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Cálculo

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A disciplina de Cálculo com enfoque em 
funções de uma variável é indispensável 
na formação do matemático (bacharel ou 
licenciado); no entanto, também está pre-
sente nos cursos de Engenharia, Física, 
Química, Ciência da Computação, Admi-
nistração, Economia, Biologia e em outros 
cursos e profissões que são beneficiados 
com esse conhecimento. Pensando nes-
sa gama de áreas que se favorecem dos 
conceitos de cálculo para funções de uma 
variável, esta obra tem enfoque conceitual, 
mas também traz exemplos de aplicações 
com o intuito de ser estimulante para leito-
res que aprendem de diferentes maneiras. 
 
Dessa forma, a proposta deste livro é aju-
dar o leitor a amadurecer seu conhecimento 
matemático, de modo que possa manuse-
ar as ferramentas matemáticas com mais 
agilidade e domínio, como também aplicar 
os conceitos estudados por meio de ferra-
mentas computacionais simples nas mais 
diversas áreas e em situações práticas.
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G
A
S
Código Logístico
59160
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6683-4
9 7 8 8 5 3 8 7 6 6 8 3 4
Cálculo para funções 
de uma variável 
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2020
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
© 2020 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora e do 
detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. 
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427c
Vargas, Marina
Cálculo para funções de uma variável / Marina Vargas. - 1. ed. - Curiti-
ba [PR] : IESDE, 2020. 
172 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6683-4
1. Cálculo. 2. Funções (Matemática). 3. Integrais (Matemática). I. Título.
20-65609 CDD: 515.83
CDU: 517.9
Marina Vargas
Vídeo
Doutora e mestre em Métodos Numéricos em 
Engenharia pela Universidade Federal do Paraná 
(UFPR). Especialista em Educação Matemática 
e licenciada em Matemática pela Universidade 
Paranaense (Unipar). Professora no ensino superior 
nas modalidades presencial e a distância, ministrando 
as disciplinas: Cálculo de funções de uma e mais 
variáveis, Álgebra Linear, Geometria Analítica, Métodos 
Numéricos, Teoria dos Números, Pesquisa Operacional, 
Matemática Aplicada, Estatística Aplicada e Métodos 
Quantitativos. Atua também como professora 
conteudista em diversas instituições e empresas. 
Atualmente, tem desenvolvido pesquisas nas áreas de 
programação matemática, mecânica computacional, 
educação matemática e educação em engenharias.
Agora é possível acessar os vídeos do livro por 
meio de QR codes (códigos de barras) presentes 
no início de cada seção de capítulo.
Acesse os vídeos automaticamente, direcionando 
a câmera fotográ�ca de seu smartphone ou tablet 
para o QR code.
Em alguns dispositivos é necessário ter instalado 
um leitor de QR code, que pode ser adquirido 
gratuitamente em lojas de aplicativos.
Vídeos
em QR code!
SUMÁRIO
1 Conjuntos numéricos e formalismo matemático 9
1.1 Conjuntos numéricos 9
1.2 Álgebra dos números reais 17
1.3 Desigualdades e intervalos 20
1.4 Valores absolutos 28
2 Funções de uma variável real 33
2.1 Conceito geral de função 33
2.2 Funções afim 38
2.3 Funções quadráticas 48
2.4 Funções exponenciais e logarítmicas 53
2.5 Funções trigonométricas 58
3 Limites e continuidade de funções de uma variável 68
3.1 Definição intuitiva de limite 68
3.2 Definição formal de limite e continuidade de funções 74
3.3 Limites laterais 83
3.4 Limites infinitos e no infinito 88
4 Derivadas de funções de uma variável 98
4.1 A equação da reta tangente e a definição de derivada 98
4.2 Regras de derivação 109
4.3 Regra da Cadeia 114
4.4 Derivada como taxa de variação 118
4.5 Derivação implícita 120
4.6 Máximos e mínimos 122
4.7 Problemas de otimização 131
5 Integrais de funções de uma variável 138
5.1 Primitivas e Integral de Riemann 138
5.2 Teorema fundamental do cálculo 148
5.3 Propriedades e regra da cadeia para integrais 155
5.4 Integrais indefinidas 159
5.5 Aplicações do conceito de integral 163
 Quadro de símbolos matemáticos 171
A disciplina de Cálculo com enfoque em funções de uma variável é 
indispensável na formação do matemático (bacharel ou licenciado); no 
entanto, também está presente nos cursos de Engenharia, Física, Química, 
Ciência da Computação, Administração, Economia e Biologia, e ainda 
poderíamos continuar a lista de cursos e profissões que são beneficiados com 
esse conhecimento. Pensando nessa gama de áreas que se favorecem dos 
conceitos de cálculo para funções de uma variável, esta obra tem enfoque 
conceitual, mas também traz exemplos de aplicações com o intuito de ser 
estimulante para leitores que aprendem de diferentes maneiras.
Para isso, dividimos o conteúdo em cinco capítulos. No primeiro, trazemos 
o conceito de conjuntos, fundamental para o embasamento de qualquer 
disciplina de exatas. Além disso, recapitulamos os conceitos da álgebra, de 
desigualdade e intervalos e de valores absolutos no contexto dos números reais. 
Esses fundamentos são, em geral, apresentados nos ensinos fundamental e 
médio, sendo necessários para a sequência de conteúdos que virá. 
O segundo capítulo se destina a uma recapitulação do conceito de função – 
recapitulação pois também é visto nos anos de base escolar. Assim, a intenção 
desta obra é trazer exemplos não trabalhados anteriormente, pretendendo 
preparar você, leitor, para os capítulos seguintes.
No terceiro capítulo, trabalhamos definições direcionadas ao ensino 
superior e começamos a entender do que verdadeiramente trata o cálculo 
para funções de uma variável. Mas não pense que os capítulos anteriores são 
dispensáveis! Na verdade, eles dão a base necessária para que seja possível 
seguir neste livro e em outros de cálculo avançado. Dessa forma, o terceiro 
capítulo conduzirá você ao mundo dos limites de funções de uma variável. O 
conceito de limite percorrerá não só esse capítulo, como também os próximos, 
como base para as derivadas e as integrais.
Nesse contexto, entramos no quarto capítulo, que trata diretamente do 
tema das derivadas de funções de uma variável. O conceito de derivada é 
apresentado como taxa de variação e reta tangente a uma função em um 
ponto, fazendo com que possa ser interpretada de maneira aplicada a vários 
cenários. Além disso, aborda a otimização de funções, tema que poderia ser 
trabalhado exaustivamente em um estudo específico, mas que neste é visto 
como aplicação direta às derivadas de uma função.
APRESENTAÇÃO
8 Cálculo para funções de uma variável
O quinto e último capítulo apresenta a concepção de integral de uma 
função, também chamada de função primitiva, e nos obriga a desenvolver a 
capacidade de encontrar funções que antecedam um processo de derivação. 
Nas últimas seções, trazemos aplicações matemáticas do conceito de integral, 
que podem ser expandidas facilmente para situações do cotidiano.
Dessa forma, a proposta deste livro é ensiná-lo a amadurecer seu 
conhecimento matemático, de modo que possa manusear as ferramentas 
matemáticas com mais agilidade e domínio, como também aplicar os 
conceitos estudados por meio de ferramentas computacionais simples nas 
mais diversas áreas e em situações práticas.
Esperamos que esta obra o auxilie no aprendizado para a formação de um 
melhor profissional na área escolhida.
Bons estudos!
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 9
1
Conjuntos numéricos e 
formalismo matemático
Para que possamos avançar nos conceitos do cálculo para fun-
ções de uma variável, precisamos recordar (ou aprender) conceitos 
base para a matemática como um todo. Dentre esses conceitos es-
tão: a teoria de conjuntos e, particularmente, os conjuntosnumé-
ricos. Junto dessa teoria, está inserido o formalismo matemático, 
o qual permeia as obras de cálculo e que nos permite, não só, ler 
esse tipo de obra, mas, também, interpretar cada um dos teore-
mas, corolários e definições, entendendo quais são os elementos 
que compõem cada uma das funções que serão trabalhadas.
Mas é claro que não é só de formalismo que se dá o aprendi-
zado da matemática. É necessário haver manipulação e aplicação, 
tudo isso com um toque de história e de inovação.
Portanto, vamos ver formas de operar dentro dos conjuntos 
numéricos, de trabalhar com relações entre números desses con-
juntos e de aplicar esses conceitos em contextos do cotidiano.
1.1 Conjuntos numéricos 
Vídeo Um conjunto pode ser escrito como uma coleção de elementos, 
em que conseguimos colocar algumas regras as quais nos permi-
tirão operar tanto os elementos desse conjunto, quanto o próprio 
conjunto com outros conjuntos. Podemos dizer que entre conjuntos 
e elementos existem relações de pertinência, enumeração, união, 
intersecção, dentre outras.
Quando delimitamos essa ideia para a existência numérica, ou seja, 
quando lidamos com conjuntos compostos por números, estamos tra-
balhando diretamente com o que chamamos de conjuntos numéricos.
10 Cálculo para funções de uma variável
Vamos apresentar alguns conceitos sobre os conjuntos dos núme-
ros naturais, inteiros, racionais e irracionais, os quais, unidos, formam 
o conjunto dos números reais. Esse último conjunto dará suporte ao 
trabalho com as funções, as teorias e as aplicações.
Figura 1
Conjuntos numéricos
Fonte: Elaborada pela autora.
Conforme podemos observar na Figura 1, o conjunto dos números 
irracionais é definido pela diferença entre os números reais e os núme-
ros racionais.
Definição 1:
Números naturais (ℕ) são os elementos numéricos, inteiros e positivos de um conjunto.
Entendemos que essa definição de conjunto natural se enquadra no conceito de sistema 
de numeração indo-arábico, o qual tem base decimal e caráter posicional. Assim, o va-
lor de cada algarismo depende diretamente da posição que este ocupa.
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
Exemplo 1
Conjunto dos números naturais sem o elemento zero:
ℕ* = {1, 2, 3, …}
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 11
Definição 2:
Números inteiros (ℤ) são os elementos numéricos e inteiros de um conjunto.
ℤ = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}
Exemplo 2
Defina A como sendo o conjunto dos números inteiros maiores 
que 1 e menores que ou iguais a 50.
Solução:
A = {2, 3, 4, ..., 50}
Algumas notações importantes:
An
to
n 
Pr
oh
or
ovConjunto dos inteiros não nulos
ℤ* = {…, –2, –1, 1, 2, …}
Conjunto dos inteiros não negativos
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, …}
Conjunto dos inteiros não positivos
ℤ– = {…, –3, –2, –1, 0}
Conjunto dos inteiros positivos
ℤ*+ = {1, 2, 3, ...}
Conjunto dos inteiros negativos
ℤ*– = {..., –3, –2, –1}
1
2
3
4
5
Indicamos a leitura do artigo de Daniela Santos, André Magalhães, Danton 
Freitas e Viviane dos Santos, intitulado Linguagem dos conjuntos e suas aplica-
ções em pesquisa na internet. A atividade proposta, nesse artigo, foi aplicada 
aos alunos de licenciatura em matemática e mostra a ligação da teoria de 
conjuntos com situações do nosso dia a dia. Ainda, os autores concluem 
trazendo a importância de relacionar os conceitos matemáticos às situações 
cotidianas para uma melhor aprendizagem.
