Aula 2

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Web da Coordenação
Engenharias: Elétrica e 
Mecatrônica
10/02/2024
TUTOR
Prof. Esp. Carlos H. C. Seabra
Analista e Desenvolvimento de Sistema / 
Matemático / Eng. Elétrica (and.)
Esp. Engenharia de Produção, Esp. Gerenc. e 
Manutenção, Esp. Gerenc. de Projetos, MBA 
Gestão Industrial, Logística e Qualidade
Conteúdo
1. Carga Elétrica;
2. Potencial Elétrico;
3. Capacitores e Dielétricos;
4. Eletrodinâmica;
5. Campo Magnético e Forças Magnéticas
ELETROMAGNETISMO
Potencial Elétrico
Energia 
Potencial 
Elétrica e 
Trabalho;
Potencial 
Elétrico;
Elétron-
Volt;
Gradiente 
do 
Potencial.
Energia Potencial Elétrica e Trabalho
• Pode-se dizer que ao deslocar uma carga de um ponto a outro, na 
presença de campo elétrico, a força elétrica realiza trabalho sobre essa 
carga. 
• Assim como associamos o trabalho à energia na mecânica, podemos 
relacionar o deslocamento de cargas ao trabalho e, como 
consequência, à energia elétrica. 
• Com mais precisão, o trabalho realizado pela força elétrica está 
associado à energia potencial elétrica. 
• À energia elétrica potencial associa-se o próprio potencial elétrico, ou 
como o chamamos comumente, potencial, ou ainda voltagem ou 
tensão. 
• O deslocamento de elétrons ordenados, ou seja, da corrente elétrica, é 
possível apenas quando na presença de potencial elétrico – mais 
precisamente, com diferença de potencial elétrico entre dois pontos.
Energia Potencial Elétrica e Trabalho
• .
Energia Potencial Elétrica e Trabalho
• .
Energia Potencial Elétrica e Trabalho
• .
É relativa ao trabalho realizado 
sobre uma carga para ser 
deslocada de um ponto a até o 
ponto b em um campo elétrico 
uniforme. 
O trabalho não depende da 
trajetória que a carga descreverá, 
mas somente dos pontos inicial e 
final, ou seja, a força elétrica é 
uma força conservativa. 
• Dizemos que são forças conservativas, aquelas capazes de converter 
energia cinética em energia potencial e realizar a conversão inversa –
energia potencial em energia cinética. 
• Dessa maneira, podemos escrever a seguinte equação para o trabalho 
realizado pela força elétrica para deslocar a partícula do ponto a ao 
ponto b:
• Onde τa→b
– é o trabalho para o deslocamento dessa fórmula, 
– Ua é a energia potencial da partícula no ponto a, 
– Ub é a energia potencial no ponto b.
o trabalho é igual a variação de energia potencial sofrida pela 
partícula, com o sinal negativo, visto que quando Ua é maior que Ub
, a variação de energia é negativa, ou seja, a energia potencial diminui. 
• Pensando ainda nas forças conservativas, podemos dizer que a 
variação da energia cinética da partícula é igual ao trabalho que foi 
realizado sobre a qual – teorema trabalho-energia.
• Onde Ka e Ka correspondem à energia cinética das partículas nos 
pontos a e b, respectivamente. Logo, poderemos reafirmar o princípio 
de conservação da energia rearranjando as últimas equações para as 
seguintes:
• Repare que a última equação afirma que a energia total – a somatória 
das energias potencial e cinética – é a mesma nos pontos a e b. 
• Podemos considerar ainda essa situação ilustrada para transportar a 
carga teste q0 de um ponto a até um ponto b e escrever equações 
individuais para a energia potencial U de duas cargas puntiformes, por 
exemplo:
• Onde F é a força elétrica de atração entre a carga teste e a carga 
oposta localizada na placa, enquanto d é o deslocamento realizado por 
q0. Logo, para duas cargas puntiformes temos:
A unidade de medida à energia potencial 
elétrica, assim como ao trabalho é o joule (J)
Exercício
• Uma carga Q = – 50,0 nC está localizada a 0,30 m do ponto A e 0,50 
m do ponto B, conforme mostrado na figura a seguir. 
