MANUAL DO PROFESSOR VOLUME 5

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MATEMATICA
TEMAS E METAS
Antonio dos Santos Machado
5 - Geometria Analítica e Polinómios
MANUAL DO PROFESSOR
Antonio dos Santos Machado
Licenciado em Matemática pelo Instituto 
de Matemática e Estatística da USP 
Mestre em Estatística pelo IME - USP 
Professor assistente do IME - USP 
Professor do Curso Intergraus - São Paulo 
Professor do Colégio Gávea - São Paulo
MATEMATICA
TEMAS E METAS
5 - Geometria Analítica 
e Polinómios
MANUAL DO PROFESSOR
r
Copyright desta edição:
ATUAL EDITORA LTDA., São Paulo, 1992. 
Todos os direitos reservados.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Machado, Antonio dos Santos, 1948-
Matemática : temas e metas : manual do professor / 
Antonio dos Santos Machado. — São Paulo : Atual, 1992.
ISBN 85-7056-481-3
1. Matemática (2? grau) — Manual do professor 
I. Título.
92-1790 CDD-510.7
índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Estudo e ensino 510.7
Matemática — Temas e Metas — volume 5 
Manual do Professor
Editora: Bárbara Ferreira Arena 
Editor de campo: Valdir Montanari 
Coordenadora editorial: Sandra Lucia Abrano 
Chefe de preparação e revisão de texto: Noé G. Ribeiro 
Preparação de texto: Renato Nicolai 
Revisão: Alice Kobayashi
Magna Reimberg Teobaldo 
Vera Lúcia Pereira Delia Rosa 
Chefe de arte: Zildo Braz 
Coordenadora de arte: Thais de B. F. Motta 
Assistentes de arte: Lu Bevilacqua Ghion 
Ricardo Yorio 
Rosi Meire Martins Ortega 
Gerente de produção: Antonio Cabello Q. Filho 
Coordenadora de produção: Silvia Regina E. Almeida 
Produção gráfica: José Rogério L. de Simone 
Maurício T. de Moraes 
Composição e arte final: K.L.N.
Fotolito: Binhos/Fotoset
ISBN 85-7056-481-3
NOS PEDIDOS TELEGRÁFICOS BASTA CITAR O CÓDIGO ADSM8825K
Apresentação
A coleção Temas e Metas está estruturada em seis volumes:
Conjuntos Numéricos e Funções 
Trigonometria e Progressões 
Sistemas Lineares e Combinatória 
Áreas e Volumes
Geometria Analítica e Polinómios 
Funções e Derivadas.
Preparamos este manual para servir de apoio aos colegas professores 
que a utilizam em suas aulas. O manual é muito simples; fizemos uma sele­
ção de exercícios, problemas propostos e testes e colocamos aqui as suas reso­
luções.
O volume 5 contém os capítulos listados abaixo. Os números colocados 
entre parênteses são, respectivamente, a quantidade de exercícios, a quantida­
de de problemas propostos e a de testes que se encontram no livro — não 
contamos os exemplos nem os problemas resolvidos.
Capítulo 1 
Capítulo 2 
Apêndice A 
Capítulo 3 
Apêndice B 
Capítulo 4 
Apêndice C 
Capítulo 5 
Capítulo 6 
Capítulo 7
Geometria Analítica e Polinómios
— Pontos ( 72— 12— 12)
— Retas (100 — 20 — 37)
— Ângulo de Duas Retas (18)
— Distâncias e Áreas (40 — 16 — 20)
— Tópicos Complementares (40 — 16)
— Circunferências (68 — 36 — 48)
— Lugares Geométricos (80 — 46)
— Números Complexos (100 — 25 — 52)
— Teoria dos Polinómios (92 — 32 — 50)
— Equações Polinomiais (83 — 28 — 70)
Agradeço a correspondência recebida até o momento e aguardo outras 
cartas, com sugestões, comentários, e me coloco à disposição para apresentar 
resoluções de outros exercícios que porventura não tenha selecionado para este 
manual. As cartas podem ser enviadas a mim através da Atual Editora — 
Rua José Antônio Coelho, 785 — CEP 04011-062 — São Paulo (SP).
O Autor
Sumário
Resoluções de exercícios selecionados........................................................... 1
Capítulo 1 — Pontos...................................................................................... 1
Capítulo 2 — Retas........................................................................................ 3
Apêndice A — Ângulo de duas retas .......................................................... 6
Capítulo 3 — Distâncias e áreas ................................................................ 6
Apêndice B — Tópicos complementares ...................................................... 9
Capítulo 4 — Circunferências ..................................................................... 11
Apêndice C — Lugares geométricos ............................................................ 15
Capítulo 5 — Números complexos ........................................................... 17
Capítulo 6 — Teoria dos polinómios ....................................................... 22
Capítulo 7 — Equações polinomiais ......................................................... 28
Resoluções de Exercícios Selecionados
Capítulo 1
Pontos
EXERCÍCIOS
4 9 . ( p . 1 3 ) Sendo M e N os pontos médios dos lados 
AB e ÃC do AABC, devemos provar que
MN = 4 - BC.
2
Fixemos um sistema de coordenadas tal que 
B = (0, 0), A = (a, b) e C = (ç, 0).
temos:
MN -rta + c _ b _ W 2
BC = t/(c - O)2 + (0 - O)2 = Vc2" = | c 
Como = |c |, temos MN = 4 - BC.
2 1 1 2
69. (p. 20)
(m, n), (mn, 0) e (0 , mn) 
são colineares
mn - m 0 - n 
0 - m mn — n = 0
<=> (mn - m) (mn - n) — mn = 0 <=> mn[(n - 1) (m - 1) - 1] = 0 -
(mn 0)
«=> (n - 1) (m - 1) - 1 = 0 <=> mn = m + n.
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 22 e 23)
• lado do quadrado:
( = AB = V (-3 )2 + 42 = 5
• vértice C = (x, y)
CB = ( =► x2 + (y - 4)2 = 25 )
CA = (\Í2 =* (x - 3)2 + y2 = 50 j **
resolve
c e i? q
C = (4, 7)
M = médio de AC => M = y 
M = médio de BD e B = (0, 4)
=> D = (7, 3)
• AC = N 2 => 'J l1 + l 2 = Pv2 => ( = 5
• Os vértices B e D têm coordenadas (x, y) 
que são as soluções do sistema
f(x - l )2 + (y - 2)2 = 25 
((x - 8)2 + (y - 3)2 = 25.
As soluções são (5, - 1) e (4, 6).
11. • P G eixo x => P = (x, 0)
• Vx2 + ( - 4 )2 + Vx2 + 42 = 10 =» Vx2 + 16 = 5 => x2 + 1 6 = 25 => x = ± 3 
Resposta: P = (3, 0) ou P = ( - 3 , 0).
TESTES (p. 23 e 24)
P € AC
3 - 1 
5 - 1
m = - 1
-+ P, A e C são colineares
m - 2 = o
- 4 - 2
A(1, 2), B(3, 1), C(5, -4 ), P(3, m) Resposta: a.
11. d(A, B) = d(A, C) + d(B, C) 
A C
C G segmento AB 
B
A(0, 3) B(5, 13) C(x, y)
Então devemos ter: xA ^ xc ^ xB —► 0 < x ^ 5 
yA < yc < Yb 3 < y sí 13
x - 0 y - 3 
5 - 0 1 3 - 3 = 0 2x - y + 3 = 0 x = T y " T -
Resposta: e.
12. As soluções do sistema
x2 — y2 = 
xy = 40
60 são (4V5, 2\f5) e (-4VJ, -2V3). Nenhuma delas tem
x e y inteiros. 
Resposta: b.
Capítulo 2
Retas
EXERCÍCIOS
48. (p. 41)
• Ponto A
A € eixo x => yA = 0 
A € reta AC => xA + yA + 5 = 0
• Ponto B
B S b13 => yB = xB 
B S reta BC => 2 xB - yB — 2 = 0
• Ponto C
A = ( - 5, 0)
B = (2, 2)
C € retas ÁC e BC
• Perímetro
x + y + 5 = 0 
2x - y - 2 = 0 C = ( - 1 , -4 )
AB + BC + AC = V72 + 22 + V32 + 62 + V42 + ( - 4 )2 = V53 + 3VJ + 4V2.
