Física - Livro 1-269-272

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Fig. 4 No caso da obturação dentária, todas as direções da dilatação são importantes.
Observação: É importante salientar que a dilatação ocorre sempre nas três
dimensões, porém, para simplificar, só estudamos a dilatação na direção
que é determinante.
Dilatação linear
Considere uma haste de comprimento L0 a uma tempe
ratura T0 e de secção transversal desprezível. A experiência
mostra que, se a haste for aquecida até a temperatura gené
rica Tf, seu comprimento passará ao valor genérico L (Fig. 5).
L
0
L
f
T
0
T
f
L
f
 > L
0
Fig. 5 Variação do comprimento de uma haste, com área transversal desprezível,
devido a uma variação de temperatura DT.
A diferença DL = Lf - L0 é denominada alongamento,
correspondente ao intervalo térmico DT = (Tf T0).
A experiência revela os seguintes fatos:
• DL é diretamente proporcional ao comprimento ini
cial L0.
• DL é diretamente proporcional ao intervalo térmico DT.
As observações empíricas citadas acima podem ser
resumidas na expressão: DL ~ L0 ⋅ DT, em que o sinal “~”
indica proporcionalidade.
Para transformar a relação de proporcionalidade ante
rior em uma equação, é preciso introduzir um coeficiente de
proporcionalidade, que indicaremos por a e que é chamado
coeficiente de dilatação linear.
Portanto:
DL = L0 ⋅ a ⋅ DT
Observe que a equação anterior pode ser trabalhada
até chegarmos ao comprimento final da haste.
DL = L0 ⋅ a ⋅ DT ⇒ Lf – L0 = L0 ⋅ a ⋅ DT
Lf = L0 + L0 ⋅ a ⋅ DT ⇒ Lf = L0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
Exercícios resolvidos
1 Um fio metálico tem comprimento de 100 m, a 0 °C.
Sabendo que esse fio é feito de um material com
coeficiente de dilatação linear igual a 17 ⋅ 10–6 °C–1,
determine:
a) a variação no comprimento do fio quando este é
aquecido até 10 °C.
b) o comprimento final do fio na temperatura de 10 °C.
Resolução:
a) Sabemos que DL= L0 ⋅ a ⋅ T, logo:
 DL = 100 ⋅ 17 ⋅ 10–6 ⋅ (10  0)
 DL = 17 ⋅ 10 3 m
 DL = 17 mm
b) Como DL = Lf - L0, temos:
 17 mm = 0,017 m = Lf - 100
 Portanto: Lf = 100,017 m
2 O gráfico a seguir nos mostra como varia o comprimen
to de uma barra metálica em função de sua temperatura.
L(cm)
500,1
500,0
200 T(°C)0
a) Qual é o coeficiente de dilatação linear do mate
rial que constitui a barra?
b) Se uma barra constituída por esse material tiver
200 m de comprimento a 10 °C, determine seu
comprimento final quando ela for aquecida a 110 °C.
Resolução:
a) Pelo gráco, temos:
• para 0 °C ⇒ Lbarra = 500,0 cm
• para 200 °C ⇒ Lbarra = 500,1 cm
 Para um DT = 200 °C, temos:
DL = 0,1 cm, a partir de um L0 = 500 cm; logo:
D D
D
D
L L T
L
L T
= ⇒ = ⇒0
0
· ·
· ·
a a
⇒ =
0 1
500 200
,
·
a
 logo: a = 1,0 ⋅ 10–6 °C–1
b) Sabemos que DL = L0 ⋅ a ⋅ DT e que
 Lf = L0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
 Portanto: Lf = 200 (1 + 1 ⋅ 10
–6 (110 - 10))
 Lf = 200,02 m
A constante a é uma característica de cada material e
é chamada de coeficiente de dilatação linear. Vale salientar
que a expressão DL = L0 ⋅ a ⋅ DT representa a dilatação
linear no caso de DL > 0, mas também pode representar
a contração linear para o caso de DL < 0, dependendo do
valor de DT.
FÍSICA Capítulo 2 Dilatação térmica270
A dilatação linear (DL) apresenta a mesma unidade de
grandeza da dimensão inicial (L0), enquanto o coeficiente
de dilatação linear (a) apresenta como unidade de me
dida o inverso da unidade de temperatura apresentada.