– a) Qual é o potencial em A produzido por essa cobrança?
– b) E qual é o potencial em B?
– c) Se uma carga q passa de A para B, qual é a diferença potencial 
pela qual ela o faz?
– d) De acordo com a resposta anterior, seu potencial aumenta ou 
diminui?
– e) Se q = – 1,0 nC, qual é a mudança em sua energia potencial 
eletrostática conforme ela se move de A para B?
– f) Quanto trabalho o campo elétrico produzido por Q faz quando 
a carga de teste se move de A para B?
Exercício
Exercício
Exemplo
• Um pósitron – a antipartícula do elétron – possui massa igual a 9,11. 
10–31kg e carga q0 = +e = 1,6 . 10–19 C. Suponha que um pósitron esteja 
se movendo nas vizinhanças de uma partícula alfa (a), que possui carga 
q0 = + 2 e = 3,20 . 10–19 C e massa 6,64 . 10–27 kg. A partícula a possui 
massa cerca de 7.000 vezes maior que a do pósitron, de modo que 
consideraremos a partícula a em repouso em algum sistema de 
referência inercial. Quando o pósitron está a uma distância igual a 1,00 . 
1010 m, afasta-se dessa partícula com uma velocidade igual a 3,00 . 106
m/s. Portanto:
– a) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância de 
2,00.10–10 da partícula a?
– b) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância 
significativamente grande da partícula a?
– c) Qual seria a alteração da situação supondo que a partícula que 
se desloca fosse, em vez de um pósitron, um elétron – de mesma 
massa do pósitron, mas de carga q0 = – e?
Dados
• Um pósitron – a antipartícula do elétron – possui 
– massa igual a 9,11. 10–31kg 
– carga q0 = +e = 1,6 . 10–19 C. 
– carga q0 = + 2 e = 3,20 . 10–19 C 
– massa 6,64 . 10–27 kg. 
– A partícula a possui massa cerca de 7.000 vezes maior que a do 
pósitron, 
– Quando o pósitron está a uma distância igual a 1,00 . 1010 m, 
– afasta-se dessa partícula com uma velocidade igual a 3,00 . 106 m/s. 
Portanto:
Exemplo
a) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância de 
2,00.10–10 da partícula a?
b) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância 
significativamente grande da partícula a?
c) Qual seria a alteração da situação supondo que a partícula que se 
desloca fosse, em vez de um pósitron, um elétron – de mesma massa 
do pósitron, mas de carga q0 = – e?
• A primeira observação que podemos fazer é que se a força de interação 
entre essas duas partículas é conservativa, a energia total se conserva
• detalhar essa relação como:
• Observe que nessa equação os índices A e B representam duas 
posições diferentes da partícula que se move – pósitron – em relação 
àquela considerada parada – partícula alfa. 
a) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância de 2,00.10–10 da 
partícula a?
• b) Consideraremos a distância significativamente grande a que o 
exercício se refere a um ponto C → ∞ no espaço, onde o princípio de 
conservação da energia continua válido
• terceiro termo, onde a distância é relativa ao ponto C, tende a zero; 
b) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância significativamente 
grande da partícula a?
• c) Para um elétron, a carga q0 = –e = 1,6 . 10
–19 C tem sinal invertido, de 
modo que o problema deve ser reconsiderado.
c) Qual seria a alteração da situação supondo que a partícula que se desloca 
fosse, em vez de um pósitron, um elétron – de mesma massa do pósitron, mas de 
carga q0 = – e?