Acesso em: 14 jul. 2020.
http://cibem.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/1276.pdf
Artigo
Segundo podemos observar, o 
conjunto dos números naturais 
é um subconjunto dos números 
inteiros.
Importante
12 Cálculo para funções de uma variável
Definição 3:
O conjunto dos números racionais (ℚ) é escrito da seguinte maneira:
Q� Z� � ���
�
�
�
�
p
q
p e q e q| 0
Ou seja, sempre que conseguimos escrever um número em forma de fração, estamos 
trabalhando com um número que pertence ao conjunto dos racionais. Desse modo, 
dízimas periódicas pertencem a esse conjunto, pois podem ser escritas como fração 
(divisão de dois inteiros).
Exemplo 3
Seja o número decimal escrito como 2,321212, ele pode ser es-
crito na forma 2298
990
.
O conceito de como realizar essa mudança será visto mais à 
frente.
Os números racionais também podem seguir a notação com *, + e –, 
vistas anteriormente para o conjunto dos números inteiros. Logo:
An
to
n 
Pr
oh
or
ov
ℚ* = conjunto dos números racionais sem o elemento zero
ℚ+ = conjunto dos números racionais não negativos
ℚ– = conjunto dos números racionais não positivos
ℚ*+ = conjunto dos números racionais positivos
ℚ*– = conjunto dos números racionais negativos
1
2
3
4
5
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 13
Definição 4:
O conjunto dos números irracionais (𝕀 = ℝ – ℚ) é composto por números decimais 
infinitos não periódicos.
Dessa forma, os números irracionais não podem ser escritos em modo de fração (divisão 
de dois inteiros).
Exemplo 4
• π = 3,141592… • e = 2,71… • 2 114142135= , ...
Definição 5:
O conjunto dos números reais (ℝ) é a união de todos os conjuntos anteriormente ci-
tados. Assim:
ℕ ∪ ℤ ∪ ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
Definição 6:
Os números complexos (ℂ) são números compostos por uma parte real e outra imagi-
nária. Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos 
pertencem ao conjunto dos números reais.
Percebemos que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais:
ℂ ⊃ ℝ
Figura 2
Representação de união entre os conjuntos numéricos
Fonte: Elaborada pela autora.
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm
14 Cálculo para funções de uma variável
Portanto, temos uma hierarquia na relação entre os conjuntos, sen-
do que o conjunto dos números reais é o nosso principal foco. Vamos 
falar um pouco mais sobre o conjunto dos números racionais, para que 
entendamos como manipular as operações, e vamos destinar uma se-
ção para falar exclusivamente da álgebra dos números reais.
1.1.1 Números racionais
Quando falamos de números racionais, estamos falando também de 
frações. Dessa forma, vamos ver alguns conceitos importantes que serão 
necessários para um completo entendimento dessa e de outras disciplinas.
Definição 7:
Frações equivalentes: Sejam duas frações escritas como:
 
p
q
a= e 
r
s
b= ,
em que p, q, r, s são números inteiros, com q, s ≠ 0 e a, b ∈ ℚ.
As frações p
q
 e r
s
 serão equivalentes, se a = b.
Exemplo 5
As frações a seguir são equivalentes:
1
2
2
4
3
6
25
50
0 5= = = = ,
Sejam p
q
 e r
s
 dois números racionais, podemos definir a operação 
de soma e multiplicação na seguinte forma:
 Soma:
p
q
r
s
sp
qs
qr
qs
� � �
 Multiplicação:
p
q
r
s
pr
qs
� �
Definição 8:
Inverso de uma fração: Seja um número racional representado na forma p
q
, em 
que p é o numerador e q é o denominador. O inverso de p
q
 é denotado por q
p
, assim,
p
q
q
p
com
�
�
�
�
�
� � �
�1
0, ,p q
O vídeo Questões 
Comentadas: Conjuntos 
Numéricos - Nível Básico, 
publicado pelo canal 
Ferretto Matemática, 
traz questões resolvidas 
e comentadas sobre 
conjuntos numéricos. 
Assista ao vídeo e tente 
refazer todas as questões 
propostas nele.
Disponível em: https://youtu.be/
TlsqGpE7Td8. 
Acesso em: 14 jul. 2020.
Vídeo
Sejam os conjuntos dados por 
ℕ* e ℤ
–
. A união desses dois 
conjuntos dá origem a qual 
conjunto numérico? Explique.
Atividade 1
A plataforma da Khan 
Academy é especiali-
zada em conteúdos de 
matemática, desde o 
ensino fundamental, até 
o ensino superior. Caso 
ainda haja dúvida nas 
operações entre frações, 
sugerimos acessar a 
unidade Frações. Nela, é 
possível não só assistir a 
alguns vídeos do conteú-
do, mas também resolver 
exercícios.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
arithmetic-home/arith-review-
fractions. Acesso em: 14 jul. 2020.
Site
https://youtu.be/TlsqGpE7Td8
https://youtu.be/TlsqGpE7Td8
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-fractions
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-fractionshttps://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-fractions
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-fractions
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 15
Exemplo 6
• 2
3
3
2
1
�
�
�
�
�
� �
�
 • 2 1
2
1� � �� • ��
�
�
�
�
� � �
�1
3
3
1
Definição 9:
Um número racional a
p
q
= é dito estritamente positivo, se p . q ≥ 0, com q ≠ 0.
Olhar para uma fração e interpretá-la como um número racional está diretamente rela-
cionado à definição. Contudo, números racionais também podem ser apresentados no 
formato de número decimal. Na subseção a seguir, vamos trazer a interpretação para 
esse formato.
1.1.2 Números decimais
A representação decimal dos números racionais e irracionais está 
muito presente no nosso dia a dia. Na matemática financeira, por exem-
plo, trabalha-se muito mais com a representação decimal do que com 
as frações (percentuais, taxas de juros e o próprio valor do dinheiro).
Calculadoras simples (não científicas) são facilmente utilizadas 
quando se conhece a representação decimal de determinada fração.
Exemplo 7
• 1
2
0 5= , • � � �7
2
3 5, • 1
3
0 333� �,
Aqui nos deparamos com uma questão importante: um número de-
cimal, com infinitas casas após a vírgula, também pode se enquadrar no 
conjunto dos racionais; mas não é qualquer número com esse forma-
to, e, sim, apenas os números conhecidos como dízimas periódicas. No 
Exemplo 7, temos uma dízima periódica, representada em 1
3
0 333� �,
Vamos entender agora o processo para transformar uma dízima em 
uma fração e vice-versa.
1.1.3 Dízimas periódicas
Um número racional é aquele que pode ser escrito em formato de 
fração, em que o numerador e o denominador são elementos do con-
junto dos números inteiros. Toda fração pode ser representada na sua 
16 Cálculo para funções de uma variável
forma decimal, mas só será um número racional se essa parte decimal 
for exata ou com repetição periódica. Essa fração que dá origem a um 
número decimal é chamada de fração geratriz.
Assim, uma dízima periódica é um número decimal, gerado pela di-
visão do numerador pelo denominador de uma fração geratriz, sendo 
que a parte decimal possui repetição periódica e infinita de um ou mais 
algarismos. Numa dízima periódica, os algarismos que se repetem in-
finitamente constituem o período da dízima. As dízimas se classificam 
em dízimas periódicas simples e compostas.
Definição 10:
Dízimas periódicas simples são aquelas em que a parte periódica está presente logo 
após a vírgula.
Exemplo 8
 • 15,3333... (a parte periódica é 3333...).
 • 0,1111... (a parte periódica é 1111...).
 • 0,323232... (a parte periódica é 323232...).
 • 2,321532153215... (a parte periódica é 3215...).
Definição 11:
Dízimas periódicas compostas são aquelas que possuem, entre o período e a vírgula, 
uma parte não periódica.
Exemplo 9
 • 15,43333... (a parte não periódica é 4 e a periódica é 3333...).
 • 0,221111... (a parte não periódica é 22 e a periódica é 1111...).
 • 0,3143232... (a parte não periódica é 314 e a periódica é 3232...).
O cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica composta é 
dado por:
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 17
Exemplo 10
Calcule a fração geratriz da dízima 2,321212...
Solução:
Multiplicamos toda dízima por potências de 10 até encontrar-
mos dois valores com partes periódicas iguais.
i) Multiplicando por 10: 10x = 23,21212...
ii) Multiplicando por 100: 100x = 232,1212...
iii) Multiplicando por 1000: 1000x = 2321,21212...
As partes periódicas de (i) e (iii) são iguais. Logo,
1000x – 10x = 2321,21212... – 23,21212...
As partes periódicas se anulam nessa subtração, então, temos que:
990x = 2321 – 23
ou 990x = 2298
Logo, 2298
990
 é a fração geratriz.
Portanto, compreendemos que os números racionais têm um im-
portante papel na construção dos conceitos matemáticos. Lidamos 
com frações em diversos momentos do nosso dia a dia, pela simples 
necessidade de fracionarmos as situações. Fracionamos as horas, fra-
cionamos a alimentação, fracionamos a comunicação, enfim, muitas 
situações nos levam ao uso dos números racionais.
Mas há um conjunto mais amplo, o qual contém o conjunto dos nú-
meros racionais e que nos permite trabalhar com casos em que não 
conseguimos representar numericamente de maneira fracionada. 
O conjunto dos números reais.
Caso queira exercitar, 
reforçar ou tirar alguma 
dúvida, além do que 
consta no nosso material, 
é possível acessar a 
unidade Números deci-
mais da Khan Academy 
e assistir aos vídeos ou 
mesmo fazer exercícios 
de maneira gamificada. 
Deixamos como sugestão 
que crie seu avatar e siga 
a sequência de atividades 
propostas.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
arithmetic-home/arith-review-
decimals. Acesso em: 14 jul. 2020.
Site
1.2 Álgebra dos números reais 
Vídeo Quando trabalhamos com o conjunto dos números reais, po-
demos imaginar a sua representação por meio de uma reta. Entre 
dois números reais representados em uma reta, existem infinitos 
outros números.
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-decimals
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-decimals
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-decimals
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arith-review-decimals
18 Cálculo para funções de uma variável
Exemplo 11
Entre os números 1 e 2, existem infinitos números reais, tais 
como:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ; ...
Podemos notar que, ao representarmos os valores em uma reta 
real e assumindo que entre dois valores representados existem outros 
infinitos números, intuitivamente estamos dizendo que a reta real é 
uma reta contínua, sem interrupções.
Figura 3
Reta real
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
0,25
0
π− 2
Fonte: Elaborada pela autora.
De acordo com Guidorizzi (2018), assumindo que a, b ∈ ℝ, podemos 
verificar se a < b ou b < a. Dessa forma, associamos a ideia de ordem 
ao conjunto dos números reais. Portanto, assumindo dois números a, 
b ∈ ℝ, temos que a é estritamente maior que b, se a > b, e estritamente 
menor, se a < b. Assim, se a > b, então, existe um t ∈ ℚ, tal que a = b + t.
