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003-Raciocínio Lógico

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Página 1 de 60
Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
E MATEMÁTICA
Página 2 de 60
Raciocínio Lógico
Sumário
Sumário ....................................................................................................................... 2
Sentença Lógica ..........................................................................................................6
Sentença Aberta ..........................................................................................................6
Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional ...................................................... 6
Resumo das afirmações ..............................................................................................6
Proposições .................................................................................................................7
Transformação de sentença aberta em fechada ......................................................... 7
Representação das proposições ................................................................................. 7
Proposições simples, básicas, primitivas, atômicas .................................................... 7
Proposições compostas, moleculares, fórmulas proposicionais ................................. 7
Operadores ou Conectivos Lógicos ............................................................................ 8
Tabela-Verdade ...........................................................................................................8
Tabela-Verdade: Conjunção: e, mas, tanto como, ^ ................................................... 8
Tabela-Verdade: Disjunção: ou, v ............................................................................... 9
Tabela-Verdade: Disjunção Exclusiva: ou ... ou , v ..................................................... 9
Tabela-Verdade: Condicional: se ... então,→..............................................................9
Tabela-Verdade: Bi Condicional: se ... somente se, ↔............................................. 10
Tabela-Verdade: Negação: ~ .................................................................................... 10
Resumo Tabela-Verdade .......................................................................................... 10
Tautologia ..................................................................................................................10
Contingência ou Indeterminadas ...............................................................................11
Resumo Dica: Tautologia e Continência ................................................................... 11
Equivalências Lógicas ............................................................................................... 11
Análise Combinatória ................................................................................................ 12
Princípios de Contagem: Soma (aditivo) “ou” ............................................................12
Princípios de Contagem: Multiplicação (multiplicativo) “e” ........................................ 12
Ordem Importa .......................................................................................................... 13
Anagrama com letra repetida .................................................................................... 14
Ordem Não Importa ...................................................................................................14
Permuta .....................................................................................................................14
Arranjo .......................................................................................................................15
Combinação .............................................................................................................. 16
Probabilidade .............................................................................................................16
Página 3 de 60
Raciocínio Lógico
Propriedade 1 ............................................................................................................17
Propriedade 2 ............................................................................................................17
Propriedade 3 ............................................................................................................18
Propriedade 4 ............................................................................................................18
Propriedade 5 ............................................................................................................18
Regra de três Composta ........................................................................................... 19
Conjuntos Numéricos ................................................................................................ 20
Subconjuntos .............................................................................................................20
União (U) - Todos ...................................................................................................... 20
Interseção (∩) – Repetem......................................................................................... 21
Complementar - Diferença ........................................................................................ 21
Dízima periódica ........................................................................................................21
Números Primos ........................................................................................................21
Identidade de Sophie Germain ..................................................................................22
MMC..........................................................................................................................23
Números Complexos ................................................................................................. 23
Potenciação ...............................................................................................................24
Radiciação .................................................................................................................24
Raiz Quadrada .......................................................................................................... 26
Múltiplos de 10 .......................................................................................................... 26
Porcentagem............................................................................................................. 27
Divisibilidade ..............................................................................................................28
Razão e Proporção ....................................................................................................28
Escala ........................................................................................................................28
Velocidade .................................................................................................................29
Densidade ................................................................................................................. 29
Razões Inversas ........................................................................................................29
Forma Trigonométrica ou Polar .................................................................................30
Teorema de Pitágoras ............................................................................................... 30
Plano de Argand Gauss ............................................................................................ 30
Círculo Trigonométrico .............................................................................................. 31
Conversão ................................................................................................................. 32
Sistemas de Equações ..............................................................................................32
Método de Adição ......................................................................................................32Método de Substituição ............................................................................................. 33
Página 4 de 60
Raciocínio Lógico
Equações de segundo grau .......................................................................................33
Polinômios .................................................................................................................34
Raiz do Polinômio ......................................................................................................34
Subtração .................................................................................................................. 34
Multiplicação ..............................................................................................................34
Multiplicação por propriedade distributiva ................................................................. 35
Divisão por método chave ......................................................................................... 35
Teorema do resto ...................................................................................................... 35
Teorema de D´Alembert ............................................................................................ 36
Método Briot-Ruffini ...................................................................................................36
Fator Comum.............................................................................................................36
Agrupamento .............................................................................................................36
Trinômio do quadrado perfeito .................................................................................. 36
Diferença de dois quadrados .....................................................................................37
Cubo Perfeito .............................................................................................................37
Fatoração .................................................................................................................. 37
Funções .....................................................................................................................37
Função Constante ..................................................................................................... 38
Função Identidade .....................................................................................................38
Função Afim, Linear ou de Primeiro Grau ................................................................. 38
Zero da função Afim .................................................................................................. 39
Função Quadrática ou de Segundo Grau ..................................................................39
Forma Canônica ........................................................................................................39
Número de Raízes .....................................................................................................40
Vértice da parábola ................................................................................................... 40
Função Monótona ......................................................................................................40
Função Potência ........................................................................................................41
Função Exponencial .................................................................................................. 41
Diferença de Potência e Exponencial ........................................................................42
Regra de Sinal ...........................................................................................................42
Função Logarítima .....................................................................................................42
Equações e Inequações ............................................................................................ 43
Inequações do segundo grau .................................................................................... 43
Função Modular – Equações .....................................................................................44
Função Modular – Inequações .................................................................................. 45
Página 5 de 60
Raciocínio Lógico
Binômio ..................................................................................................................... 45
Triângulo de Pascal ...................................................................................................45
Teorema Binomial – Binômio de Newton .................................................................. 46
Matrizes .....................................................................................................................47
Soma de Matrizes ......................................................................................................47
Multiplicação de Matrizes .......................................................................................... 48
Determinante .............................................................................................................48
Teorema de Laplace ..................................................................................................48
Sistemas Lineares – Primeiro Grau ...........................................................................49
Regra de Cramer - Linear ..........................................................................................49
Regra de Cramer – 3 X 3 .......................................................................................... 49
Método de adição ...................................................................................................... 50
Transformar Matriz em equação ............................................................................... 50
Eliminação de Gauss .................................................................................................50
Matriz Inversa ............................................................................................................51
Vetores ...................................................................................................................... 52
Adição de vetores ......................................................................................................53
Vetor dependente ou independente .......................................................................... 53
Base .......................................................................................................................... 53
Ortogonal ...................................................................................................................53
Fórmula de Vetores ................................................................................................... 53
Produto Escalar .........................................................................................................54
Produto Vetorial .........................................................................................................54
Produto Misto – Volume Paralelepípedo ................................................................... 54
Retas e Planos .......................................................................................................... 55
Equação Vetorial ....................................................................................................... 55
Equação Paramétrica ................................................................................................ 55
Equação Simétrica .................................................................................................... 55
Plano ......................................................................................................................... 55
Tabela de Medidas ....................................................................................................56
Geometria Plana ........................................................................................................57
Polígonos .................................................................................................................. 58
Tipos de triângulos .................................................................................................... 58
Paralelogramos......................................................................................................... 59
Circunferência ........................................................................................................... 59
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Raciocínio Lógico
Sentença Lógica
É a expressão de um pensamento completo.
O mundo precisa de paz.
Sujeito Predicado
Sentença Aberta
Não se pode determinar o sujeito da sentença.
Não pode ser nem V (verdadeiro) nem F (falso).
Ex. Ela foi a mulher que demonstrou dedicação àquela família. (Não sei quem é ela.)
Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional
Resumo das afirmações
É uma oração com sujeito e predicado.
Somente declarativa. (exclamativa e interrogativa não faz juízo de V ou F).
Ou é verdadeira ou é falsa. Não existe uma terceira opção.
Não pode ser pedido e nem uma ordem.
Não pode ser optativa e nem desejo.
