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AULA 1

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05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930392&ativid… 1/36
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Nesta primeira aula, daremos os primeiros passos ao estudo das integrais. Será apresentada
uma forma geométrica de tratar as integrais e alguns métodos úteis para obter os cálculos das integrais.
Dentro das engenharias, as integrais são uma das ferramentas matemáticas fundamentais. Essa ferramenta, a
integral, tem relação com as áreas sobre curvas, e essas áreas servirão de base para diversas aplicações,
como o cálculo de cargas, a mensuração de volumes, a determinação de áreas curvilíneas, momentos de
inércia, o estudo das deformações, os centros de gravidade, entre outras.
A integral será uma das principais ferramentas para os estudos teóricos da engenharia. Veremos algumas
aplicações interessantes e que lhe ajudarão na compreensão da importância do estudo das integrais. Então,
vamos nos dedicar a esses estudos! Vamos começar agora? E não se esqueça, você será acompanhado em
todo o processo.
Bons estudos!
Aula 1
A INTEGRAL DE RIEMANN
Olá, estudante! Nesta primeira aula, daremos os primeiros passos ao estudo das integrais. Será
apresentada uma forma geométrica de tratar as integrais e alguns métodos úteis para obter os cálculos
das integrais.
33 minutos
INTRODUÇÃO ÀS INTEGRAIS E SUAS APLICAÇÕES
 Aula 1 - A integral de Riemann
 Aula 2 - As integrais imediatas
 Aula 3 - Cálculo de áreas sobre e entre curvas
 Aula 4 - Problemas de valores iniciais imediatos
 Referências
128 minutos
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930392&ativid… 2/36
O QUE RIEMANN PENSOU SOBRE INTEGRAIS E O TEOREMA FUNDAMENTAL
As integrais estão diretamente relacionadas com as derivadas e com o cálculo de áreas sob as curvas.
Primeiramente, já pensou em como calcular a área abaixo de uma curva? Se essa curva for reta, é fácil, pois
basta relacionar com triângulos ou retângulos e fazer as relações adequadas, conforme exempli�cado na
Figura 1.
Figura 1 | Exemplos de �guras com lados que são curvas retas
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
Entretanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos (como na Figura 2). As
tradicionais fórmulas de áreas não são úteis para determinar áreas em casos de �guras curvilíneas, sendo
assim, são necessárias ferramentas mais elaboradas.
Figura 2 | Região delimitada pela função contínua f(x), pelas retas verticais x=a e x=b e pelo eixo x
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
Para calcular a área S abaixo da curva y=f(x) entre a e b, utilizaremos as integrais; a área S acima apresentada
pode ser calculada pela integral:
S = ∫ ba f (x)dx
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930392&ativid… 3/36
Essa integral é lida como: a área S é igual à integral de�nida de f(x) de a e b. Onde:  é o sinal de integração,
f(x) é a função que será integrada (o integrando), a e b são os limites de integração inferior e superior e dx é o
símbolo do diferencial que indica qual variável da função será integrada.
Para resolver o cálculo da integral, existem algumas técnicas. Um desses métodos é o Método de Riemann.
Uma soma de Riemann é uma aproximação da área abaixo de uma curva, dividindo-a em múltiplos
retângulos. Riemann pensou que poderia obter a área S dividindo-a em n retângulos, em que cada retângulo
terá comprimento com tamanho , sendo que cada um teria uma altura f(x ), cada área seria a
multiplicação entre o comprimento e a altura, então , e, por �m, a área S seria, aproximadamente, a
soma das áreas desses retângulos (veja a Figura 3).
Figura 3 | Representação do Método de Riemann dividindo a área em retângulos
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 346).
Dessa forma, teríamos que:
Contudo, estudante, essa soma é uma aproximação. Para obter um valor preciso, seriam necessários muitos
retângulos e, assim, se tornaria muito complicado obter o cálculo da integral. Felizmente, há um teorema que
facilita o processo, o qual é tão importante que é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo. Esse
teorema diz que, se f(x) é uma função contínua (sem quebras) de a b, então,
, onde F é qualquer primitiva de f(x), isto é, uma função tal que F'=f. A
primitiva seria a função que, após ser derivada, originará f(x). Note que esse teorema permite encontrar a
área da região  de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número
enorme de retângulos pelo Método de Riemann, mas apenas utilizando a primitiva da função envolvida. Em
adicional, podemos notar que o Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a relação entre as derivadas
(cálculo diferencial) e as integrais (cálculo integral), sendo que ambas surgiram de diferentes motivações. As
derivadas surgiram a partir do problema de se encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto
as integrais surgiram a partir do problema de se encontrar a área sob uma curva. Pode até não parecer, mas
esses dois problemas possuem uma relação e estão intimamente relacionados, sendo que o processo de
∫
Δ x = b− an i
f (x i)Δ x
S = ∫ ba f (x)dx ≈ ∑
n
i= 1 f (x i)Δ x
S = ∫ ba f (x)dx = F ( b) − F ( a)
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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diferenciação e integração são processos inversos. Visto que a integral de uma função f(x) será 
, isto é, ao integrar a função f(x), obtemos a primitiva F(x). Lembrando que, ao derivar a
primitiva F(x), temos como resultado a função f(x). Por falar nisso, estudante, chamamos de integral de�nida
se há os intervalos de integração a e b, e chamamos de integral inde�nida quando não há esses intervalos.
Como curiosidade, vale saber que o sinal de integração, que é um “s espichado”, é referente ao “s” de soma,
no caso, fazendo uma referência à soma de Riemann.
COMPREENDENDO RIEMANN E A INTEGRAÇÃO
Sabemos que Riemann calculava as integrais de�nidas utilizando somas de retângulos. Veja, na Figura 4, a
aproximação para n=2, 4, 8, 12 retângulos, sendo que, conforme a quantidade de retângulos aumenta, mais
precisão é obtida. Note, ainda, que, conforme aumentamos a quantidade de retângulos, os comprimentos dos
retângulos  �cam cada vez menores.
Figura 4 | Aproximação da área pelo Método de Riemann com retângulos
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 346).
Dessa forma, intuitivamente, se for possível fazer in�nitos retângulos, a área da integral será exata. Para
realizar essa construção, podemos recorrer à ferramenta dos limites, e assim teremos exatamente que
.
Pode �car tranquilo, não resolveremos diretamente esse limite. O cálculo desse limite costuma ser complexo.
Normalmente, escolhemos um valor su�ciente de n e calculamos a soma de Riemann. A soma de Riemann,
apesar de não ser precisa, pode ser utilizada em diversos contextos, inclusive, nas engenharias, há situações
que devemos recorrer à essa soma, em especial, quando conhecemos os valores de x e de f(x ), mas não
conhecemos exatamente a função f que forma os valores de f(x ).
Felizmente, o Teorema Fundamental do Cálculo resolve com exatidão os cálculos de integrais de�nidas em um
intervalo de a e b. Contudo, antes, é preciso compreender melhor a integração de uma função, que é a
operação inversa da diferenciação. Isto é, se eu derivar uma função e, depois, realizar a integração dela,
voltaremos à funçãooriginal, aquela antes da derivação, chamada de primitiva. Considere a função F(x)=2x .
Ao derivar essa função, obteremos F'(x)=f(x)=6x , então, se aplicarmos a integração, teremos que obter
F(x)=2x . Dessa forma, teríamos em notação matemática:
.
∫ f (x)dx = F (x)
Δ x = (b − a)/ n
S = ∫ ba f (x)dx = limn→∞ ∑
n
i= 1 f (x i)Δ x
i i
i
3
2
3
∫ f (x)dx = F (x) ⇒ ∫ 6x2dx = 2x3
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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Esse foi o processo de integração da função f(x)=6x . Agora, veja a função F(x)=2x -1. Sua derivada também é
f(x)=6x , contudo, se aplicarmos a ideia de integração acima, obteremos como primitiva F(x)=2x , e não
F(x)=2x +1. Isso está errado? Não! Pois, de forma geral, a integral de uma função será dada por
, lido como a integral de f(x) em relação a x é igual a F(x) mais uma constante. Sendo
que, K é uma constante real qualquer e, ao derivar a primitiva F(x)+K, obtemos f(x). A constante é adicionada
ao resultado, pois qualquer constante na função primitiva, ao derivar, será 0, e assim ela não aparece em f(x),
mas é sempre necessário adicioná-la quando estamos calculando a integral inde�nida de função. Portanto, a
notação correta para a integral de f(x)=6x é 
.
Para determinar a constante K, precisamos de informações adicionais sobre a função primitiva, pois esse K
pode ser qualquer constante real. Lembrando que a constante K só aparece na integral inde�nida (aquela que
não tem os limites de integração), enquanto na integral de�nida podemos omitir a constante K.
Agora que conhecemos o processo de integração, voltaremos ao Teorema Fundamental do Cálculo, escrito
por , onde F é qualquer primitiva de f(x). Podemos escrever o Teorema
Fundamental do Cálculo utilizando a notação , e assim teríamos
.
Comumente, ainda podemos encontrar as notações  e . Assim, a integral da função f(x)=6x de
1 até 2 será dada por:
.
Foi feito o processo de integração da função f(x)=6x (veja que, aqui, não é necessária a constante K), então,
agora, é necessário substituir em b=1 e em a=1 e fazer a subtração, obtendo:
.
Portanto, a integral da função f(x)=6x de 1 até 2 é 14.
É importante fazer uma distinção cuidadosa entre integral de�nida e inde�nida. Uma integral de�nida
 é um número, enquanto uma integral inde�nida  é uma função (ou uma família de
funções, por causa da constante K). Veja que apresentamos uma exempli�cação apenas para compreender e
interpretar melhor os conceitos relativos à integração e o Teorema Fundamental do Cálculo, mas outras
exempli�cações serão feitas nas aplicações.