Observe:
D D
D
D
L L T
L
L T
= ⇒ = ⇒0
0
· ·
·
a a
unidade de temperatura
⇒ =
1
[ ]a
Por exemplo, para DT em °C ⇒ a = °C–1.
Veja a seguir uma tabela com o coeficiente de dilatação
linear de alguns importantes materiais.
Material Valor aproximado de a (°C–1)
Vidro pirex 3 ⋅ 10–6
Porcelana 3 ⋅ 10–6
Vidro comum 8 ⋅ 10–6
Ferro (Fe) 12 ⋅ 10–6
Cobre (Cu) 17 ⋅ 10–6
Alumínio (Al) 22 ⋅ 10–6
Chumbo (Pb) 27 ⋅ 10–6
Tab. 1 Coeficiente de dilatação linear de alguns materiais.
Dilatação superficial
No estudo da dilatação superficial, passaremos a
considerar a dilatação em duas dimensões. Para isso, pen
saremos em uma placa feita de um material isótropo de
espessura desprezível, ou seja, um corpo em que uma das
dimensões (a espessura) é desprezível em relação às duas
outras dimensões em estudo.
Considere uma placa que tenha uma área superficial
S0 a uma temperatura T0. Se a temperatura passar para Tf,
a área da superfície passará ao valor S.
A diferença DS = Sf - S0 é chamada variação da área
da superfície, no intervalo DT.
A experiência revela fatos análogos aos que foram es
tudados na dilatação linear, portanto DS ~ S0 ⋅ DT.
Para transformar a informação experimental em uma
igualdade, bastará introduzir o coeficiente de proporciona
lidade b, denominado coeficiente de dila ta ção superficial.
Portanto:
DS = S0 ⋅ b ⋅ DT
Analogamente, a área final pode ser representada por:
DS = S0 ⋅ b ⋅ DT ⇒ Sf S0 = S0 ⋅ b ⋅ DT
Sf = S0 + S0 ⋅ b ⋅ DT ⇒ Sf = S0 ⋅ (1 + b ⋅ DT)
Observação: Todas as características apresentadas pelo coe fi ciente a são
também válidas para o coeficiente b.
Relação entre b e a
Considere uma placa feita de material isótropo, o coe
ficiente de dilatação linear a será o mesmo qualquer que
seja a direção considerada.
b
a
Fig. 6 Placa retangular de material isótropo com dimensões a e b e superfície S.
Para a superfície S, você pode escrever:
S = a ⋅ b
Considerando a dilatação linear nas dimensões a e b,
temos:
a = a0 ⋅ (1 + a ⋅ DT) e b = b0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
Portanto:
Sf = [a0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)] ⋅ [b0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)] ⇒
Sf = a0 ⋅ b0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
2 = S0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
2 ⇒
Sf = S0 ⋅ (1 + 2 ⋅ a ⋅ DT + a
2 ⋅ DT2)
Lembrando que:
Sf = S0 ⋅ (1 + b ⋅ DT) e que a parcela a
2 ⋅ DT2 é despre
zível, podemos concluir que:
S0 ⋅ (1 + b ⋅ DT) = S0 ⋅ (1 + 2 ⋅ a ⋅ DT) ⇒
1 + b ⋅ DT = 1 + 2 ⋅ a ⋅ DT ⇒
b ⋅ DT = 2 ⋅ a ⋅ DT ⇒ b = 2a
Portanto, a relação entre a e b é dada por: b = 2a, isto é,
o coeficiente de dilatação superficial de um corpo isótropo
é igual ao dobro do seu coeficiente de dilatação linear.
O coeficiente de dilatação a é um número da ordem de milionésimos,
ou seja, 10–6. Por isso, nas considerações teóricas, abandonamos as
po tên cias de a superiores à primeira, ou seja a2, a3, ... ; com isso
estaremos cometendo um erro não mensurável experimentalmente.
