Matemática - Livro 3-220-222

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MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço220
1 A respeito do número de dimensões dos entes primitivos, responda:
a) Quantas dimensões tem um único ponto?
) Quantas dimensões tem uma reta?
c) Quantas dimensões tem um plano?
) Quantas dimensões tem o espaço geométrico?
A figura formada no terceiro caso é chamada de triedro.
Os triedros são superfícies poliédricas abertas dotadas de:
• 1 vértice, que, na figura, é o ponto P;
• 3 arestas, que são as retas nas quais os planos se in
tersetam;
• 3 faces em forma de ângulos geométricos, respectiva
mente contidas nos planos α, β e γ.
O triedro trirretângulo é o mais comum, pois forma três
ângulos retos nas faces.
Exercício resolvido
 4 Um arquiteto resolveu esconder as quinas de um cô-
modo, como mostra a figura a seguir:
6 cm
6 cm
6 cm
Determine a distância entre o vértice do triedro e cada
um dos vértices do triângulo equilátero que surgiu na
quina do cômodo
Resolução:
Em primeiro lugar, devemos notar que aparecem três
triângulos (OAB, OAC e OBC), retângulos e congruen
tes pelo caso cateto-hipotenusa, o que nos leva a
concluir que cada um deles é isósceles.
6 cm
A
C
B
x
x
Ox
6 cm
6 cm
Chamando de x cada uma das arestas pedidas, temos:
= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =6 x x 2x 6 x 3 x 3 cm
2 2 2 2 2
Não é possível construir um triedro com quaisquer me-
didas angulares. Veja a figura:
d
1
d
3
d
2
f
1
f
2
f
3
Os ângulos f1, f2 e f3 são chamados de faces do triedro.
Assim, temos:
< +
< +
< +





f f f
f f f
f f f
1 2 3
2 1 3
3 1 2
.
Além disso, f1 + f2 + f3 < 360
o.
Os ângulos d1, d2 e d3 são os ângulos diédricos. Assim,
temos:
+ ° < +
+ ° < +
+ ° < +





d 180 d d
d 180 d d
d 180 d d
1 2 3
2 1 3
3 1 2
.
Além disso, 180° < d1 + d2 + d3 < 540°
Revisando
F
R
E
N
T
E
 3
221
2 FEI Na determinação de um plano são suficientes os seguintes elementos:
A duas retas distintas.
b uma reta e um ponto.
C três pontos distintos.
d duas retas concorrentes.
E duas retas reversas.
3 ITA Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
A Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.
b Um ponto e uma reta determinam um plano.
C Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único.
d Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então é paralela a qualquer reta deste plano.
E Se α é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r,
não será paralela à reta s.
4 Mackenzie A reta r é paralela ao plano α. Então:
A Todas as retas de α são paralelas a r.
b A reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de α.
C Existem em α retas paralelas a r e também existem em α retas reversas a r.
d Existem em α retas paralelas a r e também retas perpendiculares a r.
E Todo plano que contém r é paralelo a α.
5 Fuvest Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguin-
do um trajeto especial Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida
caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG.
A formiga chegou ao vértice
G
D E
A
C
B
A A
b B
C C
d D
E E
MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço222
6 Quais são as possíveis posições relativas entre dois planos α e β do espaço? Liste todas elas e determine, em cada
caso, a forma da figura que resulta da interseção entre α e β, se houver
7 A figura a seguir apresenta uma reta r que intercepta um plano α em um ponto P:
r
P
α
Para se ter certeza de que r é perpendicular ao plano α, o número mínimo de retas contidas em α passando pelo
ponto P que se deve vericar é:
A 1 b 2 C 3 d 4 E 5
8 Uma agulha representada pela reta r perfura um tecido esticado representado pelo plano α, formando um ângulo de
45°, como ilustra a figura:
45°
α
r
Nessas condições, é correto armar que nenhuma semirreta do plano α é capaz de determinar, com a reta r, um
ângulo de:
A 60° b 90° C 120° d 135° E 150°