Não pode ser aberta, tem que ser específica.
Princípio da
Identidade
Se qualquer enunciado é
verdadeiro, então ele é
verdadeiro.
Princípio da Não
Contradição
Nenhum enunciado pode ser
verdadeiro e falso.
Um enunciado ou é verdadeiro
ou é falso. Ou seja, não há um
terceiro valor.
Princípio do
Terceiro Excluído
Página 7 de 60
Raciocínio Lógico
Proposições
Proposição é a mesma coisa que sentença fechada.
Sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam
pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir valor lógico, ou seja,
valoração (verdadeiro ou falso).
Transformação de sentença aberta em fechada
Os quantificadores responsáveis por transformar as sentenças abertas em
sentenças fechadas (proposições:
 Todo (tudo, qualquer que seja etc. [tudo o que dá ideia de universalidade
afirmativa]).
 Algum (existe, alguém, ao menos um, pelo menos um etc. [tudo o que dá
ideia de particularidade]).
 Nenhum (ninguém, não há, não existe etc. [universalidade negativa]).
Representação das proposições
As proposições podem ser representadas por letras maiúsculas ou minúsculas.
 p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo.
 q: O mundo precisa de Paz.
 r: Renato é um aluno dedicado.
Proposições simples, básicas, primitivas, atômicas
São as proposições que expressam apenas um pensamento. Ex. Guarapari tem
lindas praias.
Proposições compostas, moleculares, fórmulas
proposicionais
São as proposições que expressam mais de um pensamento.
Ex. José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias. As proposições
compostas são ligadas por conectivos.
Página 8 de 60
Raciocínio Lógico
Operadores ou Conectivos Lógicos
Conjunção e, mas, tanto como ^
Disjunção inclusiva ou v
Disjunção exclusiva ou ... ou v
Condicional Se ... então →
Bi condicional Se ... somente se ↔
Negação p: Marcela é engenheira.
~p: Marcela não é engenheira
¬
~
Tabela-Verdade
 Na primeira coluna 4 V seguidos e 4 F seguidos.
 Na segunda coluna inicia com V e alterna com F, em par: VV; FF.
 Na terceira coluna inicia com V e alterna com F: VF.
 As demais usar lógica.
Primeira Coluna Segunda Coluna Terceira Coluna
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Tabela-Verdade: Conjunção: e, mas, tanto como, ^
O “e” só será verdade se for V V e o resto tudo falso. Todas forem V = V.
p q p ^ q
V V V
V V V
V F F
V F F
F V F
F V F
F F F
F F F
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Raciocínio Lógico
Tabela-Verdade: Disjunção: ou, v
Na tabela “ou” para ser verdade basta uma verdade. Todas forem F = F.
p q p v q
V V V
V V V
V F V
V F V
F V V
F V V
F F F
F F F
Tabela-Verdade: Disjunção Exclusiva: ou ... ou , v
Na tabela “ou ... ou” V com V = F e F com F = F. Quando iguais = F.
p q p v q
V V F
V V F
V F V
V F V
F V V
F V V
F F F
F F F
Tabela-Verdade: Condicional: se ... então,→
A primeira for V e a segunda for F = Será F.
p q p→ q
V V V
V V V
V F F
V F F
F V V
F V V
F F V
F F V
DICA: LOGO TAMBÉM PODE SER.
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Raciocínio Lógico
Tabela-Verdade: Bi Condicional: se ... somente se, ↔
Se os valores são iguais, é V; se os valores são diferentes, é F.
p q p↔ q
V V V
V V V
V F F
V F F
F V F
F V F
F F V
F F V
Tabela-Verdade: Negação: ~
p ~p q ~q
V F V F
V F V F
V F F V
V F F V
F V V F
F V V F
F V F V
F V F V
Resumo Tabela-Verdade
SÓ VAI SER SE
E V Todos forem V
OU F Todos forem F
OU...OU Iguais são F. Diferentes são V.
SE...ENTÃO F A 1 for V e a 2 for F
SE...SOMENTE SE V Todas forem V ou F
Tautologia
A proposição (A → B) ↔ (~A ∨ B) é uma tautologia.
Página 11 de 60
Raciocínio Lógico
É uma proposição composta sempre verdadeira, independente das proposições
simples que ela é formada. O resultado final da sua tabela verdade é todo ele
VERDADEIRO. Exemplo de negação:
Contingência ou Indeterminadas
Sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Somente isso.
Tem-se a proposição composta e se constrói a sua tabela-verdade.
Se, ao final, for verificado que aquela proposição nem é uma tautologia (só
resultados V), nem é uma contradição (só resultados F), então, por exceção, será
dita uma contingência.
Resumo Dica: Tautologia e Continência
 Tautologia: Tabela da verdade toda V.
 Contingência: Mistura V e F.
 Contradição: Tabela da verdade toda F.
Equivalências Lógicas
Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas
proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos.
Ser equivalente é produzir o mesmo resultado.
p equivale a q. Significa que p e q tem o mesmo valor lógico.
 Equivalência da CONDICIONAL (SE....ENTÃO). Pode ser de duas formas:
1. Nega tudo, inverte e mantém o SE... ENTÃO.
2. Nega a 1ª parte, mantém a 2º e troca pelo conectivo OU.
 Contra positiva ou contra recíproca: troca e nega.
E troca por OU
TODOS troca por ALGUM NÃO
ALGUM troca por NENHUM
 Negar duas vezes. Dentro da lógica proposicional negar duas vezes é
afirmar. Ex. “Não é verdade que não gosto de lógica” <-> “eu gosto de lógica”.
 Se, e somente se:
1. Troca o "se e somente se" por "ou...ou" e não nega nada.
2. Mantém o conectivo "se e somente se" e nega a segunda parte.
Página 12 de 60
Raciocínio Lógico
SÓ VAI SER SE
E V Todos forem V E troca por OU
OU F Todos forem F OU troca por E
OU...OU Iguais são F. Diferentes são V.
SE...ENTÃO F A 1 for V e a 2 for F
Nega tudo, inverte
e mantém o SE...
ENTÃO
OU
Nega a 1ª parte,
mantém a 2º e troca
pelo conectivo OU.
SE...SOMENTE SE V Todas forem V ou F
Troca o "se e
somente se" por
"ou...ou" e não
nega nada
OU
Mantém o conectivo
"se e somente se" e
nega a segunda
parte.
Análise Combinatória
Princípios de Contagem: Soma (aditivo) “ou”
Se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2 , de N2 maneiras
distintas, EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem
ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em N1 + N2 + ... +
Nk maneiras distintas.
Se em um cardápio existem 5 opções de saladas e 5 opções de grelhados. Há 5 + 5
= 10 maneiras distintas de escolha.
Princípios de Contagem: Multiplicação (multiplicativo) “e”
Considere que E1 , E2 , ..., Ek são eventos que ocorrem sucessivamente; se o
evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer de N2
maneiras distintas, ..., o evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então
todos esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, em N1 × N2 × ... × Nk
maneiras distintas.
Se em um cardápio existem 5 opções de saladas e 5 opções de grelhados. Entre
salada e grelhado, há 25 opções: 5 x 5 = 25.
Página 13 de 60
Raciocínio Lógico
Uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1, B2 e B3), 2 sapatos (S1 e S2)
e 2 calças (C1 e C2). Logo, ao chegar em casa, ele se pergunta: “De quantas
maneiras distintas eu posso mearrumar com as compras realizadas?”.
O princípio multiplicativo multiplica possibilidades: • Blusa: 3 possibilidades; • Sapato:
2 possibilidades; • Calça: 2 possibilidades. 30m 3/B x 2/S x 2/C = 12.
