geometria (1)

Prévia do material em texto

Museu de Topografia prof. Laureano Ibrahim Chaffe 
Departamento de Geodésia – UFRGS 
 
A Geometria 
 
Texto original: Wikipédia, a enciclopédia livre. 
Julho/2022 
Ampliação e ilustrações: Iran Carlos Stalliviere Corrêa-IG/UFRGS 
Geometria 
 
Teorema de Desargues, um resultado importante nas geometrias euclidiana e 
projetiva 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Teorema_de_desargues.svg/1200px-
Teorema_de_desargues.svg.png) 
 
 
Fragmento dos Elementos de Euclides 
(Fonte: https://nationalgeographic.pt/images/revistas/artigos_edicoes_especiais/EUCLIDES_MAR2017/papiro.jpg) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Desargues
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_projetiva
https://pt.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Teorema_de_desargues.svg
A geometria (em grego clássico: γεωμετρία; geo- "terra", -metria 
"medida") é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, 
tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades dos espaços. 
 Um matemático que trabalha no campo da geometria é denominado 
de geômetra. 
A geometria surgiu independentemente em várias culturas antigas 
como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e 
volume. 
Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma 
axiomática por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria 
euclidiana, estabeleceu um padrão que perdurou por séculos, ainda que 
não refletisse a matemática de sua época. 
Arquimedes, por exemplo, desenvolveu técnicas engenhosas para 
calcular áreas e volumes sem se preocupar com o tratamento axiomático 
dos Elementos. 
 
 Euclides Arquimedes 
(Fonte Euclides: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Euklid-von-Alexandria_1.jpg) 
(Fonte Arquimedes: https://cdn.pensador.com/img/authors/ar/qu/arquimedes-l.jpg) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_grega_antiga
https://pt.wiktionary.org/wiki/%CE%B3%E1%BF%86
https://pt.wikipedia.org/wiki/Terra
https://pt.wiktionary.org/wiki/%CE%BC%CE%AD%CF%84%CF%81%CE%BF%CE%BD
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://pt.wikipedia.org/wiki/Volume
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
 
Geometria esférica 
(Fonte: https://noic.com.br/wp-content/uploads/2021/02/Tri%C3%A2ngulo-Esf%C3%A9rico.png) 
 
A geometria esférica é um exemplo de geometria não-euclidiana. 
Ela tem aplicações práticas em navegação e astronomia. 
A partir da experiência, ou, eventualmente, intuitivamente, as 
pessoas caracterizam o espaço por certas qualidades fundamentais, que 
são denominadas axiomas de geometria (como, por exemplo, os 
axiomas de Hilbert). Esses axiomas não são provados, mas podem ser 
usados em conjunto com os conceitos matemáticos de ponto, linha reta, 
linha curva, superfície e sólido para chegar a conclusões lógicas, chamadas 
de teoremas. 
 
Kepler 
(Fonte: https://s2.glbimg.com/p17w3iCILumj0e3Ow4z2PCochr4=/e.glbimg.com/og/ed/f/original/2020/01/20/ 
johannes_kepler_1610.jpg) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_esf%C3%A9rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_n%C3%A3o-euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Hilbert
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Linha_reta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva
https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_geom%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema
https://s2.glbimg.com/p17w3iCILumj0e3Ow4z2PCochr4=/e.glbimg.com/og/ed/f/original/2020/01/20/
 
A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como 
exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as 
velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das 
órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —
, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os 
ouvidos da alma — a mente do geômetra. 
Com a introdução da geometria analítica, muitos problemas de 
álgebra puderam ser transformados em problemas de geometria e vice-
versa, muitas vezes conduzindo à simplificação das soluções. 
 
História 
Egito Antigo 
A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da 
necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma 
semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= 
medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de 
melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram 
os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento 
da disciplina. 
 
Agrimensores egípcios 
(Fonte: https://www.marcelouva.com.br/wp-content/uploads/2019/08/geometria.jpg) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_do_Egipto
 
Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu 
delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de 
cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais 
fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio 
destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra, 
gerando conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra 
não delimitada. 
A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na repercussão que 
se encontra no Livro dos Mortos do Egito, onde uma pessoa acabada de 
falecer tem de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe 
terra. Era um pecado punível com ter o coração comido por uma besta 
horrível chamada o «devorador». 
Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como 
quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os 
agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades 
produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite 
das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos 
devidos na medida da sua extensão aos governantes. 
 
Esticadores de corda (Agrimensores egípcios) 
(Fonte: http://4.bp.blogspot.com/-X5PRQOKwBnI/T6kbqh-77vI/AAAAAAAAAGc/1k6bEoUJ-i0/w1200-h630-p-k-no-
nu/ESTICADORES+DE+CORDAS.png) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nilo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_do_Nilo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lama
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nutriente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Livro_dos_Mortos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Egito
Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os 
agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e 
restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu 
a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim 
chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas 
concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a 
determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e 
triângulos. 
A origem da geometria se situar no Egito é muito em função dos 
trabalhos do antigo historiador Heródoto, que defendia que a geometria 
teria sido inventada a partir das necessidades práticas, enquanto que os 
gregos teriam se apropriado dessa geometriae teriam adicionado a 
argumentação dedutiva e o pensamento abstrato. No entanto, essa tese 
não é mais sustentada pelos historiadores, uma vez que há diversos outros 
registros de práticas geométricas em civilizações como na Mesopotâmia 
Antiga ou no extremo oriente. 
 