Quando a ≥ b, temos que a > b ou a = b. A mesma análise pode ser 
realizada para a < b, ou seja, para a estritamente menor do que b.
Partindo da identificação das operações de adição e multiplicação, 
e do princípio da ordenação do conjunto dos reais (ℝ, +, ·, ≤), podemos 
identificar as quinze propriedades a seguir (MARTINEZ et al., 2018).
Sejam a, b, c ∈ ℝ, então:
Propriedades da adição:
An
to
n 
Pr
oh
or
ov
(a + b) + c = a + (b + c) – Associatividade1
a + b = b + a – Comutatividade2
∃! ∈ ℚ tal que x + 0 = 0 + x = x – Existência de elemento neutro
3
x + (–1) ⋅ x = x + (–x) = x – x = 0 – Existência do elemento oposto4
O site pessoal da 
professora Vera Clotilde 
Vanzetto Garcia, da Uni-
versidade Federal do Rio 
Grande do Sul, traz uma 
animação esclarecedora 
da construção de uma 
reta real.
Disponível em: http://euler.mat.
ufrgs.br/~vclotilde/numerosreais/
animacao_reta_real.htm. Acesso 
em: 14 jul. 2020.
Site
O símbolo ∃! significa existe 
um único.
Atenção
http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/numerosreais/animacao_reta_real.htm
http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/numerosreais/animacao_reta_real.htm
http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/numerosreais/animacao_reta_real.htm
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 19
Propriedades da multiplicação:
An
to
n 
Pr
oh
or
ov
(ab)c = a(bc) – Associatividade5
ab = ba – Comutatividade6
∃! 1 ∈ ℚ, tal que a1 = 1a = a – Existência de elemento neutro
7
a a a
a
� � ��1
1 1. , com a ≠ 0 – Existência de elemento inverso8
Distributiva da multiplicação, em relação à adição:
An
to
n 
Pr
oh
or
ov
a (b + c) = ab + ac9
Propriedades de ordem:
An
to
n 
Pr
oh
or
ov
a ≤ a – Reflexividade10
a ≤ b e b ≤ a, então a = b – Antissimetria11
a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c – Transitividade
12
a < b ou b > a ou a = b – Tricotomia13a ≤ b, então, a + c ≤ b + c – Compatibilidade da ordem com a adição14
15
Sea be c então ac bc
Sea bec então bc ac
� � � ,� , �
� � � ,� , �
� � �
� � �
�
�
�
��
0
0 – 
Compatibilidade da 
ordem com a multiplicação
Cada uma dessas propriedades pode ser verificada. Além disso, po-
demos desenvolver novas propriedades com base nessas. Poderíamos, 
por exemplo, partir da propriedade da reflexividade e da tricotomia 
para escrever:
Se a ≠ 0, então, a > 0 ou a < 0.
20 Cálculo para funções de uma variável
Vamos analisar mais alguns casos:
Exemplo 12
Demonstrar a propriedade: –(a + b) = (–a) + (–b)
Solução:
De (4), podemos escrever:
–(a + b) = (–1)(a + b)
De (9), fazemos:
(–1)(a + b) = (–1)a + (–1)b
E de (4), novamente, podemos escrever:
(–1)a + (–1)b = (–a) + (–b)
Portanto, –(a + b) = (–a) + (–b) foi verificada.
Exemplo 13
Demonstrar a seguinte propriedade: x ≠ 0 ⇒ 0 < x2. Observe que 
o símbolo usado (⇒) representa uma implicação (se, então).
Solução:
Se x ≠ 0, então, x > 0 ou x < 0.
Assim, para x > 0, temos, por (15), que:
se 0 . x < x . x, então, 0 < x2.
Ainda por (15), se x < 0, então, 0 > x ⇒ 0 . x < x . x
Portanto, 0 < x2.
Na seção a seguir, vamos observar modos de usar todos esses conjun-
tos, quando precisamos trabalhar com intervalos numéricos e inequações.
1.3 Desigualdades e intervalos 
Vídeo Ao tratarmos de desigualdades e intervalos, podemos continuar 
analisando situações, como as vistas na seção anterior. Assim, pode-
mos tratar de valores maiores (>), menores (<), maiores ou iguais (≥), 
ou menores ou iguais (≤) a outros, sendo que os valores assumidos são 
números reais.
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 21
1.3.1 Intervalos
Vimos que, entre dois números reais, existem infinitos outros nú-
meros reais. Os intervalos numéricos são subconjuntos do conjunto 
dos reais, os quais podem ser representados com o auxílio da reta nu-
mérica real. O intervalo pretendido é determinado usando pontos de 
referência.
Exemplo 14
Intervalo entre os números reais 3 e 5:
ℝ
3 5
Poder caracterizá-los e entendê-los nos auxilia na compreensão de 
outros conceitos, por exemplo, o domínio e imagem de uma função de 
uma variável real. A interpretação gráfica (representação geométrica), 
desse tipo de resultado, segue um padrão bem definido, que vamos 
ver a seguir.
Sendo a e b dois números reais, tal que a < b, podemos escrever os 
seguintes intervalos:
Quadro 1
Intervalos numéricos
Intervalo fechado [a, b] = {x ∈ ℝ| a ≤ x ≤ b}
ba
Intervalo aberto ]a, b[ = {x ∈ ℝ| a < x < b} ba
Intervalo fechado à 
esquerda
[a, b[ = [a, b) = {x ∈ ℝ| a ≤ x < b} ba
Intervalo fechado à 
direita
]a, b] = (a, b] = {x ∈ ℝ| a < x ≤ b} ba
Intervalo infinito à 
direita (fechado em a)
[a, +∞[ = [a, +∞) = {x ∈ ℝ| x ≥ a} a
Intervalo infinito à 
direita (aberto em a)
]a, +∞[ = (a, +∞) = {x ∈ ℝ| x > a} a
Intervalo infinito à es-
querda (aberto em a)
]–∞, a[ = (–∞, a) = {x ∈ ℝ| x < a} a
Intervalo infinito à 
esquerda (fechado 
em a)
]–∞, a] = (–∞, a] = {x ∈ ℝ| x ≤ a} a
Fonte: Elaborada pela autora.
22 Cálculo para funções de uma variável
Observe que temos uma notação bem específica quando queremos 
representar um elemento pertencente ou não ao conjunto. Dessa ma-
neira, se [a, b] = {x ∈ ℝ| a ≤ x ≤ b}, estamos dizendo que x assume va-
lores que podem ser desde a até b, inclusive a e b. Na representação 
gráfica da reta real, temos “bolas fechadas” em a e em b, indicando 
justamente esse conceito.
Já em ]a, b[ = {x ∈ ℝ| a < x < b}, estamos dizendo que x assume va-
lores entre a e b, mas nunca a ou b (apenas entre). Na representação 
gráfica da reta real, temos “bolas abertas” em a e em b.
Exemplo 15
Escreva a representação matemática simbólica para o intervalo 
apresentado a seguir:
–1 5
Solução:
Temos um intervalo entre os números –1 e 5, sendo que em –1 
temos “bola aberta”, ou seja, o valor exato –1 não pertence ao inter-
valo; já em 5 temos “bola fechada”, ou seja, o valor exato 5 faz parte 
do intervalo. Portanto, escrevemos:
S: {x ∈ ℝ| –1 < x ≤ 5}
Exemplo 16
Sabemos que um número x pertence a um intervalo, de modo 
que x > 5 ou x < –1. Represente o problema proposto por meio de 
uma reta orientada.
Solução:
Esse intervalo possui uma característica bem interessante que 
reúne algumas questões levantadas na seção atual. Se soubésse-
mos apenas que x > 5, poderíamos desenhar o intervalo da seguin-
te forma:
x > 5
–1 5
(Continua)
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 23
Mas, além dessa informação, temos que x < –1. Se tivéssemos apenas 
essa informação, escreveríamos:
x < –1
–1 5
Para obter a solução do caso x > 5 ou x < –1, precisamos realizar uma 
união entre os dois resultados (“ou” representa união, ∪). Assim:
x < –1
–1 5
x > 5
–1 5
x < –1 ou x > 5
–1 5
Dessa forma, a reta união (∪) representa a solução desse exemplo.
Exemplo 17
Sabemos que um número a ∈ ℝ pertence a um intervalo, de modo 
que a < 5 e a ≥ –1. Represente o problema proposto por meio de uma 
reta orientada.
Solução:
Para obter a solução do caso a < 5 e a ≥ –1, precisamos realizar uma 
intersecção entre as duas desigualdades, inequações (“e” representa 
união, ∩). Logo:
a ≥ –1
–1
a < 5
5
a ≥ –1 e a < 5
–1 5
Dessa forma, a reta intersecção representa a solução desse exemplo.
24 Cálculo para funções de uma variável
Os intervalos, na reta real, nos auxiliam no estudo do sinal de ine-
quações. Para entender esse conceito, vamos tratar do tema desigual-
dades em expressões algébricas a seguir.
Sugerimos a leitura do artigo intitulado Uma estratégia didática contextua-
lizada sobre intervalos reais, dos autores Cristiana Sivert e Cassiano Puhl, 
publicado na revista Scientia cum Industria. Os autores trazem uma estratégia 
didática que possibilita a ação cognitiva, além de relacionar os conhecimen-
tos matemáticos – intervalos reais – com várias situações do cotidiano dos 
alunos.
Acesso em: 14 jul. 2020.
http://www.ucs.br/etc/revistas/index.php/scientiacumindustria/article/viewFile/6980/pdf
Artigo
1.3.2 Desigualdades
Quando falamos em igualdade, rapidamente nos vêm à cabeça o 
sinal de igual (=) e as operações relacionadas às equações, que po-
dem ser expressões numéricas ou expressões algébricas. Em qual-
quer um dos casos, podemos fazer a analogia entre uma equação e 
uma balança. Dessa forma, uma equação nos traz a ideia de poder 
comparar dois lados de uma balança, de modo que eles contenham 
o mesmo valor representativo.
Figura 4
Representação de uma balança equilibrada 
4zevar/Shutterstock
Agora, quando dizemos que temos uma desigualdade (inequa-
ção), estamos trabalhando com os sinais que acabamos de utilizar 
para os intervalos, ou seja, os sinais de maior e de menor. Não 
temos mais uma balança equilibrada. Agora, estamos trabalhan-
do com relações, em que um lado pode ser menor ou maior que o 
outro, ou seja, desigual.
Sejam o conjunto {x ∈ ℝ | x ≥ 0} 
e o conjunto dos números que 
satisfazem a equação x < 0, tal 
que x ∈ ℝ. É possível representar 
a união entre esses dois conjuntos 
utilizando apenas um conjunto 
numérico? Explique utilizando a 
reta numérica.
Atividade 2
http://www.ucs.br/etc/revistas/index.php/scientiacumindustria/article/viewFile/6980/pdf.