No caso do princípio da soma (aditivo) “ou”: • Blusa: 3 possibilidades; • Sapato: 2
possibilidades; • Calça: 2 possibilidades. 3/B + 2/S + 2/C = 7
Ordem Importa
Agrupamentos em que a ordem importa. Formação de:
– Filas; – Senhas;
– Códigos; – Matrículas
– Protocolos; – Classificação;
– Números telefônicos.
Na contagem de um agrupamento em que a ordem importa, deverá ser feita a
multiplicação ou a soma.
Quando a ordem não importar, deverá ser feita a multiplicação e divisão.
Página 14 de 60
Raciocínio Lógico
Anagrama com letra repetida
Anagrama é a formação de palavras com ou sem significado.
Quantos anagramas podem ser formados? ANA.
Temos 3 possibilidades, que totalizam 6 anagramas.
3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Porém, 3 são repetidas. ANA ANA AAN AAN NAA NAA
Contudo, existem duas letras (A) repetidas. Nesse caso, como multiplicamos as
possibilidades, faremos a divisão para eliminar as duplicidades. A divisão ocorrerá
com o número de possibilidades encontradas (6) pelo fatorial daquilo que se repete
(2). 3 x 2 x 1 = 6
6/(2 x 1) = 3
Ordem Não Importa
Formação de equipes, times, diretorias, figuras geométricas, grupos, entre outros. A,
B, C, D ou D, C, B, A será a mesma equipe, ou seja, a ordem não importa, não cria
um novo agrupamento. ABCD = DCBA. Toda vez que houver um agrupamento em
que a ordem dos elementos não importar, além de multiplicar haverá divisão.
Permuta
Se tratar de posições. O número de objetos é igual ao número de posições? Se a
resposta for sim, então você utiliza permutação.
P = N!
Página 15 de 60
Raciocínio Lógico
Permuta com repetição
Permutação Circular
Situação ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma
circunferência de círculo.
Fórmula: Pc (n)=(n-1)!.
Em que: (n-1) = número total de elementos a serem permutados.
Por exemplo: pessoas sentadas em uma mesa. Em uma primeira situação, numa
linha reta, como no caso de uma fileira [A, B, C, D, E, F] se trocar [B, A, C, D, E, F]
será uma nova fila, ou seja, a ordem importa. Numa segunda situação, em uma
mesa circular:
Na permutação circular é preciso identificar se no caso de trocar os elementos a
ordem irá mudar. Na permutação circular é preciso retirar as repetições. Por exemplo:
se há 6 pessoas, imagina-se 5; se são 5 pessoas, imagina-se 4; e assim por diante.
Arranjo
Se depois da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema
será de arranjo. (ordem importa). (arranjo = arrumo)
A = N! / N! – P!
Se a sequência 1, 3, 5, 6, 7, 9 é diferente da sequência 9, 7, 6, 5, 3, 1. Logo vamos
utilizar arranjo.
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Raciocínio Lógico
Combinação
Se depois da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será
de combinação.
C = N! / P(N-P)!
Assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus
elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse
exercício será resolvido por combinação.
Probabilidade
O conceito de probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um
número em um experimento aleatório, ou seja, é a chance de ocorrer um evento
favorável (desejado) em um determinado universo de eventos.
Eventos aleatórios: são aqueles que, quando executados repetidas vezes em
iguais condições, fornecem resultados diferentes, ou seja, são resultados que estão
previstos dentro das possíveis respostas para este experimento. Exemplo: ao lançar
uma moeda uma vez, quantas e quais são as possíveis situações que podem
acontecer? 2: cara ou coroa.
Espaço amostral ou universo: é o conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório. É comum que a letra que representa o espaço amostral
seja S ou U. Ao lançar uma moeda para cima e observar a face que ficará virada
para cima após a queda. O espaço amostral é {Cara ou Coroa}.
P(A) = número de casos favoráveis (evento) / número de casos possíveis
(universo).
Página 17 de 60
Raciocínio Lógico
P = MENOR NUMERO ESCOLHIDO
NÚMERO TOTAL
E = MULTIPLICA. OU = SOMA
Exemplo1: Projeto A e B.
Independentes.
Probabilidade projeto A ser aprovado:
80%
Probabilidade projeto B ser aprovado:
60%
Probabilidade somente projeto B ser
aprovado?
P(~A) = 20%
P(~B) = 40%
Independente = e = multiplica.
P(~A) x P(B) = 20% x 60%.
20 x 60 = 1200 12 =
12%.
100 100 10.000 100
Exemplo2: Independentes.
Probabilidade de Matias ser aprovado
no concurso é 90%.
Probabilidade de Lucas ser aprovado
no concurso é 60%.
Probabilidade nenhum ser aprovado?
P(~A) = 10%
P(~B) = 40%
10 x 40 = 400 4 = 4%
100 100 10.000 100
Propriedade 1
A probabilidade do evento impossível é nula.
Imagine que desejo retirar do meu guarda-roupa uma blusa que eu não possuo. Ou
seja, trata-se de um evento impossível, o qual tem chance 0 de acontecer.
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Propriedade 2
A probabilidade do evento certo é igual à unidade.
Imagine que o professor possui um total de 10.000 alunos. Deseja-se sortear um
aluno para ser contemplado com um livro. Qual é a chance de o professor sortear
um livro agora e um aluno seu recebê-lo? Quem está assistindo ao curso é porque é
aluno do professor. Logo, o evento é certo, pois qualquer um que for sorteado será
aluno do professor.
Assim: P(A) = 10.000/10.000 = 1 Com efeito: p(A) = n(U)/n(U) = 1
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Raciocínio Lógico
Propriedade 3
Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Exemplo: dois eventos: evento “i” → falar inglês; evento “p” → falar português. Qual
é a probabilidade de uma pessoa falar português ou inglês?
Uma pessoa pode falar português e inglês? Sim. Mas quem fala só português, fala
português ou inglês; quem fala só inglês, fala português ou inglês; e quem fala
português e inglês também fala português ou inglês. O “ou” pode ser só um, só o
outro ou as duas coisas. Então, se há algo em comum, deve- -se montar o diagrama
com interseção:
Propriedade 4
A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual à
unidade. Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabe-se que A U A' = U. O
complementar é aquilo que falta para o todo. Exemplo: a probabilidade de acertar o
alvo é 1/3. O complementar é o que falta. Então, a probabilidade de errar o alvo é
2/3.
Propriedade 5
A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0,
1] 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Dica: Há algo comum: pode ser usado o diagrama de interseção. a) ou: união (U) b)
e: interseção (Ʌ).
Apenas um evento: exemplo, existe uma urna, deseja-se retirar uma bola. Mais de
um evento – dentro de um grupo de policiais, sorteia-se um grupo de 3. Nesse caso,
o evento será representado pelo “e”. Não há algo comum: os conjuntos são disjuntos.
a) ou: soma. b) e: multiplicação.
Exemplo: em uma urna existem 3 bolas brancas e 4 bolas pretas (não há nada em
comum). Sorteando-se aleatoriamente 3 bolas, sem reposição, qual a probabilidade
de serem?
2 brancas e 1 preta: É preciso relembrar os conceitos de análise combinatória. “e”:
multiplica = branca x branca x preta. Não precisa ser na ordem. Nessa questão é
preciso multiplicar x 3:
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Raciocínio Lógico
Regra de três Composta
MÁQUINAS PROVAS MINUTOS
2 1000 2
X 2000 1
A seta acompanha: do menor valor para o maior.
 Mais provas = Mais tempo (inverso)
 Mais máquinas = Mais provas (direto)
2 = 1000 x 1
x = 2000 x 2
2 = 1000
x = 4000
1000 x = 2 x 4000
1000 x = 8000
x = 8
Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se esta
equipe for aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídas 7
toneladas de carvão? Existem três grandezas: mineiros, dias e toneladas, então,
trata-se de uma regra de três composta.
O segredo desse raciocínio é começar pela linha que possui o “x”.