APLICANDO O MÉTODO DE RIEMANN E O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Consideraremos a função  e determinaremos sua integral de 1 a 3, isto é, 
.
Assim, pela ideia de integral, estamos procurando a área  representada na Figura 5.
2 3
2 3
3
∫ f (x)dx = F (x) + K
2 ∫ f (x)dx = F (x) + K ⇒
∫ 6x2dx = 2x3 + K
∫ ba f (x)dx = F ( b) − F ( a)
[F (x)]ba = F ( b) − F ( a)
∫ ba f (x)dx = [F (x)]
b
a
F (x)| ba F (x)]
b
a
2
∫ 21 6x
2dx = [2x3] 21
2
∫ 21 6x
2dx = [2x3] 21 = 2(2)
3 − 2(1)3 =
2 ⋅ 8 − 2 ⋅ 1 = 16 − 2 = 14
2
∫ ba f (x)dx ∫ f (x)dx
f (x) = − 3x2 + 12x − 8
∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx
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Figura 5 | Representação geométrica da integral da função f(x)=-3x +12x-8 de 1 a 3
Fonte: elaborada pelo autor.
Para começar esse cálculo, utilizaremos o Método de Riemann com n=4 retângulos, então, o comprimento de
cada retângulo será  .
Dessa forma, o primeiro retângulo terá base que começa em 1 e vai até 1,5; o segundo retângulo terá base de
1,5 até 2; o retângulo seguinte terá base de 2 até 2,5; por �m, o quarto retângulo começará em 2,5 indo até
3,0. Agora, vale destacar que os retângulos podem ser construídos com alturas à esquerda, à direita e
centradas. Veja, na Figura 6, a diferença geométrica entre elas.
Figura 6 | Representação geométrica de cada construção de retângulos do Método de Riemann
Fonte: elaborada pelo autor.
2
Δ x = 3− 14 = 0,5
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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Na soma à esquerda, a altura dos retângulos pega os valores da base começando pela esquerda (
); na soma à direita, as alturas f(x) são construídas pegando os valores mais à direita de
cada base ( ); na soma centrada, os valores serão os meios de cada base (
). Calcularemos a integral para cada uma dessas:
• Soma à esquerda, teremos que a integral será aproximadamente:
a
Portanto, . Veja que f(1), f(1,5), f(2) e f(2,5) serão os valores de x=1, x=1,5,
x=2 e x=2,5 aplicados na função . Por exemplo, 
• Soma à direita, teremos que a integral será aproximadamente:
.
.
a
Portanto, . O resultado igual à soma à esquerda é apenas uma coincidência
da função, pois ela é simétrica; em geral, o resultado é diferente.
• Soma centrada, teremos que a integral será aproximadamente:
x = 1; 1,5; 2 e 2,5
x = 1,5; 2; 2,5 e 3
x = 1,25; 1,75; 2,25 e 2,75
S = ∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx
≈ ∑ 4i= 1 f (x i)Δ x
S = ∑ 4i= 1 f (x i)Δ x =
f (1) ⋅ 0,5 + f (1,5) ⋅ 0,5+
f (2) ⋅ 0,5 + f (2,5) ⋅ 0,5
S = 1 ⋅ 0,5 + 3,25 ⋅ 0,5+
4 ⋅ 0,5 + 3,25 ⋅ 0,5 = 5,75
∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx ≈ 5,75
− 3x2 + 12x − 8 f ( 1,5) = − 3(1,5)2 + 12( 1,5) − 8 =
− 6,75 + 18 − 8 = 3,25
S = ∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx
≈ ∑ 4i= 1 f (x i)Δ x
S = ∑ 4i= 1 f (x i)Δ x =
f (1,5) ⋅ 0,5 + f (2) ⋅ 0,5+
f (2,5) ⋅ 0,5 + f (3) ⋅ 0,5
S = 3,25 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 0,5+
3,25 ⋅ 0,5 + 1 ⋅ 0,5 = 5,75
∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx ≈ 5,75
S = ∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx
≈ ∑ 4i= 1 f (x i)Δ x.
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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a
Portanto, . Em geral, o valor da soma centrada é mais precisa que à
esquerda e à direta. Em seguida, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor
exato da integral.
Utilizaremos o teorema para resolver a integral, mas, para aplicar o teorema, devemos conhecer a primitiva
da função -3x +12x-8, para isso, pensaremos por partes. Primeiramente, qual a função que, ao derivar,
obtemos -3x ? É a função -x . Então, a primitiva de f(x)=-3x é F(x)=-x . De forma geral, temos que
.
A constante K sempre aparece na integração inde�nida, mas, na hora de aplicar no Teorema Fundamental do
Cálculo, podemos omiti-la. Para as funções f(x)=12x e f(x)=8, suas respectivas primitivas serão F(x)=6x e
F(x)=8x. De fato, ao derivar 
F(x)=6x  e F(x)=8x, obtemos as funções f(x)=12x e f(x)=8, assim,  e .
Logo, teremos que a integral da função -3x +12x-8 será:  .
Agora que calculamos a integral e encontramos a primitiva da função -3x +12x-8, podemos aplicar o Teorema
Fundamental do Cálculo. Veja:
.
Caro estudante, depois de encontrar a primitiva ao aplicar o teorema, é necessário substituir toda a função
integrada no limite de integração superior (no caso, x=3) e, depois, subtrair substituindo toda a função
integrada pelo limite de integração inferior (no caso, x=1). Dessa forma, o valor exato da integral é 6, logo a
área S tem medida de seis unidades quadradas. Se compararmos o resultado do teorema fundamental do
cálculo com os métodos de Riemann resolvidos, veremos que o resultado da integral pela soma centralizada é
mais preciso. Para efeito de comparação, a seguir, apresentamos o grá�co da integral pela soma centralizada
com n=8 e n=20 retângulos.
S = ∑ 4i= 1 f (xi)Δ x =
f (1,25) ⋅ 0,5 + f (1,75) ⋅ 0,5+
f (2,25) ⋅ 0,5 + f (2,75) ⋅ 0,5
S = 2,31 ⋅ 0,5 + 3,81 ⋅ 0,5+
3,81 ⋅ 0,5 + 2,31 ⋅ 0,5 = 6,12.
∫ 31 (− 3x
2 + 12x − 8) dx ≈ 6,12
2
2 3 2 3
∫ − 3x2dx = − x3 + K
2
2 ∫ 12xdx = 6x2 + K ∫ 8 dx = 8x + K
2 ∫ − 3x2 + 12x − 8 dx = − x3 + 6x2 − 8x + K
2
∫ 31 − 3x
2 + 12x − 8 dx =
[− x3 + 6x2 − 8x] 3‵1 =
[(− 33 + 6 ⋅ 32 − 8 ⋅ 3)
− (− 13 + 6 ⋅ 12 − 8 ⋅ 1) ] =
[(− 27 + 54 − 24) − (− 1 + 6 − 8)]
= [(3) − (− 3)] = 3 + 3 = 6
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Figura 7 | Representação geométrica dos retângulos da soma de Riemann para n=8 e n=20
Fonte: elaborada pelo autor.
É possível ver que realmente a soma de Riemann se aproxima da verdadeira integral, e com apenas oito
retângulos já temos uma boa aproximação.
VÍDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá a base introdutória sobre integrais. Começaremos com a ideia do cálculo das integrais
pelo método da soma de Riemann, que divide a área sobre uma curva em retângulos e, depois, soma essas
áreas. Na sequência, apresentaremos a integral como uma operação inversa a derivada. Por �m, caro aluno,
será revelado a você uma das bases de todo o cálculo diferencial e integral, o Teorema Fundamental do
Cálculo.
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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 Saiba mais
Estudante, pode ser um bom momento ler (ou reler) Uma apresentação do Cálculo no livro de Stewart,
Clegg e Watson (2021, p. xxix), no qual se discutem ideias uni�cadoras do cálculo, em especial, sobre
áreas.  Nesse mesmo livro, vale fazer uma leitura complementar a seus estudos com a Seção 5.1, na qual
se faz uma discussão completa sobre o Método de Riemann.
Em adicional, um texto interessante para compreender uma breve aplicação inicial de integrais na
engenharia é Prado, Prado e Oliveira. Nele, os autores apresentam uma proposta de trabalho, na qual os
discentes pesquisam e veri�cam a aplicação prática das ferramentas do cálculo integral empregadas com
elementos do cotidiano deles.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Anteriormente, �zemos uma introdução às integrais, apresentando o conceito de integral
como área de uma região plana abaixo de uma curva, o Método de Riemann e o Teorema Fundamental do
Cálculo. Agora, mostraremos a você algumas integrais imediatas, isto é, compreenderemos algumas regras
que ajudarão no processo de integração e na aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.
Essas regras serão úteis para resolver problemas futuros, permitindo que, por meio delas, se obtenha o
resultado de integrais mais facilmente. Desse momento para frente, serão essas as regras que serão aplicadas
na resolução de uma grande variedade de integrais e de problemas envolvendo as integrais. É um momento
fundamental no seu estudo das integrais, então dedique-se! Lembrando que você será acompanhado durante
todo o processo.
Bons estudos!
IDENTIFICANDO ALGUNS TIPOS DE INTEGRAIS
Aula 2
AS INTEGRAIS IMEDIATAS
Olá, estudante! Anteriormente, �zemos uma introdução às integrais, apresentando o conceito de integral
como área de uma região plana abaixo de uma curva, o Método de Riemann e o Teorema Fundamental
do Cálculo.