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 25
Figura 5
Balança desequilibrada, representativa de uma inequação (desigualdade) 
4zevar/Shutterstock
Se a desigualdade é aplicada sobre expressões algébricas, temos o 
que é chamado de inequação.
Exemplo 18
• x < 3 • x + 3 > 2x – 5 • 3 + 7x ≥ 6
Usando a inequação x + 3 > 2x – 5, de exemplo, o que temos agora 
é um problema, em que precisamos encontrar o valor de x para que o 
lado esquerdo da “balança” tenha um valor maior que o lado direito.
Para resolver uma inequação ou desigualdade, podemos utilizar os 
mesmos princípios utilizados nas equações.
Exemplo 19
Resolva a inequação dada por x + 3 > 2x – 5.
Solução:
x + 3 > 2x – 5
x – 2x + 3 > 2x – 2x – 5
–x + 3 – 3 > 0 – 5 – 3
–x > –8
Multiplicando tudo por (–1):
x < 8
Ou resolvendode maneira direta:
x + 3 > 2x – 5
x – 2x > –5 – 3
–x > –8
Logo,
x < 8
26 Cálculo para funções de uma variável
Exemplo 20
Analise o sinal da expressão algébrica x – 1.
Solução:
Quando precisamos analisar o sinal de uma expressão, é 
necessário que verifiquemos três situações (>, < e =).
(=) Vamos começar pela equação dada por x – 1 = 0.
Temos:
x – 1 = 0
Então,
x = 1
Nesse caso, a “balança” só estará equilibrada quando x = 1, 
pois 1 – 1 = 0.
x – 1
1
+++–––
Mas o que ocorre quando tivermos valores menores ou maiores 
que 1? Vamos analisar essas outras situações e, para isso, adotare-
mos a reta real como suporte para análise.
(<) Para x – 1 < 0:
x – 1
1
+++–––
(>) Para x – 1 > 0:
x – 1
1
+++–––
Portanto, fazendo o estudo do sinal para x – 1, concluímos que:
 • x = 1, para x – 1 = 0
 • x < 1, para x – 1 < 0
 • x > 1, para x – 1 > 0
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 27
Exemplo 21
Analise o sinal da expressão 
x
x
� �
� �
�
�
3
4
.
Solução:
Para analisar o sinal de x
x
� �
� �
�
�
3
4
, precisamos entender o que acon-
tece com o sinal no numerador e no denominador, separadamen-
te, para montar uma intersecção entre os resultados na sequência. 
Vamos usar a análise dos sinais na reta real.
Em primeiro lugar, temos como condição de existência que, se 
x
x
� �
� �
�
�
3
4
, então, x ≠ –4, pois o denominador precisa ser diferente de zero.
Após verificar a condição de existência, queremos analisar:
x
x
� �
� �
�
�
�
3
4
0
x
x
� �
� �
�
�
�
3
4
0
x
x
� �
� �
�
�
�
3
4
0
(=) Para x
x
� �
� �
�
�
�
3
4
0, então:
x
x
x x�
�
� � � � � �
3
4
0 3 0 3
(<) Para � � �
� �
x
x
�
�
�
3
4
0 , então:
x
x
� �
� �
�
�
3
4
x – 3
3
3
+++–––
x + 4
–4
–4
∄
+
+
+
+
+
+
+
–
+
–
–
+
(Continua)
28 Cálculo para funções de uma variável
(>) Para � � �
� �
x
x
�
�
�
3
4
0 , então:
x
x
� �
� �
�
�
3
4
x – 3
3
3
+++–––
x + 4
–4
–4
∄
+
+
+
+
+
+
+
–
+
–
–
+
Portanto, a análise de sinais para x
x
� �
� �
�
�
3
4
 é escrita como:
 • x = 3, para �
� �
� �
x
x
�
�
�
3
4
0
 • –4 < x < 3, para � � �
� �
x
x
�
�
�
3
4
0
 • x < –4 ou x > 3, para �
� �
� �
x
x
�
�
�
3
4
0
Assim, a análise dos sinais de uma expressão algébrica recai no con-
ceito de inequação e, consequentemente, de desigualdade. Conforme 
vimos, representar esse tipo de conceito, quando possível, de maneira 
geométrica, utilizando a reta real, pode nos auxiliar na interpretação 
dos resultados e na obtenção de soluções.
1.4 Valores absolutos 
Vídeo Antes de calcularmos os valores absolutos ou o módulo de um 
número ou expressão, precisamos analisar justamente a possibili-
dade de uma interpretação algébrica e uma interpretação geomé-
trica. Nosso foco é a interpretação algébrica, contudo, entender 
o contexto geométrico pode nos auxiliar no entendimento desse 
conceito.
Em termos geométricos, o que estamos calculando é uma dis-
tância. Vamos analisar o Exemplo 22.
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 29
Exemplo 22
O módulo, ou valor absoluto, do número 5 é retratado por |5| e 
representa (geometricamente) 5 unidades de medida em relação à 
origem de um sistema cartesiano.
Se quisermos calcular o módulo de –5, teremos a representação 
|–5| e esta também representa (geometricamente) a distância de 5 
unidades em relação à origem do sistema.
Figura 6
Módulo de | 5 | e |–5| por meio de representação geométrica
–5 50
Fonte: Elaborada pela autora.
Definição 12
O valor absoluto de um número a ∈ ℝ é dado por (AXLER, 2016):
a
a se a
a se a
�
�
� �
�
�
�
,
,
0
0
(1)
Temos as seguintes propriedades que podem ser enunciadas:
An
to
n 
Pr
oh
or
ov
–|a| ≤ a ≤ |a|2
|ab| = |a||b|4
|a + b| ≤ |a| + |b| – Desigualdade triangular5
|a| ≥ 0 e |a| = 0, se, e somente se, a = 01
|–a| = |a|
3
|(|a| – |b|)| ≤ |a – b|6
30 Cálculo para funções de uma variável
Exemplo 23
Demonstre a desigualdade triangular.
Solução:
Se a = b = 0, o resultado é direto.
Tratemos, então, do caso em que um dos termos é não nulo.
Como (a + b)2 > 0, então, podemos escrever:
|a + b|2 = |(a + b)2| = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Assim,
a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a|⋅|b| + |b|2 = (|a| + |b|)2
Unindo as duas relações, obtemos:
|a + b|2 ≤ (|a| + |b|)2
Se a,b > 0 e a2 < b2, então, a < b.
Logo,
|a + b| ≤ |a| + |b|
Algebricamente, podemos montar uma relação entre o valor 
absoluto de um número a ∈ ℝ, comparando-o com um número 
b ∈ ℝ. Essa comparação, que usa a definição apresentada em (1), é 
escrita como:
|a| < b ⇔ –b < a < b
|a| > b ⇔ a > b ou a < –b
Quando escrevemos a expressão 
a
a se a
a se a
�
�
� �
�
�
�
,
,
0
0
, 
temos também uma represen-
tação geométrica a qual nos diz 
que, independentemente do 
sinal assumido para a, ao cal-
cularmos o seu módulo, vamos 
obter um valor positivo. Desse 
modo, se |x – 5|, como podemos 
escrever essa expressão utilizan-
do as inequações, assim como 
feito para a variável a?
Atividade 3
Exemplo 24
Seja |x| < 5, então, teremos que a distância de x à origem (zero) 
do sistema é menor que 5. Sabemos que de 0 a (+5) temos uma 
distância de 5 unidades e que de 0 a (–5) também. Portanto, os nú-
meros possíveis que x pode assumir são:
{x ∈ ℝ| –5 < x < 5}
E estão no intervalo apresentado a seguir:
–5 50
Conjuntos numéricos e formalismo matemático 31
Exemplo 25
Seja |x| > 5, então, teremos que a distância de x à origem (zero) 
do sistema é maior que 5. Assim, x assume valores nos intervalos 
x < –5 ou x > 5:
{x ∈ ℝ| x < –5 ou x > 5}
Dessa forma, temos a reta a seguir:
–5 50
Note que o conceito de valor absoluto ou módulo de uma expressão 
algébrica depende do conhecimento dos conceitos de conjuntos nu-
méricos, intervalos numéricos e inequações. Logo, temos uma relação 
direta entre todos os conceitos vistos neste capítulo e entender cada 
um deles nos dá base e facilita o entendimento dos demais.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os conjuntos numéricos e, particularmente, o conjunto dos núme-
ros reais permeiam todo o cálculo para funções de uma variável. Dessa 
forma, compreender a álgebra que envolve esse conjunto, trabalhando 
equações e inequações, nos dá base para o entendimento e manipu-
lação de problemas teóricos e práticos os quais envolvam funções de 
uma variável real.
Os conceitos vistos neste capítulo não estão só no cálculo, mas tam-
bém estão presentes na matemática de maneira ampla, na física, na ciên-
cia da computação, na biologia e em toda e qualquer área que dependa 
de números e manipulações algébricas. Desse modo, eles nos dão supor-
te para a resolução de problemas da vida.
REFERÊNCIAS
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1.
MARTINEZ, F. B. et al. Teoria dos números: um passeio com primos e outros números 
familiares pelo mundo inteiro. Rio de Janeiro: IMPA, 2018.
32 Cálculo para funções de uma variável
GABARITO
1. O conjunto ℕ*, ou seja, o conjunto dos números naturais sem o zero, pode ser escrito 
como: ℕ* = {1, 2, 3, …}. Já o conjunto ℤ–, ou seja, o conjunto dos inteiros não positivos, 
pode ser escrito por: ℤ– = {…, –4, –3, –2, –1, 0}.
 Portanto, a união desses dois conjuntos pode ser escrita como {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
Logo, podemos representar esse conjunto por ℤ = ℕ* ∪ ℤ–.
2. O conjunto {x ∈ ℝ| x ≥ 0} pode ser representado pela reta numérica da forma:
0
 Já o conjunto dos números que satisfazem a equação x < 0, tal que x ∈ ℝ, pode ser 
representando pela reta numérica:
0
 Assim, unindo esses dois conjuntos, temos:
0
𝕀 ℝ
 Então, podemos representar essa união por meio do conjunto dos números reais, ℝ.
3. Assumindo a
a sea
a sea
�
�
� �
�
�
�
��
,��� �
,��� �
,
0
0 vamos agora escrever uma relação para |x – 5| = y. 
Assim, temos:
 
x
x se x
x se x
� �
� � �
� �� � � �
�
�
�
��
5
5 5 0
5 5 0
,��� �
,��� �
 Logo,
 
x
x se x
x se x
� �
� �
� �� � �
�
�
�
��
5
5 5
5 5
,��� �
,��� �
 Portanto,x
x se x
x se x
� �
� �
� � �
�
�
�
��
5
5 5
5 5
,��� �
,��� �
Funções de uma variável real 33
2
Funções de uma variável real
Quando pensamos na definição de função, percebemos 
que ela já está presente em diversas relações matemáticas 
estudadas no ensino fundamental. Mas, em geral, sua con-
ceituação formal é vista no primeiro ano do ensino médio e, 
desse ponto em diante, transforma-se em embasamento para 
diversos outros conceitos matemáticos. Na graduação as fun-
ções estão presentes na maioria dos cursos (para não dizer 
em todos), pois podemos entendê-las como uma relação en-
tre conjuntos na qual há uma regra que leva elementos de um 
conjunto a outro.