Heródoto 
(Fonte: https://www.sohistoria.com.br/biografias/herodoto/index_clip_image002.jpg) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fara%C3%B3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Agrimensor
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3doto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mesopot%C3%A2mia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mesopot%C3%A2mia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Extremo_Oriente
Os três problemas clássicos da geometria 
Ao longo da história, três problemas se tornaram clássicos: a 
quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do 
ângulo. 
Esses problemas se tornaram populares, pois, por muito tempo, 
acreditava-se que seria possível resolvê-los apenas com régua e 
compasso, como determina a tradição euclidiana. 
Alguns matemáticos propuseram soluções para tais problemas 
utilizando outros recursos. De fato, qualquer um dos problemas clássicos 
da Geometria têm solução trivial por meio da álgebra ou ainda por meio 
de geometria a partir de curvas mecânicas, como a espiral de 
Arquimedes, ou outros instrumentos. Somente a partir do século XIX 
tornou-se aceito pela comunidade matemática a impossibilidade de 
resolver tais problemas apenas com régua e compasso. 
 
O primeiro problema: A quadratura do círculo 
 
A Quadratura do círculo 
(Fonte: http://2.bp.blogspot.com/_j-loEH8jvyw/S9y7mCx3JFI/AAAAAAAAALE/M39fUSR1fJI/s320/Figura+4.21.jpg) 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cubo
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquimedes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
O Problema da Quadratura do Círculo 
O problema da quadratura do círculo foi proposto por Anaxágoras 
(499-428 a.C.): dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. 
Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a 
Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e 
compasso. 
 
Anaxágoras 
(Fonte Anaxágoras: https://cultura.culturamix.com/blog/wp-content/gallery/Anax%C3%A1goras-Fil%C3%B3sofo-Grego-
1/Anax%C3%A1goras-Fil%C3%B3sofo-Grego-3.jpg) 
 
 
Solução do quadrado do círculo 
(Fonte: https://www.educacional.com.br/imagens/articulistas/artigo0055_img_01a.gif) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadratura_do_c%C3%ADrculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Anax%C3%A1goras
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado
https://pt.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gua
 
O segundo problema: A duplicação do cubo 
 
Representação Gráfica do Problema da Duplicação do Cubo 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/O_Problema_da_Duplica%C3%A7%C3%A3o_do_Cubo.jpg) 
 
Conta uma lenda que, em 429 a.C., durante o cerco espartano na 
Guerra do Peloponeso, uma peste dizimou um quarto da população de 
Atenas, matando inclusive Péricles, e que uma plêiade de sábios fora 
enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, para inquirir como a peste 
poderia ser eliminada. 
 
Duplicação do cubo 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Dup_cubo.jpg) 
 
O oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser 
duplicado. Os atenienses celeremente dobraram as medidas das arestas. 
A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o erro? Em vez de 
dobrar, os atenienses octuplicaram o volume do altar. 
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=429_a.C&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Atenas
https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ricles
https://pt.wikipedia.org/wiki/Apolo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delfos
A complexidade do problema deve-se ao fato de que os gregos 
procuravam uma solução geométrica, usando régua (sem escala) e 
compasso. 
Em 1837, Pierre L. Wantzel, um jovem professor e matemático 
francês de apenas 23 anos, demonstra que a quadratura do círculo e a 
duplicação do cubo não podem ser resolvidos utilizando-se apenas régua e 
compasso. 
 
Pierre L. Wantzel 
(Fonte: https://miro.medium.com/max/696/1*-cTp_RWk5U5EKlAckpz9Bg.png) 
 
Assim sendo, para duplicar um quadrado de aresta a basta construir 
um quadrado de aresta 𝒂 √𝟐 . É então natural surgir a questão de transpor 
este problema para figuras sólidas como o cubo. Com os recursos da 
álgebra, vejamos por que isto não acontece: 
Seja um segmento de reta de comprimento a . O volume de um cubo 
cuja aresta seja a é: 
𝑉𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 = 𝑎
3
 (1) 
Queremos obter um segmento de reta de comprimento b , cujo 
volume de um cubo de aresta b é: 
𝑉𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑏 = 𝑏
3
 (2) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/1837
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Laurent_Wantzel
Como o objetivo do problema deliano é duplicar o volume do cubo de 
aresta a , então segue que: 
𝑉𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑏 = 2𝑉𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 (3) 
Substituindo (1) e (2) em (3) teremos: 
𝑏3 = 2𝑎3 ⟹ 
𝑏
𝑎
= √2
3
 
Assim, o problema se reduz a obter dois segmentos de reta cujos 
comprimentos estejam na proporção: 
1: √2
3
 
 
O terceiro problema: A trissecção do ângulo 
A trissecção do ângulo foi o terceiro dos problemas clássicos da 
antiguidade grega. Pretendia-se trissectar um ângulo, isto é, dividi-lo em 
três partes perfeitamente iguais usando apenas uma régua não graduada 
e um compasso. 
Arquimedes propôs uma solução utilizando a espiral que leva seu 
nome. 
 
Trissecção de ângulo 
(Fonte:http:www.osfantasticvosnumerosprimos.com.br) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9cia_Antiga
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquimedes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquimedes
Axiomatização da geometria 
 
Estátua de Euclides 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/EuclidStatueOxford.jpg/220px-EuclidStatueOxford.jpg) 
 
Os gregos antigos desenvolveram uma estrutura de argumentação 
axiomática para a geometria que ficariam bastante populares na 
matemática europeia moderna. 
Essa estrutura que parte de algumas definições, axiomas e 
postulados e, que a partir desses elementos devidamente pré-
estabelecidos, poderiam se deduzir os teoremas da geometria. 
Por volta do ano 300 a.C., Euclides, um matemático grego que vivia 
em Alexandria, escreveu um livro em 13 volumes intitulado Os Elementos 
de Geometria, que expôs uma matemática de forma sistemática e 
estruturada, que reflete parte do conhecimento geométrico de diversos 
matemáticos gregos. Os Elementos, além de geometria, também trata de 
aritmética. 
É importante ressaltar que Os Elementos não refletem todas práticas 
matemáticas da Grécia Antiga. A limitação de utilizar somente régua e 
compasso é uma limitação que só se vê em Os Elementos e em alguns 
outros tratados geométricos desse período. Muitos assuntos matemáticos 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alexandria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9cia_Antiga
https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:EuclidStatueOxford.jpg
não foram contemplados nos elementos e muitos matemáticos não lidavam 
com a matemática a partir dele . 
 