Sendo M e N os pontos médios dos lados AB e
« t 4 — ► < — ►
AC do AABC, devemos provar que MN H BC . 
Fixemos um sistema de coordenadas tal que 
B = (0, 0), A = (a, b) e C = (c, 0). Então
mBC =» MN H BC.
84. (p. 55) (r) a,x + b,y + c, = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0.
Há 3 casos a estudar: podemos ter b,b2 ^ 0, ou b, = 0, ou b2 = 0.
1? caso: b] • b2 ^ 0
Neste caso, existem mr e ms. Então:
. ( - a ,) ( - a 2)
r i s <=> mr - m s = - 1 <=> — j-— • — r-— = - 1 •<=> a,a2 + bjb2 = 0 .
b, b2
2? caso: b, = 0 (logo a, * 0, por ser a,x + b,y + c, = 0 a equação de uma reta). Neste caso, 
/ m r. Temos r H eixo y. Então:
r _L s =► s U eixo x => a2 = 0 => a,a2 + b,b2 = 0 + 0 = 0 
e
a,a2 + b,b2 = 0 ...— > a[a2 = 0 — > a2 = 0 =* s H eixo x => s X r.
(b, = 0) (a, *■ 0)
3° caso: b2 = 0 (logo a2 ^ 0, por ser a2x + b2y + c2 = 0 a equação de uma reta). É análo­
go ao 2? caso.
Portanto, em todos os casos verificamos que r 1 s <=> a,a2 + bjb2 = 0.
100. (p. 56)
• Ponto A
A í s => yA = xA + 
XA = 5 — A = (5,6)
• Ponto B —*■ r D s
( y = x + 1 
[5y = x + 13 B = (2, 3)
• Reta t: por A, x s 
ms = 1 => m, = - 1 
y - 6 = - 1 (x - 5) => y = - x + 11
• Ponto C —► r fl t
( 5y = x + 13 
( y = - x + 11 C = (7, 4)
• Perímetro
AB + BC + AC = V32 + 32 + V52 + l 2 + t/22 + ( - 2 )2 = 5V2 + V26.
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 59 a 61)
12. c) a O ß ( 2x + y + p = 0 / - P - Q - P + 2 q \x - y + q =0 V 3 ’ 3 )
A 6 (v) x + 2y + r = 0 <=> - P + 2q 
3
+ r = 0 <=*■ p = q + r.
15. x + my + (m - 2) = 0 é um feixe de concorrentes no ponto A(2, - 1). 
mx + 2y + (4 - m) = 0 é um feixe de concorrentes no ponto B(l, -2 ) .
4—►
A reta comum aos feixes é a reta AB, cuja equação é x — y - 3 = 0. Note que essa reta se 
obtém fazendo m = - 1 na equação do 1? feixe, ou m = - 2 na do 2? feixe.
16. m(x + y - 4) + k(5x - 2y + 1) = 0
centro do feixe:
( x + y - 4 = 0 
(5x - 2y + 1 = 0 P(l, 3)
A reta do feixe que passa pela origem 0(0, 0) é a reta ÒP, cuja equação é 3x - y = 0. 
Outro modo:
(0, 0) 6 reta m(x + y - 4) + k(5x — 2y + 1) = 0 <=> -4 m + k = 0 «=» k = 4m 
Escolhendo, por exemplo, m = 1 e k = 4, formamos a equação (x + y - 4) + 4(5x - 2y + 1) = 
= 0, que equivale a 21x - 7y = 0, ou ainda a 3x - y = 0.
• Projeção de P = (1,2) sobre a reta AB: 
P,(1,0)
•<—►
• Projeção de P = (1,2) sobre a reta AC: 
P2(0, 2)
_ < — >•
• Projeção de P = (1,2) sobre a reta BC
*-*■ x y
reta BC: — + — = 1 => x + y = a 
a a
reta t, por P, X BC: 
y - 2 = l(x - 1) => x - y = — 1
P3
x + y = a 
x - y = - 1
a + 1 \
• Condição para alinhamento de P,, P2 e P3:
0 - 1 
a - 1 
“ 2
2 - 0 
a + 1 
2 - 0
= 0
Resposta: a 5_ 
3 '
TESTES (p. 61 a 65)
13. 1 - Falsa. Como a > 0, b > 0, c > 0, nenhum ponto com x > 0 e y > 0 satisfaz a equação 
ax + by + c = 0.
2 - Falsa, porque c > 0.
3 - Falsa, porque r corta o eixo x no ponto
4 - Falsa, porque m = < 0.
Resposta: a.
< 0.
BA = BC => (x + 3)2 + (y - 5)2 = 
= (x - 5)2 + (y - 3)2 => y = 4x
BA X BC
y - 5 y - 3
x + 3 x - 5
Daí obtemos x = y = 0 o u x = 2, y = 8. 
Resposta: d.
37. Centro do feixe ax + y + 8 = 0:
a = 0 —*-y + 8 = 0
a = l —*-x + y + 8 = 0 (x = 0 , y = - 8) A = (0, - 8)
Centro do feixe bx - 4y + 4 = 0:
b = 0 —* - 4 y + 4 = 0 )
b = 1 —*• x - 4 y + 4 = 0 j (x = 0 , y = 1) B = (0, 1)
Reta AB: x = 0. 
Resposta: d.
Ângulo de duas retas
e x e r c íc io s
10. (p. 69) A(0, 2) 
B(V3, 5) 
C(0, 6)
mAB = V3,
18.
Ângulo A: formado por ÀB e ÀC 
tg A = 1 1 V3
mAB V3 3
AB 1 BC, logo B = 90°.
A = 30°
Angulo C: formado por AC e BC 
1tgC = V3 => C = 60°
(ou, C = 180° — A - B = 180° - 90° - 30° = 60°).
ysen 15° = y = 2V2 sen 15°
2V2
sen 15° = sen(45° - 30°) =
V2 . V3 1 V2
2 ' 2 2 2
V6 - V2
y = 2V2 ^
4
V6 - V2 = V3 — 1.
Resposta: a.
Capítulo 3
Distâncias e áreas
e x e r c íc io s
34. (p. 80) Sendo u a reta pedida, temos:
• u // r =» mu = mr = — 1. A equação de u é y = -x + q.
• u fl s
u n t
• s n t
[X - y = 0 
[y = - x + q
y - 6 = 0
y = - x + q
x - y = 0 
y — 6 = 0
Al 4 4
- B(q - 6, 6)
C(6, 6)
(q - 12)2
2
q - 12 0
Há duas respostas: y = - x + (12 + 2V5), y = - x + (12 — 2\Í5).
s
r X s
3 => a = 2
(5 - a)
-*■
x
A reta r passa por (5, 3) e (2, 0). Sua equação 
é x - y — 2 = 0 .
A reta s passa por (5, 3) e (8, 0). Sua equação 
é x + y - 8 = 0 .
40. • Determinemos P, P G (s) x - 7y + 25 = 0 e PC = 5.
(x - 7y + 25 = 0 (x = 3, y = 4) ou (x = - 4 , y = 3).
( x2 + y2 = 25 ^ P(3, 4) ou P ( -4 , 3)
• Há duas respostas. A primeira é a reta paralela a (r) 2x - y + 1 = 0 , por (3, 4); sua equa­
ção é 2 x - y - 2 = 0. A segunda é a reta paralela a (r), por ( — 4, 3); sua equação é 
2x - y + 11 = 0 .
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 80 e 81)
4. (r) 3x + y + 1 = 0, (s) 3x + y + 7 = 0
A reta t, paralela e equidistante de r e s, tem equação 3x + y + c = 0, sendo que:
c - 1 C - 7
v lõ VTÕ
A resposta é 3x + y + 4 = 0.
6 . P G (r) x - 3y = 0 => xp - 3yP = 0
V 3 2 + 4 2
15. t 1 s —* (t) y = - x + q 
A = (3, 0)
B =
3 + q q - 3
2 ’ 2
C = (6 - q, 2q - 6)
. i , 3(q - 3)2
= 6
TESTES (p. 81 a 83)
14. reta QR: y - 5 = (tg 45°) • (x - 4) 
1
x - y + 1 = 0
reta PR: mPR =
y - 3
ponto R
= - 1
m(QR
‘ í
- 1(X - 3) 
x - y + 1 = 0
x + y - 6 = 0
A =
x + y - 6 = 0
4 - 3 5 - 3
4 - 3 4 - 32 2
(x = t ,>, = t ) —* R = (t ’t )
— => SPQR
Resposta: d.