30 minutos
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/30
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/377
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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Na aula anterior, conceituamos as integrais, logo, nesse momento, conceituaremos alguns tipos de funções
que comumente são encontrados nos estudos de integrais. São as funções polinomiais, trigonométricas,
exponenciais e logarítmicas, nas quais, ao aplicarmos a integração nelas, as integrais recebem,
respectivamente, os nomes de: polinomiais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
Funções polinomiais e integrais polinomiais
As funções polinomiais são aquelas de�nidas por expressões polinomiais. Um polinômio é uma expressão que
possui coe�cientes (os números) e variáveis (as letras), em que há apenas as operações de adição, subtração,
multiplicação e potências de números inteiros positivos de variáveis. Veja, a seguir, algumas funções
polinomiais:
.
Note que em nenhuma dessas funções apareceu termos em que a variável está no denominador, variáveis
dentro de raízes, variáveis com expoentes negativos ou fracionários, como em , ,  ou . Nessas
situações, não temos funções polinomiais.
As integrais de funções polinomiais são conhecidas como integrais polinomiais. Considerando as funções
polinomiais vistas anteriormente, teremos:
.
Funções trigonométricas e integrais trigonométricas
As funções trigonométricas são aquelas de�nidas por relações trigonométricas. As principais funções
trigonométricas são a função seno f(x)=sin(x), a função cosseno f(x)=cos(x) e a função tangente f(x)=tan(x). As
funções trigonométricas são funções angulares circulares, isto é, os valores de x são ângulos, que podem ser
medidos em graus ou radianos. Contudo, em cálculo, usaremos somente valores em x medidos em radianos.
O radiano é uma unidade natural em uma circunferência, pois ele mensura o comprimento do arco, enquanto
os graus medem a abertura do arco.
As integrais de funções trigonométricas são chamadas de integrais trigonométricas. Veja algumas:
.
Funções exponenciais e integrais exponenciais
Uma função exponencial é aquela na qual a variável está no expoente e a base é sempre um número maior
que zero e diferente de um. Em especial, há o caso em que a base é o número e, conhecido como número de
Euler, número de Napier ou número exponencial, possuindo valor aproximado de 2,7183. Assim, algumas
funções exponencias são:
.
f (x) = 2x8 − 3x5 + 2x − 1; f (x) = 23 x
4 + 9x3 − 12 ; g(x) = 0,14x
2 + 1,8x − 2,6f ( t) = 2t 9 + 4;
g(a) = 8a 2 e h( z) = − 6z3 − z4 + z10
1
x
3√ z x− 3 x2/ 3
∫ ( 2x8 − 3x5 + 2x − 1) dx;∫ ( 23 x
4 + 9x3 − 12 ) dx;∫ ( 0,14x
2 + 1,8x − 2,6)dx;∫ ( 2t 9 + 4) dt;
∫ 8a 2 da e∫ (− 6z3 − z4 + z10) dz
∫ sin(x)dx;∫ 2 cos(x)dx;∫ ( 23 sin(x) + 2)dx e∫ (3 tan(x) − 4 sin(x))dx
f (x) = 2x ;f (x) = 3x + 1;g( t) = et eh(x) = 2ex − 5
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As integrais de funções exponenciais são chamadas de integrais exponencias. Considerando os exemplos de
funções exponenciais apresentados, teremos:
.
Funções logarítmicas e integrais logarítmicas
As funções logarítmicas são funções do tipo , em que a é a base do logaritmo da função, tal que
 e . Há diversas aplicações para o logaritmo, entretanto, comumente, é usado para encontrar o
valor do expoente de uma base qualquer. Em outras palavras, as funções logarítmicas são inversas das
funções exponencias. Entre os logaritmos, utilizaremos, em cálculo, especialmente, o logaritmo natural. O
logaritmo natural tem base e, tal que , onde é normalmente denotado por . Dessa
forma, algumas funções logarítmicas são:
.
Sendo que as integrais de funções logarítmicas recebem o nome de integrais logarítmicas. Considerando as
funções logarítmicas apresentadas, teremos:
.
Para resolver essas integrais, podemos utilizar a ideia de inversa da derivada, contudo isso pode �car muito
complicado. Para facilitar esse processo de resolução dessas integrais, veremos, na sequência,procedimentos
que nos auxiliarão na integração.
ALGUMAS REGRAS DE INTEGRAÇÃO
Agora que foram vistas algumas funções e as integrais delas, precisamos aprender como resolver essas
integrais. Para isso, temos certas regras, as quais veremos e explicaremos detalhadamente. Começaremos
com as regras para a integração de polinômios.
• Integrais polinomiais: para integrar os polinômios, precisamos considerar que os polinômios são formados
por constantes (como 2, 4, -1, 5/2, ...) e por potências de x (como x, x , 4x , -2x , ...). Assim, precisamos
conhecer as regras de integração especí�cas para integrar cada item de um polinômio.
Primeiramente, consideraremos o caso das constantes. Se  é uma constante real qualquer, teremos que:
.
Isso quer dizer que, quando a constante está isolada, a integral dela é a constante c multiplicada pela variável
que está sendo integrada em , ou outra variável (a, t, y...).
Agora, veremos a regra da integral para as potências de . Se  é qualquer constante real, tal que ,
teremos que: .
Nesse caso, vemos que, para resolver a integral de x , aumentamos em 1 o expoente, e aí o novo valor que
aparece no expoente também aparecerá como denominador. Veja que essa regra vem do próprio conceito de
antiderivada, pois a derivada de  é .
∫ 2x dx;∫ (3x + 1)dx;∫ et dt e∫ (2ex − 5)dx
f (x) = loga x
a > 0 a ≠ 1
f (x) = loge x f (x) = ln x
f (t) = 2 log2 t;f (x) = 4 log x;g(x) = 3 ln x eh(x) = 2 − ln x
∫ 2 log2 t dt;∫ 4 log x dx;∫ 3 ln x dx e∫ (2 − ln x)dx
3 2 5
∫ c dx = cx + K
n ≠ − 1
∫ xn dx = xn+ 1n+ 1 + K
n
xn+ 1
n+ 1 + K
(n+ 1)xn+ 1
n+ 1 + 0 = x
n+ 1
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Se houver uma constante c multiplicando x , temos que:
.
Veja que a constante continua multiplicando, isto é, a constante continua sem alterar no resultado, ela
aparece apenas como uma multiplicação.
Por �m, é importante dizer que essas regras podem ser combinadas. Para compreender melhor, veremos os
resultados de algumas integrais:
.
• Integrais trigonométricas: considerando as duas funções trigonométricas básicas (seno e cosseno), temos
que suas integrais imediatas são dadas por:
.
Veja como essas integrais são fáceis. Agora, podemos resolver algumas integrais trigonométricas:
.
• Integrais exponenciais: escrevendo uma função exponencial como f(x)=a , onde  é um número maior que
zero e diferente de um. Para integrais exponenciais, temos que a regra de resolução imediata é dada por
.
Note que repetimos a função exponencial, entretanto aparece o  no denominador. Em especial, a integral da
função f(x)=e , teremos:
.
É interessante observar que a integral de f(x)=e  é ela própria.
Considerando essas regras para integrais exponencias, veja algumas dessas integrais resolvidas:
.
• Integrais logarítmicas: essas integrais são um pouco mais complicadas que as anteriores, dessa forma,
vamos nos restringir aos logaritmos naturais, isto é, f(x)=Inx. Assim, temos que:
.
É uma integral um pouco estranha, mas é assim mesmo. A técnica especí�ca para a resolução dela será vista
mais adiante (exatamente, na Aula 6). Vale destacar que, talvez, tão importante quanto a integral logarítmica é
a integral que tem como resultado F(x)=Inx, a qual é  .
O módulo no In|x| garante que não haverá valores negativos para ser calculado no logaritmo, evitando erro
matemático. Veja algumas integrais resolvidas:
n
∫ cxn dx = cxn+ 1n+ 1 + K
∫ ( 2 + x2) dx = 2x + x2+ 12+ 1 + K = 2x +
x3
3 + K ;
3x6
6 −
2x2
2 +
3
5 x + K =
x6
2 − x
2 + 35 x + K
∫ (3x5 − 2x + 35 )dx =
3x5+ 1
5+ 1 −
2x1+ 1
1+ 1 +
3
5 x + K = ∫ (
2y2
3 − y + 3) dy =
2y2+ 1
3(2+ 1) −
y1+ 1
1+ 1 + 3y + K =
2y3
9 −
y2
2 + 3y + K
∫ sin(x)dx = − cos(x) + K ∫ cos(x)dx = sin(x) + K
∫ 2 cos(x)dx = 2 sin(x) + K ,∫ ( 12 −
sin(x)
3 ) dx =
1
2 x −
(− sin(x))
3 + K =
1
2 x +
sin(x)
3 + K
∫ (3 sin(t) − cos(t))dt = − 3 cos( t) − sin( t) + K ,
x
∫ a xdx = a xln a + K
x
∫ exdx = exln e + K =
ex
1 + K = e
x + K
x
∫ (2x − 1)dx = 2xln 2 − x + K ,∫ (3
x + ex )dx = 3xln 3 + e
x + K ,
∫ (3 − 2ex + 4ex )dx = 3x − 2ex + 4ex + K
∫ ln x dx = x ln x − x + K
Q = { pq ; p, q ∈ Z, q ≠ 0}
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.
Estudante, notou as regras? Faça uma revisão delas e experimente compreender cada uma das integrais
apresentadas. Agora, �que ciente de que todas essas regras podem ser combinadas para funções com vários
tipos juntos. Veja os exemplos na próxima etapa da aula.
