valor da incógnita x.
Como o número de peças produzidas é proporcional ao número de ope-
rários e também ao número de dias, então é proporcional ao produto das 
duas grandezas. Assim, temos:
10 . x = 320 . 40 
x = 1280
Então, serão produzidas 1.280 peças.
Vejamos outro exemplo.
Três pedreiros constroem um muro de 20 metros de comprimento em dez 
dias. Quantos dias levarão cinco pedreiros para construírem 30 metros do 
mesmo muro?
261
As grandezas aqui envolvidas são três: pedreiros, comprimento (em me-
tros) e tempo (em dias). Vamos representá-las em colunas.
Pedreiros Comprimento Tempo
 3 20 10
 5 30 x
A grandeza tempo é a que possui a incógnita. Logo, ela será sempre utili-
zada para compararmos as grandezas duas a duas. Comparando inicial-
mente tempo e pedreiros, verificamos que, quanto maior o número de pe-
dreiros, menor será a quantidade de dias necessários para a construção do 
muro. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Vamos 
representar as flechas (no caso, com sentidos contrários).
Pedreiros Comprimento Tempo
 3 20 10
 5 30 x
Vamos considerar agora as grandezas tempo e comprimento. Quanto maior 
o comprimento do muro a ser construído, maior será o tempo necessário 
para construí-lo. Logo, trata-se de duas grandezas diretamente proporcio-
nais. Representando as flechas, temos:
Pedreiros Comprimento Tempo
 3 20 10
 5 30 x
Observe que, ao analisarmos as grandezas tempo e comprimento, deve-
mos esquecer totalmente a grandeza pedreiros.
Lembre, ainda, que a grandeza que possui a incógnita (no caso, a grandeza 
tempo) deve estar sempre presente nas comparações das grandezas duas a 
duas.
Formando as razões, temos:
Preste atenção: para a formação das razões, seguimos os sentidos das fle-
chas, ou seja, como a grandeza pedreiros tem a flecha com sentido contrário 
às demais grandezas, somente ela teve seus valores invertidos.
262
Como a grandeza tempo é proporcional às grandezas pedreiros e compri-
mento, ela é proporcional ao produto das duas, ou seja:
100 . x = 10 . 90
x = 9
Portanto, os pedreiros levarão nove dias para construir o muro.
Resumindo:
Regra de três composta é uma regra prática utilizada para resolver 
certos problemas que envolvem mais de duas grandezas direta ou inver-
samente proporcionais, cujos valores podem formar uma proporção, 
sendo desconhecido apenas um dos termos da proporção.
4 Aplicações de regra de três composta
Para você entender bem a regra de três composta, nada melhor que anali-
sarmos uma série de exemplos resolvidos. Vamos lá.
1) Quatro máquinas produzem 48 peças de certo produto em três dias. 
Quantas peças produzirão cinco máquinas iguais às primeiras durante 
oito dias?
Verificamos que três são as grandezas nesse problema: máquinas, peças e 
tempo (em dias). Vamos colocá-las em colunas.
Máquinas Peças Tempo
 4 48 3
 5 x 8
Vamos, agora, estabelecer a proporcionalidade entre essas grandezas. Ini-
cialmente, vamos analisar máquinas e peças. 
263
Não se esqueça: a grandeza em que se encontra a incógnita (nesse caso, a 
grandeza peças) deve estar sempre presente na comparação das grandezas 
para verificarmos se são direta ou inversamente proporcionais.
No caso, sabemos que, quanto mais máquinas tivermos, mais peças serão 
produzidas. Logo, trata-se de grandezas diretamente proporcionais (fle-
chas no mesmo sentido).
Máquinas Peças Tempo
 4 48 3
 5 x 8
Agora, vamos analisar peças e tempo. Sabemos que, quanto mais tempo 
as máquinas trabalham, mais peças elas produzirão. São, portanto, gran-
dezas diretamente proporcionais. Assim, a flecha de tempo terá o mesmo 
sentido da flecha anteriormente colocada para a grandeza peças.
Máquinas Peças Tempo
 4 48 3
 5 x 8
O próximo passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do pro-
blema. Para tal, primeiramente formaremos as razões entre os dois valores 
de cada uma das grandezas do problema. No caso, temos:
O último passo é determinarmos o valor da incógnita x.
Como o número de peças produzidas é proporcional ao número de máqui-
nas e também ao tempo (número de dias), então é proporcional ao produto 
das duas grandezas. Assim, temos:
12 . x = 48 . 40
x = 160
264
Então, serão produzidas 160 peças.