20. a > 0, b > 0 , (r) ax + by - ab = 0 
by - ab = 0fax + 1
“ (y - o
fax +
’• (x = 0
A = (b, 0)
B
S a o p — S BOp 
Resposta: d.
by - ab = 0 B = (0, a) 
byP axP
axP =
EXERCÍCIOS
Tópicos complementares
• reta CH: por H(4, 3), X (r) x - y = 0 
mr = 1 => mCH = - 1 
y - 3 = - l(x - 4) =* x +
CH n s
x + y = 7 
x - 6y = 0
y = 7
C = (6, 1).
C(l, -1 ) , (h.)X + y = 5, (h2) 3x - y + 2 = 0 
Note que C ^ h, e C ^ h2.
• Reta CA: por C, X h2
• Ponto A —*• CA n h,
• Reta CB: por C, X h,
• Ponto B —* CB fl h2
• Baricentro: xG
xA + xB + xc
---------=----------. y0 =
yA + yB + yc
3
Reta AC: por A, X BH 
Reta BC: por B, X AH 
Ponto C —* AC fl BC
A(4, 2), (r) 5x + 2y - 7 = 0, 
(s) 2x + 3y - 5 = 0 
Note que A r e A ^ s.
• Ponto B —*■ r fl s —*•
f5x + 2y = 7 
(2x + 3y = 5 B(1, 1)
• Ponto C
C G r => 5xc + 2yc = 7 
M G s => 2xm + 3yM = 5 2
4 + xc 
2 ) + 3 = 5
Í5xc + 2yc = 7 ^ c /_29_ -3 4 \
(,2xc + 3yc = - 4 \ 11 ’ 11 /
• A
SABC
4 - 1 2 -
-3 4
11
1 I A I 153- 2 |A|
22
153
11
TESTES (p. 96 a 98)
4. P,(X[, y,), 0(0, 0), (r) ax + by + c = 0, c > 0 
P2 = simétrico de P, em relação a r
M = ponto médio de P,P2
=> O e P] estão num mesmo semiplano definido por r.
OM < OP2 
Resposta: c.
ax, + by, + c > 0 ) 
c > 0 j
ou
y ^ 0 
y > 0
9. |x| + |y| < 1
No 1? quadrante: x + y < 1
No 2? quadrante: - x + y < 1
No 3? quadrante: - x - y < 1
No 4? quadrante: x - y < 1
O ponto (0, 0) satisfaz as quatro inequações. 
Resposta: c.
Capítulo 4
Circunferências
EXERCÍCIOS
63. (p. 117)
• C G eixo x => C = (a, 0) 
a + 0 - 2
• dr r = r
• dCs = r =>
V2
a - 0
V2
= r => ia — 2 !
= rV2
A equação da circunferência é (x - l)2 + y2 =
rV2
a = 1, r
68. Determinemos o centro C(a, b) e o raio r.
• dlc = r2 => (a - D2 + (b - D2 =
• dgc = r2 => i2 + (b - 2)2 = r2 ©
• dc,s = r =*•
3a + 2b - 4
vTT
= r ®
( ® e @ ) — b = 1 + a ^
Em (T): r2 = 2a2 - 2a + 1 • => a = 3, b
Em (T ) : r2 -
(5a - 2)2 
13
VTÍ
A equação da circunferência é (x - 3)2 + (y - 4)2 = 13.
1
V2
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 122 a 124)
2. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 9 — C(4, 3), r = 3
0(0, 0) -*• doc = \Í42 + 32 = 5 
d0c > r => O G exterior do círculo.
• c e s => yc = 3xc (T )
• CP 1 t => mCP • mt = - 1 =>
- - j ^ T • I - - 1 - y c - - * c + * ©
• ( ( T ) e ( 2 ) ) C = (2,6)
• R2 = dcP = (2 - 4)2 + (6 - 4)2 = 8.
Resposta: R2 = 8.
((T ) - ( T ) ) —► (1 — m)x + (m - 1) = 0 => (1 - m) (x - 1) = 0 => (m = 1 ou x = 1) 
Caso m = 1, ambas as equações do sistema ficam x2 + y2 + x + 1 = 0, que equivale a
( - t )’ + y2 = — — , cujo conjunto-solução é vazio.
Caso x = 1, ficamos com y2 + (m + 2) = 0, que tem solução única se, e somente se, 
m + 2 = 0. Logo, m = - 2 .
Resposta: m = - 2 . [A solução única do sistema é (1, 0).]
16. (t): — + -^- = 1 —*• bx + ay — ab = 0 
a b
(f): (x - a)2 + (y - b)2 = 1 — 
t e l são tangentes <=> dc t = r
C(a, b) e r = 1 
b • a + a b - ab
Vb2 + a2
>í=> | ab | = Va2 + b2 •«=*• a2b2 = a2 + b2.
1 «=f
• Saopt----2~
• a2 = b2 + (VI)2
(a > 0)
b = 1
a = 2
Reta t , : Por P(2, 0) e mti = VI 
y - 0 = V3(x - 2)
Reta t2: Por P(2, 0) e mt2 = -V I 
y - 0 = -VJ(x - 2)
Resposta: As retas tangentes são y = ±V I (x - 2).
^ í (X,) x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0 
(_ (X2) x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
— 6x + 3 = 0
• A(0, -1 ) , B(0, 3), Cíxc, yc)
• CA = CB => x2c + (yc + O2 =
= + (yc - 3)2 => yc = 1
• r2 = y ̂ + 22 => r2 = 5 => r = VJ
• CA = r => Xc + (yc + l )2 = r2 =>
=> = 1 => xc = ± 1
Há duas respostas: (x ± l )2 + (y — l )2 = 5.
f (>-,) X2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0
^ [(X3) x2 + y2 - 2x + 2y - 2 = 0
— 2x — 4y + 3 = 0
f (*-2) x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0 
^ ((X3) x2 + y2 - 2x + 2y - 2 = 0
4x - 4y = 0
Interseção:
f - 6x + 3 = 0 
-2 x - 4y + 3 = 0 
L 4x — 4y = 0
Os três eixos radicais concorrem no ponto
35. A —► x2 + y2 ^ 2 —»■ círculo de centro (0, 0) e raio V2.
B —>• x + y $ k —»• semiplano definido pela reta x + y = k.
- 2
b) Temos A c B para k ^ kt em que k, > 0 e 
x + y = kt é tangente ao círculo. Neste caso, 
k,= 2.
Logo, A C B para k ^ 2.
O sistema tem solução única se a reta x - y + a = 0 (t) for tangente ao círculo
de centro C e raio r ------. Neste caso:
2V2
+
dc,t = r =»
- 0 + a
V2
Ponto de tangência:
3
2V2
= > a = 2
(a > 0)
X +
x - y + 2 = 0
V
Resposta: - 3_5 '
=> yo
*o
3 ^
5
TESTES (p. 125 a 130)
45. ( |x | - l)2 + ( |y | - l)2 = 1
a2 + b2 = 2b e b ?! 0
(a - O)2 + (b - r)2 = r2 =?
=> a2 + b2 — 2br = 0 =»
=> 2b - 2br = 0 => 2b(l - r) = 0
b?0
Centro (0, 1) ] _ x2 + (y _ 1)2 = , 
raio = 1 )
Resposta: d.
No 1? quadrante: (x - l)2 + (y - l)2 = 1 —*• C(l, 1), r = 1
No 2? quadrante: ( -x — l)2 + (y - l)2 = 1 —* C(—1, 1), r = 1
No 3P quadrante: ( -x - l)2 + ( —y - l)2 = 1 —* C(—1, - 1), r = 1
No 4? quadrante: (x - l)2 + ( - y - l)2 = 1 —► C(l, -1), r = 1
Para x ^ 0: x2 + y2 - 4x = 0 —* C(2, 0), r = 2 
Para x ^ 0: x2 + y2 + 4x = 0 —* C( —2, 0), r = 2
Resposta: c.