Atenção
Exercício resolvido
3 Uma placa de alumínio, cujo coeficiente de dilatação
linear vale 22 ⋅ 10–6 °C–1, tem, a 0 °C, área igual a
10m
2. Qual será a área dessa placa a 200 °C?
Resolução:
Sabemos que DS = S0 ⋅ b ⋅ DT e que b = 2a; dessa
forma:
DS = S0 2 ⋅ a ⋅ DT
DS = 10 ⋅ 2 ⋅ 22 ⋅ 10–6(200 - 0)
DS = 0,088 m2
Como o que foi pedido é a área nal, temos:
DS = Sf - S0 ⇒ Sf = S0 + DS; logo: Sf = 10,088 m
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Dilatação volumétrica
Vejamos agora a dilatação em três dimensões, ou seja,
a dilatação volumétrica. Para isso, consideremos um bloco
feito de um material isótropo e que tenha, à temperatura T0,
o volume V0. Se a temperatura aumentar para Tf, o bloco
passará a ter volume Vf.
A diferença DV = Vf - V0 é chamada variação do volume,
correspondente ao intervalo térmico DT. A experiência revela
fatos análogos aos que vimos para a dilatação superficial ou
mesmo linear, ou seja, que DV é proporcional a V0 e a DT.
Portanto: DV ~ V0 ⋅ Tf.
Introduzindo o coeficiente de proporcionalidade g, de
nominado coeficiente de dilatação volumétrica, temos:
DV = V0 ⋅ g ⋅ DT
Analogamente, o volume final pode ser representado por:
DV = V0 ⋅ g ⋅ DT ⇒ Vf - V0 = V0 ⋅ g ⋅ DT
Vf = V0 + V0 ⋅ g ⋅ DT ⇒ Vf = V0 ⋅ (1 + g ⋅ DT)
Observação: Todas as características apresentadas pelos coeficientes a
e b são também válidas para o coeficiente g.
Relação entre g e a
a
b
c
Fig. 7 Paralelepípedo de material isótropo com dimensões a, b e c e com
volume V.
Para o volume V, podemos escrever: V = a ⋅ b ⋅ c.
Vale lembrar que, por ser um bloco isótropo, o coefi
ciente de dilatação linear é o mesmo em todas as direções.
Considerando a dilatação linear nas dimensões a,
b e c, temos:
a = a0 ⋅ (1 + a ⋅ DT), b = b0 ⋅ (1 + a ⋅ DT) e c = c0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
Portanto:
Vf = [a0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)] ⋅ [b0 ⋅ (1 + a ⋅DT)] ⋅ [c0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)] ⇒
Vf = a0 ⋅ b0 ⋅ c0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
3 = V0 ⋅ (1 + a ⋅ DT)
3 ⇒
Vf = V0 ⋅ (1 + 3 ⋅ a ⋅ DT + 3 ⋅ a
2 ⋅ DT2 + a3 ⋅ DT3)
Lembrando que:
Vf = V0 ⋅ (1 + g ⋅ DT) e que as parcelas: 3 ⋅ a
2 ⋅ DT2 e
a3 ⋅ V ⋅ T3 são desprezíveis, podemos concluir que:
V0 ⋅ (1 + g ⋅ DT) = V0 ⋅ (1 + 3 ⋅ a ⋅ DT) ⇒
1 + g ⋅ DT = 1 + 3 ⋅ a ⋅ DT ⇒
g ⋅ DT = 3 ⋅ a ⋅ DT ⇒ g = 3a
Portanto, a relação entre a e g é dada por: g = 3a, isto
é, o coeficiente de dilatação volumétrica de um corpo isó
tropo é igual ao triplo do seu coeficiente de dilatação linear.
Observe na tabela alguns exemplos numéricos de coe
ficiente de dilatação volumétrica.
Material Valor aproximado de g (°C–1)
Água 1,3 ⋅ 10–4
Mercúrio (Hg) 1,8 ⋅ 10–4
Álcool etílico 11,2 ⋅ 10 4
Acetona 14,9 ⋅ 10–4
Tab. 2 Coeficiente de dilatação volumétrica de algumas substâncias.
Exercício resolvido
4 Um bloco metálico possui um volume de 250 cm3 a 0°C
e de 250,75 cm3 à temperatura T. Determine essa
temperatura, sabendo que o coeficiente de dila ta ção
linear do bloco vale 25 ⋅ 10–6 °C 1.
Resolução:
• para T = 0 °C, temos V0 = 250 cm
3
• para T, temos Vf = 250,75 cm
3
Como: DV = V0 ⋅ g ⋅ DT e g = 3a
temos: V - V0 = V0 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ DT
 (250,75 - 250) = 250 ⋅ 3 ⋅ 25 ⋅ 10–6 (T - 0)
Logo: T = 40 °C
Dilatação de corpo oco ou com furo
Passaremos a analisar o que ocorre na dilatação de
um corpo oco (uma panela, por exemplo) ou de um furo em
uma chapa ou uma parede, quando submetidos à variação
de temperatura.