Assim, após separar a causa das consequências, basta fazer a multiplicação no
sentido das setas mostradas no esquemaacima:
20 . x . 3,5 = 15 . 30 . 7 x = 45 dias
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Raciocínio Lógico
Conjuntos Numéricos
Conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais (propriedades e
operações).
 Naturais (N): abrange todos os numeros inteiros positivos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, …}
 Inteiros (Z): inclui números inteiros negativos. ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
 Racionais (Q): Todo aquele A/B ≠ 0. Inclui os decimais.
 Reais (R): Todo os números.
 Irracionais (IR): Decimais infinitos. Não periódicos. Ex. valor de Pi.
Elemento: componente do conjunto.
Pertinência: elemento faz parte do conjunto. (e).
Por extensão: A = {a, e, i, o ,u}
Por propriedade, enuncia uma propriedade: A = {a é uma vogal}
Vazio: Não possui elementos. {Ø}.
Universo: Contem todos os elementos/conjuntos. {U}
Iguais: A e B são iguais quando todos elementos de A pertence a B e todos os
elementos de B pertence a A. A c B. B c A.
A = B <=> (Ɐx)(x e A <=> x e B)
{a, b, c, d} = { d, c, b, a}
Subconjuntos
Um conjunto A está contido em B, quando o conjunto B contém elementos de A e
outros. A é subconjunto de B. B também é subconjunto de A.
União (U) - Todos
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Se tiver elementos
repetitivos, aparece uma
vez.
A
B
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Raciocínio Lógico
Interseção (∩) – Repetem
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
A∩B = {4}
Complementar - Diferença
A – B = Não aparecem em B.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
A-B = {1, 2, 3}
Dízima periódica
Dízima periódica significa que, de período em período, um número ou uma
quantidade de números está se repetindo.
Um número será racional quando for possível colocá-lo em forma de fração e tanto o
denominador quanto o numerador pertencerem aos números inteiros.
As dízimas periódicas também pertencem aos números racionais, pois é possível
colocá-las em forma de fração.
Para somar as dízimas, é preciso colocá-las em forma de fração.
Números Primos
Os números primos têm como únicos divisores eles mesmos e a unidade (número 1),
os números que têm outros divisores além deles mesmos e a unidade são
chamados de compostos.
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Raciocínio Lógico
Escrever o número a ser fatorado e uma reta vertical ao lado.
Ao lado direito da reta, escrever o menor divisor diferente de 1, do número a ser
fatorado.
Escrever o resultado da divisão ao lado esquerdo, abaixo do número original.
Repetir o processo até que ao lado esquerdo esteja o número 1.
Neste processo, os fatores primos são os números à direita e, o número original é o
resultado da multiplicação entre seus fatores primos.
Caso o número possua mais de dois divisores, o 1 e o próprio número, este não é
primo, sendo, portanto, um número composto.
Identidade de Sophie Germain
É uma técnica de fatoração em que se completa quadrados. Ex. O número 720 + 230
é primo?
a4 + 4b4 = 720 + 230
a4 + 4b4 = (75)4 + 22 x 228
a4 + 4b4 = (75)4 + 22 x (24)7
a4 + 4b4 = (75)4 + 4(27)4
a = 75 e b = 27
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Raciocínio Lógico
MMC
Será aplicado MMC nas questões que relatarem sobre tempo de encontro no futuro,
desde que haja o primeiro encontro.
Considere que uma pessoa toma 3 tipos de remédios regularmente, sendo o
primeiro remédio de 6 horas em 6 horas, o segundo, de 4 horas em 4 horas, e o
terceiro, de 3 horas em 3 horas. Se ela tomou os 3 remédios juntos hoje às 7 horas
da manhã, então a próxima vez que ela tomará novamente os três remédios juntos
será amanhã.
Números Complexos
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade,
afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os
processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo
elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números
complexos.
Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.
Forma algébrica do número complexo Z= a + bi, em que “a” corresponde à parte real
e “b” corresponde à parte imaginária.
É possível ter um número complexo: Imaginário puro: a = 0 (parte real é nula) Real:
b = 0 (parte imaginária é nula).
O número complexo que representa o conjugado da soma entre os números
complexos z1 = 3 – 2i e z2 = 4 + 7i é igual a:
z1 + z2 = 3 – 2i + 4 + 7i = 7 + 5i
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Raciocínio Lógico
Potenciação
Uma potência é formada por uma base (a) e um expoente (b): ab. O expoente indica
quantas vezes a base se repetirá; por exemplo: 32 = 3 x 3 = 9.
 Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
 Qualquer número elevado a 1, é ele mesmo.
 Quando uma base for elevada a expoente negativo, invertem-se denominador
e numerador e altera-se o sinal de negativo para positivo.
 Em uma multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e
somam-se os expoentes.
 Em uma multiplicação de potências de bases diferentes elevadas a um
mesmo expoente, coloca-se o expoente em evidência.
 Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os
expoentes.
 Em uma divisão de potências de bases diferentes elevadas a um mesmo
expoente, coloca-se o expoente em evidência.
 Em uma potência de potência, conserva-se a base e multiplicam-se os
expoentes.
 Para transformar uma potência em radiciação, a base (a) fica no radicando, o
numerador (n) será o expoente do radicando, e o denominador (p) será o
índice.
Radiciação
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Raciocínio Lógico
 Em uma raiz de mesmo índice e expoente, pode-se cortá-los.
 A potência da raiz é a raiz da potência.
 Raiz de uma raiz; nesse caso, conserva-se o radical e multiplicam-se os
índices.
 Raiz enésima de um produto.
 Raiz enésima de a dividido por b é a raiz enésima de a dividido pela raiz
enésima de b.
 Para passar uma constante que esteja multiplicando o radical para dentro
desse radical, basta colocá-la no radical, mas deve-se elevar essa constante
ao mesmo índice do radical, ou seja, o expoente do número que entra é o
índice do radical.
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Raciocínio Lógico
 Se o expoente é negativo, invertem-se numerador (a) e denominador (1), mas
com o = = expoente positivo (p/n).
Raiz Quadrada
NX/Y = Y√NX
2√93 = (9)3/2
(9)3/2 = (32)3/2
2. 3/2 = 3
2√93 = (9)3/2 = 33 = 27
Múltiplos de 10
Se um número multiplica por 0,5 = resultado é metade.
Se um número divide por 0,5 = resultado é o dobro.
456 x 2000 (ignora o zero)
456 x 2 = 912 (adiciona zero)
921 000
522 / 300 (ignora o zero)
522 / 3 = 174 (anda número de zeros)
1,74
30% de 500 (dividir por 10)
3% de 50 (multiplica 3 x 50) = 150
500 – 150 = 350
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Raciocínio Lógico
Porcentagem
Os alimentos tiveram um aumento de 16%; Significa que em cada R$ 100 houve um
acréscimo de R$ 16,00.
Toda a razão que tem para consequente (denominador) o número 100 denomina-se
razão centesimal.
 2% de 150 = 150 x 2 = 300 (virgula anda 2 casas – 100 (dois zeros). = 3
 11% de 14 = 14 x 11 = 154 (virgula anda 2 casas – 100 (dois zeros). = 1,54
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Raciocínio Lógico
Divisibilidade
B|A: B é divisor de A.
Ex. 5155. C = 11. 5 x 11 = 55.
A = BxQ+R
55 = 5x1+0
Razão e Proporção
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas. Já a proporção é
determinada pela igualdade entre duas ou mais razões, ou, ainda, quando as razões
possuem o mesmo resultado.
Razão:
Proporção: = A.D = B.C
Escala
Escala é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um
segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4.320km. Vamos
calcular a escala deste mapa.
O primeiro passo é igualar as unidades de medida. Para que os números fiquem
inteiros, o ideal é converter as duas unidades para milímetros.
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Raciocínio Lógico
Velocidade
Velocidade média é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto.