Apêndice C
e x e r c íc io s
Lugares geométricos
(d) y
31. (p. 141)
• F,(2, 0) e F2( - 2 , 0)
F, e F2 S Ox)
x2 y
c = 2 e a equação da elipse é da forma---- H-------
a2 b2
22 32• P(2, 3) 6 curva =* — + — = 1 
a2 b2
4b2 + 9a2 = a2b2
i2 = b2 + c2 = b2 + 4
x2 y2Segue que b2 =. 12 e a2 = 16. A equação da elipse é - = 1.
16 \ L
y = vTx
V3
1 (porque
70. (p. 150) x2 + y2 + 2axy = 0 => x2 + (2ay)x + (y2) = 0 =>
-2ay ± V4a2 y2 - 4y2 .---------
=* x = --------------- ---------------- => x = -a y ± yva2 - 1
A equação representa duas retas para a2 - 1 ^ 0; portanto, se a ^ 1 ou a < - 1.
TESTES (p. 152 a 157)
5. ( y + 1 = a[X 
y - 1 = a2x 
a, + a2 = 2
Resposta: b.
f (a,x)2 = (y + l )2 
[ (a2x)2 = (y - l )2
(a2 + a2)x2 = 2y2 + 2 
2x2 = 2y2 + 2 
x2 - y2 = 1
PP' = PP"
VO2 + y2 = PC - 1 
VyJ = Vx2 + (y - 2)2 - 1 
y + 1 = Vx2 + (y - 2)2 
(y + l)2 = x2 + (y - 2)2
y = -4* x2 + (parábola) 6 2
(y > 0)
Resposta: e.
P e e.ê .
AP = 2a
Vx2 + (2y)2 = 2a 
x2 + 4y2 = 4a2 
x2 y2------ + ---- = 1 (elipse)
4a2 a2
y = x 
„2 _ ,
+ b
r2 = 1
Caso b = 0, o sistema não tem solução. 
Resposta: d.
29. y = ax2 + bx + c, com a + b + c = 0 , passa no ponto (1, 0) quaisquer que sejam a, b e c. 
Resposta: a.
41. x2 - 5x + 4 = 0 <=> (x - 1) (x - 4) = 0 <=> x - l = 0 o u x - 4 = 0 
x - 1 = Oe x - 4 = 0 são equações de duas retas paralelas ao eixo dos y.
Resposta: e.
43. (x2 + y2 - l)2 + (xy)2 = 0 <=>
^ 0 ^ 0
As soluções da equação são os pares (0, 1), (0, - 1), (1, 0) e ( — 1, 0).
Resposta: e.
'x2 + y2 - 1 = 0 
I xy = 0
(x = 0 . y = ± 1) 
ou
(y = 0, X = ±1)
46. y V4 - x2 <=>
{y > o 
[y 2 = 4 - X2
[ y > o
[x 2 + y2 = 4
O gráfico é a semicircunferência de centro (0 , 0) e raio 2, formada por pontos de ordenada y 
positiva ou nula.
Resposta: b.
Capítulo 5
Números complexos
EXERCÍCIOS
38. (p. 169) x £ [R
1 + xi (1 + xi) (1 + xi)
1 (1 - xi) (1 + xi)
a) z é imaginário puro
1
1 + x2 
2x
1 + x2
(1 - X2) + 2xi
1 + X2
= 0
<=> X
* 0
1 - x2 , 2x ---------- + ----------- i
1 + X2 1 + X2
± 1.
b) z é real <=> — —— = 0 «=» x = 0 . 
1 + x2
43. (p. 170) -L + - 5 4 - L = 2
4i — 2 
i + 2
z =
<=> iz + 2(z + 1) = 4i <=> (i + 2)z = 4i - 2 <=>
(4i - 2) (2 - i) _ ^
(i + 2) (2 - i)
55. (p. 173) z = x + yi, com x G IR e y G IR.
a) z2 = 2i <=> (x + yi)2 = 2i <=> (x2 - y2) + 2xyi = 2i
y2 = 0 x = y = ± 1.
2xy = 2
Resposta: z = 1 + i ou z = - 1 - i.
90. (p. 181) (1 + i)n = V2 | cos — + i sen
*)] = (V2)n • ( cos -55_ + i sen -55. 1 4 4
a) (1 + i)n é número real <=> sen----- = 0 <=>
4
<=> (n = 4k, k G Z) <=> n é múltiplo de 4.
nn = kit, k € Z
b) (1 + i)n é imaginário puro
nrt n cos —— = 0 4
rm , n sen —— 7̂ 0 4
nn 7t , , -— = — + kn, k
(n = 4k + 2, k G n dividido por 4 dá resto 2.
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 187 a 189)
o 71 7T8. w = cos - + i sen —- 
3 3
, - , - w6 — vw + wz + w3 + w4 + w? = ----------
I w - 1
(soma de P.G.)
/ Ó7t 6 TC \ / 71 71 \
/ COS - j - + .s e n — j (cos — + . s e n - )
' K ncos —- + i sen — 
3 3 - 1
(1 + i ■ 0) 1 . V3
2 + 1 2
. V3
(t - 4 ) _l + i Ü . 2 2
/ 1 + í V - ■ (1 + i) (1 + i) ■
\ 1 " i ) L (i - o d + o J
z G IR n é número par.
14. |z, | = 1 => z, = cos 9 + i sen 0
| z21 = 1 => z2 = cos <p + i sen (p
z, + z2 = 1 => (cos 9 + cos (p) + i(sen 0 + sen (p) = 1 ==>
í cos 0 + cos <p = 1 __ í cos 0 = 1 - cos (p
^ [ sen 0 + sen cp = 0 ^ ( sen 0 = - sen cp
cos2 9 + sen2 0 = 1 => (1 - cos cp)2 + (-se n <p)2 = 1 =>
=> 1 - 2 cos (p + cos2 <p + sen2 (p = 1 =» cos cp =
Decorre, então, que cos 0 
sen 0 = - ——
1 / a V3 —V3 \= _ e ^ e n 0 = - r , s en<p = - T - )
Respostas: / z,
sen (p li
T +
. V3 l . V3
22 “ 2 1 2
1 . V3 1 + . V3
2 2 2
ou
Observação:
Resolva também usando a forma algébrica: z t = x + yi, z2 = a + bi, com x, y,
| z, | = 1 x2 + y2 = 1 
| z21 = 1 => a2 + b2 = 1
z, + z2
fx + a = 1 
[y + b = 0
16. z = x + iy, x £ IR, y G IR.
• | z | = 2 => Vx2 + y2 = 2 => x2 + y2 = 4
• |z — i| = V2 |i — 11 => |x + (y - l)i| = V2 | - 1 + i| =>
=> Vx2 + (y - l)2 = V2 V(— l )2 + l 2 => x2 + (y - l )2 = 4
• fx 2 + y2 = 4 
[x 2 + (y - l )2 = 4
Resposta:
z . p,(cos 9, + i sen 0 ,) P[ (cos 0, + i sen 0,) (cos 02 - i sen 0J
p2(cos 02 + i sen 02) p2 (cos 02 + i sen 02) (cos 02 — i sen 02)
p, (cos 0, cos 02 + sen 0! sen 02) + i(sen 0, cos 02 - sen 02 cos 9,) 
p2 cos2 02 + sen2 02
= [cos(0, - 02) + i sen(0, - 02)].
P2
a e b reais.
a) z~" = —i— 
z"
1 = l(cos 0 + i sen 0) 
z" = pn(cos n0 + i sen n0)
z n = ---- [cos(0 - n0) +
Pn
=> z " = p n • [cos(-n0) + i sen(-n0)].
b) (z)n = [p[cos(-0) + isen(-0)])n = pn[cos(-n0) + isen(-n0)] =
Como z" = pn[cos(n0) + i sen(n0)], temos que (z)n é igual ao 
(z)" = (F).
TESTES (p. 189 a 195)
12. z = x + yi, x £ IR e y £ IR.
z + — = x + yi + —
z x + yi
1 x — yi
— = x + yi +
x2 + y2
( x + ----- - ----- \ + ( y - y V
V x2 + y2 J [ x2 + y2 J
z + — é número real z y - x2 + y2
= 0 <=> y = 0 ou x2 -
«=*• Im(z) = 0 ou I z I = 1.
Resposta: b.
14. z = x + yi, x £ IR e y £ IR.
z = z2 <=» x — yi = (x2 — y2) + 2xyi ' x2 - y2 = 
1.2xy = - y
(y = 0 , x = 1) ou ( x = - - y , y = ± - y - ) .