APLICANDO ALGUMAS REGRAS DE INTEGRAÇÃO
Nessa parte da aula, resolveremos diversos exemplos de integrais pelas regras
vistas anteriormente, junto à aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Para relembrar o teorema, veja:
.
Não se esqueça de que F(x) é uma antiderivada de f(x). É no momento de encontrar essa antiderivada
(também chamada de integral inde�nida) que aplicaremos as regras vistas nessa aula. Essas regras não são as
únicas, existem diversas outras, mas com elas podemos resolver várias situações, pelo menos as situações
mais comuns, nas quais as integrais podem ser aplicadas. Então, começaremos a resolver e analisar os
exemplos.
1. Resolver a integral .
Nessa resolução, primeiro, encontramos a antiderivada da função, lembrando que não precisamos da
constante K; após, fazemos a substituição dos intervalos de integração, sendo primeiro o de cima e, depois, o
debaixo; em seguida, resolveremos as “continhas”.
2. Resolver a integral .
Novamente, nesse exemplo, encontramos a antiderivada da função. Após isso, simpli�camos as expressões,
aplicamos o teorema fundamental do cálculo e damos sequência à resolução numérica da expressão.
3. Resolver a integral .
∫ 2x dx = 2 ln |x| + K ,∫
3
2x −
5
x dx =
3
2 ln |x| + 5 ln |x| + K ,∫ 5 −
3
x dx = 5x − 3 ln |x| + K
Q = { pq ; p, q ∈ Z, q ≠ 0}
∫ 5 − 3x dx = 5x − 3 ln |x| + K
∫ 31 (2x
3 − 3x + 1) dx
∫ 31 (2x
3 − 3x + 1) dx = [ 2x3+ 13+ 1 −
3x1+ 1
1+ 1 + 1x]
3
1
= [ 2x44 −
3x2
2 + x]
3
1
= [ x42 −
3x2
2 + x]
3
1
= [ ( 342 −
3× 32
2 + 3) − (
14
2 −
3× 12
2 + 1) ]
= [( 812 −
27
2 + 3) − (
1
2 −
3
2 + 1) ]
= [( 812 −
27
2 + 3) − (
1
2 −
3
2 + 1) ]
= [(30) − (0)]
= 30
∫ 2− 1 ( 10 −
2x2
3 ) dx
∫ 2− 1 ( 10 −
2x2
3 ) dx = [ 10x −
2x2+ 1
3(2+ 1) ]
2
− 1
= [ 10x − 2x
3
9 ]
2
− 1
= [ ( 10 × 2 − 2× 239 ) − ( 10( − 1) −
2(− 1)3
9 ) ]
= [(20 − 169 ) − (− 10 +
2
9 ) ]
= [( 1649 ) − (−
88
9 ) ]
= [ 1649 +
88
9 ]
= 28
∫ π/ 20 (2 sin θ − 3 cos θ)dθ
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Esse é o primeiro exemplo de integral trigonométrica, então vale destacar que, para resolução de funções
trigonométricas, é fundamental que sejam utilizadas as medidas em radianos, logo precisamos con�gurar a
calculadora para trabalhar dessa forma. Se estiver usando um site ou um aplicativo, normalmente, ele já
trabalhará com o resultado em radianos. Fique atento a isso!
4. Resolver a integral .
Novamente, para encontrar os resultados, utilizamos os radianos. É muito importante estar atento a esse
detalhe.
Fique atento, pois os resultados das integrais podem ser representados de diversas formas, inclusive, em
formas decimais aproximadas. Para diversas situações, os resultados �cam complicados de serem
simpli�cados ou �cam matematicamente “feios”, assim, comumente, utilizamos as respostas em decimais.
Mas, a apresentação do resultado depende do contexto e da situação, então preste atenção nisso também!
Agora, começaremos a trabalhar com integraiscom funções exponenciais e funções logarítmicas. Nos
exemplos de integrais exponencias e logarítmicas, exploraremos casos com f(x)=e e f(x)=Inx, pois eles são os
mais comuns encontrados, considerando as funções exponenciais e logarítmicas. Vejamos, então:
5. Resolver a integral .
Não se esqueça de que a integral de e é a própria função. Repetimos o e e o número que o está
multiplicando também continua.
6. Resolver a integral .
∫ π/ 20 (2 sin θ − 3 cos θ)dθ = [− 2 cos θ − 3 sin θ]
π/ 2
0
= [(− 2 cos ( π2 ) − 3 sin (
π
2 ) ) − (− 2 cos (0) − 3 sin (0))]
= [(− 2 × 0 − 3 × 1) − (− 2 × 1 − 3 × 0)]
= [(− 3) − (− 2)]
= [− 3 + 2]
= − 1
∫ π− π (x
2 + sin x)dx
∫ π− π (4x
2 + sin x)dx = [ 4x
2+ 1
2+ 1 + (− cos x)]
π
− π
= [ 4x
3
3 − cos x]
π
− π
= [ ( 4π
3
3 − cos π) − (
4(− π)3
3 − cos( − π) ) ]
= [ ( 4π
3
3 − ( − 1) ) − ( −
4π3
3 − ( − 1) ) ]
= [ ( 4π
3
3 + 1) − ( −
4π3
3 + 1) ]
= [ 4π
3
3 + 1 +
4π3
3 − 1]
= 8π33 ≈ 82,6834
x
∫ 0− 2 (2e
x − 1)dx
∫ 0− 2 (2e
x − 1)dx = [2ex − x]0− 2
= [(2e0 − 0) − (2e− 2 − (− 2) ) ]
= [(2 × 1) − (2e− 2 + 2) ]
= [2 − 2e− 2 − 2]
= − 2e− 2 ≈ − 0,2707
x x
∫ 21 (4t
3 − 3et )dt
∫ 21 (4t
3 − 3et )dt = [ 4t
3+ 1
3+ 1 − 3e
t ]
2
1
= [ 4t
4
4 − 3e
t ]
2
1
= [t 4 − 3et ] 21
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Apenas para diversi�car, apresentando uma integral com a variável de integração t. A variável não é
exclusivamente o x, podemos ter outras variáveis, as regras aplicadas são as mesmas e esse é um exemplo.
7. Resolver a integral .
Também é importante ver exemplos de integrais que os resultados são logaritmos.
8. Resolver a integral .
Não se esqueça do módulo ao resolver a integral, pois ele garante que o valor dentro do logaritmo seja
positivo.
9. Resolver a integral .
Lembrando, caro estudante, que podemos combinar todas essas regras vistas. Veja um exemplo.
10. Resolver a integral .
= [(24 − 3e2) − (14 − 3e1) ]
= [(16 − 3e2) − (1 − 3e)]
= [16 − 3e2 − 1 + 3e]
= 15 − 3e2 + 3e ≈ 0,9877
∫ 3/ 51/ 2 4 ln x dx
∫ 3/ 51/ 2 4 ln x dx = [4 (x ln x − x)]
3/ 5
1/ 2 = [4x ln x − 4x]
3/ 5
1/ 2
= [(4 × 35 × ln (
3
5 ) − 4 ×
3
5 )−
(4 × 12 × ln (
1
2 ) − 4 ×
1
2 ) ]
= [( 125 ln (
3
5 ) −
12
5 ) − (2 ln (
1
2 ) − 2) ]
= [ 125 ln (
3
5 ) −
12
5 − 2 ln (
1
2 ) + 2]
≈ − 0,2397
∫ 31
3
x dx
∫ 31
3
x dx = [3 ln |x|]
3
1 = [(3 ln |3|) − (3 ln |1|)] = [3 ln 3 − 3 × 0] = 3 ln 3 = 3,2958
∫ 52 (3x −
4
x ) dx
∫ 52 (3x −
4
x ) dx = [
3x1+ 1
1+ 1 − 4 ln x]
5
2
= [ 3x
2
2 − 4 ln x]
5
2
= [ ( 3× 522 − 4 ln 5) − (
3× 22
2 − 4 ln 2) ]
= [( 752 − 4 ln 5) − (
12
2 − 4 ln 2) ]
= [ 752 − 4 ln 5 −
12
2 + 4 ln 2]
= 632 − 4 ln 5 + 4 ln 2 ≈ 27,8348
∫ 1− 1 (2e
x − sin x + 4x2 − 1) dx
∫ 1− 1 (2e
x − sin x + 4x2 − 1) dx
= [ 2ex − (− cos x) + 4x2+ 12+ 1 − 1x]
1
− 1
= [ 2ex + cos x + 4x
3
3 − x]
1
− 1
= [ ( 2e1 + cos 1 + 4× 133 − 1)
− ( 2e− 1 + cos (− 1) + 4(− 1)
3
3 − (− 1)) ]
= [(2e1 + cos 1 + 43 − 1) − (2e
− 1 + cos (− 1) − 43 + 1) ]
= [2e1 + cos 1 + 43 − 1 − 2e
− 1 − cos (− 1) + 43 − 1]
= 2e1 − 2e− 1 + 23 ≈ 5,3675
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Por �m, é importante comentar que a regra vista para integrais polinomiais pode ser utilizada também em
outras situações, como potências de negativos (exceto com expoente igual a -1) e para expoentes fracionários.
Veja os exemplos a seguir:
11. Resolver a integral .
12. Resolver a integral .
E, assim, chegamos ao �m dos exemplos. É importante lê-los, compreendê-los e praticá-los. Novas regras
virão em aulas futuras, e as regras apresentadas aqui serão necessárias. Bons estudos!
VÍDEO RESUMO
Neste vídeo, apresentaremos algumas regras de integração que lhe auxiliarão na resolução de diversas
integrais. Mostramos essas regras básicas e explicações utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Essa
parte da disciplina é muito importante, visto que as regras apresentadas serão utilizadas em outras aulas.
