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Física - Livro 2-173-176

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F
R
E
N
T
E
 2
173
=U
Q
C
2
2
=U
Q
C
3
3
Substituindo na equação anterior, tem-se que:
= + +
1
C
1
C
1
C
1
C
eq 1 2 3
Ou seja, o inverso da capacitância equivalente em série
é igual à soma dos inversos da capacitância de cada um
dos elementos da associação.
y Observe que o cálculo da capacitância equivalente em série é
idêntico ao do cálculo da resistência equivalente em paralelo.
y A capacitância equivalente em série é sempre menor do que a
menor das capacitâncias da associação.
y Se houver n capacitores iguais a C associados em série, a capa-
citância equivalente é calculada por: =C
C
neq
y Se houver dois capacitores C1 e C2 associados em série, uma
expressão muito útil para o cálculo da capacitância equivalente
é dada por: =
⋅
+
C
C C
C Ceq
1 2
1 2
y A energia potencial elétrica armazenada da associação é dada
por: =E
Q
2Cp
2
eq
Atenção
Associação de capacitores em paralelo
Observe a associação de capacitores a seguir.
+
+
+
C
1
A B
+
+
+
+
C
2
+
+
+
+
C
3
+
U
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Fig. 29 Representação de capacitores em paralelo.
Como no caso dos resistores, os capacitores em pa-
ralelo estão ligados à mesma tensão; portanto, a ddp nos
terminais de todos os capacitores é a mesma.
Observação: Em uma associação de capacitores em paralelo, a tensão é
a mesma em todos os capacitores.
A carga total Q armazenada pela associação é o so-
matório das cargas armazenadas pelos capacitores C1, C2
e C3, tal que:
Q = Q1 + Q2 + Q3
Mas
Q = Ceq ⋅ U
Q1 = C1 ⋅ U
Q2 = C2 ⋅ U
Q3 = C3 ⋅ U
Substituindo na equação anterior, tem-se que:
Ceq = C1 + C2 + C3 ⇒ paralelo
Ou seja, a capacitância equivalente em paralelo é igual
à soma dos capacitores existentes na associação.
v
y Observe que o cálculo da capacitância equivalente em paralelo é
idêntico ao do cálculo da resistência equivalente em série.
y A capacitância equivalente em paralelo é sempre maior do que
a maior das capacitâncias da associação.
y Se houver n capacitores iguais a C associados em paralelo, a
capacitância equivalente é calculada por: Ceq= n ⋅ C
y A energia potencial elétrica armazenada da associação é dada
por: =
⋅
E
C U
2
p
eq
2
Atenção
Os capacitores no circuito elétrico
Quando se tem um capacitor em um circuito elétrico
alimentado por uma tensão constante U, ele deve ser visto,
em regime permanente, como um aberto, ou seja, a cor-
rente que o atravessa é igual a zero. Nesse caso, a tensão
sobre o capacitor é igual à tensão sobre o elemento em
paralelo com o capacitor.
Exercício resolvido
4 Considere o circuito elétrico da figura abaixo:
A
B
10 Ω
5 Ω
15 Ω
5 μF
+
U = 30 V
–
Determine:
a) a intensidade de corrente no gerador.
b) a ddp entre A e B.
c) a carga adquirida pelo capacitor.
d) a energia potencial elétrica adquirida pelo capa-
citor.
FÍSICA Capítulo 6 Circuitos elétricos174
Resolução:
a) Em regime estacionário, o capacitor é visto como
um aberto, dessa forma, a corrente só atravessa
os resistores. A resistência equivalente é facil-
mente calculada como:
Requivalente = 15 + 10 + 5 = 30 W
Portanto, a corrente i é dada por: =
Ω
=i
30 V
30
1 A
b) A ddp entre A e B é a própria ddp sobre o resistor
de 10 W, tal que: UAB = 10 ⋅ 1 = 10 V
c) A tensão sobre o capacitor é a própria tensão
UAB, tal que: Q = C ⋅ UAB = (10 ⋅ 5) ⋅ 10
-6 = 50 mC
d) A energia potencial elétrica pode ser calculada
pela expressão:
=
⋅
= ⋅ ⋅ = µ
−
E
C U
2
50 5 10 250 J
p
2
6
Variação de potencial entre os
terminais de elementos de um
circuito
Para a resolução dos circuitos elétricos, é interessante
que possamos entender o que acontece com a tensão nos
terminais de um dipolo quando por ele passa uma corrente
elétrica i. O quadro a seguir ilustra os principais dispositivos
encontrados nos circuitos elétricos, tanto para resistores
como para elementos com placas, como é o caso dos ge-
radores, receptores e capacitores.