Há, portanto, quatro soluções. 
Resposta: e.
18. z = in + i~n, n £ Z
n = 0 1 N = i° + i° = 1 + 1 = 2
n = ± 1 — z = i + i - 1 = i + 4 -i = 0
n = ± 2 z = i 2 Í~ 2 — J + . i
( - i )
n = ±3 z = i 3 i “ 3 = ( - 0 +
i
( - 0
n = ± 4 = > z = i 4 + = 2
n = ±5 z = i 5 + i - 5 = i + 4 - = 0
= - 2
n = ±6 z = i6 + i 6 ( - 1) + = - 2 etc.
i sen(0 - n0)]
= pn[cos(n0) - isen(n0)]. 
conjugado de z", isto é,
y2 = 1 <=>
(y = 0, x = 0) ou
Os valores possíveis de z são três: 2, 0 e - 2. 
Resposta: a.
Observe:
- 7 - 6 -5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
i i i i i i i i i i i t i n
34. Izl = |2 == 1 Izl = 1
Então: z = cos 0 + i sen 9.
— = z-> = cos( — 0) + i s e n (-0) = cos 0 - i sen 0.
z
Portanto, z e — são conjugados.
z
Resposta: a.
35. z = x + yi, x E I R e y E I R ; z 0 = a + bi, a E IR e b E IR.
|z - Zol = r2 => |(x - yi) - (a + bi)| = r2 =>
=> | (x - a) - (y + b)i | = r2 => V(x - a)2 + (y + b)2 = r2 =>
=> (x - a)2 + (y + b)2 = r4 [circunferência de centro (a, -b ) e raio r2].
Resposta: c.
36. z = x + yi, x £ IR e y 6 IR.
z + 1
-z.____________
z - 1
[(X + D + yi | 
|(x - 1) + yi|
= 1 V(x + l )2 + y2 = VÕT - l )2 + y2 =>
=> x = 0 (equação de uma reta que coincide com o eixo y). 
Resposta: d.
37. z = x + yi, x € IR e y £ IR;z0 = a + bi, a E Í Re b E IR.
|zj| > k =* | Zq | 2 > k =► a2 + b2 > k .
z - z — Zo- z — ZQ-z + k = 0 =>
=> (x + yi) (x - yi) - (a + bi) (x - yi) - (a — bi) (x + yi) + k = 0 =>
=> x2 + y2 — 2ax — 2by + k = 0
Circunferência de centro (a, b) e raio Va2 + b2 - k.
45- h r +
1 . \ n / 71 n Y- r - 1 1 = ( COS — + i s e n — 1
2 ) [ 6 6 )
M l , . M lcos —7— + 1 sen —— 
6 6
m i Asen ——- = 0 
6
TITI Acos —— > 0 
6
nrc
(n G INI*)
= 2kjc (k E IN*) => n = 12k (k E N*)
O menor valor de n é 12. 
Resposta: e.
47. z • z2 • z3 • ... • zn = 1 n = 1
n(n + 1)
Z 2 = 1
COS ( n(n2+ 1} ■ 10° ) + isen ( n(n2+ • 10° )10° = 1
(cos[n(n+ 1) • 5°] = 1 
[sen[n(n + 1) • 5°] = 0 n(n + 1) ■ 5° = k • 360°, k G IN*
O menor valor de n é obtido para k = 1:
n(n + 1) • 5° = 360° =#■ n(n + 1) = 72 => n = 8
Resposta: b.
49. z3 - 1 = 0 => z = n
1 V3As soluções são as raízes cúbicas de 1, que são 1 e - — ± - i. A soma dessas tres raizes e zero.
Resposta: a.
Capítulo 6
Teoria dos polinómios
EXERCÍCIOS
79. (p. 215) P(a) = r
Q(x) = P(x) + r => Q(a) = P(a) + r = r + r = 2r 
O resto da divisão de Q(x) por x - a é 2r.
86. (p. 219)
- 1 1 3 4 2 1 U> 1 C/l - 2
- 1 1 2 2 0 - 3 - 2 0
- 1 1 1 1 - 1
O<N1
1 0 1 - 2 0
P(x) é divisível por (x + l)3. O quociente é x3 + x - 2.
P(x) | (x - 2)2 
5x - 10 Qi(x)
P(x) = Q,(x) • (x - 2)2 + (5x - 10)
O resto da divisão de Q(x) por x - 2 é R = Q(2). Temos: 
P(x) ■ Q,(x) (x - 2)2 + (5 • x - 10)
(x - 2) Q(x) ■ Q,(x) (x - 2)2 + 5(x - 2)
Q(x) - Q,(x) (x - 2) + 5 
Q(2) = Q,(2) (2 - 2) + 5 
Q(2) = 5
Resposta: 5.
1 1 a b c
1 1 i + a 1 + a + b | l + a + b + c = 0
1 1 2 + a ; 3 + 2a + b = 0
1 3 + a ^ 0
Devemos ter a ^ - 3, b = - 2a - 3 e c = a + 2.
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 222 a 224)
3. a) A = “ a(5y” => A = 100a + 10P + y => A = 102 • a + 10 ■ P + y
Pondo P(x) = ax2 + Px + y, temos p(10) = A.
b) A = 100a + 10P + y => A = 99a + 9P + (a + P + y)
1) Supondo A divisível por 3:
3 k S INI IA = 3k
Então, a + p + y = 3 k - 99a - 9p = 3 • (k — 33a - 3P)
i_________ ________ J
€ N
Concluímos que a + P + y é divisível por 3.
2) Supondo a + p + y divisível por 3:
3 k G I N | a + P + Y = 3k
Então, A = 99a + 9P + 3k = 3 ■ (33a + 3p + k)
V_______ ________J
e m
Concluímos que A é divisível por 3.
4. A(x) = x3 + x2 - 1 e B(x) = x2 - x + 1
a) P(x) = A(x) • B(x) = x5 + x - 1
b) P(10) = 105 + 10 - 1 = 100 009 
Temos P(10) = A(10) ■ B(10) = 1 099 • 91 
Logo, 100 009 = 1 099 ■ 91.
Nota: Como 9 1 = 7 - 13, também temos 100 009 = 7 • (13 • 1 099) = 7 - 1 4 287, ou ainda 
100 009 = 13 • (7 • 1 099) = 1 3 - 7 693. E como 1 099 = 7 • 157, há mais duas decompo­
sições de 100 009 como produto de dois inteiros maiores que 1: 100 009 = 157 • 637 e 
100 009 = 49 • 2 041. Qualquer uma dessas cinco decomposições serve como resposta.
a) x = 0 => P(0) + 0 • P(2) = O2 + 3 =* P(0) = 3
x = 1 => P(l) + 1 • P(l) = l 2 + 3 => 2 P(l) = 4 => P(l) = 2
x = 2 => P(2) + 2 • P(0) = 22 + 3 => P(2) + 2 - 3 = 7 =» P(2) = 1
b) P(x) + xP(2 - x) = x2 + 3
gr[P(x) + xP(2 - x)] = gr[x2 + 3] = 2.
Mas gr[P(2 - x)] = gr[P(x)]. Logo, gr[xP(2 - x)] = 1 + gr[P(x)] e também gr[P(x) + 
+ xP(2 - x)] = gr[xP(2 - x)] = 1 + gr[P(x)].
Então, 1 + gr[P(x)] = 2, e concluímos que gr[P(x)] = 1.