2) Em uma tecelagem, 12 teares produzem 1.500 metros de tecido em quatro 
dias, sendo dez horas de trabalho por dia. Quantas horas por dia deverão 
trabalhar 16 teares para produzirem 2.400 metros de tecido em oito dias?
Agora temos quatro grandezas envolvidas no problema: teares, compri-
mento de tecido (em metros), tempo (em dias) e jornada de trabalho (em 
horas por dia). Vamos representá-las em colunas.
Teares Tecido (metros) Tempo (dias) Jornada (horas/dia)
 12 1500 4 10
 16 2400 8 x
Vamos, agora, estabelecer a proporcionalidade entre essas grandezas. Ini-
cialmente, vamos analisar teares e jornada de trabalho. 
É bom relembrar: a jornada de trabalho estará sempre presente na compara-
ção das grandezas, porqueali está a incógnita x. Ao fazermos a comparação 
entre duas grandezas, devemos esquecer que as demais existem.
Então, se aumentarmos a quantidade de teares, serão necessárias menos horas 
diárias de trabalho para realizar determinado trabalho. Trata-se de grandezas 
inversamente proporcionais, e as flechas deverão ter sentidos contrários.
Teares Tecido (metros) Tempo (dias) Jornada (horas/dia)
 12 1500 4 10
 16 2400 8 x
Agora, comparemos o comprimento do tecido e a jornada de trabalho. 
Precisando fazer mais tecido, será necessário aumentar a jornada de traba-
lho. Logo, são grandezas diretamente proporcionais. Então, a flecha a ser 
colocada em tecido deverá ter o mesmo sentido da flecha anteriormente 
colocada em jornada.
Teares Tecido (metros) Tempo (dias) Jornada (horas/dia)
 12 1500 4 10
 16 2400 8 x
265
Finalmente, comparemos o tempo (em dias) com a jornada de trabalho (em 
horas por dia). Caso a jornada de trabalho diminua, a quantidade de dias que 
serão necessários para realizar um trabalho irá aumentar. Logo, são grande-
zas inversamente proporcionais. Nesse caso, a flecha a ser colocada em tempo 
deverá ter sentido contrário àquela colocada anteriormente em jornada.
Teares Tecido (metros) Tempo (dias) Jornada (horas/dia)
 12 1500 4 10
 16 2400 8 x
O próximo passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do pro-
blema. Para tal, primeiramente formaremos as razões entre os dois valores 
de cada uma das grandezas do problema. No caso, temos:
Preste atenção: para a formação das razões, seguimos os sentidos das fle-
chas; por isso, invertemos os valores da segunda e da quarta grandezas.
Agora só nos resta determinar o valor da incógnita x.
Como a jornada de trabalho é proporcional ao número de teares, ao com-
primento do tecido e também ao tempo (número de dias), então é propor-
cional ao produto das três grandezas. Assim, temos:
192000 . x = 10 . 115200
x = 6 horas por dia
3) Para abrir um poço de 5 metros de comprimento por 4 metros de largura 
e 20 metros de profundidade, são necessários cinco dias trabalhando uma 
certa quantidade de horas por dia. Quantos dias serão necessários para 
abrir um poço, nas mesmas condições anteriores, que tenha 6 metros de 
comprimento por 5 metros de largura e 16 metros de profundidade?
266
As grandezas envolvidas no problema são quatro: comprimento (em me-
tros), largura (em metros), profundidade (em metros) e tempo (em dias). 
Vamos representá-las em colunas.
Comprimento Largura Profundidade Tempo (dias)
 5 4 20 5
 6 5 16 x
Vamos, agora, estabelecer a proporcionalidade entre essas grandezas. Ini-
cialmente, vamos analisar comprimento e tempo. Quanto maior o compri-
mento do poço, maior o tempo necessário para abri-lo. Logo, são grande-
zas diretamente proporcionais (flechas no mesmo sentido).
Comprimento Largura Profundidade Tempo (dias)
 5 4 20 5
 6 5 16 x
Comparando a grandeza largura com a grandeza tempo, verificamos que, 
quanto maior a largura do poço a ser aberto, maior o tempo necessário 
para abri-lo. Logo, são também diretamente proporcionais.
Comprimento Largura Profundidade Tempo (dias)
 5 4 20 5
 6 5 16 x
Finalmente, comparando a grandeza profundidade com a grandeza tempo, 
temos que, quanto maior a profundidade do poço a ser aberto, maior será 
o tempo necessário. Também são grandezas diretamente proporcionais.
