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Resolucao_dos_exercicios_Aula_ao_vivo_RLC (1)

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1 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Prof. Priscila Bolzan 
Circuitos RLC – Análise gráfica 
1. RLC – Resposta Superamortecida 
A partir do circuito abaixo, deseja-se calcular a equação que descreve a 
corrente no indutor, 𝑖𝐿(𝑡). Dados: 𝑣𝐶(0) = 5 𝑉 e 𝑖𝐿(0) = 0 𝐴. 
 
Inicialmente deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0. 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 50 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
Sabendo que 𝛼 > 𝜔0 , então a resposta de corrente no indutor é 
superamortecida e segue a equação abaixo: 
𝑖𝐿(𝑡) = 𝐼𝑠 + 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑆1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑆2∙𝑡 
Para calcular 𝑆1 e 𝑆2, utiliza-se a equação abaixo: 
𝑆1,2 = −𝛼 ± √𝛼2 − 𝜔02 
𝑆1,2 = −50 ± √502 − 102 
Assim 𝑆1 = −1,01 e 𝑆2 = −98,99. 
Considerando a equação no tempo zero, ou seja, 𝑖𝐿(0), tem-se: 
𝑖𝐿(0) = 20 + 𝐴1 ∙ 𝑒
−1,01∙0 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−98,99∙0 
0 = 20 + 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴1 + 𝐴2 = −20 
 
 
 
 2 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Prof. Priscila Bolzan 
Na sequência, pode-se derivar a equação, conforme mostrado abaixo: 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(20 + 𝐴1 ∙ 𝑒
−1,01∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−98,99∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
= 0 − 1,01 ∙ 𝐴1 ∙ 𝑒
−1,01∙𝑡 − 98,99 ∙ 𝐴2 ∙ 𝑒
−98,99∙𝑡 
Após derivar, pode-se considerar no tempo zero, ou seja, 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
: 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= −1,01 ∙ 𝐴1 ∙ 𝑒
−1,01∙0 − 98,99 ∙ 𝐴2 ∙ 𝑒
−98,99∙0 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= −1,01 ∙ 𝐴1 − 98,99 ∙ 𝐴2 
De acordo com a equação de braço do indutor, conclui-se que: 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
=
𝑣𝐿(0)
𝐿
=
5
1
= 5 
Então, voltando à equação anterior: 
5 = −1,01 ∙ 𝐴1 − 98,99 ∙ 𝐴2 
Considerando as duas equações e as duas variáveis, chega-se ao sistema 
linear apresentado abaixo: 
{
𝐴1 + 𝐴2 = −20
−1,01 ∙ 𝐴1 − 98,99 ∙ 𝐴2 = 5
 
Logo 𝐴1 = −20,15 e 𝐴2 = 0,15. 
Assim pode-se chegar na resposta final de corrente no indutor: 
𝒊𝑳(𝒕) = 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝒆
−𝟏,𝟎𝟏∙𝒕 + 𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝒆−𝟗𝟖,𝟗𝟗∙𝒕 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Prof. Priscila Bolzan 
2. RLC – Resposta Criticamente Amortecida 
A partir do circuito abaixo, deseja-se calcular a equação que descreve a 
corrente no indutor, 𝑖𝐿(𝑡). Dados: 𝑣𝐶(0) = 5 𝑉 e 𝑖𝐿(0) = 0 𝐴. 
 
Inicialmente deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0. 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 5 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
Sabendo que 𝛼 = 𝜔0, então a resposta de corrente no indutor é criticamente 
amortecida e segue a equação abaixo: 
𝑖𝐿(𝑡) = 𝐼𝑠 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 
Considerando a equação no tempo zero, ou seja, 𝑖𝐿(0), tem-se: 
𝑖𝐿(0) = 20 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 0) ∙ 𝑒
−𝛼∙0 
0 = 20 + 𝐴1 
𝐴1 = −20 
Na sequência, pode-se derivar a equação, conforme mostrado abaixo: 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(20 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−10∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 10 ∙ 𝑒
−10∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−10∙𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑡 ∙ 10 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 
Após derivar, pode-se considerar no tempo zero, ou seja, 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
: 
 