Espero que aproveite o vídeo e bons estudos!
 Saiba mais
∫ 21 (3z
3 − z2/ 3 + 2z− 2) dz
∫ 21 (3z
3 − z2/ 3 + 2z− 2) dz
= [ 3z
3+ 1
3+ 1 −
z2/ 3+ 1
2
3 + 1
+ 2z
− 2+ 1
− 2+ 1 ]
2
1
= [ 3z
4
4 −
z5/ 3
5
3
+ 2z
− 1
− 1 ]
2
1
= [ 3z
4
4 −
3z5/ 3
5 − 2z
− 1]
2
1
[ ( 3× 2
4
4 −
3× 25/ 3
5 − 2 × 2
− 1)
− ( 3× 1
4
4 −
3× 15/ 3
5 − 2 × 1
− 1) ]
= [ ( 484 −
3× 25/ 3
5 − 1) − (
3
4 −
3
5 − 2) ]
= [ 484 −
3× 25/ 3
5 − 1 −
3
4 +
3
5 + 2]
= 25720 −
3× 25/ 3
5 ≈ 10,9451
∫ 42 (1 − 3x
− 4/ 3 + 2x− 4) dx
∫ 42 (1 − 3x
− 4/ 3 + 2x− 4) dx
= [ 1x − 3x
− 7/ 3+ 1
− 73 + 1
+ 2x
− 4+ 1
− 4+ 1 ]
4
2
= [ 1x − 3x
− 4/ 3
− 43
+ 2x
− 3
− 3 ]
4
2
= [ 1x + 3× 3x
− 4/ 3
4 −
2x− 3
3 ]
4
2
= [ x + 9x
− 4/ 3
4 −
2x− 3
3 ]
4
2
= [ ( 4 + 9× 4
− 4/ 3
4 −
2× 4− 3
3 ) − ( 2 +
9× 2− 4/ 3
4 −
2× 2− 3
3 ) ]
= [ ( 4 + 9× 4
− 4/ 3
4 −
1
96 ) − ( 2 +
9× 2− 4/ 3
4 −
1
12 ) ]
= [ 4 + 9× 4
− 4/ 3
4 −
1
96 − 2 −
9× 2− 4/ 3
4 +
1
12 ]
= 19996 +
9× 4− 4/ 3
4 −
9× 2− 4/ 3
4 ≈ 1,5344
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Neste momento, pode ser muito útil para seu conhecimento saber que existem diversas ferramentas que
auxiliam na resolução das integrais e até mesmo apresentam a resolução completa delas. Sendo assim,
indico-lhe um aplicativo gratuito para celular, chamado Photomath. Ele está disponível em diversos
idiomas, inclusive, em português. Nele, é possível digitar as integrais e até mesmo tirar fotos delas, e ele
apresentará a resolução completa. Isso ajuda muito nos estudos. Aconselho testar os exemplos
apresentados nele. Bons estudos!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Chegou o momento de aplicar os conceitos de integrais para calcular a área abaixo de uma
curva ou entre duas curvas. Na primeira aula dessa unidade, compreendemos o conceito da área abaixo da
curva pelo Método de Riemann Apesar de ser um conceito importante, ele deixa de ser e�ciente em diversas
situações. Agora, aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para mensurar o valor de área abaixo e
entre curvas, permitindo obter valores precisos com a aplicação de um esforço muito menor do que o Método
de Riemann.
Sendo a ideia conceitual de área abaixo e entre curvas relevante em diversos contextos e fundamentos da
engenharia, é importante que, nessa aula, você se debruce nos conceitos e nos exemplos. Dedique-se aos
estudos, e não se esqueça de que você será acompanhado em todo esse processo.
Bons estudos!
CONCEITUANDO ÁREA SOBRE E ENTRE CURVAS
Na primeira aula desta unidade, comentamos que facilmente podemos calcular a área de �guras planas já
conhecidas, como triângulos, retângulos, círculos e outras �guras. Entretanto, quando temos �guras planas
que são curvas bem diferentes daquelas que estamos acostumados, pode �car muito complicado o cálculo
dessas áreas. Uma ferramenta muito útil para mensurar essas áreas são as integrais de�nidas, as quais
podem ser usadas para determinar áreas abaixo de curvas e entre curvas. No caso de área abaixo de uma
curva (veja a Figura 1), em que a área é delimitada com uma curva e por retas, temos uma área cujo cálculo é
mais complexo de se realizar por meio de métodos convencionais.  
Aula 3
CÁLCULO DE ÁREAS SOBRE E ENTRE CURVAS
Olá, estudante! Chegou o momento de aplicar os conceitos de integrais para calcular a área abaixo de
uma curva ou entre duas curvas.
32 minutos
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Figura 1 | Região delimitada pela função contínua f(x), pelas retas verticais x=a e x=b e pelo eixox
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
Contudo, as integrais de�nidas são muito úteis para determinar essas áreas, apresentando, inclusive, valores
exatos para essa medida. Por meio da integral, a área S apresentada anteriormente pode ser calculada por:
.
Qualquer área pode ser calculada por meio da integral de�nida, desde que conhecida a função f(x) e seus
limites de integração a e b.
Além dessa situação mais simples com apenas uma curva, podemos nos deparar com situações em que a
área da região plana está entre duas curvas (veja Figura 2). Nessa situação, também podemos utilizar a
integral para determinar a área entre as duas curvas.
Figura 2 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) e pelas retas verticais x=a e x=b
S = ∫ ba f (x)dx
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Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 409).
Pode até parecer complexo o cálculo da área  anterior, contudo, por meio de integrais, esse cálculo se torna
bem simples. Temos, assim, que a área S entre as curvas f(x) e g(x) e delimitada pelas retas x=a e x=b pode ser
calculada por .
Então, �ca muito fácil calcular a área entre as curvas, apenas precisamos conhecer as curvas e seus
delimitantes. Assim, antes de realizar a operação de integral, é necessário subtrair a função de cima, no caso
f(x), da função que está embaixo, a g(x); após isso, podemos realizar a integração.
Para complementar, vale destacar que as áreas abaixo das curvas não têm apenas uma interpretação
geométrica. A interpretação pode mudar de acordo com o contexto. Veja, a seguir, algumas situações em que
a área abaixo da curva (ou entre curvas) tem um signi�cando diferente apenas do geométrico.
• Caso seja conhecida a função de velocidade de um objeto, ao integrar essa função em um intervalo de
tempo de a até b, temos que a área abaixo da curva pode ser interpretada como o espaço percorrido por esse
objeto no tempo de a até b.
• Se um objeto se move no sentido positivo ao longo de um eixo coordenado pelo intervalo [a, b], enquanto
sujeito a uma força variável F(x) que é aplicada no sentido do movimento. Então, de�nimos que o trabalho W
realizado pela força sobre o objeto é dado pela área abaixo da curva F(x) no intervalo [a, b].
• Conhecendo a função que representa a taxa de absorção ou eliminação de certo produto (medicamento,
poluição, detrito, entre outros), temos que a área abaixo dessas funções no tempo de a até b é equivalente à
quantidade de produto eliminado ou absorvido nesse tempo.
S = ∫ ba [f (x) − g(x)]dx
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Essas são algumas das diversas interpretações que podemos citar para o valor de uma área abaixo da curva.
Além dessas citadas, há várias situações em que a área abaixo ou entre curvas pode ser utilizada, e você,
prezado estudante, pode acabar se deparando com elas. Dessa forma, é importante conhecer as técnicas de
integração e suas possíveis interpretações. Além de ser essencial para a sua formação, também vale como
motivação para o estudo do cálculo.
Na continuação da aula, utilizaremos os métodos vistos nas aulas anteriores para encontrar as áreas abaixo e
entre curvas.
COMPREENDENDO A ÁREA SOBRE E ENTRE CURVAS
Agora, vamos nos aprofundar no estudo das áreas calculadas pelas integrais. Ao realizar esse processo, uma
parte fundamental é conhecer o comportamento da função, então é necessário, antes de sair integrando e
determinando áreas, observar o grá�co da função. Mas, por que isso? Isso se deve ao fato de que, quando a
área que estamos calculando está abaixo do eixo x, ela produzirá um resultado com valor negativo (vide
Figura 3).
Figura 3 | Sinais de integração considerando a posição em relação ao eixo x
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 338).
Então,  é necessário compreender que as áreas abaixo do eixo  terão valores negativos, e isso interfere no
cálculo de área sob a curva, pois, ao calcular  da Figura 3, não teremos o valor exato da área
compreendida entre a função f(x) e o eixo x. Observe o caso a seguir, no qual calcularemos a área
compreendida entre f(x)=x -x e o eixo x.
Figura 4 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) com extremos que se interseccionam
∫ ba f (x) dx
3 2
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Fonte: elaborada pelo autor.
Veja que, entre x=-1 e x=0, a função é positiva, pois está acima do eixo x. Para o intervalo entre x=0 e x=2,
temos a função sendo negativa, pois está abaixo do eixo x. Faremos os cálculos para compreender melhor.
Primeiramente, faremos a integral completa com x variando de x=-1 a x=2:
Logo, considerando o intervalo inteiro, temos que a área compreendida entre f(x)=x -x  e o eixo x é de -2,25
unidades de área. Infelizmente, esse resultado está errado, pois não analisamos o sinal da integral da função,
e isso �ca evidente, pois o resultado do cálculo de área deu negativo, e isso não tem sentido real. Agora,
separaremos em duas regiões de integração,  e , veja os
resultados:
 e  .