Livro de Euclides –Elementos de Geometria 
(Fonte: https://sites.google.com/site/matematicainicio/_/rsrc/1493126862310/home/os-elementos/euclides-
4%20%281%29.png) 
 
Os gregos desenvolviam a matemática não com escopo prático, 
utilitarista, mas movidos pelo desafio intelectual, pelo “sabor do saber” e 
pelo prazer intrínseco, já que a matemáticaenseja o apanágio da lógica, 
da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento. A prática 
dos debates e da argumentação era comum na vida pública do cidadão 
grego, portanto isso acaba se refletindo também na geometria. 
Alguns influentes historiadores da matemática defendiam que nos 
Elementos havia teoremas de álgebra ou geometria algébrica, em 
especial nos livros 2 e 3. No entanto, é importante mencionar que as 
práticas algébricas são muito posteriores ao período dos gregos antigos. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica
Essa interpretação anacrônica não é mais defendida pelos 
historiadores de hoje. 
 
Geometria analítica 
 
 René Descartes Pierre de Fermat 
(Fonte Descartes: https://t5z6q4c2.rocketcdn.me/wp-content/uploads/2019/08/rene-descartes.jpg) 
(Fonte Fermat: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Pierre_de_Fermat.jpg/200px-
Pierre_de_Fermat.jpg) 
 
 No século XVII, a criação da geometria analítica pelos matemáticos 
franceses René Descartes e Pierre de Fermat conectou a álgebra à 
geometria de forma bastante inovadora. 
Até então a geometria possuía um papel de justificar os 
procedimentos algébricos. 
A álgebra não era vista como uma disciplina, mas como uma 
extensão da geometria. No entanto, a partir do século XVII, essa 
hierarquia implícita da superioridade da geometria sobre a álgebra é 
rompida – ainda que não totalmente até ao século XIX. 
A álgebra passa a ser utilizada para obter novos resultados 
geométricos e generalizar outros resultados já conhecidos. As práticas 
analíticas se tornaram importantes para o desenvolvimento do cálculo 
infinitesimal. 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Anacronismo
https://t5z6q4c2.rocketcdn.me/wp-content/uploads/2019/08/rene-descartes.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal
Geometrias não euclidianas 
 
 Carl Gauss János Boltai Nikolai Lobachevsky 
(Fonte:https://miro.medium.com/max/1400/1*pbhf1z5ng1ujheifxW-ULg.png) 
 
“A suposição de que (em um triângulo) a soma dos três ângulos é 
menor que 180° leva a uma curiosa geometria, muito diferente da 
nossa, mas completamente consistente, que desenvolvi para a minha 
inteira satisfação.” — Carl Gauss 
 
Houve muita controvérsia em torno das geometrias não 
euclidianas. Por vezes, os teoremas em geometria não euclidiana eram 
tão exóticos que, apesar de não encontrarem inconsistências lógicas, 
matemáticos a tomavam como absurda. 
Na matemática, uma geometria não euclidiana é uma geometria 
baseada num sistema axiomático distinto da geometria euclidiana. 
Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior 
a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as 
geometrias elíptica e hiperbólica (geometria de Lobachevsky). Na 
geometria elíptica não há nenhuma reta paralela à inicial, enquanto na 
geometria hiperbólica existe uma infinidade de retas paralelas à inicial 
que passam no mesmo ponto. Na geometria elíptica a soma dos ângulos 
internos de um triangulo é maior que dois ângulos retos, enquanto na 
geometria hiperbólica esta soma é menor que dois ângulos retos. Na 
elíptica, temos que a circunferência de um círculo é menor do que  vezes 
o seu diâmetro, enquanto na hiperbólica esta circunferência é maior que  
vezes o diâmetro. 
 
Um triângulo nas geometrias elíptica, hiperbólica e euclidiana 
(Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_n%C3%A3o_euclidiana) 
 
O crédito pela descoberta das geometrias não euclidianas 
geralmente é atrelado às figuras dos matemáticos Carl Friedrich Gauss, 
e Bernhard Riemann. 
 
Bernhard Riemann 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/640px-
Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg) 
Programa de Erlangen 
 
Felix Klein 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Felix_Christian_Klein.jpg) 
 
“Dado qualquer grupo de transformações no espaço que inclui o grupo 
principal como um subgrupo, então a teoria invariante para esse 
grupo fornece um tipo definido de geometria, e todas as 
geometrias possíveis podem ser obtidas dessa mesma maneira.” — 
Felix Klein 
 
Em 1871, enquanto em Gotinga, Felix Klein fez descobertas 
importantes em geometria. Klein fez uso da teoria dos invariantes para 
unir a geometria à teoria dos grupos. Ele publicou dois artigos sobre a 
chamada geometria não euclidiana, mostrando que as geometrias 
euclidiana e não euclidianas podiam ser consideradas casos especiais 
de uma superfície projetiva com uma seção cônica específica adjunta. Isso 
teve o corolário notável de que a geometria não euclidiana era 
consistente se, e somente se, a geometria euclidiana o fosse, colocando 
as geometrias euclidiana e não euclidianas em pé de igualdade (uma vez 
que se fosse encontrada uma inconsistência em qualquer uma delas, isto 
acarretaria que a outra também é inconsistente), e terminando com toda 
a controvérsia que girava em torno das geometrias não euclidianas. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gotinga
https://pt.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_invariantes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grupos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_n%C3%A3o_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Se%C3%A7%C3%A3o_c%C3%B4nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Corol%C3%A1rio
Os trabalhos de Grothendieck 
 
Alexander Grothendieck 
(Fonte: https://img.estadao.com.br/fotos/crop/1200x1200/resources/jpg/9/3/1558996133839.jpg) 
 
No século XX, o matemático Alexander Grothendieck usou teoria 
das categorias e topologia para generalizar a geometria algébrica, o que 
lhe permitiu aplicar ferramentas de geometria e topologia à teoria dos 
números. Essa união é conhecida pelo nome de geometria aritmética. 
 
