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Bases Matemáticas para
Engenharia
Aula 3 - Vetores e Matrizes
INTRODUÇÃO
Para o engenheiro, o conhecimento das grandezas vetoriais é primordial. No ramo da construção civil, grandezas como
força, torque e velocidade (grandezas vetoriais) se fazem presentes no seu dia a dia.
Guindastes, pontes, elevadores, automóveis, dimensionamento de vigas e treliças, onde estão envolvidas forças,
carregamentos, reações de apoio, as operações vetoriais são largamente utilizadas.
Nesta aula, trataremos dos vetores, base para o estudo da Mecânica, área da Física onde os vetores representam
forças, por exemplo. Além disso, veremos como as operações matriciais básicas dão suporte ao ensino da álgebra
linear.
OBJETIVOS
Identi�car novas coordenadas no plano e no espaço;
Representar vetores e realizar operações com vetores;
Reconhecer os diferentes tipos de matrizes;
Calcular operações com matrizes e reconhecer suas principais propriedades.
,
O ESTUDO DAS GRANDEZAS VETORIAIS
Você deve se perguntar...porque o estudo das grandezas vetoriais é tão importante?
O estudo das grandezas vetoriais é muito importante, pois são inúmeras as aplicações nas mais diversas áreas da Engenharia.
Por isso, é necessário que no primeiro período, você, como aluno de Engenharia, tenha uma breve introdução sobre o assunto.
O estudo de vetores é de caráter multidisciplinar nas Engenharias e sua aplicação é voltada para os cálculos, as físicas, a
mecânica geral, a resistência dos materiais etc.
Embora saibamos que as ferramentas tecnológicas disponibilizadas no mundo atual propiciam ao engenheiro grande facilidade e
rapidez em seus projetos, há que se ressaltar que sempre será o homem que introduzirá os dados iniciais no programa. Por mais
perfeito que seja o software, ele sempre dependerá do ser humano para que possa funcionar da melhor forma possível.
DEFINIÇÃO
O que é um vetor?
É uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e sentido.
O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte que o contém e o sentido é para onde ele está
apontado.
Uma mesma direção possui dois sentidos.
Exemplo
, A direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda e a direção vertical apresenta o sentido para
cima e o sentido para baixo.
Um vetor é representado geometricamente por uma seta, que apresenta origem e extremidade. Veja:
Portanto, o vetor é representado por um segmento orientado AB, onde:
• A é origem do segmento
• B é a extremidade do segmento
Ele pode ser representado por ou = . Isso signi�ca que o vetor é determinado pelo segmento AB. O vetor
também pode ser determinado por B - A ou apenas por .
Saiba Mais
, Antes de continuar seus estudos, clique aqui (galeria/aula3/docs/a03_03_01.pdf) para conhecer a característica de um vetor :
módulo, direção e sentido.
Tipos de vetores
Vetores iguais
Dois vetores, e , são iguais se apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentido.
Vetores opostos
Seja o vetor , podemos dizer que o vetor - é o vetor oposto.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula3/docs/a03_03_01.pdf
O vetor oposto possui o mesmo módulo, a mesma direção do vetor , mas o sentido é
contrário.
Veja:
Observação:
 = 
O vetor é o oposto do vetor , ou seja, = - 
Vetor unitário
É um vetor que possui módulo igual a 1, ou seja, um vetor é unitário se | | = 1.
Versor
Dado um vetor não nulo , dizemos que é o versor do vetor , se for unitário e possuir
mesma direção e mesmo sentido do vetor .
Exemplo:
Seja o vetor . Observe que o vetor tem módulo | | = 3 e o vetor possui módulo | |= 1.
Além disso, ele possui a mesma direção e mesmo sentido do vetor .
Vetores colineares
Dois vetores, e , são colineares se apresentam a mesma direção. Para tal, po dem estar
sobre a mesma reta suporte, ou em retas paralelas.
Vetores coplanares
São vetores que estão no mesmo plano.
Dois vetores quaisquer são sempre coplanares, porém não podemos a�rmar o mesmo
quando temos três vetores.
Veja:
Vetor nulo
O vetor nulo é representado por , ou , a origem coincide com a extremidade.
Note que ele não possui nem direção e nem sentido. Logo, podemos dizer que o vetor nulo é
paralelo a qualquer vetor.
OPERAÇÕES COM VETORES
Adição de vetores
Existem duas regras para realizarmos a operação de adição de vetores:
• A regra do paralelogramo;
• A regra do polígono.
Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante.
Vejamos cada uma dessas regras com mais detalhes.
A regra do paralelogramo
Quando somamos dois vetores com mesma origem, devemos completar um paralelogramo com os vetores, traçando
pela extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor.
O vetor soma ou resultante é aquele que sai da origem comum até o encontro das paralelas, no vértice oposto ao da
origem. Tal méto do é conhecido como Regra do paralelogramo.
Vamos considerar dois vetores e .
Cálculo do módulo do vetor soma :
Para determinarmos o módulo/comprimento do vetor soma, usaremos a Lei dos Cossenos:
S² = u² + v² + 2 . u . v . cos θ
Exemplo
, Para entender melhor, clique aqui (galeria/aula3/docs/a03_05_01.pdf) e veja alguns exemplos.
A regra do polígono
Quando desejamos somar vários vetores, devemos colocá-los inicialmente com a extremidade de um vetor coincidindo
com a origem do outro vetor, formando um só vetor.
O vetor soma ou resultante é aquele que sai da origem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor. Tal método
é conhecido como Regra do polígono.
Considere os vetores , e .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula3/docs/a03_05_01.pdf
Para isso, devemos posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a extremidade de um vetor coloca-se junto à
origem do outro. E o vetor soma, ou vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro vetor com a
extremidade do último vetor, formando assim um polígono.
Exemplo
, Para entender melhor, clique aqui (galeria/aula3/docs/a03_05_02.pdf) e veja um exemplo.
DIFERENÇA DE VETORES
Quando desejamos achar a diferença de dois vetores, e , devemos primeiro achar o oposto do vetor , isto é, o
vetor - , para poder somá-lo ao vetor .
Considere os vetores e .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula3/docs/a03_05_02.pdf
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
Ao multiplicarmos um vetor por um escalar k qualquer, obteremos um novo vetor com mesma direção e módulo
multiplicado por esse escalar.
O sentido do novo vetor dependerá do sinal do escalar k, ou seja, se o sinal for positivo, o sentido permanecerá o
mesmo, se o sinal for negativo, haverá a inversão do sentido.
Considere o vetor .
, EXERCÍCIOS
Antes de continuar seus estudos, resolva alguns exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-los em
seu caderno e, depois de concluídos, conferir os resultados.
1. Dado o vetor de módulos = 2 e = 5, determine geometricamente o vetor soma, bem como calcule seu módulo.
2. Dado o vetor de módulos = 2 e = 5, determine geometricamente o vetor soma, bem como calcule seu módulo.
3. Duas forças, F e F , têm módulos iguais a 10N cada uma. Calcule o módulo da resultante quando o ângulo Ѳ entre F e F for
igual:
a) 0
b) 180
c) 90
d) 60
e) 120
Gabarito
, Clique aqui (galeria/aula3/docs/a03_08_01.pdf) para conferir os resultados.
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados.
Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso.
Dado um vetor , podemos encontrar outros dois vetores e , tal que:
Veja a �gura abaixo:
Fonte da Imagem:
Nesse caso, como + são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é ortogonal.
Veja a �gura a seguir:
1 2 1 2
o
o
o
o
o
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula3/docs/a03_08_01.pdf
Note que temos um triângulo retângulo. Temos, então, que a = (a ) + (a )
Com base na relação trigonométrica aplicada a um triângulo retângulo, podemos determinar o módulodos
componentes horizontal e vertical do vetor  em função do ângulo θ.
De acordo com o triângulo acima temos:
Exemplo:
Um projétil é lançado com uma velocidade V de intensidade 40m/s e formando um ângulo de 37 com a horizontal,
conforme mostra a �gura abaixo:
Sendo sem 37 = 0,60 e cos 37 = 0,80, obtenha:
a) A componente horizontal de V
2
x
2
y
2
o
o
o o
o
b) A componente vertical de V
Resolução:
a) V = V . cos 37
V = 40 . 0,80
V = 32m/s
b) V = V . sen 37
V = 40 . 0,60
V = 24m/s
MATRIZES
Muitas das simulações apresentadas, para as várias Engenharias, recaem em problemas de resolução de grandes
sistemas de equações, resolvidos computacionalmente pela Álgebra Matricial, tornando-se um recurso extremamente
valioso para todas as Engenharias.
Operando com matrizes, estamos utilizando uma forma compacta de fazermos operações com vários números
simultaneamente.
