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MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear244
17 UFPE 2013 Sobre o sistema de equações lineares
apresentado abaixo, analise as proposições a seguir,
sendo a um parâmetro real.
 + + =
 + + =
 + + =




x y z 2
x ay 2z 1
2x y z 3
 ( ) Se a = 2 então o sistema admite innitas soluções.
 ( ) O sistema sempre admite solução.
 ( ) Quando o sistema admite solução, temos que x = 1.
 ( ) Se a ≠ 2, então o sistema admite uma única so-
lução.
 ( ) Se a = 1, então o sistema admite a solução (1, 2, -1).
18 UEL 2014 Uma padaria possui 3 tipos de padeiros,
classificados como A, B e C. Essa padaria é bem co-
nhecida na cidade pela qualidade do pão francês, da
baguete e do pão de batata.
Cada padeiro do tipo A produz, diariamente, 30 pães
franceses, 100 baguetes e 20 pães de batata
Cada padeiro do tipo B produz, diariamente, 30 pães
franceses, 70 baguetes e 20 pães de batata.
Cada padeiro do tipo C produz, diariamente, 90 pães
franceses, 30 baguetes e 100 pães de batata.
Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C são
necessários para que em um dia a padaria produza, exa-
tamente, 420 pães franceses, 770 baguetes e 360 pães
de batata?
Apresente os cálculos realizados na resolução desta
questão.
19 UFSJ 2013 Observe o sistema de variáveis x, y, z e t.
+ + + =
+ + =
+ + =
+ + =






x y z t 4
x y z 0
x y t 2
x z t 4
Com base no sistema, é CORRETO armar que sua
solução, considerando x, y, z e t, nessa ordem, forma
uma progressão
A geométrica decrescente.
b aritmética decrescente.
C geométrica crescente.
d aritmética crescente.
20 PUC RS 2014 Dadas as matrizes A = [ 1 2 3 ] e B
4
5
6
=








 o
determinante det (A ⋅ B) é igual a
A 18.
b 21.
C 32.
d 126.
E 720.
21 Udesc 2013 Seja X o conjunto formado por todas as
matrizes diagonais de ordem 2 × 2 Analise as pro
posições:
I. A multiplicação de matrizes pertencentes a X sa-
tisfaz a propriedade comutativa
II. Todas as matrizes pertencentes ao conjunto X
possuem inversa.
III. A matriz identidade de ordem 2 × 2 pertence ao
conjunto X.
IV. Se A e B são dois elementos pertencentes a X,
então A + B também pertence a X.
Assinale a alternativa correta.
A Somente a afirmativa II é verdadeira.
b Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
C Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d Somente a afirmativa III é verdadeira.
E Todas as afirmativas são verdadeiras.
22 Feevale 2012 Sendo x y
1 1
6= o valor de
3x 1 8
3y 1 8
+
+
 é:
A 6
b 8
C 24
d 128
E 144
23 Udesc 2012 Considere as matrizes A
x 1 x
2 x
2
= +





 e
B
3
1
2
1
=






Se I representa a matriz identidade de ordem dois,
então o produto entre todos os valores de x ∈ R que
satisfazem a equação det(A ⋅ B ) + det(B + I) = det(2BT)
é igual a:
A
4
3
b
2
3
C
3
2
d
5
2
E
1
3
24 ESPM 2011 Dadas as matrizes A
x
1
2
1
=





 eB
1
1
x
2
=
-






a diferença entre os valores de x, tais que det (A ⋅ B) = 3x
pode ser igual a:
A 3
b -2
C 5
d 4
E 1
F
R
E
N
T
E
 2
245
25 FWB 2011 O determinante da matriz A4 × 4 onde os
elementos da primeira linha são 4, 3, 5 e 1; os ele-
mentos da segunda linha são 0, 3, 0 e 2; os da
terceira linha são 2, 7, 0 e 0 e os da quarta linha, 8,
6, 10 e 2,
A -5
b 0
C 5
d 15
26 Se n é um número inteiro positivo e X é a matriz
1
1
1
0
2
1
0
0
3







 , então o valor do determinante da matriz
Y = Xn é
A 2
n
b 3
n
C 6
n
d 9
n
27 Mackenzie Dadas as matrizes A = (aij)3X3 tal que
= =
= ≠




a 10, se i j
a 0, se i j
ij
ij
 e B = (bij)3X3 tal que
= =
= ≠




b 3, se i j
b 0, se i j
ij
ij
o valor de det(A ⋅ B) é
A 27 × 103
b 9 × 103
C 27 × 102
d 32 × 102
E 27 × 104
28 Udesc Dada a matriz A
1
1
2
1
=





 seja a matriz B tal que
A
–1
BA = D, onde D 2
1
1
2
=





 então o determinante de
B é igual a:
A 3
b –5
C 2
d 5
E 3
29 UEL Se o determinante da matriz A
x
1
2x
2
1
1
1
1
3
= -
-