Os trabalhos de Mandelbrot 
 
Benoît Mandelbrot 
(Fonte: https://pesquisa.ufabc.edu.br/4db/wp-content/uploads/2017/12/Benoit-Mandelbrot.jpg) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_categorias
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_categorias
https://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_aritm%C3%A9tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot
Na década de 1960, Benoît Mandelbrot começou a escrever sobre 
autossimilaridade em artigos tais como "Quão Longa é a Costa da Grã-
Bretanha? Autossimilaridade Estatística e Dimensão Fracionária", e em 
1975, ele cunhou o termo fractal, e contribuiu para estimular o campo 
agora conhecido por geometria fractal. 
 
Ramos 
Geometria clássica 
 
Henri Poincaré 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/PSM_V82_D416_Henri_Poincare.png/640px-
PSM_V82_D416_Henri_Poincare.png) 
 
De acordo com Henri Poincaré, um espaço geométrico clássico 
caracteriza-se por possuir as propriedades de ser: 
1. Contínuo 
2. Infinito 
3. Tridimensional 
4. Homogêneo (isto é, com as mesmas propriedades em toda parte) 
5. Isotrópico (isto é, sem direção privilegiada). 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot
https://pt.wikipedia.org/wiki/Qual_o_Comprimento_da_Costa_da_Inglaterra%3F_Autossimilaridade_Estat%C3%ADstica_e_Dimens%C3%A3o_Fracion%C3%A1riahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Qual_o_Comprimento_da_Costa_da_Inglaterra%3F_Autossimilaridade_Estat%C3%ADstica_e_Dimens%C3%A3o_Fracion%C3%A1ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_fractal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Topologia e geometria 
 
O nó de trevo 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Blue_Trefoil_Knot.png/1200px-Blue_Trefoil_Knot.png) 
 
O campo da topologia, em que houve enorme desenvolvimento no 
século XX, é em sentido técnico um tipo de geometria transformacional, 
em que as transformações que preservam as propriedades das figuras são 
os homeomorfismos (por exemplo, isto difere da geometria métrica, em 
que as transformações que não alteram as propriedades das figuras são as 
isometrias). Isto tem sido frequentemente expresso sob a forma do dito "a 
topologia é a geometria da folha de borracha". 
 
Geometria diferencial 
A geometria diferencial é a disciplina matemática que faz uso de 
técnicas de cálculo diferencial e cálculo integral, bem como de álgebra 
linear e álgebra multilinear, para estudar problemas de geometria. Ela é 
de vital importância no estudo de física teórica. 
 
Geometria algébrica 
A geometria algébrica é o ramo da matemática que iniciou como o 
estudo de sistemas de equações polinomiais em dimensões maiores que 3 
e que evoluiu da geometria analítica para uma união de álgebra 
abstrata, topologia e análise complexa. A demonstração de Andrew Wiles 
do último teorema de Fermat, um problema de teoria dos números, usou 
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3_de_trevo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XX
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_das_transforma%C3%A7%C3%B5es
https://pt.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isometria_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_multilinear
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_te%C3%B3rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstrata
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstrata
https://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_complexa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
muitas ideias de geometria algébrica descobertas e desenvolvidas a partir 
do século XX. 
 
Andrew Wiles 
(Fonte: http://s2.glbimg.com/QNrhfILvYXk_rdYx6RYyKbHCxJ8=/290x177/s2.glbimg.com/IShw4W-zbikyB-
yJcfIJAa6pQU4=/s.glbimg.com/jo/g1/f/original/2016/03/15/wiles_p.jpg) 
 
Geometria euclidiana 
A geometria euclidiana é a geometria em seu sentido clássico. O 
currículo educacional obrigatório da maioria das nações inclui o estudo de 
pontos, linhas, planos, ângulos, triângulos, congruência, semelhança, 
figuras sólidas, círculos e geometria analítica. A geometria euclidiana 
também possui aplicações em ciência da computação, cristalografia e 
vários ramos da matemática moderna. 
 
Aplicações 
 
Concha de um náutilos: O formato é aproximadamente uma espiral logarítmica 
(Fonte: https://1.bp.blogspot.com/-_NCEUD1nErs/Xkm3db8bnGI/AAAAAAAAtDk/r8A6lRUNiEYpt0XM2FWFSWdcWBDs8FTCgCLcB 
GAsYHQ/s1600/Nautilus-concha.jpg) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nautilidae
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica
https://1.bp.blogspot.com/-_NCEUD1nErs/Xkm3db8bnGI/AAAAAAAAtDk/r8A6lRUNiEYpt0XM2FWFSWdcWBDs8FTCgCLcB
A geometria surgiu da necessidade de resolver problemas práticos 
de agricultura, astronomia, arquitetura e engenharia, e de fato, ainda hoje 
conhecimentos de geometria são aplicados nos mais variados campos do 
conhecimento humano, tais como: física, química, geologia, astronomia, 
engenharia, biologia, navegação, cartografia e fotografia. 
No entanto, cabe ressaltar que a geometria é considerada parte da 
matemática pura, por, embora tenha começado como uma ciência prática 
e encontre aplicações em muitos ramos fora da matemática, ela é 
comumente desenvolvida abstraída da realidade, como uma teoria 
matemática pela qual matemáticos estudam motivados por seu apelo 
intrínseco. 
 
Física 
Das observações astronômicas de Johannes Kepler (mais tarde 
explicadas pelos trabalhos de Isaac Newton) foi descoberto que os 
planetas seguem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos. 
 
