Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-21042018

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11 Prova de Matemática de 21/04/2018
11.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 7 e 9) Uma determinada máquina, adquirida hoje por e20000 , apresenta uma
desvalorização anual (prevista) de 7% ao ano, a partir do momento da aquisição. Uma ex-
pressão que traduz o valor dessa máquina após t anos de ter sido adquirida poderá ser v(t) = ...:
(A) v(t) = 20000− 1400t (B) v(t) = 20000× (0, 93)t
(C) v(t) = 20000× (1, 07)t (D) v(t) = 20000× (1, 07)t
Resolução:
t = 1⇒ v(t) = 20000× 0, 93
t = 2⇒ v(t) = (20000× 0, 93)× 0, 93 = 20000× (0, 93)2
...
t = t⇒ v(t) = 20000× (0, 93)t
A resposta certa é a (B).
2.(Caṕıtulo 9) Sendo a um número real maior do que 1, o conjunto dos números reais que
são soluções da inequação loga (1− x) ≤ 1 é:
(A) [1− a,+∞[ (B) ]−∞, 1− a]
(C) [1− a, 1[ (D) ]−1, 1− a]
Resolução:
A opção certa é (C) porque:
Df = {x ∈ R : 1− x > 0} =]−∞, 1[
loga (1− x) ≤ 1 ⇔
a>1
1− x ≤ a1 ⇔ −x ≤ a− 1⇔ x ≥ 1− a
Logo x ∈ [1− a,+∞[ ∩Df ⇔ x ∈ [1− a,+∞[∩]−∞, 1[= [1− a, 1[
3.(Caṕıtulo 7 e 9) O domı́nio da função real de variável real f , definida analiticamente por:
f(x) = 8+ln(x−1)√
2−x , é:
(A) ]1, 2[ (B) [1, 2[
(C) [1, 2] (D) ]1, 2]
Resolução:
Df =
{
x ∈ R :
√
2− x 6= 0 ∧ 2− x ≥ 0 ∧ x− 1 > 0
}
√
2− x 6= 0 ∧ 2− x ≥ 0 ∧ x− 1 > 0⇔ 2− x > 0 ∧ x− 1 > 0
⇔ −x > −2 ∧ x > 1⇔ x < 2 ∧ x > 1⇔ x ∈ ]1, 2[
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A resposta certa é a (A).
4.(Caṕıtulo 7) O contradomı́nio da função real de variável real f , definida analiticamente
por f(x) = 10− 2
√
x2 + 9, é:
(A) ]−∞, 0] (B) ]−∞, 10]
(C) [−∞, 4] (D) [−∞, 8]
Resolução:
x2 ≥ 0⇔ x2 + 9 ≥ 9⇔
√
x2 + 9 ≥ 3⇔ −2
√
x2 + 9 ≤ −6⇔ 10− 2
√
x2 + 9 ≤ 4
⇔ f(x) ≤ 4⇔ ]−∞, 4] = D′f
A resposta certa é a (C).
5.(Caṕıtulo 5 e 11) Na figura abaixo estão representadas partes dos gráficos das funções
derivadas das funções reais f, g e h. Indique qual, ou quais, das funções apresentam um máximo
relativo no intervalo ]a, b[.
(A) Apenas f (B) Apenas h
(C) Apenas g (D) Apenas g e h
Resolução: A opção certa é (C) porque:
• f não tem extremos porque f ′(x) > 0,∀x ∈ ]a, b[
• h tem apenas um mı́nimo em x = 0 porque h′(0) = 0 ∧ h′(0−) < 0 ∧ h′(0−) > 0
• g tem um máximo porque ∃c ∈ ]a, b[ : g′(c) = 0 ∧ g′(c−) > 0 ∧ g′(c+) < 0
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6.(Caṕıtulo 5 e 11) Seja h uma função real, duas vezes dife-
renciável em R+. Com base na informação transmitida pela ima-
gem ao lado, onde se encontra representada parte do gráfico de h,
indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.
(A) h(1) < h′(1) < h′′(1) (B) h′(1) < h(1) < h′′(1)
(C) h′′(1) < h′(1) < h(1) (D) h′′(1) < h(1) < h′(1)
Resolução:
A opção certa é a (D) porque:
h(1) = 0
h′(1) > 0 porque h é crescente
h′′(1) < 0 porque concavidade voltada para baixo
h′′(1) < h(1) < h′(1)
7.(Caṕıtulo 11) Sendo g a função real definida por g(x) = 2x+1
x+5
, a expressão anaĺıtica da
sua função derivada, g′, pode ser dada por:
(A) 2
(x+5)2
(B) 9
(x+5)2
(C) 6
(x+5)2
(D) 4x+11
(x+5)2
Resolução: g′(x) = (2x+1)
′×(x+5)−(2x+1)×(x+5)′
(x+5)2
= 2(x+5)−(2x+1)
(x+5)2
= 9
(x+5)2
A resposta certa é a (B).
11.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 9 e 11) Um produto acabou de ser lançado no mercado. Prevê-se que, nos
próximos anos, o preço P , em euros, seja dado em função do tempo t, em anos, por
P (t) = 100 + 3log2 (t+ 2)
1.1 Calcule o valor do preço de lançamento e do preço para daqui a 6 anos.
Resolução:
P (t) = 100+3log2 (t+ 2)

