Nivelamento em Matemática Básica

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Nivelamento em Matemática Básica
Conjuntos numéricos
Apresentação
Em situações aplicadas envolvendo classificação, frequentemente é necessário lidar com categorias (ou características em comum), como, por exemplo, marca de um produto, nacionalidade de um indivíduo, porte de uma empresa, tipos de meios de transporte utilizados para se deslocar até o serviço, entre outras. Para cada categoria podem-se listar elementos pertencentes ou não a ela. Esta é a ideia intuitiva de conjunto.
É possível afirmar que, ao estudar conjuntos, considera-se uma “coleção” de objetos, chamados de "elementos", que estão reunidos por um motivo comum. Por exemplo, podem-se reunir uma caneta, uma meia e uma bola que têm em comum a característica “cor azul”, mas também é possível formar um conjunto de vogais ou estabelecer conjuntos formados por números. Estes recebem o nome de "conjuntos numéricos", e alguns deles são muito utilizados na resolução de problemas; por isso, recebem nomes especiais: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a noção de conjuntos, a sua definição, as suas representações e as principais relações entre eles.
Bons estudos.
Desafio
A noção de conjunto é fundamental na estruturação do pensamento matemático, pois a partir dela pode-se expressar de forma organizada muitos conceitos matemáticos e tomar decisões.
Considerando que um conjunto é uma coleção de qualquer tipo de objeto — por exemplo, o conjunto das regiões brasileiras é formado pelos elementos Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste e Sul; o conjunto das vogais é formado pelos elementos a, e, i, o, u; o conjunto dos números ímpares é formado por 1, 3, 5, 7, ... —, podemos afirmar que esse conceito tem aplicações nas mais diversas áreas.
Pensando nisso, confira, a seguir, como utilizar a noção de conjunto para identificar quais categorias de livros são mais lidos por alunos de uma escola de ensino fundamental.
A partir de todos os resultados e afirmações apresentados com a pesquisa realizada entre os alunos, responda:
Identifique o perfil de leitura deles e, assim, proponha que gênero(s) de livro a escola deve comprar para eliminar a fila de espera e possibilitar que os alunos leiam mais.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​A pesquisa realizada com 500 alunos identificou o seguinte perfil:
• conjunto de alunos que não têm o hábito de leitura de livros não didáticos: 16%;
• conjunto de alunos que só leem revistas em quadrinhos: 10%;
• conjunto de alunos que leem livros não didáticos: 74%.
Dentro do conjunto de alunos que leem livros não didáticos, conclui-se que:
• os livros do gênero ficção e suspense são os mais lidos;
• não há procura por livros do gênero drama.
Portanto, recomenda-se que a biblioteca adquira mais livros dos gêneros ficção e suspense para atender à procura do conjunto de alunos que leem pelo menos um desses dois gêneros.
Infográfico
Intuitivamente, pode-se compreender conjunto como um agrupamento, coleção, lista ou classe de objetos bem definidos. Os objetos que constituem os conjuntos podem ser de qualquer tipo: números, pessoas, letras, estados, etc., e são chamados de "elementos".
Quando os elementos de um conjunto são números, estamos diante de um conjunto numérico. Alguns são mais utilizados e recebem nomes específicos: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Acompanhe, neste Infográfico, um diagrama representativo dos conjuntos numéricos, que ajuda a identificar qual conjunto está contido em outro, ou seja, mostra a relação de subconjunto entre eles. Além disso, você vai conferir exemplos de números pertencentes aos respectivos conjuntos, facilitando, assim, seu entendimento.
Exercícios
1. A teoria dos conjuntos pode ser utilizada tanto na matemática quanto em problemas aplicados, uma vez que os elementos de um conjunto não precisam necessariamente ser números. Independentemente do tipo dos elementos, é muito importante reconhecer as relações de pertinência (entre elemento e conjunto) e de inclusão (entre conjuntos).
Com base no exposto, considere os conjuntos:
Preencha as lacunas com ∈, ∉, ⊂, ⊃ as respectivas preposições a seguir:
i. A __ B
ii. B __ A
iii. 36 __ A
iv. 6 __ B
v. –3 __ C
A. 
∈, ∉, ⊂, ⊃, ⊂.
B. 
∈, ⊂, ⊃, ∈, ∉.
C. 
⊃, ⊂, ∈, ∈, ∉.
D. 
⊂, ⊃, ⊂, ⊂, ∉.
E. 
∈, ∈, ⊂, ⊂, ⊃.
Você acertou!