De�nição de matriz
Considere a tabela abaixo onde temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de cálculo, álgebra, física e estatística.
A partir do exemplo dado, podemos de�nir uma matriz A, m × n (leia: m por n) como sendo uma tabela de mn números
reais dispostos em m linhas e n colunas.
Utilizamos as letras maiúsculas do nosso alfabeto para representarmos as matrizes.
Exemplo
, Para entender melhor, clique aqui (galeria/aula3/docs/a03_10_01.pdf) e veja alguns exemplos.
TIPOS DE MATRIZ
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas
por características especí�cas.
Matriz linha
Recebe o nome de matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de
colunas é independente. Ou seja, a matriz linha é aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplo:
o
x o
o
x
x
y o
o
y
y
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula3/docs/a03_10_01.pdf
A = [ 5 8 -2 3 ]
Matriz coluna
Recebe o nome de matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de
linhas é independente.
Ou seja, a matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Matriz nula
Recebe o nome de matriz nula toda matriz em que, independentemente do número de linhas
e colunas, todos os seus elementos são iguais a zero.
Notação: 0 (m, n)
Exemplos:
Matriz quadrada
Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas m = n.
Dizemos, então, que a matriz quadrada é de ordem n.
Notação: A = A
Exemplos:
Diagonal Principal
Os elementos de uma matriz em que o índice de linha é igual ao índice de coluna (i = j)
formam o que chamamos de diagonal da matriz (diagonal principal).
n x n n
Matriz diagonal
Será uma matriz diagonal toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à
diagonal principal sejam iguais a zero.
Matriz identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que
pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a
zero.
Notação: I
Exemplos:
Matriz triangular superior
É a matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal são nulos.
Exemplo:
n
Matriz triangular inferior
É a matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal são nulos.
Exemplo:
Matriz simétrica
É uma matriz quadrada na qual os elementos simétricos em relação à diagonal principal são
iguais.
Exemplo:
OPERAÇÕES COM MATRIZES
A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.
Do que uma matriz é formada?
Antes de falarmos das operações com matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada:
• Toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas;
• A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1;
• Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence.
Suponha que temos a seguinte situação:
Dois alunos X e Y obtiveram as seguintes notas nos meses de março e abril:
Temos, assim, as matrizes representativas das notas de cada aluno nos dois meses:
Podemos determinar a matriz que representa as médias de cada aluno em cada uma das matérias:
Dessa forma, observamos que, por vezes, surge a necessidade de efetuarmos determinadas operações entre matrizes.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tamanho m x n a matriz do tamanho m x n, cujos elementos são
obtidos a partir da soma dos elementos correspondentes de A e B.
Devemos atentar para o fato das matrizes A e B serem do mesmo tamanho (mesmo número de linhas e mesmo
número de colunas), pois se forem de tipos diferentes, a operação não é possível.
Exemplo 1:
Considere as matrizes A e B e, então, calcule C = A + B:
Resolução:
Exemplo 2:
PROPRIEDADES
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
Vamos considerar uma matriz A do tipo m x n e K um número real.
Ao multiplicarmos o número real K pela matriz A obteremos uma matriz do tipo m x n.
Note que essa matriz é obtida multiplicando k por cada elemento da matriz A.
Observação: Um número real é também chamado de escalar.
Exemplo
,
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA
MATRIZ
Sendo A e B matrizes do tipo m x n, e a e b números reais quaisquer, temos:
Transposição
A matriz transposta A é a matriz obtida de forma que as linhas de A são as colunas da matriz A.
Exemplo
t t
,
Propriedades:
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA
Uma matriz A é dita antissimétrica se A = -A.
Exemplo:
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas
da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
A matriz produto será obtida multiplicando cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz,
conforme exemplo abaixo:
Exemplo 1:
Considere as matrizes A e B e, então, faça o produto A . B:
t
O produto será:
Exemplo 2:
Fonte da Imagem: Lonely / Shutterstock
Para reforçar seus estudos, clique aqui (glossário) e faça alguns exercícios.
Glossário
CÁLCULOS
Os cálculos na Engenharia nunca serão abandonados, eles serão utilizados nem que seja na validação dos dados obtidos pelas
ferramentas computacionais e, em toda situação de análise de Engenharia, os vetores sempre serão ferramentas fundamentais
na obtenção dos objetivos do projeto.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula3/docs/a03_16_01.pdf