(Con�ra os resultados!) Veja como a primeira integral deu resultado positivo e a segunda apresentou
resultado negativo. É necessário corrigir esse fato para determinar com exatidão a área desejada. Para
resolver esse empecilho, basta juntar as duas áreas, entretanto a área negativa deve receber um sinal
negativo multiplicando, para, assim, obter um valor positivo. Portanto, a área procurada será:
Portanto, o valor real da compreendida entre f(x)=x -x -2x e o eixo x é de 3,0833 unidades de área, �cando
evidente que devemos analisar o grá�co para determinar a área.
∫ 2− 1 (x
3 − x2 − 2x)dx = [ x
4
4 −
x3
3 −
2x2
2 ]
2
− 1
= [ x44 −
x3
3 − x
2]
2
− 1
= [ ( 2
4
4 −
23
3 − 2
2) −
( (− 1)
4
4 −
(− 1)3
3 − (− 1)
2) ]
= [( 164 −
8
3 − 4) − (
1
4 +
1
3 − 1) ] =
[(− 83 ) − (−
5
12 ) ]
= [− 83 +
5
12 ] = −
9
4 = − 2,25
3 2
∫ 0− 1 (x
3 − x2 − 2x)dx ∫ 20 (x
3 − x2 − 2x)dx
∫ 0− 1 (x
3 − x2 − 2x)dx = 512 ≈ 0,4167 ∫
2
0 (x
3 − x2 − 2x)dx = − 83 ≈ − 2,6667
S = ∫ 0− 1 (x
3 − x2 − 2x)dx − ∫ − 10 (x
3 − x2 − 2x)dx
= 512 − (−
8
3 ) =
37
12 = 3,0833
3 2
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Agora, quando desejamos obter a área entre duas curvas f(x) e g(x), só precisamos de�nir qual função está
“em cima” e qual está “embaixo”. Se  em todo o intervalo de a até b, então a área entre duas
curvas f(x) e g(x) é dada por  .
A Figura 5 demonstra visualmente a ideia do motivo de que se faz a subtração de f(x) por g(x) para se obter a
área entre essas duas curvas. Pode-se observar que a ideia é que, para mensurar a área entre elas, retiramos
a área abaixo de g(x), que �ca fora da região de interesse, sobrando apenas a área desejada.
Figura 5 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) com extremos que se interseccionam
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 416).
Em algumas situações, é possível que as funções limitantes superior e inferior intersectarem-se em um ou em
ambos os extremos, então, nesses casos, podemos observar que as laterais da região serão pontos em vez de
segmentos de retas verticais (Figura 6). Para esses casos, precisamos determinaros pontos de intersecção
para obter os limites de integração.
Figura 6 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) com extremos que se interseccionam
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 415).
Para encontrar esses pontos de intersecção, devemos resolver a igualdade f(x)=g(x), obtendo, assim, os
valores de  que representam as intersecções das curvas e o(s) limite(s) de integração.
ENCONTRANDO AS ÁREAS
f (x) ≥ g(x)
∫ ba [f (x) − g(x)]dx
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Agora chegou a hora de praticar. Vamos lá!
1. Determinar a área delimitada pela função , pelo eixo x e pelas retas verticais x=0
e x=2.
Para determinar essa área, primeiramente, analisaremos o grá�co da função. A Figura 7 exibe o grá�co da
função com a área procurada. Note que a área está totalmente acima do eixo x, dessa forma, podemos
calculá-la diretamente.
Figura 7 | Região delimitada por f(x), pelo eixo x e pelas retas verticais x=0 e x=2
Fonte: elaborada pelo autor.
Logo, a área será dada por , com a seguinte solução:
Portanto, a área procurada tem 14,6667 unidades quadradas.
f (x) = − 4x3 + 10x2 + 2
∫ 20 (− 4x
3 + 10x2 + 2) dx
∫ 20 (− 4x
3 + 10x2 + 2) dx =
[ − 4x
4
4 +
10x3
3 + 2x]
2
0
= [ − x4 + 10x
3
3 + 2x]
2
0
= [ ( − 24 + 10× 2
3
3 + 2 × 2) − ( − 0
4 + 10× 0
3
3 + 2 × 0) ]
= [(− 16 + 803 + 4) − (0)]
= 443 = 14,6667
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2. Determinar a área da região delimitada pela função f(x)=2+x-x e pelo eixo .
Nesse exemplo, não temos as retas que delimitam, então, para encontrar a solução e determinar a área, é
necessário determinar a interseção da função f(x) com o eixo x para serem os limites de integração. Para
encontrar essa interseção, fazemos f(x)=0, logo 2+x-x . Resolvendo essa equação, obtemos x =-1 e x =2
(resolução pode ser feita por Bhaskara ou pelo método da soma e produto). O resultado pode ser visto na
Figura 8 e, em adicional, note que a função está inteiramente acima do eixo x, então a área procurada será
dada por .
Figura 8 | Região delimitada por f(x) e g(x) e pelo eixo x
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolvendo a integral e encontrando a área, teremos:
Portanto, a área procurada tem 4,5 unidades quadradas.
3. Mensurar a área da região delimitada pela função , pelo eixo x e pelas retas verticais
x=-2 e x=3.
Inicialmente, construiremos o grá�co da função e veremos seu comportamento. A Figura 9 apresenta o grá�co
da função. Veja que a função tem uma área com a parte positiva no intervalo de x=-2 até x=0 e possui uma
área negativa no intervalo de x=0 até x=3. Logo, teremos que separar o cálculo da área em duas partes, e a
2
2
1 2
∫ 2− 1 (2 + x − x
2)dx
∫ 2− 1 (2 + x − x
2)dx = [ 2x + x
2
2 −
x3
3 ]
2
− 1
= [ ( 2 × 2 + 2
2
2 −
23
3 ) −
( 2 × ( − 1) + (− 1)
2
2 −
(− 1)3
3 ) ]
= [(4 + 2 − 83 ) − (− 2 +
1
2 +
1
3 ) ] = [(
10
3 ) − (−
7
6 ) ]
= [ 103 +
7
6 ] =
9
2 = 4,5
f (x) = 13 x
3 − 4x
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parte negativa deverá ser subtraída da parte positiva. A área total será dada por 
Figura 9 | Região delimitada por f(x), pelo eixo x e pelas retas verticais x=-2 e x=3
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolveremos uma integral de cada vez e, depois, subtrairemos, assim,
e
Portanto, teremos que a área será
.
4. Mensurar a área da região delimitada pelas funções f(x)4-e e g(x)=x -3 e pelas retas verticais x=-1 e x=1.
∫ 0− 2 (
1
3 x
3 − 4x)dx − ∫ 30 (
1
3 x
3 − 4x)dx
∫ 0− 2 (
1
3 x
3 − 4x)dx = [ 13
x ‵4
4 −
4x2
2 ]
0
− 2
= [ x
‵4
12 − 2x
2]
0
− 2
= [ ( 0
‵4
12 − 2 × 0
2) − ( (− 2)
‵4
12 − 2 × (− 2)
2) ]
= [(0) − ( 1612 − 8) ] = [− (−
20
3 ) ] =
20
3
∫ 30 (
1
3 x
3 − 4x)dx = [ 13
x ‵4
4 −
4x2
2 ]
3
0
= [ x
‵4
12 − 2x
2]
3
0
= [ ( 3
‵4
12 − 2 × 3
2) − ( (0)
‵4
12 − 2 × (0)
2) ]
= [( 8112 − 18) − (0)] = −
45
4
∫ 0− 2 (
1
3 x
3 − 4x)dx − ∫ 30 (
1
3 x
3 − 4x)dx = 203 − (−
45
4 ) =
20
3 +
45
4 =
215
12 ≈ 17,9167
x 2
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Agora, temos uma área entre duas curvas. Para determinar a área entre elas, temos que calcular a integral da
função “de cima” menos a função “de baixo”. Na Figura 10, temos o grá�co das duas curvas, observemos que a
função que delimita a região superiormente é f(x)=4-e e g(x)=x -3 delimita inferiormente. Portanto, a área da
região procurada será dada por
 .
Figura 10 | Região delimitada por f(x) e g(x) e pelas retas verticais x=-1 e x=1
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolvendo a integral para determinar a área, temos:
Portanto, a área desejada mede 10,9829 unidades quadradas.
5. Calcular a área da região compreendida entre as funções f(x)-4-x e g(x)=-x +4x. Nesse caso, temos uma
região delimitada por duas funções sem as retas que de�nem o intervalo de integração para o cálculo da área.
Então, é necessário encontrar esses valores, para isso, fazemos f(x)=g(x), obtendo
x 2
∫ 1− 1 (4 − e
x − (x2 − 3) )dx =
∫ 1− 1 (4 − e
x − x2 + 3)dx = ∫ 1− 1 (7 − e
x − x2)dx
∫ 1− 1 (7 − e
x − x2)dx = [ 7x − ex − x33 ]
1
− 1
=
[ ( 7 × 1 − e1 − 1
3
3 ) − ( 7 × ( − 1) − e
− 1 − (− 1)
3
3 ) ]
= [(7 − e1 − 13 ) − (− 7 − e
− 1 + 13 ) ] =
[(3,9484) − (− 7,0345)] = 10,9829
2
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. Ao resolver essa equação, encontramos x =1 e x =4, e isso pode
ser veri�cado na Figura 11. Observando a posição das curvas, teremos que a área que desejamos calcular é
dada por  .
Figura 11 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) com extremos que se interseccionam
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolvendo a integral, teremos
E assim, chegamos ao nosso último exemplo com área procurada igual 4,5 unidades quadradas.
