Permutações e arranjos

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Exercício de Fixação - Permutações e arranjos
Um dos campos de aplicação da análise combinatória é a probabilidade e estatística, que lida com o acaso e a incerteza de forma sistemática. Para calcular a probabilidade de ocorrência de um evento, é necessário algum conhecimento de contagem. O conceito clássico de probabilidade foi desenvolvido em relação aos jogos de azar e se aplica quando os casos possíveis são igualmente prováveis. Pode-se dizer que, se há n possibilidades igualmente prováveis, das quais uma deve ocorrer, e s são consideradas como favoráveis (ou sucesso), a probabilidade de sucesso é dada por P = s/n.
A contagem entra justamente na procura do número de possibilidades n. É importante salientar que, dependendo do contexto do problema, a procura de n pode ser dada por arranjo, permutação ou combinação. Inspirados no contexto histórico do surgimento da ideia de probabilidade, confira, neste Desafio, um exemplo de campeonato de futebol, uma vez que, ao longo do campeonato, diversos “bolões” são feitos na tentativa de acertar quem será o campeão.
A partir disso, suponha a seguinte situação:
Com base no contexto, responda:
a) Considerando os 20 clubes participantes, determine o número total de possibilidades para os três primeiros colocados.
b) Suponha que, no início do campeonato, você fez uma aposta com um amigo e escreveu em um papel os nomes das equipes campeã, vice e terceira colocada. Sabendo que a probabilidade é dada por P = s/n, onde n é o total de possibilidades e s é o número de possibilidades de sucesso, qual é a probabilidade de você acertar quem foram os três primeiros colocados?
a) O número total de possibilidades para os três primeiros colocados entre os 20 clubes participantes é dado pelo arranjo de 20 opções tomadas de 3 em 3, que é calculada por 20×19×18 = 6.840.
b) A probabilidade de acertar os três primeiros colocados, considerando 20 clubes participantes, é
1. Ao trabalhar com problemas de contagem, é fundamental identificar se o problema envolve arranjo, permutação ou combinação. No caso dos arranjos e permutações, a ordem é importante, ao passo que, nas combinações, não importa a ordem dos elementos do agrupamento. O que difere um arranjo de uma permutação é que a permutação utiliza todos os elementos do conjunto.
Nesse contexto, sabendo que há cinco carros para serem estacionados em cinco vagas, determine de quantas maneiras eles podem ser estacionados.
Você acertou!
D. 120.
O primeiro carro tem cinco opções para estacionar; o segundo, tem quatro; o terceiro, tem três; o quarto, duas; o quinto, apenas uma. Logo, as possibilidades são: 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120.
2. Na análise combinatória, o princípio fundamental da contagem afirma que, se um procedimento P tem uma sequência de estágios S1, S2, ⋯, Sn e somente se cada um ocorre, respectivamente, de r1, r2, ⋯ rn maneiras. Então, o número de maneiras em que o procedimento P ocorre é r1∙r2 ∙⋯∙rn. Com base no exposto, considere que, em um baile de dança, há 10 moças e 10 rapazes.
Determine de quantas maneiras eles podem formar pares para uma dança.
Você acertou!
E. 3.628.800.
Na solução, nota-se que a primeira moça tem 10 possibilidades para escolher um par; a segunda, nove, e assim sucessivamente, de modo que a décima terá apenas uma escolha. Assim, pelo princípio multiplicativo, existem: P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800 possibilidades de esses pares serem formados.
3. Na análise combinatória, um arranjo de n elementos tomados p a p são os agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos envolvidos. Já as permutações são usadas quando todos os n elementos serão utilizados no agrupamento ordenado.
Considere que os alunos de uma escola estão programando a tão esperada formatura de 3º ano. Para organizar todo o evento, será eleita uma comissão entre os alunos e dez candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente.
Determine de quantas maneiras diferentes essa escolha poderá ser realizada.
Você acertou!
C. 90.
4. Em problemas de contagem, dizemos que, se a ordem dos agrupamentos é um fator importante, estamos diante de um caso de arranjo. Por isso, antes de resolver um problema, é útil selecionar um agrupamento qualquer e inverter a ordem para verificar se ela importa ou não. Sendo assim, considere as letras a, b, c e d.
Determine quantos agrupamentos ordenados diferentes de duas letras distintas é possível formar com as quatro letras.
Você acertou!
C. 12.
Note que há quatro possibilidades para a primeira posição, pois são quatro elementos disponíveis. Para a segunda posição, são três possibilidades, uma vez que há apenas três elementos disponíveis. Os 12 agrupamentos ordenados diferentes são: ab, ac, ad ba, bc, bd ca, cb, cd da, db, dc. Esses agrupamentos são denominados de arranjos simples. Arranjaram-se quatro elementos, 2 a 2, e o número desses arranjos foi 12. Escreve-se, então: A4,2 = 4 x 3 = 12 (lê-se: arranjo de quatro, tomados 2 a 2, é igual a 12).
5. Uma das aplicações da análise combinatória é descobrir a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas com determinado número de caracteres.
Considere que você precisa escolher uma senha contendo cinco letras e que não há distinção entre letras maiúsculas e minúsculas. Determine quantas senhas de cinco letras distintas é possível formar com as 15 primeiras letras do alfabeto brasileiro.
Você acertou!
D. 360.360.