Um carro percorre 320 km em 4 horas. Determine a velocidade média deste carro.
Densidade
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área.
O estado do Cearátem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800
habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
 Observe que o antecessor (5) da primeira é o consequente (5) da segunda.
 Observe que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da segunda.
 O produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8. 8/5 =1
 Diz-se que as razões são inversas.
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Raciocínio Lógico
Forma Trigonométrica ou Polar
Triangulo Retângulo: ângulo reto (90º)
Soma dos ângulos (180º)
Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo reto.
Catetos: adjacentes (ângulo de referência) e oposto.
Teorema de Pitágoras
 a = hipotenusa
 b e c = catetos
Plano de Argand Gauss
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Raciocínio Lógico
Assim, basta substituir os valores na forma algébrica para se encontrar a forma
trigonométrica ou polar:
Círculo Trigonométrico
Para montar a tabela de valores:
Seno: colocar fração, numerador 1, 2 e 3. Denominador 2. Raiz quadrada no
numerador.
Cosseno: Inverte o seno.
Sen 90º = 1
Cos 90º = 0
 Cossecante: razão inversa do seno 1/sen.
 Secante: razão inversa do cosseno 1/cos.
 Cotangente: razão inversa da tangente 1/tan.
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Raciocínio Lógico
Conversão
Converter radianos em graus 180º / π radianos
Converter graus em radianos π radianos / 180º
Cumprimento do arco em radianos S = r . θ
S = cumprimento
r = raio
θ = ângulo central
Cumprimento do arco em graus S = r . θ . π / 180º
Exemplos:
 Quantos radianos existem em 90º?
90º (π radianos / 180º) = 90º π radianos / 180º = π radianos / 2
 Quantos graus existem em π radianos / 3?
π radianos / 3 (180º / π radianos) = π radianos / 3 (180º / π radianos) = 180º/3 = 60º
Sistemas de Equações
Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas
em várias áreas.
Método de Adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Dessa
forma, somando-se membro a membro as duas equações, recai-se em uma
equação com uma única incógnita.
Como agora o valor de y é conhecido, basta substituí-lo em qualquer uma das
equações para encontrar o valor de x.
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Raciocínio Lógico
Método de Substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra
equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única
incógnita.
Equações de segundo grau
ax2 + bx + c = 0 → condição a ≠ 0
a, b, c = coeficientes. Se o coeficiente ‘a’ for 0 será uma equação do 1º grau.
A princípio, a equação do 2º grau tem duas raízes (X', X''), que são responsáveis por
fazer com que a questão se torne 0.
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Raciocínio Lógico
Polinômios
Monômios: produto de numero reais e variáveis. Ex. 3x2; -35y7.
AxY: A é coeficiente numérico, xY é a parte literal.
Somente somar ou subtrair semelhantes. Ex. 2b + 3b = 5b // 12a – 7a + 10r = 5a +
10r
Multiplicação:
1. Verificar a regra do sinal.
2. Multiplicar coeficientes numéricos.
3. Parte literal conserva e soma os expoentes.
2w x 8w = 16w
5x5 x 8x2 = 40x7
Divisão:
1. Parte literal conserva e subtrais os expoentes.
4x5 / 2x2 = 2x3
15a2 / 5a6 = 3/a4
Polinômios possuem 2 ou mais termos.
 Grau 1: 7x – 1
 Grau 2: 5x2 – 3x + 9
 Grau 5: 4x5 – 2x4 + 8x2 – x + 2
Raiz do Polinômio
A raiz do polinômio é o valor atribuído à variável da equação que consiga tornar nulo
o resultado da equação.
Subtração
Subtraindo P(x) com Q(x), tem-se:
(X4 + 2X3 – X2 – 6X + 4) – (2X5 – 9X4 – 4X3 + 8X – 3) =
X4 + 2X3 – X2 – 6X + 4 – 2X5 + 9X4 + 4X3 – 8X + 3 =
– 2X5 + 10X4 + 6X3 – X2 – 14X + 7
Multiplicação
Sendo Q(x) = X2 – 2X + 1 e S(x) = X + 3.
Multiplicando Q(x) com S(x), tem-se:
(X2 – 2X + 1). (X + 3) =
X3 + 3X2 – 2X2 – 6X + X + 3 =
X3 + X2 – 5X + 3
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Raciocínio Lógico
Multiplicação por propriedade distributiva
(x – 2) (x – 5) = x . x + x . (-5) + (-2) . x + (-2) . (-5)
X2 – 5x – 2x + 10
X2 – 7x + 10
Divisão por método chave
Sendo P(x) = 6X4 – 10X3 + 9X2 + 9X – 5 e Q(x) = 2X2 – 4X + 5 4.1
Dividindo P(x) por Q(x), ou P(x)/Q(x), sendo P(x) o dividendo e Q(x) o divisor, tem-se:
x2 – 5x – 13 x – 4
x2 – 4x x – 1
- x - 13
-x + 4
-17
Teorema do resto
x2 + 5x - 1 / x + 1
Ax + B = P(-B/A)
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Raciocínio Lógico
x + 1 = A = 1 e B = 1
P (-B/A)
P (- 1/1)
P = -1
x2 + 5y - 1 / x + 1
(-1)2 + 5 (-1) – 1
1 - 5 – 1 = - 5
Teorema de D´Alembert
Ax + B ÷ (SE) P = (-B/A) = 0
x2 + 2x + 1 ÷ x + 1
x + 1 = P = (-B/A)
x + 1 = P = (-1/1) = -1
(-1)2 + 2 (-1) + 1
1 – 2 + 1 = 0
Método Briot-Ruffini
X5 – 4X4 + 10X2 – X – 6 = 0 ÷ X + 1
Completar: X5 – 4X4 + 0X3 + 10X2 – X – 6
Coeficientes: 1, – 4, 0, 10, -1, e -6.
Resultado
Soma com
próximo
Coeficiente
(-1) + (-4)
5 + 0 (-5) + 10 -5 - 1 6-6
X+1 = 0
X = -1 -1 1 -5 5 5 -6 0
Repete 1
Multiplica pelo
Coeficiente -1
Resultado: X5 – 5X4 + 5X3 + 5X2 – 6X
Fator Comum
AX + BX = X(A+B)
Agrupamento
AX + BX + AY + BY = X(A +B) + Y (A + B) = (X+Y) (A+B)
Trinômio do quadrado perfeito
A2 ± 2AB + B2
(X+3)2 = (X+3) (X+3)
X2 + 3X + 3X + 9 = X2 + 6X + 9
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Raciocínio Lógico
Diferença de dois quadrados
A2 – B2 = (A+B)(A-B)
Cubo Perfeito
A3 + B3 = (A+B)(A2-AB+B2)
A3 - B3 = (A-B)(A2AB+B2)
(A3 + B3) = A3+3A2B+3AB2+B3
(A3 - B3) = A3-3A2B+3AB2-B3
Fatoração
x2 + 12x + 20
A + B = Y A + B = 12 2 + 10 = 12 X+2
AB = Z AB = 20 2 X 10 = 20 X+10
X . X + (2 + 10) X + (2 .10) = (X+2) (X+10)
Funções
Par Ordenado: (-3,7); (2,1) = (√4,1)
Produto Cartesiano: A = {1,2} B = {3,4}
A X B {(1,3) (1,4) (2,3) 2,4)}
f: A B (f de A em B)
dom (f) = domínio
im (f) = imagem
f (A) = B (B é imagem de A): A B
A = { a, b, c}
B = { 5, 6, z}
f(a) = 5
f(b) = 6
f(c) = z
dom (f) = A
im (f) = B
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Raciocínio Lógico
Exemplo 1: escreva a função f(x) que recebe um número real x e retorna o seu
dobro.
f(x) = 2x
Exemplo 2: Define função f: A B, onde A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}
(1, a) (2, b) (3, c)
Exemplo 3: Dada a função f(x) = 2x + 3, calcule f(4).
f(4) = 2 . 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Função Constante
Reta Paralela ao eixo. f(x) = 2
Função Identidade
Elemento associa ao próprio x. Linear. A reta passa pelo primeiro e terceiro
quadrantes.
f(x) = x
Função Afim, Linear ou de Primeiro Grau
f(x) = Ax + B; A ≠ 0. É uma reta.
