Matemática - Livro 1-370-372

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MATEMÁTICA Capítulo 5 Centros dos triângulos e polígonos370
1 Na figura a seguir, M e N são pontos médios dos lados
do triângulo ABC e P é o ponto de interseção dos seg-
mentos AM e BN. Sabe-se também que AM = 21 cm,
PB = 15 cm e AB = 24 cm
A
N
B M
P
C
Determine as medidas dos segmentos:
a) AP
b) PM.
c) BN.
d) MN.
2 Na figura, o triângulo ABC é isósceles e retângulo em A.
Os segmentos AM e BN são medianas que se inter
ceptam em D, e BC = 24 cm. Os segmentos AM e DM
valem, respectivamente:
B
A N C
M
D
A 10 cm e 5 cm.
 18 cm e 6 cm.
C 3 cm e 9 cm
D 12 cm e 4 cm.
E 11 cm e 8 cm.
3 Fuvest Na figura, ABCD é um quadrado de 6 cm de
lado, M é o ponto médio do lado DC e A é o ponto
médio de PC. Calcule a área do triângulo MDN.
A
N
B
C
D
M
P
4 A figura a seguir mostra a estrutura de sustentação de
uma rampa. Atualmente, a estrutura é formada por duas
hastes fixas no ponto C de um piso plano. Assim, uma
das extremidades da rampa é fixada no ponto B desse
mesmo piso, uma haste é presa à extremidade A da
rampa e a outra ao ponto médio M, também da rampa.
A
C Qx y zP
E
M
D
B
A estrutura será reforçada por duas novas hastes que
sustentarão o ponto A. Elas deverão passar por perfura-
ções feitas nos pontos D e E da hasteCM e serão xadas
nos pontos P e Q do piso.
Para determinar as posições dos pontos P e Q, o en
genheiro responsável pela rampa deve relacionar as
distâncias x, y e z entre os pontos do piso, como mos
tra a gura
Então, sabendo que CD = DE = EM, a conclusão corre-
ta a que o engenheiro chegará será:
A x + y = z
 x + y < z
C z = 2y = 4z
D z > 2y > 4z
E x ⋅ z = y2
5 UFC Na figura a seguir, temos dois triângulos equilá
teros ABC e A'B'C' que possuem o mesmo baricentro,
tais que AB A B // ' ', AC A C // ' ' e BC B C // ' ' Se a medida
dos lados do triângulo ABC é igual a 3 3 cm e a dis
tância entre os lados paralelos mede 2 cm, então a
medida das alturas de A'B'C' é igual a:
A'
A B
B
C'
C
A 11,5 cm.
 10,5 cm.
C 9,5 cm.
D 8,5 cm.
E 7,5 cm.
6 UFPI No triângulo ABC (figura a seguir), os lados AB,
AC e BC medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 9 cm.
Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângu
los B e C e PQ // MB, PR // NC e MN // BC, a razão entre
os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
A
P
M N
B C
Q R
A
10
9

9
8
C
7
6
D
4
3
E
7
5
Exercícios propostos
F
R
E
N
T
E
 3
371
7 Um quiosque circular, como o da figura, costuma ser
levantado fixando-se primeiro a coluna central, que
sustenta o topo. Usando-a como referência, deter-
minam-se as posições das colunas perimétricas que
sustentam a base desse quiosque. Porém uma confu-
são nas instruções passadas para a construção de um
quiosque desse tipo fez com que os operários fixassem
três colunas perimétricas nos pontos A, B e C.
A
C
P
B
Feito isso, uma forma prática de se encontrar a posi-
ção correta do ponto P, para colocar a coluna central,
pode ser feita ao traçar no piso:
a as mediatrizes dos lados do triângulo ABC.
b as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo
ABC.
c as bissetrizes dos ângulos externos do triângulo
ABC.
d as medianas do triângulo ABC.
e as alturas do triângulo ABC.
8 No triângulo de lados 15 cm, 36 cm e 39 cm, determine:
) o raio da circunferência circunscrita
) a distância entre o baricentro e o circuncentro
desse triângulo
9 Um triângulo ABC é retângulo em A. A altura AH forma
com a mediana AM um ângulo de 28° Calcule as me-
didas dos ângulos agudos do triângulo ABC.