Comprimento Largura Profundidade Tempo (dias)
 5 4 20 5
 6 5 16 x
O próximo passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do pro-
blema. Para tal, primeiramente formaremos as razões entre os dois valores 
de cada uma das grandezas do problema. No caso, temos:
 
267
Como todas as setas têm o mesmo sentido, não invertemos nenhuma das 
razões.
Agora só nos resta determinar o valor da incógnita x.
Como a quantidade de dias é proporcional ao comprimento, à largura e à 
profundidade do poço, então é proporcional ao produto das três grande-
zas. Assim, temos:
400 . x = 5 . 480
 x = 6 dias
4) A Empresa ABC Ltda. tem um relatório de 2.160 páginas a ser digitado. 
Uma secretária executiva digita, em média, 18 páginas por dia, traba-
lhando quatro horas diárias somente na digitação. Quantas secretárias 
executivas que se dediquem a esse trabalho oito horas por dia são ne-
cessárias, para que o relatório esteja totalmente digitado em 30 dias?
Verifique que temos três grandezas envolvidas nesse problema: número 
de secretárias, tempo (em dias) necessário para a digitação e jornada de 
trabalho (em horas por dia). 
Observe ainda que, se o relatório tem 2.160 páginas e uma secretária exe-
cutiva digita 18 páginas por dia de trabalho, então são necessários 120 dias 
para que essa secretária termine o trabalho:
2160 : 18 = 120
Vamos representar em colunas as grandezas envolvidas no problema:
Secretárias Tempo (dias) Jornada (horas por dia)
 1 120 4
 x 30 8
Vamos, agora, estabelecer a proporcionalidade entre essas grandezas. Ini-
cialmente, analisemos secretárias e tempo. Como desejamos que o tempo 
diminua, serão necessárias mais secretárias para executar o trabalho. Logo, 
são grandezas inversamente proporcionais.
268
Secretárias Tempo (dias) Jornada (horas por dia)
 1 120 4
 x 30 8
Agora, analisemos secretárias e jornada de trabalho. Como a jornada de tra-
balho vai aumentar, o número de secretárias necessárias deverá diminuir. Então, 
são grandezas inversamente proporcionais. Como já colocamos uma flecha em 
secretárias, a flecha em jornada deve ter o sentido contrário àquela.
Secretárias Tempo (dias) Jornada (horas por dia)
 1 120 4
 x 30 8
O próximo passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do pro-
blema. Para tal, primeiramente formaremos as razões entre os dois valores 
de cada uma das grandezas do problema. No caso, temos:
Preste atenção: para a formação das razões, seguimos os sentidos das fle-
chas; por isso, invertemos os valores da primeira razão.
Agora só nos resta determinar o valor da incógnita x.
Como o número de secretárias executivas é proporcional ao tempo e à jor-
nada de trabalho, então é proporcional ao produto das duas grandezas.
240 . x = 1 . 480
x = 2 secretárias executivas
5) Um trem leva cinco dias para percorrer 1.800 quilômetros, a uma velo-
cidade média de 90 km/h. Quantos dias esse trem levará para percorrer 
3.840 quilômetros, se sua velocidade média for de 80 km/h?
269
Agora vocêjá identifica com muita facilidade as grandezas envolvidas no 
problema. São elas: distância (em quilômetros), velocidade média (em km/h) 
e tempo (em dias). Vamos representá-las em colunas.
Distância Velocidade Tempo
 1800 90 5
 3840 80 x
Vamos, agora, estabelecer a proporcionalidade entre essas grandezas. Ini-
cialmente, analisemos distância e tempo.
Nunca é demais relembrar: a grandeza que possui a incógnita (no caso, 
tempo) deve ser comparada, duas a duas, com as demais grandezas envol-
vidas no problema.
Como a distância a ser percorrida vai aumentar, o tempo necessário para 
percorrê-la também aumentará. Então, as grandezas distância e tempo 
são diretamente proporcionais.
Distância Velocidade Tempo
 1800 90 5
 3840 80 x
Analisemos, agora, velocidade e tempo. Como a velocidade média do trem 
vai diminuir, o tempo necessário para percorrer certa distância irá aumentar. 
Logo, velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Como 
já temos uma flecha representada na grandeza tempo, então a flecha na gran-
deza velocidade terá sentido contrário àquela.