Quando B = 0 transforma em função
linear.
A = coeficiente angular.
B = coeficiente linear.
f(x) = 3x – 11
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Raciocínio Lógico
Zero da função Afim
Todo número x cuja imagem é nula. f(x) = 0. Primeiro Grau.
Para determinar 0, resolver x0 = -B/A
f(x) = 5x + 7 (Ax + B)
x0 = -7/5 (zero da função)
f(-7/5) = 5 (-7/5) + 7 = 0
Função Quadrática ou de Segundo Grau
f(x) = Ax2 + Bx + C, é uma parábola.
f(x) = -x2 + 2
Se A > 0, concavidade para cima
Se A < 0, concavidade para baixo
Forma Canônica
ou
Pode se reutilizada para calcular a imagem.
A > 0 = y ≥ - Δ/4a
A < 0 = y ≤ - Δ/4a
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Raciocínio Lógico
Número de Raízes
Fórmula de Bhaskara.
Vértice da parábola
Função Monótona
Preserva (crescente/ x e y sobem) ou inverte (decrescente/ x sobe e y desce) ordem.
f(x) = x – 3
f(x) = -2x + 3
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Raciocínio Lógico
Função Potência
f(x) = Axb (A é constante proporção)
Exemplo: f(x) = x3
Função Exponencial
f(x) = Ax
Exemplo 1:
2X = 64
2X = 2 6
X = 6
Exemplo 2:
2x > 128
2x > 27
x > 7
Em juros compostos há uma função exponencial crescente.
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Raciocínio Lógico
Diferença de Potência e Exponencial
f(x) = Axb (potencia) f(x) = Ax (exponencial)
f(3) = 1 . 33 = 9 f(3) = 23 = 8
Regra de Sinal
(+) (+) = (+)
(-) (-) = (+)
(+) (-) = (-)
Am . An = A m + n
Am / An = A m – n
(Am)n = Am . n
Função Logarítima
Logab = x ,significa = ax = b
Log28 = x, 23 = 8, x= 3
Quando A = 10, apenas logx
Quando A = E(Euler), escreve in(x). Log natural ou neperiano.
Loga1 = 0
Logaa = 1
Alogab = B
Logax = Logay, x=y
Loga(bc) = logab + logac
Loga(b/c) = logab - logac
Loga(by) = y logab
f(x) = logax e g(x) = ax são inversas.
Exemplo 1:
Log2(3x-5) = Log27
3x-5 = 7
3x = 12
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RaciocínioLógico
x=4
Log2(3x-1) = 4
3x-1 = 24
3x-1 = 16
3x = 17
x = 17/3
Equações e Inequações
Equações podem ter resultado único ou dois resultados.
3x2 + 21 x + 16 = 0
Inequações o resultado é nulo. Símbolos: <; >; ≤ e ≥
3x2 + 21 x + 16 ≤ 0
Exemplo 1:
-5x + 4 ≤ 10
-5x + 4 -4 ≤ 10 -4
-5x ≤ 6
-x ≤ 6/5 (-5 < 0, desigualdade inverte o sinal)
x ≥ - 6/5
Exemplo 2:
8x – 9 ≥ 6x + 5
8x – 9 + 9 ≥ 6x + 5 + 9
8x ≥ 6x + 14
8x -6x ≥ 14
2x ≥ 14 (2 > 0, não inverte)
x ≥ 7
Inequações do segundo grau
Nas inequações do 2º grau o gráfico é uma parábola que será para cima ou para
baixo, dependendo do coeficiente “a”.
 Equação do 2º grau: ax2+bx+c=0
 Inequação de 2º grau: ax2+bx+c >0
Numa equação há igualdade, numa inequação existe desigualdade.
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Raciocínio Lógico
Função Modular – Equações
|x| onde x ≥ 0 e -x < 0.
Se x é positivo ou 0: |x| = x, |10| = 10
Se x é negativo: |-x| = x, |-10| = 10
Exemplo 1: f(x) = |x|
|x| = x, -x
Exemplo 2: |2x-1| = 3
2x – 1 = 3 2x – 1 = -3
2x = 4 2x = -2
X = 2 x = -1
Exemplo 3: | 2x+3| = x + 2
2x + 3 = x + 2 2x + 3 = -x -2
2x – x = 2 – 3 2x + x = -2 – 3
X = -1 3x = -5
X = -5/3
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Raciocínio Lógico
Função Modular – Inequações
|X| < K, sendo -K < X > K
|X| > K, sendo X > K ou X < -K
Exemplo 1:
|2x-1| < 3
-3 < 2x – 1 < 3
-3 +1 < 2x – 1 +1 < 3 +1
-2 < 2x < 4
-2 ½ < 2x ½ < 4 ½
-1 < x < 2
Exemplo 2:
|4x – 3| > 5
4x – 3 < -5 ou 4x – 3 > -5
4x – 3 + 3 < -5 + 4 4x – 3 +3 > -5 +3
4x < -2 4x > -2
X < -1/2 x > 1/2
Binômio
(A + B )0 = 1
(A + B )1 = A1B0 + A0B1
(A + B )2 = A2B0 + 2AB + A0B2
Triângulo de Pascal
(x + y)6 = x6 + 6x5 y + 15x4 y2 + 20x3 y3 + 15x2 y4 + 6x y5 + y6
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Raciocínio Lógico
Exemplo 1: Encontre coeficiente de x10 na expansão (x+2)15
C1510 . (x10 . 25)
C1510 . 25 = 3003 . 32 = 96096
C = N! / P(N-P)!
C = 15! / 10! (15-10)!
C = 15.14.13.12. 11.10!/10! 5!
C = 360360/120 = 3003.
Teorema Binomial – Binômio de Newton
Exemplo 1. Calcule a expansão (3x-y)4 usando a teoria binomial.
(3x-y)4 = (40) (3x)4 (y)0 + (41) (3x)3 (y)1 + (42) (3x)2 (y)2 + (43) (3x)1 (y)3 + (44) (3x)0 (y)4
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Raciocínio Lógico
Ver o triangulo acima e colocar o valor
(3x-y)4 = (1) (3x)4 (y)0 + (4) (3x)3 (y)1 + (6) (3x)2 (y)2 + (4) (3x)1 (y)3 + (1) (3x)0 (y)4
(3x-y)4 = (1) (81x4) (1) + (4) (27x3) (y) + (6) (9x2) (y2) + (4) (3x) (y3) + (1) (1) (y4)
(3x-y)4 = 81x4 + 108x3y + 54x2y2 + 12xy3 + y4
Matrizes
Matriz linha: contém uma linha.
Matriz coluna: contém uma coluna.
Matriz nula: 0 elementos Ø.
Matriz quadrada = mesmo número de linhas e colunas.
Soma de Matrizes
A = | 1 2 | + B = | 5 6 | = |1+5 2+6| = |6 8|
3 4 7 8 3+7 4+8 10 12
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Raciocínio Lógico
Multiplicação de Matrizes
A = | 1 2 | X B = | 5 6 | = |1X5 + 2X7 1X6 + 2X8| = LINHA
3 4 7 8 = |3X5 + 4X7 3X6 + 4X8 X COLUNA
= | 19 22|
43 50
Determinante
det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 .
a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . a 2,3 . a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3).
Repete as duas primeiras colunas.
Multiplica os elementos da primeira diagonal secundaria e soma com a multiplicação das
outras diagonais secundarias.
