Matemática - Livro 2-304-306

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MATEMÁTICA Capítulo 6 Áreas das figuras planas304
11 Dois quadrados ABCD e PQRS, ambos com 2cm de
lado, foram dispostos de tal forma que os vértices A e B
de um quadrado ficaram, respectivamente, sobre os la-
dos PQ e PS do outro quadrado, como mostra a figura:
A
Q
D C
B
S
P
R
Determine a área da região escurecida da gura
formada pelos dois quadrados sabendo que ela apre-
senta simetria bilateral.
12 Fuvest 2017 Na figura, o retângulo ABCD tem lados de
comprimento AB = 4 e BC = 2 Sejam M o ponto mé-
dio do lado BC e N o ponto médio do lado CD Os
segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos
pontos E e F, respectivamente
A
D N C
M
E
F
B
A área do triângulo AEF é igual a:
A
24
25
b
29
30
C
61
60
d
16
15
E
23
20
13 Fuvest No triângulo ABC, tem se que AB > AC, AC = 4
e =cos Ĉ 3
8
 Sabendo-se que o ponto R pertence ao
segmento BC e é tal que AR = AC e =BR
BC
4
7
, calcule:
a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.
) a área do triângulo ABR
14 Fuvest 2016 São dadas três circunferências de raio r,
duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são
P1, P2 e P3.
P
3
P
2
P
1
Calcule, em função de r:
a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T
determinado pelas três retas que são definidas pela
seguinte exigência: cada uma delas é tangente a
duas das circunferências e não intersecta a terceira.
) a área do hexágono não convexo cujos lados são
os segmentos ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos
dois vértices do triângulo T mais próximos a ele.
15 Unicamp 2013 Os lados do triângulo ABC da figura a
seguir têm as seguintes medidas: AB = 20, BC = 15 e
AC = 10.
A C
B
90°
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que
BD = 3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado
AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC
relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD
relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de
h e H.
) Calcule o valor explícito da altura do triângulo
ABC em relação ao lado AC.
16 As figuras a seguir apresentam apenas quadrados e
triân gulos equiláteros. Na figura I, os triângulos equilá
teros são todos congruentes entre si, ao passo que, na
figura II, são os quadrados todos congruentes entre si
Figura I Figura II
Se o lado do quadrado da gura I mede o mesmo que
o lado do triângulo equilátero da gura II, então a ra-
zão entre as áreas das guras I e II é igual a:
A
+18 8 3
33
b
+8 18 3
33
C
+8 33 3
18
d
+33 8 3
18
E
+33 18 3
8
F
R
E
N
T
E
 3
305
17 Fuvest A soma das distâncias de um ponto interior de
um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a
medida do lado do triângulo é:
a 5 3
b 6 3
c 7 3
d 8 3
e 9 3
18 Fuvest O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e
AB medem 1 e 3, respectivamente, é dobrado de tal
forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado
AB. Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a
dobra. Sabendo que o ângulo ND̂B é reto, determine:
A D B
N
C
M
) o comprimento dos segmentos CN eCM.
) a área do triânguloCMN.
19 Nos lados AB e AD de um quadrado ABCD com lado
1, tomam-se os pontos P e Q de forma que o triângulo
PQC seja isósceles com CP = CQ. Qual deve ser a
medida do segmento AP para que a área do triângulo
PQC seja igual a
1
4
?
a
+2 2
2
b
2 2
2
c
+2 2
4
d
2 – 2
4
e
+1 2
2
20 Unicamp Um triângulo equilátero tem o mesmo pe-
rímetro que um hexágono regular cujo lado mede
1,5cm. Calcule:
) o comprimento de cada lado do triângulo.
) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.
21 Fuvest
A
E B
G
C
F
x
O triângulo ABC da gura é equilátero de lado 1. Os
pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos la-
dos AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos
AF̂E e CĜF são retos e a medida do segmento AF é x.
Assim, determine:
) a área do triângulo AFE em função de x.
) o valor de x para o qual o ânguloFÊG também é reto.
22 Uma reta paralela à base BC do triângulo ABC inter-
cepta a mediana BM no baricentro G, determinando
os pontos P e Q sobre os lados do triângulo, como
mostra a figura:
A
M
Q
CB
P
G
Se o triângulo ABC tem 18 m
2
 de área, determine a
área do quadrilátero APGM.
23 Fuvest A figura representa um trapézio ABCD de
bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo
centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que
AB = 4, CD = 2 e =AC 3 2.
A
D C
B
O
) Determine a altura do trapézio.
) Calcule o raio da circunferência na qual ele está
inscrito.
) Calcule a área da região exterior ao trapézio e de
limitada pela circunferência.
24 Unicamp O papagaio (também conhecido como pipa,
pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no
Brasil. A figura a seguir mostra as dimensões de um
papagaio simples, confeccionado com uma folha de
papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas
varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de
linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da
folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem
o formato de um arco de circunferência e tangencia as
arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.
A
D
C
B
45°
30°
5
0
 c
m
5
0
 c
m
) Calcule a área do quadrilátero de papel que for-
ma o papagaio.
) Calcule o comprimento da vareta de bambu que
liga os pontos B e D.
MATEMÁTICA Capítulo 6 Áreas das figuras planas306
25 Os lados de um terreno triangular ABC medem 100m,
140 m e 160 m. No interior desse terreno, há dois po-
ços artesianos situados nos pontos P1 e P2.
A B
C
A
P
2
P
1
Sabendo que o poço em P1 equidista dos lados do
terreno e o poço em P2 equidista dos vértices do ter-
reno, determine:
a) a área entre o terreno ABC.
) a distância entre o poço P1 e o lado AB do terreno.
c) a distância entre o poço P2 e o vértice A do terreno.
26 UFTM 2011 A figura mostra o projeto de um paisagista
para um jardim em um terreno plano. Sabe-se que os
círculos são concêntricos e que a área do quadrado
ABCD é igual a 100 m2. No círculo inscrito no quadra-
do haverá um espelho-d’água, e na região sombreada
do círculo circunscrito ao quadrado serão plantadas
flores de várias espécies.
A
D
C
B
Espelho-d’água
Usando π ≈ 3,1, determine a área aproximada:
a) ocupada pelo espelho-d’água
) da região onde serão plantadas flores
27 Fuvest Na figura, estão representadas a circunferência
C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal
modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento PQ.
2. OP = 1, OQ = 2.
3. A e B são pontos da circunferência, AP ⊥ PQ e
BQ ⊥ PQ.
A B
QOP
Assim sendo, determine:
a) a área do triângulo APO.
) os comprimentos dos arcos determinados por A
e B em C.
c) a área da região hachurada.
28 Unicamp 2015 A figura a seguir exibe um círculo de
raio r que tangencia internamente um setor circular de
raio R e ângulo central θ.
R
R
r
θ
a) Para θ = 60°, determine a razão entre as áreas do
círculo e do setor circular.
) Determine o valor de cos θ no caso em que R = 4r.
29 Fuvest O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo
equilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do
triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois
lados do triângulo, conforme a figura.
E F
D
Assim, determine:
a) a razão entre R e r.
) a área do triângulo DEF em função de r.
30 Quatro circunferências de raios unitários estão dispos
tas no interior de um triângulo retângulo tangenciando
seus lados, como mostra a figura:
Se cada circunferência tangencia também as circun-
ferências vizinhas, a área da região hachurada vale:
A + + π10 2 5
b + + π5 2 5 2
C + π5 5
d 10 5 –+ π
E + + π5 5 2
31 Unicamp 2013 O segmento AB é o diâmetro de um
semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC,
conforme a figura a seguir.