A
28°
B
H M
C
10 No triângulo ABC da figura, AD e BE são alturas.
Sendo med ACB( ) = °65 e med ABE( ) = °30 , x e y va-
lem, respectivamente:
A
y x
B D C
65°
30°
E
a 15° e 25°.
b 25° e 35°.
c 35° e 15°.
d 20° e 25°.
e 35° e 20°.
11 Julgue as afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas (F).
J O baricentro é sempre um ponto interno ao triângulo.
J O incentro pode ser externo ao triângulo
J O ortocentro de um triângulo obtusângulo é externo
ao triângulo.
J As mediatrizes de um triângulo sempre passam
pelos vértices.
J As bissetrizes internas dividem o lado oposto ao meio.
J As alturas sempre são internas aos triângulos
J O circuncentro de um triângulo retângulo é o vértice
do ângulo reto.
J O ortocentro de um triângulo retângulo é o ponto
médio da hipotenusa.
12 Unirio
E D
F G
C
A
H
B
Na gura anterior, o triângulo ABD é equilátero e seu
lado mede 3 m; H é o ortocentro, e os pontos F e G são
pontos médios dos lados AD e BD, respectivamente
Quantos rolos de ta adesiva serão necessários, no
mínimo, para cobrir todos os segmentos da gura, se
cada rolo possui 1 m de ta?
a 18
b 20
c 22
d 24
e 26
13 UFSC 2014 No livro A hora da estrela, de Clarice
Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por
um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em
uma circunferência, como mostra a figura.
MATEMÁTICA Capítulo 5 Centros dos triângulos e polígonos372
A
B C
Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos
de mesmo comprimento, e a área do triângulo ABC é
igual a 27 3 cm2, determine a medida do raio dessa
circunferência em centímetros.
14 Enem 2015 Para uma alimentação saudável, recomen-
da se ingerir, em relação ao total de calorias diárias,
60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de
gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visuali-
zação dessas porcentagens, quer dispor esses dados
em um polígono. Ela pode fazer isso em um triângulo
equilátero, um losango, um pentágono regular, um he-
xágono regular ou um octógono regular, desde que o
polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam
proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela de-
senhou as seguintes figuras:
Carboidratos
Carboidratos
Carboidratos
Carboidratos
Carboidratos
Gorduras
Gorduras
Gorduras
Gorduras
Gorduras
P
ro
te
ín
as
Proteínas
Proteínas
P
ro
te
ín
a
s
P
ro
te
ín
a
s
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condi-
ções necessárias para representar a ingestão correta
de diferentes tipos de alimentos é o
A triângulo.
 losango.
C pentágono.
D hexágono.
E octógono.
15 PUC-Rio 2015 A medida da área, em cm2, de um qua-
drado que pode ser inscrito em um círculo de raio
igual a 5 cm é?
A 20
 25 2
C 25
D 50 2
E 50
16 Enem 2012 Em exposições de artes plásticas, é usual
que estátuas sejam expostas sobre plataformas gi
ratórias Uma medida de segurança é que a base
da escultura esteja integralmente apoiada sobre a
plataforma Para que se providencie o equipamento
adequado, no caso de uma base quadrada que será
fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico
do evento deve estimar a medida R do raio adequado
para a plataforma em termos da medida L do lado da
base da estátua
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá
apresentar de modo que a exigência de segurança
seja cumprida?
A R
L≥
2
 R
L≥ 2
π
C R
L≥
π
D R
L≥
2
E R
L≥ ( )2 2
17 UEL 2017 Algumas figuras geométricas são utilizadas
em símbolos, como, por exemplo, a “Estrela de David”
(figura 1)
Figura 1 Figura 2 Figura 3
C
A B
O
A partir das Figuras 1 e 2, desenhou-se um esquema,
representado na Figura 3, que não obedece a uma
escala Sabe se que, na Figura 3, estão representados
uma circunferência de centro no ponto O e um triân
gulo equilátero ABC, inscrito nessa circunferência
Considerando que o raio da circunferência é de
48 cm, responda aos itens a seguir
a) Determine a medida do lado do triângulo ABC.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos
realizados na resolução deste item.
b) Determine a área representada pela cor cinza na
Figura 3 Justifique sua resposta apresentando os
cálculos realizados na resolução deste item.
18 Mackenzie 2013 A área de um triângulo regular inscrito
em uma circunferência de raio r, em função do apó-
tema a de um hexágono regular inscrito na mesma
circunferência é:
A a2
 2 2a
C 2 2 2a
D
3
2
2
a
E 3 2a