• A energia potencial elétrica também pode ser considerada para n 
cargas puntiformes em um mesmo sistema, associadas à carga de teste 
q0. A energia total será a somatória das energias de interação dessas 
cargas com a carga teste, por meio de uma equação do seguinte tipo:
• deve-se considerar que existe uma interação relativa a cargas 
diferentes entre si, tais como e q1 e q2, q1 e q3 e assim por diante, ou 
seja, qi e qj. 
• O resultado da energia potencial será desta forma:
Onde i e j são pares de cargas distintas entre si.
Potencial Elétrico 
• Para definir o conceito de potencial elétrico, podemos fazer uma 
analogia ao campo elétrico, este que pode ser “percebido” quando 
houver força de interação entre duas partículas; ou seja, caso exista 
uma partícula para teste, o campo elétrico será a razão entrea força 
elétrica e a unidade daquela carga. 
• O potencial elétrico, que doravante representaremos por V, pode ser 
obtido por meio da relação entre a energia potencial elétrica U por uma 
unidade de carga – a carga teste. Assim, teremos a seguinte relação:
Observe que todas as grandezas envolvidas na equação são grandezas 
físicas escalares
• Para compreender as relações que envolvem o potencial, relembremos 
o conceito de trabalho para deslocar uma carga de um ponto a até um 
ponto b; se escrevermos essa relação por unidade de carga.
• No geral, Va b é conhecida como diferença de potencial (ddp) entre dois 
pontos, podendo ser relatada também como tensão ou voltagem.
• Em resumo, o potencial elétrico pode ser definido como a energia 
potencial em determinado ponto, associada a uma unidade de carga. 
No entanto, não é necessário que haja carga em determinado ponto 
para que ali exista potencial. 
• Para calcular o potencial elétrico em um ponto, podemos utilizar a 
relação entre a energia potencial elétrica e uma carga teste q0.
• Onde é o valor de uma carga puntiforme e é a distância da carga ao 
ponto onde se deseja calcular o potencial.
Exemplo
• A certa distância de uma carga puntiforme, o potencial e módulo do 
campo elétrico são, respectivamente, 4,98 V e 16,2 V/m (considere V = 
0 no infinito). 
• a) Qual é o valor dessa distância?
• b) Qual é o módulo da carga elétrica?
o potencial elétrico relativo a um 
conjunto de cargas puntiformes
POTENCIAL DE ENERGIA PUNTIFORME
• Para responder a essa pergunta – e para melhor compreendermos a 
magnitude física do potencial elétrico – é extremamente útil 
escrevermos as definições e equações em torno do potencial com o uso 
do cálculo integral e diferencial. 
• Podemos começar com a equação do trabalho para transportar uma 
carga de um ponto a até um ponto b:
• Note que, então utilizando a notação vetorial, poderemos ocultar o 
ponto (.) relativo à operação produto, a fim de mostrá-lo na operação 
produto escalar. A diferença de potencial Vab será:
Onde θ é o ângulo entre o campo elétrico E e o deslocamento dl. 
Elétron-Volt
• Quando se tratam de energias internucleares, a ordem de grandeza 
desses valores é baixa, sendo comum utilizarmos outra unidade de 
medida que não o Joule. 
• Enquanto unidade, o elétron-volt é conhecido como a energia 
necessária para mover uma partícula de carga em um potencial de 1 V, 
de modo que podemos utilizar a equação relativa à energia potencial 
elétrica
Exemplo
• Um próton (carga +e = 1.602 . 10–19 C) percorre uma distância d = 
0,50m ao longo da linha reta de um ponto a até um ponto b no interior 
de um acelerador linear. Considerando que o campo elétrico é uniforme 
ao longo dessa linha e possui módulo 
no sentido de a para b, determine:
a) A força sobre o próton;
b) O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre o próton;
c) A diferença de potencial Va – Vb
Exemplo
• Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes e 
• q1=+12 nC e q2=–12 nC, sendo a distância entre as quais igual a 10 cm
• calcule os potenciais nos pontos a, b e c.
Gradiente do Potencial
• É um vetor que representa a razão da mudança no potencial elétrico em 
relação à distância em cada eixo de um sistema de coordenadas 
cartesianas. 