Assim, é de extrema importância que a relação entre domí-
nio e imagem, as leis que podem estar definidas em cada tipo 
de função e as propriedades operatórias sejam muito bem 
compreendidas.
Funções podem ser representadas graficamente e, quan-
do tratamos de um gráfico de uma função, temos outra gama 
gigantesca de possibilidades de interpretação e aplicação. Por 
esse motivo, entendemos que as funções são o principal concei-
to da pesquisa matemática nos níveis de graduação. São funda-
mentais em cursos de exatas e tecnologia, bem como a “cereja 
do bolo” das demais áreas, pois podem enriquecer muitos tra-
balhos nas ciências humanas, biológicas e sociais.
2.1 Conceito geral de função 
Vídeo Uma função é uma “regra” que associa a cada elemento x ∈ X um 
único elemento y = f(x) ∈ Y (GUIDORIZZI, 2018). Temos que X e Y são 
conjuntos que podem conter elementos previamente definidos, por 
exemplo, números naturais, reais etc., ou outros tipos de elementos, 
34 Cálculo para funções de uma variável
como chapéus, aves, laços etc. Assim, desde que consigamos relacio-
nar por meio de uma regra um elemento do conjunto X com um único 
elemento do conjunto Y, podemos dizer que estamos trabalhando com 
uma função.
Na matemática, dizemos que essa regra é uma lei matemática. A no-
tação usada para essa definição é dada por:
Definição 1
f : X → Y
Para entendermos não só as funções, mas também as suas diversas 
formas de representação, apresentaremos os conceitos de pares orde-
nados, relações binárias, planos cartesianos e diagramas de Venn.
2.1.1 Plano das coordenadas
Um sistema de coordenadas, ou plano coordenado, é um conjunto 
de referenciais pelo qual se determina uma correspondência recíproca 
entre pontos geométricos e números reais. O sistema adotado neste 
livro é o cartesiano ortogonal bidimensional, em que podemos loca-
lizar determinado ponto em qualquer posição de um plano ortogonal 
bidimensional.
2.1.1.1 Plano cartesiano bidimensional
Um plano cartesiano bidimensional é representado por duas retas 
reais perpendiculares. A reta horizontal é chamada de eixo x (abscissas); 
a reta vertical é denominada eixo y (ordenadas); e o ponto de intersec-
ção é o ponto de origem (O). Um ponto em um plano cartesiano é repre-
sentado pelo valor correspondente à posição que ocupa em cada um 
dos eixos em relação à origem.
Podemos representar vários pontos em um mesmo plano cartesia-
no. Observe a figura a seguir:
Existem outros tipos de 
sistemas de coordenadas, 
por exemplo, sistema car-
tesiano oblíquo, sistema 
de coordenadas polares, 
sistema de coordenadas 
elípticas etc. Para saber 
um pouco mais e ver 
alguns exemplos, acesse 
o link a seguir.
Disponível em: https://www.
infoescola.com/matematica/
sistemas-de-coordenadas/. Acesso 
em: 19 ago. 2020.
Site
https://www.infoescola.com/matematica/sistemas-de-coordenadas/
https://www.infoescola.com/matematica/sistemas-de-coordenadas/
https://www.infoescola.com/matematica/sistemas-de-coordenadas/
Funções de uma variável real 35
Figura 1
Coordenadas dos pontos A, B, C e D
y
O X
A = (3, 3)
D = (2, –2)
C = (–2, –4)
B = (–4, 1)
–1
1
2
3
4
5
6
–1 1 2 3 4 5 6 7
–2
–2
–3
–3–4–5–6–7
–4
Fonte: Elaborada pela autora.
O ponto A tem coordenadas A = (3, 3); o ponto B tem coordenadas 
B = (–4, 1); o ponto C tem coordenadas C = (–2, –4); e o ponto D tem 
coordenadas D = (2, –2).
Sabendo que os pontos em um plano cartesiano são pares ordena-
dos, podemos entender essa relação por meio da seguinte definição:
Definição 2
Uma relação de ordem em que cada coordenada representa a distância de determi-
nado ponto à origem do sistema (definimos como orientação padrão para um plano 
cartesiano bidimensional as direções dos eixos x e y) é chamada de par ordenado.
Ainda temos que observar que (a, b) ≠ (b, a).
Agora, sabendo identificar pontos em um plano cartesiano (pares or-
denados), podemos montar uma relação (uma “lei”) que permita calcu-
lar tais pontos e pares. Esse conceito introduz as funções, mas, para que 
fique bem elucidada a formação dessas leis, trataremos do conceito de 
relação binária e posteriormente entraremos na teoria de funções.
Caso ainda tenha dúvida 
em como marcar ou 
identificar um ponto no 
plano cartesiano, assista 
ao vídeo Plano Cartesiano 
2, do canal do Portal 
da Matemática OBMEP. 
Nele o professor Sandro 
Vinicius demonstra essa 
construção passo a 
passo.
Disponível em: https://youtu.be/
van1yN4hPTA. Acesso em: 19 
ago. 2020.
Vídeo
https://youtu.be/van1yN4hPTA
https://youtu.be/van1yN4hPTA
36 Cálculo para funções de uma variável
2.1.2 Relação binária
Qualquer conjunto de pares ordenados é uma relação binária. Se-
jam dois conjuntos X e Y, podemos escrever uma relação binária R de X 
em Y como um subconjunto X × Y, ou seja, R ⊆ (X × Y).
Uma relação binária pode ser escrita como:
R = {(x, y) ∈ X × Y| r (x, y) é verdadeira}
Ou seja, idealizamos uma regra que relaciona o conjunto X com o 
conjunto Y.
Exemplo 1
Sejam X = {x ∈ ℤ| –1 < x ≤ 1} e Y = {x ∈ ℤ| –2 < x < 2} e a relação 
binária dada por R = {(x, y) ∈ X × Y| x + y = 1}.
Para escrevermos os pares ordenados tal que R ⊆ (X × Y), primei-
ramente vamos identificar os elementos de cada um dos conjuntos:
Se X = {x ∈ ℤ | –1 < x ≤ 1}, então X = {0, 1}
Se Y = {x ∈ ℤ | –2 < x < 2}, então Y = {–1, 0, 1}
Como a relação é dada por R = {(x, y) ∈ X × Y|x + y = 1}, temos:
 R = {(x, y) ∈ X × Y| x + y = 1}
 R = {(x, y) ∈ X × Y| y = 1 – x}
Quando x = 0 ∈ X, temos y = 1 ∈ Y
Quando x = 1 ∈ X, temos y = 0 ∈ Y
Logo, podemos escrever:
 R = {(0,1), (1,0)}
Ao estudarmos funções a ideia principal é a possibilidade de rela-
cionar conceitos, sendo que estes são chamados de variáveis na mate-
mática. A variável dependente é comumente representada por y ∈ Y, e 
a variável independente por x ∈ X. As grandezas expressas por essas 
variáveis dependerão do problema ao qual elas estiverem sendo apli-
cadas (tempo, volume, área etc.). Em algumas áreas, como economia, 
administração e biologia, os elementos de X e Y podem variar inclusive 
na representação simbólica.
Funções de uma variável real 37
Exemplo 2
Vamos supor que um carro está no quilômetro zero (0 km) de 
uma rodovia e sua velocidade é de 100 km/h. Queremos montar 
uma relação que nos permita, em função do tempo, dizer em qual 
quilômetro esse veículo estará após algumas horas. Para isso, em-
pregaremos uma importante equação da física chamada de função 
horária do movimento, dada por:
 St = S0 + vt
Em que S0 é a posição inicial do carro, v é a velocidade, t é o 
tempo e St é a posição final dependente de t, ou seja, para cada t 
teremos um novo St. Note que t ∈ X e St ∈ Y.
Com as informações fornecidas, podemos escrever:
 St = 0 + 100 · t
Ou simplesmente:
 St = 100 · t
Agora vamos montar uma tabela relacionando essas duas 
variáveis e, na sequência, vamos representar esses valores no 
plano cartesiano bidimensional.
Tabela 1
Relação binária entre as variáveis t e St 
Tempo em horas (t) Posição final St (km)
1 100 · 1 = 100
2 100 · 2 = 200
3 100 · 3 = 300
4 100 · 4 = 400
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 2
Representação gráfica da Tabela 1
Fonte: Elaborada pela autora.
38 Cálculo para funções de uma variável
Conseguimos, com esse exemplo, representar de maneira visual 
uma função conhecida como função afim.Temos a função S(t) = 100t 
e o gráfico para essa função dado pela Figura 2.
É interessante que não precisamos utilizar notação simbólica 
complicada ou cálculos difíceis para entender a relação entre as va-
riáveis que adotamos para o problema. Na verdade, usamos esses 
cálculos em muitas situações do nosso dia a dia sem que perceba-
mos ou sem que nem mesmo saibamos que estamos trabalhando 
com funções.
As funções rodeiam tudo o que fazemos. Assim que começamos 
a relacionar duas variáveis, sendo que uma depende da outra, já es-
tamos lidando com funções. Podemos trabalhar com mais de duas 
variáveis, mas esse é o escopo de outras obras. Neste momento, 
nos preocuparemos apenas com as relações binárias. Nas próximas 
seções estudaremos essas situações com o rigor matemático que as 
envolvem.
2.2 Funções afim 
Vídeo Pensando nas relações binárias que podemos escrever por meio de 
uma regra de dependência entre duas variáveis, é de se imaginar que 
existem muitas possibilidades. Para que consigamos estudar essas re-
gras, as dividimos em grupos bem específicos de acordo com o tipo de 
função que representam.
O primeiro grupo de funções que veremos neste livro é cha-
mado de afim ou do primeiro grau. Acabamos de conhecer um caso 
(Exemplo 2). Portanto, uma função afim é aquela que pode ser repre-
sentada por meio da relação:
f(x) = ax + b
Sendo a o coeficiente angular, b o coeficiente linear x ∈ X e f(x) = y ∈ 
Y. O coeficiente linear ainda é reconhecido por ser a intersecção com o 
eixo y no plano cartesiano.
Também chamamos esse tipo de função de função do primeiro grau, 
pois o maior grau para a variável x presente em ax + b é 1. Dentro desse 
grupo de funções ainda podemos identificar três subgrupos:
O GeoGebra on-line é uma 
ferramenta computacional 
que possibilita a constru-
ção de gráficos bidimen-
sionais e tridimensionais e 
é utilizada por professores 
de muitas instituições 
pelo mundo. Além disso, 
é de fácil manipulação 
não só por docentes, mas 
também estudantes, que 
podem ter um ganho de 
aprendizagem importante 
a utilizando para auxiliar 
na visualização de gráficos 
com os mais diferentes 
conceitos matemáticos 
envolvidos. Para funções, é 
uma ferramenta auxiliar ri-
quíssima! Por esse motivo, 
é nossa principal sugestão 
no quesito visualização 
gráfica de funções.
