VOLUMES DE PRISMAS

Prévia do material em texto

O universo das formas
U
ni
da
de
 9
39
Volumes de prismas
Você já sabe que, sempre que vamos fazer uma medição, devemos ter:
a) um objeto no qual faremos a medida;
b) uma grandeza desse objeto, escolhida para ser medida;
c) uma unidade de medida, da mesma natureza da grandeza a ser medida.
A medição consistirá em verificar quantas vezes a unidade de medida está contida
no objeto. O resultado da medição será expresso por um número, resultado dessa verifi-
cação, junto da unidade de medida considerada.
Para avaliar o volume do prisma, ele próprio é o objeto; a grandeza a ser medida é
o volume; a unidade de volume pode ser o centímetro cúbico.
Considere um prisma com 4cm de largura, 5cm de profundidade e 6cm de altura.
Veja como a área da base do prisma pode auxiliar na compreensão do cálculo do seu
volume.
Área da base do prisma: 4cm x 5cm = 20cm²
Para encher uma primeira camada do prisma, precisaremos de 20 cubinhos de
1cm³, correspondentes aos 20 quadradinhos da base. Em seguida comparamos com o
prisma todo. Como ele tem 6cm de altura, serão necessárias seis camadas iguais a essa
para preencher o prisma.
Podemos dizer que o volume desse prisma é igual a 4 x 5 x 6 = 120cm³.
Prisma
TP3 - Matemática nas Formas Geométricas e na Ecologia - Parte I
Construção do conhecimento matemático em ação:
entendendo, usando e medindo figuras geométricas
Se
çã
o 
2
40
Esse processo nos permite dizer que o volume de um prisma é igual ao produto da
área de sua base por sua altura (que representaremos por h). Temos:
Vprisma = Abase x h
No caso de uma base retangular de medidas a e b, e sendo c a altura do prisma,
podemos escrever o volume como:
Vprisma = a x b x c
No caso de o prisma ser um cubo temos a=b=c e portanto
V
prisma
 = a x a x a
Nesta unidade, a piscina serviu como ponto inicial de uma situação-problema e serve
também como um objeto sobre o qual queremos mais informações, gerando a necessidade
de novos conhecimentos que poderão resolver as informações que queremos.
Desse modo, o motivo que nos levou a introduzir o tema Volume de Prismas
foi a necessidade de calcular com exatidão a capacidade da piscina, deixando livre
20cm da borda.
Lembrete
Tradicionalmente, em Matemática, volume é uma grandeza referente a sólidos (maci-
ços) e descreve a quantidade de espaço ocupada por ele, medida em alguma unidade.
Capacidade é uma grandeza referente a figuras não planas ocas, que descreve a
quantidade de matéria que pode ser colocada dentro dela.
Na prática, essa diferença é irrelevante. Como a unidade de volume dm3 é equi-
valente à unidade de capacidade l, conhecendo-se uma podemos ter a outra, sem
dificuldade. Por exemplo, o volume ou a capacidade de uma caixa d´água nos dão
informações eqüivalentes.
Talvez você se surpreenda com o que vem agora - uma articulação entre:
a) as áreas de polígonos, que você estudou na Unidade 1 do TP2, sobre esportes, e
b) o cálculo do volume de prismas.
Lembra-se de como foi o estudo das áreas?
1 - a área do quadrado e do retângulo foi calculada diretamente, por preenchimento
dessas figuras com unidades de área;
2 – a área do paralelogramo foi calculada cortando e deslocando uma parte dele, de
modo a transformá-lo em um retângulo;
3 – duplicamos um triângulo de modo a obter um retângulo ou um paralelogramo,
cuja área já é conhecida, e dividimos essa área por 2, para voltar à área do triângulo;
4 – para calcular a área de um trapézio, podemos decompô-lo em várias figuras de
áreas conhecidas ou duplicá-lo, obtendo-se um paralelogramo, cuja área será dividi-
da por 2, para voltar à área do trapézio.