 Johannes Kepler Isaac Newton 
(Fonte Kepler: https://s2.glbimg.com/p17w3iCILumj0e3Ow4z2PCochr4=/e.glbimg.com/og/ed/f/original 
/2020/01/20/johannes_kepler_1610.jpg) 
(Fonte Newton: https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2008/09/isaac-newton-328x450.jpg) 
 
As seções cônicas, estudadas pelos gregos antigos encontraram 
aplicações em mecânica celeste, 1800 anos depois de serem por eles 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Agricultura
https://pt.wikipedia.org/wiki/Astronomia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arquitetura
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Biologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Navega%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cartografia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fotografia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_pura
https://pt.wikipedia.org/wiki/Kepler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Elipse
https://s2.glbimg.com/p17w3iCILumj0e3Ow4z2PCochr4=/e.glbimg.com/og/ed/f/original
descobertas. A linguagem da trigonometria euclidiana é amplamente 
utilizada no estudo da óptica, em que o conceito de raios de luz pode ser 
usado para tratar de diversos fenômenos ópticos, como por exemplo, a 
difração da luz. 
Apesar de estudiosos tais como Carl Gauss e Nikolai Lobachevsky 
terem considerado a possibilidade de o espaço físico não ser euclidiano, as 
geometrias não euclidianas eram quase que apenas consideradas 
curiosidades intelectuais abstratas antes de Albert Einstein encontrar 
usos para elas em teorias de física. Na teoria geral da relatividade, 
interpreta-se que o espaço torna-se "curvo" na presença de campos 
gravitacionais. 
 
 Carl Gauss Nikolai Lobachevsky Albert Einstein 
(Fonte Gauss: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg) 
(Fonte Nikolai: https://todayinsci.com/L/Lobachevsky_Nikolay/LobachevskyNikolay300px.jpg) 
(Fonte Einstein: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Einstein_1921_by_F_Schmutzer_-
_restoration.jpg/250px-Einstein_1921_by_F_Schmutzer_-_restoration.jpg) 
 
Química 
 
Molécula cubana do modelo bola e vareta 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Cubane-3D-balls.png/200px-Cubane-3D-balls.png) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Gauss
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobachevsky
https://pt.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_geral_da_relatividade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitacional
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg
https://todayinsci.com/L/Lobachevsky_Nikolay/LobachevskyNikolay300px.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Cubane-3D-balls.png
 
A geometria de uma molécula (como osátomos que formam uma 
molécula estão dispostos espacialmente) determina muitas das 
propriedades químicas e físicas de uma substância. Apesar disso, poucos 
trabalhos que investigam as relações entre a geometria e química foram 
realizados por matemáticos: 
"É perfeitamente compreensível o fato de os cristalógrafos estarem 
interessados pelos grupos de simetria de cristais e por outras estruturas 
tridimensionais, mas é difícil explicar por que este tema tem sido 
amplamente ignorado pelos matemáticos. Talvez seja uma questão de 
atitude; os matemáticos há muito tempo consideram como humilhante 
trabalhar em problemas relacionados com a 'geometria elementar' em 
duas ou três dimensões, apesar do fato de que é precisamente esse tipo 
de matemática que é de valor prático." — Branko Grünbaum e G. C. 
Shephard, em Handbook of applicable mathematics - Volume 5, Parte 2, 
Página 728. 
 
Cartografia 
 
Projeção cartográfica da superfície terrestre 
(Fonte: https://guiadoestudante.abril.com.br/wp-content/uploads/sites/4/2016/10/mapa2.jpg?quality=100&strip=info&w=400) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_molecular
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A9cula
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_tridimensional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subst%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Branko_Gr%C3%BCnbaum
https://pt.wikipedia.org/wiki/Proje%C3%A7%C3%A3o_ortogr%C3%A1fica
Projeções cartográficas são transformações que mapeiam pontos 
de uma superfície não plana (geralmente, por simplicidade, assume-se a 
forma de uma esfera ou elipsoide como o formato do planeta) para os 
pontos de um plano. É impossível representar a superfície da Terra em um 
plano sem que ocorram distorções (uma consequência do Teorema Egrégio 
de Gauss). 
 
Engenharia 
A geometria fractal é aplicada nos projetos de antenas fractais 
usadas em comunicação sem fio multi-banda compacta — a propriedade 
de preenchimento do espaço dos fractais é explorada de modo a conseguir-
se miniaturizações cada vez mais expressivas. 
 Conhecimentos a respeito de fractais encontram aplicações também 
no entendimento da porosidade do solo, atrito entre objetos, e em 
engenharia aeronáutica. 
 
Biologia 
 
Uma colmeia 
(Fonte: https://ironiandrade.com.br/wp-content/uploads/2020/02/matthew-t-rader-ohygdzgWbr4-unsplash.jpg) 
 
Já na Antiguidade estudiosos perceberam padrões geométricos na 
natureza. Papo de Alexandria viveu no século III e escreveu: "As abelhas 
foram dotadas de uma certa premeditação geométrica .... Pois, havendo 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Proje%C3%A7%C3%A3o_cartogr%C3%A1fica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie
https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
https://pt.wikipedia.org/wiki/Elipsoide
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Terra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Theorema_Egregium
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gauss
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_fractal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Antena_fractal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_aeron%C3%A1utica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Colmeia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiguidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Natureza
https://pt.wikipedia.org/wiki/Papo_de_Alexandria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Abelha
apenas três figuras que por elas mesmas pode-se preencher o espaço em 
volta de um ponto, viz. o triângulo, o quadrado e o hexágono, as abelhas 
sabiamente escolhem para a sua estrutura aquela que contém o maior 
número de ângulos, suspeitando de fato que ela pode conter mais mel do 
que qualquer uma das outras duas." 
 