• Assim, o vetor gradiente de potencial indica a direção na qual a taxa de 
variação do potencial elétrico é maior, dependendo da distância.
• O campo elétrico é definido como um vetor, que possui uma direção e 
magnitude específicas. 
• Ao determinar a direção na qual o potencial elétrico diminui mais 
rapidamente – afastando-se do ponto de referência – e dividindo esse 
valor pela distância percorrida, é obtida a magnitude do campo elétrico.
Caracteristicas
• O gradiente de potencial é um vetor delimitado por coordenadas 
espaciais específicas, que medem a razão de mudança entre o 
potencial elétrico e a distância percorrida por esse potencial.
• As características mais destacadas do gradiente:
• 1- O gradiente potencial é um vetor. Portanto, possui uma 
magnitude e direção específicas.
• 2- Como o gradiente de potencial é um vetor no espaço, possui 
magnitudes endereçadas nos eixos X (largura), 
Y (alto) e Z (profundidade), se o sistema de 
coordenadas cartesianas for tomado como 
referência.
• As características mais destacadas do gradiente
• 3- Esse vetor é perpendicular à superfície equipotencial no ponto em que o 
potencial elétrico é avaliado.
• 4 – O vetor gradiente de potencial é direcionado para a direção da variação 
máxima da função de potencial elétrico em qualquer ponto.
• 5- O módulo de gradiente de potencial é igual ao derivado da função de 
potencial elétrico em relação à distância percorrida na direção de cada um 
dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas.
• 6- O gradiente de potencial tem valor zero em pontos estacionários 
(máximo, mínimo e pontos de cadeira).
• 7- No sistema internacional de unidades (SI), as unidades de medida do 
gradiente de potencial são volts / metros.
• 8- A direção do campo elétrico é a mesma em que o potencial elétrico 
diminui sua magnitude mais rapidamente. Por sua vez, o gradiente de 
potencial aponta na direção em que o potencial aumenta seu valor em 
relação a uma mudança de posição. Então, o campo elétrico tem o mesmo 
valor do gradiente de potencial, mas com o sinal oposto.
Gradiente do Potencial
• o potencial elétrico é uma grandeza física que se relaciona com 
diversas outras, tais como a energia potencial elétrica, o trabalho da 
força elétrica, a própria força elétrica e por último – mas não menos 
relevante – o campo elétrico. 
• Em tais pontos calculamos o potencial elétrico a partir de um campo 
elétrico uniforme – um campo constante, uniforme em todos os pontos 
de uma direção, e nulo em outra direção. 
Exemplo
• Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V 
(x, y, z) = Axy – Bx2 + Cy; assim:
• a) Calcule os componentes x, y e z do campo elétrico;
• b) Em quais pontos o campo elétrico é igual a zero?
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	Slide 2
	Slide 3: Potencial Elétrico
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	Slide 5
	Slide 6: Energia Potencial Elétrica e Trabalho
	Slide 7: Energia Potencial Elétrica e Trabalho
	Slide 8: Energia Potencial Elétrica e Trabalho
	Slide 9: Energia Potencial Elétrica e Trabalho
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	Slide 11
	Slide 12
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	Slide 14: Exercício
	Slide 15: Exercício
	Slide 16: Exercício
	Slide 17: Exemplo
	Slide 18: Dados
	Slide 19: Exemplo
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	Slide 24
	Slide 25: Potencial Elétrico 
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28: Exemplo
	Slide 29
	Slide 30: POTENCIAL DE ENERGIA PUNTIFORME
	Slide 31
	Slide 32: Elétron-Volt
	Slide 33: Exemplo
	Slide 34
	Slide 35: Exemplo
	Slide 36: Gradiente do Potencial
	Slide 37: Caracteristicas 
	Slide 38
	Slide 39: Gradiente do Potencial
	Slide 40
	Slide 41: Exemplo
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