O TEOREMA DE TALES

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Construção do conhecimento matemático em ação
Construção do conhecimento matemático em ação: eclipses, semelhança de triângulos, Teorema de Tales
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O Teorema de Tales
O famoso Teorema de Tales afirma que: 
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos 
determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados 
sobre a outra. 
Se tivermos a situação:
Então teremos:
AB
BC
=
A’B’
B’C’
, BC
CD
=
B’C’
C’D’
, etc. ou
Para demonstrarmos o Teorema de Tales, usamos um teorema auxiliar e uma defi-
nição precisa de proporcionalidade de segmentos. O teorema auxiliar é o seguinte: 
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais e estabelecen-
do-se uma correspondência entre os segmentos determinados pelas paralelas sobre as 
transversais, tem-se:
• a segmentos iguais de uma transversal correspondem segmentos iguais da outra; 
• se um segmento é maior ou menor do que outro, na mesma transversal, o mesmo 
acontece com os segmentos correspondentes, na outra transversal.
Na ilustração, temos um feixe de quatro paralelas cortadas por duas transversais.
O teorema afirma que:
- se tivermos AB = CD, então necessariamente teremos A´B´= C´D´;
- se tivermos AB < BC, então necessariamente teremos A´B´< B´C´.
Esse teorema auxiliar pode ser provado usando-se congruência de triângulos.
A A‘
B B ‘
C C‘
D D‘
A A‘
B B ‘
C C‘
D D‘
AB
A’B’
=
BC
B’C’
=
CD
C’D’
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Água – da hipótese de Tales a um problema no mundo atual 
Teorema de Tales, semelhança de triângulos, previsão de eclipses e determinação de distâncias inacessíveis
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Não vamos fazer aqui a demonstração do Teorema de Tales, porque vamos centrar 
a nossa atenção em aplicações muito interessantes relacionadas a ele, mas vamos exerci-
tar o nosso raciocínio dedutivo mostrando como, a partir do Teorema, podemos deduzir 
outros teoremas interessantes.
Se você tiver interesse em ver como se demonstra o Teorema de Tales, poderá con-
sultar: BARBOSA, J. L.M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM, 2004.
Vamos, portanto, assumir que o Teorema de Tales é verdadeiro.
Atividade 2
Veja a planta de parte de um bairro em que as ruas transversais são paralelas e algumas 
medidas estão indicadas. Calcule o valor de x.
O Teorema de Tales permite demonstrar propriedades geométricas importantes, 
como a seguinte:
Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto em partes pro-
porcionais aos lados respectivos. 
Você deve se lembrar que a bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que o divide em 
dois ângulos iguais. A bissetriz BI do ângulo B determina, no lado oposto, segmentos AI 
e IC. Queremos demonstrar que eles são proporcionais aos lados respectivos.
x
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Construção do conhecimento matemático em ação: eclipses, semelhança de triângulos, Teorema de Tales
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Portanto, queremos demonstrar que:
AI
CI
=
AB
BC
ou AI
AB
=
IC
BC
Veja como podemos fazer isso.
Em geral, para demonstrarmos que alguma propriedade vale, precisamos fazer 
alguma construção auxiliar. No caso da bissetriz deste triângulo, vamos traçar uma 
reta paralela a ela, a partir do Ponto C:
Continuando a construção, vamos prolongar a reta AB até que ela encontre, no 
ponto D, a reta traçada.
Veja que estamos com um desenho ao qual se aplica o Teorema de Tales (embora 
ele esteja “deitado”): temos duas retas concorrentes (as retas azuis) cortadas por duas 
paralelas (as retas vermelhas). O Teorema de Tales nos afirma que vale a proporção:
AI
CI
=
AB
BD
Esta proporção está muito próxima da que queremos provar – na qual deve apa-
recer BC em lugar de BD.
Quem sabe conseguiremos provar que BD = BC? Aí, a nossa demonstração estará 
completa.
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Teorema de Tales, semelhança de triângulos, previsão de eclipses e determinação de distâncias inacessíveis
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Olhe um pouco a figura: BD e BC são lados de um triângulo que apareceu com a 
nossa construção auxiliar. Para que sejam iguais, o triângulo CBD deve ser isósceles. 
Existe um jeito de saber se o triângulo é isósceles sem necessariamente saber que ele 
tem dois lados iguais: verificando se ele tem dois ângulos iguais. No caso, se conse-
guirmos provar que os ângulos 1 e 4 são iguais, então também o serão os lados BD e 
BC, terminando nossa demonstração. 