Distância Velocidade Tempo
 1800 90 5
 3840 80 x
Vamos relembrar também que, quando analisamos as grandezas velocidade 
e tempo, não nos importa a grandeza distância.
O próximo passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do pro-
blema. Para tal, primeiramente formaremos as razões entre os dois valores 
de cada uma das grandezas do problema. No caso, temos:
270
Mais uma recordação importante: para a formação das razões, seguimos 
os sentidos das flechas; por isso, invertemos os valores da segunda razão.
Agora só nos resta determinar o valor da incógnita x. 
Como o tempo (quantidade de dias) é proporcional à distância e à veloci-
dade média, então é proporcional ao produto das duas grandezas. Assim, 
temos:
x . 144000 = 5 . 345600
x = 12
O trem levará 12 dias para percorrer a distância de 3.840 quilômetros.
Agora é a sua vez. Temos cinco exercícios sobre aplicação da regra de três 
composta para você resolver.
6) Duas bibliotecárias fazem o preparo técnico e o preparo físico de 504 
livros em três dias, trabalhando oito horas por dia. Caso tenhamos cinco 
bibliotecárias semelhantes às primeiras fazendo esse serviço, quantos li-
vros serão preparados em oito dias se trabalharem dez horas por dia?
( ) 420 livros
( ) 4.200 livros
( ) 210 livros
( ) 2.100 livros
7) Trinta homens trabalhando oito horas por dia, durante 60 dias cavaram 
um túnel com 100 metros de comprimento, 12 metros de largura e 4 me-
tros de altura. Quantos dias seriam necessários para 25 desses homens 
cavarem um túnel semelhante ao primeiro, com 120 metros de compri-
mento, 13 metros de largura e 5 metros de altura, se trabalhassem nove 
horas por dia?
271
( ) 104 dias
( ) 54 dias
( ) 48 dias
( ) 36 dias
8) Uma máquina faz uma valeta de 10 metros de comprimento, 2 metros 
de largura e 2 metros de profundidade em dois dias, trabalhando dez 
horas por dia. Em quantos dias três máquinas iguais à primeira fazem 
uma valeta de 20 metros de comprimento, 3 metros de largura e 4 me-
tros de profundidade, trabalhando oito horas por dia?
( ) 5 dias
( ) 3,6 dias
( ) 3,2 dias
( ) 4 dias
9) Um trem leva oito horas para percorrer um trecho de 320 quilômetros, 
a uma velocidade média de 45 km/h. Quantas horas esse trem levará 
para percorrer um trecho semelhante que tenha 400 quilômetros, a uma 
velocidade média de 60 km/h?
( ) 13, 33 horas
( ) 85,33 horas
( ) 12 horas
( ) 7,5 horas
10) Dez máquinas trabalhando 30 dias produzem 240 peças de certo pro-
duto. Vinte máquinas iguais às primeiras, trabalhando 25 dias, produ-
zirão quantas peças desse produto?
( ) 400 peças
( ) 576 peças
( ) 144 peças
( ) 100 peças
272
1. 1.920 folhas
2. 60 dias
3. 90 minutos
4. 3.600 segundos
5. 15 horas
6. 4.200 livros
7. 104 dias
8. 5 dias
9. 7,5 horas
10. 400 peças
273
CORREÇÃO DO SISTEMA FINANCEIRO DE HABITAÇÃO – TR em percentual
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1991 7,0000 8,5000 8,9300 8,9900 9,4000 10,0500 11,9500 16,7800 19,7700 30,5200 28,4200
1992 25,4800 25,6100 24,2700 21,0800 19,8100 21,0500 23,6900 23,2200 25,3800 25,0700 23,2900 23,9500
1993 26,7600 26,4000 25,8100 28,2200 28,6800 30,0800 30,3700 33,3400 34,6200 36,5300 36,1600 36,8000
1994 41,4400 39,8600 41,8500 45,9700 43,8500 46,8754 5,0262 2,1313 2,4391 241909 2,9210 2,8731