Navegação 
 
Curva loxodrômica na esfera 
(Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Loxodrome.png) 
 
A obra do matemático português Pedro Nunes, que viveu no século 
XVI, voltou-se para o desenvolvimento da teoria náutica e resolução dos 
problemas que se apresentavam no período das Grandes Navegações 
Portuguesas, tendo resolvido problemas tais como o de determinar em 
que longitude se está quando em alto mar, e lançado luz sobre o tema das 
linhas de rumo (curvas loxodrômicas), extremamente úteis para não se 
perder a rota quando se navega em alto mar (e, portanto, sem referências 
costeiras). 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hex%C3%A1gono
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pedro_Nunes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Era_dos_Descobrimentos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Era_dos_Descobrimentos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Loxodromia
Mais exemplos 
 
A geometria usada em arquitetura 
(Fonte: https://casa.abril.com.br/wp-content/uploads/2016/12/01-figuras-geometricas-na-arquitetura-
design.jpeg?quality=95&strip=info&w=928) 
 
 
Escada em espiral 
(Fonte: https://www.saflex.com/sites/default/files/louvre-r.jpg) 
 
 
A proporção áurea aplicada na arte 
(Fonte: https://musichess.com/wp-content/uploads/2018/06/da-vinci-aurea-e1530029515505.jpg) 
 
 
O empacotamento de esferas aplica-se a uma pilha de laranjas 
(Fonte: https://cdn.xxl.thumbs.canstockphoto.com.br/laranja-fresco-mercado-frutas-banco-de-imagem_csp17281669.jpg) 
 
 
Um espelho parabólico concentra raios de luz paralelos em um ponto 
(Fonte: https://mundoeducacao.uol.com.br/upload/conteudo/images/espelho-concavo.jpg) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Empacotamento_de_esferas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Laranja
Relações entre a geometria e outros ramos do 
conhecimento 
 
Esfera em um cilindro circunscrito 
(Fonte: https://files.cursoenemgratuito.com.br/uploads/2020/11/Cilindro-circunscrito-a-esfera-inscricao-e-circunscricao.jpg) 
 
Como mostrado por Arquimedes, uma esfera tem 2/3 do volume de 
seu cilindro circunscrito 
A matemática é tradicionalmente dividida em três grandes áreas, 
sendo a geometria uma delas, e a álgebra e a analítica as outras duas 
— que por sua vez se dividem em diversas outras subáreas (que 
frequentemente intersectam-se). 
Essas três grandes áreas são também conhecidas como delineadoras 
de maneiras de pensar em matemática, e os matemáticos são por vezes 
classificados em algebristas, geômetras e analistas. 
Exemplos de matemáticos considerados geômetras são: 
Arquimedes, Isaac Newton, Bernhard Riemann, Henri Poincaré, 
Felix Klein, Michael Atiyah, Vladimir Arnold, e Mikhail Gromov. 
Frequentemente a solução para um mesmo problema pode ser 
encontrada "geometricamente", "algebricamente" ou "analiticamente", e a 
decisão sobre qual é a melhor, a mais simples, ou a mais adequada 
solução, frequentemente depende de preferências pessoais bastante 
subjetivas. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
https://pt.wikipedia.org/wiki/Volume
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cilindro
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
https://pt.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
https://pt.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein
https://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Atiyah
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vladimir_Arnold
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mikhail_Gromov
 
 Arquimedes Isaac Newton Bernhard Riemann 
(Fonte Arquimedes: https://i.em.com.br/ia61AapxPNThDh24n8uhMNu9kEY=/675x/smart/imgsapp.em.com.br 
/app/noticia_127983242361/2015/04/13/637166/20150413184610743119o.jpeg) 
(Fonte Newton: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Sir_Isaac_Newton_%281643-1727%29.jpg) 
(Fonte Bernhard: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg) 
 
 
 Henri Poincaré Felix Klein Michael Atiyah 
(Fonte Henri: https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2020/05/Henri_Poincare.jpg)(Fonte Felix: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Felix_Christian_Klein.jpg) 
(Fonte Michael: https://media.nature.com/lw800/magazine-assets/d41586-019-00358-9/d41586-019-00358-9_16419598.jpg) 
 
 
 Vladimir Arnold Mikhail Gromov 
(Fonte Vladimir: https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQA6StfalfCrl_34xfU0CoiD0x 
LLp9CbJ031EVon7z9RebD4pbESx7D-Q4C-rf8qxWkrKE&usqp=CAU) 
(Fonte Mikhail: https://abelprize.no/sites/default/files/styles/gutenberg_style_rect_front/public/2021-
04/2009_Gromov_A.L.Flavik.jpg?itok=AOZsGtcz) 
 
https://i.em.com.br/ia61AapxPNThDh24n8uhMNu9kEY=/675x/smart/imgsapp.em.com.br%20/app/noticia_127983242361/2015/04/13/637166/20150413184610743119o.jpeg)
https://i.em.com.br/ia61AapxPNThDh24n8uhMNu9kEY=/675x/smart/imgsapp.em.com.br%20/app/noticia_127983242361/2015/04/13/637166/20150413184610743119o.jpeg)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Sir_Isaac_Newton_%281643-1727%29.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2020/05/Henri_Poincare.jpg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Felix_Christian_Klein.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mikhail_Gromov
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQA6StfalfCrl_34xfU0CoiD0x
Como exemplo, o proeminente matemático russo Vladimir Rokhlin 
certa vez afirmou bastante emocionado que "a profundidade e a beleza da 
geometria não podem ser comparadas com as de qualquer outra área da 
matemática". 
 
Vladimir Rokhlin 
(Fonte: https://www.amacad.org/sites/default/files/images/headshots/headshot_81694.jpg) 
 
Já foram escritos muitos ensaios sobre pensar geometricamente e 
utilizar intuição geométrica e visualização como poderosos meios de 
avançar em áreas da matemática, bem como outros com a tese oposta, 
um fenômeno que frequentemente é descrito como delineador entre as 
várias escolas de pensamento em matemática, cada qual com prioridades 
e maneiras de pensar que podem ser eventualmente bastante conflitantes. 
Como exemplos, de forma simplificada, mas essencialmente correta: 
na geometria analítica majoritariamente usa-se álgebra para resolver 
problemas de geometria, já na álgebra geométrica faz-se o inverso, 
interpretando-se entes algébricos geometricamente – interpretações 
geométricas que, por exemplo, podem ser utilizadas para visualizar-se 
identidades algébricas. 
As distintas maneiras de se pensar sobre um mesmo tema 
frequentemente revelam-se nos nomes de alguns dos atuais campo de 
pesquisa em matemática: topologia algébrica, topologia geométrica 
e topologia diferencial, bem como teoria dos grupos e teoria geométrica 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vladimir_Rokhlin
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_geom%C3%A9trica&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_geom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grupos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_geom%C3%A9trica_de_grupos
de grupos, e também existem abordagens com apelos mais geométricos, 
algébricos ou analíticos, em diferentes proporções, em campos que vão de 
equações diferenciais a sistemas dinâmicos, e muitos outros. 
 