Subtrai o resultado com multiplicação da primeira diagonal principal com a somas das outras
diagonais principais.
Teorema de Laplace
Determine os cofatores dos elementos a11 da matriz A.
O cofator do elemento a11 será explicado determinado pela seguinte expressão:
Aij = (-1) i + j. Dij, i é a linha e j é a coluna.
Portanto, devemos definir o determinante da matriz D11, matriz obtida retirando a 1ª linha e
1ª coluna da matriz A.
Com isso, podemos calcular o cofator A11:
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Raciocínio Lógico
Sistemas Lineares – Primeiro Grau
Não é linear se x2, xy. Ex. linear: x + y + z = 0; x – y – z = 0;
Regra de Cramer - Linear
Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de
um sistema linear 2x2.
Exemplo:
Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, Dx e Dy.
D = 2 · 2 – 4 · 3
D = 4 – 12
D = – 8
Dx = 7 · 2 – 10 · 3
Dx = 14 – 30
Dx = – 16
Dy = 2 · 10 – 7 · 4
Dy = 20 – 28
Dy = – 8
Em seguida, calcularemos os valores de x e de y:
Regra de Cramer – 3 X 3
Vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções
de um sistema de equação 3x3.
D = 1 · 2 · 3 + (–
3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1)
– [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (–
1) + (– 3) · 1 · 3]
D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1
– 9]
D = – 5 – 10
D = – 15
Dx = 1 · 2 · 3 + (–
3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (–
1) – [5 · 2 · 10 +
1 · 1 · (– 1) + (–
3) · 12 · 3]
Dx = 6 – 30 – 60 –
[100 – 1 – 108]
Dx = – 84 + 9
Dx = – 75
Dy = 1 · 12 · 3 +
1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 –
[5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10
+ 1 · 1 · 3]
Dy = 36 + 2 + 50 –
[120 + 10 + 3]
Dy = 88 – 133
Dy = – 45
Dz = 1 · 2 · 10 +
(– 3) · 12 · 2 +
1 · 1 · (– 1) –
[1 · 2 · 2 +
1 · 12 · (– 1) +
(– 3) · 1 · 10
Dz = 20 – 72 – 1
– [4 – 12 – 30]
Dz = – 53 +38
Dz = – 15
Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:
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Raciocínio Lógico
Método de adição
1. Multiplica todos os termos.
2. Soma equação 1 com a equação 2 e o resultado dá zero.
5x - 4y = -15
X + 2y = 13
5x - 4y = -15
x + 2y = 13
(multiplicar por 2
para facilitar)
5x - 4y = -15
2x + 4y = 26
7x + 0 = 21
7x + 0 = 21
7x = 21
X = 3
3. Substitui o resultado em uma das equações.
X + 2y = 13 2y = 10
3 + 2y = 13 y = 5
Transformar Matriz em equação
2X + 9Y = -20
7X – 5Y = 6
A = | 2 9 | . | x | = | -20 |
| 7 -6 | | y | | 6 |
Eliminação de Gauss
x – y + z = 1
2x + y – z = 0
3x – 2y – z = 2
1. Multiplique por 2 a primeira e subtraia com a segunda:
x – y + z = 1 (x2)
2x – 2y – 2z = 2
2x + y – z = 0
(2x – 2x) - (2y + y) - (-2z - z) = (2 – 0 )
0 – 3y + 3z = 2
2. Multiplique por 3 a primeira e subtrai pela terceira:
x – y + z = 1 (x3)
3x – 3y + 3z = 3
3x – 2y – z = 2
(3x – 3x) – (-3y + 2y) - (3z + z) = 3 – 2
0 – y – 4z = 1
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Raciocínio Lógico
3. Pegue o resultado da primeira e subtraia com o resultado da segunda.
0 – 3y + 3z = 2 (Se dividir por 3 facilita)
0 – y + z = 2/3
0 – y – 4z = 1
(-y + y) + (z - 4z) = (2/3 -1)
0 – 3z = -1/3
Respostas:
x – y + z = 1
– 3y + 3z = 2
– 3z = -1/3
Matriz Inversa
Primeiro deve identificar a determinante. Se ≠ 0 é inversível.
A x A-1 = I (A matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In).
Para compreender o que é a matriz inversa, é necessário antes conhecer a matriz
identidade. Conhecemos como matriz identidade a matriz quadrada In em que todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais termos são iguais a 0.
Encontre a inversa da matriz abaixo de ordem 3x3.
 Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada
coluna da segunda matriz.
 Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira
matriz pelas colunas da segunda.
 E por fim, a terceira linha da primeira com as colunas da segunda.
Vamos dividir o problema em três sistemas, um para cada coluna da matriz:
Montar o segundo sistema e resolvê-lo utilizando o mesmo método:
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Raciocínio Lógico
Por fim, vamos resolver o terceiro sistema:
Para resolver calcular os 3 grupos como sistemas lineares.
x = a + λ . →u + α→v
Vetores
Servem para medir força ou velocidade.
Pode ter:
 mesma direção (paralelas, horizontal, vertical, diagonal)
 mesmo sentido (direita, esquerda, positivo ou negativo)
 mesmo módulo (tamanho)
 Equipolentes (Tudo igual AB ~ CD)
Par Ordenado (A,B): A =origem e B = extremidade.
(A,A) = nulo.
(A,B) // (C,D) = paralelos
4
60º
5
4
3
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Raciocínio Lógico
Adição de vetores
Vetor dependente ou independente
 Linearmente dependente (paralelos): →v = →0.
Vetor com 4 ou mais elementos é dependente.
 Linearmente independente: →v ≠ →0.
Base
→v = a . →z + b. →x + c . →y (a, b, c) são coordenadas.
Ortogonal
||→v + →u || = ||→v||2 + ||→u||2
Aplica o teorema de Pitágoras. || →c || = √ x2 + y2 + z2
Fórmula de Vetores
Soma = | →r| = | →a + →b|
Subtração = | →r| = | →a - →b|
Perpendicular= | →r| = | →a|2 + |→b|2
Oblíquo = | →r| = | →a|2 + |→b|2 + 2 |→a| |→b| cos α
Vários = | →r| = | →a + →b + →c + →d|
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Raciocínio Lógico
Produto Escalar
→v . →u = 0
|| →u || = √ →v . →u
||→v || . ||→u || . cos α
cos α = →v . →u / ||→v || . ||→u ||
Produto Vetorial
O produto vetorial entre os vetores u e v abaixo, corresponde a? U= (2,-1,3) e V= (5,
-2,1)
Produto Misto – Volume Paralelepípedo
→a . (→b . →c) = não importa a ordem
→a (1, 2, 3)
→b (1, -2, 2)
→c (-1, 1, 2)
Primeiro: Faz matriz: b x c e calcule.
i j k i j
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Raciocínio Lógico
1 -2 1 1 -2
-1 1 2 -1 1
Do resultado multiplica por A: (1, 2, 3) . (-6i, -4j, -k) = 1 . (-6) + 2. (-4) + 3 . (-1) = -6, -8, -3.
Retas e Planos
x = a + λ . →v
Pontos
A = (1, 0, 1)
B = (0, 1, 0)
Escolher λ(→AB) = (-1, 1, -1)
Equação Vetorial
A = (1, 0, 1)
λ= (-1, 1, -1)
x = a + λ . →v
x = (1, 0, 1) + λ (-1, 1, -1)
Equação Paramétrica
x = 1 + λ (-1)
y = 0 + λ (1)
z = 1 + λ (-1)
Onde a coluna 1, 0, 1 são coordenadas de pontos da reta.
Coluna -1, 1, -1 são coordenadas vetor diretor.
Equação Simétrica
x – 1/-1 = y-0/1 = z-1/-1
Em cima coordenadas de pontos da reta.
Em baixo coordenadas vetor diretor.