1995 2,1013 1,8531 2,2998 3,4667 3,0972 2,8863 2,8461 2,6045 1,9393 1,5121 1,4387 1,3400
1996 1,2526 0,9625 0,8139 0,6597 0,5620 0,6099 0,5851 0,6275 0,6620 0,7419 0,8146 0,8300
1997 0,7440 0,6616 0,5983 0,6211 0,6354 0,6535 0,6580 0,6270 0,6474 0,6553 1,5334 1,3085
1998 1,1459 0,4461 0,6945 0,4720 0,4543 0,4913 0,5503 0,3749 0,4512 0,8892 0,6136 0,7434
1999 0,5163 0,8298 1,1614 0,6092 0,4792 0,3108 0,2933 0,2945 0,2715 0,2265 0,2005 0,2998
2000 0,2149 0,2328 0,2242 0,1301 0,2492 0,2140 0,1547 0,2025 0,1038 0,1316 0,1197 0,0991
2001 0,1369 0,0368 0,1724 0,1546 0,1827 0,1458 0,2441 0,3436 0,1627 0,2913 0,1928 0,1983
2002 0,2591 0,1171 0,1758 0,2357 0,2102 0,1582 0,2656 0,2481 0,1955 0,2768 0,2644 0,3609
2003 0,4878 0,4116 0,3782 0,4184 0,4650 0,4166 0,5465 0,4038 0,3364 0,3213 0,1776 0,1899
2004 0,1280 0,0458 0,1778 0,0874 0,1546 0,1761 0,1952 0,2005 0,1728 0,1108 0,1146 0,2400
2005 0,1880 0,0962 0,2635 0,2003 0,2527 0,2993 0,2575 0,3466 0,2637 0,2100 0,1929 0,2269
2006 0,2326 0,0725 0,2073 0,0855 0,1888 0,1937 0,1751 0,2436 0,1521 0,1875 0,1282 0,1522
2007 0,2189 0,0721 0,1876 0,1272 0,1689 0,0954 0,1469 0,1466 0,0352 0,1142 0,0590 0,0640
2008 0,1010 0,0243 0,0409 0,0955 0,0736 0,1146 0,1944 0,1574 0,1970 0,2506 0,1618 0,2149
2009 0,1840 0,0451 0,1438 0,0454 0,0449 0,0656 0,1051 0,0197 0,0000 0,0000 0,0000 0,0533
2010
Fonte: Portal Brasil (2009).
274
CORREÇÃO DO SISTEMA FINANCEIRO DE HABITAÇÃO – TR em índice
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1991 100,0000 107,0000 116,0950 126,4623 137,8312 150,7874 165,9415 185,7715 216,9440 259,8338 339,1351
1992 435,5173 546,4871 686,4424 853,0420 1032,8633 1237,4735 1497,9616 1852,8287 2283,0556 2862,4951 3580,1226 4413,9331
1993 5471,0701 6935,1285 8766,0024 11028,5076 14140,7525 18196,3203 23669,7734 30,8583 41,1464 55,3913 75,6258 102,9721
1994 140,8658 199,2406 278,6579 395,2762 576,9846 844,9363 0,4513 0,4740 0,4841 0,4959 0,5086 0,5234
1995 0,5385 0,5498 0,5599 0,5728 0,5927 0,6120 0,6296 0,6485 0,6653 0,6782 0,6894 0,6994
1996 0,7087 0,7176 0,7245 0,7303 0,7351 0,7394 0,7439 0,7482 0,7529 0,7579 0,7635 0,7697
1997 0,7765 0,7822 0,7874 0,7924 0,7973 0,8024 0,8076 0,8129 0,8180 0,8233 0,8287 0,8414
1998 0,8524 0,8622 0,8660 0,8738 0,8780 0,8819 0,8863 0,8912 0,8945 0,8985 0,9065 0,9126
1999 0,9194 0,9241 0,9318 0,9426 0,9484 0,9538 0,9568 0,9596 0,9624 0,9650 0,9672 0,9691
2000 0,9721 0,9741 0,9764 0,9786 0,9799 0,9823 0,9844 0,9859 0,9879 0,9890 0,9903 0,9914
2001 0,9924 0,9938 0,9942 0,9959 0,9974 0,9992 1,0007 1,0031 1,0066 1,0082 1,0111 1,0131
2002 1,0151 1,0172 1,0184 1,0204 1,0228 1,0249 1,0265 1,0293 1,0318 1,0338 1,0367 1,0394
2003 1,0432 1,0483 1,0526 1,0566 1,0610 1,0659 1,0703 1,0761 1,0804 1,0840 1,0875 1,0894
2004 1,0915 1,0929 1,0934 1,0953 1,0963 1,0980 1,0999 1,1020 1,1042 1,1061 1,1073 1,1086
2005 1,1113 1,1134 1,1145 1,1174 1,1196 1,1224 1,1258 1,1287 1,1326 1,1356 1,1380 1,1402
2006 1,1428 1,1455 1,1463 1,1487 1,1496 1,1518 1,540 1,561 1,589 1,1606 1,1628 1,1643
2007 1,1661 1,686 1,1695 1,1717 1,1732 1,1751 1,1763 1,1780 1,1797 1,1801 1,1815 1,1822
2008 1,1829 1,1841 1,1844 1,1849 1,1860 1,1869 1,1883 1,1905 1,1924 1,1948 1,1978 1,1997
2009 1,2023 1,2045 1,2050 1,2068 1,2073 1,2079 1,2087 1,20991,2102 1,2102 1,2102 1,2102
2010 1,2108
Fonte: Portal Brasil (2009).