Elemento
no mesmo
sentido da
corrente, o
potencial
V
A
 V
B V
Elemento
da placa –
passa para a
placa +
V
A
 V
B V
Tab. 1 Quedas de tensão em diferentes elementos do circuito.
Este quadro nos mostra com clareza que, ao atraves-
sarmos um resistor R no sentido da corrente elétrica, temos
uma queda de potencial igual a R ⋅ i.
É muito importante compreendermos bem esse quadro,
pois ele será muito útil ao resolvermos circuitos, que será o
nosso próximo assunto.
As leis de Kirchhoff
As leis de Kirchhoff são importantes ferramentas para
o cálculo de correntes e tensões em circuitos elétricos.
Elas se devem ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff
(1824-1887).
Observe o circuito a seguir.
i
1
i
2
i
1
i
1
i
3
i
3 ε
3
ε
1
ε
2
–
+
++
––
E DF
A B C
R
2
R
3
R
1
r
2
r
3
r
1
Fig. 30 Circuito elétrico com duas malhas.
Nesta rede elétrica formada pelos geradores (ε1, r1) e
(ε2, r2), pelo receptor (ε3, r3) e pelos resistores R1, R2 e R3,
podemos identificar os nós B e E. Nós são pontos do cir-
cuito onde a corrente se divide.
Ramos são trechos do circuito entre os nós.
Nesse caso, podemos identificar três ramos: EFAB, EB
e EDCB.
Finalmente, malhas são definidas como quaisquer con-
juntos de ramos que formam um percurso fechado. Nesse
caso, as malhas são três: EFABE, EBCDE e ABCDEFA.
Definidos esses termos, podemos enunciar as duas leis
de Kirchhoff, que são de fácil entendimento:
• Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) ou lei dos nós – O
somatório das correntes que chegam a um nó é igual
ao somatório das correntes que saem deste nó.
• Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) ou lei das malhas –
Ao se percorrer uma malha, o somatório algébrico das
ddps é nulo.
Resolução de circuitos elétricos
Circuitos com uma única malha
I. Primeiro método
Os circuitos com uma única malha são muito simples de
se resolver, bastando aplicar a Lei de Pouillet no seu caso
mais geral, ou o "princípio do cabo de guerra".
Observemos o circuito da figura a seguir.
+
+ –
+
3 V
6 V
1 V
2 Ω
2 Ω
3 Ω
1 Ω
–
–
Fig. 31 Circuito de uma única malha.
Inicialmente, não sabemos quais elementos de tensão
funcionarão como geradores e quais como receptores.
Verificamos, por uma simples inspeção, que as forças
eletromotrizes dos elementos de tensão de 3 V e 6 V se
somam, ao passo que o elemento de tensão de 1 V se “opõe”
aos dois primeiros.
F
R
E
N
T
E
 2
175
v
O que foi dito anteriormente pode ser facilmente verificado obser-
vando-se que os elementos de tensão de 3 V e 6 V fazem com que
a corrente circule no sentido horário, ao passo que o elemento de
tensão de 1 V faz com que a corrente circule no sentido anti-horário.
Atenção
Dessa forma, verificamos que os elementos de tensão
de 3 V e 6 V funcionam como geradores e o elemento de
tensão de 1 V funciona como receptor.
A resistência equivalente do circuito é a soma de todas
as resistências, já que todas estão em série.
Assim, pela Lei de Pouillet, temos que:
=
+ −
+ + +
=i
6 3 1
1 2 3 2
1 A, sentido horário.
+
+ –
+
3 V
6 V
1 V
2 Ω
2 Ω
3 Ω
1 Ω
1 A
1 A
–
–
Fig. 32 Representação da corrente no circuito.