Plano
x = a + λ . →u + α→v
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Raciocínio Lógico
Tabela de Medidas
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Raciocínio Lógico
Geometria Plana
Pontos C, H, P e L representados por letras maiúsculas latinas.
Retas r, s, x, p, q, u e v representadas por letras minúsculas latinas.
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas.
Por um único ponto, passam infinitas retas. Em uma reta, bem como fora dela, há
infinitos pontos, mas dois pontos distintos são suficientes para determinar uma única
reta.
Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
Semirretas: um ponto A sobre uma reta r, divide esta reta em duas semirretas. O
ponto A é a origem comum às duas semirretas, denominadas semirretas opostas.
Segmentos Consecutivos: dois segmentos de reta são consecutivos quando a
extremidade de um deles é também extremidade do outro, isto é, a extremidade de
um coincide com a extremidade do outro.
Segmentos Colineares: dois segmentos de reta são colineares se estão em uma
mesma reta.
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.
Segmentos Adjacentes: dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes
se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em
comum.
Ponto médio do segmento de reta divide o segmento AB em dois segmentos
congruentes.
Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em
comum.
Retas Perpendiculares: ângulo reto: um ângulo cuja medida é 90 graus. Todos os
ângulos retos são congruentes.
Retas Coincidentes: se as retas são coincidentes (a mesma reta), são paralelas.
Retas transversais e ângulos especiais: reta transversal a outras retas é uma reta
que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.
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Raciocínio Lógico
Polígonos
Polígono é a figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se
intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.
Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono.
Paralelogramo: é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos. Podemos
observar em um paralelogramo que:
 os lados opostos são congruentes;
 os ângulos opostos são congruentes;
 a soma de dois ângulos consecutivos vale 180°;
 as diagonais cortam-se ao meio.
Tipos de triângulos
Triângulo Equilátero: possui todos os lados congruentes, isto é, iguais. Um triângulo
equilátero é também equiângulo, pois todos os seus ângulos internos são iguais
(medem 60°), sendo, portanto, classificado também como um polígono regular;
Triângulo Isósceles: possui pelo menos dois lados iguais e dois ângulos congruentes.
O triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de triângulo isósceles,
que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais. Em um triângulo
isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice.
Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são iguais;
Triângulo Escaleno: possui os três lados diferentes e, consequentemente, os três
ângulos também são diferentes.
Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto. Em um triângulo retângulo, denomina-
se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados se chamam catetos.
Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
 O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção
desse cateto sobre a hipotenusa.
 O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à
hipotenusa.
 O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa.
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Raciocínio Lógico
Paralelogramos
Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, a figura será um paralelogramo.
Características de um paralelogramo:
 A soma de dois ângulos consecutivos é 180° e a soma dos ângulos internos é
360°;
 As diagonais cortam-se no ponto médio;
 Os lados opostos são congruentes;
 Os ângulos opostos são congruentes.
Retângulo: possui quatro ângulos de 90° e os lados opostos são iguais entre si;
Losango: todos os lados são iguais entre si;
Quadrado: possui quatro ângulos de 90° e todos os lados são iguais entre si. As
diagonais cruzam-se no ponto médio.
Circunferência
A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro, pode ser calculada por meio
da equação c = 2π r, em que c é a circunferência e r é o raio da circunferência.
A constante π (pi) é o quociente da circunferência pelo diâmetro:
Círculo ou disco é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência.
A área A de um círculo pode ser expressa por A = π r², onde r é o raio da
circunferência e π (pi) uma constante.
O raio é a metade de um diâmetro de uma circunferência:
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Raciocínio Lógico
Uma corda é um segmento de reta que possui dois pontos (início e final) de uma
circunferência.
O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de retas que
partem do centro para a circunferência. Esses segmentos de reta são os raios do
círculo.
No cilindro reto, a geratriz pode ser considerada a altura. No cilindro oblíquo, não.
O cilindro possui duas bases (o círculo embaixo e o círculo em cima).
A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as
bases do “cilindro”.
	Sumário
	Sentença Lógica
	Sentença Aberta
	Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional
	Resumo das afirmações
	Proposições
	Transformação de sentença aberta em fechada
	Representação das proposições
	Proposições simples, básicas, primitivas, atômicas
	Proposições compostas, moleculares, fórmulas propo
	Operadores ou Conectivos Lógicos
	Tabela-Verdade
	Tabela-Verdade: Conjunção: e, mas, tanto como, ^
	Tabela-Verdade: Disjunção: ou, v
	Tabela-Verdade: Disjunção Exclusiva: ou ... ou , v
	Tabela-Verdade: Condicional: se ... então,→
	Tabela-Verdade: Bi Condicional: se ... somente se,
	Tabela-Verdade: Negação: ~
	Resumo Tabela-Verdade
	Tautologia
	Contingência ou Indeterminadas
	Resumo Dica: Tautologia e Continência
	Equivalências Lógicas
	Análise Combinatória
	Princípios de Contagem: Soma (aditivo) “ou”
	Princípios de Contagem: Multiplicação (multiplicat
	Ordem Importa
	Anagrama com letra repetida
	Ordem Não Importa
	Permuta
	Arranjo
	Combinação
	Probabilidade
	Propriedade 1
	Propriedade 2 
	Propriedade 3 
	Propriedade 4
	Propriedade 5
	Regra de três Composta
	Conjuntos Numéricos
	Subconjuntos
	União (U) - Todos
	Interseção (∩) – Repetem
	Complementar - Diferença
	Dízima periódica
	Números Primos
	Identidade de Sophie Germain
	MMC
	Números Complexos
	Potenciação
	Radiciação
	Raiz Quadrada
	Múltiplos de 10
	Porcentagem
	Divisibilidade
	Razão e Proporção
	Escala
	Velocidade
	Densidade
	Razões Inversas
	Forma Trigonométrica ou Polar
	Teorema de Pitágoras
	Plano de Argand Gauss
	Círculo Trigonométrico
	Conversão
	Sistemas de Equações
	Método de Adição
	Método de Substituição
	Equaçõesde segundo grau
	Polinômios
	Raiz do Polinômio 
	Subtração 
	Multiplicação 
	Multiplicação por propriedade distributiva
	Divisão por método chave
	Teorema do resto
	Teorema de D´Alembert
	Método Briot-Ruffini
	Fator Comum
	Agrupamento
	Trinômio do quadrado perfeito
	Diferença de dois quadrados
	Cubo Perfeito
	Fatoração
	Funções
	Função Constante
	Função Identidade
	Função Afim, Linear ou de Primeiro Grau
	Zero da função Afim
	Função Quadrática ou de Segundo Grau
	Forma Canônica
	Número de Raízes
	Vértice da parábola
	Função Monótona
	Função Potência
	Função Exponencial
	Diferença de Potência e Exponencial
	Regra de Sinal
	Função Logarítima
	Equações e Inequações
	Inequações do segundo grau
	Função Modular – Equações
	Função Modular – Inequações
	Binômio
	Triângulo de Pascal
	Teorema Binomial – Binômio de Newton
	Matrizes
	Soma de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Determinante
	Teorema de Laplace
	Sistemas Lineares – Primeiro Grau
	Regra de Cramer - Linear
	Regra de Cramer – 3 X 3
	Método de adição
	Transformar Matriz em equação
	Eliminação de Gauss
	Matriz Inversa
	Vetores
	Adição de vetores
	Vetor dependente ou independente
	Base
	Ortogonal
	Fórmula de Vetores
	Produto Escalar
	Produto Vetorial
	Produto Misto – Volume Paralelepípedo
	Retas e Planos
	Equação Vetorial
	Equação Paramétrica
	Equação Simétrica
	Plano
	Tabela de Medidas
	Geometria Plana
	Polígonos 
	Tipos de triângulos
	Paralelogramos
	Circunferência

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