275
Nelson Pereira Castanheira é graduado em Eletrônica pela Universidade Fe-
deral do Paraná – UFPR (1974) e em Matemática, Física e Desenho Geométrico 
pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR (1976), especialista 
em Análise de Sisitemas, Finanças e Informatização, mestre em Administração 
de Empresas com ênfase em Recursos Humanos e doutorado em Engenharia 
da Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC.
Ao longo de sua carreira, exerceu diversas atividades: professor e coor-
denador da Escola Técnica Federal do Paraná; gerente de produtos e ser-
viços da Telebahia; instrutor e analista de dados da Telepar; professor da 
Uniandrade em Curitiba-PR; professor assessor da Coordenação do Curso 
de Administração da Universidade Tuiuti do Paraná. São 35 anos de expe-
riência no magistério e, em parelelo, 30 anos na área empresarial.
Atualmente, é coordenador de curso na Faculdade de Tecnologia Inter-
nacional – FATEC Internacional e professor do Instituto Brasileiro de Pós-
Graduação e Extensão – Ibpex. Já tem oito obras publicas
Luiz Roberto Dias de Macedo é Licenciado em Matemática pela Universi-
dade Federal do Paraná - UFPR (1981), atua como professor de Matemática 
há 24 anos, tendo ministrado essa disciplina em todas as séries da segunda 
fase do ensino fundamental – 5ª a 8ª séries – e nas três séries do ensino mé-
dio, tanto em escolas e colégios públicos quanto na rede privada.
Desde 2001, é professor do ensino superior e já lecionou as disciplinas de 
Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico; Matemática Aplicada; Matemática 
Financeira; Estatística Aplicada e Métodos Quantitativos.
Atua como professor da disciplina de Estatística Aplicada na Faculdade 
Internacional de Curitiba - Facinter e na Faculdade de Tecnologia Interna-
cional - Fatec Internacional, sendo que nesta última é professor das moda-
lidades presencial e a distância, bem como membro atuante da Assessoria 
da Direção Acadêmica.
É especialista em Magistério da Educação Básica pelo Instituto Brasileiro 
de Pós-Graduação e Extensão – Ibpex (1998) e mestre em Educação pela 
Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR (2004), onde defen-
deu a dissertação “A aprendizagem significativa dos conceitos matemáti-
cos e seus reflexos em alunos dos cursos de Administração de Empresas”.
Possui outras obras publicadas pela Editora Ibpex: Matemática Aplicada 
e Dados numéricos da empresa: análise e interpretação, ambas em 2004. 
Participa de diversos eventos, seminários e congressos com apresentação 
de artigos que enfocam o ensino e a aprendizagem da Matemática.
Sobre os autores
matematica financeira_CAPA_verso.pdf 1 16/11/2011 14:32:02
Confira quais são os temas trabalhados nesta obra:
Taxas de porcentagem e de juros;
Simulações de operações financeiras;
Capitalização simples;
Desconto simples e composto;
Capitalização composta; 
Rendas ou séries uniformes;
Taxa interna de retorno e valor presente líquido; 
Correção monetária e indicadores econômicos;
Depreciação de bens;
Operação de arrendamento mercantil (leasing)
Debêntures e sistemas de amortização. 
Matemática Financeira Aplicada é um livro que esmiúça os conceitos 
matemáticos da área de Finanças de maneira fácil e descomplicada. 
Ideal para alunos de graduação, pós-graduação e para quem se prepa-
ra para concursos públicos, apresenta diversas explicações e exercícios 
práticos, onde cada qual aprenderá a realizar cálculos lógicos com 
segurança e eficiência, tanto com a utilização de fórmulas como com a 
utilização da calculadora financeira HP-12C.
9 788578 385460
ISBN 978-85-7838-546-0 
com novos recursos
prática
matematica financeira_CAPA.pdf 1 21/11/2011 10:12:23