 
 
 4 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Prof. Priscila Bolzan 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 10 ∙ 𝑒
−10∙0 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−10∙0 − 𝐴2 ∙ 0 ∙ 10 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 10 + 𝐴2 
De acordo com a equação de braço do indutor, conclui-se que: 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
=
𝑣𝐿(0)
𝐿
=
5
1
= 5 
Então, voltando à equação anterior: 
5 = −(−20) ∙ 10 + 𝐴2 
𝐴2 = −195 
Assim pode-se chegar na resposta final de corrente no indutor: 
𝒊𝑳(𝒕) = 𝟐𝟎 + (−𝟐𝟎 − 𝟏𝟗𝟓 ∙ 𝒕) ∙ 𝒆
−𝟏𝟎∙𝒕 
 
3. RLC – Resposta Subamortecida 
A partir do circuito abaixo, deseja-se calcular a equação que descreve a 
corrente no indutor, 𝑖𝐿(𝑡). Dados: 𝑣𝐶(0) = 5 𝑉 e 𝑖𝐿(0) = 0 𝐴. 
 
Inicialmente deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0. 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 20 ∙ 10 ∙ 10−3
= 2,5 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
 
 
 
 5 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Prof. Priscila Bolzan 
Sabendo que 𝛼 < 𝜔0 , então a resposta de corrente no indutor é 
subamortecida e segue a equação abaixo: 
𝑖𝐿(𝑡) = 𝐼𝑠 + [𝐴1 ∙ cos(𝜔𝑑 ∙ 𝑡) + 𝐴2 ∙ sen(𝜔𝑑 ∙ 𝑡)] ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 
Para calcular 𝜔𝑑 utiliza-se a equação abaixo: 
𝜔𝑑 = √𝜔02 − 𝛼2 
𝜔𝑑 = √102 − 2,52 = 9,68 
Considerando a equação no tempo zero, ou seja, 𝑖𝐿(0), tem-se: 
𝑖𝐿(0) = 20 + [𝐴1 ∙ cos(𝜔𝑑 ∙ 0) + 𝐴2 ∙ sen(𝜔𝑑 ∙ 0)] ∙ 𝑒
−2,5∙0 
0 = 20 + [𝐴1 ∙ 1 + 𝐴2 ∙ 0] 
𝐴1 = −20 
Na sequência, pode-se derivar a equação, conforme mostrado abaixo: 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(20 + (𝐴1 ∙ cos(𝜔𝑑 ∙ 𝑡) + 𝐴2 ∙ sen(𝜔𝑑 ∙ 𝑡)) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
= 0 + (−𝛼 ∙ 𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 −𝜔𝑑 ∙ 𝐴1 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 − 𝛼 ∙ 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝜔𝑑 ∙ 𝐴2 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 
Após derivar, pode-se considerar no tempo zero, ou seja, 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
: 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= (−𝛼 ∙ 𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 0 −𝜔𝑑 ∙ 𝐴1 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 0 − 𝛼 ∙ 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 0 + 𝜔𝑑 ∙ 𝐴2 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 0) ∙ 𝑒
−𝛼∙0 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= (−𝛼 ∙ 𝐴1 + 𝜔𝑑 ∙ 𝐴2) 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
= −2,5 ∙ (−20) + 9,68 ∙ 𝐴2 
De acordo com a equação de braço do indutor, conclui-se que: 
𝑑𝑖𝐿(0)
𝑑𝑡
=
𝑣𝐿(0)
𝐿
=
5
1
= 5 
 
 
 
 6 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Prof. Priscila Bolzan 
Então, voltando à equação anterior: 
5 = −2,5 ∙ (−20) + 9,68 ∙ 𝐴2 
𝐴2 = −4,65 
Assim pode-se chegar na resposta final de corrente no indutor: 
𝒊𝑳(𝒕) = 𝟐𝟎 + [−𝟐𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝟗, 𝟔𝟖 ∙ 𝒕) − 𝟒, 𝟔𝟓 ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝟗, 𝟔𝟖 ∙ 𝒕)] ∙ 𝒆
−𝟐,𝟓∙𝒕

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