19. a) P(x) = ax2 + bx + c 
P(x) - P(x - 1) = x
(ax2 + bx + c) - [a(x - l)2 + b(x — 1) + c] ■ x 
2ax + ( - a + b) = x
2a = 1 
- a + b = 0
1 u 1a = — , b = —
2 2
Resposta: P(x) = - i - x 2 + -^-x + c, c qualquer.
b) P(x) - P(x - 1) = x, V x G IR
x = 1 => P(l) - P(0) = 1
x = 2 => P(2) - P(l) = 2
x = 3 => P(3) - P(2) = 3
n P(n) - P(n - 1) = n
©
P(n) - P(0) = 1 + 2 + 3 + ... + n
Então, S = l + 2 + 3 + ... + n = P(n) - P(0) = | - i - n 2 + -^-n + c j
Resposta: S = — n2 + — n
n(n + 1)
1 , 1
1 • 2 2 - 3
= /_L - ( ±
V 1
2v L y
1 i
1 n + 1 n
(x) [jix + b — P(x)
3 • 4
+ ... + 1
n(n + 1)
+ . . . + ( f
R Q(x)
Parax = - A : p / _ = q / _ A \ • 0 + R
) : °
logo, R = P| — —
I. R
II. R
III. R = P( - l ) = ( -1 )5 - ( -1) + 1 = 1
l v - R - p ( - i V ) - ( - n r ) ’ - l õ + 1 - ° ’90001
24. P(n) = 0 =» n" - 3n + 2 = 0 => n" = 3n - 2.
n = 1 e n = 2 são raízes da equação, porque l ‘ = 3 - l - 2 e 2 2 = 3 - 2 - 2 . Para todo 
n ^ 3, temos n" > 3 n — 2. Logo, apenas para n = 1 e n = 2 temos P(x) divisível por (x - n).
28. f P(x) = (x - l)2 • Q(x) + (ax + b) 
((ax + b) = Q, • (x - 1) + 3
Para x = 1:
(P (l) = a • 1 + b 
[a • 1 + b = 3 P(l) =3.
31. P(x) = x" + a"
a) R = P(a) = an + an = 2an
(n - 1) termos
a i 'o 0 0 o' an
i a a2 a3 an_l i 2an
Q(x) = xn_1 + ax”'"2 + a2x” 3 + ... + an~’. 
b) R = P (-a ) = ( - a ) n + an = - a n + an = 0
4
n ímpar
(n - 1) termos
- a i
<-----
0 0 0 0
1
0 an
i - a a2 - a 3 _ a " -2 an~1 i 0
Q(x) = xn_1 - ax“-2 + a2x”- 3 - a3x n_4 + ... - an 2x + a11 ’.
32. P(x) = xn - an
a) R = P(a) = an - an = 0
(n — 1) termos
a 1 'o 0 0 .. o' - an
1 a a2 a3 an_1
i
: o
i
Q(x) = xn- ‘ + ax" 2̂ + a2x - 3 + . . + a"-1.
b) R = P(-a) = ( —a)n - an = a" - a" = 0.
I
n par
(n - 1) termos
- a 1
0JO
0 0 o ’ - a n
1 - a a2 - a 3 a"-2 _ an-i : 0
Q(x) = xn 1 — ax” 2 + a2xn 3 - ... + an_2x — a1
TESTES (p. 224 a 230)
2. / tem no máximo grau 3 
/ se anula para cinco valores distintos de y
Logo, f(6) = 0 = d.
Resposta: d.
f = 0 => a = b = c = d = 0.
16. (aX + b)2 + (X + c)2 = (mX + n)2
f m2 = a2 + 1 
2mn = 2ab + 2c 
( n2 = b2 + c2
mn = ab + c => m2n2 = (ab + c)2 ==> (a2 + 1) (b2 + c2) = (ab + c)2 =>
=> a2c2 + b2 = 2abc => a2c2 - 2abc + b2 = 0 => (ac - b)2 = 0 => ac = b
Resposta: c.
18. P(x) = x3 + ax2 + bx + c 
P (-x ) + P(x) = 0, V x E IR.
x = 0 => P(0) + P(0) = 0 => 2 P(0) = 0 => P(0) = 0 => c = 0 @
x = 1 => P ( - l ) + P(l) = 0 => 2a + 2c = 0 (2 )
P ( l ) = 0 => l + a + b + c = 0 ( 3)
De ® , ( 2) e (J ) vem c = 0, a = O eb = — 1. Então:
P(x) = x3 - x 
P(2) = 23 - 2 = 6.
Resposta: e.
19. P(x) = px2 + qx - 4 e Q(x) = x2 + px + q 
P(x + 1) = Q(2x), V x e IR
x = - 1 => P(0) = Q (-2 ) =» - 4 = 4 - 2p + q 
x = 0 =* P(l) = Q(0) => p + q - 4 = q (P = 4, q = 0)
a = 2 
b = 0
c = 1 => <x > y > P
a = 3 
P = - 2
y = 1
Resposta: b.
30. P,(x) = (x - 1) (x + 2) • a + (3x + 1)
p2(x) = (x + 1) (x + 2) • b + (2x - 1)
P,(0) = 0 => - 2 a + l = 0 = > a = -i- 
P2(0) = 0 =» 2b - 1 = 0 => b = -i-
Então: P,(x) = (x - 1) (x + 2) • -L + (3x + 1) = -i- x2 + - y x
e P2(x) = (x + 1) (x + 2) • i - + (2x - 1) = i - x2 + ̂ - x
Temos P,(x) = P2(x).
Resposta: a.
39. f(x) = (x - 2)2 • (x + 1) + (1 - 2x)
f ( _ l ) = ( - 1 - 2)2 • ( - 1 + 1) + [1 - 2( — 1)] = 3.
Resposta: e.
2a = 4 
2b + a = 2 
2c + b - 2a = - 2 
c - 2b + a = a 
-2 c + b = P 
c = y
40. P(a) = a e Q(a) = p.
Se a = p, então P(a) = Q(a), logo (P - Q) (a) = 0. Nesse caso, a é raiz de P - Q. 
Resposta: c.
42. (p(a) = 0, p(b) = 0) => a e b são raízes de x2 + x + c = 0 .
A soma das raízes da equação x2 + x + c = 0 é - l . Logo, a + b = — 1.
Resposta: a.
Nota:
a2 + a + c = 0 
b2 + b + c = 0 
a # b
(a2 - b2) + (a - b) = 0 => (a - b) (a + b + 1) = 0
* o
a + b + 1 = 0 a + b = - 1.
50. P(x) = (xn - 1) (xn+1 - 1)
x" - 1 é divisível por x — 1, vn. Então x" — 1 = (x — 1) Qi(x).
x" — 1 é divisível por x + 1, para n par.
x"+1 — 1 é divisível por x — 1, vn. Então xn+1 — 1 = (x - 1) Q2(x).
xn+i _ i é divisível por x + 1, para n ímpar.
Então P(x) = (x - l)2 ■ Q,(x) • Q2(x), sendo Q,(x) ou Q2(x) divisível por (x + 1), Vn. 
Logo, vn, P(x) é divisível por (x - l )2 (x + 1).
Capítulo 7
EXERCÍCIOS
Equações polinomiais
25. (p. 237)
a) P(x) = x4 + x2 + 1
P(x) = (x2 + l)2 - x2 = [(x2 + 1) + x] [(x2 + 1) - x] = (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)
- 1 ± V^3 - I ± V3 iRaízes de x2 + x + 1 = 0
Raízes de x2 - x + 1 = 0 
Então:
P(x) = x - -1 + V3i
1 ±
- 1 - V3
2
1 ± V3 i
L ) ( ’
1 + V3 i 1 — V3 i
L)-
37. (p. 239) Devemos ter x3 + mx - 2 = (x - a)2 (x - b), em que a G IR.
Então: x3 + mx - 2 = x3 - (2a + b)x2 + (a2 + 2ab)x - a2b
2a + b = 0
a2 + 2ab = m ==> (a = - 1 , b = 2, m = — 3)
„ — a2b = - 2
Portanto, m = - 3 e as raízes são - 1 (dupla) e 2.
69. (p. 248)
a + (3 + y = 0 
aP + (3y + ay = - 3 
aPy = 1
a) aP + Py + ay = - 3 => (aP + py + ay)2 = 9 =>
=> a 2P2 + P2y2 + a 2y2 + 2apy(a + P + y) = 9 =>
=> a 2P2 + P2y2 + a 2y2 + 2 - 1 0 = 9 =► a 2P2 + p2y2 + a 2y2 = 9.
1 l l P2y2 + a 2y2 + a 2p2 9
b) — + ---- + —— = ------------------------------ = — = 9 .
a 2 P2 y2 (aPy)2 l 2
70. x4 + 3x3 + mx2 + 2mx + (m + 1) = 0 
raízes: a, P, y, ô
a + P + y + S = - 3
aP + ay + a 5 + py + ps + yô = m
aPy + aPô + ayô + PyS = -2m
apyô = m + 1
1 , 1 , 1 , 1 5 PyS + ayS + aPS + aPy 5
a P y ô 2 aPyS 2
-2 m - 5
m + 1 2
J •x3 - 3x - 1 = 0 
raízes: a, P, y
77. (p. 250) Tome, por exemplo, (x + i) (x - i) (x - 2i) = 0.
