Matemática - Livro 1-376-378

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MATEMÁTICA Capítulo 5 Centros dos triângulos e polígonos376
O
36°
A
B
Decágono
l l
l l
l
a
R
R
R
R
R
Pentágono
Área
R
decágono �
 5 10 2 5
4
2
Área
R
pentágono �
5 10 2 5
8
2
Quer saber mais?
Sites
y Observe a beleza nas simetrias proporcionadas pelas pavimentações do plano, com triângulos e quadriláteros, cujos lados estão na razão áurea.
<https://p p4ed com/QKPRX>
<https://p.p4ed.com/QJORP>.
Exercícios complementares
1 Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos mé-
dios dos lados AB = 6 cm e AC = 4 cm de um triângulo
ABC. Sabendo que as medianas CM e BN são per-
pendiculares, determine a medida da base BC desse
triângulo.
A
N
M
B C
G
2 Um terreno em forma de um triângulo ABC, cujos
lados AB , AC e BC medem, respectivamente, 15 m,
18 m e 24 m, será parcialmente cercado. Para cercá-lo,
o proprietário mandou que fosse colocada uma esta-
ca de madeira em um ponto P do interior do terreno,
outra no vértice A e mais duas outras estacas nos
pontos D e E dos lados AB e AC, de modo que os pon-
tos P, D e E fiquem alinhados, determinando uma reta
paralela ao lado BC do terreno, como mostra a figura.
A
ED
P
B C
Determine quantos metros de cerca serão usados para
cercar o triângulo ADE nos casos em que o ponto P é:
a) o incentro do triângulo ABC.
b) o baricentro do triângulo ABC.
F
R
E
N
T
E
 3
377
3 Um triângulo ABC de lados AB = 16 cm e AC = 10 cm
tem o ângulo interno BÂC medindo 60°. Determine a
distância do ponto P ao lado BC do triângulo PBC sa-
bendo que P é o incentro do triângulo ABC.
4 Col. Naval Um triângulo isósceles tem os lados con-
gruentes medindo 5 cm e a base 8 cm. A distância
entre o seu incentro e o seu baricentro é, aproxima-
damente, igual a:
A 0,1 cm.
 0,3 cm.
C 0,5 cm.
D 0,7 cm.
E 0,9 cm.
5 Na figura a seguir, I é o centro da circunferência inscrita
no triângulo ABC. BC // DE e os pontos D, I e E são coli-
neares. Calcule o perímetro do triângulo ADE sabendo
que AB = 14 cm, BC = 13 cm e AC = 12 cm.
ED
B C
I
A
6 Udesc 2015 Observe a figura
A
D
I
135°
B 10 C
E
Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos,
que o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ân-
gulo BÎC é igual a 105º, então o segmento AC mede:
A 5 2

10 2
3
C 20 2
D 10 2
E 20 2
3
7 EPCar 2016 Um terreno com formato de um triângulo
retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca
feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra a
figura.
c
e
rc
a
A
C
P
M
B
I
II
Rua Alfa
Rua Beta
Sabe-se que os lados AB eBC desse terreno medem,
respectivamente, 80 m e 100 m Assim, a razão entre
o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa
ordem, é:
A
5
3

10
11
C
3
5
D
11
10
8 Calcule a distância entre o incentro e o circuncentro
do triângulo retângulo de medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm.
9 EPCar 2016 As cidades A, B e C situam se às margens
de um rio e são abastecidas por uma bomba situada
em P, conforme figura a seguir
B
30°
A
P
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a
bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se
BC = 6 3 km, então CP é, em km, igual a:
A 6 3+
 6 3 3−( )
C 9 3 2
D 9 2 1( )
MATEMÁTICA Capítulo 5 Centros dos triângulos e polígonos378
10 Qual a área máxima de um triângulo retângulo cujo
baricentro dista 5 cm do ortocentro?
11 UFG 2013 Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico,
nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos mis-
teriosos círculos que apareceram em plantações na
Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o
padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos
congruentes, com centros nos vértices de um triângulo
equilátero, e tinham uma reta tangente comum.
Nessas condições e considerando uma circunferência
maior que passe pelos centros dos três círculos con-
gruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência
maior e o raio dos círculos menores.
12 A figura a seguir apresenta o logotipo de um grupo
empresarial, que consiste em um triângulo equilátero
dividido em três triângulos congruentes, com uma cir-
cunferência inscrita em cada um.
Sendo A, B e C os centros das circunferências inscri-
tas e P o vértice do triângulo equilátero mais distante
do ponto B, podemos concluir que a medida do ângu-
lo PÂB é igual a:
A 165°
 150°
C 135°
D 120°
E 105°
13 O bilhar americano é jogado com 16 bolas, sendo uma
branca e 15 coloridas, que, inicialmente, são coloca-
das dentro de uma peça de madeira com a forma de
um triângulo equilátero, como mostra a figura a seguir.
Sabendo que as bolas coloridas têm 8 cm de diâme-
tro e admitindo que todas elas estejam em contato
umas com as outras ou com o triângulo de madeira,
faça uma estimativa da medida do lado desse triângu
lo que cerca as 15 bolas coloridas usando, no nal, o
número 1,7 como aproximação da raiz quadrada de 3.
14 Esc. Naval 2016 Um triângulo inscrito em um círculo
possui um lado de medida 2 34 oposto ao ângulo de
15º. O produto do apótema do hexágono regular pelo
apótema do triângulo equilátero inscritos nesse círculo
é igual a:
A 3 3 2+( )
 4 2 3 3+( )
C 8 3 12+
D 2 2 3 3+( )
E 6 2 1+( )
15 Insper 2013 O quadrado ABCD está inscrito na circun-
ferência de centro O e raio de medida 2 2 cm, como
mostra a figura.
H
A B
G
E F
CD
O
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao
lado CD e os vértices G e H pertencem à circunferên-
cia Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em
cm, é igual a:
A 0,8
 0,9
C 1,0
D 1,1
E 1,2