Matemática - Livro 3-223-225

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F
R
E
N
T
E
 3
223
9 Dois ângulos das faces de um triedro medem 140° e 160° Determine o intervalo de variação do ângulo da terceira
face
10 A figura a seguir apresenta um triedro Vrst em que duas das faces têm medida angular α e a terceira face mede 100°
r
V
s
t
α
Nessas condições, a medida angular α é tal que:
A α < 50°
b 50° < α < 100°
C 50° < α < 130°
d 100° < α < 130°
E α > 130°
MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço224
Exercícios propostos
1 Enem 2016 A figura representa o globo terrestre e nela
estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B
estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pon-
tos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um
caminho do ponto A até C, pela superfície do globo,
passando por B, de forma que o trecho de A até B se
dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de
B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C.
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador
na gura.
A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado
no globo pode ser representada por
A
b
C
d
E
2 Enem 2013 Gangorra é um brinquedo que consiste
em uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada
no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas
pessoas sentam-se nas extremidades e, alternada-
mente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a
extremidade oposta, realizando, assim, o movimento
da gangorra.
Considere a gangorra representada na gura, em que
os pontos A e B são equidistantes do pivô:
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B,
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se en-
contra em movimento, é:
A
b
C
d
E
3 EsPCEx 2017 Considere dois planos α e β perpendicu-
lares e três retas distintas r, s e t tais que r ⊂ α, s ⊂ β
e t = α ∩ β.
Sobre essas retas e os planos é correto armar que
A as retas r e s somente definirão um plano se forem
concorrentes com t em um único ponto.
b as retas r e s podem definir um plano paralelo à
reta t.
C as retas r e s são necessariamente concorrentes.
d se r e s forem paralelas, então elas definem um pla-
no perpendicular a α e β.
E o plano definido por r e t é necessariamente para-
lelo a s.
4 Enem 2017 Uma lagartixa está no interior de um quarto
e começa a se deslocar Esse quarto, apresentando o
formato de um paralelepípedo retangular, é represen
tado pela figura
E
A
B
C
GF
Teto
Chão
Porta
H
M
D
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir,
de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M, que é o
ponto médio do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela
vai do ponto M até o ponto H. Considere que todos es-
ses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor
distância entre os respectivos pontos envolvidos.
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano
que contém o chão do quarto é dado por:
A
b
C
d
E
F
R
E
N
T
E
 3
225
5 Enem 2016 Um grupo de escoteiros mirins, numa ativi-
dade no parque da cidade onde moram, montou uma
barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra
o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de
um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
Após a armação das hastes, um dos escoteiros ob-
servou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do
vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao
vértice E e, nalmente, fez o trajeto do vértice E ao C.
Considere que todos esses deslocamentos foram fei-
tos pelo caminho de menor distância entre os pontos.
A projeção do deslocamento do inseto no plano que
contém a base ABCD é dada por
A
b
C
d
E
6 UFJF 2015 Sejam r uma reta e β1 e β2 dois planos no
espaço, considere as seguintes afirmações:
I. Se r ∩ β1 = {P1} e r ∩ β2 = {P2}, com P1 e P2 pontos
distintos, então β1 é paralelo a β2.
II. Se r ∩ β1 = ∅ e r ∩ β2 = ∅, então β1 é paralelo a β2
ou β1 é coincidente de β2.
III. Se existem dois pontos distintos em r ∩ β1, então
r ∩ β1 = r.
É CORRETO armar que:
A Apenas I é verdadeira
b Apenas II é verdadeira
C Apenas III é verdadeira
d Apenas I e II são verdadeiras.
E Apenas II e III são verdadeiras.
7 Esc. Naval 2013 Nas proposições abaixo, coloque (V)
na coluna à esquerda quando a proposição for verda
deira e (F) quando for falsa.
J Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas
de um plano, então ela é perpendicular ao plano
J Se uma reta é perpendicular a uma reta perpendi-
cular a um plano, então ela é paralela a uma reta
do plano.
J Duas retas perpendiculares a um plano são para-
lelas
J Se dois planos são perpendiculares, todo plano pa-
ralelo a um deles é perpendicular ao outro.
J Se três planos são dois a dois perpendiculares, eles
têm um único ponto em comum.
Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo,
encontra-se
A F F V F V
b V – F – V – V – F
C V V F V V
d F – V – V – V – V
E V V V V V
8 EsPCEx 2013 Considere as seguintes afirmações:
I. Se uma reta r é perpendicular a um plano α, en-
tão todas as retas de α são perpendiculares ou
ortogonais a r;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um seg-
mento AB sobre um plano α é a metade da
medida do segmento AB, então a reta AB faz com
α um ângulo de 60°;
III. Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro
plano γ intercepta α e β, as interseções entre es-
ses planos serão retas reversas;
IV. Se α e β são dois planos secantes, todas as retas
de α também interceptam β.
Estão corretas as armações
A apenas I e II
b apenas II e III
C I, II e III
d I, II e IV
E II, III e IV
9 ITA 2013 Das afirmações:
I. Duas retas coplanares são concorrentes;
II. Duas retas que não têm ponto em comum são re-
versas;
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas
dois, planos paralelos, cada um contendo uma das
retas;
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero
reverso definem um paralelogramo,
é(são) verdadeira(s) apenas
A III.
b I e III.
C II e III.
d III e IV.
E I e II e IV.
10 EsPCEx 2011 Considere as seguintes afirmações:
I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então
as retas r1 ⊂ α e r2 ⊂ β são sempre paralelas.
II. Seα e β são planos não paralelos distintos, existem
as retas r1 ⊂ α e r2 ⊂ β tal que r1 e r2 são paralelas.
III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no
ponto P, então qualquer reta de α que passa por
P é perpendicular a r.
Dentre as armações acima, é(são) verdadeira(s)
A Somente II
b I e II
C I e III
d II e III
E I, II e III