 é
nulo, então:
A x = -3
b =x 7
4
C x = 1
d x = 0
E =x 7
4
30 Ufla O determinante da matriz
A
sen x cos x cos x
cos x 0 sen x
sen x sen x cos x
2
2
= -
-








 é:
A –1 b 1 C 0 d sen2 x
31 Unicamp 2017 Sabendo que m é um número real, con-
sidere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
+ =
+ =
+ =




mx 2z 4
x y z 3
2x mz 4
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema.
Determine os valores de m para os quais a soma
dos quadrados dos elementos da matriz A é igual
à soma dos elementos da matriz A2 = A · A.
) Para m = 2, encontre a solução do sistema linear
para a qual o produto xyz é mínimo.
32 Um acampamento infantil possui sete piscinas de
montar idênticas, mas apenas duas mangueiras dife-
rentes para enchê las
As duas mangueiras juntas são capazes de encher as
sete piscinas em duas horas, mas em cada piscina há
um ralo que se for deixado aberto fará com que cada
piscina demore mais para car cheia.
Com o ralo aberto, a torneira de maior vazão levaria
uma hora e meia para encher uma única piscina. Já a
torneira de menor vazão levaria 6 horas para encher
uma piscina com o ralo aberto.
Quanto tempo leva para cada torneira sozinha encher
uma única piscina?
33 Unicamp 2015 Seja (a, b, c, d) uma progressão geomé-
trica (PG) de números reais, com razão q ≠ 0 e a ≠ 0.
a) Mostre que = -x 1
q
 é uma raiz do polinômio cúbi-
co p(x) = a + bx + cx2 + dx3.
) Sejam e e f números reais quaisquer e considere
o sistema linear nas variáveis x e y,
a c
d b
x
y
e
f








=




.
Determine para que valores da razão q esse sistema
tem solução única.
MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear246
34 Unicamp 2013 Na formulação de fertilizantes, os teores
percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados
respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são
representados por x, y e z.
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o se-
guinte sistema de equações lineares:
+ =
+ =
=




3x y z 0,20
2y z 0,55
z 0,25
Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as re-
lações 24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e
z = 10%. Indique no plano cartesiano abaixo a re-
gião de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante.
0% 10% 20% 30% 40% 50%
50%
y
40%
30%
20%
10%
0%
x
35 Unicamp 2013 Considere a matriz A
1
1
1
=
α
α







α
 que
depende do parâmetro real α > 0.
a) Calcule a matriz (Aa + A2a)
2.
b) Um ponto no plano cartesiano com as coordena-
das
x
y





 é transformado pela matriz Aα em um
novo ponto da seguinte forma:
x'
y'
A
x
y
x y
1
x y





 = ⋅





 =
 + α
−
α
 −







α
Calcule o valor de a, sabendo que o sistema
A
x
y
6
2
⋅





 =
−




α admite solução.
36 Unicamp 2018 Sabendo que p e q são números reais,
considere as matrizes A
1
1
1
0
2
p
1
p
1
=








 e B
p
0
q
=








a) Prove que para quaisquer p e q teremos BTAB ≥ 0.
b) Determine os valores de p e q para os quais o
sistema linear nas variáveis x, y e z, A
x
y
z
B








= tem
infinitas soluções
37 Unicamp 2016 Considere o polinômio cúbico p(x) =
= x3 – 3x + a, onde a é um número real.
a) No caso em que p(1) = 0, determine os valores de
x para os quais a matriz A abaixo não é invertível
A
x
0
a
1
x
3
0
1
x
 =








b) Seja b um número real não nulo e i a unidade
imaginária, isto é, i2 = −1. Se o número complexo
z = 2 + bi é uma raiz de p(x), determine o valor
de |z|
38 Unicamp 2012 Seja dada a matriz A
x
2
0
2
x
6
0
6
16x
=








 em
que x é um número real.
a) Determine para quais valores de x o determinante
de A é positivo
b) Tomando C
3
4
1
=
−








 e supondo que, na matriz A,
x = 2, calcule B =A ⋅ C.
39 AFA 2020 Três amigas, Tereza, Ana e Kely, entram jun-
tas numa loja de chocolates. A tabela abaixo indica a
quantidade de caixas e o tipo de trufas que cada uma
comprou na loja
Trufas de
morango
Trufas de
nozes
Trufas de
coco
Tereza 3 7 1
Ana 4 10 1
Kely 1 1 1
Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou
105 reais.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Ver
dadeira ou (F) Falsa
 ( ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do
valor da caixa de trufas de nozes.
 ( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou
 ( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais
Sobre as proposições, tem-se que
A todas são verdadeiras.
 apenas uma é falsa.
C apenas duas são falsas
 todas são falsas
40 AFA 2020 Considere:
• a matriz A
x 1
0
x 2
1
1
1
1
0
x 1
 =
 +
 +
−
 +








 cujo determinante é
det A = M;