Na Matemática, quando não conseguimos provar diretamente, vamos procurando 
caminhos para chegar lá. O nosso caminho será o seguinte: considerando os ângulos 
1, 2, 3 e 4, vamos começar provando que 1 = 2, depois que 2 = 3 e finalmente que 
3 = 4. Então teremos 1 = 4, que é o que queríamos. Veja:
1 = 2 (Na figura, temos duas retas paralelas cortadas por duas transversais, e 1 e 
2 são ângulos correspondentes, portanto são iguais).
2 = 3 (Pela definição de bissetriz, são iguais).
3 = 4 (Na figura de paralelas cortadas por duas transversais, eles são ângulos al-
ternos internos, portanto são iguais).
Completamos a demonstração! Veja o que temos: o triângulo é isósceles, então 
BD = BC, e portanto vale a proporção que queríamos demonstrar entre as partes de-
terminadas por uma bissetriz e os lados correspondentes do triângulo.
Para que servem os teoremas?
Os teoremas são instrumentos importantes na resolução de problemas matemáticos. 
Eles garantem que, sabendo-se que valem certas condições, teremos a validade de 
outras. Por exemplo: suponhamos que, na situação em que você está trabalhando, 
exista um triângulo retângulo. Essa é uma condição que você tem, que você sabe que 
vale. Então, o Teorema de Pitágoras lhe garante que vale a igualdade entre o quadrado 
da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos, uma poderosa relação, garantida 
pela mera presença de um ângulo reto no triângulo. 
As condições que devem valer, a partir das quais o teorema garante que algo novo 
também valerá, são chamadas de hipóteses do teorema. No Teorema de Pitágoras, a 
hipótese é a que se tenha um triângulo retângulo. O fato novo que o teorema afirma 
valer, em decorrência daquela hipótese, é a tese do teorema (você já deve ter ouvido 
a expressão: ele defende a tese de que...). A tese do Teorema de Pitágoras é a de que 
o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Ao fazermos atividades matemáticas, usamos livremente teoremas, sem nos preocu-
parmos se eles são verdadeiros ou não. Eles já estão consolidados dentro da teoria ma-
temática, e a prova de que valem pode ser consultada em compêndios de matemática.
Porque este é um fato: todo teorema que se conhece já foi um dia provado ou 
demonstrado. A demonstração é o raciocínio lógico-matemático que liga a hipótese à 
tese. Esse raciocínio pode recorrer a construções auxiliares e a outros teoremas já pro-
vados. Usando a hipótese, na demonstração vão-se criando argumentos, por meio de 
construções, recorrendo-se a outros teoremas já provados, tudo visando à conclusão, 
dentro da lógica do raciocínio matemático, de que a tese é válida.
Nesta Unidade, optamos por convidá-lo a trabalhar sobre alguns teoremas e suas 
demonstrações.
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Na verdade, a atividade de resolver problemas tem pontos em comum com a de de-
monstrar teoremas. Em um problema, você também tem condições iniciais que valem (as 
hipóteses, ou dados, do problema). E você deve, em alguns casos, determinar o valor de 
algo envolvido no problema. Quando você tiver achado o valor, terá chegado a uma tese, 
uma afirmação nova que se pode fazer na situação do problema. E o que você faz na reso-
lução do problema tem pontos em comum com a demonstração de um teorema. Vocêusa 
os dados do problema, relaciona-os, faz construções auxiliares, recorre a outros teoremas 
ou procedimentos conhecidos (resoluções de equações, por exemplo) e, depois de tanto 
desenvolver raciocínios matemáticos corretos, chega lá, no que o problema pedia.
Veja, na Atividade a seguir, que não é apenas em obras complexas de engenharia 
que se usa a Matemática. A qualquer momento, podemos resolver problemas do dia-a-dia 
usando os nossos conhecimentos.
Atividade 3
Um fazendeiro vai construir o telhado de sua casa com inclinações diferentes. Para isto, 
usará duas vigas, de 4,5m e de 6,2m, apoiadas sobre uma base de 6m.
Ele deseja colocar uma terceira viga eqüidistante das outras duas (qualquer ponto da 
terceira viga deve estar a igual distância das duas que formam o telhado). Deste modo, 
poderá fechar a estrutura do telhado com duas vigas (a e b) de igual tamanho. 
Ele quer saber em que ponto da base a terceira viga deve passar. 
Continuando a nossa conversa sobre o Teorema de Tales, vamos ver que ele é útil 
para provar resultados da teoria dos triângulos semelhantes. 
Freqüentemente, problemas que usam o Teorema de Tales usam também triângulos 
semelhantes. São conceitos que aparecem articulados, em inúmeras situações-problema. 
Devido a isso, vamos investigar melhor o conceito de semelhança em triângulos. 
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