Ao observarmos o circuito, constatamos que os elementos
de tensão de 3 V e 6 V são percorridos por corrente do polo
negativo para o positivo, o que caracteriza geradores elétricos,
ao passo que o elemento de tensão de 1 V é percorrido por
corrente do polo positivo para o negativo, o que caracteriza
os receptores elétricos.
II. Segundo método
Aplicando a Lei de Kirchhoff de Tensões (LKT), teremos
uma outra forma de resolver o problema.
+
+ –
+
3 V
6 V
1 V
2 Ω
2 Ω
3 Ω
1 Ω
–
–
Fig. 33 Circuito de uma única malha.
Para aplicarmos as leis de Kirchhoff, partimos do pres-
suposto de que não conhecemos o real sentido da corrente
elétrica; portanto, atribuímos arbitrariamente um sentido
de corrente, por exemplo, no sentido anti-horário. Assim,
o circuito, com a corrente neste sentido, pode ser visto na
figura a seguir.
+
+ –
+
3 V
6 V
1 V
2
2 Ω
3
1
i
Ω
Ω
Ω
D
E
F
O
A
B
C
–
–
Fig. 34 Representaçãoda corrente no circuito.
Em seguida, aplicamos a lei de malhas, obedecendo
ao quadro de variação do potencial em um dipolo.
De forma resumida, tem-se que:
• ao passar por um resistor R no sentido da corrente, tem-
-se uma queda de potencial igual a R ⋅ i; se passarmos
contra o sentido da corrente, teremos um acréscimo
de potencial igual a R ⋅ i.
• ao atravessarmos um elemento de tensão do polo posi-
tivo para o negativo, tem-se um decréscimo de tensão
igual ao valor de sua fem ou fcem; caso contrário, te-
remos um acréscimo de tensão.
Partindo do ponto indicado como tensão nula (terra) e
no sentido da corrente, tem-se que:
+ 1 - 3 ⋅ i - 2 ⋅ i - 6 - 1 ⋅ i - 2 ⋅ i - 3 = 0
A operação acima é a aplicação da lei das malhas ao
circuito da figura, obedecendo aos sinais das ddps des-
critos acima.
A resolução dessa equação nos leva a um valor de
corrente igual a: i = -1 A
O sinal negativo encontrado nos indica que o sentido
da corrente escolhido a princípio não é correto e que a
corrente elétrica flui, na verdade, no sentido horário. Esse
resultado coincide com o inicialmente encontrado utilizan-
do-se a Lei de Pouillet.
Circuitos com mais de uma malha
A real utilidade das leis de Kirchhoff se revela quando
resolvemos circuitos com mais de uma malha, como o do
exemplo a seguir.
20 V
++
E DF
A B C
1 Ω
0,5 Ω
0,5 Ω
0,5 Ω
0,5 Ω 3 Ω
M
+
–
6 V , 1 Ω
20 V
––
Fig. 35 Circuito com duas malhas.
O primeiro passo é atribuir arbitrariamente as correntes
nos ramos do circuito EFAB (i1), EB (i2) e BCDE (i3). É im-
portante frisar que esta escolha é totalmente arbitrária. Os
sinais das correntes ao final da resolução do circuito nos
dirão se os sentidos foram escolhidos corretamente ou não.
FÍSICA Capítulo 6 Circuitos elétricos176
Essas correntes foram escolhidas conforme a figura a
seguir:
20 V
++
E DF
A B C
1 Ω
0,5Ω
0,5Ω
0,5 Ω
0,5Ω
M
+
–
i1
i 1
i1
i3 i3
i
2
3 Ω
20 V
6 V ; 1 Ω––
Fig. 36 Representação das correntes no circuito.
Verificamos que temos três incógnitas: as correntes
i1, i2 e i3. Para resolvermos essas incógnitas, precisaremos
de três equações. Essas equações serão obtidas pelas leis
de Kirchhoff.
Da Lei de Kirchhoff dos nós, aplicada ao nó B, temos:
i1 + i2 = i3.
O somatório das correntes que chegam ao nó B (i1 e i2)
deve ser igual ao somatório das correntes que saem deste
nó (i3).
Faltam ainda duas equações. A primeira delas sairá da
aplicação da lei das malhas à malha EFABE e a segunda
equação, da aplicação da lei das malhas à malha EBCDE.