C.  ⊃, ⊂, ∈, ∈, ∉.
O conjunto A é o conjunto de todos os números pares de 2 até 68. O conjunto B é solução da equação do segundo grau, ou seja, as raízes 6 e 2. Por fim, o conjunto C são os números –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Dessa forma, a sequência correta será: A ⊃ B, B ⊂ A, 36 ∈ A, 6 ∈ B, –3 ∉ C.
Ainda vale lembrar que os símbolos de ∈ ou ∉ são utilizados apenas entre elemento e conjunto. Já os símbolos de ⊂ ou ⊃ são utilizados entre conjuntos ou subconjuntos.
2. No estudo dos conjuntos, como em toda a matemática, é importante estar atentos às notações.
Por exemplo, utilizamos letras latinas maiúsculas para nomear os conjuntos e letras latinas minúsculas para representar os elementos, que devem aparecer entre chaves e separados por vírgula.
Marque a opção que apresenta uma representação correta de conjunto.
A.  A = [1, 2, 3].
B.  b = {A, B, C}.
C.  B = x·y·z.
D.  T = {a, b, c, d}.
E.  B: x, y, z.
Você acertou!
D.  T = {a, b, c, d}.
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
3. Identificar os elementos pertencentes a um conjunto é muito importante, seja em problemas teóricos ou aplicados, pois a partir dessa identificação é que se pode realizar as relações de pertinência. É importante saber que, para descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas chaves e vírgulas para separar os elementos e que os elementos de um conjunto podem ser objetos de diversas naturezas, inclusive um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Com base no exposto, considere o conjunto A = ｛｛1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8｝｝ e marque a opção correta que lista os elementos de A.
A. A tem oito elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
B.  A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5} e {6, 7, 8}.
C.  A tem dois elementos: os conjuntos {1, 2, 3} e {4, 5, 6, 7, 8}.
D.  A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}.
E.  A tem oito elementos: os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, { 8}.
Você acertou!
D.  A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}.
Observe que um conjunto é representado entre chaves e que seus elementos são separados por vírgula, podendo ser de qualquer natureza, inclusive outro conjunto. Nesse caso, temos no conjunto A três elementos, que são conjuntos, separados por vírgula, ou seja, A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3｝, {4, 5} e {6, 7, 8}.
4. A ideia de conjuntos pode ser utilizada em problemas aplicados em que desejamos analisar as preferências de consumidores em relação a determinados produtos, visando à tomada de decisão. Considere que, em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek, 42 leem Fortune, 45 leem Time, 20 leem Newsweek e Time, 25 leem Newsweek e Fortune, 15 leem Time e Fortune, 8 leem as três revistas, e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas.
Com base nesses dados, o número de pessoas que leem apenas uma revista é:
A.  28.
B.  56.
C.  18.
D.  10.
E.  20.
Você acertou!
B.  56.
5. No estudo da teoria dos conjuntos, algumas operações podem ser definidas, como, por exemplo, a união, a interseção, o complementar e a diferença. A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os elementos de A ou B. A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto formado por elementos que pertencem a ambos. O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que pertencem ao universo U, masque não pertencem a A. A diferença A – B entre os conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
Diante dessas definições, e conhecendo os conjuntos A =｛x, y, z, w, t｝, B = {w, o, u, t, x} e C = {o, t, z}, o conjunto {y, z} é resultado de qual operação?
A.  (A ∪ B) ∩ C.
B.  C – (A ∪ B).
C.  (A ∩ B) ∪ C.
D.  (B – C) ∪ A.
E.  (A ∪ C) – B.
Você acertou!
E.  (A ∪ C) – B.
Para encontrar a solução deste exercício, é necessário realizar cada uma das operações apresentadas. Com isso, verifica-se que a alternativa correta é (A ∪ C) – B, pois: (A ∪ C) – B {x, y, z, w, t, o}-{w, o, u, t, x} {y ,z}
Tentativa: 1Acertos: 5 / 5Nota: 100 %Envio: 08/02/2024
Na prática
Muitas vezes, associamos o estudo de conjuntos numéricos a problemas algébricos envolvendo a resolução de equações ou o domínio de funções. No entanto, essa ideia pode estar presente em problemas aplicados, auxiliando na interpretação de dados e na tomada de decisões.
Confira, Na Prática, um exemplo de como reunir os clientes de um estabelecimento comercial em conjuntos, ou seja, agrupá-los, observando as características em comum, o que pode facilitar a tomada de decisão do proprietário do estabelecimento.