Geometria e análise 
A análise é uma ferramenta imprescindível para o estudo 
aprofundado da geometria. Como exemplo, todos os conceitos básicos 
em geometria diferencial são definidos por conceitos que pertencem à 
análise. E o estudo de geometria leva, de maneira natural, a muitos 
conceitos da análise, tais como os diferentes tipos de derivadas, ao 
conceito de variedades, e vários outros. 
Historicamente, foram utilizados muitos artifícios heurísticos na 
resolução de problemas geométricos cujas justificativas rigorosas 
pertencem à análise. Também alguns teoremas básicos da geometria 
necessitam de conceitos da análise para suas demonstrações rigorosas — 
exemplos disso são o teorema de Tales (que requer a continuidade da reta) 
e o princípio de Cavalieri (que requer a teoria das integrais por meio de 
limites). 
 
Simetria como ponte entre diversas áreas 
 
Lilium bulbiferum 
(Fonte: https://thumbs.dreamstime.com/b/abra-lily-flower-isolated-alaranjada-no-fundo-preto-31745134.jpg) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_geom%C3%A9trica_de_grupos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A2mico
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Variedade_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales_(interse%C3%A7%C3%A3o)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Cavalieri
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Limite
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lilium_bulbiferum
A ideia de simetria teve origem no estudo de geometria, e ao longo 
de sua história, a humanidade foi percebendo a presença de simetrias nas 
formas presentes na natureza: o sol, as folhas, as flores, os corpos dos 
humanos e de outros animais, os cristais de gelo, a neve, entre tantos 
outros exemplos de objetos com formas simétricas. 
À medida que eram acumuladas mais observações (sabe-se que a 
simetria dos cristais de gelo já era bem conhecida na China no século 
X), cada vez mais a questão de como a simetria surgia na natureza 
intrigava os estudiosos. Ao longo da evolução da matemática, a noção de 
simetria se tornou uma das mais importantes noções, não apenas em 
geometria, mas em todas as áreas da matemática, e também na física —
onde o entendimento de simetrias das leis da física fornece meios 
extremamente eficazes para a compreensão dos fenômenos regidos por 
tais leis. 
Os "argumentos de simetria" frequentemente fornecem atalhos e 
soluções elegantes para problemas matemáticos e físicos. Mas as ideias de 
simetria são influentes não apenas por fornecerem métodos para a 
resolução de problemas: o seu aspecto mais importante é que elas são 
peças-chaves em muitas das ligações entre os diferentes ramos das 
ciências. 
 
Problemas em aberto 
Existem muitos problemas em aberto em geometria. Alguns dos 
quais podem ser entendidos por leigos, por exemplo: 
 
Um triângulo pode ser coberto por três cópias menores de si mesmo, 
mas um quadrado exige quatro cópias menores. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Simetria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Natureza
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hadwiger_covering.svg
Conjectura de Hadwiger: Toda figura convexa n-dimensional pode ser 
completamente coberta por 2n cópias menores dela mesma? (em aberto 
desde 1955). 
 
Todos os vértices de alguns quadrados fazem parte da curva. 
 
Conjectura de Toeplitz: Toda curva plana simples fechada contém 
os quatro vértices de um quadrado? (em aberto desde 1911). 
 
Conjectura de Erdős–Szekeres: Para n ≥ 3, qualquer conjunto de 
2n−2 + 1 pontos no plano, em posição geral (disso exclui-se estarem todos 
alinhados por exemplo), contém n pontos que formam um polígono 
convexo? (em aberto desde 1935). 
 