Disponível em: https://www.
geogebra.org. Acesso em: 19 ago. 
2020.
Site
https://www.geogebra.org
https://www.geogebra.org
Funções de uma variável real 39
 • Funções lineares: uma função é dita linear quando b = 0 para a ≠ 0:
f(x) = y = ax
 • Funções identidade: uma função é dita identidade quando a = 1 e b = 0:
f(x) = y = x
 • Funções constantes: uma função é dita constante quando a = 0:
f(x) = y = b
Definição 3
O valor x
0
 de uma função f(x) é chamado de raiz da função ou zero da função se 
f(x
0
) = 0.
Seja uma função afim dada por f(x) = y = ax + b, assim:
y0 = ax0 + b
Para y0 = 0 temos:
ax0 + b = 0
ax0 = –b
x b
a0
� �
A raiz de uma função de uma variável real é o valor obtido quando 
calculamos f(x) = 0. A interpretação gráfica da raiz é apresentada na 
figura a seguir.
Figura 3
Raiz de uma função afim
y
X
f(x) = ax + b
Raiz da função
(0,0)
f
−b
a
Fonte: Elaborada pela autora.
40 Cálculo para funções de uma variável
Portanto, no caso da função St = S(t) = 100t, em que t ∈ X e St ∈ Y, 
temos que:
100t = 0 ⇒ t = 0
Dessa forma, a raiz da função linear dada por S(t) = 100t é t = 0.
Podemos encontrar a raiz de uma função de maneira gráfica. Basta 
analisar qual ponto da função intercepta o eixo x.
Figura 4
Gráfico da função afim S(t) = 100t
Fonte: Elaborada pela autora.
O coeficiente angular é a relação entre a variação em y sobre a va-
riação em x. Também podemos entendê-lo como a tangente do ângulo 
alfa (tan α), como observamos na figura a seguir.
Figura 5
Coeficiente angular
x
y
x
y
f
f
x 1 x 2 x 1 x 2
y 1
y 2
y 1
y 2
α α
a = tan α =
y 2 − y 1
x 2 − x 1
=
∆ y
∆ x
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções de uma variável real 41
Percebemos pela representação que quando temos uma função 
crescente, ou seja, uma função em que x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), o coeficiente 
angular é um ângulo α do primeiro quadrante no círculo trigonométrico. 
Portanto, o valor da tangente será positivo. Já quando temos uma função 
decrescente, ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), temos um ângulo α pertencente 
ao segundo quadrante. Nesse caso, o valor da tangente será negativo.
Com essa informação, podemos definir:
Definição 4
Quando o coeficiente angular é positivo, a função afim é crescente. Quando o coefi-
ciente angular é negativo, a função afim é decrescente.
Exemplo 3
Seja a função afim dada por g(x) = –x + 3, ela tem coeficiente angu-
lar a dado por a = –1 e coeficiente linear b dado por b = 3.
O exemplo pode ser representado pelo gráfico a seguir.
Figura 6
Gráfico da função g(x) = –x + 3
Fonte: Elaborada pela autora.
É fácil identificarmos a raiz da função apenas com a visualização 
gráfica (x = 3). O coeficiente linear (b = 3) pode ser encontrado grafi-
camente no ponto de intersecção da função com o eixo y.
O estudo das funções 
afim crescentes e 
decrescentes pode ser 
complementado com a 
leitura do texto Funções 
crescentes e decrescentes, 
publicado pelo site 
Mundo Educação.
Disponível em: https://
mundoeducacao.bol.uol.com.br/
matematica/funcao-crescente-
decrescente.htm. Acesso em: 19 
ago. 2020.
Leitura
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-crescente-decrescente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-crescente-decrescente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-crescente-decrescente.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-crescente-decrescente.htm
42 Cálculo para funções de uma variável
2.2.1. Domínio e imagem de uma relação binária
O domínio de uma relação binária entre dois conjuntos X e Y é um 
conjunto composto de todos os primeiros elementos que constituem 
os pares ordenados pertencentes a essa relação. Adotaremos a seguin-
te simbologia:
Dom : {x ∈ Dom ⇔ ∃y, y ∈ Y │ (x, y) ∈ relação binária}
Portanto, x pertence ao conjunto domínio se, e somente se, exis-
te y com y pertencente a Y, tal que o par ordenado (x, y) pertence à 
relação binária.
Exemplo 4
Seja a função exemplificada anteriormente S(t) = 100t. O conjunto 
com todos os elementos pertencentes ao domínio é dado por:
Dom : {t ∈ ℝ}
A imagem de uma relação binária de X em Y é o conjunto composto 
de todos os segundos elementos dos pares ordenados dados pela rela-
ção binária. Simbolicamente escrevemos:
Im : {y ∈ Im ⇔ ∃x, x ∈ X|(x, y) ∈ relação binária}
Portanto, y pertence ao conjunto imagem se, e somente se, existe x 
∈ X, tal que o par ordenado (x, y) pertence à relação binária da função f 
dada por todos os elementos que respeitam a lei y = f(x). Sendo assim, 
a imagem de f pode ser escrita como:
Im : {y ∈ Y|y = f(x), x ∈ X}
Exemplo 5
Usando novamente a função S(t) = 100t, temos que a imagem 
dela são os valores que obtemos em S(t) dependentes de t. Pode-
mos visualizar graficamente por meio da Figura 2 que a imagem da 
função S(t) = 100t também pertence aos reais.
Formalmente escrevemos:
Im : {t ∈ ℝ|S(t), t ∈ ℝ}
A plataforma da Khan 
Academy é uma sugestão 
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Funções de uma variável real 43
2.2.1.1 Representação por diagramas de Venn
Sejam os conjuntos não nulos X e Y e uma relação binária de X em 
Y, tal que os pares ordenados (x, y) ∈ R são formados por valores do 
eixo das abscissas (x ∈ X) e dos eixos das ordenadas (y ∈ Y). O domí-
nio dessa relação binária R, chamado de Dom, é formado por todas 
as abscissas dos pares ordenados de R. Já a imagem dessa relação 
R, chamada de Im, é formada por todas as ordenadas dos pares or-
denados de R.
Os conjuntos domínio e imagem podem ser representados por 
meio de diagramas de flechas (Figura 7).
Figura 7
Domínio e imagem de uma relação binária
Dom Im
x1 y1
x2
X x Y = {(x1, y1), (x2, y1)}
Fonte: Elaborada pela autora.
Os elementos de X estão no conjunto domínio e os elementos de Y 
estão no conjunto imagem.
44 Cálculo para funções de uma variável
Exemplo 6
Seja a relação R dada por R = {(x, y)| y = 2x}, podemos represen-
tar R usando um diagrama de flechas, como a figura a seguir:
Figura 8
R = {(x, y) | y = 2x} R
Dom Im
1
2 4
2
3 6
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos que Dom = {1, 2, 3} e Im = {2, 4, 6}.
Existem algumas formas de visualização e interpretação de uma 
função. Já vimos a utilização de sistemas cartesianos bidimensionais e 
de tabelas, e a representação por meio de diagramas de Venn é mais 
uma maneira (Figura 9).
Figura 9
Diagrama de Venn representativo para funções
a
f
X Y
f (a)
f (b)
f (c)
f (d)
b
c
d
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções de uma variável real 45
Nesse caso, os elementos do domínio são Dom = {a, b, c, d} e os ele-
mentos da imagem são Im = {f(a), f(b), f(c), f(d)}.
Existe um padrão que relaciona as variáveis do domínio 
(conjunto X, em geral, conjunto dos números reais) e a imagem 
(conjunto Y). Essa relação pode ser injetiva, sobrejetiva ou bijetiva:
 • Se injetiva, teremos que para todo x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2).
 • Se sobrejetiva, teremos que para todo y ∈ Y existe x ∈ X, tal que 
f(x) = y.
 • Se bijetiva, deve ser injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
Por meio de diagramas de Venn conseguimos visualizar os três casos:
Figura 10
Exemplo de uma função injetiva ou injetora
1
f
X Y
a
b
c
d
2
4
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 11
Exemplo de uma função sobrejetiva ou sobrejetora
1
2
5
4
f
X Y
a
b
d
Fonte: Elaborada pela autora.
46 Cálculo para funções de uma variável
Figura 12
Exemplo de uma função bijetiva ou bijetora
1
f
X Y
a
b
c
d
2
4
5
Fonte: Elaborada pela autora.
Desse modo, a representação por diagramas de Venn pode auxiliar 
no processo de verificação de características importantes de uma fun-
ção. Na sequência analisaremos esses conceitos quando procurarmos 
uma função dita inversa.
2.2.2 Funções inversas
Seja uma função f : X → Y bijetora, uma função f –1 : Y → X é a função 
inversa de f, em que a lei de formação de f –1 deve garantir que os ele-
mentos da imagem de f sejam levados aos elementos do domínio de f. 
A representação por diagramas de Venn pode ser observada a seguir:
Figura 13
Representação da função inversa por diagramas de Venn
a
b
c
d
f
f –1
X Y
f (a)
f (b)
f (c)
f (d)
Fonte: Elaborada pela autora.
Sejam os conjuntos X, Y ∈ ℝ, 
tal que f, g, h : X → Y, analise 
as funções:
a) Função constante dada por 
f(x) = 5.
b) Função linear dada por 
g(x) = 3x.
Escreva se elas são injetivas 
ou sobrejetivas, respecti-
vamente, justificando cada 
caso.
Atividade 1
Funções de uma variável real 47
Se a função f não for bijetora, restringimos o seu domínio a um in-
tervalo em que seja possível essa caracterização.
Exemplo 7
Seja a função bijetora dada por f(x) = 2x + 1, calcule sua função 
inversa e analise o domínio e a imagem.
Solução:
f(x) = 2x + 1 ⇒ y = 2x + 1
Como sabemos que essa função é bijetora com domínio 
Dom = {x ∈ ℝ} e imagem Im = {y ∈ ℝ | y = 2x + 1, x ∈ Dom}, podemos 
escrever:
x y y x y x� � � � � � � �2 1 2 1 1
2
Logo, a função f x
x� � � � �1 1
2
 é a inversa de f(x) = 2x + 1. A fun-
ção inversa possui domínio e imagem respectivamente dados por: 
Dom = {x ∈ ℝ} e Im y y x x Dom: ,� � � ���
�
�
�
�
| �1
2
.
Figura 14
Gráfico das funções f(x) e f-1(x)
Fonte: Elaborada pela autora.
Quando o maior grau (expoente) de uma variável independente (x) 
é igual a 2, dizemos que temos uma função do segundo grau ou função 
quadrática. Vamos entendê-la a seguir.
48 Cálculo para funções de uma variável
2.3 Funções quadráticas 
Vídeo Uma função do tipo f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ⋯ + a1x + a0x0 é chamada de 
função polinomial de grau n. Basicamente, o que temos é uma junção 
de monômios, sendo que o monômio de maior grau define o grau do 
polinômio.