78. Tome, por exemplo, (x - 3i) (x) = 0.
83. (p. 253)
P(x) = x3 + x - 1
P(0,6) = (0,6)3 + (0,6) - 1 < 0 1
P(0,7) = (0,7)3 + (0,7) - 1 > 0 ]
=> há uma raiz real r, sendo 0,6 < r < 0,7.
Pondo r = 0,65, estamos cometendo erro menor que 0,05. Notemos que essa é a única raiz 
real da equação dada:
r 1 0 1 - 1
1 r 1 + r2 r3 + r - 1 = 0
x2 + rx + (1 + r2) = 0
A = r2 - 4(1 + r2) = - 3r2 - 4 < 0, V r 6 IR => As outras raízes não são reais.
PROBLEMAS PROPOSTOS (p. 256 a 258)
8. x4 + 4x3 - 8x - 4 = 0 ==> (x4 - 4) + (4x3 — 8x) = 0 =>
=> (x2 + 2) (x2 - 2) + 4x(x2 - 2) = 0 => (x2 - 2) (x2 + 4x + 2) = 0 => 
=> (x2 - 2 = 0 ou x2 + 4x + 2 = 0)
S = (±V2, - 2 ±V2j
12. Faça x + — = y; logo, x2 H— — = y2 - 2.
x x2
13. Veja o exercício resolvido de número 3, p. 254.
18. x3 + px2 + qx + r = 0 
raízes: a, a • k, a • k2
a + ak + ak2 = — p 
a • ak + a ■ ak2 + ak • ak2 = q 
a • ak • ak2 = — r
p = - a ( l + k + k2) 
q = a2k(l + k + k2) 
r = - a 3k3
Então: q3 = a6 k3 (1 + k + k2)3 e
rp3 = ( - a 3k3) • ( - a ) 3 (1 + k + k2)3 = a6k3(l + k + k2)3.
Logo, q3 = rp3.
a > 0, b > 0
a2 + b2 = 4
b2 + a2 . 4 .------------ - 1 => ------- = 1
a2b2 a2b2
logo, ab = 2.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab => 
logo, a + b = V8 = 2V2.
=> 4 = (ab)2
(a + b)2 = 8
25. x3 + x + 1 = 0
a) As possíveis raízes racionais são 1 e - 1 .
I3 + 1 + 1 ^ 0 => 1 não é raiz.
( - l)3 + ( — 1) + 1 ^ 0 => ( - 1 ) não é raiz.
Logo, não tem raiz racional.
b) P(x) = x3 + x + 1 O polinómio P(x) admite uma raiz real entre - 1 e 0, porque
P (— 1) = — 1 P ( - l ) < 0 e P(0) > 0.
P(0) = 1
c) sendo r uma raiz real:
r i 0 i 1
i r r2 + 1 r3 + r + 1 = 0
As outras raízes são as da equação x2 + rx + (r2 + 1) = 0. Temos A = -3 r 2 - 4 < 0, 
V r £ IR. Logo, essa equação não admite raízes reais, v r € IR.
Assim, x3 + x + 1 = 0 tem uma única raiz real r, compreendida entre - 1 e 0.
26. x2 + (2 + a)x + 1 = 0 (coeficientes reais)
a) A ^ 0 => (2 + a)2 - 4 ^ 0 => (a ^ 0ou a < - 4 )
b) raízes com parte imaginária não nula => A < 0 => - 4 < a < 0 (T ) 
coeficientes reais ==> raízes conjugadas: x, = a + bi e x2 = a — bi. 
parte real negativa => a < 0
Temos: x, + x2 = 2a => x, + x2 < 0 => - ( 2 + a) < 0 => - 2 < a ( ? )
Logo, de (7) e ( ? ) , temos - 2 < a < 0.
TESTES (p. 258 a 267)
5. x5 - 3x4 - 2x2 + 4x - 2 = 0
Se x < 0, temos x5 < 0, - 3x4 < 0, - 2x2 < 0 e 4x < 0; logo, x5 - 3x4 - 2x2 + 4x - 2 < 0. 
Podemos concluir, então, que a equação não possui raízes reais negativas.
Como os coeficientes são reais e o grau é ímpar, há pelo menos uma raiz real. A raiz real (ou 
raízes reais) dessa equação é positiva (ou são positivas).
Resposta: b.
8. x4 - 6x2 + c = 0 tem quatro raízes reais distintas se, e somente se, a equação y2 — 6y + c = 0 
tem duas raízes reais positivas distintas. Isso ocorre se, e somente se:
f A > 0 —* 36 — 4c > 0 —*■ c < 9
. . => 0 < c < 9
(produto > 0 —» c > 0
Resposta: e.
Nota: Observe que “para 0 < c < 3 a equação admite quatro raízes reais distintas” . Assim, 
a resposta D também é correta. A fim de evitar a duplicidade de respostas, o examinador de­
veria trocar a palavra “para” por “se, e somente se” no enunciado do teste.
15. x7 - 2x6 + x5 - x4 + 2x3 - x2 = 0 
x2(x5 - 2x4 + x3 - x2 + 2x - 1) = 0 
x = 0 é raiz dupla.
1 1 - 2 1 - 1 2 - 1
1 1 - 1 0 - 1 i : o
1 1 0 0 - 1 ^_0
1 1 1 1 0
1 2 i 3
x = 1 é raiz tripla. As outras raízes são as da equação
2 1 n i — 1 ± iV3x2 + x + 1 = 0, logo x = —---- --------.
Resposta: b.
16. - 3 1 3 - 2k 1 - 6k 3
1 -2 k 1 0
x2 - 2kx + 1 = 0 tem raízes reais <=*• 4k2 - 4 > 0 <=► (k > 1 ou k < -1). 
Resposta: e.
26. raízes: 2, 2, a
( 2 + 2 + a = - a f a + 4 = - a2 - 2 + 2 a + 2 - a = b => j - 4 a - 4 = - b (+) 
2 • 2 ■ a = — c | _ 4 a = - c
a = - a - b - c 
a = —( a + b + c)
Resposta: e.
29. raízes: a, a e P (reais)
' 2a + P = 0 
a 2 + 2aP = - ~
. a 2P = k 
Resposta: b.
37. ax3 + bx2 + bx + a = 0, a / 0, b / 0.
( - 1 ) é raiz, pois a ( - l)3 + b( — l)2 + b ( - l ) + a = 0. 
k j É l , k ^ - l , A : é raiz. Como a ^ 0 , temos k * 0. 
Sendo a a outra raiz, temos:
( - 1 ) • k • a = • - k a = - 1 => a = ±
As raízes são - 1 , k e y .
42. r3 + — = ( t + - V - 3 • r ■- L / r
r3 \ r / r {
r3 + - L = f r + ± ) í í r + - V - 3r3 \ r ) L\ I
/ 1 \ 2 i
Sendo ( r + — ) = 3 , decorre que r3 + — = 0.
Resposta: c.
43. x3 - rx + 20 = 0, raízes: a, b, c. Temos:
a3 — ra + 20 = 0 => a3 = ra - 20
b3 - rb + 20 = 0 => b3 = rb - 20 =>
c3 — rc + 20 = 0 => c3 = rc — 20
=> a3 + b3 + c3 = r(a + b + c) - 60
Mas a soma das raízes é zero (a + b + c = 0). Logo, a3 + b3 + c3 = -6 0 . 
Resposta: a.
46. raízes: a, a(3, a(í2
' a(l + P + P2) = - a ® 
a 2p(l + P + P2) = b (2 ) 
(aP)3 = - c (? )
_b 
a
Resposta: e.
51. x5 + x4 + x3 + x 2 + x + 1 = 0 
( - 1) é raiz. Temos:
a + aP + aP2 = - a
a 2P + a 2P2 + a2p3 = b =>
a 3p3 = - c
- 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0
x4 + x2 + 1 = 0 => (x4 + 2x2 + 1) — x2 = 0 => (x2 + l)2 = x2 =>
=> (x2 + 1 = x ou x2 + 1 = - x) => (x2 — x + 1 = 0 ou x2 + x + 1 = 0) =>
1 ± iV3 - 1 ± iV3x = ----- ------ ou x = -------- --------
Resposta: d.