Observe que na malha EBCDE, o motor M é um receptor
de fcem 6 V e resistência interna 1 W.
• Para a malha EFABE, tem-se que, partindo do nó E e
percorrendo a malha no sentido de i1:
-i1 + 20 - 0,5 ⋅ i1 - 0,5 ⋅ i1 + 0,5 ⋅ i2 - 20 + 0,5 ⋅ i2 = 0
Rearranjando: 2 ⋅ i1 - i2 = 0.
• Para a malha EBCDE, tem-se que, partindo do nó E, no
sentido de i2:
-0,5 ⋅ i2 + 20 - 0,5 ⋅ i2 - 3 ⋅ i3 - 6 - 1 ⋅ i3 = 0
Rearranjando: 4 ⋅ i3 + i2 = 14.
Observe que temos agora três equações para três in-
cógnitas. A resolução desse sistema nos leva a:
i1 = 1 A; i2 = 2 A e i3 = 3 A.
Ou seja, os sentidos das correntes foram adequada-
mente escolhidos devido ao fato de que os sinais foram
todos positivos.
v
A Lei de Kirchhoff, conforme apresentada aqui, foi feita com a conven-
ção de sinais oposta ao que é normalmente utilizado. A convenção
utilizada neste livro é mais intuitiva e em nada prejudica o conceito
físico ou os resultados atingidos.
Atenção
Medidas elétricas
Na prática, é muito importante medir os parâmetros
básicos de um circuito, tais como corrente e tensão. O apa-
relho básico para essas medições é o galvanômetro.
O seu princípio de funcionamento se baseia nos efeitos
sobre um condutor percorrido por corrente elétrica quando
colocado em um campo magnético. Esse efeito será estudado
posteriormente.
AMPÈRES
0
1
2 3 4
5
RG
i
i
Galvanômetro
G
Fig. 37 Representação de um galvanômetro.
Os galvanômetros são aparelhos de resistência inter-
na muito baixa e, portanto, capazes de detectar correntes
muito baixas (na faixa de microampère). Correntes na ordem
de miliampères já danificam mesmo os menos sensíveis.
Portanto, para a sua utilização, como medidores de cor-
rente ou medidores de tensão, é necessário que se acople
ao galvanômetro resistências de valores adequados a fim
de não danificá-lo.
Por outro lado, ao se medir um parâmetro do circuito tal
como corrente ou tensão, é indesejável que, ao se ligar o ins-
trumento de medida no circuito, este altere significativamente
os valores iniciais de corrente, ou seja, a corrente e a tensão
lidas no instrumento de medida devem ser o mais próximo
possível da corrente e tensão, antes de se fazer a medida.
Medida de corrente – o amperímetro
Ao se ligar um galvanômetro em série a um circuito
elétrico, estamos interessados em medir a corrente elétrica
que passa por esse circuito.
Tendo em vista o que foi explicado inicialmente, através
do galvanômetro, agora utilizado como amperímetro, temos
que respeitar o limite de corrente que pode atravessá-lo e,
ao mesmo tempo, temos que garantir que o amperímetro
cause a mínima perturbação no circuito. Para tal, o amperí-
metro ideal é aquele que possui resistência interna nula.
i = 0,1 A
10 V
R1 = 100 Ω
A
Fig. 38 Amperímetro em um circuito.
No circuito acima, temos que o amperímetro, ligado em
série com o resistor R1, vai medir a corrente que passa por
esse resistor.
Corrente máxima no galvanômetro
Suponhamos que, no problema anterior, o galvanôme-
tro utilizado como amperímetro suporte, no máximo, uma
corrente de 1 mA. Como se pode observar, a corrente atra-
vés de R1 é de 0,1 A, ou seja, 100 vezes maior.
Se ligássemos o galvanômetro diretamente nesse cir-
cuito, certamente o danificaríamos.
Para contornar esse problema e permitir que o ampe-
rímetro tenha um fundo de escala (máximo valor permitido
para leitura) variável, colocamos em paralelo com a resis-
tência interna RG do galvanômetro outras resistências de
menor valor, denominadas resistências shunt RS, de tal
forma que o excesso de corrente que passaria pelo galva-
nômetro seja desviada para essas resistências de shunt.
Conforme se observa na figura 39.

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