Matemática - Livro 2-355-357

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F
R
E
N
T
E
 3
355
Sistemas lineares e retas
Sistema Possível e Determinado, pois ≠
1
1
1
–1
.
Solução única.
b.
+ =
+ =




r: 4x 10y 20 0
s: 2x 5y – 25 0
Graficamente:
y
x
s
r
O
Sistema Impossível, pois = ≠
4
2
10
5
–20
25
.
Não possui soluções
c
+ =
+ =




r: 2x 3y – 1 0
s: 4x 6y – 2 0
Graficamente:
y
x
r ≡ s
O
Sistema Possível e Indeterminado, pois = =
2
4
3
6
–1
–2
.
Possui infinitas soluções.
eTexto complementar
58 Uece 2015 Em um sistema de coordenadas cartesiano
usual os pontos P(1, 2) e Q(4, 6) são vértices do triân-
gulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela
ao segmento PQ que contém o ponto (8, 6), então a
medida da área do triângulo PQM é
≡u.a unidade de área
a 7 u a
b 8 u a
c 9 u a
d 10 u.a.
59 Unifesp Dada a matriz, 3 × 3, =








A
x y 1
1 1 1
1 1 1
, a distân
cia entre as retas r e s de equações, respectivamente,
det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:
a
2
4
b 2
c 2
d 3
e 3 2
A principal ideia da Geometria Analítica é associar a Geometria e a Álgebra.
Um aspecto interessante dessa integração é o uso de sistemas lineares
de duas incógnitas para encontrar interseções de retas. Como se fosse a
outra face da moeda, também podemos interpretar os sistemas lineares
de duas incógnitas de maneira geométrica.
Todo sistema linear de duas incógnitas pode ser escrito na forma:
+ + =
+ + =




a x b y c 0
a x b y c 0
r r r
s s s
As duas equações representam retas no plano cartesiano Na Álgebra Linear,
classificamos um sistema com solução única como Sistema Possível e Deter-
minado (SPD). A solução é um par ordenado que pode ser interpretado como
coordenadas de um ponto do plano cartesiano. Essa situação corresponde
a retas concorrentes e ocorre se, e somente se, ≠
a
a
b
b
r
s
r
s
.
Um sistema que não possui solução é classificado como Sistema Impossível
(SI). Geralmente, ele ocorre quando há contradição entre as equações.
Do ponto de vista geométrico, ocorre quando as duas retas são paralelas
distintas, o que é equivalente a = ≠
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
.
Se as duas retas forem coincidentes, a interseção corresponderá a todos os
pontos da reta. Nesse caso, o sistema terá infinitas soluções, o que ocor-
rerá quando = =
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
. Esse sistema é classificado como um Sistema
Possível e Indeterminado (SPI).
Observe, nos exemplos a seguir, os sistemas lineares, suas soluções e
classificações:
a.
+ =
+ =




r: x y 5 0
s: x – y 1 0
Graficamente:
y
x
sr
O
P
MATEMÁTICA Capítulo 8 O estudo da reta356
Resumindo
Coeficiente angular
Dados A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencentes à reta r, não paralela ao eixo y, o
coeficiente angular m é dado por:
θ
y
xx
A
y
A
x
B
y
B
rP
B
D E
A
O
= θ = ∴ =m tg
BD
AD
 m
y – y
x x
B A
B A
Equação fundamental da reta
Se (x0, y0) é um ponto conhecido da reta e P(x, y) é outro ponto qualquer,
temos que P é um ponto da reta r se, e somente se:
y – y0 = m(x – x0)
Equação reduzida da reta
θ
y
x
n
y =
 m
x +
 n
O
coeficiente
angular da reta
coeficiente
linear da reta
y = mx + n
n
m = tg θ
Equação geral da reta
Desenvolvendo a equação fundamental, podemos deixá-la em uma forma
conhecida como equação geral da reta:
ax + by + c = 0
Equação segmentária da reta
Se a reta r intersecta o eixo y no ponto (0, q), com q ≠ 0, e o eixo x no
ponto (p, 0), com p ≠ 0, ela pode ser escrita em uma forma chamada de
equação segmentária da reta.
y
r
(0, q)
(p, 0) xO
+ =
x
p
y
q
1
Retas paralelas aos eixos
Retas paralelas ao eixo x têm inclinação e coeficiente angular zero. Suas
equações são da forma y = k, sendo k uma constante
y
x
k y = k
O
Retas paralelas ao eixo y têm inclinação de 90° e, para elas, não está
definido o coeficiente angular. Suas equações são da forma x = k, sendo
k uma constante.
y
xk
x = k
O
Posições relativas entre retas
Equações gerais:
+ + = ≠
+ + = ≠