A figura a seguir traz seis funções polinomiais apresentadas no mes-
mo plano cartesiano e que podem ser diferenciadas por seu grau, con-
forme legenda.
Figura 15
Polinômios com diferentes graus
Fonte: Elaborada pela autora.
As funções afim são também funções polinomiais de grau 1. Assim, 
se n = 1, temos uma função afim. Se n = 2, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c, 
temos uma função polinomial de grau 2, uma função do segundo grau 
ou quadrática, que será o tema desta seção.
As funções do segundo grau são representadas por parábolas e 
possuem algumas características interessantes que facilitam sua inter-
pretação geométrica. Em uma função real definida por f(x) = ax2 + bx + c 
temos:
 • a > 0, a parábola terá concavidade voltada para cima;
 • a < 0, a parábola terá concavidade voltada para baixo.
Caso você ainda tenha 
dúvida sobre o conceito 
geral de funções, suge-
rimos o vídeo Revisão 
de Funções, do Portal 
da Matemática OBMEP. 
Nele o professor Gustavo 
Adolfo Soares faz uma 
revisão conceitual das 
funções afim.
Disponível em: https://youtu.
be/poiC0kAOneo. Acesso em: 19 
ago. 2020.
Vídeo
https://youtu.be/poiC0kAOneo
https://youtu.be/poiC0kAOneo
Funções de uma variável real 49
Figura 16
Concavidades
a > 0
y
x
a < 0
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Existem algumas maneiras de encontrarmos as raízes de uma fun-
ção do segundo grau. Em geral, aprendemos no ensino fundamental a 
fórmula de Bhaskara, que pode continuar sendo usada no contexto do 
ensino superior. Mas você sabia que essa famosa fórmula da maneira 
que é aprendida no Brasil não é exatamente ensinada com esse forma-
to em outras partes do mundo e que o indiano Bhaskara não foi o seu 
idealizador? (BOYER; MERZBACH, 2012).
Na verdade, a forma rápida e ágil de se extrair as raízes de uma 
equação do segundo grau, como aprendemos na escola, foi formulada 
por um matemático francês chamado François Viète (1540-1603) e é 
ensinada com base na transformação da equação do segundo grau, 
dada por ax2 + bx + c, para sua forma canônica do trinômio, dada por 
a x b
a
x c
a
2 � �
�
�
�
�
�
� , ou seja,
ax bx c a x b
a
x c
a
2 2� � � � �
�
�
�
�
�
�
Assim, utilizando manipulações matemáticas, é possível isolarmos a 
variável x, como segue:
ax bx c a x b
a
x b
a
b
a
c
a
2 2
2
2
2
2
2
2 4 4
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
. .
Ou:
ax bx c a x b
a
ac b
a
2
2 2
22
4
4
� � � �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
50 Cálculo para funções de uma variável
Se a ≠ 0, então:
ax bx c x b
a
ac b
a
2
2 2
2
0
2
4
4
0� � � � ��
�
�
�
�
� �
�
�
x b
a
ac b
a
�
�
�
�
�
�
� � �
�
2
4
4
2 2
2
x b
a
b ac
a
� � �
�
2
4
2
2
x b b ac
a
�
� � �2 4
2
(1)
Esse formato auxilia não só na compreensão da manipulação ma-
temática para se obter a fórmula de Bhaskara, mas também no enten-
dimento do próprio trinômio do quadrado perfeito e da sua fatoração.
ax bx c a x b
a
x c
a
a x x x x2 2 1 2� � � � �
�
�
�
�
�� � �� � �� �
Os valores de x1 e x2 são as raízes da função do segundo grau.
Agora, entendendo o processo para se escrever a Equação (1), pode-
mos adotar a simbologia a seguir:
x b b ac
a
b
a
�
� � �
�
� �2 4
2 2
�
Portanto: 
x b
a1 2
�
� � �
x b
a2 2
�
� � �
Por meio da análise do discriminante (Δ = b2 – 4ac) podemos identi-
ficar características dessas raízes (Figura 17). 
No Portal da Matemática 
OBMEP, canal do 
YouTube que disponibi-
liza aulas preparatórias 
para estudantes que 
pretendem participar das 
Olimpíadas Brasileiras de 
Matemática das Escolas 
Públicas, está disponível o 
vídeo Função Quadrática: 
Definição, Máximos e 
Mínimos, do professor 
Gustavo A. Soares. Ele 
explica detalhadamente 
essa manipulação da 
fórmula de Bhaskara.
Disponível em: https://youtu.be/
NbFFMlXlm3o. Acesso em: 19 
ago. 2020.
Vídeo
https://youtu.be/NbFFMlXlm3o
https://youtu.be/NbFFMlXlm3o
Funções de uma variável real 51
Figura 17
Duas raízes reais e diferentes
a > 0∆ > 0
y
x
a < 0∆ > 0
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 18
Duas raízes reais e iguais
a > 0∆ = 0
y
x
a < 0∆ = 0
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 19
Duas raízes complexas
a > 0∆ < 0
y
x
a < 0∆ < 0
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
52 Cálculo para funções de uma variável
Ao observar as parábolas, vemos que existe um eixo de simetria 
paralelo ao eixo da variável dependente y. A intersecção do eixo de 
simetria com a parábola é um ponto denominado vértice. Podemos en-
contrar o ponto do vértice (xV, yV) por meio das equações:
x b
aV
� �
2
y
aV
� �
�
4
Exemplo 8
Seja a função do segundo grau dada por f(x) = x2 + 2x – 15, vamos 
analisar a concavidade dessa parábola, as raízes e o vértice.
Temos a = 1, b = 2 e c = –15. Portanto a > 0, logo temos concavi-
dade voltada para cima.
Δ = b2 – 4ac = 22 – 4 · 1 · (–15) = 4 + 60 = 64
Δ > 0, assim temos duas raízes reais e diferentes (x1 ≠ x2).
x
b b ac
a
�
� � ��
�
�
�
�
�
2 4
2
Então:
x1
22 2 4 1 15
2 1
�
� � � � � �� �
�
x �1
2 64
2
�
� �
x1
2 8
2
3� � � �
x2
22 2 4 1 15
2 1
�
� � � � � �� �
�
x �2
2 64
2
�
� �
x2
2 8
2
5� � � � �
As raízes são x1 = 3 e x2 = –5.
Por fim, vamos calcular o ponto de vértice:
x b
aV
� � � � � �
2
2
2
1 y
aV
� � � � � �
�
4
64
4
16
Uma bala de canhão aleatória, 
quando projetada, percorre uma 
trajetória que respeita a função 
f(x) = –2x2 + 20x – 7. Sabendo 
que x representa a distância em 
metros e f(x) a altura respectiva 
a x, é possível calcular a altura 
máxima atingida por essa bala? 
Qual é o valor em metros?
Atividade 2
(Continua)
Funções de uma variável real 53
Graficamente temos:
Figura 20
Representação gráfica
Fonte: Elaborada pela autora.
A análise de uma função quadrática por meio de seus coeficientes, 
ou mesmo de seu determinante, auxilia na compreensão do seu com-
portamento e de suas soluções.
Para conhecer mais equa-
ções e funções de segun-
do grau e polinomiais, 
indicamos dois materiais 
da plataforma da Khan 
Academy. Lembre-se de 
entrar em sua conta an-
tes de começar a assistir 
aos vídeos e resolver os 
exercícios.
Equações e funções do segundo 
grau. Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/algebra-
home/alg-quadratics. Acesso em: 
19 ago. 2020.
Expressões, equações e funções 
polinomiais. Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/algebra-
home/alg-polynomials. Acesso em: 
19 ago. 2020.
Saiba mais
2.4 Funções exponenciais e logarítmicas 
Vídeo Funções logarítmicas, exponenciais e trigonométricas são exem-
plos de funções transcendentes, ou seja, que não podem ser repre-
sentadas por meio de polinômios (combinação finita de operações 
algébricas).
Uma função logarítmica é compreendida como a função inversa de 
uma função exponencial. Vamos entender essa teoria e exemplificar:
Definição 5: Função exponencial
Uma função f : ℝ → ℝ*
+
 da forma f(x) = ax, com a ∈ ℝ, a > 0 e a ≠ 1, é 
chamada de função exponencial.
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-quadratics
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-quadratics
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-quadratics
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials
54 Cálculo para funções de uma variável
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente depen-
dendo do valor da base. Se esta assume valores entre 0 e 1, temos uma 
função decrescente; já se assume valores maiores que 1, passamos a 
ter função crescente.
Figura 21
Gráfico da função exponencial
m
at
m
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
y = ax, a > 0
0 < a < 1 a > 1
a = 11
0 x
y
Exemplo 9
Sejam as funções:
1. f(x) = 2x
2. f x
x
� � � �
�
�
�
�
�
1
2
Pela definição percebemos que (1) é uma função crescente e (2) 
é uma função decrescente. Vamos substituir x por alguns valores e 
traçar o gráfico de ambas.
Tabela 2
Função f(x) = 2x
x f(x) = 2x
0 1
1 2
2 4
Fonte: Elaborada pela autora.
Tabela 3
Função f x
x
� � � �
�
�
�
�
�
1
2
x f x
x
� � � �
�
�
�
�
�
1
2
0 1
1 1/2
2 1/4
Fonte: Elaborada pela autora.
(Continua)
Funções de uma variável real 55
Figura 22
Função f(x) = 2x
f(x) = 2^x
–1
1
2
3
4
5
6
7
–1–2–3–4 0
A
D
E
1 2 3 4
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 23
Função f x
x
� � � �
�
�
�
�
�
1
2
8
–1
1
2
3
4
5
6
7
–1–2–3–4 0 1 2 3 4
f(x) = (1/2)^x
A
D
E
Fonte: Elaborada pela autora.
Agora, imagine a seguinte situação: temos uma equação exponen-
cial da forma 2x = 3 e precisamos encontrar o valor de x. Sabemos que 
se 2x = 4, poderíamos escrever 2x = 22 e, simplificando as bases, encon-
traríamos x = 2. Contudo, na expressão 2x = 3 não é possível igualar as 
bases.
Surge a necessidade de outra ferramenta para que obtenhamos a 
solução para x. A resposta está em usar os logaritmos.
Para resolver essa situação, escrevemos:
2x = 3
log 2x = log 3
x · log 2 = log 3
x = log
log
3
2
Se não conhecemos os valores para log 3 e log 2, podemos terminar 
o processo, pois já isolamos a variável x.
56 Cálculo para funções de uma variável
Definição 6: Função logarítmica
Uma função f : ℝ*
+
 → ℝ, com f(x) = log
a
x, em que a é a base do logaritmo da 
função, com a > 0 e a ≠ 1, é chamada de função logarítmica.
Assim, podemos escrever:
Logaritmo
Expoente
Potência
Logaritmando
Base Base
loga b = x ⇔ a
x = b
Exemplo 10
Seja a função dada por f(x) = log2x = 5, calcule o valor de x.
Solução:
Nesse caso, podemos usar a relação vista:
log2x = 5 ⇒ 2
5 = x ⇒ x = 32
Exemplo 11
Determine o domínio da função f(x) = log2 2x + 1.