Referências 
Abers, E.S.; Kennel, C.F. - Matter in motion: The spirit and evolution of 
physics, 261 p. 
Ball, F. (2001). Life's Matrix: A Biography of Water. [S.l.]: University of 
California Press. 190 p. ISBN 978-0-520-23008-8 
Chang, R. (1975). Química Geral. [S.l.]: McGraw Hill Brasil. 300 p. 
ISBN 978-85-63308-17-7 
Chern, Shiing-Shen, Chen, W., Lam, K.S. Lectures on Differential 
Geometry, 335 p. 
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjectura_de_Hadwiger&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjectura_de_Toeplitz
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjectura_de_Erd%C5%91s%E2%80%93Szekeres&action=edit&redlink=1
http://books.google.com/books?id=vPVdHwpkfu0C&pg=PA190
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Numberhttps://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-520-23008-8
http://books.google.com/books?id=1wlkVR-WPzAC&pg=PA300
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-85-63308-17-7
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Inscribed_square.svg
Gibilisco, S. (1983). Understanding Einstein's Theories of Relativity. Man's 
New Perspective on the Cosmos. [S.l.]: Courier Dover Publications. 153 
p. ISBN 9780486266596 
Gowers, T.; Barrow-Green, J.; Leader, I. eds. (18 de julho de 2010). The 
Princeton Companion to Mathematics. [S.l.]: Princeton University Press. 
3 p. ISBN 1-4008-3039-7 
Gowers, T.G.; Barrow-Green, J.: Leade, I. (2010). The Princeton 
Companion to Mathematics. [S.l.]: Princeton University Press. 91 p. 
ISBN 9781400830398 
Gruber, B.; Marmo, G.; Yoshinaga, N. (27 de dezembro de 2005). 
Symmetries in Science XI. [S.l.]: Springer Science & Business 
Media. 226 p. - ISBN 978-1-4020-2634-8 
Lauer, H.; Anyidoho, K. (2012). Reclaiming the Human Sciences and 
Humanities Through African Perspectives. 1. [S.l.]: African Books 
Collective. 153 p. ISBN 9789988647339 
Lucas, J.R. (2002). Conceptual Roots of Mathematics. [S.l.]: Routledge. 39 
p. ISBN 9781134622276 
Martin J.T., Blackledge, J.M., Andrews, P.R. (1998). "Fractal geometry in 
digital imaging". Academic Press. p.1. ISBN 0-12-703970-8 
Maslov A.V.; Gordeev A.V.; Batrakov, I.G. (1984). Geodetic surveying. 
[S.l.]: Mir Publishers. 25 p. 
Morris, R. - Geometry in Schools, 173 p. 
Pantoja, L.; Peres, C.; Sá, P. Recreações Topológicas. 4 p. 
Pedoe, D. "Thinking Geometrically", American Mathematical Monthly, Vol. 
77, No. 7. (Aug.–Sep., 1970), p. 711–721. 
Poincaré, H. (1902). La Science et l'Hypothèse. [S.l.]: Champs Flammarion 
Prenowitz, W.; Meyer, J. (1989). Basic Concepts of Geometry. [S.l.]: 
Rowman & Littlefield. 91 p. ISBN 9780912675480 
http://books.google.com/books?id=fzZMuP2sF9sC&pg=PA153&dq=%22space%22+curved+%22gravitational+fields%22+euclidean+Einstein
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9780486266596
http://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA3
http://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA3
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/1-4008-3039-7
https://pt.wikipedia.org/wiki/June_Barrow-Green
http://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA94&dq=Klein+%22Euclidean%22+%22non-Euclidean%22+%22projective%22+conic
http://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA94&dq=Klein+%22Euclidean%22+%22non-Euclidean%22+%22projective%22+conic
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9781400830398
http://books.google.com/books?id=gOlSho-LfZQC&pg=PA226
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-1-4020-2634-8
http://books.google.com.br/books?id=gfyAQQax-CIC&pg=PA792&lpg=PA792&dq=%22non+euclidean+geometry%22+%22until+einstein%22+curiosities&source=bl&ots=4pDqFrRBhI&sig=rFYd2L5bwVmZwg4y5qsP8nh5-us&hl=pt-BR&sa=X&ei=b9ePU5W0Lc6eqAaQ04KoBA&ved=0CDQQ6AEwAg#v=onepage&q=%22non%20euclidean%20geometry%22%20%22until%20einstein%22%20curiosities&f=false
http://books.google.com.br/books?id=gfyAQQax-CIC&pg=PA792&lpg=PA792&dq=%22non+euclidean+geometry%22+%22until+einstein%22+curiosities&source=bl&ots=4pDqFrRBhI&sig=rFYd2L5bwVmZwg4y5qsP8nh5-us&hl=pt-BR&sa=X&ei=b9ePU5W0Lc6eqAaQ04KoBA&ved=0CDQQ6AEwAg#v=onepage&q=%22non%20euclidean%20geometry%22%20%22until%20einstein%22%20curiosities&f=false
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9789988647339
http://books.google.com/books?id=Q42EAgAAQBAJ&pg=PA39&dq=%22non+euclidean+geometry%22+%22to+be+absurd%22
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9781134622276
http://books.google.com/books?id=oLXgFdfKp78C&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false
http://books.google.com/books?id=oLXgFdfKp78C&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Academic_Press&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0127039708
http://books.google.com/books?id=aUu4AAAAIAAJ
http://www.sbempa.mat.br/Boletim/Anais/secoes%5CCC0501.pdf
http://books.google.com/books?id=JZxAyNXFR78C&pg=PA91&dq=%22inconsistency%22+%22if+euclidean+geometry%22+klein%22
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9780912675480
Satz, H. (4 de fevereiro de 2014). Ultimate Horizons: Probing the Limits of 
the Universe. [S.l.]: Springer Science & Business Media. 128 p. 
ISBN 978-3-642-41657-6 
Schmidt, W.; Houang, R.; Cogan, L. (2002). A coherent curriculum. [S.l.]: 
American educator. p. 1–18 
Schutz, B.F. (28 de janeiro de 1980). Geometrical Methods of Mathematical 
Physics. [S.l.]: Cambridge University Press. 2 p. ISBN 978-1-107-
26814-2 
Shalaev, V.M. (22 de janeiro de 2002). Optical Properties of 
Nanostructured Random Media. [S.l.]: Springer Science & Business 
Media. 5 p. –. ISBN 978-3-540-42031-6 
Simon, P.L. – Differential Equations and Dynamical Systems. Arquivado em 
18 de novembro de 2015, no Wayback Machine. 
Venturi, J.J. Problema da duplicação do cubo ou problema deliano. Álgebra 
Vetorial e Geometria Analítica 9 ed. [S.l.: s.n.] 23 p. 
Weisstein, E.W. - CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second 
Edition, 48 p. 
William Le Roy Hart (1963). Analytic Geometry and Calculus. [S.l.]: D. C. 
Heath & Comp. 3 p. 
http://books.google.com/books?id=g1S-BAAAQBAJ&pg=PT128
http://books.google.com/books?id=g1S-BAAAQBAJ&pg=PT128
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-3-642-41657-6
http://books.google.com/books?id=gcg0AAAAQBAJ&pg=PA2
http://books.google.com/books?id=gcg0AAAAQBAJ&pg=PA2
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-1-107-26814-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-1-107-26814-2
http://books.google.com/books?id=OPEBoaI7c1wC&pg=PR5
http://books.google.com/books?id=OPEBoaI7c1wC&pg=PR5
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-3-540-42031-6
http://www.cs.elte.hu/~simonp/dynsysdiffeq.pdf
https://web.archive.org/web/20151118085657/http:/www.cs.elte.hu/~simonp/dynsysdiffeq.pdf
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wayback_Machine
http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/av.pdf
http://books.google.com/books?id=VfdQAAAAMAAJ