VÍDEO RESUMO
Caro estudante, neste vídeo, apresentaremos as ideias para calcular áreas sobre e entre curvas por meio de
integrais. No vídeo, serão expostos alguns conceitos importantes para aplicar as integrais no cálculo de áreas
e alguns exemplos. Fique atento às diferentes formas de curvas que mostraremos, pois há algumas ideias que
serão abordadas em cada tipo de curva. Bons estudos!
4 − x = − x2 + 4x ⇒ x2 − 5x + 4 = 0 1 2
∫ 41 (− x
2 + 4x − (4 − x))dx= ∫ 41 (− x
2 + 4x − 4 + x)dx= ∫ 41 (− x
2 + 5x − 4)dx
∫ 41 (− x
2 + 5x − 4)dx = [ − x
3
3 +
5x2
2 − 4x]
4
1
= [ ( − 4
3
3 +
5× 42
2 − 4 × 4) − ( −
13
3 +
5× 12
2 − 4 × 1) ]
= [(− 643 +
80
2 − 16) − (−
1
3 +
5
2 − 4) ]
= [( 83 ) − (−
11
6 ) ] =
8
3 +
11
6 =
9
2 ≈ 4,5
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 Saiba mais
Existem alguns softwares matemáticos que são úteis para o cálculo de área, entre eles, podemos citar o
GeoGebra, que é gratuito, e o Wolfram Alpha, que possui diversas ferramentas gratuitas on-line.
Contudo, há comandos que são necessários para realizar esses cálculos. Felizmente, o Wolfram tem uma
ferramenta on-line muito útil para ver área entre curvas. Nela, bastade�nir as funções superiores e
inferiores e os limites de integração. Com isso, a ferramenta apresentará o grá�co das funções e o valor
da área. Seria importante você testar os exemplos desta aula nele. Bons estudos!
INTRODUÇÃO
Chegamos à última aula desta unidade. Nela, trabalharemos um novo assunto: as equações diferenciais.
Agora que conhecemos as integrais e sabemos realizar seus cálculos, utilizaremos esse conhecimento para
poder resolver equações que possuem derivadas. Isso mesmo, teremos equações com derivadas. Ao invés de
encontrarmos valores de x da equação, encontraremos as funções que originam as derivadas das equações.
Pode parecer difícil, mas essa introdução ajudará você a compreender com facilidade o conceito e a despertar
o interesse pelo tema.
As equações diferenciais têm uma in�nidade de aplicações, por exemplo, elas são extremamente úteis na
modelagem matemática, inclusive, na engenharia. São tantas as aplicações que não é possível cobri-las em
apenas uma aula, mas, aqui, faremos uma introdução que lhe permitirá conhecer e compreender os conceitos
básicos dessa incrível ferramenta do cálculo diferencial e integral. Agora, vamos estudar e praticar o conteúdo
novo! Lembrando, estudante, que você será acompanhado no decorrer de toda a aula.
Bons estudos!
INTRODUZINDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Nessa aula, introduziremos alguns conceitos novos, os quais serão introdutórios, mas muito importantes para
expandir seus conhecimentos. Falaremos sobre as equações diferenciais, para isso, primeiramente,
de�niremos o que elas são.
Aula 4
PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS IMEDIATOS
Chegamos à última aula desta unidade. Nela, trabalharemos um novo assunto: as equações diferenciais.
31 minutos
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Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais funções não conhecidas em relação
a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). Em outras palavras, uma
equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções que aparecem na equação em forma de
derivadas. Veja como exemplo de ED a equação a seguir:
.
Nessa equação, temos a derivada primeira e segunda de uma função y=f(x), assim, ao derivar a função duas
vezes e subtrair sua primeira derivada, obtemos como resultado 2x. A resolução dessa ED é encontrar a
função y=f(x) que satisfaz essas condições.
Nessa exempli�cação, utilizamos a notação linha para a derivada , que ajuda a escrever as EDs
de forma compacta. Entretanto, em algumas situações, será útil utilizar a notação de Leibniz para as derivadas
. A notação de Leibniz pode ser menos conveniente para escrever e imprimir
do que a notação linha, contudo, há a vantagem de explicitar claramente as variáveis dependentes e
independentes. Por exemplo, na equação , podemos identi�car facilmente x como uma função
desconhecida e t como variável independente dessa função.
Agora que já conhecemos um pouco sobre a notação de EDs, vamos classi�cá-las:
• Classi�cação por tipo: uma ED que contém apenas derivadas de uma ou mais funções não conhecidas com
relação a uma ÚNICA variável independente é conhecida como equação diferencial ordinária (EDO). A ED
envolvendo derivadas de uma ou mais funções de duas ou mais variáveis independentes é chamada de
equação diferencial parcial (EDP). As equações ,  e  são
EDOs. Note que em cada uma dessas equações há apenas uma variável independente.
As equações seguintes são EDPs:
,  e .
Veja que, nessas equações, há mais de uma variável independente e o símbolo  indica que essa é uma
derivada de uma função com duas ou mais variáveis independentes (essas derivadas serão vistas em aulas
futuras).
Observação: com exceção desses exemplos, nessa aula trabalharemos apenas EDOs. Usaremos o termo
equação diferencial e a abreviação ED referindo-se somente a EDOs.
• Classi�cação por ordem: a ordem de uma ED é a ordem da maior derivada na equação. A seguir, temos,
respectivamente, uma EDO de segunda ordem, uma EDO de primeira ordem e uma EDO de terceira ordem.
,  e .
• Classi�cação por linearidade: uma ED é linear se ela for linear em todas as funções desconhecidas. As
equações ,  e .
são todas EDs lineares, pois não há funções desconhecidas de forma não linear. Todavia, as equações
seguintes são EDs não lineares:
y′′− y′= 2x
(y′, y′′, y′′′,...)
( dy/ dx, d2y/ dx2, d3y/ dx3,...)
d2x
dt 2 + 5x = 0
dy
dx − 2y = e
x d2y
dx2 + 2
dy
dx = y 2
dx
dt +
dy
dt = x + y
∂ 2z
∂x2 +
∂ 2z
∂y2 = 0
∂ 2u
∂x2 = 2
∂ 2u
∂t 2 −
∂v
dy
∂y
∂t = −
∂w
∂x
d2y
dx2 + (
dy
dx )
3
= e− x dxdt + x = 2
d3y
dx3 + 5
d2y
dx2 −
dy
dx = − y
3 dydx = 2e
x d2y
dx2 −
dy
dx = 2y
d3x
dt 3 +
dy
dt = 0
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
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,  e .
Veja que, nessas equações, há termos não lineares nas funções desconhecidas (multiplicação, trigonométricas
e potências).
As equações diferenciais em modelagem matemática são, provavelmente, uma das principais aplicações do
cálculo. Quando físicos, engenheiros, químicos, entre outros, usam o cálculo, em uma diversidade de vezes
estão analisando uma equação diferencial que tenha surgido no processo de modelagem de algum fenômeno
que eles estejam estudando.
Embora seja quase impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial,
veremos algumas abordagens, inclusive, uma abordagem numérica para a solução.
TRABALHANDO COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Caro estudante, já conhecemos algumas nomenclaturas para as equações diferenciais. Foi possível observar
que há uma diversidade enorme de EDs, sendo assim é possível imaginar que existem também muitas
maneiras e métodos para encontrar as soluções das EDs. Nessa aula, apresentaremos uma técnica de
resolução que abrange uma gama de EDs conhecidas como equações separáveis.
• Uma equação separável é uma EDO de primeira ordem, na qual a expressão para  dy/dx pode ser escrita
como uma função de x multiplicada por uma função de y, isto é, uma equação separável pode ser escrita na
forma .
O termo separável vem do fato de que a expressão pode ser “separada” em uma função de x e uma função de
y. A equação anterior pode ser escrita como:
, onde , tal que . Agora, para resolver essa equação, e reescrevendo na
forma diferencial, por meio de uma multiplicação cruzada, teremos:
, dessa forma, colocamos todos os y em um lado da equação e todos os x do outro lado. É
importante dizer que dy/dx é uma notação conveniente para esse método, mas essa “divisão” não é uma
divisão propriamente dita, e sim uma notação de derivada. Contudo, para facilitar a resolução, consideramos
como uma divisão para realizar a multiplicação cruzada.
Após a reescrita da equação, para �nalizar a solução, é necessário integrar em ambos os lados da equação,
assim:
.
Ao resolver essas integrais e fazer as manipulações necessárias, obtemos a solução da equação separável.
Observe que temos integrais inde�nidas, logo é importante a utilização da constante K no processo de
resolução. De fato, ao �m da resolução, haverá constantes genéricas (observar os exemplos no próximo
bloco). Para determinar os valores dessas constantes, recorremos aos Problemas de Valores Iniciais (PVI).
Um PVI, ou problema de condições iniciais, é uma ED que é acompanhada do valor da função objetivo em um
determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Uma exempli�cação de um PVI seria:
y dydx = 2e
x d2y
dx2 − sin( y) = y
dx
dt = x
2
dy
dx = g( x) f ( y)
dy
dx =
g(x)
h(y) h(y) = 1/ f (y) f (y) ≠0
h(y)dy = g(x)dx
∫ h(y)dy = ∫ g(x)dx
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Resolver: 
Sujeito a: 
Assim, o ponto (x , y ) é um ponto conhecido da função que desejamos encontrar. Considerando esse ponto,
é possível encontrar uma função especí�ca que satisfaz a ED e a condição inicial.