P (0) = 100 + 3log2 (2) = 103 euros
P (6) = 100 + 3log2 (8) = 100 + 3log2 (2
3) = 100 + 3× 3 = 109 euros
1.2 Determine o número de anos e meses necessários para que o preço deste produto seja su-
perior a e111.
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Resolução:
P (t) > 111⇔ 100 + 3log2 (t+ 2) > 111⇔ 3log2 (t+ 2) > 11⇔ log2 (t+ 2) > 113
⇔ t+ 2 < 2 113 ⇔ t > 2 113 − 2⇔ t > 10, 6992⇔ t ≥ 10 anos 9 meses
1.3 Mostre que P (t + 1)− P (t) = 3log2
(
1 + 1
t+2
)
e interprete o significado desta diferença no
contexto da situação apresentada.
Resolução:
P (t+ 1)− P (t) = [100 + 3log2 (t+ 3)]− [100 + 3log2 (t+ 2)] = 3 [log2 (t+ 3)− log2 (t+ 2)]
= 3log2
(
t+3
t+2
)
= 3log2
(
(t+2)+1
t+2
)
= 3log2
(
1 + 1
t+2
)
Aumento anual do preço diminui com t e tende a estabilizar porque :
lim
t→+∞
[P (t+ 1)− P (t)] = lim
t→+∞
[
3log2
(
1 + 1
t+2
)]
= 3log2 (1) = 0
1.4 Calcule a taxa de crescimento do preço deste produto daqui a 5 anos.
Resolução:
P ′(t) = [100 + 3log2 (t+ 2)]
′ = 3× (t+2)
′
(t+2) ln 2
= 3
(t+2) ln 2
P ′(5) = 3
(5+2) ln 2
= 3
7 ln 2
euro/ano
2.(Caṕıtulo 10) Determine o valor que a constante real k deverá assumir de modo que a
função real definida por
g(x) =
 sen
(
7πx
12
)
+ e2−x, x ≤ 2
2−x + k , x > 2
seja cont́ınua no ponto de abcissa 2.
Resolução:
g é cont́ınua em x = 2

g(2) = lim
x→2−
g(x) = sen
(
7π×2
12
)
+ e2−2 = sen
(
7π
6
)
+ 1 = −1
2
+ 1 = 1
2
lim
x→2+
g(x) = lim
x→2+
(2−x + k) = 1
4
+ k = 1
2
⇔ k = 1
4
3.(Caṕıtulo 5 e 9) Caracterize a função inversa da função real definida pela expressão
f(x) = 5 − 3ex−2. Entende-se por caracterização a indicação da respetiva expressão anaĺıtica,
bem como do seu domı́nio e contradomı́nio.
Resolução:
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Df = R = D′f−1 ∧D′f = ]−∞, 5[ = Df−1 porque :
ex−2 > 0⇔ −3ex−2 < 0⇔ 5− 3ex−2 < 5
y = 5− 3ex−2 ⇔ 3ex−2 = 5− y ⇔ ex−2 = 5−y
3
⇔ x− 2 = ln
(
5−y
3
)
⇔ x = 2 + ln
(
5−y
3
)
f−1 : ]−∞, 5[→ R
x→ 2 + ln
(
5−x
3
)
4.(Caṕıtulo 8) Mostre que é válida a igualdade: cos(3x) = cos(x) [4cos2(x)− 3]
(Sugestão: Comece por considerar 3x = x+ 2x depois utilize as relações trigonométricas)
Resolução:
cos(3x) = cos [(2x) + x] = cos(2x) cos(x)− sen(2x)sen(x)
= [cos2(x)− sen2(x)] cos(x)− 2sen(x) cos(x)sen(x)
= cos(x) [cos2(x)− sen2(x)− 2sen2(x)] = cos(x) [cos2(x)− 3sen2(x)]
= cos(x) [cos2(x)− 3× (1− cos2(x))] = cos(x) [4cos2(x)− 3]
5.(Caṕıtulo 11) Determine uma expressão simplificada para a função derivada da seguinte
função:
f(x) = sen2 (3− 2x)− 5
√
2x+ 1 + ln
(
3
x− 1
)
.
Resolução:
f ′(x) = −2× 2sen (3− 2x) cos (3− 2x)− 5×2
2
√
2x+1
+
( 3x−1)
′
( 3x−1)
= −2sen (6− 4x)− 5√
2x+1
+
−3
(x−1)2
( 3x−1)
= −2sen (6− 4x)− 5√
2x+1
− 1x−1
6.(Caṕıtulo 3, 5, 7 e 11) Considere a função p(x) = 27−x2 e um retângulo
inscrito sob o seu gráfico e sobre o eixo das abcissas, como se encontra
representado na figura ao lado.
6.1 Calcule o valor da área do retângulo quando x = 1.
Resolução:
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p(1) = 27− 12 = 26 ⇒ Ax=1 = 26× 2 = 52 u.a.
6.2 Mostre que a área do retângulo pode ser dada pela expressão: A(x) = −2x3 + 54x
Resolução:
A(x) = 2x× (27− x2) = −2x3 + 54x
6.3 Determine o valor máximo da área do retângulo.
Resolução: Estudando a monotonia de A(x) temos:
x 0 3
√
27
Sinal de A′ 54 + 0 − −108
Monotonia de A 0 ↗ Max ↘ 0
A′(x) = −6x2 + 54 = 0⇔ −6 (x2 − 9) = 0⇔ x = ±3
Amáx = A(3) = −2× 33 + 54× 3 = 108 u.a.
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