r: a x b y c 0, b 0
s: a x b y c 0, b 0
r r r r
s s s s
Equações reduzidas:
= +
= +




r: y m x n
s: y m x n
r r
s s
Retas coincidentes
= =
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
 ou = =m m e n n
r s r s
Retas paralelas distintas
= ≠
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
 ou = ≠m m e n n
r s r s
Retas concorrentes
≠
a
a
b
b
r
s
r
s
 ou ≠m m
r s
Retas perpendiculares
ar ⋅ as + br ⋅ bs = 0 ou mr ⋅ ms = –1
Ângulo entre retas
y
x
r s
θ
α
β
O
a=
+
tg
m m
1 m m
r s
r s
·
Distância entre ponto e reta
Dada a reta r de equação ax + by + c = 0 e o ponto P(x0, y0), a distância
de P à reta r é dada por:
y
d
P, r
P(x
0
, y
0
)
x
r
O
=
+ +
+
d
ax by c
a b
P,r
0 0
2 2
Bissetrizes dos ângulos entre duas retas
Sejam duas retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0.
Se P(x, y) é um ponto genérico das bissetrizes de r e s, então, a expressão
que fornece as equações das duas bissetrizes de r e s é:
+ +
+
= ±
+ +
+
a x b y c
a b
a x b y c
a b
1 1 1
1
2
1
2
2 2 2
2
2
2
2
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 3
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Quer saber mais?
Sites
y Produto escalar de vetores
Disponível em: <www.ufrgs br/reamat/AlgebraLinear/livro/s12 comprimento_x00e2ngulos_e_o_produto escalar html>
y Retas e vetores
Disponível em: <http://ganuff weebly com/uploads/1/9/2/5/19255685/lgebra_vetorial_e_geometria_analtica_ _retas_e_planos.pdf>
Exercícios complementares
1 Unesp Num sistema de coordenadas cartesianas or
togonais, o coeficiente angular e a equação geral da
reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P(2, 1) e Q o
simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q'(1, 2) são,
respectivamente:
A =
1
3
; x – 3y – 5 0
 =
2
3
; 2x – 3y – 1 0
C + + =
1
3
; x 3y 5 0
 + =
1
3
; x 3y – 5 0
E + =–
1
3
; x 3y – 5 0
2 Uerj 2015 As baterias B1 e B2 de dois aparelhos
celulares apresentam em determinado instante, res
pectivamente, 100% e 90% da carga total
Considere as seguintes informações:
• as baterias descarregam linearmente ao longo do
tempo;
• para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2
leva duas horas a mais do que B1;
• no instante z, as duas baterias possuem o mesmo
percentual de carga igual a 75%.
Observe o gráco:
0 t (t + 2)
90
100
y
 (
%
 d
e
 c
a
rg
a
)
x (horas)z
75
O valor de t, em horas, equivale a:
A 1  2 C 3  4
3 Insper 2018 Um retângulo ABCD possui vértices
A(17, 158), B(2017, 242) e D(19, y) Na impossibili-
dade de esboçar os vértices desse retângulo por
meio de um desenho em escala, Joana resolveu
colocar os dados disponíveis em um programa de
computador, que exibiu a seguinte imagem
Como a imagem não permitiu a visualização do pon-
to D, Joana usou seus conhecimentos de Geometria
Analítica e calculou, corretamente, a ordenada de D,
igual a:
A –172
 –168
C –326
 –196
E –224
4 Efomm 2018 A forma de uma montanha pode ser
descrita pela equação = +y –x 17x – 66 (6 ≤ x ≤ 11)2 .
Considere um atirador munido de um rifle de alta pre-
cisão, localizado no ponto (2, 0) e que a trajetória do
tiro é uma linha reta. A partir de que ponto, na monta-
nha, um indefeso coelho estará 100% seguro?
A (8, 9)
 (8, 6)
C (7, 9)
 (7, 5)
E (7, 4)
5 Enem PPL 2012 O cristalino, que é uma lente do olho
humano, tem a função de fazer ajuste fino na foca
lização, ao que se chama acomodação À perda da
capacidade de acomodação com a idade chamamos
presbiopia. A acomodação pode ser determinada
por meio da convergência do cristalino Sabe-se que
a convergência de uma lente, para pequena distân
cia focal em metros, tem como unidade de medida a
diopria (di)
A presbiopia, representada por meio da relação en
tre convergência máxima Cmax (em di) e a idade T (em
anos), é mostrada na gura seguinte