Fatorações algébricas

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Nivelamento em Matemática Básica
Fatorações algébricas
Apresentação
As fatorações algébricas podem ser definidas como a forma de se transformar em produto uma expressão que originalmente envolve adições e subtrações. Elas são úteis para a simplificação de expressões algébricas, mas para isso é necessário conhecer os tipos de fatoração e qual o mais adequado para cada problema.
Dentre os métodos mais conhecidos estão o fator comum, o agrupamento, a fatoração de trinômios, incluindo o trinômio quadrado perfeito, a diferença de quadrados e a diferença de cubos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as fatorações algébricas por meio de suas definições, propriedades operatórias e exemplos.
Bons estudos.
Desafio
A fatoração algébrica, muitas vezes associada a problemas teóricos, pode ser utilizada em situações aplicadas, desde que possamos modelá-las por meio de expressões algébricas. Um exemplo, são os problemas relacionados às funções custo, receita e lucro, muito utilizadas na área de gestão e negócios, como veremos no desafio a seguir.
Imagine que você é o gerente de produção de uma empresa e recebeu um relatório que define a equação Custo de A = x²y – 2xy² como forma para se obter o custo para a produção do produto A.
Sabendo que xy é igual a 15, e que o segundo termo após a fatoração é igual a 20,solicita-se:
a) Fatorar a equação inicial.
b) Definir o segundo termo após a fatoração.
c) Substituir pelos dados conhecidos para encontrar o valor total do custo para que se possa produzir A.
Padrão de Resposta Esperada:
a) Fatorando x2y - 2xy2, reconhecemos que xy está presente nos dois termos da equação, logo, a fatoração de x2y - 2xy2 é xy (x - 2y).
b) Se o primeiro termo é xy, logo, o segundo termo após a fatoração é (x - 2y).
c) Substituindo os dois termos isolados pelos valores dados, temos:
Xy = 15
(X - 2y) = 20
Xy (x - 2y) = 15 . 20 = 300 (custo de produção de A)
Infográfico
Quando lidamos com trinômios, temos um tipo especial denominado trinômio quadrado perfeito. No entanto, grande parte dos trinômios não se encaixam nesse tipo, mesmo assim alguns deles ainda podem ser fatorados se determinadas condições forem satisfeitas.
Acompanhe neste infográfico o passo a passo da fatoração de um trinômio por meio de um exemplo.
Exercícios
1. A fatoração é muito útil na simplificação de expressões algébricas e um dos tipos mais conhecidos é denominado fator comum.
Com base no exposto, fatore completamente a expressão 8x³– 12x.
A. 4(2x3 - 3x).
B. 4x(2x2 - 3).
C. x(8x2 - 12).
D. 4x(2x2 + 3).
E. x(8x2 + 12).
Você acertou!
B. 4x(2x2 - 3).
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
2. A fatoração por fator comum pode ser utilizada tanto quando o fator comum é um número real, quanto um monômio ou mesmo um binômio ou polinômio.
Assim, use essa técnica para fatorar a expressão 3x(x² + 5) – 5(x²+ 5) e assinale a alternativa correta.
A. (x2 + 5).
B. (x2 + 5)(3 - 5).
C. (x2 + 5)(3x + 5).
D. (x2 + 5)(3x - 5).
E. (x2 -3x)(x2 - 5).
Você acertou!
D. (x2 + 5)(3x - 5).
Neste caso, a fatoração fica: 3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5). ​​​​Observe que ambos os termos possuem o binômio (x² + 5) em comum, então podemos colocá-lo em evidência, restando dentro do outro parêntesis o binômio (3x – 5).
3. Ao lidarmos com fatoração é muito importante reconhecer qual o tipo adequado de fatoração a ser executado ou mesmo quando uma expressão é irredutível, ou seja, não pode ser fatorada.
Assim, considerando a expressão 4x² + 9, é correto dizer que:
A. 4x2 + 9 pode ser fatorada em (2x + 3)2.
B. 4x2 + 9 pode ser fatorada em (2x - 3)2.
C. 4x2 + 9 pode ser fatorada em (2x + 3)(2x - 3).
D. A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada.
E. 4x2 + 9 pode ser fatorada em (x + 3)(x - 3).
Você acertou!
D. A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada.
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
4. Alguns casos de fatoração envolvem trinômios, mas nem todos os trinômios podem ser fatorados. Então, é muito importante identificar em quais situações eles podem ser fatorados.
Considerando a expressão x² – x + 12, é correto dizer que:
A. Fatorar x2– x + 12 é (x – 4)(x + 3).
B. Fatorar x2– x + 12 é (x + 4)(x + 3).
C. Fatorar x2– x + 12 é (x - 4)(x - 3).
D. Não é possível fatorar x2– x + 12.
E. Fatorar x2– x + 12 é (x + 6)(x - 3).
Você acertou!
D. Não é possível fatorar x2– x + 12.
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada. Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
5. Dentre os tipos de fatoração mais utilizados estão as diferenças de quadrados e o fator comum, que podem ser utilizados sequencialmente na mesma expressão, até que ela se torne irredutível. Assim, fatore completamente a equação 16x² – 64y².
A. (4x + 8y)(4x – 8y).
B. (4x - 8y)(4x – 8y).
C. (4x + 8y)(4x + 8y).
D. 16(x + 2y)(x – 2y).
E. 16(x + 2y)2.
Você acertou!
D. 16(x + 2y)(x – 2y).
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
Na prática
A fatoração pode ser útil tanto para a simplificação de expressões algébricas, quanto para um melhor entendimento de uma equação.
Acompanhe neste exemplo como a fatoração por fator comum pode ser útil para a compreensão de problemas envolvendo matemática financeira.