O universo das formas
U
ni
da
de
 9
41
Lembrete para a aprendizagem
Dúvidas nesses fatos sobre as áreas, ou lembranças meio nebulosas? Volte lá, confira.
Isso fará com que você avance pisando em chão mais firme. Compreenderá melhor a
conexão entre as áreas de polígonos e os volumes dos prismas (que faremos em segui-
da) e não se esquecerá disso.
Cálculo do volume de um prisma
Vamos trilhar os mesmos passos feitos no caso das áreas.
1 – A base do prisma é um retângulo ou um quadrado.
Esse já foi feito: preenchemos a base com unidades de área e, sobre elas, colocamos
unidades de volume, formando uma primeira camada. Multiplicamos pela altura do
prisma, de modo a ter camadas que preenchessem o prisma.
2 – A base do prisma é um paralelogramo.
Olhe os dois prismas que têm uma parte vermelha. Pode parecer que as bases de
ambos são retângulos, mas não é isso que quisemos representar. De cada um deles parte
uma flecha vertical indicando qual é a base correspondente. No primeiro, a flecha indica
a base em forma de paralelogramo; no segundo, em forma de retângulo. Talvez a mu-
dança ocorrida na base - corte de uma parte e recomposição na forma de um retângulo
TP3 - Matemática nas Formas Geométricas e na Ecologia - Parte I
Construção do conhecimento matemático em ação:
entendendo, usando e medindo figuras geométricas
Se
çã
o 
2
42
- ajude você a ver o processo correspondente feito no prisma: como sua base não era um
retângulo, foi cortada a parte vermelha do prisma e justaposta do outro lado, de modo a
torná-lo um prisma com base retangular, cujo volume já sabemos calcular:
Vprisma retangular = Aretângulo da base x h
Como a decomposição e recomposição não alterou o volume, o prisma cuja base
é um paralelogramo tem esse mesmo volume. Devemos lembrar ainda que a área da
base retangular do 3o prisma é igual à área da base em forma do paralelogramo do 2o
prisma. Então podemos escrever:
V
prisma com base paralelogramo
 = A
paralelogramo da base
x h
3 – A base do prisma tem a forma de um triângulo. Na mesma figura que estávamos
considerando, há um prisma sem colorido, com base triangular. Veja como ele foi dupli-
cado para se obter um prisma retangular (se o triângulo não fosse retângulo, a duplicação
teria gerado um prisma com base em forma de paralelogramo).
O volume do prisma triangular é igual à metade do volume do prisma retangular:
Como metade da área do retângulo é igual à área do triângulo, temos:
V
prisma triangular
 = A
triângulo da base
x h
4 – A base do prisma tem a forma de um trapézio.
Nesse caso, podemos duplicar o prisma obtendo um prisma com base em forma de
paralelogramo, da mesma forma como fizemos com as áreas (lembre-se do que você fez
na Atividade 17, Unidade 1 do TP2).
O universo das formas
U
ni
da
de
 9
43
Percebemos então, que o volume do prisma inicial é igual à metade do volume
desse novo prisma, que já sabemos ser igual ao produto de sua base (paralelogramo) pela
sua altura. Dividindo por 2, a base também fica dividida por 2, e seu valor será o da área
do trapézio inicial. Temos:
Como 1/2 (área do paralelogramo) é igual à área do trapézio, obtemos:
O que se tem em comum nos quatro prismas cujos volumes determinamos? O
volume de todos eles é igual ao produto da área da base pela altura.
Os prismas que vimos nesta unidade são todos prismas retos: suas arestas laterais
são perpendiculares às bases e formam faces todas retangulares.
Em um prisma oblíquo, também existem duas faces paralelas e idênticas (bases).
Mas as arestas que ligam os pontos correspondentes das bases não são perpendiculares
aos planos das mesmas. Por isso, elas formam faces que são paralelogramos (e não
retângulos). Veja a figura.
Volume de um prisma
Para prismas retos ou oblíquos, o volume é dado pelo produto da área da base
pela altura.
A altura é dada por qualquer aresta lateral.
A altura é dada por um segmento perpendi-
cular à base.