Solução:
Escrevemos que f : ℝ*+ → ℝ, logo o domínio da função são todos 
os reais positivos (sem o zero).
Assim, teremos:
2 1 0 2 1 1
2
x x x� � � � � � � �
Portanto:
Dom x x� � � ���
�
�
�
�
R �
1
2
As funções logarítmicas também podem ser crescentes ou 
decrescentes e seguem a mesma lógica das funções exponenciais, visto 
que são funções inversas.
Funções de uma variável real 57
Figura 24
Função logarítmica crescente e decrescente
m
at
m
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
y = logax, a >1
y = logax, 0 < a < 1
0 x
y
1
Tabela 4
Função f(x) = log2x
x f(x) = log2x
1 0
2 1
4 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Tabela 5
Função f(x) = log1/2x
x f(x) = log1/2x
1 0
1/2 1
1/4 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 25
Função f(x) = log2x
B
C
A
f(x) = log(2, x)
–1 0
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8
–3
–2
–1
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 26
Função f(x) = log1/2x
D
E
A
–1 00
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7
–2
–3
–1
f(x) = log(1/2, x)
Fonte: Elaborada pela autora.
58 Cálculo para funções de uma variável
Ainda podemos representar graficamente essas duas funções no 
mesmo plano cartesiano.
Figura 27
Gráfico da função logarítmica e exponencial
Fonte: Santos, 2020. 
2.5 Funções trigonométricas 
Vídeo Uma função trigonométrica é aquela em que relacionamos o 
círculo trigonométrico e as relações periódicas obtidas por meio 
dos ângulos desse círculo.Também podemos defini-la como fun-
ção angular. As funções trigonométricas mais conhecidas são as 
funções seno, cosseno e tangente, comumente estudadas no ensino 
médio.
Temos que as funções seno e cosseno são periódicas, com perío-
do 2π, isto é, se conhecemos o comportamento delas no intervalo 
[0,2π], passamos a conhecer imediatamente como se comportam 
em todos os intervalos seguintes (ou anteriores) de comprimento 
2π.
Em outras palavras, o gráfico da função y = sin x no intervalo 
[0,2π] é exatamente o mesmo em qualquer intervalo da forma 
[2kπ, 2(k + 1) π]. Podemos restringir o estudo dessas funções ao in-
tervalo [0,2π], que corresponde ao estudo das coordenadas de um 
ponto que dá exatamente uma volta em um círculo trigonométrico.
As funções cosseno e seno como coordenadas de um ponto têm 
sinais que dependem do quadrante em que se encontram. Vamos 
mostrar como é possível determinar o valor da função seno em 
qualquer quadrante, por exemplo, conhecidos os seus valores no 
primeiro quadrante.
Nossa indicação de material da 
plataforma da Khan Academy 
para esta seção está disponível 
em: https://pt.khanacademy.
org/math/algebra-home#alg-
-exp-and-log. Acesso em: 19 
ago. 2020.
Saiba mais
Alguns vídeos podem 
ajudar a relembrar as 
principais funções trigo-
nométricas. Sugerimos 
que assista aos disponí-
veis no canal Portal da 
Matemática OBMEP, que 
possui aulas desse tema 
ministradas pelo profes-
sor Silvio Freitas. 
Trigonometria – A função seno: 
https://youtu.be/ndz00gjrJVo. Acesso 
em: 19 ago. 2020.
Trigonometria – A função cosseno 
e seu gráfico: https://youtu.be/
vdEjfEUmzlk. Acesso em: 19 ago. 2020.
Trigonometria – A função tangente: 
https://youtu.be/6VgKQmvhjOI. 
Acesso em: 19 ago. 2020.
Além desses vídeos, o 
canal também oferece 
outros com exercícios 
que podem auxiliar na re-
tomada desses conceitos.
Vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home#alg-exp-and-log
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home#alg-exp-and-log
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home#alg-exp-and-log
Alguns vídeos podem ajudar a relembrar as principais funções trigonométricas. Sugerimos que assista aos vídeos disponíveis no canal Portal da Matemática OBMEP, que possui aulas sobre esse tema ministradas pelo professor Silvio Freitas. São eles:
Trigonometria – A função seno: https://youtu.be/ndz00gjrJVo. Acesso em: 17 ago. 2020.
Trigonometria – A função cosseno e seu gráfico: https://youtu.be/vdEjfEUmzlk. Acesso em: 17 ago. 2020.
Trigonometria – A função tangente: https://youtu.be/6VgKQmvhjOI. Acesso em: 17 ago. 2020.
https://youtu.be/vdEjfEUmzlk
https://youtu.be/vdEjfEUmzlk
https://youtu.be/6VgKQmvhjOI
Funções de uma variável real 59
Figura 28
Quadro resumo dos sinais das funções seno e cosseno
Sinais das funções trigonométricas
im
ag
es
to
ck
de
si
gn
/S
hu
tte
rs
to
ck
Vamos discriminar os três casos, ou seja, considerar os casos em 
que a extremidade B do arco AB está no segundo, terceiro ou quarto 
quadrante.
x está no segundo quadrante, isto é, � �
2
� �x .
Figura 29
B no segundo quadrante
y
r
B B’
A’ O
s’
A
x
m (AB) = x
Fonte: Elaborada pela autora.
Traçamos por B uma reta r paralela ao eixo das abscissas e que 
intersecta novamente o ciclo trigonométrico s’ em B’. Temos que 
mAB x �́ �2� , portanto sin (π – x) = sin x.
x está no terceiro quadrante, isto é, � �� �x 3
2
.
60 Cálculo para funções de uma variável
Tomando como r a reta que liga O a B, obteremos sin x = –sin (x – π).
Figura 30
B no terceiro quadrante
y
r
B
B’
O
s’
A
x
m (AB) = x
Fonte: Elaborada pela autora.
x está no quarto quadrante, isto é, 3
2
2� �� �x
Figura 31
B no quarto quadrante
y
r
B
B’
O
s’
A
x
m (AB) = x
Fonte: Elaborada pela autora.
Tomando como r uma paralela ao eixo das ordenadas passando por 
B, obtemos mAB x �́ �2� e sin x = –sin (2π – x).
O mesmo processo, chamado de redução do seno ao primeiro 
quadrante, pode ser aplicado ao cosseno. A melhor maneira de pro-
ceder, entretanto, é esquecer as fórmulas e reproduzir em cada caso 
particular uma das construções apresentadas, conforme se esteja no 
segundo, terceiro ou quarto quadrantes.
Funções de uma variável real 61
Calcular os valores das funções trigonométricas no segundo, tercei-
ro e quarto quadrantes se resume a encontrar os valores absolutos das 
funções trigonométricas no primeiro quadrante.
Figura 32
Função seno – y = sin x (um período)
y y
sin X x
–1
1
x
x2 ππ
O
x
M
OM = 1
π
2
3π
2
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 33
Função cosseno – y = cos x (um período)
y y
cos x
x
–1
1
x
x2 π
2 π
ππ
O
Ox
M
OM = 1
π
2
π
2
3π
2
3π
2
Fonte: Elaborada pela autora.
A construção do gráfico de uma função trigonométrica, além 
de auxiliar a visualização da própria função, possibilita retirarmos 
outras informações relacionadas. Também a visualização gráfica 
das funções é uma importante forma de apresentar os resultados 
obtidos.
62 Cálculo para funções de uma variável
Figura 34
Gráfico das funções seno e cosseno
Fo
ua
d 
A.
 S
aa
d/
Sh
ut
te
rs
to
ck
–2π
–360º
2π
360º
x
sin(x)cos(x)
y
1
–1
.5
.5
0
–3π/2
–270º
3π/2
270º
–π/2
–90º
π/2
90º
π
180º
–π
–180º
0
Observando a Figura 34, percebemos uma grande semelhança en-
tre as duas curvas. Na realidade, elas são idênticas. O gráfico da função 
cosseno é apenas o resultado de uma translação de π
2
 para a esquerda 
no gráfico da função seno.
A função tangente é definida por tanx= sinx
cosx
�para�x
2
+k� � � . Va-
mos mostrar que tan x pode ser vista como a medida algébrica de um 
segmento. Consideremos uma reta orientada tangente em A a s’, como 
na figura a seguir, sendo AB um arco de medida x, m AB x� � � . A reta 
r que contém O e B determina B’ em s’ e T no novo eixo. Assim, temos 
que tan x m AT� � � , ou seja, tan x é a medida algébrica do segmento AT.
B está no primeiro ou terceiro quadrante.
Figura 35
Função tangente com B no primeiro ou terceiro quadrante
y
r –1
1
B
T
D
D’
B’
C’
CO A
x
m (AB) = x
m (AT) = tan (x)
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções de uma variável real 63
Os triângulos OCB, ODB, OC’B’ e OD’B’ são congruentes e semelhan-
tes ao triângulo OAT. Portanto:
tan sin
cos
x x�
x
OD
OC
CB
OC
AT
OA
AT m AT� � � � � � � �1
E:
tan
sin
cos
´
´
´ ´
´
x
x �
x
OD
OC
C B
OC
AT
OA
AT m AT�� � � �� �
�� � �
�
�
� � � � � �� �� 1
B está no segundo ou quarto quadrante.
Figura 36
Função tangente com B no segundo ou quarto quadrante
1
–1
D
B
C
T
O
C’
D B’
A
x
r
y
m (AB) = x
Fonte: Elaborada pela autora.
As relações de semelhança entre os triângulos são análogas. Obte-
remos, nesse caso:
tan tanx x AT m AT� �� � � � � � ��
Observe que, em qualquer caso, tan x = tan (x + π), mostrando que a 
tangente é uma função periódica com período π. Para valores próximos 
e menores que π
2
, a tangente se torna maior que qualquer número 
positivo dado, e para valores próximos e maiores que π
2
, a tangente se 
torna menor que qualquer número negativo dado. Podemos esboçar 
o gráfico da função tangente no intervalo [0,π] e repeti-lo em todos os 
intervalos da forma [kπ, (k + 1) π].
64 Cálculo para funções de uma variável
Figura 37
Gráfico da função tangente y = tan x
Fonte: Bruginski, 2020c. 
Em muitos casos é conveniente introduzir funções trigonométricas 
auxiliares, como as recíprocas 1 1 1
sin
,
cos tanx x x
e� �, que aparecem nos 
cálculos com bastante frequência.
Temos as seguintes definições:
Secante de x
sec �
cos
x
x
=
1
Se cos x ≠ 0
Cossecante de x
csc �
sin
x
x
=
1
Se sin x ≠ 0
Cotangente de x
cot �cos
sin
x x
x
=
Se sin x ≠ 0
Os gráficos são obtidos conforme segue:
Além de visualizar os gráficos, no 
site do GeoGebra é possível ma-
nipular o círculo trigonométrico 
e, consequentemente, a função. 
Você pode consultar os links dos 
gráficos das Figuras 37, 38, 39 e 
40 na lista de referências e fazer 
esse experimento!
Saiba mais
Figura 38
Gráfico da função secante
Fonte: Bruginski, 2020b.

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