Fig. 8 Todo corpo oco ou com furo, ao se dilatar, comporta-se como se fosse maciço.
Note que o raio de um furo aumenta quando a tem
peratura aumenta e diminui quando a temperatura diminui
(Fig. 8).
Atenção
Lembrese de que o processo de dilatação ocorre
devido ao fato de as partículas estarem com maior ener
gia de vibração, necessitando, portanto, de maior espaço
físico para se acomodar.
FÍSICA Capítulo 2 Dilatação térmica272
Exercícios resolvidos
5 O que acontece com o diâmetro do orifício de uma
aliança de ouro quando esta é aquecida?
Resolução:
A experiência mostra que o diâmetro desse orifício au
menta. Veja:
T
1
T
2
T
1
< T
2
Para entender melhor o fenômeno, imagine uma
situação equivalente à de uma moeda circular, de
tamanho igual ao do orifício da aliança antes de ser
aqueci da. Aumentando a temperatura, o diâmetro da
moeda aumenta.
T
1
T
2
T
1
 < T
2
6 Imagine que, se envolvesse a Terra, na região do Equa
dor, com um anel de cobre, como está representado
na figura a. Se a temperatura do anel fosse elevada em
apenas 1 °C, sem que a temperatura da Terra sofresse
modificações, em que altura DR, acima da superfície da
Terra (figura b), ficaria o anel?
Dados: aCu= 17 ⋅ 10
–6 °C–1; RTerra = 6,4 ⋅ 10
6 m
R
0
a
R
0
b
ΔR
Resolução:
Tratase de uma dilatação linear.
Sabemos que: DL = L0 ⋅ a ⋅ DT, em que:
• DT = 1 °C
• a = 17 ⋅ 10–6 °C–1
• L0 = 6,4 ⋅ 10
6m,
Portanto: DL = L0 ⋅ a ⋅ DT
 DL = 6,4 ⋅ 106 ⋅ 17 ⋅ 10–6 ⋅ 1
DL = 108,8 m
Assim, o anel caria a 108,8 m da superfície em toda a
Linha do Equador.
Observação: 108,8 m equivale, aproximadamente, à
altura de um edifício de 30 andares!
Variação da densidade
Você já aprendeu que a densidade de uma substância
é a razão entre a massa do corpo e o seu volume, isto é:
d = m
V
.
Evidentemente, a massa do corpo independe da tempe
ratura. Por outro lado, como acabamos de ver, o volume do
corpo varia com a temperatura. Assim sendo, concluímos que
a densidade de um corpo depende da temperatura a que se
encontra esse corpo.
Observe:
Consideremos um corpo que se acha, inicialmente, à
temperatura T0 e cuja temperatura passa a Tf .
Teremos, então:
Na temperatura T0 e Tf:
d
m
V
0
0
0
= e d
m
V
f
f
f
=
Dividindo membro a membro:
d
d
m
V
m
V
f f
f
0
0
0=
Como: m0 = mf (a massa permanece constante),
temos:
d
d
V
V
f
f0
0
=
Lembrando que: V = V0 ⋅ (1 + g ⋅ DT), temos:
d
d
V T
V
0 0
0
1
=
+· ( · )g D
, ou seja:
d
d
T
=
+
0
1 g · D
Observação: A expressão anterior mostra que a densidade de um sólido
diminui à medida que a temperatura aumenta, pois o volume do sólido au-
menta com a temperatura.
Exercício resolvido
7 A massa específica do ferro a 0 °C vale d0 = 7,8 g/cm
3.
Se o coeficiente de dilatação cúbica do ferro é
g = 12 ⋅ 10–6 °C–1, determine a densidade desse me
tal a 75 °C.
Resolução:
d0 = d75 ⋅ [1 + g ⋅ (75 0)]
d
d
d d
75
0
6
75 75
1 75
7 8
1 12 10 75
7 8
1 0009
7
=
+
=
+
= ⇒ =
-g ·
,
· ·
,
,
,7792
3
 g cm/
Observe que: d75 < d0