Infelizmente, nem sempre é possível resolver a maioria das equações diferenciais de forma a obter uma
fórmula exata para a solução do problema. Mas, felizmente, há alguns métodos que podemos ainda utilizar
para obter soluções para a ED. Entre esses métodos, há as abordagens numéricas e, dentro delas, o Método
de Euler é considerado o precursor desses métodos, sendo um procedimento simples com resultados
satisfatórios. Esse método não determina em seu procedimento uma função, mas, sim, um valor numérico
especí�co em determinado ponto da função que estamos interessados em encontrar na ED.
• Método de Euler: os valores aproximados para a solução do problema de valor inicial  , com
passo h, em que , são 
Talvez, o enunciado do Método de Euler pode ser complexo, contudo, nas explicações a seguir, �cará claro
como é um método simples de ser utilizado. Nesse método, em geral, quanto menor o passo , mais preciso é
o valor obtido no �nal. O Método de Euler pode ser utilizado para resolver diversas EDOs, não
necessariamente apenas para equações separáveis.
RESOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
É a hora de praticar. Resolveremos alguns problemas envolvendo equações diferenciais.
1. Investigue se a função y=e é uma solução da EDO .
Para fazer essa investigação, precisamos mostrar y=e  que  será uma solução para , isto é, é
necessário que a primeira derivada de y subtraída com três vezes a própria função y terá como resultado o
valor 0. Calculando as derivadas de y, temos:
.
Dessa forma, substituindo na EDO, .
Portanto, podemos concluir que y=e é solução de .
2. Veri�que que a função , onde c é uma constante real qualquer, é uma solução da EDO
.
Para a�rmar que  é uma solução para , precisamos veri�car se a segunda
derivada de y somada à própria função y terá como resultada o 2. Veja as derivadas de y:
 e .
dy
dx = f ( x, y)
y(x0) = y0
0 0
dy
dx = f ( x, y)
y(x0) = y0
xn = xn+ 1 + h yn = yn− 1 + h ⋅ f (xn− 1, yn− 1) n = 1,2,3,...
3x dy
dx − 3y = 0
3x dy
dx − 3y = 0
y′= 3e3x
dy
dx − 3y = 0
3e3x − 3e3x = 0
0 = 0
3x dy
dx − 3y = 0
y = c ⋅ sin(x) + 2
y′′+ y = 2
y = c ⋅ sin(x) + 2 y′′+ y = 2
y′= c ⋅ cos(x) y′′= − c ⋅ sin(x)
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Assim, teremos que .
Portanto,  é solução da EDO dada, pois essa função satisfaz perfeitamente as condições da
equação.
Agora, apresentaremos alguns exemplos referentes à obtenção da solução de equações separáveis.
3. Resolva a equação diferencial .
Veja que essa é uma equação separável, pois facilmente separamos a função de x e de y. Agora, dando
sequência ao processo de resolução, deixaremos de um lado somente x, e do outro lado somente y
(utilizamos a multiplicação cruzada para isso).
.
Aplicando a integral de ambos os lados e resolvendo-a, teremos:
.
Diferenciamos as constantes, pois elas não são necessariamente iguais. Em geral, buscando respostas
explicadas em y, então, isolando o y, teremos:
.
Veja que, durante o processo de resolução, realizamos algumas operações com as constantes. Contudo, é
comum que a resposta �nal �que apenas , pois, ao realizar operações com constantes (no
caso �nal de 3K ), temos como resultado uma constante (que chamamos apenas de K).
Para determinar o valor da constante , precisamos ter uma condição inicial. Veremos alguns exemplos.
4. Considere o problema anterior, determine K, onde a condição inicial é y(0)=2.
No problema anterior, obtemos . Pela condição inicial, temos x=0 e y=2. Substituindo na
equação encontrada, teremos:
y′′+ y = 2
− c ⋅ sin(x) + c ⋅ sin(x) + 2 = 2
2 = 2
y = c ⋅ sin(x) + 2
dy
dx =
3x2
y2
y2dy = 3x2dx
∫ y2dy = ∫ 3x2dx
y3
3 + K 1 =
3x3
3 + K 2
y3
3 + K 1 = x
3 + K 2
y3
3 + K 1 = x
3 + K 2
y3
3 = x
3 + K 2 − K 1
y3
3 = x
3 + K 3
y3 = 3x3 + 3K 3
y = 3√ 3x3 + 3K 3
y = 3√ 3x3 + K
3
y = 3√ 3x3 + K
y = 3√ 3x3 + K
2 = 3√ 3 ⋅ 03 + K
2 = 3√ 0 + K
2 = 3√ K
23 = ( 3√ K )
3
8 = K
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Logo, K=8 e, portanto, pela condição inicial, temos . Com esse resultado, quando x=0, obtemos
y=2.
5. Resolva a equação , dado a condição inicial y(0)=1.
Reescrevendo a equação usando a notação de Leibniz:
.
Se , podemos reescrever essa equação como notação diferencial e integrá-la:
Buscando resolver a equação em função de y, teremos:
.
Veja que  é uma constante também. Agora, considerando a condição inicial y(0)=1, temos x=0 e y-1.
Substituindo na solução, teremos:
.
Logo, K=1 e, assim, a solução �nal para o problema será .
Já foram vistos vários exemplos sobre resoluções analíticas de EDs. Agora, resolveremos algumas EDs
numericamente pelo Método de Euler.
6. Pelo Método de Euler com o passo 0,5, determine alguns valores aproximados para a solução do problema
de valor inicial  .
Essa EDO é um pouco complexa de resolver, mas o Método de Euler nos ajudará. Para a solução, temos que
h=0,5, x =0, y =1 e f(x)=(y-2x) . Logo, pelo método, temos para n=1, 2, 3, 4,
y = 3√ 3x3 + 8
y′= x3y
dy
dx = x
3y
y ≠ 0
dy
y = x
3dx
∫ dyy = ∫ x
3dx
∫ 1y dy = ∫ x
3dx
ln |y| + K 1 = x
4
4 + K 2
ln |y| = x44 + K 2 − K 1
ln |y| = x44 + K 3
eln|y| = e
x4
4 + K 3
y = e x
4
4 ⋅ eK 3
y = K e x
4
4
eK 3
y = K e x
4
4
1 = K e 0
4
4
1 = K e0
1 = K ⋅ 1
1 = K
y = 1 ⋅ e
x4
4 ⇒ y = e
x4
4
y′= (y − 2x)2y(0) = 1
0 0
2
y1 = y0 + h ⋅ f (x0, y0) =
1 + 0,5(1 − 2 ⋅ 0)2
= 1,5 ⇒ (0,5; 1,5)
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Portanto, pelo Método de Euler, temos os valores aproximados para Y(X), no caso, calculamos Y(0,5)=1,5,
Y(1,0)=1,625, Y(1,5)=1,6953 e Y(2,0)=2,5465. Veja que os valores de  aumentam com relação ao passo H=0,5.
Apenas para comparação, utilizando um software, obtemos valores exatos que Y(1,0)=1,3105 e Y(2,0)=2,6422.
Podemos ver apenas pequenos erros em comparação com os calculados pelo Método de Euler, mas,
considerando a simplicidade do método, temos ótimos resultados.
Para �nalizar, a�rmamos a você, estudante, que o conteúdo de equações diferenciais é muito extenso e, às
vezes, complexo. Contudo, você acabou de estudar o básico, que é o su�ciente para uma boa introdução ao
conteúdo.
VÍDEO RESUMO
No vídeo, apresentaremos uma introdução às equações diferenciais, em que você conhecerá alguns conceitos
e nomenclaturas importantes para o estudo desse conteúdo. Apresentaremos também as equações
separáveis, com as ideias para obter suas soluções, e o conceito de Problemas de Valores Iniciais. Por �m,
�nalizaremos comentando sobre métodos numéricos de resolução para as equações diferenciais.
 Saiba mais
Na prática, as equações diferenciais são utilizadas, geralmente, em pesquisas e, quando vamos resolvê-
las, a forma mais comum é usar softwares matemáticos poderosos. Digo poderosos, pois nem todos os
softwares estão programados para resolução de equações diferenciais. De forma on-line, podemos
utilizar o aplicativo WolframAlpha para obter a resolução dessas equações. Acesse-o e você terá vários
exemplos.A ferramenta é intuitiva de usar, basta escrever a equação diferencial com a notação de linha
e o valor inicial. Apesar de a plataforma estar em inglês, você pode utilizar a tradução automática do seu
navegador se preferir. Teste os exemplos vistos nessa aula. Bons estudos!
y2 = y1 + h ⋅ f (x1, y1) =
1,5 + 0,5(1,5 − 2 ⋅ 0,5)2 =
1,625 ⇒ (1,0; 1,625)
y3 = y2 + h ⋅ f (x2, y2) =
1,625 + 0,5(1,5 − 2 ⋅ 1,0)2 ≈ 1,6953
⇒ (1,5; 1,6953)
y4 = y3 + h ⋅ f (x3, y3) =
1,6953 + 0,5(1,6953 − 2 ⋅ 1,5)2
≈ 2,5464 ⇒ (2,0; 2,5464)
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations
05/02/2024, 15:43 wlldd_231_u1_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930392&ativi… 36/36
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
Aula 1
PRADO, S. do; PRADO, S. T. G. do; OLIVEIRA, L. de. Uma proposta diferenciada para o estudo de aplicações de
integrais. Anais do Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e Extensão, v. 9, n. 1, fev. 2020. Disponível
em: https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573. Acesso em: 26 dez. 2022.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2021.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.
Aula 2
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L.  Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 26 dez. 2022.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2021.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.
Aula 3
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L.  Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 26 dez. 2022.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2021.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.
Aula 4
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2021.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.
ZILL, D. G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 10. Ed. São Paulo, SP: Cengage Learning
Brasil, 2016. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/. Acesso em:
26 dez. 2022.
REFERÊNCIAS
2 minutos
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/

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