Nota: x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = x6 - 1 
x - 1 
I
(soma de P.G.)
(para x ^ 1) =>
=> x6 - 1 = (x - 1) (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).
As raízes da equação x5 + x4 + x3 + x2 -P x + 1 = 0 são as da equação x6 — 
to a raiz x = 1.
0, exce-
52. (p(0) = 1 > 0 e p (1) > 0 ) => no intervalo ]0; 1[ há um número par de raízes reais.
Como a equação tem pelo menos duas raízes complexas não reais (conjugadas), se x,, € ]0; 1[ 
devemos ter pelo menos quatro raízes. Assim, nesse caso, n > 4. A afirmativa “se Xo € ]0; 1[, 
pode ocorrer n = 3” é falsa.
Resposta: b.
Nota: a) é verdadeira, porque as possíveis raízes racionais são 1 e ( - 1); mas 1 não é raiz por­
que p(l) > 0.
c) é verdadeira, porque 1 não é raiz de p .
d) é verdadeira, porque p(0) > 0 e p(l) > 0.
e) é verdadeira, porque a afirmação b é falsa.
56. y2 + my + n = 0
y + — ) = y + my + 4
Como m e n são reais,
yi + my = - n 
m! m2 
~4~
n é real.nr
Resposta: b.
n
— ----- é raiz quinta de 1.
As raízes quintas de 1 são r3 = 1, r2 = cos 72° + 
+ i sen 72°, r3 = r2, r4 = cos 144° + i sen 144° 
e r5 = f4.
Notemos que 2 * * = r =>2z
- z(2, - d - 1 - z -
Assim, as raízes da equação dada são:
1 _ 1 
Zl 2 • r, - 1 2 - 1 - 1
2r, - 1 eZ2 = ^ T ’ dadasp0r^ 7 r
Z" 2r4 - 1 6 Zs 2r5 — 1 ’ dadaS P° r 2(cos 144° ± i sen 144°) - 1 '
Quanto à localização de cada raiz, notemos que: 
cos 72° < cos 60° = -i- => 2 cos 72° — 1 < 0
Então, 2r2 - 1 e 2r4 - 1 têm afixos no 2? quadrante; enquanto 2r3 — 1 e 2r5 - 1 têm afixos 
no 3? quadrante. E como o inverso de um complexo z tem afixo simétrico ao de z em relação 
ao eixo real, segue que z2 e z4 têm afixos no 3? quadrante, enquanto z3 e z5 têm afixos no 2? 
quadrante.
Resposta: d.
Si. x2 - 2(cos a) x + 1 = 0 x 2 cos a ± V4 cos2 a - 4 
2 x = cos a ± i sen a
Pondo r = cos a + i sen a, temos r6 = cos 6a + i sen 6a e
-5 - = cos(-6a) + i sen(-6a) = cos 6a - i sen 6a. 
r6
r6 H— — = 2 => 2 cos 6a = 2 => cos 6a = 1 => a = -^5- 
r6 3
Resposta: a.
p. Sm 25 m 25 m 5 p, _ ^62. Devemos ter — -------— = —-------— = ---------- —. Decorre que m = 3 e n = 2.2n + 1 6n - 1 - n + 3
Resposta: a.
64. xn - 1 = (x — 1) (xn_1 + xn~2 + x"~3 + ... + x + 1)
a, b, c, ..., t são as raízes da equação xn_l + xn-2 + ... + x + 1 = 0
Assim, xn~’ + x“~2 + ... + x + 1 = (x — a) (x - b) (x - c) ... (x - t).
Para x = 1, vem (1 — a) (1 - b) ... (1 - t) = l n_l + l n~2 + ... + l 1 + 1 = n
V____________ v___________ '
n termos
Resposta: e.
65. f(x) = xn + a ^ , xn_l + ... + atx + ao
(coeficientes 1, an_ ,, ..., at, ao inteiros e grau n > 2).
m € IN*, w é raiz dupla de / => m é raiz d e f e m é raiz do quociente g da divisão de/por (x - m).
m i **n- 1 ân-2 *i
i m + an_! m2 + man_, + a„_2 ... ... mn~‘ + mn~2 an ! + . . + aj \ o
i___________________________________________________________________)
coeficientes de g
m é divisor de ao
w é divisor de mn_1 + mn-2an_, + ... + ma2 + a! => m é divisor de a^
V--------- ----------->,-------------------- '
(divisível por m)
m é raiz de f => 
m é raiz de g =>
Resposta: b.
67. g é divisível por / 
h é divisível por /
(h - g) é divisível por f
h - g = (A + B)x2 + 2x - 6(A + B) 
f = Ax2 + Bx - 3(A + B)
=> (A + B)x2 + 2x - 6(A + B) = k • [Ax2 + Bx - 3(A + B)] =» 
A + B = kA
=* 2 = kB => (k = 2, B = 1 e A = 1).
-6 (A + B) = - 3k(A + B)
i II
Logo, A — B = 0 
Resposta: d.
68. raízes de P(x): Xq e C— ( produto = — \ axo ̂ a )
Q '
raízes de Q(x): x<, e —7— a Xo
P(x) = a(x - Xo) / x ----- — \ Q(x) = a'(x - Xq) / x - ~ —
y axo J \ a *0
Um m.m.c. de P e Q é (x - Xo) I x ----- — W x - — |
\ axo ) y a% )
Resposta: d.
69. kx2 - x - (k + 1) = 0 tem raízes (— 1) e k + 1
Se ( - 1 ) é raiz de kx3 — x2 - x - (k + 1) = 0, temos: 
k ( - l ) 3 - ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) - (k + 1) = 0 =* — 2k — 1 = 0
Se — í í é raiz de kx3 - x2 - x - (k + 1) = 0, temos:
k = - 1 /2
m - ( k + 1
k + 1 - (k + 1) = 0
=> (k + l)3 - (k + l)2 - k(k + 1) - k2(k + 1) = 0 =>
=» (k + 1) [(k + l)2 - (k + 1) - k - k2] = 0 => (k + 1) • 0 = 0 (vale V k). 
k + 1Então, V k ^ 0, — :-----é raiz comum.
Resposta: d.
70. I. É verdadeira. (Veja o teste anterior.)
II. SeP(x) = x3 + px + q tem três raízes reais não nulas (pois q ^ 0), sendo ruma delas, vem que:
r i 0 p q
i r r2 + p 0
as outras raízes são as da equação x2 + rx + (r2 + p) = 0. ^ 2
Devemos ter A ^ 0; logo, r2 - 4(r2 + p) $ 0 e daí vem que p s£ - — . Logo, p < 0.
Portanto, II é falsa.
III. x3 + px2 — q = 0, q > 0 , p e q reais.
Como o grau é ímpar e os coeficientes são reais, há pelo menos uma raiz real. Além disso, 
x3 + px2 - q tem valor negativo para x = 0 e valor positivo para x escolhido suficiente­
mente grande (quando x tende a + °o, x3 + px2 - q também tende a + oo). Assim a equa­
ção admite uma raiz real positiva r.
r é raiz => r3 + pr2 - q = 0 => r2(r + p) = q > 0 => r + p > 0
r i p 0 - q
i r + p r2 + pr ! 0L
As demais raízes são as da equação 
x2 + (r + p)x + r(r + p) = 0.
Como r > 0 e r + p > 0 , esta equação não admite raiz positiva, uma vez que para x > 0 temos 
x2 + (r + p)x + r(r + p) > 0.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
5 - Geometria Analítica e Polinómios
Organizada em 6 volumes independentes, a coleção MATEMÁTICA, 
Temas e Metas representa um novo conceito de ensino desta ciên­
cia, uma vez que possibilita ao professor planejar o seu curso conci 
liando seus tradicionais limitadores — o número de aulas disponíveis, 
os diferentes níveis das diversas classes e os diversos graus de assi­
milação dos alunos de uma mesma classe — mediante o uso de um 
volume a cada semestre.
Compõem a coleção:
• Conjuntos Numéricos e Funções
• Trigonometria e Progressões
• Sistemas Lineares e Combinatória
• Áreas e Volumes
• Geometria Analítica e Polinómios
• Funções e Derivadas
ISBN 85-7056-481-3